Etsi käänteismatriisin alkio. Käänteismatriisin määritelmän olemassaolo ja ainutlaatuisuus

Jatketaan keskustelua toiminnoista matriisien kanssa. Nimittäin tämän luennon opiskelun aikana opit löytämään käänteismatriisin. Oppia. Vaikka matematiikka on vaikeaa.

Mikä on käänteimatriisi? Tässä voidaan tehdä analogia käänteislukujen kanssa: harkitse esimerkiksi optimistista lukua 5 ja sen käänteislukua . Näiden lukujen tulo on yhtä suuri kuin yksi: . Kaikki on samanlaista matriisien kanssa! Matriisin ja sen käänteismatriisin tulo on yhtä suuri kuin - identiteettimatriisi, joka on numeerisen yksikön matriisianalogi. Kuitenkin ensin asiat ensin – ratkaistaan ​​ensin tärkeä käytännön kysymys, nimittäin, opimme löytämään tämän hyvin käänteisen matriisin.

Mitä sinun tulee tietää ja pystyä tekemään löytääksesi käänteismatriisin? Sinun on voitava päättää karsintoja. Sinun täytyy ymmärtää, mikä se on matriisi ja pystyä suorittamaan joitain toimintoja heidän kanssaan.

Käänteimatriisin löytämiseen on kaksi päämenetelmää:
käyttämällä algebralliset lisäykset Ja käyttämällä alkeismuunnoksia.

Tänään tutkimme ensimmäistä, yksinkertaisempaa menetelmää.

Aloitetaan kamalimmista ja käsittämättömimmistä. Harkitsemme neliö matriisi. Käänteinen matriisi voidaan löytää käyttämällä seuraavaa kaavaa:

Missä on matriisin determinantti, on matriisin vastaavien elementtien algebrallisten komplementtien transponoitu matriisi.

Käänteimatriisin käsite on olemassa vain neliömatriiseille, matriisit "kaksi kaksi", "kolme kolme" jne.

Nimitykset: Kuten olet ehkä jo huomannut, käänteinen matriisi on merkitty yläindeksillä

Aloitetaan yksinkertaisimmasta tapauksesta - kaksi kertaa kaksi matriisista. Useimmiten tietysti vaaditaan "kolme kolmella", mutta suosittelen kuitenkin vahvasti yksinkertaisemman tehtävän opiskelua hallitaksesi yleinen käytäntö ratkaisuja.

Esimerkki:

Etsi matriisin käänteisarvo

Päätetään. Toimintojen järjestys on kätevää jakaa piste kerrallaan.

1) Ensin löydetään matriisin determinantti.

Jos ymmärryksesi tästä toiminnasta ei ole hyvä, lue materiaali Kuinka determinantti lasketaan?

Tärkeä! Jos matriisin determinantti on yhtä suuri kuin NOLLA- käänteinen matriisi EI OLE OLEMASSA.

Tarkasteltavassa esimerkissä, kuten kävi ilmi, , mikä tarkoittaa, että kaikki on kunnossa.

2) Etsi alaikäisten matriisi.

Ongelmamme ratkaisemiseksi ei tarvitse tietää, mikä alaikäinen on, mutta on suositeltavaa lukea artikkeli Miten determinantti lasketaan.

Alaikäisten matriisilla on samat mitat kuin matriisilla, eli tässä tapauksessa.
Ainoa asia on löytää neljä numeroa ja laittaa ne tähtien sijaan.

Palataan matriisiin
Katsotaanpa ensin vasenta yläkulmaa:

Kuinka löytää se alaikäinen?
Ja tämä tehdään näin: yliviivaa HENKILÖSTÄ rivi ja sarake, joissa tämä elementti sijaitsee:

Jäljellä oleva luku on vähäistä tätä elementtiä, jonka kirjoitamme alaikäisten matriisiin:

Harkitse seuraavaa matriisielementtiä:

Yliviivaa mielessään rivi ja sarake, joissa tämä elementti näkyy:

Jäljelle jää tämän elementin molli, jonka kirjoitamme matriisiin:

Samalla tavalla tarkastelemme toisen rivin elementtejä ja löydämme niiden alaikäiset:


Valmis.

Se on yksinkertaista. Alaikäisten matriisissa tarvitset MUUTA MERKEJÄ kaksi numeroa:

Nämä ovat numerot, jotka ympyröitin!

– matriisin vastaavien elementtien algebrallisten lisäysten matriisi.

Ja vain...

4) Etsi algebrallisten summausten transponoitu matriisi.

