Esimerkkejä homogeenisen yhtälöjärjestelmän yleisratkaisusta. Lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmät

Ymmärtääkseen mitä se on perustavanlaatuinen päätösjärjestelmä voit katsoa opetusvideon samasta esimerkistä napsauttamalla. Siirrytään nyt kaikkien tarvittavien töiden varsinaiseen kuvaukseen. Tämä auttaa sinua ymmärtämään tämän ongelman olemuksen yksityiskohtaisemmin.

Kuinka löytää perusratkaisujärjestelmä lineaariseen yhtälöön?

Otetaan tämä järjestelmä esimerkkinä lineaariset yhtälöt:

Etsitään ratkaisu tähän lineaariseen yhtälöjärjestelmään. Aluksi me sinun on kirjoitettava järjestelmän kerroinmatriisi.

Muunnetaan tämä matriisi kolmiomaiseksi. Kirjoitamme ensimmäisen rivin uudelleen ilman muutoksia. Ja kaikki alkiot, jotka ovat alle $a_(11)$, on tehtävä nollia. Jos haluat tehdä nollan elementin $a_(21)$ tilalle, sinun on vähennettävä ensimmäinen toiselta riviltä ja kirjoitettava erotus toiselle riville. Jos haluat tehdä nollan elementin $a_(31)$ tilalle, sinun on vähennettävä ensimmäinen kolmannesta rivistä ja kirjoitettava erotus kolmanteen riviin. Jos haluat tehdä nollan elementin $a_(41)$ tilalle, sinun on vähennettävä neljännestä rivistä ensimmäinen kerrottuna kahdella ja kirjoitettava erotus neljännelle riville. Jos haluat tehdä nollan elementin $a_(31)$ tilalle, sinun on vähennettävä viidenneltä riviltä ensimmäinen kerrottuna kahdella ja kirjoitettava ero viidennelle riville.

Kirjoitamme ensimmäisen ja toisen rivin uudelleen ilman muutoksia. Ja kaikki alkiot, jotka ovat alle $a_(22)$, on tehtävä nollia. Jos haluat tehdä nollan elementin $a_(32)$ tilalle, sinun on vähennettävä kolmannelta riviltä toinen kerrottuna kahdella ja kirjoitettava erotus kolmanteen riviin. Jos haluat tehdä nollan elementin $a_(42)$ tilalle, sinun on vähennettävä neljännestä rivistä toinen kerrottuna kahdella ja kirjoitettava ero neljännelle riville. Jos haluat tehdä nollan elementin $a_(52)$ tilalle, sinun on vähennettävä viidenneltä riviltä toinen kerrottuna 3:lla ja kirjoitettava ero viidennelle riville.

Näemme sen kolme viimeistä riviä ovat samat, joten jos vähennät kolmannen neljännestä ja viidennestä, niistä tulee nolla.

Tämän matriisin mukaan kirjoittaa uusi yhtälöjärjestelmä.

Näemme, että meillä on vain kolme lineaarisesti riippumatonta yhtälöä ja viisi tuntematonta, joten perusratkaisujärjestelmä koostuu kahdesta vektorista. Joten me meidän on siirrettävä kaksi viimeistä tuntematonta oikealle.

Nyt alamme ilmaista niitä tuntemattomia, jotka ovat vasemmalla puolella niiden kautta, jotka ovat oikealla puolella. Aloitamme viimeisestä yhtälöstä, ensin ilmaisemme $x_3$, sitten korvaamme tuloksen toiseen yhtälöön ja ilmaisemme $x_2$ ja sitten ensimmäiseen yhtälöön ja tässä ilmaisemme $x_1$. Siten ilmaisimme kaikki vasemmalla puolella olevat tuntemattomat oikealla puolella olevien tuntemattomien kautta.

Sitten $x_4$ ja $x_5$ sijasta voimme korvata mitä tahansa lukuja ja löytää $x_1$, $x_2$ ja $x_3$. Jokainen näistä viidestä numerosta on alkuperäisen yhtälöjärjestelmämme juuret. Löytääksesi vektorit, jotka sisältyvät FSR meidän täytyy korvata 1 $x_4$ sijasta ja 0 $x_5$ sijaan, löytää $x_1$, $x_2$ ja $x_3$, ja sitten päinvastoin $x_4=0$ ja $x_5=1$.

