Derivaatan määritelmä, sen geometrinen merkitys. Mikä on johdannainen Derivaattafunktion määritelmä ja merkitys

Saada selville geometrinen arvo derivaatta, katso funktion y = f(x) kuvaaja. Otetaan mielivaltainen piste M koordinaatteineen (x, y) ja sen lähellä oleva piste N (x + $\Delta $x, y + $\Delta $y). Piirretään ordinaatit $\overline(M_(1) M)$ ja $\overline(N_(1) N)$ ja pisteestä M - OX-akselin suuntainen suora.

Suhde $\frac(\Delta y)(\Delta x) $ on sekantin MN muodostaman kulman $\alpha $1 tangentti OX-akselin positiivisen suunnan kanssa. Kun $\Delta $x pyrkii nollaan, piste N lähestyy M:tä ja sekantin MN raja-asema on käyrän tangentti MT kohdassa M. Siten derivaatta f`(x) on yhtä suuri kuin tangentti kulmasta $\alpha $, jonka tangentti muodostaa pisteessä M (x, y) positiivisessa suunnassa OX-akseliin - tangentin kaltevuus (kuva 1).

Kuva 1. Funktiokaavio

Laskettaessa arvoja kaavoilla (1), on tärkeää olla tekemättä virheitä merkeissä, koska lisäys voi olla myös negatiivinen.

Käyrällä oleva piste N voi taipua M:ään miltä tahansa puolelta. Joten jos kuvassa 1 tangentti annetaan vastakkaiseen suuntaan, kulma $\alpha $ muuttuu summalla $\pi $, mikä vaikuttaa merkittävästi kulman tangenttiin ja vastaavasti kulmakertoimeen.

Johtopäätös

Tästä seuraa, että derivaatan olemassaolo liittyy käyrän y = f(x) tangentin olemassaoloon ja kulmakerroin - tg $\alpha $ = f`(x) on äärellinen. Siksi tangentin ei tulisi olla yhdensuuntainen OY-akselin kanssa, muuten $\alpha $ = $\pi $/2, ja kulman tangentti on ääretön.

Joissakin kohdissa jatkuvalla käyrällä ei välttämättä ole tangenttia tai tangentti on yhdensuuntainen OY-akselin kanssa (kuva 2). Tällöin funktiolla ei voi olla derivaatta näissä arvoissa. Funktiokäyrällä voi olla mikä tahansa määrä samanlaisia ​​pisteitä.

Kuva 2. Käyrän poikkeukselliset pisteet

Tarkastellaan kuvaa 2. Olkoon $\Delta $x nolla negatiivisista tai positiivisista arvoista:

\[\Delta x\to -0\begin(array)(cc) () & (\Delta x\to +0) \end(array)\]

Jos tässä tapauksessa suhteilla (1) on lopullinen raja, se merkitään seuraavasti:

Ensimmäisessä tapauksessa derivaatta on vasemmalla, toisessa derivaatta on oikealla.

Rajan olemassaolo osoittaa vasemman ja oikean derivaatan ekvivalenssin ja yhtäläisyyden:

Jos vasen ja oikea derivaatta ovat eriarvoisia, niin tietyssä pisteessä on tangentit, jotka eivät ole yhdensuuntaisia ​​OY:n kanssa (piste M1, kuva 2). Pisteissä M2, M3 suhteet (1) pyrkivät äärettömään.

Pisteille N, jotka sijaitsevat M2:n vasemmalla puolella, $\Delta $x $

Kohteen $M_2$ oikealla puolella $\Delta $x $>$ 0, mutta lauseke on myös f(x + $\Delta $x) -- f(x) $

Vasemmalla olevalle pisteelle $M_3$ $\Delta $x $$ 0 ja f(x + $\Delta $x) -- f(x) $>$ 0, ts. lausekkeet (1) sekä vasemmalla että oikealla ovat positiivisia ja yleensä +$\infty $, kun $\Delta $x lähestyy -0:aa ja +0:aa.

Tapaus derivaatan puuttumisesta suoran tietyissä kohdissa (x = c) on esitetty kuvassa 3.

Kuva 3. Ei johdannaisia

Esimerkki 1

Kuva 4 esittää funktion kuvaajaa ja kaavion tangenttia abskissapisteessä $x_0$. Etsi funktion derivaatan arvo abskissasta.

