Maatriksi ridade asendamist vastavate veergudega nimetatakse. maatriksid

Definitsioon 1. Maatriks A suurusm n on m rea ja n veeru ristkülikukujuline tabel, mis koosneb arvudest või muudest matemaatilistest avaldistest (nimetatakse maatrikselementideks), i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

, või

2. definitsioon. Kaks maatriksit
Ja
nimetatakse sama suurusega võrdne, kui need ühtivad elemendi kaupa, s.t. =,i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n.

Maatriksite abil on lihtne üles kirjutada mõned majanduslikud sõltuvused, näiteks teatud majandussektorite ressursside jaotuse tabelid.

3. definitsioon. Kui maatriksi ridade arv ühtib selle veergude arvuga, st. m = n, siis kutsutakse maatriks ruudu järjekordn, muidu ristkülikukujuline.

4. määratlus. Üleminekut maatriksilt A maatriksile A m, mille ridade ja veergude vahetamine toimub järjestuse säilitamisega, nimetatakse ülevõtmine maatriksid.

Maatriksite tüübid: ruut (suurus 33) -
,

ristkülikukujuline (suurus 25) -
,

diagonaal -
, vallaline -
, null -
,

maatriksirida -
, maatriks-veerg -.

Definitsioon 5. Ruutmaatriksi suurusjärku n samade indeksiga elemente nimetatakse põhidiagonaali elementideks, s.t. need on elemendid:
.

Definitsioon 6. Ruutmaatriksi järgu n elemente nimetatakse sekundaarseteks diagonaalelementideks, kui nende indeksite summa on võrdne n + 1, s.o. need on elemendid: .

1.2. Tehted maatriksitega.

1 0 . summa kaks maatriksit
Ja
ühesuurust maatriksit nimetatakse maatriksiks С = (с ij), mille elemendid on määratud võrdsusega ij = a ij + b ij , (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2 ,3,…,n).

Maatriksi liitmise operatsiooni omadused.

Iga maatriksid A,B,C sama suurusega, on täidetud järgmised võrdsused:

1) A + B = B + A (kommutatiivsus),

2) (A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C (assotsiatiivsus).

2 0 . tööd maatriksid
numbri kohta  nimetatakse maatriksiks
sama suur kui maatriks A ja b ij =  (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…,n).

Maatriksi arvuga korrutamise operatsiooni omadused.

(А) = ()А (korrutamise assotsiatiivsus);

(А+В) = А+В (korrutamise jaotus maatriksi liitmise suhtes);

(+)A = A+A (korrutamise jaotus arvude liitmise suhtes).

Definitsioon 7. Maatriksite lineaarne kombinatsioon
Ja
sama suurusega avaldist nimetatakse kujul A + B, kus  ja  on suvalised arvud.

3 0 . Toode A  Maatriksites A ja B, mille suurus on mn ja nk, nimetatakse maatriksiks C, mille suurus on mk, nii et element ij-ga võrdub i-nda rea ​​elementide korrutistega. maatriksi A ja maatriksi B j-nda veeru, s.o. ij = a i 1 b 1 j +a i 2 b 2 j +…+a ik b kj .

Korrutis AB eksisteerib ainult siis, kui maatriksi A veergude arv on sama kui maatriksi B ridade arv.

Maatrikskorrutise toimimise omadused:

(АВ)С = А(ВС) (assotsiatiivsus);

(А+В)С = АС+ВС (jaotus maatriksi liitmise suhtes);

А(В+С) = АВ+АС (jaotus maatriksi liitmise suhtes);

АВ  ВА (mitte kommutatiivsus).

Definitsioon 8. Maatrikse A ja B, mille puhul AB = BA, nimetatakse pendeldamiseks või permuteerimiseks.

Mis tahes järjestust ruutmaatriksi korrutamine vastava identiteedimaatriksiga ei muuda maatriksit.