– matriisin vastaavien elementtien algebrallisten komplementtien transponoitu matriisi.

5) Vastaa.

Muistakaamme kaavamme
Kaikki on löytynyt!

Käänteinen matriisi on siis:

On parempi jättää vastaus sellaisenaan. EI TARVETTA jaa jokainen matriisin elementti kahdella, kuten saat murtolukuja. Tätä vivahdetta käsitellään yksityiskohtaisemmin samassa artikkelissa. Toimet matriiseilla.

Kuinka tarkistaa ratkaisu?

Sinun on suoritettava matriisikerto tai

Tutkimus:

Vastaanotettu jo mainittu identiteettimatriisi on matriisi, jossa on yksi päädiagonaali ja nollia muissa paikoissa.

Siten käänteismatriisi löytyy oikein.

Jos suoritat toiminnon, tuloksena on myös identiteettimatriisi. Tämä on yksi harvoista tapauksista, joissa matriisin kertolasku on muuttuva yksityiskohtainen tieto löytyy artikkelista Matriisien operaatioiden ominaisuudet. Matriisilausekkeet. Huomaa myös, että tarkistuksen aikana vakio (murto-osa) tuodaan eteenpäin ja käsitellään aivan lopussa - matriisin kertolaskujen jälkeen. Tämä on vakiotekniikka.

Jatketaan käytännössä yleisempään tapaukseen - kolme kertaa kolme matriisiin:

Esimerkki:

Etsi matriisin käänteisarvo

Algoritmi on täsmälleen sama kuin "kaksi kerrallaan" -tapauksessa.

Löydämme käänteisen matriisin kaavalla: , jossa on matriisin vastaavien elementtien algebrallisten komplementtien transponoitu matriisi.

1) Etsi matriisin determinantti.

Tässä ratkaiseva tekijä paljastuu ensimmäisellä rivillä.

Älä myöskään unohda sitä, mikä tarkoittaa, että kaikki on hyvin - käänteismatriisi on olemassa.

2) Etsi alaikäisten matriisi.

Alaikäisten matriisin ulottuvuus on "kolme kertaa kolme" , ja meidän on löydettävä yhdeksän numeroa.

Tarkastelen paria alaikäistä yksityiskohtaisesti:

Harkitse seuraavaa matriisielementtiä:

Yliviivaa HENKILÖSTÄ rivi ja sarake, joissa tämä elementti sijaitsee:

Kirjoitamme loput neljä numeroa "kaksi kerrallaan" -määritykseen.

Tämä kaksi kertaa kaksi määräävä tekijä ja on tämän elementin molli. Se on laskettava:


Siinä se, alaikäinen on löydetty, kirjoitamme sen alaikäisten matriisiin:

Kuten luultavasti arvasit, sinun on laskettava yhdeksän kaksi kertaa kaksi determinanttia. Prosessi on tietysti työläs, mutta tapaus ei ole vakavin, se voi olla pahempi.

No, tiivistyksenä – toisen alaikäisen löytäminen kuvista:

Yritä itse laskea jäljellä olevat alaikäiset.

Lopullinen tulos:
– matriisin vastaavien elementtien alaikäisten matriisi.

Se, että kaikki alaikäiset osoittautuivat negatiivisiksi, on puhtaasti sattuma.

3) Etsi algebrallisten lisäysten matriisi.

Alaikäisten matriisissa se on välttämätöntä MUUTA MERKEJÄ tiukasti seuraaville elementeille:

Tässä tapauksessa:

Emme harkitse käänteisen matriisin löytämistä "neljä kertaa neljä" matriisille, koska tällaisen tehtävän voi antaa vain sadistinen opettaja (oppilas laskee yhden "neljä x neljä" determinantin ja 16 "kolme x kolme" determinantin ). Käytännössäni oli vain yksi tällainen tapaus ja asiakas koetyötä maksoin melko kalliisti kärsimyksestäni =).

Useista oppikirjoista ja käsikirjoista löytyy hieman erilainen lähestymistapa käänteismatriisin löytämiseen, mutta suosittelen käyttämään yllä kuvattua ratkaisualgoritmia. Miksi? Koska todennäköisyys hämmentyä laskelmissa ja merkeissä on paljon pienempi.

Matriisia A -1 kutsutaan käänteismatriisiksi matriisin A suhteen, jos A*A -1 = E, missä E on n:nnen kertaluvun identiteettimatriisi. käänteinen matriisi voi olla olemassa vain neliömatriiseille.

