Miten logaritmit lasketaan yhteen. Logaritmien ominaisuuksia ja esimerkkejä niiden ratkaisuista

Yksityisyytesi säilyttäminen on meille tärkeää. Tästä syystä olemme kehittäneet tietosuojakäytännön, joka kuvaa kuinka käytämme ja säilytämme tietojasi. Tutustu tietosuojakäytäntöihimme ja kerro meille, jos sinulla on kysyttävää.

Henkilötietojen kerääminen ja käyttö

Henkilötiedoilla tarkoitetaan tietoja, joiden avulla voidaan tunnistaa tietty henkilö tai ottaa häneen yhteyttä.

Sinua voidaan pyytää antamaan henkilötietosi milloin tahansa, kun otat meihin yhteyttä.

Alla on esimerkkejä siitä, minkä tyyppisistä henkilötiedoista saatamme kerätä ja kuinka voimme käyttää tällaisia ​​tietoja.

Mitä henkilötietoja keräämme:

• Kun lähetät hakemuksen sivustolla, voimme kerätä erilaisia ​​tietoja, kuten nimesi, puhelinnumerosi, osoitteesi Sähköposti jne.

Kuinka käytämme henkilötietojasi:

• Meidän keräämä henkilökohtaisia ​​tietoja avulla voimme ottaa sinuun yhteyttä ja tiedottaa ainutlaatuisista tarjouksista, kampanjoista ja muista tapahtumista ja tulevista tapahtumista.
• Ajoittain voimme käyttää henkilötietojasi tärkeiden ilmoitusten ja viestien lähettämiseen.
• Saatamme myös käyttää henkilötietoja sisäisiin tarkoituksiin, kuten auditointiin, data-analyysiin ja erilaisiin tutkimuksiin parantaaksemme tarjoamiamme palveluita ja tarjotaksemme sinulle palveluitamme koskevia suosituksia.
• Jos osallistut arvontaan, kilpailuun tai vastaavaan promootioon, voimme käyttää antamiasi tietoja tällaisten ohjelmien hallinnointiin.

Tietojen luovuttaminen kolmansille osapuolille

Emme luovuta sinulta saatuja tietoja kolmansille osapuolille.

Poikkeukset:

• Tarvittaessa - lain, oikeudellisen menettelyn mukaisesti, in oikeudenkäyntiä ja/tai Venäjän federaation julkisten pyyntöjen tai valtion virastojen pyyntöjen perusteella - paljasta henkilötietosi. Saatamme myös paljastaa tietoja sinusta, jos katsomme, että tällainen paljastaminen on tarpeellista tai tarkoituksenmukaista turvallisuus-, lainvalvonta- tai muihin yleisiin tarkoituksiin liittyvistä syistä.
• Uudelleenjärjestelyn, sulautumisen tai myynnin yhteydessä voimme siirtää keräämämme henkilötiedot sovellettavalle seuraajalle kolmannelle osapuolelle.

Henkilötietojen suojaaminen

Ryhdymme varotoimiin - mukaan lukien hallinnolliset, tekniset ja fyysiset - henkilötietojesi suojaamiseksi katoamiselta, varkaudelta ja väärinkäytöltä sekä luvattomalta käytöltä, paljastamiselta, muuttamiselta ja tuhoutumiselta.

Yksityisyytesi kunnioittaminen yritystasolla

Varmistaaksemme, että henkilötietosi ovat turvassa, välitämme tietosuoja- ja turvallisuusstandardit työntekijöillemme ja noudatamme tiukasti tietosuojakäytäntöjä.

Luvun logaritmi N perustuen A kutsutaan eksponenttiksi X , johon sinun on rakennettava A saadaksesi numeron N

Edellyttäen että
,
,

Logaritmin määritelmästä seuraa, että
, eli
- tämä yhtälö on logaritmisen perusidentiteetti.

Logaritmeja 10 kantaan kutsutaan desimaalilogaritmeiksi. Sijasta
kirjoittaa
.

Logaritmit kantaan e kutsutaan luonnollisiksi ja ne on nimetty
.

Logaritmien perusominaisuudet.

Yhden logaritmi on yhtä suuri kuin nolla mille tahansa kantalle.