Definitsioon 9. Elementaarsed teisendused maatrikseid nimetatakse järgmisteks operatsioonideks:

Vahetage kaks rida (veeru).

Korrutage rea (veeru) iga element nullist erineva arvuga.

Ühe rea (veeru) elementidele teise rea (veeru) vastavate elementide lisamine.

Definitsioon 10. Maatriksist A elementaarteisenduste abil saadud maatriksit B nimetatakse samaväärne(tähistatud BA).

Näide 1.1. Leidke maatriksite 2A–3B lineaarne kombinatsioon, kui

,
.

,
,

.

Näide 1.2. Leidke maatriksite korrutis
, Kui

.

Lahendus: kuna esimese maatriksi veergude arv on sama, mis teise maatriksi ridade arv, siis on maatriksi korrutis olemas. Selle tulemusena saame uue maatriksi
, Kus

Selle tulemusena saame
.

Loeng 2. Determinandid. Teist, kolmandat järku determinantide arvutamine. Kvalifitseerija omadusedn- järjekorras.

Selliste maatriksitega tehakse erinevaid toiminguid: korrutatakse üksteisega, leitakse determinandid jne. Maatriks - erijuhtum massiiv: kui massiivil võib olla suvaline arv mõõtmeid, siis maatriksiks nimetatakse ainult kahemõõtmelist massiivi.

Programmeerimisel nimetatakse maatriksit ka kahemõõtmeliseks massiiviks. Mis tahes massiivi programmis nimetatakse nii, nagu see oleks üks muutuja. Selgitamaks, millist massiivi lahtritest mõeldakse, kasutatakse selle programmis koos muutujaga mainimisel selles sisalduvat lahtri numbrit. Nii kahemõõtmeline maatriks kui ka n-mõõtmeline massiiv programmis võivad sisaldada mitte ainult numbrilist, vaid ka sümboolset, stringi, Boole'i ​​ja muud teavet, kuid kogu massiivi sees alati sama.

Maatriksid on tähistatud suurtähtedega A:MxN, kus A on maatriksi nimi, M on ridade arv maatriksis ja N on veergude arv. Elemendid - vastavad väiketähed koos indeksitega, mis näitavad nende numbrit reas ja veerus a (m, n).

Levinumad maatriksid on ristkülikukujulised, kuigi kauges minevikus pidasid matemaatikud ka kolmnurkseid. Kui maatriksi ridade ja veergude arv on sama, nimetatakse seda ruuduks. Sel juhul on M=N juba maatriksjärjestuse nimi. Maatriksit, millel on ainult üks rida, nimetatakse reaks. Maatriksit, millel on ainult üks veerg, nimetatakse veeruks. Diagonaalmaatriks on ruutmaatriks, milles ainult piki diagonaali asuvad elemendid on nullist erinevad. Kui kõik elemendid on võrdsed ühega, nimetatakse maatriksit identiteediks, kui null - nulliks.

Kui vahetate maatriksi ridu ja veerge, siis see transponeeritakse. Kui kõik elemendid asendada keerukate konjugaatidega, muutub see kompleksseks konjugaatiks. Lisaks on ka teist tüüpi maatrikseid, mis on määratud maatriksielementidele kehtestatud tingimustega. Kuid enamik neist tingimustest kehtib ainult ruudukujuliste kohta.

Seotud videod

Juhend. Sest võrgulahendused peate määrama maatriksavaldise. Teises etapis on vaja selgitada maatriksite mõõtmeid.

Kehtivad tehted: korrutamine (*), liitmine (+), lahutamine (-), maatriksi pöördvõrdeline A^(-1) , astendamine (A^2 , B^3), maatriksi transpositsioon (A^T).
Toimingute loendi tegemiseks kasutage semikooloni (;) eraldajat. Näiteks kolme toimingu tegemiseks:
a) 3A + 4B
b) AB-BA
c) (A-B) -1
tuleb kirjutada järgmiselt: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

Maatriks on ristkülikukujuline arvutabel, millel on m rida ja n veergu, nii et maatriksit saab skemaatiliselt esitada ristkülikuna.
Nullmaatriks (nullmaatriks) nimetatakse maatriksiks, mille kõik elemendid on võrdsed nulliga ja tähistavad 0.
identiteedi maatriks nimetatakse vormi ruutmaatriksiks

Defineerime põhitehted maatriksitega.