Palvelun tarkoitus. Tämän palvelun käyttäminen online-tilassa löytyy algebrallisia komplementteja, transponoitua matriisia A T, liittoutumamatriisia ja käänteismatriisia. Päätös tehdään suoraan verkkosivustolla (online) ja se on ilmainen. Laskentatulokset esitetään raportissa Word- ja Excel-muodossa (eli on mahdollista tarkistaa ratkaisu). katso malliesimerkki.

Ohjeet. Ratkaisun saamiseksi on tarpeen määrittää matriisin ulottuvuus. Täytä seuraavaksi matriisi A uudessa valintaikkunassa.

Katso myös käänteinen matriisi käyttäen Jordano-Gauss-menetelmää

Algoritmi käänteismatriisin löytämiseksi

1. Transponoidun matriisin A T löytäminen.
2. Algebrallisten komplementtien määritelmä. Korvaa jokainen matriisin elementti sen algebrallisella komplementilla.
3. Käänteisen matriisin laatiminen algebrallisista lisäyksistä: tuloksena olevan matriisin jokainen elementti jaetaan alkuperäisen matriisin determinantilla. Tuloksena oleva matriisi on alkuperäisen matriisin käänteis.

1. Määritä, onko matriisi neliö. Jos ei, niin sille ei ole käänteismatriisia.
2. Matriisin A determinantin laskeminen. Jos se ei ole nolla, jatkamme ratkaisua, muuten käänteismatriisia ei ole olemassa.
3. Algebrallisten komplementtien määritelmä.
4. Liittymämatriisin (keskinäinen, adjunktinen) täyttäminen C .
5. Käänteismatriisin laatiminen algebrallisista summauksista: adjointmatriisin C jokainen alkio jaetaan alkuperäisen matriisin determinantilla. Tuloksena oleva matriisi on alkuperäisen matriisin käänteis.
6. He tekevät tarkistuksen: he kertovat alkuperäisen ja tuloksena olevat matriisit. Tuloksena pitäisi olla identiteettimatriisi.

Esimerkki nro 1. Kirjoitetaan matriisi muotoon:

Toinen algoritmi käänteismatriisin löytämiseksi

1. Etsi annetun neliömatriisin A determinantti.
2. Löydämme algebrallisia komplementteja matriisin A kaikille elementeille.
3. Kirjoitamme rivielementtien algebrallisia lisäyksiä sarakkeisiin (transponointi).
4. Jaamme tuloksena olevan matriisin jokaisen elementin matriisin A determinantilla.

Erikoinen tapaus: Identiteettimatriisin E käänteisarvo on identiteettimatriisi E.

Samanlainen kuin käänteinen monissa ominaisuuksissa.

Tietosanakirja YouTube

1 / 5

✪ Kuinka löytää matriisin käänteis - bezbotvy

✪ Käänteinen matriisi (2 tapaa löytää)

✪ Käänteinen matriisi #1

✪ 28.1.2015. Käänteinen 3x3 matriisi

✪ 27.1.2015. Käänteismatriisi 2x2

Tekstitykset

Käänteimatriisin ominaisuudet

• det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), Missä det (\displaystyle \\det ) tarkoittaa determinanttia.
• (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\näyttötyyli \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)) kahdelle neliömäiselle käännettävälle matriisille A (\näyttötyyli A) Ja B (\näyttötyyli B).
• (A T) − 1 = (A − 1) T (\näyttötyyli \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), Missä (. . .) T (\displaystyle (...)^(T)) tarkoittaa transponoitua matriisia.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\näyttötyyli \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1)) mille tahansa kertoimelle k ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
• E − 1 = E (\näyttötyyli \E^(-1)=E).
• Jos on tarpeen ratkaista lineaarinen yhtälöjärjestelmä , (b - nollasta poikkeava vektori) Missä x (\displaystyle x) on haluttu vektori, ja jos A − 1 (\displaystyle A^(-1)) on siis olemassa x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). Muuten joko ratkaisuavaruuden ulottuvuus on suurempi kuin nolla tai ratkaisuja ei ole ollenkaan.

Menetelmät käänteismatriisin löytämiseksi

Jos matriisi on käännettävä, voit löytää käänteisen matriisin jollakin seuraavista tavoista:

Tarkat (suorat) menetelmät

Gauss-Jordan menetelmä

Otetaan kaksi matriisia: the A ja sinkku E. Esitetään matriisi A identiteettimatriisiin Gauss-Jordan-menetelmällä käyttämällä muunnoksia rivejä pitkin (voit käyttää muunnoksia myös sarakkeita pitkin, mutta ei keskenään). Kun olet käyttänyt jokaista operaatiota ensimmäiseen matriisiin, käytä samaa operaatiota toiseen. Kun ensimmäisen matriisin pelkistys yksikkömuotoon on valmis, toinen matriisi on yhtä suuri kuin A-1.