Järjestelmä m lineaariset yhtälöt c n kutsutaan tuntemattomiksi lineaarinen homogeeninen järjestelmä yhtälöt, jos kaikki vapaat termit ovat yhtä suuria kuin nolla. Tällainen järjestelmä näyttää tältä:

Missä ja ij (minä = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) - annetut numerot; x i– tuntematon.

Lineaaristen homogeenisten yhtälöiden järjestelmä on aina johdonmukainen, koska r(A) = r(). Siinä on aina vähintään nolla ( triviaali) ratkaisu (0; 0; …; 0).

Tarkastellaan, missä olosuhteissa homogeenisilla järjestelmillä on nollasta poikkeavat ratkaisut.

Lause 1. Lineaaristen homogeenisten yhtälöiden järjestelmällä on nollasta poikkeavat ratkaisut silloin ja vain, jos sen päämatriisin järjestys on r pienempi numero tuntematon n, eli r < n.

□ 1). Olkoon lineaaristen homogeenisten yhtälöiden järjestelmällä nollasta poikkeava ratkaisu. Koska sijoitus ei voi ylittää matriisin kokoa, on selvää, r ≤ n. Antaa r = n. Sitten yksi pienikokoisista n n eroaa nollasta. Siksi vastaavalla lineaariyhtälöjärjestelmällä on ainutlaatuinen ratkaisu: ... Tämä tarkoittaa, että ei ole olemassa muita ratkaisuja kuin triviaaleja. Joten jos on ei-triviaali ratkaisu, Tuo r < n.

2). Antaa r < n. Silloin homogeeninen järjestelmä on johdonmukaisena epävarma. Tämä tarkoittaa, että sillä on ääretön määrä ratkaisuja, ts. on nollasta poikkeavia ratkaisuja. ■

Harkitse homogeenista järjestelmää n lineaariset yhtälöt c n tuntematon:

(2)

Lause 2. Homogeeninen järjestelmä n lineaariset yhtälöt c n tuntemattomilla (2) on nollasta poikkeavat ratkaisut silloin ja vain, jos sen determinantti on nolla: = 0.

□ Jos järjestelmällä (2) on nollasta poikkeava ratkaisu, niin = 0. Koska kun järjestelmässä on vain yksi nollaratkaisu. Jos = 0, niin arvo r järjestelmän päämatriisi on pienempi kuin tuntemattomien lukumäärä, ts. r < n. Ja siksi järjestelmässä on ääretön määrä ratkaisuja, ts. on nollasta poikkeavia ratkaisuja. ■

Merkitään järjestelmän (1) ratkaisua X 1 = k 1 , X 2 = k 2 , …, x n = k n merkkijonona .

Lineaaristen homogeenisten yhtälöiden ratkaisuilla on seuraavat ominaisuudet:

1. Jos linja on ratkaisu järjestelmään (1), niin viiva on ratkaisu järjestelmään (1).

2. Jos linjat Ja - järjestelmän (1) ratkaisut, sitten mille tahansa arvolle Kanssa 1 ja Kanssa 2 niiden lineaarinen yhdistelmä on myös ratkaisu järjestelmään (1).

Näiden ominaisuuksien pätevyys voidaan varmistaa korvaamalla ne suoraan järjestelmän yhtälöihin.

Muotoilluista ominaisuuksista seuraa, että mikä tahansa lineaarinen ratkaisujen yhdistelmä lineaaristen homogeenisten yhtälöiden järjestelmään on myös ratkaisu tähän järjestelmään.

Lineaarisesti riippumattomien ratkaisujen järjestelmä e 1 , e 2 , …, e r nimeltään perustavanlaatuinen, jos jokainen järjestelmän (1) ratkaisu on näiden ratkaisujen lineaarinen yhdistelmä e 1 , e 2 , …, e r.

Lause 3. Jos sijoitus r lineaarisen homogeenisen yhtälöjärjestelmän (1) muuttujien kertoimien matriisit ovat pienempiä kuin muuttujien lukumäärä n, silloin mikä tahansa järjestelmän (1) perusratkaisujärjestelmä koostuu n–r päätökset.