Maatriksi lisamine

Näide 6. .
Maatriksi liitmise operatsioon laieneb suvalise arvu terminite korral. Ilmselgelt A+0=A.
Rõhutame veel kord, et lisada saab ainult sama suurusega maatrikseid; erineva suurusega maatriksite puhul ei ole liitmistehte määratletud.

Maatriksi lahutamine

Maatrikskorrutis

Näide 7. Maatriksi andmed Ja . Leidke maatriksid C = A·B ja D = B·A.
Lahendus. Kõigepealt pange tähele, et korrutis A B on olemas, kuna veergude arv A-s võrdub ridade arvuga B-s.

Näide 8. Antud maatriks . Leidke 3A 2–2A.
Lahendus.

.
; .
.
Märgime järgmise kurioosse fakti.
Nagu teate, ei võrdu kahe nullist erineva arvu korrutis nulliga. Maatriksite puhul ei pruugi selline asjaolu aset leida, see tähendab, et nullist erineva maatriksi korrutis võib osutuda võrdseks nullmaatriksiga.

Maatriksit tähistatakse suurte ladina tähtedega ( A, IN, KOOS,...).

Definitsioon 1. Vormi ristkülikukujuline tabel,

koosnevad m read ja n veerge nimetatakse maatriks.

Maatriksi element, i – rea number, j – veeru number.

Maatriksite tüübid:

põhidiagonaali elemendid:

trA=a 11 +a 22 +a 33 +…+a nn .

§2. 2., 3. ja n-nda järgu determinandid

Olgu antud kaks ruutmaatriksit:

Definitsioon 1. Maatriksi teist järku determinant A 1 on arv, mida tähistatakse ∆-ga ja mis on võrdne , Kus

Näide. Arvutage teist järku determinant:

2. definitsioon. Ruutmaatriksi 3. järku determinant A 2 nimetatakse vormi numbriks:

See on üks viis determinandi arvutamiseks.

Näide. Arvutama

3. definitsioon. Kui determinant koosneb n-reast ja n-veerust, siis nimetatakse seda n-ndat järku determinandiks.

Determinantide omadused:

Determinant ei muutu transponeerimise ajal (st kui selles olevaid ridu ja veerge vahetatakse järjekorda säilitades).

Kui determinandis on kaks rida või kaks veergu vahetatud, muudab determinant ainult märki.

Mis tahes rea (veeru) ühisteguri saab determinandi märgist välja võtta.

Kui determinandi mis tahes rea (veeru) kõik elemendid on võrdsed nulliga, siis on determinant võrdne nulliga.

Determinant on null, kui mis tahes kahe rea elemendid on võrdsed või proportsionaalsed.

Determinant ei muutu, kui mis tahes rea (veeru) elementidele liidetakse sama arvuga korrutatud teise rea (veeru) vastavad elemendid.

Näide.

4. määratlus. Nimetatakse determinant, mis on saadud veeru ja rea ​​kustutamisel alaealine vastav element. M ij element a ij .

Definitsioon 5. Algebraline liitmine elementi a ij , nimetatakse väljendiks

§3. Maatriksi toimingud

Lineaarsed operatsioonid

1) Maatriksite lisamisel liidetakse nende samanimelised elemendid.

Maatriksite lahutamisel lahutatakse nende samanimelised elemendid.