Gaussin menetelmää käytettäessä ensimmäinen matriisi kerrotaan vasemmalla yhdellä alkeimatriiseista Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(transvektio- tai diagonaalimatriisi, jonka yksiköt ovat päädiagonaalissa, paitsi yksi paikka):

Toinen matriisi kaikkien operaatioiden soveltamisen jälkeen on yhtä suuri kuin Λ (\displaystyle \Lambda), eli se on haluttu. Algoritmin monimutkaisuus - O (n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

Algebrallisen komplementtimatriisin käyttö

Matriisin käänteinen matriisi A (\näyttötyyli A), voidaan esittää muodossa

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \over (\det(A))))

Missä adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- adjoint matriisi;

Algoritmin monimutkaisuus riippuu determinantin O det laskemiseen käytettävän algoritmin monimutkaisuudesta ja on yhtä suuri kuin O(n²)·O det.

LU/LUP-hajotus

Matriisiyhtälö A X = I n (\displaystyle AX=I_(n)) käänteismatriisille X (\displaystyle X) voidaan pitää kokoelmana n (\displaystyle n) muotoiset järjestelmät A x = b (\displaystyle Ax=b). Merkitään i (\displaystyle i) matriisin sarake X (\displaystyle X) kautta X i (\displaystyle X_(i)); Sitten A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),koska i (\displaystyle i) matriisin sarake I n (\displaystyle I_(n)) on yksikkövektori e i (\displaystyle e_(i)). toisin sanoen käänteismatriisin löytäminen tarkoittaa n yhtälön ratkaisemista samalla matriisilla ja eri oikealla puolella. Kun LUP-hajotus (O(n³) aika) on suoritettu, kunkin n yhtälön ratkaiseminen vie O(n²) aikaa, joten tämä osa työtä vaatii myös O(n³) aikaa.

Jos matriisi A on ei-singulaarinen, voidaan sille laskea LUP-hajotelma P A = L U (\displaystyle PA=LU). Antaa P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\näyttötyyli B^(-1)=D). Sitten käänteismatriisin ominaisuuksista voimme kirjoittaa: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Jos kerrot tämän yhtälön U:lla ja L:llä, saat kaksi muodon yhtälöä U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1)) Ja D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Ensimmäinen näistä yhtälöistä edustaa järjestelmää n² lineaariset yhtälöt varten n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2))) joista oikeat puolet tunnetaan (kolmiomatriisien ominaisuuksista). Toinen edustaa myös n² lineaaristen yhtälöiden järjestelmää n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2))) joista oikeat puolet tunnetaan (myös kolmiomatriisien ominaisuuksista). Yhdessä ne edustavat n² yhtäläisyyden järjestelmää. Näitä yhtäläisyyksiä käyttämällä voimme määrittää rekursiivisesti matriisin D kaikki n² alkiot. Sitten yhtälöstä (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. saadaan yhtälö A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

Käytettäessä LU-hajoamista ei vaadita matriisin D sarakkeiden permutaatiota, mutta ratkaisu voi poiketa, vaikka matriisi A olisi epäsingulaarinen.

Algoritmin monimutkaisuus on O(n³).

Iteratiiviset menetelmät

Schultzin menetelmät

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),),\\U_() k+1)=U_(k)\summa _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\loppu(tapaukset)))

Virhearvio

Alkuarvioinnin valitseminen

Alkuapproksimaation valintaongelma iteratiivisissa matriisin inversioprosesseissa, joita tässä tarkastellaan, ei salli meidän käsitellä niitä itsenäisinä universaaleina menetelminä, jotka kilpailevat suorien inversiomenetelmien kanssa, jotka perustuvat esimerkiksi matriisien LU-hajotukseen. Valinnassa on joitain suosituksia U 0 (\displaystyle U_(0)), varmistaen ehdon täyttymisen ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (matriisin spektrisäde on pienempi kuin yksikkö), mikä on välttämätöntä ja riittävä prosessin konvergenssiin. Tässä tapauksessa on kuitenkin ensinnäkin tiedettävä ylhäältä estimaatti käännettävän matriisin A tai matriisin spektrille. A A T (\displaystyle AA^(T))(eli jos A on symmetrinen positiivinen määrätty matriisi ja ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), sitten voit ottaa U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), Missä ; jos A on mielivaltainen ei-singulaarinen matriisi ja ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), sitten he uskovat U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), missä myös α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); Voit tietysti yksinkertaistaa tilannetta ja hyödyntää sitä ρ (A A T) ≤ k A A T k (\näyttötyyli \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), laita U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). Toiseksi, kun alkumatriisi määritellään tällä tavalla, siitä ei ole takeita ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|) tulee olemaan pieni (ehkä jopa osoittautuu ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), Ja korkea järjestys konvergenssin nopeutta ei paljasteta heti.