Tuloksen logaritmi on yhtä suuri kuin tekijöiden logaritmien summa.

3) Osamäärän logaritmi on yhtä suuri kuin logaritmien erotus

Tekijä
kutsutaan siirtymämoduuliksi logaritmista kantaan a logaritmeihin pohjassa b .

Ominaisuuksia 2-5 käyttämällä on usein mahdollista pelkistää kompleksisen lausekkeen logaritmi yksinkertaisten logaritmien aritmeettisten operaatioiden tulokseksi.

Esimerkiksi,

Tällaisia ​​logaritmin muunnoksia kutsutaan logaritmeiksi. Logaritmille käänteisiä muunnoksia kutsutaan potentioinniksi.

Luku 2. Korkeamman matematiikan elementit.

1. Rajoitukset

Toiminnon raja
on äärellinen luku A, jos, as xx 0 jokaiselle ennalta määrätylle
, on sellainen numero
että heti kun
, Tuo
.

Funktio, jolla on raja, eroaa siitä äärettömän pienellä määrällä:
, missä- b.m.v., ts.
.

Esimerkki. Harkitse toimintoa
.

Kun yritetään
, toiminto y pyrkii nollaan:

1.1. Peruslauseita rajoista.

Vakioarvon raja on yhtä suuri kuin tämä vakioarvo

.

Äärillisen määrän funktioiden summan (eron) raja on yhtä suuri kuin näiden funktioiden rajojen summa (ero).

Äärillisen määrän funktioiden tulon raja on yhtä suuri kuin näiden funktioiden rajojen tulo.

Kahden funktion osamäärän raja on yhtä suuri kuin näiden funktioiden rajojen osamäärä, jos nimittäjän raja ei ole nolla.

Ihanat rajat

,
, Missä

1.2. Esimerkkejä rajan laskemisesta

Kaikkia rajoja ei kuitenkaan lasketa niin helposti. Useimmiten rajan laskeminen johtaa tyypin epävarmuuden paljastamiseen: tai .

.

2. Funktion johdannainen

Tehdään funktio
, jatkuva segmentillä
.

Perustelu sai jonkin verran nousua
. Sitten funktio saa lisäyksen
.

Argumentin arvo vastaa funktion arvoa
.

Argumentin arvo
vastaa funktion arvoa.

Siksi,.

Etsitään tämän suhteen raja kohdasta
. Jos tämä raja on olemassa, sitä kutsutaan annetun funktion derivaatiksi.

Määritelmä 3 Tietyn funktion derivaatta
argumentin perusteella kutsutaan funktion lisäyksen ja argumentin lisäyksen suhteen rajaksi, kun argumentin lisäys mielivaltaisesti pyrkii nollaan.

Johdannainen funktiosta
voidaan nimetä seuraavasti:

; ; ; .

Määritelmä 4 Kutsutaan funktion derivaatan löytämistä erilaistuminen.

2.1. Johdannan mekaaninen merkitys.

Tarkastellaan jonkin jäykän kappaleen tai materiaalipisteen suoraviivaista liikettä.

Antaa jossain vaiheessa liikkuva kohta
oli etäällä lähtöasennosta
.

Jonkin ajan kuluttua
hän siirtyi kauemmaksi
. Asenne =- keskinopeus aineellinen kohta
. Etsitään tämän suhteen raja ottaen se huomioon
.

Siksi määritelmä hetkellinen nopeus aineellisen pisteen liike laskee polun derivaatan löytämiseen ajan suhteen.

2.2. Geometrinen merkitys johdannainen

Otetaan graafisesti määritelty funktio
.

Riisi. 1. Derivaatan geometrinen merkitys

Jos
, sitten osoita
, liikkuu käyrää pitkin lähestyen pistettä
.

Siten
, eli argumentin tietyn arvon derivaatan arvo numeerisesti yhtä suuri kuin tangentin kulman tangentti, jonka tangentti muodostaa tietyssä pisteessä akselin positiivisen suunnan kanssa
.