Maatriksi korrutamisel arvuga korrutatakse maatriksi iga element selle arvuga:

3.2 Maatrikskorrutamine.

Töö maatriksid A maatriksiks IN on uus maatriks, mille elemendid on võrdsed maatriksi i-nda rea ​​elementide korrutiste summaga A maatriksi j-nda veeru vastavatele elementidele IN. Matrix toode A maatriksiks IN saab leida ainult siis, kui maatriksi veergude arv A võrdub maatriksi ridade arvuga IN. Vastasel juhul on töö võimatu.

Kommentaar:

(ei allu kommutatiivsusele)

§ 4. Pöördmaatriks

Pöördmaatriks eksisteerib ainult ruutmaatriksi jaoks ja maatriks peab olema mitteainsuses.

Definitsioon 1. Maatriks A helistas mitte-mandunud kui selle maatriksi determinant ei ole võrdne nulliga

2. definitsioon. A-1 helistas pöördmaatriks antud mitteainsuse ruutmaatriksi jaoks A, kui selle maatriksi korrutamisel antud maatriksiga mõlemal paremal, siis vasakul saadakse identiteedimaatriks.

Algoritm pöördmaatriksi arvutamiseks

1 viis (kasutades algebralisi liite)

Näide 1:

Pange tähele, et maatriksi elemendid ei saa olla ainult numbrid. Kujutage ette, et kirjeldate raamatuid, mis on teie raamaturiiulil. Las teie riiul on korras ja kõik raamatud seisavad rangelt määratletud kohtades. Tabel, mis sisaldab teie raamatukogu kirjeldust (vastavalt riiulitele ja raamatute järjestusele riiulil), on samuti maatriks. Kuid selline maatriks ei ole numbriline. Veel üks näide. Arvude asemel on erinevad funktsioonid, mida ühendab omavaheline sõltuvus. Saadud tabelit nimetatakse ka maatriksiks. Teisisõnu, Matrix on mis tahes ristkülikukujuline laud, millest koosneb homogeenne elemendid. Siin ja allpool räägime arvudest koosnevatest maatriksitest.

Sulgude asemel kirjutatakse maatriksid nurksulgude või sirgete topeltvertikaalsete joontega.

(2.1*)

2. definitsioon. Kui väljendis(1) m = n, siis nad räägivad ruutmaatriks, ja kui , midagi umbes ristkülikukujuline.

Sõltuvalt m ja n väärtustest on mõned eritüübid maatriksid:

Kõige olulisem omadus ruut maatriks on tema determinant või determinant, mis koosneb maatriksi elementidest ja on tähistatud

Ilmselgelt DE = 1; .

3. definitsioon. Kui , siis maatriks A helistas mitte-mandunud või pole eriline.

4. määratlus. Kui detA = 0, siis maatriks A helistas degenereerunud või eriline.

Definitsioon 5. Kaks maatriksit A Ja B helistas võrdne ja kirjutada A=B kui neil on samad mõõtmed ja neile vastavad elemendid on võrdsed, s.t..

Näiteks maatriksid ja on võrdsed, sest need on võrdse suurusega ja ühe maatriksi iga element on võrdne teise maatriksi vastava elemendiga. Kuid maatriksiid ei saa nimetada võrdseteks, kuigi mõlema maatriksi determinandid on võrdsed ja maatriksite mõõtmed on samad, kuid kõik elemendid samades kohtades pole võrdsed. Maatriksid on erinevad, kuna neil on erinevad suurused. Esimene maatriks on 2x3 ja teine ​​3x2. Kuigi elementide arv on sama - 6 ja elemendid ise on samad 1, 2, 3, 4, 5, 6, kuid need seisavad erinevad kohad igas maatriksis. Kuid maatriksid ja on 5. definitsiooni kohaselt võrdsed.

Definitsioon 6. Kui fikseerime teatud arvu maatriksi veerge A ja sama arv selle ridu, siis moodustuvad määratud veergude ja ridade ristumiskohas olevad elemendid ruutmaatriks n- järjekorras, mille määraja helistas alaealine k- järjekorra maatriks A.

Näide. Kirjutage välja kolm maatriksi teise järgu molli