Esimerkkejä

Matriisi 2x2

2x2-matriisin kääntäminen on mahdollista vain sillä ehdolla a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).

Antaa sen olla annettu neliömatriisi. Sinun on löydettävä käänteinen matriisi.

Ensimmäinen tapa. Lause 4.1 käänteismatriisin olemassaolosta ja ainutlaatuisuudesta osoittaa yhden tavan löytää se.

1. Laske tämän matriisin determinantti. Jos, niin käänteismatriisia ei ole olemassa (matriisi on singulaarinen).

2. Muodosta matriisi matriisielementtien algebrallisista komplementeista.

3. Transponoi matriisi saadaksesi adjointmatriisi .

4. Etsi käänteismatriisi (4.1) jakamalla kaikki adjointmatriisin alkiot determinantilla

Toinen tapa. Käänteimatriisin löytämiseksi voit käyttää alkeismuunnoksia.

1. Muodosta lohkomatriisi osoittamalla annetulle matriisille samaa järjestystä oleva identiteettimatriisi.

2. Käytä matriisin riveille suoritettuja perusmuunnoksia, tuo sen vasen lohko yksinkertaisimpaan muotoonsa. Tässä tapauksessa lohkomatriisi pelkistetään muotoon, jossa on neliömatriisi, joka on saatu identiteettimatriisista tehtyjen muunnosten tuloksena.

3. Jos , niin lohko on yhtä suuri kuin matriisin käänteisarvo, eli jos, niin matriisilla ei ole käänteislukua.

Itse asiassa matriisin rivien alkeismuunnosten avulla on mahdollista pienentää sen vasen lohko yksinkertaistettuun muotoon (katso kuva 1.5). Tässä tapauksessa lohkomatriisi muunnetaan muotoon, jossa on tasa-arvon täyttävä alkeimatriisi. Jos matriisi ei ole rappeutunut, huomautusten 3.3 kohdan 2 mukaan sen yksinkertaistettu muoto on sama kuin identiteettimatriisi. Tasa-arvosta se sitten seuraa. Jos matriisi on singulaarinen, sen yksinkertaistettu muoto eroaa identiteettimatriisista, eikä matriisilla ole käänteistä.

11. Matriisiyhtälöt ja niiden ratkaisu. SLAE:n tallennuksen matriisimuoto. Matriisimenetelmä (käänteismatriisimenetelmä) SLAE-tilanteiden ratkaisemiseen ja sen sovellettavuuden ehdot.

Matriisiyhtälöt ovat muotoa: A*X=C; X*A=C; A*X*B=C missä matriisi A,B,C tunnetaan, matriisi X ei ole tiedossa, jos matriisit A ​​ja B eivät ole singulaarisia, niin alkuperäisten matriisien ratkaisut kirjoitetaan sopivassa muodossa: X = A -1 * C; X = C*A-1; X=A-1 *C*B-1 Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden kirjoitusjärjestelmien matriisimuoto. Jokaiseen SLAE:hen voidaan liittää useita matriiseja; Lisäksi itse SLAE voidaan kirjoittaa matriisiyhtälön muodossa. Harkitse SLAE:n (1) osalta seuraavia matriiseja:

Matriisia A kutsutaan järjestelmän matriisi. Tämän matriisin elementit edustavat tietyn SLAE:n kertoimia.

Matriisia A˜ kutsutaan laajennettu matriisijärjestelmä. Se saadaan lisäämällä järjestelmämatriisiin sarake, joka sisältää vapaita termejä b1,b2,...,bm. Yleensä tämä sarake erotetaan pystyviivalla selvyyden vuoksi.

Sarakematriisia B kutsutaan matriisi ilmaisista jäsenistä, ja sarakematriisi X on tuntemattomien matriisi.

SLAE (1) voidaan kirjoittaa edellä esitetyllä merkinnällä matriisiyhtälön muodossa: A⋅X=B.