Ratkaisu. Derivaata pisteessä on yhtä suuri kuin funktion inkrementin ja argumentin inkrementin suhde. Valitaan tangentista kaksi pistettä kokonaislukukoordinaateilla. Olkoon nämä esimerkiksi pisteet F (-3.2) ja C (-2.4).

Työtyyppi: 7

Kunto

Suora y=3x+2 on tangentti funktion y=-12x^2+bx-10 kuvaajalle. Etsi b, koska tangentin pisteen abskissa alle nolla.

Ratkaisu

Olkoon x_0 funktion y=-12x^2+bx-10 kaavion pisteen abskissa, jonka kautta tämän graafin tangentti kulkee.

Derivaatan arvo pisteessä x_0 on yhtä suuri kuin tangentin jyrkkyys, eli y"(x_0)=-24x_0+b=3. Toisaalta tangenttipiste kuuluu samanaikaisesti molempiin tangentin kuvaajaan. funktio ja tangentti, eli -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Saadaan yhtälöjärjestelmä \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(tapaukset)

Ratkaisemalla tämän järjestelmän saamme x_0^2=1, mikä tarkoittaa joko x_0=-1 tai x_0=1. Abskissaehdon mukaan tangenttipisteet ovat pienempiä kuin nolla, joten x_0=-1, sitten b=3+24x_0=-21.

Vastaus

Työtyyppi: 7
Aihe: Johdannaisten geometrinen merkitys. Tangentti funktion kuvaajalle

Kunto

Suora y=-3x+4 on yhdensuuntainen funktion y=-x^2+5x-7 kuvaajan tangentin kanssa. Etsi tangenttipisteen abskissa.

Ratkaisu

Funktion y=-x^2+5x-7 kaavion suoran kulmakerroin mielivaltaisessa pisteessä x_0 on yhtä suuri kuin y"(x_0). Mutta y"=-2x+5, mikä tarkoittaa y:tä" (x_0)=-2x_0+5. Ehdossa määritetyn suoran y=-3x+4 kulmakerroin on yhtä suuri kuin -3. Rinnakkaisilla viivoilla on samat kaltevuuskertoimet, joten löydämme arvon x_0, jolla =- 2x_0 +5=-3.

Saamme: x_0 = 4.

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen Unified State -kokeeseen 2017. Profiilin taso" Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Työtyyppi: 7
Aihe: Johdannaisten geometrinen merkitys. Tangentti funktion kuvaajalle

Kunto

Ratkaisu

Kuvasta päätämme, että tangentti kulkee pisteiden A(-6; 2) ja B(-1; 1) kautta. Merkitään C(-6; 1) suorien x=-6 ja y=1 leikkauspistettä ja \alphalla kulmaa ABC (kuvasta näet, että se on terävä). Sitten suora AB muodostaa kulman \pi -\alpha Ox-akselin positiivisen suunnan kanssa, joka on tylppä.

Kuten tiedetään, tg(\pi -\alpha) on funktion f(x) derivaatan arvo pisteessä x_0. huomaa, että tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. Tästä saamme pelkistyskaavoja käyttämällä: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen Unified State -kokeeseen 2017. Profiilitaso." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Työtyyppi: 7
Aihe: Johdannaisten geometrinen merkitys. Tangentti funktion kuvaajalle

Kunto

Suora y=-2x-4 on tangentti funktion y=16x^2+bx+12 kuvaajalle. Etsi b, koska tangentin pisteen abskissa on suurempi kuin nolla.

Ratkaisu

Olkoon x_0 funktion y=16x^2+bx+12 kaavion pisteen abskissa, jonka kautta

on tangentti tälle kaaviolle.

Derivaatan arvo pisteessä x_0 on yhtä suuri kuin tangentin kulmakerroin, eli y"(x_0)=32x_0+b=-2. Toisaalta tangenttipiste kuuluu samanaikaisesti molempiin tangentin kuvaajaan. funktio ja tangentti eli 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Saamme yhtälöjärjestelmän \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(tapaukset)

Kun järjestelmä ratkaistaan, saadaan x_0^2=1, mikä tarkoittaa joko x_0=-1 tai x_0=1. Abskissaehdon mukaan tangenttipisteet ovat suurempia kuin nolla, joten x_0=1, sitten b=-2-32x_0=-34.