Siksi yhteinen päätös Lineaaristen homogeenisten yhtälöiden (1) muoto on:

Missä e 1 , e 2 , …, e r– mikä tahansa perusratkaisujärjestelmä järjestelmään (9), Kanssa 1 , Kanssa 2 , …, kanssa p- mielivaltaiset numerot, R = n–r.

Lause 4. Järjestelmän yleinen ratkaisu m lineaariset yhtälöt c n tuntematon on yhtä suuri kuin vastaavan lineaarisen homogeenisen yhtälöjärjestelmän (1) yleisratkaisun ja tämän järjestelmän mielivaltaisen tietyn ratkaisun (1) summa.

Esimerkki. Ratkaise järjestelmä

Ratkaisu. Tälle järjestelmälle m = n= 3. Determinantti

Lauseen 2 mukaan järjestelmällä on vain triviaali ratkaisu: x = y = z = 0.

Esimerkki. 1) Etsi järjestelmän yleiset ja erityiset ratkaisut

2) Etsi perusratkaisujärjestelmä.

Ratkaisu. 1) tälle järjestelmälle m = n= 3. Determinantti

Lauseen 2 mukaan järjestelmässä on nollasta poikkeavat ratkaisut.

Koska järjestelmässä on vain yksi riippumaton yhtälö

x + y – 4z = 0,

sitten siitä me ilmaisemme x =4z- y. Mistä saamme äärettömän määrän ratkaisuja: (4 z- y, y, z) – tämä on järjestelmän yleinen ratkaisu.

klo z= 1, y= -1, saamme yhden tietyn ratkaisun: (5, -1, 1). Laittaminen z= 3, y= 2, saamme toisen tietyn ratkaisun: (10, 2, 3) jne.

2) Yleisessä ratkaisussa (4 z- y, y, z) muuttujia y Ja z ovat ilmaisia, ja muuttuja X- heistä riippuvainen. Löytääksemme perusratkaisujärjestelmän, annetaan arvot vapaille muuttujille: ensin y = 1, z= 0 siis y = 0, z= 1. Saadaan osaratkaisut (-1, 1, 0), (4, 0, 1), jotka muodostavat perusratkaisujärjestelmän.

Kuvituksia:

Riisi. 1 Lineaaristen yhtälöjärjestelmien luokitus

Riisi. 2 Lineaariyhtälöjärjestelmien tutkiminen

Esitykset:

· Ratkaisu SLAE_matrix-menetelmä

· SLAE_Cramer-menetelmän ratkaisu

· Ratkaisu SLAE_Gauss-menetelmä

· Ratkaisupaketit matemaattisia ongelmia Mathematica, MathCad: analyyttisten ja numeeristen ratkaisujen etsiminen lineaariyhtälöjärjestelmiin

Kontrollikysymykset:

1. Määrittele lineaarinen yhtälö

2. Miltä järjestelmä näyttää? m lineaariset yhtälöt kanssa n tuntematon?

3. Mitä kutsutaan lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi?

4. Mitä järjestelmiä kutsutaan vastaaviksi?

5. Mitä järjestelmää kutsutaan yhteensopimattomaksi?

6. Mitä järjestelmää kutsutaan niveleksi?

7. Mitä järjestelmää kutsutaan määrätyksi?

8. Mitä järjestelmää kutsutaan määrittelemättömäksi

9. Listaa lineaariyhtälöjärjestelmien alkeismuunnokset

10. Listaa matriisien alkeismuunnokset

11. Muotoile lause alkeismuunnosten soveltamisesta lineaariyhtälöjärjestelmään

12. Mitä järjestelmiä voidaan ratkaista matriisimenetelmällä?

13. Mitä järjestelmiä voidaan ratkaista Cramerin menetelmällä?

14. Mitä järjestelmiä voidaan ratkaista Gaussin menetelmällä?

15. Listaa 3 mahdollista tapausta, joita syntyy, kun ratkaistaan ​​lineaarisia yhtälöjärjestelmiä Gaussin menetelmällä

16. Kuvaa matriisimenetelmä lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi

17. Kuvaile Cramerin menetelmää lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi

18. Kuvaile Gaussin menetelmää lineaaristen yhtälöjärjestelmien ratkaisemiseksi

19. Mitä järjestelmiä voidaan käyttää? käänteinen matriisi?

20. Listaa 3 mahdollista tapausta, joita syntyy, kun ratkaistaan ​​lineaarisia yhtälöjärjestelmiä Cramer-menetelmällä

Kirjallisuus:

1. Korkeampi matematiikka taloustieteilijöille: Oppikirja yliopistoille / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M.N. Friedman. Ed. N.Sh. Kremer. – M.: UNITY, 2005. – 471 s.