Huomautus

Järjestelmään liittyvät matriisit voidaan kirjoittaa eri tavoin: kaikki riippuu tarkasteltavan SLAE:n muuttujien ja yhtälöiden järjestyksestä. Mutta joka tapauksessa, tuntemattomien järjestyksen tietyn SLAE:n jokaisessa yhtälössä on oltava sama.

Matriisimenetelmä soveltuu sellaisten SLAE-tilanteiden ratkaisemiseen, joissa yhtälöiden lukumäärä on sama kuin tuntemattomien muuttujien lukumäärä ja järjestelmän päämatriisin determinantti on eri kuin nolla. Jos järjestelmä sisältää enemmän kuin kolme yhtälöä, niin käänteismatriisin löytäminen vaatii huomattavaa laskennallista vaivaa, joten tässä tapauksessa on suositeltavaa käyttää Gaussin menetelmä.

12. Homogeeniset SLAE:t, ehdot niiden nollasta poikkeavien ratkaisujen olemassaololle. Homogeenisten SLAE:iden osaliuosten ominaisuudet.

Lineaarista yhtälöä kutsutaan homogeeniseksi, jos sen vapaa termi on yhtä suuri kuin nolla, ja epähomogeeniseksi muutoin. Homogeenisista yhtälöistä koostuvaa järjestelmää kutsutaan homogeeniseksi ja sillä on yleinen muoto:

13 .Homogeenisen SLAE:n lineaarisen riippumattomuuden ja osittaisratkaisujen riippuvuuden käsite. Ratkaisujen perusjärjestelmä (FSD) ja sen määrittely. Homogeenisen SLAE:n yleisen ratkaisun esitys FSR:n kautta.

Toimintojärjestelmä y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) kutsutaan lineaarisesti riippuvainen väliajalla ( a , b ), jos sarja on olemassa vakiokertoimet, ei ole sama kuin nolla samanaikaisesti, joten näiden funktioiden lineaarinen yhdistelmä on identtinen nolla on ( a , b ): . Jos yhtäläisyys on mahdollista vain , funktiojärjestelmä y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) kutsutaan lineaarisesti riippumaton väliajalla ( a , b ). Toisin sanoen toiminnot y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) lineaarisesti riippuvainen väliajalla ( a , b ), jos kohdassa ( a , b ) niiden ei-triviaali lineaarinen yhdistelmä. Toiminnot y 1 (x ),y 2 (x ), …, y n (x ) lineaarisesti riippumaton väliajalla ( a , b ), jos vain niiden triviaali lineaarinen yhdistelmä on identtinen nolla päällä ( a , b ).

Fundamentaalinen päätösjärjestelmä (FSR) Homogeeninen SLAE on tämän sarakejärjestelmän perusta.

FSR:n elementtien lukumäärä on yhtä suuri kuin järjestelmän tuntemattomien lukumäärä miinus järjestelmämatriisin arvo. Mikä tahansa alkuperäisen järjestelmän ratkaisu on FSR:n ratkaisujen lineaarinen yhdistelmä.

Lause

Epähomogeenisen SLAE:n yleinen ratkaisu on yhtä suuri kuin epähomogeenisen SLAE:n tietyn ratkaisun summa ja yleinen ratkaisu vastaava homogeeninen SLAE.

1 . Jos sarakkeet ovat ratkaisuja homogeeninen järjestelmä yhtälöt, niin mikä tahansa niiden lineaarinen yhdistelmä on myös ratkaisu homogeeniseen järjestelmään.

Tasa-arvosta se todellakin seuraa

nuo. Lineaarinen ratkaisujen yhdistelmä on ratkaisu homogeeniseen systeemiin.

2. Jos homogeenisen järjestelmän matriisin järjestys on yhtä suuri kuin , niin järjestelmällä on lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja.

Todellakin, käyttämällä kaavoja (5.13) homogeenisen järjestelmän yleiseen ratkaisuun, löydämme erityisratkaisuja, jolloin vapaille muuttujille annetaan seuraavat vakioarvojoukot (joka kerta olettaen, että yksi vapaista muuttujista on yhtä suuri kuin yksi ja loput ovat yhtä suuria kuin nolla):

jotka ovat lineaarisesti riippumattomia. Itse asiassa, jos luot matriisin näistä sarakkeista, sen viimeiset rivit muodostavat identiteettimatriisin. Näin ollen viimeisillä riveillä oleva molli ei ole yhtä suuri kuin nolla (se on yhtä suuri kuin yksi), ts. on perus. Siksi matriisin sijoitus on yhtä suuri. Tämä tarkoittaa, että kaikki tämän matriisin sarakkeet ovat lineaarisesti riippumattomia (katso Lause 3.4).

