Vähim ühiskordaja (LCM). Kuidas leida arvude vähim ühiskordne

Jätkame arutelu vähima ühise kordse üle, mille alustasime jaotises LCM – Vähim levinud mitmik, Definitsioon, Näited. Selles teemas vaatleme võimalusi leida kolme või enama arvu LCM-i, analüüsime küsimust, kuidas leida negatiivse arvu LCM-i.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Vähima ühiskordse (LCM) arvutamine läbi gcd

Oleme juba loonud seose vähima ühiskordaja ja suurima ühisjagaja vahel. Nüüd õpime, kuidas defineerida LCM-i GCD kaudu. Kõigepealt mõelgem välja, kuidas seda positiivsete arvude puhul teha.

Definitsioon 1

Leia vähim ühiskordne läbi suurima ühine jagaja võite kasutada valemit LCM (a, b) = a b: GCD (a, b) .

Näide 1

On vaja leida numbrite 126 ja 70 LCM.

Lahendus

Võtame a = 126 , b = 70 . Asendage väärtused väikseima ühiskordse arvutamise valemis suurima ühisjagaja kaudu LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Leiab arvude 70 ja 126 GCD. Selleks vajame Eukleidese algoritmi: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , seega gcd (126 , 70) = 14 .

Arvutame LCM-i: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Vastus: LCM (126, 70) = 630.

Näide 2

Leidke arvude 68 ja 34 nok.

Lahendus

GCD-d on sel juhul lihtne leida, kuna 68 jagub 34-ga. Arvutage vähim ühiskordne, kasutades valemit: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Vastus: LCM(68; 34) = 68.

Selles näites kasutasime positiivsete täisarvude a ja b vähima ühiskordse leidmise reeglit: kui esimene arv jagub teisega, siis on nende arvude LCM võrdne esimese arvuga.

LCM-i leidmine arvude algfaktoriteks arvutamise teel

Nüüd vaatame viisi, kuidas leida LCM-i, mis põhineb arvude algteguriteks jagamisel.

2. definitsioon

Vähima ühiskordaja leidmiseks peame tegema mitmeid lihtsaid samme:

• koostame kõigi arvude algtegurite korrutise, mille jaoks peame leidma LCM-i;
• me välistame nende saadud toodetest kõik peamised tegurid;
• pärast ühiste algtegurite kõrvaldamist saadud korrutis on võrdne antud arvude LCM-iga.

Selline vähima ühiskordaja leidmise viis põhineb võrdusel LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) . Kui vaatate valemit, selgub: arvude a ja b korrutis võrdub kõigi nende kahe arvu laienemisega seotud tegurite korrutisega. Sel juhul on kahe arvu GCD võrdne kõigi nende kahe arvu faktorisatsioonis samaaegselt esinevate algtegurite korrutisega.

Näide 3

Meil on kaks numbrit 75 ja 210 . Saame need välja arvutada järgmiselt: 75 = 3 5 5 ja 210 = 2 3 5 7. Kui teete kahe algarvu kõigi tegurite korrutise, saate: 2 3 3 5 5 5 7.

Kui jätame välja nii arvude 3 kui ka 5 ühised tegurid, saame järgmise kujuga korrutise: 2 3 5 5 7 = 1050. Sellest tootest saab meie LCM numbrite 75 ja 210 jaoks.

Näide 4

Leidke numbrite LCM 441 ja 700 , lagundades mõlemad arvud algteguriteks.

Lahendus

Leiame kõik tingimuses antud arvude algtegurid:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Saame kaks arvuahelat: 441 = 3 3 7 7 ja 700 = 2 2 5 5 7 .

Kõigi nende arvude laiendamises osalenud tegurite korrutis näeb välja järgmine: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Leiame ühised tegurid. See arv on 7. Jätame selle üldisest tootest välja: 2 2 3 3 5 5 7 7. Selgub, et NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Vastus: LCM (441 , 700) = 44 100 .

Anname veel ühe meetodi formuleeringust LCM-i leidmiseks, jagades arvud algteguriteks.