2. Yleinen korkeamman matematiikan kurssi taloustieteilijöille: Oppikirja. /Toim. IN JA. Ermakova. –M.: INFRA-M, 2006. – 655 s.

3. Korkeamman matematiikan tehtäväkokoelma taloustieteilijöille: Opetusohjelma/ Toimittanut V.I. Ermakova. M.: INFRA-M, 2006. – 574 s.

4. Gmurman V. E. Opas ongelmien ratkaisemiseen todennäköisyysteoriassa ja magmaattisissa tilastoissa. -M.: valmistua koulusta, 2005. – 400 s.

5. Gmurman. V.E Todennäköisyysteoria ja matemaattiset tilastot. - M.: Korkeakoulu, 2005.

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Korkeampaa matematiikkaa harjoituksissa ja tehtävissä. Osa 1, 2. – M.: Onyx 21st century: Peace and Education, 2005. – 304 s. Osa 1; – 416 s. Osa 2.

7. Taloustieteen matematiikka: Oppikirja: 2 osassa / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaytsev, A.V. Brailov, I.G. Shandara. – M.: Talous ja tilastot, 2006.

8. Shipachev V.S. Korkeampi matematiikka: Oppikirja opiskelijoille. yliopistot - M.: Higher School, 2007. - 479 s.

Liittyviä tietoja.

Kutsutaan lineaarinen yhtälöjärjestelmä, jossa kaikki vapaat termit ovat yhtä suuria kuin nolla homogeeninen :

Mikä tahansa homogeeninen järjestelmä on aina johdonmukainen, koska se on aina ollut nolla (triviaali ) ratkaisu. Herää kysymys, missä olosuhteissa homogeenisella järjestelmällä on ei-triviaali ratkaisu.

Lause 5.2.Homogeenisella järjestelmällä on ei-triviaali ratkaisu silloin ja vain, jos taustalla olevan matriisin järjestys on pienempi kuin sen tuntemattomien lukumäärä.

Seuraus. Neliöhomogeenisella järjestelmällä on ei-triviaali ratkaisu silloin ja vain, jos järjestelmän päämatriisin determinantti ei ole nolla.

Esimerkki 5.6. Määritä parametrin l arvot, joilla järjestelmällä on ei-triviaaleja ratkaisuja, ja etsi nämä ratkaisut:

Ratkaisu. Tällä järjestelmällä on ei-triviaali ratkaisu, kun päämatriisin determinantti on yhtä suuri kuin nolla:

Siten järjestelmä on ei-triviaali, kun l=3 tai l=2. Kun l=3, järjestelmän päämatriisin järjestys on 1. Jäljelle jää sitten vain yksi yhtälö ja oletetaan, että y=a Ja z=b, saamme x=b-a, eli

Kun l = 2, järjestelmän päämatriisin sijoitus on 2. Sitten valitessaan perustaksi molli:

saamme yksinkertaistetun järjestelmän

Täältä löydämme sen x=z/4, y=z/2. uskoa z=4a, saamme

Homogeenisen järjestelmän kaikkien ratkaisujen joukolla on erittäin tärkeä lineaarinen omaisuus : jos sarakkeet X 1 ja X 2 - Homogeenisen järjestelmän ratkaisut AX = 0, sitten mikä tahansa niiden lineaarinen yhdistelmä a X 1 + b X 2 on myös ratkaisu tähän järjestelmään. Todellakin, siitä lähtien KIRVES 1 = 0 Ja KIRVES 2 = 0 , Tuo A(a X 1 + b X 2) = a KIRVES 1 + b KIRVES 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Tästä ominaisuudesta johtuen, että jos lineaarisella järjestelmällä on useampi kuin yksi ratkaisu, niin näitä ratkaisuja on ääretön määrä.