2.3. Taulukko erottelun peruskaavoista.

Virtatoiminto

Eksponentti funktio

Logaritminen funktio

Trigonometrinen funktio

Käänteinen trigonometrinen funktio

2.4. Erottamisen säännöt.

Johdannainen

Toimintojen summan (eron) derivaatta

Kahden funktion tulon johdannainen

Kahden funktion osamäärän derivaatta

2.5. Monimutkaisen funktion johdannainen.

Olkoon funktio annettu
siten, että se voidaan esittää muodossa

Ja
, jossa muuttuja on siis väliargumentti

Kompleksifunktion derivaatta on yhtä suuri kuin annetun funktion derivaatan tulo väliargumentin suhteen ja väliargumentin derivaatta x:n suhteen.

Esimerkki 1.

Esimerkki 2.

3. Differentiaalitoiminto.

Anna olla
, erottuu tietyllä aikavälillä
Anna olla klo tällä funktiolla on derivaatta

,

sitten voimme kirjoittaa

(1),

Missä - äärettömän pieni määrä,

mistä lähtien

Kerrotaan kaikki yhtäläisyyden ehdot (1) luvulla
meillä on:

Missä
- b.m.v. ylempi määräys.

Suuruus
kutsutaan funktion differentiaaliksi
ja on nimetty

.

3.1. Differentiaalin geometrinen arvo.

Olkoon funktio annettu
.

Kuva 2. Differentiaalin geometrinen merkitys.

.

Ilmeisesti funktion ero
on yhtä suuri kuin tangentin ordinaatin lisäys tietyssä pisteessä.

3.2. Johdannaiset ja differentiaalit eri arvoista.

Jos siellä
, Sitten
kutsutaan ensimmäiseksi johdannaiseksi.

Ensimmäisen derivaatan derivaatta kutsutaan toisen kertaluvun derivaataksi ja se kirjoitetaan
.

Johdannainen funktion n:nnestä kertaluvusta
kutsutaan (n-1) kertaluvun derivaataksi ja kirjoitetaan:

.

Funktion differentiaalin differentiaalia kutsutaan toisen asteen differentiaaliksi tai toisen asteen differentiaaliksi.

.

.

3.3 Biologisten ongelmien ratkaiseminen eriyttämisen avulla.

Tehtävä 1. Tutkimukset ovat osoittaneet, että mikro-organismipesäkkeen kasvu noudattaa lakia
, Missä N – mikro-organismien lukumäärä (tuhansina), t – aika (päiviä).

b) Kasvaako vai väheneekö siirtokunnan väestö tänä aikana?

Vastaus. Siirtokunnan koko kasvaa.

Tehtävä 2. Järven vettä testataan määräajoin patogeenisten bakteerien pitoisuuden seuraamiseksi. Kautta t päivää testauksen jälkeen bakteeripitoisuus määritetään suhteella

.

Milloin järvessä on minimaalinen bakteeripitoisuus ja voidaanko siinä uida?

Ratkaisu: Funktio saavuttaa max tai min, kun sen derivaatta on nolla.

,

Määritetään maksimi- tai minimiarvo 6 päivän kuluttua. Otetaan tätä varten toinen derivaatta.

Vastaus: 6 päivän kuluttua bakteeripitoisuus on pieni.

1. Tarkista, onko logaritmimerkin alla negatiivisia lukuja vai yksi. Tämä menetelmä sovelletaan muodon ilmauksiin log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))). Se ei kuitenkaan sovellu joihinkin erikoistapauksiin:

   • Logaritmi negatiivinen numero ei määrätty millään perusteella (esim. log ⁡ (− 3) (\displaystyle \log(-3)) tai log 4 ⁡ (− 5) (\displaystyle \log _(4) (-5))). Kirjoita tässä tapauksessa "ei ratkaisua".
   • Nollan logaritmi mihin tahansa kantaan on myös määrittelemätön. Jos jää kiinni ln ⁡ (0) (\näyttötyyli \ln(0)), kirjoita "ei ratkaisua".
   • Yhden logaritmi mihin tahansa kantaan ( log ⁡ (1) (\displaystyle \log(1))) on aina nolla, koska x 0 = 1 (\displaystyle x^(0)=1) kaikille arvoille x. Kirjoita 1 tämän logaritmin sijaan äläkä käytä alla olevaa menetelmää.
   • Jos logaritmeilla on eri syistä, Esimerkiksi l o g 3 (x) l o g 4 (a) (\displaystyle (\frac (log_(3)(x))(log_(4)(a)))), eikä niitä pelkistetä kokonaisluvuiksi, lausekkeen arvoa ei löydy manuaalisesti.