3. definitsioon

Varem jätsime mõlemale arvule ühiste tegurite koguarvust välja. Nüüd teeme seda teisiti:

• Jagame mõlemad arvud algteguriteks:
• liita esimese arvu algtegurite korrutisele teise arvu puuduvad tegurid;
• saame toote, mis on soovitud kahe numbri LCM.

Näide 5

Läheme tagasi numbrite 75 ja 210 juurde, mille jaoks otsisime juba ühest eelnevast näitest LCM-i. Jaotame need lihtsateks teguriteks: 75 = 3 5 5 ja 210 = 2 3 5 7. Koefitsientide 3 , 5 ja korrutisesse 5 number 75 lisage puuduvad tegurid 2 ja 7 numbrid 210 . Saame: 2 3 5 5 7 . See on numbrite 75 ja 210 LCM.

Näide 6

On vaja arvutada numbrite 84 ja 648 LCM.

Lahendus

Jagame tingimuse arvud algteguriteks: 84 = 2 2 3 7 ja 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Lisage tegurite 2 , 2 , 3 ja korrutisele 7 numbrid 84 puuduvad tegurid 2 , 3 , 3 ja
3 numbrid 648 . Saame toote kätte 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . See on 84 ja 648 vähim ühiskordne.

Vastus: LCM (84 648) = 4536.

Kolme või enama numbri LCM-i leidmine

Sõltumata sellest, kui paljude arvudega me tegeleme, on meie toimingute algoritm alati sama: leiame järjestikku kahe arvu LCM-i. Selle juhtumi jaoks on olemas teoreem.

1. teoreem

Oletame, et meil on täisarvud a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k nendest arvudest leitakse järjestikuses arvutuses m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) .

Nüüd vaatame, kuidas saab teoreemi konkreetsetele probleemidele rakendada.

Näide 7

Peate arvutama nelja arvu 140 , 9 , 54 ja vähima ühiskordse 250 .

Lahendus

Tutvustame tähistust: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Alustuseks arvutame m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Arvutame Eukleidese algoritmi abil arvude 140 ja 9 GCD: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Saame: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Seetõttu m 2 = 1 260 .

Nüüd arvutame sama algoritmi järgi m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . Arvutuste käigus saame m 3 = 3 780.

Jääb üle arvutada m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Me tegutseme sama algoritmi järgi. Saame m 4 \u003d 94 500.

Näidistingimuse nelja numbri LCM on 94500 .

Vastus: LCM (140, 9, 54, 250) = 94 500.

Nagu näete, on arvutused lihtsad, kuid üsna töömahukad. Aja säästmiseks võite minna teist teed.

4. definitsioon

Pakume teile järgmist toimingute algoritmi:

• lagundada kõik arvud algteguriteks;
• esimese arvu tegurite korrutisele liida puuduvad tegurid teise arvu korrutisest;
• eelmises etapis saadud korrutisele lisame kolmanda arvu puuduvad tegurid jne;
• saadud korrutis on tingimuse kõigi arvude vähim ühiskordne.

Näide 8

On vaja leida viie numbri 84, 6, 48, 7, 143 LCM.

Lahendus

Jagame kõik viis arvu algteguriteks: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Algarve, mis on arv 7, ei saa algtegurite hulka arvestada. Sellised arvud langevad kokku nende lagunemisega algteguriteks.

Nüüd võtame arvu 84 algtegurite 2, 2, 3 ja 7 korrutise ja liidame neile teise arvu puuduvad tegurid. Oleme arvu 6 jaganud kaheks ja kolmeks. Need tegurid on juba esimese numbri korrutises. Seetõttu jätame need välja.

Jätkame puuduvate kordajate lisamist. Pöördume arvu 48 poole, mille algtegurite korrutisest võtame 2 ja 2. Seejärel lisame neljanda arvu lihtteguri 7 ning viienda arvu tegurid 11 ja 13. Saame: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48 048. See on viiest algarvust väikseim ühiskordne.

Vastus: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48 048.