Lineaarisesti riippumattomat sarakkeet E 1 , E 2 , E k, jotka ovat homogeenisen järjestelmän ratkaisuja, kutsutaan perustavanlaatuinen ratkaisujärjestelmä homogeeninen lineaarinen yhtälöjärjestelmä, jos tämän järjestelmän yleinen ratkaisu voidaan kirjoittaa näiden sarakkeiden lineaarisena yhdistelmänä:

Jos homogeeninen järjestelmä on n muuttujat, ja järjestelmän päämatriisin sijoitus on yhtä suuri kuin r, Tuo k = n-r.

Esimerkki 5.7. Etsi perusratkaisujärjestelmä seuraavalle lineaariyhtälöjärjestelmälle:

Ratkaisu. Etsitään järjestelmän päämatriisin sijoitus:

Siten tämän yhtälöjärjestelmän ratkaisujoukko muodostaa ulottuvuuden lineaarisen aliavaruuden n-r= 5 - 2 = 3. Valitaan perusteeksi molli

.

Jättäen sitten vain perusyhtälöt (loput ovat näiden yhtälöiden lineaarinen yhdistelmä) ja perusmuuttujat (siirrämme loput, ns. vapaat muuttujat oikealle), saamme yksinkertaistetun yhtälöjärjestelmän:

uskoa x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, löydämme

, .

uskoa a= 1, b = c= 0, saadaan ensimmäinen perusratkaisu; uskoen b= 1, a = c= 0, saadaan toinen perusratkaisu; uskoen c= 1, a = b= 0, saadaan kolmas perusratkaisu. Tämän seurauksena normaali perusratkaisujärjestelmä saa muodon

Perusjärjestelmää käyttämällä homogeenisen järjestelmän yleinen ratkaisu voidaan kirjoittaa muodossa

X = aE 1 + olla 2 + cE 3. a

Huomioikaa joitakin ratkaisujen ominaisuuksia epähomogeeniseen lineaariyhtälöjärjestelmään AX=B ja niiden suhde vastaavaan homogeeniseen yhtälöjärjestelmään AX = 0.

Epähomogeenisen järjestelmän yleinen ratkaisuon yhtä suuri kuin vastaavan homogeenisen järjestelmän yleisratkaisun AX = 0 ja epähomogeenisen järjestelmän mielivaltaisen tietyn ratkaisun summa. Todellakin, anna Y 0 on mielivaltainen erityinen ratkaisu epähomogeenisesta järjestelmästä, ts. AY 0 = B, Ja Y- heterogeenisen järjestelmän yleinen ratkaisu, ts. AY=B. Vähentämällä yksi yhtäläisyys toisesta, saamme
A(Y-Y 0) = 0, ts. Y-Y 0 on vastaavan homogeenisen järjestelmän yleinen ratkaisu KIRVES=0. Siten, Y-Y 0 = X, tai Y=Y 0 + X. Q.E.D.

Olkoon epähomogeenisella järjestelmällä muoto AX = B 1 + B 2 . Tällöin tällaisen järjestelmän yleinen ratkaisu voidaan kirjoittaa muodossa X = X 1 + X 2 , missä AX 1 = B 1 ja AX 2 = B 2. Tämä ominaisuus ilmaisee minkä tahansa universaalin ominaisuuden lineaariset järjestelmät(algebrallinen, differentiaalinen, funktionaalinen jne.). Fysiikassa tätä ominaisuutta kutsutaan superpositioperiaate, sähkö- ja radiotekniikassa - superposition periaate. Esimerkiksi lineaaristen sähköpiirien teoriassa minkä tahansa piirin virta voidaan saada muodossa algebrallinen summa kunkin energialähteen aiheuttamat virrat erikseen.

Annetut matriisit

Etsi: 1) aA - bB,

Ratkaisu: 1) Löydämme sen peräkkäin käyttämällä sääntöjä, joissa matriisi kerrotaan luvulla ja lisätään matriisit.

2. Etsi A*B jos

Ratkaisu: Käytämme matriisin kertolaskua

Vastaus:

3. varten annettu matriisi etsi molli M 31 ja laske determinantti.