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen Unified State -kokeeseen 2017. Profiilitaso." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Työtyyppi: 7
Aihe: Johdannaisten geometrinen merkitys. Tangentti funktion kuvaajalle

Kunto

Kuvassa on kaavio funktiosta y=f(x), joka on määritelty välille (-2; 8). Määritä pisteiden lukumäärä, joissa funktion kaavion tangentti on yhdensuuntainen suoran y=6 kanssa.

Ratkaisu

Suora y=6 on yhdensuuntainen Ox-akselin kanssa. Siksi löydämme pisteet, joissa funktion kaavion tangentti on yhdensuuntainen Ox-akselin kanssa. Tässä kaaviossa tällaiset pisteet ovat ääripisteitä (maksimi- tai minimipisteitä). Kuten näet, ääripisteitä on 4.

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen Unified State -kokeeseen 2017. Profiilitaso." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Työtyyppi: 7
Aihe: Johdannaisten geometrinen merkitys. Tangentti funktion kuvaajalle

Kunto

Suora y=4x-6 on yhdensuuntainen funktion y=x^2-4x+9 kuvaajan tangentin kanssa. Etsi tangenttipisteen abskissa.

Ratkaisu

Funktion y=x^2-4x+9 kaavion tangentin kaltevuus mielivaltaisessa pisteessä x_0 on yhtä suuri kuin y"(x_0). Mutta y"=2x-4, mikä tarkoittaa y"(x_0)= 2x_0-4. Ehdossa määritellyn tangentin y =4x-7 kaltevuus on yhtä suuri kuin 4. Rinnakkaisilla viivoilla on samat kulmakertoimet, joten löydämme arvon x_0 siten, että 2x_0-4 = 4. saa: x_0 = 4.

Vastaus

Lähde: "Matematiikka. Valmistautuminen Unified State -kokeeseen 2017. Profiilitaso." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Työtyyppi: 7
Aihe: Johdannaisten geometrinen merkitys. Tangentti funktion kuvaajalle

Kunto

Kuvassa on funktion y=f(x) käyrä ja sen tangentti pisteessä, jossa on abskissa x_0. Etsi funktion f(x) derivaatan arvo pisteessä x_0.

Ratkaisu

Kuvasta päätämme, että tangentti kulkee pisteiden A(1; 1) ja B(5; 4) kautta. Merkitään C(5; 1) viivojen x=5 ja y=1 leikkauspistettä ja \alphalla kulmaa BAC (kuvasta näkyy, että se on terävä). Sitten suora AB muodostaa kulman \alpha Ox-akselin positiivisen suunnan kanssa.

Luento: Johdannaisen funktion käsite, geometrinen merkitys johdannainen

Tarkastellaan jotakin funktiota f(x), joka on jatkuva koko tarkasteluvälin ajan. Tarkasteltavalle välille valitaan piste x 0 sekä funktion arvo tässä pisteessä.

Katsotaan siis kuvaajaa, johon merkitsemme pisteemme x 0, sekä pisteen (x 0 + ∆x). Muista, että ∆х on kahden valitun pisteen välinen etäisyys (ero).

On myös syytä ymmärtää, että jokainen x vastaa ominaisarvo toiminnot y.

Eroa funktion arvojen välillä pisteessä x 0 ja (x 0 + ∆x) kutsutaan tämän funktion inkrementiksi: ∆у = f(x 0 + ∆x) - f(x 0).

Kiinnitetään huomiota lisätietoihin, jotka ovat käytettävissä kaaviossa - tämä on sekantti, jota kutsutaan KL:ksi, sekä kolmio, jonka se muodostaa intervalleilla KN ja LN.

Kulmaa, jossa sekantti sijaitsee, kutsutaan sen kaltevuuskulmaksi ja sitä merkitään α. Voidaan helposti määrittää, että kulman LKN astemitta on myös yhtä suuri kuin α.

Muistetaan nyt suhteet suorakulmainen kolmio tgα = LN / KN = ∆у / ∆х.

Toisin sanoen sekanttikulman tangentti on yhtä suuri kuin funktion inkrementin ja argumentin inkrementin suhde.

Kerralla derivaatta on raja funktion inkrementin ja argumentin inkrementin suhteen äärettömällä pienillä aikaväleillä.

Derivaata määrittää nopeuden, jolla funktio muuttuu tietyllä alueella.