Negatiivsete arvude vähima levinuima kordse leidmine

Vähima ühiskordse leidmiseks negatiivsed arvud, tuleb need numbrid esmalt asendada vastupidise märgiga numbritega ja seejärel teha arvutused ülaltoodud algoritmide järgi.

Näide 9

LCM(54, −34) = LCM(54, 34) ja LCM(−622, −46, −54, −888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

Sellised toimingud on lubatavad, kuna sellega nõustutakse a ja − a- vastupidised numbrid
siis kordajate hulk a langeb kokku arvu kordsete hulgaga − a.

Näide 10

On vaja arvutada negatiivsete arvude LCM − 145 ja − 45 .

Lahendus

Muudame numbreid − 145 ja − 45 nende vastandarvudele 145 ja 45 . Nüüd, kasutades algoritmi, arvutame LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305, olles eelnevalt määranud GCD Eukleidese algoritmi abil.

Saame, et arvude LCM − 145 ja − 45 võrdub 1 305 .

Vastus: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Kuid paljud naturaalarvud jaguvad teiste naturaalarvudega võrdselt.

Näiteks:

Arv 12 jagub 1-ga, 2-ga, 3-ga, 4-ga, 6-ga, 12-ga;

Arv 36 jagub 1-ga, 2-ga, 3-ga, 4-ga, 6-ga, 12-ga, 18-ga, 36-ga.

Arvu, millega arv jagub (12 puhul on see 1, 2, 3, 4, 6 ja 12), nimetatakse arvujagajad. Naturaalarvu jagaja a on naturaalarv, mis jagab antud arvu a jäljetult. Nimetatakse naturaalarvu, millel on rohkem kui kaks tegurit komposiit .

Pange tähele, et numbritel 12 ja 36 on ühised jagajad. Need on arvud: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Nende arvude suurim jagaja on 12. Nende kahe arvu ühisjagaja a ja b on arv, millega mõlemad antud arvud jaguvad ilma jäägita a ja b.

ühismitmik mitut arvu nimetatakse arvuks, mis jagub kõigi nende arvudega. Näiteks, on arvude 9, 18 ja 45 ühiskordne 180. Kuid 90 ja 360 on ka nende ühiskordsed. Kõigi jcommon kordsete hulgas on alati kõige väiksem, antud juhul on see 90. Seda arvu nimetatakse vähemaltühiskordne (LCM).

LCM on alati naturaalarv, mis peab olema suurem kui suurim arv, mille jaoks see on määratletud.

Vähim ühiskordaja (LCM). Omadused.

Kommutatiivsus:

Assotsiatiivsus:

Täpsemalt, kui ja on koalgarvud , siis:

Kahe täisarvu vähim ühiskordne m ja n on kõigi teiste ühiste kordajate jagaja m ja n. Veelgi enam, ühiste kordajate hulk m,n langeb kokku LCM(i kordajate hulgaga m,n).

Asümptootikat saab väljendada mõne arvuteoreetilise funktsioonina.

Niisiis, Tšebõševi funktsioon. Sama hästi kui:

See tuleneb Landau funktsiooni definitsioonist ja omadustest g(n).

Mis tuleneb jaotusseadusest algarvud.

Vähima ühiskordse (LCM) leidmine.

NOC( a, b) saab arvutada mitmel viisil:

1. Kui suurim ühisjagaja on teada, saate kasutada selle seost LCM-iga:

2. Olgu teada mõlema arvu kanooniline lagunemine algteguriteks:

kus p 1 ,...,p k on erinevad algarvud ja d 1,...,dk ja e 1 ,...,ek on mittenegatiivsed täisarvud (need võivad olla nullid, kui vastavat algarvu laienduses pole).

Seejärel LCM ( a,b) arvutatakse järgmise valemiga:

Teisisõnu sisaldab LCM-i dekompositsioon kõiki algtegureid, mis esinevad vähemalt ühes arvude jaotuses a, b, ja võetakse selle teguri kahest eksponendist suurim.