Ratkaisu: Pieni M 31 on A:sta saadun matriisin determinantti

rivin 3 ja sarakkeen 1 yliviivauksen jälkeen. Löydämme

1*10*3+4*4*4+1*1*2-2*4*10-1*1*4-1*4*3 = 0.

Muunnetaan matriisi A muuttamatta sen determinanttia (tehdään nollia riville 1)

Nyt lasketaan matriisin A determinantti laajentamalla riviä 1 pitkin

Vastaus: M 31 = 0, detA = 0

Ratkaise Gaussin menetelmällä ja Cramerin menetelmällä.

2x 1 + x 2 + x 3 = 2

x 1 + x 2 + 3x 3 = 6

2x 1 + x 2 + 2x 3 = 5

Ratkaisu: Tarkistetaan

Voit käyttää Cramerin menetelmää

Järjestelmän ratkaisu: x 1 = D 1 / D = 2, x 2 = D 2 / D = -5, x 3 = D 3 / D = 3

Sovelletaan Gaussin menetelmää.

Pelkistetään järjestelmän laajennettu matriisi kolmion muotoon.

Laskennan helpottamiseksi vaihdetaan rivit:

Kerro toinen rivi luvulla (k = -1 / 2 = -1 / 2 ) ja lisää kolmanteen:

Kerro ensimmäinen rivi luvulla (k = -2 / 2 = -1 ) ja lisää kohtaan 2:

Nyt alkuperäinen järjestelmä voidaan kirjoittaa seuraavasti:

x 1 = 1 - (1/2 x 2 + 1/2 x 3)

x 2 = 13 - (6 x 3)

Toiselta riviltä ilmaisemme

1. riviltä ilmaisemme

Ratkaisu on sama.

Vastaus: (2; -5; 3)

Etsi järjestelmän ja FSR:n yleinen ratkaisu

13x 1 - 4x 2 - x 3 - 4x 4 - 6x 5 = 0

11x 1 - 2x 2 + x 3 - 2x 4 - 3x 5 = 0

5x 1 + 4x 2 + 7x 3 + 4x 4 + 6x 5 = 0

7x 1 + 2x 2 + 5x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 0

Ratkaisu: Sovelletaan Gaussin menetelmää. Pelkistetään järjestelmän laajennettu matriisi kolmion muotoon.

Kerro 1. rivi arvolla (-11). Kerro toinen rivi (13). Lisätään 2. rivi ensimmäiseen:

Kerro toinen rivi arvolla (-5). Kerrotaan kolmas rivi (11). Lisätään 3. rivi toiseen:

Kerro 3. rivi arvolla (-7). Kerrotaan neljäs rivi (5). Lisätään neljäs rivi kolmanteen:

Toinen yhtälö on muiden lineaarinen yhdistelmä

Etsitään matriisin sijoitus.

Korostettu alaikäinen on korkein järjestys(mahdollisista alaväreistä) ja on nollasta poikkeava (se on yhtä suuri kuin käänteisen diagonaalin alkioiden tulo), joten rang(A) = 2.

Tämä alaikäinen on perus. Se sisältää kertoimet tuntemattomille x 1 , x 2 , mikä tarkoittaa, että tuntemattomat x 1 , x 2 ovat riippuvaisia ​​(perus) ja x 3 , x 4 , x 5 ovat vapaita.

Tämän matriisin kertoimilla varustettu järjestelmä vastaa alkuperäistä järjestelmää ja sen muoto on:

18x2 = 24x3 + 18x4 + 27x5

7x 1 + 2x 2 = - 5x 3 - 2x 4 - 3x 5

Käyttämällä menetelmää tuntemattomien poistamiseksi löydämme yhteinen päätös:

x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5

x 1 = - 1/3 x 3

Löydämme perusratkaisujärjestelmän (FSD), joka koostuu (n-r) ratkaisuista. Tässä tapauksessa n=5, r=2, joten perusratkaisujärjestelmä koostuu 3 ratkaisusta, ja näiden ratkaisujen tulee olla lineaarisesti riippumattomia.

Jotta rivit olisivat lineaarisesti riippumattomia, on välttämätöntä ja riittävää, että rivielementeistä koostuvan matriisin järjestys on yhtä suuri kuin rivien lukumäärä, eli 3.