Johdannan geometrinen merkitys

Jos löydät jonkin funktion derivaatan tietystä pisteestä, voit määrittää kulman, jossa kaavion tangentti tietyssä virrassa sijaitsee suhteessa OX-akseliin. Kiinnitä huomiota kuvaajaan - tangentiaalinen kaltevuuskulma on merkitty kirjaimella φ ja se määräytyy kertoimella k suoran yhtälössä: y = kx + b.

Toisin sanoen voimme päätellä, että derivaatan geometrinen merkitys on tangenttikulman tangentti jossain funktion kohdassa.

Mikä on johdannainen?
Johdannaisen funktion määritelmä ja merkitys

Monet tulevat yllättymään tämän artikkelin odottamattomasta sijoittamisesta kirjoittajani kurssille yhden muuttujan funktion derivaatta ja sen sovelluksia. Loppujen lopuksi, kuten on ollut koulusta asti: standardioppikirja antaa ennen kaikkea derivaatan määritelmän, sen geometrisen, mekaanisen merkityksen. Seuraavaksi opiskelijat löytävät funktioiden johdannaisia ​​määritelmän mukaan, ja itse asiassa vasta sitten he täydentävät differentiointitekniikkaa käyttämällä johdannaistaulukot.

Mutta minun näkökulmastani seuraava lähestymistapa on pragmaattisempi: ensinnäkin on suositeltavaa YMMÄRTÄ HYVIN funktion raja, ja erityisesti äärettömän pieniä määriä. Tosiasia on, että johdannaisen määritelmä perustuu rajan käsitteeseen, joka on otettu huonosti huomioon koulun kurssi. Siksi merkittävä osa nuorista tiedon graniitin kuluttajista ei ymmärrä johdannaisen ydintä. Näin ollen, jos sinulla on vähän tietoa differentiaalilaskennasta tai viisaita aivoja pitkiä vuosia Pääsit onnistuneesti eroon tästä matkatavarasta, aloita toimintorajoja. Hallitse/muista samalla heidän ratkaisunsa.

Sama käytännön käsitys sanelee, että se on ensin edullinen oppia löytämään johdannaisia, mukaan lukien monimutkaisten funktioiden johdannaisia. Teoria on teoriaa, mutta, kuten sanotaan, haluat aina erottaa. Tältä osin on parempi käydä läpi luetellut perustunnit, ja ehkä erottelun mestari edes ymmärtämättä toimintansa ydintä.

Suosittelen aloittamaan tämän sivun materiaaleista artikkelin lukemisen jälkeen. Yksinkertaisimmat ongelmat johdannaisten kanssa, jossa tarkastellaan erityisesti funktion kaavion tangentin ongelmaa. Mutta voit odottaa. Tosiasia on, että monet derivaatan sovellukset eivät vaadi sen ymmärtämistä, eikä ole yllättävää, että teoreettinen oppitunti ilmestyi melko myöhään - kun minun piti selittää kasvavien/pienenevien välien ja ääripäiden löytäminen toimintoja. Lisäksi hän oli aiheessa melko pitkään. Funktiot ja kaaviot”, kunnes lopulta päätin laittaa sen aikaisemmin.

Siksi, rakkaat teekannut, älä kiirehdi imemään johdannaisen olemusta nälkäisten eläinten tavoin, koska kylläisyys on mauton ja epätäydellinen.

Funktion kasvavan, pienenevän, maksimin, minimin käsite

monet opetusvälineet johtaa johdannaisen käsitteeseen käyttämällä joitain käytännön ongelmia, ja minäkin keksin mielenkiintoinen esimerkki. Kuvittele, että olemme matkalla kaupunkiin, johon pääsee eri tavoin. Hylätään heti kaarevat mutkittelevat polut ja harkitaan vain suoria moottoriteitä. Kuitenkin myös suorat ajo-ohjeet ovat erilaisia: kaupunkiin pääsee tasaista moottoritietä pitkin. Tai mäkistä moottoritietä pitkin - ylös ja alas, ylös ja alas. Toinen tie menee vain ylämäkeen ja toinen alamäkeen koko ajan. Äärimmäiset harrastajat valitsevat reitin läpi rotkon, jossa on jyrkkä kallio ja jyrkkä nousu.