Näide:

Mitme arvu vähima ühiskordse arvutamise saab taandada kahe arvu LCM-i mitmeks järjestikuseks arvutuseks:

Reegel. Numbriseeria LCM-i leidmiseks vajate:

- lagundada arvud algteguriteks;

- kanda suurim laiendus soovitud korrutise teguritele (antud suurima arvu tegurite korrutis) ja seejärel lisada tegurid teiste arvude laiendusest, mis ei esine esimeses numbris või on selles väiksem arv kordi;

- algtegurite korrutis on antud arvude LCM.

Ükskõik milline kaks või enam naturaalarvud neil on oma NOC. Kui arvud ei ole üksteise kordsed või neil ei ole laiendusel samu tegureid, siis on nende LCM võrdne nende arvude korrutisega.

Arvu 28 algtegureid (2, 2, 7) täiendati koefitsiendiga 3 (arv 21), saadud korrutis (84) on väikseim arv, mis jagub 21 ja 28-ga.

Suurima arvu 30 algtegureid täiendati arvu 25 koefitsiendiga 5, saadud korrutis 150 on suurem kui suurim arv 30 ja jagub kõigi antud arvudega ilma jäägita. See on väikseim võimalik korrutis (150, 250, 300...), mille kõik antud arvud on kordsed.

Arvud 2,3,11,37 on algarvud, seega on nende LCM võrdne antud arvude korrutisega.

reegel. Algarvude LCM-i arvutamiseks peate kõik need arvud omavahel korrutama.

Teine võimalus:

Mitme arvu vähima ühiskordse (LCM) leidmiseks vajate järgmist.

1) esitage iga arv selle algtegurite korrutisena, näiteks:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7,

2) kirjutage üles kõigi algtegurite astmed:

504 \u003d 2 2 2 3 3 7 \u003d 2 3 3 2 7 1,

3) kirjutage üles kõigi nende arvude kõik algjagajad (kordajad);

4) vali neist igaühe suurim aste, mis on leitud nende arvude kõigis laiendustes;

5) korrutage need võimsused.

Näide. Leidke arvude LCM: 168, 180 ja 3024.

Lahendus. 168 \u003d 2 2 2 3 7 \u003d 2 3 3 1 7 1,

180 \u003d 2 2 3 3 5 \u003d 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1 .

Kirjutame välja kõigi algjagajate suurimad astmed ja korrutame need:

LCM = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Definitsioon. Nimetatakse suurimat naturaalarvu, millega arvud a ja b jaguvad ilma jäägita suurim ühisjagaja (gcd) need numbrid.

Leiame arvude 24 ja 35 suurima ühisjagaja.
24 jagajad on arvud 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 ja 35 jagajad numbrid 1, 5, 7, 35.
Näeme, et arvudel 24 ja 35 on ainult üks ühine jagaja – arv 1. Selliseid numbreid nimetatakse koprime.

Definitsioon. Naturaalarvudeks nimetatakse koprime kui nende suurim ühisjagaja (gcd) on 1.

Suurim ühine jagaja (GCD) võib leida ilma kõiki antud arvude jagajaid välja kirjutamata.

Arvestades arvud 48 ja 36, ​​saame:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Nendest arvudest esimese laiendamises sisalduvate tegurite hulgast kustutame need, mis ei sisaldu teise numbri laiendamises (st kaks kahekümnend).
Alles jäävad tegurid 2 * 2 * 3. Nende korrutis on 12. See arv on arvude 48 ja 36 suurim ühisjagaja. Leitakse ka kolme või enama arvu suurim ühisjagaja.

Leidma suurim ühine jagaja

2) ühe nende arvude laiendamisel sisalduvate tegurite hulgast kriipsutada maha need, mis ei kuulu teiste arvude laiendamisse;
3) leida ülejäänud tegurite korrutis.

Kui kõik antud arvud jaguvad ühega neist, siis see arv on suurim ühine jagaja antud numbrid.
Näiteks arvude 15, 45, 75 ja 180 suurim ühisjagaja on 15, kuna see jagab kõik ülejäänud arvud: 45, 75 ja 180.