2. Muunna lauseke yhdeksi logaritmiksi. Jos lauseke ei ole jokin yllä olevista Erikoistilanteet, se voidaan esittää yhtenä logaritmina. Käytä tähän seuraavaa kaavaa: log b ⁡ (x) log b ⁡ (a) = log a ⁡ (x) (\displaystyle (\frac (\log _(b)(x))(\log _(b)(a)))=\ log_(a)(x)).

   • Esimerkki 1: Harkitse lauseketta log ⁡ 16 log ⁡ 2 (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2))).
     Esitetään ensin lauseke yhtenä logaritmina käyttämällä yllä olevaa kaavaa: log ⁡ 16 log ⁡ 2 = log 2 ⁡ (16) (\displaystyle (\frac (\log (16))(\log (2)))=\log _(2)(16)).
   • Tämä kaava logaritmin "kannan korvaamiseksi" on johdettu logaritmien perusominaisuuksista.

3. Jos mahdollista, arvioi lausekkeen arvo manuaalisesti. Löytää log a ⁡ (x) (\displaystyle \log _(a)(x)), kuvittele ilmaus " a? = x (\displaystyle a^(?)=x)", eli kysy seuraava kysymys: "Mihin valtaan sinun tulisi nostaa a, Saada haltuunsa x?. Tähän kysymykseen vastaaminen saattaa vaatia laskimen, mutta jos olet onnekas, voit löytää sen manuaalisesti.

   • Esimerkki 1 (jatkuu): Kirjoita uudelleen muotoon 2? = 16 (\displaystyle 2^(?)=16). Sinun on selvitettävä, mikä numero tulee olla "?"-merkin tilalla. Tämä voidaan tehdä yrityksen ja erehdyksen avulla:
     2 2 = 2 ∗ 2 = 4 (\näyttötyyli 2^(2)=2*2=4)
     2 3 = 4 ∗ 2 = 8 (\näyttötyyli 2^(3)=4*2=8)
     2 4 = 8 ∗ 2 = 16 (\näyttötyyli 2^(4)=8*2=16)
     Joten etsimämme numero on 4: log 2 ⁡ (16) (\displaystyle \log _(2)(16)) = 4 .

4. Jätä vastauksesi logaritmisessa muodossa, jos et voi yksinkertaistaa sitä. Monia logaritmeja on erittäin vaikea laskea käsin. Tässä tapauksessa tarvitset laskimen saadaksesi tarkan vastauksen. Jos kuitenkin ratkaiset tehtävää tunnilla, opettaja on todennäköisesti tyytyväinen vastaukseen logaritmisessa muodossa. Alla käsiteltyä menetelmää käytetään monimutkaisemman esimerkin ratkaisemiseen:

   • esimerkki 2: mikä on yhtä suuri log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7))))?
   • Muunnetaan tämä lauseke yhdeksi logaritmiksi: log 3 ⁡ (58) log 3 ⁡ (7) = log 7 ⁡ (58) (\displaystyle (\frac (\log _(3)(58))(\log _(3)(7)))=\ loki_(7)(58)). Huomaa, että molemmille logaritmille yhteinen kanta 3 katoaa; tämä on totta mistä tahansa syystä.
   • Kirjoitetaan lauseke muotoon uudelleen 7? = 58 (\displaystyle 7^(?)=58) ja yritetään löytää arvo?:
     7 2 = 7 ∗ 7 = 49 (\näyttötyyli 7^(2)=7*7=49)
     7 3 = 49 ∗ 7 = 343 (\näyttötyyli 7^(3) = 49*7 = 343)
     Koska 58 on näiden kahden luvun välissä, sitä ei ilmaista kokonaislukuna.
   • Jätämme vastauksen logaritmiseen muotoon: log 7 ⁡ (58) (\displaystyle \log _(7) (58)).