Mutta mitä tahansa haluat, on suositeltavaa tuntea alue tai ainakin paikantaa se topografinen kartta. Entä jos tällainen tieto puuttuu? Loppujen lopuksi voit valita esimerkiksi tasaisen polun, mutta sen seurauksena törmää laskettelurinteeseen iloisten suomalaisten kanssa. Se ei ole tosiasia, että navigaattori ja jopa satelliittikuva tarjoaa luotettavaa tietoa. Siksi olisi mukavaa virallistaa polun kohokuvio matematiikan avulla.

Katsotaanpa jotain tietä (sivukuva):

Varmuuden vuoksi muistutan teitä alkeellisesta tosiasiasta: matkustamista tapahtuu vasemmalta oikealle. Yksinkertaisuuden vuoksi oletetaan, että funktio jatkuva tarkasteltavalla alueella.

Mitkä ovat tämän kaavion ominaisuudet?

Väliajoin toiminto lisääntyy, eli sen jokainen seuraava arvo lisää Edellinen. Karkeasti sanottuna aikataulu on kunnossa alas ylös(kiipeämme mäelle). Ja välissä funktio vähenee– jokainen seuraava arvo Vähemmän edellinen, ja aikataulumme on päällä ylhäältä alas(menemme alas rinnettä).

Kiinnitämme huomiota myös yksittäisiä pisteitä. Kohdassa, jossa saavutamme enimmäismäärä, tuo on olemassa sellainen osa polusta, jossa arvo on suurin (korkein). Samalla se saavutetaan minimi, Ja olemassa sen naapurustossa, jossa arvo on pienin (pienin).

Tarkastellaan tiukempaa terminologiaa ja määritelmiä luokassa. funktion ääripäästä, mutta nyt tutkitaan vielä yhtä tärkeä ominaisuus: väliajoin toiminto kasvaa, mutta se kasvaa Kanssa eri nopeuksilla . Ja ensimmäinen asia, joka pistää silmään, on se, että kaavio kohoaa intervallin aikana paljon siistimpää, kuin välissä . Onko mahdollista mitata tien jyrkkyyttä matemaattisilla työkaluilla?

Toiminnan muutosnopeus

Ajatus on tämä: Otetaan arvoa (lue "delta x"), jota kutsumme argumentin lisäys, ja aloitetaan "kokeilla sitä" polumme eri kohtiin:

1) Katsotaanpa vasemmanpuoleisinta pistettä: etäisyyden ohittaessa kiivetään rinnettä korkeuteen (vihreä viiva). Määrää kutsutaan funktion lisäys, ja tässä tapauksessa tämä lisäys on positiivinen (arvojen ero akselilla on suurempi kuin nolla). Luodaan suhde, joka mittaa tiemme jyrkkyyttä. On selvää, että tämä on melkoista tietty numero, ja koska molemmat lisäykset ovat positiivisia, niin .

Huomio! Nimitykset ovat YKSI symboli, eli et voi "repäistä" "deltaa" "X":stä ja tarkastella näitä kirjaimia erikseen. Tietenkin kommentti koskee myös funktion lisäyssymbolia.

Tutkitaan tuloksena olevan murto-osan luonnetta mielekkäämmin. Olkaamme aluksi 20 metrin korkeudessa (vasemmassa mustassa pisteessä). Metrien etäisyyden (vasen punainen viiva) suoritettuamme löydämme itsemme 60 metrin korkeudesta. Silloin funktion lisäys on metriä (vihreä viiva) ja: . Täten, joka metrillä tällä tieosuudella korkeus kasvaa keskiverto 4 metrillä...unohditko kiipeilyvarusteesi? =) Toisin sanoen konstruoitu suhde kuvaa funktion KESKIMÄÄRÄISTÄ ​​MUUTOSNOPEUTTA (tässä tapauksessa kasvua).

Huomautus : numeerisia arvoja Tarkasteltava esimerkki vastaa piirustuksen mittasuhteita vain suunnilleen.

2) Mennään nyt samalle etäisyydelle oikeanpuoleisesta mustasta pisteestä. Tässä nousu on asteittaista, joten lisäys (crimson line) on suhteellisen pieni ja suhde edelliseen tapaukseen verrattuna on hyvin vaatimaton. Suhteellisesti sanottuna, metriä ja toiminnan kasvunopeus On . Eli täällä on jokaista polkumetriä kohden keskiverto puoli metriä nousua.