Vähim levinud kordne (LCM)

Definitsioon. Vähim levinud kordne (LCM) naturaalarvud a ja b on väikseimad naturaalarvud, mis on arvu a ja b kordne. Arvude 75 ja 60 vähim ühiskordne (LCM) on leitav ilma nende arvude kordajaid järjest välja kirjutamata. Selleks jagame 75 ja 60 lihtsateks teguriteks: 75 \u003d 3 * 5 * 5 ja 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Kirjutame välja neist arvudest esimese laienduses sisalduvad tegurid ja lisame neile teise arvu laiendist puuduvad tegurid 2 ja 2 (ehk ühendame tegurid).
Saame viis tegurit 2 * 2 * 3 * 5 * 5, mille korrutis on 300. See arv on arvude 75 ja 60 vähim ühiskordne.

Leidke ka kolme või enama arvu vähim ühiskordne.

To leida vähim ühiskordne mitu naturaalarvu, vajate:
1) lagundada need algteguriteks;
2) kirjutab välja ühe arvu laiendamises sisalduvad tegurid;
3) lisab neile ülejäänud arvude laiendustest puuduvad tegurid;
4) leida saadud tegurite korrutis.

Pange tähele, et kui üks neist arvudest jagub kõigi teiste arvudega, on see arv nende arvude vähim ühiskordne.
Näiteks arvude 12, 15, 20 ja 60 vähim ühiskordne oleks 60, kuna see jagub kõigi antud arvudega.

Pythagoras (VI sajand eKr) uuris koos õpilastega arvude jagatavuse küsimust. Arv, mis võrdub kõigi selle jagajate summaga (ilma arvu endata), nimetasid nad täiuslikuks arvuks. Näiteks numbrid 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) on täiuslikud. Järgmised täiuslikud arvud on 496, 8128, 33 550 336. Pythagoraslased teadsid ainult kolme esimest täiuslikku arvu. Neljas – 8128 – sai tuntuks 1. sajandil. n. e. Viies – 33 550 336 – leiti 15. sajandil. 1983. aastaks oli teada juba 27 täiuslikku numbrit. Kuid siiani ei tea teadlased, kas on paarituid täiuslikke numbreid, kas on olemas suurim täiuslik arv.
Muistsete matemaatikute huvi algarvude vastu tuleneb sellest, et suvaline arv on kas algarv või seda saab esitada algarvude korrutisena, see tähendab, et algarvud on nagu tellised, millest on ehitatud ülejäänud naturaalarvud.
Tõenäoliselt märkasite, et naturaalarvude reas esinevad algarvud ebaühtlaselt - mõnes seeria osas on neid rohkem, teistes - vähem. Kuid mida edasi liigume mööda arvujadasid, seda haruldasemad on algarvud. Tekib küsimus: kas viimane (suurim) algarv on olemas? Vana-Kreeka matemaatik Euclid (3. sajand eKr) tõestas oma raamatus "Algused", mis oli kaks tuhat aastat matemaatika põhiõpik, et algarve on lõpmata palju, st iga algarvu taga on paarisarv. suurem algarv.
Algarvude leidmiseks tuli sellise meetodi välja teine ​​samaaegne Kreeka matemaatik Eratosthenes. Ta kirjutas üles kõik arvud 1-st mõne arvuni ja seejärel kriipsutas läbi ühiku, mis ei ole alg- ega liitarv, ja seejärel kriipsutas läbi ühe kõik arvud pärast 2 (arvud, mis on 2-kordsed, st 4, 6, 8 jne). Esimene järelejäänud arv pärast 2 oli 3. Seejärel tõmmati pärast kahte maha kõik numbrid pärast 3 (arvud, mis on 3-kordsed, st 6, 9, 12 jne). lõpuks jäid läbi kriipsutamata vaid algarvud.

Veebikalkulaator võimaldab teil kiiresti leida kahe või mis tahes muu arvu suurima ühisjagaja ja väikseima ühiskordse.