Ohjeet

Kirjoita annettu logaritminen lauseke. Jos lauseke käyttää logaritmia 10, sen merkintätapa lyhennetään ja näyttää tältä: lg b on desimaalilogaritmi. Jos logaritmin kantana on luku e, kirjoita lauseke: ln b – luonnollinen logaritmi. Ymmärretään, että minkä tahansa tulos on potenssi, johon perusluku on nostettava luvun b saamiseksi.

Kun etsit kahden funktion summaa, sinun tarvitsee vain erottaa ne yksitellen ja laskea tulokset yhteen: (u+v)" = u"+v";

Kun löydetään kahden funktion tulon derivaatta, on välttämätöntä kertoa ensimmäisen funktion derivaatta toisella ja lisätä toisen funktion derivaatta kerrottuna ensimmäisellä funktiolla: (u*v)" = u"*v +v"*u;

Kahden funktion osamäärän derivaatan löytämiseksi on vähennettävä osingon derivaatan tulosta kerrottuna jakajafunktiolla jakajan derivaatan tulo kerrottuna osingon funktiolla ja jaettava kaikki tämä jakajafunktiolla neliöitynä. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Jos annetaan monimutkainen toiminto, niin on tarpeen kertoa derivaatta sisäinen toiminto ja ulkoisen johdannainen. Olkoon y=u(v(x)), sitten y"(x)=y"(u)*v"(x).

Yllä saatujen tulosten avulla voit erottaa melkein minkä tahansa toiminnon. Katsotaanpa siis muutamia esimerkkejä:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Ongelmia liittyy myös derivaatan laskemiseen pisteessä. Olkoon funktio y=e^(x^2+6x+5) annettu, pitää löytää funktion arvo pisteestä x=1.
1) Etsi funktion derivaatta: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Laske funktion arvo in annettu piste y"(1)=8*e^0=8

Video aiheesta

Hyödyllinen neuvo

Opi alkeisjohdannaisten taulukko. Tämä säästää huomattavasti aikaa.

Lähteet:

• vakion derivaatta

Joten mitä eroa on irrationaalisen yhtälön ja rationaalisen yhtälön välillä? Jos tuntematon muuttuja on merkin alla neliöjuuri, yhtälöä pidetään irrationaalisena.

Ohjeet

Päämenetelmä tällaisten yhtälöiden ratkaisemiseksi on menetelmä molempien puolten rakentamiseksi yhtälöt neliöön. Kuitenkin. Tämä on luonnollista, ensimmäinen asia, joka sinun on tehtävä, on päästä eroon merkistä. Tämä menetelmä ei ole teknisesti vaikea, mutta joskus se voi aiheuttaa ongelmia. Esimerkiksi yhtälö on v(2x-5)=v(4x-7). Neliöimällä molemmat puolet saat 2x-5=4x-7. Tällaisen yhtälön ratkaiseminen ei ole vaikeaa; x=1. Mutta numeroa 1 ei anneta yhtälöt. Miksi? Korvaa yhtälössä yksi x:n arvon sijaan. Ja oikealla ja vasemmalla puolella on lausekkeita, joissa ei ole järkeä, eli. Tämä arvo ei kelpaa neliöjuurelle. Siksi 1 on ulkopuolinen juuri, ja siksi tällä yhtälöllä ei ole juuria.

Joten irrationaalinen yhtälö ratkaistaan ​​käyttämällä menetelmää neliöimällä sen molemmat puolet. Ja yhtälön ratkaisemisen jälkeen on tarpeen leikata pois vieraat juuret. Voit tehdä tämän korvaamalla löydetyt juuret alkuperäiseen yhtälöön.

Harkitse toista.
2х+vх-3=0
Tietenkin tämä yhtälö voidaan ratkaista käyttämällä samaa yhtälöä kuin edellinen. Siirrä yhdisteitä yhtälöt, joilla ei ole neliöjuurta, oikealle puolelle ja käytä sitten neliöintimenetelmää. ratkaise tuloksena oleva rationaalinen yhtälö ja juuret. Mutta myös toinen, tyylikkäämpi. Syötä uusi muuttuja; vх=y. Vastaavasti saat yhtälön muodossa 2y2+y-3=0. Eli tavallista toisen asteen yhtälö. Etsi sen juuret; y1 = 1 ja y2 = -3/2. Seuraavaksi ratkaise kaksi yhtälöt vх=1; vх=-3/2. Toisella yhtälöllä ei ole juuria; ensimmäisestä saamme selville, että x=1. Älä unohda tarkistaa juuria.