3) Pieni seikkailu vuorenrinteellä. Katsotaan ylempää mustaa pistettä, joka sijaitsee ordinaatta-akselilla. Oletetaan, että tämä on 50 metrin merkki. Ylitämme etäisyyden uudelleen, minkä seurauksena olemme alempana - 30 metrin tasolla. Koska liike on suoritettu ylhäältä alas(akselin "vastasuuntaan"), sitten lopullinen funktion lisäys (korkeus) on negatiivinen: metriä (ruskea segmentti piirustuksessa). Ja tässä tapauksessa puhumme jo laskun nopeus Ominaisuudet: , eli tämän osan jokaista polkumetriä kohden korkeus pienenee keskiverto 2 metrillä. Huolehdi vaatteistasi viidennessä kohdassa.

Esitetään nyt itseltämme kysymys: mitä "mittausstandardin" arvoa on parasta käyttää? Se on täysin ymmärrettävää, 10 metriä on erittäin karkea. Niihin mahtuu helposti kymmenkunta hummokkia. Kuhuista huolimatta, alla voi olla syvä rotko, ja muutaman metrin kuluttua on sen toinen puoli, jossa on vielä jyrkkä nousu. Näin ollen kymmenen metrin mittarilla emme saa ymmärrettävää kuvausta sellaisista polun osista suhteen .

Yllä olevasta keskustelusta seuraa seuraava johtopäätös: Miten vähemmän arvoa , mitä tarkemmin kuvaamme tien topografiaa. Lisäksi seuraavat tosiasiat pitävät paikkansa:

– Kenelle tahansa nostopisteitä voit valita arvon (vaikka hyvin pieni), joka sopii tietyn nousun rajoihin. Tämä tarkoittaa, että vastaava korkeuslisäys on taatusti positiivinen ja epäyhtälö osoittaa oikein funktion kasvun näiden välien jokaisessa pisteessä.

- Samoin, mille tahansa kaltevuuspisteessä on arvo, joka sopii täysin tälle rinteelle. Näin ollen vastaava korkeuden nousu on selvästi negatiivinen, ja epäyhtälö näyttää oikein funktion pienenemisen tietyn intervallin jokaisessa pisteessä.

– Erityisen mielenkiintoinen tapaus on, kun funktion muutosnopeus on nolla: . Ensinnäkin nollakorkeuslisäys () on merkki tasaisesta polusta. Ja toiseksi, on muita mielenkiintoisia tilanteita, joista näet esimerkkejä kuvasta. Kuvittele, että kohtalo on tuonut meidät aivan kukkulan huipulle, jossa kottelee kohoavia kotkia, tai rotkon pohjalle, jossa on kurivia sammakoita. Jos otat pienen askeleen mihin tahansa suuntaan, korkeuden muutos on mitätön, ja voimme sanoa, että funktion muutosnopeus on itse asiassa nolla. Juuri tämä kuva on nähtävissä pisteissä.

Näin ollen olemme päässeet hämmästyttävään tilaisuuteen karakterisoida täysin tarkasti funktion muutosnopeutta. Loppujen lopuksi matemaattinen analyysi mahdollistaa argumentin lisäyksen ohjaamisen nollaan: , eli tehdä siitä äärettömän pieni.

Seurauksena syntyy toinen looginen kysymys: onko mahdollista löytää tie ja sen aikataulu toinen toiminto, mikä kertoisi meille kaikista tasaisista osista, nousuista, laskuista, huipuista, laaksoista sekä kasvu-/laskunopeudesta kussakin pisteessä matkan varrella?

Mikä on johdannainen? Johdannan määritelmä.
Derivaatan ja differentiaalin geometrinen merkitys

Lue huolellisesti ja älä liian nopeasti - materiaali on yksinkertaista ja kaikkien saatavilla! Ei haittaa, jos joissain paikoissa jokin ei näytä kovin selkeältä, voit aina palata artikkeliin myöhemmin. Sanon lisää, on hyödyllistä opiskella teoriaa useita kertoja, jotta kaikki kohdat ymmärretään perusteellisesti (neuvonta on erityisen tärkeä "teknisille" opiskelijoille, joille korkeammalla matematiikalla on merkittävä rooli koulutusprosessissa).

Luonnollisesti jo derivaatan määritelmässä korvaamme sen jossain kohdassa:

Mihin olemme tulleet? Ja tulimme siihen tulokseen, että lain mukaiseen toimintaan on sovitettu muu toiminto, jota kutsutaan johdannainen funktio(tai yksinkertaisesti johdannainen).