Mitä tahansa homogeenisen järjestelmän lineaarisesti riippumattomien ratkaisujen kokoelmaa kutsutaan ratkaisujen perusjärjestelmä (joukko). .

14 Kolmannen asteen molli, perusmolli, matriisin arvo. Matriisin asteen laskeminen.

Matriisin A k-molli on jonkin sen k-kertaisen neliöalimatriisin determinantti.

Matriisissa A, jonka mitat ovat m x n, r-luokan mollia kutsutaan perusarvoksi, jos se on nollasta poikkeava, ja kaikki korkeamman asteen alamerkit, jos sellaisia ​​on, ovat nollia.

Matriisin A sarakkeita ja rivejä, joiden leikkauskohdassa on kanta-molli, kutsutaan A:n kantasarakkeiksi ja -riveiksi.

Lause 1. (Matriisin arvosta). Minkä tahansa matriisin sivuarvo on yhtä suuri kuin rivin sijoitus ja yhtä suuri kuin sarakkeen sijoitus.

Lause 2. (Perustaan ​​molli). Jokainen matriisisarake on jaettu perussarakkeidensa lineaariseksi yhdistelmäksi.

Matriisin sijoitus (tai sivuarvo) on järjestys sivuaine perus tai toisin sanoen suurin tilaus, jossa ei ole nollaa alaikäisiä. Nollamatriisin arvoa pidetään määritelmän mukaan 0:na.

Huomattakoon kaksi ilmeistä sivuarvon ominaisuutta.

1) Matriisin järjestys ei muutu transponoinnin aikana, koska kun matriisi transponoidaan, kaikki sen alimatriisit transponoidaan, eivätkä alamerkit muutu.

2) Jos A’ on matriisin A alimatriisi, niin A’:n arvo ei ylitä A:n arvoa, koska A’:hen sisältyvä nollasta poikkeava molliarvo sisältyy myös A:han.

15. -ulotteisen aritmeettisen vektorin käsite. Vektorien yhtäläisyys. Operaatiot vektoreilla (yhteenlasku, vähennys, kertominen luvulla, kertominen matriisilla). Lineaarinen vektoreiden yhdistelmä.

Tilattu kokoelma n kutsutaan todellisia tai kompleksilukuja n-ulotteinen vektori. Numeroita kutsutaan vektorin koordinaatit.

Kaksi (ei-nollaa) vektoria a Ja b ovat yhtä suuret, jos ne ovat samansuuntaisia ​​ja niillä on sama moduuli. Kaikki nollavektorit katsotaan yhtäläisiksi. Kaikissa muissa tapauksissa vektorit eivät ole samat.

Vektorin lisäys. On kaksi tapaa lisätä vektoreita: 1. Rinnakkaissääntö. Jos haluat lisätä vektorit ja, asetamme molempien origot samaan pisteeseen. Rakennamme suunnikkaan ja piirretään samasta pisteestä suunnikkaan diagonaali. Tämä on vektorien summa.

2. Toinen vektoreiden yhteenlaskutapa on kolmisääntö. Otetaan samat vektorit ja . Lisäämme toisen alun ensimmäisen vektorin loppuun. Yhdistetään nyt ensimmäisen alku ja toisen loppu. Tämä on vektorien ja . Samaa sääntöä käyttämällä voit lisätä useita vektoreita. Järjestämme ne peräkkäin ja yhdistämme sitten ensimmäisen alun viimeisen loppuun.

Vektorien vähentäminen. Vektori on suunnattu vastapäätä vektoria. Vektorien pituudet ovat yhtä suuret. Nyt on selvää, mitä vektorivähennys on. Vektoriero ja on vektorin ja vektorin summa.

Vektorin kertominen luvulla

Kun vektori kerrotaan luvulla k, saadaan vektori, jonka pituus on k kertaa pituus. Se on samansuuntainen vektorin kanssa, jos k on suurempi kuin nolla, ja vastakkaiseen suuntaan, jos k on pienempi kuin nolla.

Vektorien skalaaritulo on vektorien pituuksien ja niiden välisen kulman kosinin tulo. Jos vektorit ovat kohtisuorassa, niiden skalaaritulo on nolla. Ja näin skalaarituote ilmaistaan ​​vektorien ja koordinaattien kautta.

Lineaarinen vektoreiden yhdistelmä

Lineaarinen vektoreiden yhdistelmä kutsutaan vektoriksi

Missä - lineaariset yhdistelmäkertoimet. Jos yhdistelmää kutsutaan triviaaliksi, jos se ei ole triviaali.