Identiteettien ratkaiseminen on melko yksinkertaista. Tätä varten sinun on tehtävä identiteetin muunnoksia kunnes tavoite saavutetaan. Siten esitetty ongelma ratkaistaan ​​yksinkertaisten aritmeettisten operaatioiden avulla.

Tarvitset

• - paperi;
• - kynä.

Ohjeet

Yksinkertaisimpia tällaisista muunnoksista ovat algebralliset lyhennetty kertolasku (kuten summan neliö (ero), neliöiden erotus, summa (ero), summan kuutio (ero)). Lisäksi on monia ja trigonometriset kaavat, jotka ovat pohjimmiltaan samoja identiteettejä.

Kahden termin summan neliö on todellakin yhtä suuri kuin ensimmäisen neliö plus kaksi kertaa ensimmäisen tulo toisella ja plus toisen neliö, eli (a+b)^2= (a+ b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Yksinkertaistaa molemmat

Ratkaisun yleiset periaatteet

Muuttujan korvausmenetelmä

Toisen tyyppisten integraalien ratkaiseminen

Integrointirajojen korvaaminen

Kun yhteiskunta kehittyi ja tuotanto monimutkaisi, myös matematiikka kehittyi. Liikkeet yksinkertaisesta monimutkaiseen. Tavallisesta kirjanpidosta, jossa käytetään yhteen- ja vähennysmenetelmää, niiden toistuvalla toistolla pääsimme kertomisen ja jakolaskun käsitteeseen. Toistuvan kertolaskuoperaation vähentämisestä tuli eksponentioimisen käsite. Intialainen matemaatikko Varasena laati ensimmäiset taulukot lukujen riippuvuudesta kantaan ja eksponentioluvusta 800-luvulla. Niistä voit laskea logaritmien esiintymisajan.

Historiallinen sketsi

Euroopan elpyminen 1500-luvulla vauhditti myös mekaniikan kehitystä. T vaati paljon laskentaa liittyvät moninumeroisten lukujen kerto- ja jakolaskuihin. Vanhat pöydät olivat erittäin hyödyllisiä. He sallivat vaihdon monimutkaiset toiminnot yksinkertaisempiin - yhteen- ja vähennyslasku. Iso askel eteenpäin oli matemaatikon Michael Stiefelin vuonna 1544 julkaistu työ, jossa hän toteutti monien matemaatikoiden ajatuksen. Tämä mahdollisti taulukoiden käytön lomakkeessa ei vain asteiden osalta alkuluvut, mutta myös mielivaltaisille rationaalisille.

Vuonna 1614 skotti John Napier kehitti näitä ajatuksia ja otti ensimmäisen kerran käyttöön uuden termin "luvun logaritmi". Sinien ja kosinien logaritmien sekä tangenttien laskemiseen tehtiin uusia kompleksisia taulukoita. Tämä vähensi suuresti tähtitieteilijöiden työtä.

Uusia taulukoita alkoi ilmestyä, joita tutkijat käyttivät menestyksekkäästi kolmen vuosisadan ajan. Kului paljon aikaa, ennen kuin uusi algebran operaatio sai lopullisen muotonsa. Logaritmin määritelmä annettiin ja sen ominaisuuksia tutkittiin.

Vasta 1900-luvulla, laskimen ja tietokoneen tultua käyttöön, ihmiskunta hylkäsi muinaiset taulukot, jotka olivat toimineet menestyksekkäästi läpi 1200-luvun.

Nykyään kutsumme b:n logaritmia perustaa a lukua x, joka on a:n potenssi tehdä b. Tämä kirjoitetaan kaavana: x = log a(b).

Esimerkiksi log 3(9) olisi yhtä suuri kuin 2. Tämä on ilmeistä, jos noudatat määritelmää. Jos korotamme 3:n potenssiin 2, saamme 9.