Kalkulaator GCD ja NOC leidmiseks

Leidke GCD ja NOC

Leitud GCD ja NOC: 5806

Kuidas kalkulaatorit kasutada

• Sisestage sisestusväljale numbrid
• Ebaõigete märkide sisestamise korral tõstetakse sisestusväli punaselt esile
• vajutage nuppu "Leia GCD ja NOC"

Kuidas numbreid sisestada

• Numbrid sisestatakse eraldatuna tühikute, punktide või komadega
• Sisestatud numbrite pikkus ei ole piiratud, seega ei ole pikkade arvude gcd ja lcm leidmine keeruline

Mis on NOD ja NOK?

Suurim ühine jagaja mitmest arvust on suurim loomulik täisarv, millega kõik algsed arvud jaguvad ilma jäägita. Suurimat ühist jagajat lühendatakse kui GCD.
Vähim ühine kordne mitu arvu on väikseim arv, mis jagub iga algarvuga ilma jäägita. Vähim ühiskordne on lühendatud kui NOC.

Kuidas kontrollida, kas arv jagub teise arvuga ilma jäägita?

Et teada saada, kas üks arv jagub teisega ilma jäägita, võite kasutada mõningaid arvude jaguvuse omadusi. Seejärel saab neid kombineerides kontrollida jaguvust mõnega neist ja nende kombinatsioonidest.

Mõned arvude jaguvuse märgid

1. Arvu jaguvuse märk 2-ga
Et teha kindlaks, kas arv jagub kahega (kas see on paaris), piisab, kui vaadata selle arvu viimast numbrit: kui see on 0, 2, 4, 6 või 8, siis on arv paarisarv, mis tähendab, et see jagub 2-ga.
Näide: määrake, kas arv 34938 jagub 2-ga.
Lahendus: vaata viimast numbrit: 8 tähendab, et arv jagub kahega.

2. Arvu jaguvuse märk 3-ga
Arv jagub 3-ga, kui selle numbrite summa jagub 3-ga. Seega, et teha kindlaks, kas arv jagub 3-ga, peate arvutama numbrite summa ja kontrollima, kas see jagub 3-ga. Isegi kui numbrite summa osutus väga suureks, saate sama protsessi korrata uuesti.
Näide: määrake, kas arv 34938 jagub 3-ga.
Lahendus: loeme numbrite summaks: 3+4+9+3+8 = 27. 27 jagub 3-ga, mis tähendab, et arv jagub kolmega.

3. Arvu jaguvuse märk 5-ga
Arv jagub 5-ga, kui selle viimane number on null või viis.
Näide: määrake, kas arv 34938 jagub 5-ga.
Lahendus: vaata viimast numbrit: 8 tähendab, et arv EI jagu viiega.

4. Arvu jaguvuse märk 9-ga
See märk on väga sarnane kolmega jaguvuse märgiga: arv jagub 9-ga, kui selle numbrite summa jagub 9-ga.
Näide: määrake, kas arv 34938 jagub 9-ga.
Lahendus: arvutame numbrite summa: 3+4+9+3+8 = 27. 27 jagub 9-ga, mis tähendab, et arv jagub üheksaga.

Kuidas leida kahe numbri GCD ja LCM

Kuidas leida kahe numbri GCD

Enamik lihtsal viisil Kahe arvu suurima ühisjagaja arvutamiseks tuleb leida nende arvude kõikvõimalikud jagajad ja valida neist suurim.

Mõelge sellele meetodile, kasutades GCD(28, 36) leidmise näidet:

1. Kombineerime mõlemad arvud: 28 = 1 2 2 7, 36 = 1 2 2 3 3
2. Leiame ühised tegurid, st need, mis on mõlemal arvul: 1, 2 ja 2.
3. Arvutame nende tegurite korrutise: 1 2 2 \u003d 4 - see on arvude 28 ja 36 suurim ühisjagaja.