Riittää, kun annetaan vapaat tuntemattomat x 3 , x 4 , x 5 arvot 3. kertaluvun determinantin riveistä, ei nolla, ja lasketaan x 1 , x 2 .

Yksinkertaisin nollasta poikkeava determinantti on identiteettimatriisi.

Mutta se on kätevämpi ottaa täältä

Löydämme käyttämällä yleistä ratkaisua:

a) x 3 = 6, x 4 = 0, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = -2, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 4 Þ

FSR:n I päätös: (-2; -4; 6; 0;0)

b) x 3 = 0, x 4 = 6, x 5 = 0 Þ x 1 = - 1 / 3 x 3 = 0, x 2 = - 4 / 3 x 3 - x 4 - 3 / 2 x 5 = - 6 Þ

II FSR-liuos: (0; -6; 0; 6; 0)

c) x 3 = 0, x 4 = 0, x 5 = 6 Þ x 1 = - 1/3 x 3 = 0, x 2 = - 4/3 x 3 - x 4 - 3/2 x 5 = -9 Þ

FSR:n III päätös: (0; - 9; 0; 0;6)

Þ FSR: (-2; -4; 6; 0;0), (0; -6; 0; 6;0), (0; -9; 0; 0;6)

6. Annettu: z 1 = -4 + 5i, z 2 = 2 – 4i. Etsi: a) z 1 – 2z 2 b) z 1 z 2 c) z 1 /z 2

Ratkaisu: a) z 1 – 2z 2 = -4+5i+2(2-4i) = -4+5i+4-8i = -3i

b) z 1 z 2 = (-4+5i)(2-4i) = -8+10i+16i-20i 2 = (i 2 = -1) = 12 + 26i

Vastaus: a) -3i b) 12+26i c) -1,4 – 0,3i

Homogeeniset lineaaristen algebrallisten yhtälöiden järjestelmät

Osana oppitunteja Gaussin menetelmä Ja Yhteensopimattomat järjestelmät/järjestelmät, joilla on yhteinen ratkaisu mietimme epähomogeeniset lineaariyhtälöjärjestelmät, Missä vapaa jäsen(joka on yleensä oikealla) ainakin yksi yhtälöistä erosi nollasta.
Ja nyt, hyvän lämmittelyn jälkeen matriisin arvo, jatkamme tekniikan hiomista alkeellisia muunnoksia päällä homogeeninen lineaarinen yhtälöjärjestelmä.
Ensimmäisten kappaleiden perusteella materiaali saattaa tuntua tylsältä ja keskinkertaiselta, mutta tämä vaikutelma on petollinen. Tekniikkojen jatkokehityksen lisäksi tulee paljon uutta tietoa, joten yritä olla laiminlyömättä tämän artikkelin esimerkkejä.

Mikä on homogeeninen lineaarinen yhtälöjärjestelmä?

Vastaus ehdottaa itseään. Lineaarinen yhtälöjärjestelmä on homogeeninen, jos vapaa termi kaikille järjestelmän yhtälö on nolla. Esimerkiksi:

Se on täysin selvää homogeeninen järjestelmä on aina johdonmukainen eli siihen on aina ratkaisu. Ja ennen kaikkea, mikä pistää silmään, on ns triviaali ratkaisu . Triviaali, niille, jotka eivät ymmärrä adjektiivin merkitystä ollenkaan, tarkoittaa ilman esittelyä. Ei tietenkään akateemisesti, mutta ymmärrettävästi =) ...Miksi ryöstää, katsotaan onko tällä järjestelmällä muita ratkaisuja:

Esimerkki 1

Ratkaisu: homogeenisen järjestelmän ratkaisemiseksi on tarpeen kirjoittaa järjestelmämatriisi ja tuoda se vaiheittaiseen muotoon alkeismuunnosten avulla. Huomaa, että täällä ei tarvitse kirjoittaa ylös pystypalkkia ja vapaiden termien nollasaraketta - loppujen lopuksi riippumatta siitä, mitä teet nollien kanssa, ne pysyvät nollina:

(1) Ensimmäinen rivi lisättiin toiselle riville kerrottuna -2:lla. Ensimmäinen rivi lisättiin kolmanteen riviin kerrottuna -3:lla.