Johdannainen luonnehtii muutoksen tahti toimintoja Miten? Ajatus kulkee kuin punainen lanka artikkelin alusta lähtien. Mietitäänpä jotain kohtaa määritelmän alue toimintoja Olkoon funktio differentioituva tietyssä pisteessä. Sitten:

1) Jos , niin funktio kasvaa kohdassa . Ja ilmeisesti on intervalli(jopa hyvin pieni), joka sisältää pisteen, jossa funktio kasvaa, ja sen kaavio kulkee "alhaalta ylös".

2) Jos , niin funktio pienenee pisteessä . Ja on väli, joka sisältää pisteen, jossa funktio pienenee (kaavio menee "ylhäältä alas").

3) Jos , niin äärettömän lähellä lähellä pistettä funktio säilyttää nopeudensa vakiona. Tämä tapahtuu, kuten todettiin, vakiotoiminnolla ja toiminnon kriittisissä kohdissa, erityisesti minimi- ja maksimipisteissä.

Vähän semantiikkaa. Mitä verbi "erottaa" tarkoittaa laajassa merkityksessä? Erottaminen tarkoittaa ominaisuuden korostamista. Erottamalla funktion "eristämme" sen muutosnopeuden funktion derivaatan muodossa. Mitä muuten tarkoittaa sana "johdannainen"? Toiminto tapahtui toiminnosta.

Termit tulkitaan erittäin onnistuneesti johdannaisen mekaanisella merkityksellä :
Tarkastellaan kappaleen koordinaattien muutoksen lakia ajasta riippuen ja tietyn kappaleen liikenopeuden funktiota. Funktio luonnehtii kehon koordinaattien muutosnopeutta, joten se on funktion ensimmäinen derivaatta ajan suhteen: . Jos käsitettä "kehon liike" ei olisi luonnossa, sitä ei olisi johdannainen käsite "kehon nopeus".

Kehon kiihtyvyys on nopeuden muutosnopeus, joten: . Jos alkuperäisiä käsitteitä "kehon liike" ja "kehon nopeus" ei olisi luonnossa, niin niitä ei olisi olemassa johdannainen käsite "kehon kiihtyvyys".

Oppitunnin tavoitteet:

Opiskelijoiden tulisi tietää:

• mitä kutsutaan viivan kaltevuudeksi;
• suoran ja Ox-akselin välinen kulma;
• mikä on derivaatan geometrinen merkitys;
• funktion kuvaajan tangentin yhtälö;
• menetelmä paraabelin tangentin muodostamiseksi;
• osaa soveltaa teoreettista tietoa käytännössä.

Oppitunnin tavoitteet:

Koulutus: luo edellytykset opiskelijoille hallita tieto-, taito- ja kykyjärjestelmä johdannaisen mekaanisen ja geometrisen merkityksen käsitteillä.

Kasvatus: muodostaa opiskelijoille tieteellinen maailmankuva.

Kehittävä: kehittää oppilaiden kognitiivista kiinnostusta, luovuutta, tahtoa, muistia, puhetta, huomiokykyä, mielikuvitusta, havaintoja.

Opetuksen ja kognitiivisen toiminnan järjestämismenetelmät:

• visuaalinen;
• käytännöllinen;
• henkisen toiminnan mukaan: induktiivinen;
• materiaalin assimilaation mukaan: osittain haku, lisääntyminen;
• riippumattomuusasteen mukaan: laboratoriotyöt;
• stimuloiva: rohkaisu;
• valvonta: suullinen frontaalinen tutkimus.

Tuntisuunnitelma

1. Suulliset harjoitukset (etsi johdannainen)
2. Opiskelijaviesti aiheesta "Syyt matemaattinen analyysi”.
3. Uuden materiaalin oppiminen
4. Phys. Hetkinen.
5. Tehtävien ratkaiseminen.
6. Laboratoriotyöt.
7. Yhteenveto oppitunnista.
8. Kommentoi kotitehtäviä.

Varustus: multimediaprojektori (esitys), kortit ( laboratoriotyöt).

"Ihminen saavuttaa jotain vain siellä, missä hän uskoo omiin voimiinsa"

L. Feuerbach

Luokan organisointi koko oppitunnin ajan, oppilaiden valmius oppituntiin, järjestys ja kuri.