Kuidas leida kahe numbri LCM-i

Kahe arvu väikseima kordse leidmiseks on kaks levinumat viisi. Esimene võimalus on see, et saate välja kirjutada kahe arvu esimesed kordsed ja seejärel valida nende hulgast sellise arvu, mis on mõlemale arvule ühine ja samal ajal väikseim. Ja teine ​​on leida nende numbrite GCD. Mõelgem lihtsalt sellele.

LCM-i arvutamiseks peate arvutama algarvude korrutise ja seejärel jagama selle varem leitud GCD-ga. Leiame samade numbrite 28 ja 36 jaoks LCM-i:

1. Leidke arvude 28 ja 36 korrutis: 28 36 = 1008
2. gcd(28, 36) on juba teadaolevalt 4
3. LCM(28, 36) = 1008/4 = 252 uM.

GCD ja LCM-i leidmine mitme numbri jaoks

Suurima ühise jagaja võib leida mitme arvu, mitte ainult kahe arvu jaoks. Selleks jagatakse suurimat ühisjagajat otsitavad arvud algteguriteks, seejärel leitakse nende arvude ühiste algtegurite korrutis. Samuti võite mitme numbri GCD leidmiseks kasutada järgmist seost: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

Sarnane seos kehtib ka arvude vähima ühiskordse kohta: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Näide: leidke GCD ja LCM numbrite 12, 32 ja 36 jaoks.

1. Esmalt jagame arvud faktoriseerimiseks: 12 = 1 2 2 3, 32 = 1 2 2 2 2 2, 36 = 1 2 2 3 3.
2. Leiame ühised tegurid: 1, 2 ja 2 .
3. Nende toode annab gcd: 1 2 2 = 4
4. Nüüd leiame LCM-i: selleks leiame esmalt LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
5. Kõigi NOC leidmiseks kolm numbrit, peate leidma gcd(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3, 36 = 1 2 2 3 3, gcd = 1 2 2 3 = 12.
6. LCM(12; 32; 36) = 96 36/12 = 288 .

Matemaatilised avaldised ja ülesanded nõuavad palju lisateadmisi. NOC on üks peamisi, eriti sageli teemas kasutatav teemat õpitakse gümnaasiumis, kusjuures materjalist aru saada pole eriti raske, siis volituste ja korrutustabelit tundval inimesel ei ole seda raske valida. vajalikud numbrid ja leia tulemus.

Definitsioon

Ühiskordne on arv, mille saab korraga täielikult jagada kaheks arvuks (a ja b). Kõige sagedamini saadakse see arv algsete arvude a ja b korrutamisel. Arv peab olema jaguv mõlema arvuga korraga, ilma kõrvalekalleteta.

NOC on aktsepteeritud termin lühike pealkiri, kokku pandud esimestest tähtedest.

Numbri saamise viisid

LCM-i leidmiseks ei sobi alati arvude korrutamise meetod, see sobib palju paremini lihtsate ühe- või kahekohaliste arvude jaoks. On tavaks jagada teguriteks, mida suurem arv, seda rohkem tegureid on.

Näide nr 1

Kõige lihtsama näite puhul võtavad koolid tavaliselt lihtsaid ühe- või kahekohalisi numbreid. Näiteks peate lahendama järgmise ülesande, leidma arvude 7 ja 3 vähim ühiskordne, lahendus on üsna lihtne, korrutage need lihtsalt. Selle tulemusena on number 21, väiksemat numbrit lihtsalt pole.

Näide nr 2

Teine võimalus on palju keerulisem. Antud on numbrid 300 ja 1260, LCM-i leidmine on kohustuslik. Ülesande lahendamiseks eeldatakse järgmisi toiminguid:

Esimese ja teise arvu lagunemine kõige lihtsamateks teguriteks. 300 = 2 2 * 3 * 5 2; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Esimene etapp on lõppenud.

Teine etapp hõlmab tööd juba saadud andmetega. Iga saadud number peab osalema lõpptulemuse arvutamises. Iga teguri puhul võetakse algarvudest suurim arv esinemisi. LCM on tavaline arv, nii et arvude tegureid tuleb selles korrata viimaseni, isegi neid, mis esinevad ühel juhul. Mõlema algarvu koosseisus on arvud 2, 3 ja 5, erineval määral, 7 on ainult ühel juhul.