(2) Toinen rivi lisättiin kolmanteen riviin kerrottuna -1:llä.

Kolmannen rivin jakaminen kolmella ei ole kovin järkevää.

Alkuainemuunnosten tuloksena saadaan ekvivalentti homogeeninen järjestelmä , ja Gaussin menetelmän käänteistä käyttämällä on helppo varmistaa, että ratkaisu on ainutlaatuinen.

Vastaus:

Muotoilkaamme ilmeinen kriteeri: homogeenisella lineaariyhtälöjärjestelmällä on pelkkä triviaali ratkaisu, Jos järjestelmämatriisin arvo(tässä tapauksessa 3) on yhtä suuri kuin muuttujien lukumäärä (tässä tapauksessa - 3 kappaletta).

Lämmitetään ja viritetään radiomme alkeismuutosten aaltoon:

Esimerkki 2

Ratkaise homogeeninen lineaarinen yhtälöjärjestelmä

Artikkelista Kuinka löytää matriisin sijoitus? Muistakaamme rationaalinen tekniikka, jossa matriisilukuja pienennetään samanaikaisesti. Muuten joudut leikkaamaan suuria ja usein purevia kaloja. Likimääräinen esimerkki tehtävästä oppitunnin lopussa.

Nollat ​​ovat hyviä ja käteviä, mutta käytännössä tapaus on paljon yleisempi, kun järjestelmämatriisin rivit lineaarisesti riippuvainen. Ja sitten yleisen ratkaisun syntyminen on väistämätöntä:

Esimerkki 3

Ratkaise homogeeninen lineaarinen yhtälöjärjestelmä

Ratkaisu: kirjoitetaan järjestelmän matriisi ja viedään se alkeismuunnoksilla vaiheittaiseen muotoon. Ensimmäisen toimenpiteen tarkoituksena ei ole vain yhden arvon saaminen, vaan myös ensimmäisen sarakkeen numeroiden vähentäminen:

(1) Kolmas rivi lisättiin ensimmäiselle riville kerrottuna -1:llä. Kolmas rivi lisättiin toiselle riville kerrottuna -2:lla. Vasemmassa yläkulmassa sain yksikön, jossa on "miinus", joka on usein paljon kätevämpi jatkomuunnoksille.

(2) Kaksi ensimmäistä riviä ovat samat, yksi niistä on poistettu. Rehellisesti sanottuna en painostanut ratkaisua - se osoittautui sellaiseksi. Jos teet muunnoksia mallipohjaisesti, niin lineaarinen riippuvuus rivit olisivat paljastuneet hieman myöhemmin.

(3) Toinen rivi lisättiin kolmanteen riviin kerrottuna 3:lla.

(4) Ensimmäisen rivin merkki muutettiin.

Alkuainemuunnosten tuloksena saatiin vastaava järjestelmä:

Algoritmi toimii täsmälleen samalla tavalla kuin heterogeeniset järjestelmät. Muuttujat "istuu portailla" ovat tärkeimmät, muuttuja, joka ei saanut "askelta", on vapaa.

Ilmaistaan ​​perusmuuttujat vapaalla muuttujalla:

Vastaus: yhteinen päätös:

Triviaali ratkaisu on mukana yleinen kaava, ja sitä ei tarvitse kirjoittaa erikseen.

Tarkastus suoritetaan myös tavanomaisen kaavion mukaan: tuloksena oleva yleinen ratkaisu on substituoitava järjestelmän kunkin yhtälön vasempaan puolelle ja kaikille substituutioille on saatava laillinen nolla.

Tämä olisi mahdollista tehdä hiljaa ja rauhallisesti, mutta homogeenisen yhtälöjärjestelmän ratkaisu on usein esitettävä vektorimuodossa käyttämällä perustavanlaatuinen ratkaisujärjestelmä. Ole hyvä ja unohda se toistaiseksi analyyttinen geometria, koska nyt puhumme vektoreista yleisessä algebrallisessa mielessä, jota avasin hieman artikkelissa matriisin arvo. Terminologiaa ei tarvitse hämärtää, kaikki on melko yksinkertaista.