16 .Aritmeettisten vektorien skalaaritulo. Vektorin pituus ja vektorien välinen kulma. Vektorin ortogonaalisuuden käsite.

Vektorien a ja b skalaaritulo on luku

Skalaaritulon avulla lasketaan: 1) niiden välinen kulma; 2) vektorien projektio; 3) lasketaan vektorin pituus; 4) vektorien kohtisuoraisuusehdot.

Janan AB pituutta kutsutaan pisteiden A ja B väliseksi etäisyydeksi. Vektorien A ja B välistä kulmaa kutsutaan kulmaksi α = (a, b), 0≤ α ≤P. Jolla sinun on käännettävä 1 vektori niin, että sen suunta osuu yhteen toisen vektorin kanssa. Edellyttäen, että niiden alkuperä on sama.

Ortomi a on vektori a, jolla on yksikköpituus ja suunta a.

17. Vektorijärjestelmä ja sen lineaarinen yhdistelmä. Vektorijärjestelmän lineaarisen riippuvuuden ja riippumattomuuden käsite. Lause välttämättömistä ja riittävistä ehdoista vektorijärjestelmän lineaariselle riippuvuudelle.

Vektorijärjestelmää a1,a2,...,an kutsutaan lineaarisesti riippuvaiseksi, jos on lukuja λ1,λ2,...,λn siten, että ainakin yksi niistä on nollasta poikkeava ja λ1a1+λ2a2+...+λnan=0 . Muuten järjestelmää kutsutaan lineaarisesti riippumattomaksi.

Kahta vektoria a1 ja a2 kutsutaan kollineaarisiksi, jos niiden suunnat ovat samat tai vastakkaiset.

Kolmea vektoria a1, a2 ja a3 kutsutaan koplanaariseksi, jos ne ovat yhdensuuntaisia ​​jonkin tason kanssa.

Lineaarisen riippuvuuden geometriset kriteerit:

a) järjestelmä (a1,a2) on lineaarisesti riippuvainen silloin ja vain jos vektorit a1 ja a2 ovat kollineaarisia.

b) järjestelmä (a1,a2,a3) on lineaarisesti riippuvainen silloin ja vain jos vektorit a1,a2 ja a3 ovat samassa tasossa.

lause. (Tarvittava ja riittävä ehto lineaarista riippuvuutta varten järjestelmät vektorit.)

Vektorijärjestelmä vektori tilaa On lineaarinen riippuu jos ja vain jos yksi järjestelmän vektoreista ilmaistaan ​​lineaarisesti muiden kanssa vektori tämä järjestelmä.

Seuraus 1. Vektoriavaruudessa oleva vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippumaton silloin ja vain, jos mikään järjestelmän vektoreista ei ole lineaarisesti ilmaistu tämän järjestelmän muilla vektoreilla.2. Nollavektorin tai kaksi samanarvoista vektoria sisältävä vektorijärjestelmä on lineaarisesti riippuvainen.

Tyypillisesti käänteisiä operaatioita käytetään monimutkaisten algebrallisten lausekkeiden yksinkertaistamiseen. Jos ongelmaan liittyy esimerkiksi murto-osalla jakaminen, voit korvata sen murtoluvun käänteisluvulla kertomisella, joka on käänteinen operaatio. Lisäksi matriiseja ei voi jakaa, joten sinun on kerrottava käänteismatriisilla. 3x3-matriisin käänteisarvon laskeminen on melko työlästä, mutta sinun on voitava tehdä se manuaalisesti. Voit myös löytää käänteisluvun käyttämällä hyvää graafista laskinta.

Askeleet

Adjungoimatriisin käyttö

Transponoi alkuperäinen matriisi. Transpositio tarkoittaa rivien korvaamista sarakkeilla suhteessa matriisin päädiagonaaliin, eli elementit (i,j) ja (j,i) on vaihdettava. Tässä tapauksessa päädiagonaalin elementit (alkaa vasemmasta yläkulmasta ja päättyy oikeaan alakulmaan) eivät muutu.

• Jos haluat muuttaa rivit sarakkeiksi, kirjoita ensimmäisen rivin elementit ensimmäiseen sarakkeeseen, toisen rivin elementit toiseen sarakkeeseen ja kolmannen rivin elementit kolmanteen sarakkeeseen. Elementtien sijainnin muuttamisjärjestys on esitetty kuvassa, jossa vastaavat elementit on ympyröity värillisillä ympyröillä.