Näin ollen muotoiltu määritelmä asettaa vain yhden rajoituksen: lukujen a ja b on oltava todellisia.

Logaritmien tyypit

Klassista määritelmää kutsutaan todelliseksi logaritmiksi ja se on itse asiassa yhtälön a x = b ratkaisu. Vaihtoehto a = 1 on rajallinen eikä kiinnosta. Huomio: 1 mille tahansa potenssille on yhtä suuri kuin 1.

Logaritmin todellinen arvo määritellään vain, kun kanta ja argumentti ovat suurempia kuin 0 ja kantaluku ei saa olla yhtä suuri kuin 1.

Erityinen paikka matematiikan alalla pelaa logaritmeja, jotka nimetään niiden pohjan koon mukaan:

Säännöt ja rajoitukset

Logaritmien perusominaisuus on sääntö: tulon logaritmi on yhtä suuri kuin logaritminen summa. log abp = log a(b) + log a(p).

Tämän lausekkeen muunnelmana tulee olemaan: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), osamääräfunktio on yhtä suuri kuin funktioiden erotus.

Kahdesta edellisestä säännöstä on helppo nähdä, että: log a(b p) = p * log a(b).

Muita ominaisuuksia ovat:

Kommentti. Ei tarvitse tehdä yleistä virhettä - summan logaritmi ei ole sama kuin logaritmien summa.

Useiden vuosisatojen ajan logaritmin löytäminen oli melko aikaa vievä tehtävä. Matemaatikot käyttivät polynomilaajentumisen logaritmisen teorian tunnettua kaavaa:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), missä n - luonnollinen luku suurempi kuin 1, mikä määrittää laskennan tarkkuuden.

Logaritmit muiden kantojen kanssa laskettiin käyttämällä lausetta siirtymisestä emäksestä toiseen ja tuotteen logaritmin ominaisuuteen.

Koska tämä menetelmä on erittäin työvoimavaltainen ja kun ratkaistaan ​​käytännön ongelmia vaikea toteuttaa, käytimme valmiiksi laadittuja logaritmitaulukoita, mikä nopeuttai huomattavasti kaikkea työtä.

Joissakin tapauksissa käytettiin erityisesti koottuja logaritmien kuvaajia, jotka antoivat vähemmän tarkkuutta, mutta nopeuttavat merkittävästi halutun arvon hakua. Usean pisteen päälle muodostettu funktion y = log a(x) käyrä mahdollistaa funktion arvon löytämisen missä tahansa muussa pisteessä säännöllisen viivaimen avulla. Insinöörit pitkä aika Näihin tarkoituksiin käytettiin niin kutsuttua graafista paperia.

1600-luvulla ilmestyivät ensimmäiset analogiset apulaskentaolosuhteet, jotka 1800-luvulla sai viimeistellyn ilmeen. Menestynein laite oli nimeltään slidesääntö. Laitteen yksinkertaisuudesta huolimatta sen ulkonäkö nopeuttaa merkittävästi kaikkien teknisten laskelmien prosessia, ja tätä on vaikea yliarvioida. Tällä hetkellä harvat ihmiset tuntevat tämän laitteen.

Laskimien ja tietokoneiden tulo teki muiden laitteiden käytöstä turhaa.

Yhtälöt ja epäyhtälöt

Erilaisten yhtälöiden ja epäyhtälöiden ratkaisemiseen logaritmeilla käytetään seuraavia kaavoja:

• Siirtyminen tukikohdasta toiseen: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Edellisen vaihtoehdon seurauksena: log a(b) = 1 / log b(a).

Eriarvoisuuksien ratkaisemiseksi on hyödyllistä tietää:

• Logaritmin arvo on positiivinen vain, jos kanta ja argumentti ovat molemmat suurempia tai pienempiä kuin yksi; jos ainakin yksi ehto rikotaan, logaritmiarvo on negatiivinen.
• Jos logaritmifunktiota sovelletaan epäyhtälön oikealle ja vasemmalle puolelle ja logaritmin kanta on suurempi kuin yksi, niin epäyhtälön etumerkki säilyy; muuten se muuttuu.