Lõpptulemuse arvutamiseks peate võrrandisse võtma iga arvu nende suurimas esindatud astmes. Jääb vaid korrutada ja saada vastus õige täitmineÜlesanne jaguneb ilma selgitusteta kaheks etapiks:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOK = 6300.

See on kogu probleem, kui proovite arvutada õige number korrutamise kaudu, siis pole vastus kindlasti õige, kuna 300 * 1260 = 378 000.

Eksam:

6300 / 300 = 21 - tõsi;

6300 / 1260 = 5 on õige.

Tulemuse õigsus määratakse kontrollimise teel - jagades LCM mõlema algarvuga, kui mõlemal juhul on arv täisarv, siis on vastus õige.

Mida tähendab NOC matemaatikas

Nagu teate, pole matemaatikas ainsatki kasutu funktsiooni, see pole erand. Selle arvu levinuim eesmärk on viia murded ühise nimetajani. Mida tavaliselt õpitakse 5.-6 Keskkool. See on lisaks ka kõigi kordiste ühine jagaja, kui sellised tingimused on probleemis. Selline avaldis võib leida mitmekordse mitte ainult kahe arvu, vaid ka palju suurema arvu - kolm, viis jne. Kuidas rohkem numbreid- seda rohkem toiminguid ülesandes, kuid selle keerukus ei suurene.

Näiteks, võttes arvesse numbreid 250, 600 ja 1500, peate leidma nende kogu LCM-i:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - see näide kirjeldab faktoriseerimist üksikasjalikult, ilma taandamata.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Avaldise koostamiseks on vaja mainida kõiki tegureid, antud juhul on antud 2, 5, 3 - kõigi nende arvude jaoks on vaja määrata maksimaalne aste.

Tähelepanu: kõik kordajad tuleb võimalusel täielikult lihtsustada, lagundades ühekohaliste numbriteni.

Eksam:

1) 3000 / 250 = 12 – tõene;

2) 3000 / 600 = 5 – tõene;

3) 3000 / 1500 = 2 on õige.

See meetod ei nõua mingeid trikke ega geniaalse taseme võimeid, kõik on lihtne ja selge.

Teine tee

Matemaatikas on palju seotud, palju saab lahendada kahel või enamal viisil, sama kehtib ka vähima ühiskordse LCM leidmise kohta. Lihtsate kahe- ja ühekohaliste numbrite puhul saab kasutada järgmist meetodit. Koostatakse tabel, kuhu kordaja sisestatakse vertikaalselt, kordaja horisontaalselt ja korrutis näidatakse veeru ristuvates lahtrites. Tabelit saab kajastada rea ​​abil, võetakse arv ja selle arvu täisarvudega korrutamise tulemused kirjutatakse järjestikku 1-st lõpmatuseni, mõnikord piisab 3-5 punktist, allutatakse teine ​​ja järgnevad numbrid. samale arvutusprotsessile. Kõik juhtub seni, kuni leitakse ühiskordaja.

Arvestades numbreid 30, 35, 42, peate leidma LCM-i, mis ühendab kõik numbrid:

1) 30-kordsed: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 jne.

2) 35-kordsed: 70, 105, 140, 175, 210, 245 jne.

3) 42-kordsed: 84, 126, 168, 210, 252 jne.

On märgata, et kõik numbrid on üsna erinevad, ainus ühine number nende hulgas on 210, nii et see on LCM. Selle arvutusega seotud protsesside hulgas on ka suurim ühisjagaja, mis arvutatakse sarnaste põhimõtete järgi ja mida sageli kohtab naaberprobleemides. Erinevus on väike, kuid piisavalt märkimisväärne, LCM hõlmab arvu arvutamist, mis jagub kõigi antud algväärtustega, ja GCM hõlmab arvutamist suurim väärtus millega algsed arvud jaguvad.