Esimerkki ongelmia

Tarkastellaan useita logaritmien ja niiden ominaisuuksien käyttövaihtoehtoja. Esimerkkejä yhtälöiden ratkaisemisesta:

Harkitse vaihtoehtoa sijoittaa logaritmi potenssiin:

• Tehtävä 3. Laske 25^log 5(3). Ratkaisu: tehtävän olosuhteissa merkintä on samanlainen kuin seuraava (5^2)^log5(3) tai 5^(2 * log 5(3)). Kirjoitetaan se toisin: 5^log 5(3*2), tai luvun neliö funktion argumenttina voidaan kirjoittaa itse funktion neliöksi (5^log 5(3))^2. Käyttämällä logaritmien ominaisuuksia tämä lauseke on yhtä suuri kuin 3^2. Vastaus: laskennan tuloksena saamme 9.

Käytännöllinen käyttö

Koska se on puhtaasti matemaattinen työkalu, se näyttää kaukana oikea elämä jonka logaritmi yhtäkkiä sai hyvin tärkeä kuvaamaan esineitä todellista maailmaa. On vaikea löytää tiedettä, jossa sitä ei käytetä. Tämä ei koske pelkästään luonnollisia, vaan myös humanitaarisia tiedonaloja.

Logaritmiset riippuvuudet

Tässä on esimerkkejä numeerisista riippuvuuksista:

Mekaniikka ja fysiikka

Historiallisesti mekaniikka ja fysiikka ovat aina kehittyneet käyttämällä matemaattisia menetelmiä tutkimusta ja samalla toimi kannustimena matematiikan, myös logaritmien, kehittämiselle. Useimpien fysiikan lakien teoria on kirjoitettu matematiikan kielellä. Annamme vain kaksi esimerkkiä fysikaalisten lakien kuvaamisesta logaritmin avulla.

Raketin nopeuden kaltaisen monimutkaisen suuren laskentaongelma voidaan ratkaista käyttämällä Tsiolkovsky-kaavaa, joka loi perustan avaruustutkimuksen teorialle:

V = I * ln (M1/M2), missä

• V on lentokoneen lopullinen nopeus.
• I – moottorin erityinen impulssi.
• M 1 – raketin alkumassa.
• M 2 – lopullinen massa.

Toinen tärkeä esimerkki- Tätä käytetään erään toisen suuren tiedemiehen Max Planckin kaavassa, joka palvelee arvioimista tasapainotila termodynamiikassa.

S = k * ln (Ω), missä

• S – termodynaaminen ominaisuus.
• k – Boltzmannin vakio.
• Ω on eri tilojen tilastollinen paino.

Kemia

Vähemmän ilmeistä on logaritmien suhteen sisältävien kaavojen käyttö kemiassa. Otetaan vain kaksi esimerkkiä:

• Nernst-yhtälö, väliaineen redox-potentiaalin ehto suhteessa aineiden aktiivisuuteen ja tasapainovakioon.
• Sellaisten vakioiden kuten autolyysiindeksin ja liuoksen happamuuden laskentaa ei myöskään voida tehdä ilman toimintoamme.

Psykologia ja biologia

Eikä ole ollenkaan selvää, mitä psykologialla on tekemistä sen kanssa. Osoittautuu, että tämä funktio kuvaa hyvin tunteen voimakkuutta ärsykkeen intensiteetin arvon käänteisenä suhteena alemman intensiteetin arvoon.

Yllä olevien esimerkkien jälkeen ei ole enää yllättävää, että logaritmien aihetta käytetään laajasti biologiassa. Logaritmisia spiraaleja vastaavista biologisista muodoista voitaisiin kirjoittaa kokonaisia ​​niteitä.

Muut alueet

Näyttää siltä, ​​​​että maailman olemassaolo on mahdotonta ilman yhteyttä tähän tehtävään, ja se hallitsee kaikkia lakeja. Varsinkin kun luonnonlait liittyvät asiaan geometrinen eteneminen. Kannattaa kääntyä MatProfin nettisivuille, ja tällaisia ​​esimerkkejä on paljon seuraavilla toiminta-alueilla:

Lista voi olla loputon. Kun olet oppinut tämän toiminnon perusperiaatteet, voit sukeltaa äärettömän viisauden maailmaan.