Oppimistavoitteiden asettaminen opiskelijoille sekä koko oppitunnille että sen yksittäisille vaiheille.

Selvitä opittavan materiaalin merkitys sekä tässä aiheessa että koko kurssilla.

Sanallinen laskenta

1. Etsi johdannaisia:

" , ()" , (4sin x)", (cos2x)", (tg x)", "

2. Logiikkatesti.

a) Lisää puuttuva lauseke.

Tieteen kehityksen yleisen suunnan määräävät viime kädessä ihmisen toiminnan harjoittamisen vaatimukset. Muinaisten valtioiden olemassaolo monimutkaisen hierarkkisen hallintajärjestelmän kanssa olisi ollut mahdotonta ilman aritmetiikan ja algebran riittävää kehitystä, koska verojen kerääminen, armeijan tarvikkeiden järjestäminen, palatsien ja pyramidien rakentaminen sekä kastelujärjestelmien rakentaminen vaativat monimutkaisia ​​laskelmia. Renessanssin aikana yhteydet keskiaikaisen maailman eri osien välillä laajenivat, kauppa ja käsityö kehittyivät. Tuotannon teknisen tason nopea nousu alkaa ja teollisesti hyödynnetään uusia energialähteitä, jotka eivät liity ihmisten tai eläinten lihaksiin. XI-XII-luvulla ilmestyi täyttö- ja kutomakoneet ja XV-luvun puolivälissä painokone. Tänä aikana yhteiskunnallisen tuotannon nopean kehityksen tarpeen vuoksi muinaisista ajoista lähtien kuvailevien luonnontieteiden olemus muuttui. Luonnontieteiden tavoitteena on luonnon prosessien, ei esineiden, syvällinen tutkiminen. Vakiosuureilla toimiva matematiikka vastasi antiikin kuvaavaa luonnontiedettä. Oli tarpeen luoda matemaattinen laite, joka ei kuvaisi prosessin tulosta, vaan sen virtauksen luonnetta ja sen luontaisia ​​kuvioita. Tämän seurauksena 1100-luvun loppuun mennessä Newton Englannissa ja Leibniz Saksassa saivat päätökseen ensimmäisen vaiheen matemaattisen analyysin luomisessa. Mitä on "matemaattinen analyysi"? Miten minkä tahansa prosessin ominaisuuksia voidaan karakterisoida ja ennustaa? Käytätkö näitä ominaisuuksia? Tunkeutua syvemmälle tietyn ilmiön olemukseen?

Seurataan Newtonin ja Leibnizin polkua ja katsotaan, kuinka voimme analysoida prosessia, pitäen sitä ajan funktiona.

Esittelemme useita käsitteitä, jotka auttavat meitä eteenpäin.

Lineaarifunktion y=kx+ b kuvaaja on suora, kutsutaan lukua k suoran kaltevuus. k=tg, missä on suoran kulma, eli tämän suoran ja Ox-akselin positiivisen suunnan välinen kulma.

Kuva 1

Tarkastellaan funktion y=f(x) kuvaajaa. Piirretään sekantti minkä tahansa kahden pisteen läpi, esimerkiksi sekantti AM. (Kuva 2)

Sekantin kulmakerroin k=tg. Suorakulmaisessa kolmiossa AMC<МАС = (объясните почему?). Тогда tg = = , что с точки зрения физики есть величина средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке времени, например, скорости изменения расстояния в механике.

Kuva 2

Kuva 3

Termi "nopeus" itsessään luonnehtii yhden suuren muutoksen riippuvuutta toisen suuren muutoksesta, eikä jälkimmäisen välttämättä tarvitse olla aikaa.

Siten sekantin kaltevuuskulman tangentti tg = .

Olemme kiinnostuneita määrien muutosten riippuvuudesta lyhyemmän ajan kuluessa. Ohjataan argumentin lisäys nollaan. Tällöin kaavan oikea puoli on funktion derivaatta pisteessä A (selitä miksi). Jos x -> 0, niin piste M siirtyy kuvaajaa pitkin pisteeseen A, mikä tarkoittaa, että suora AM lähestyy jotakin suoraa AB, joka on tangentti funktion y = f(x) kuvaajalle pisteessä A. (Kuva 3)

Sekantin kaltevuuskulma pyrkii tangentin kaltevuuskulmaan.

Derivaatan geometrinen merkitys on, että derivaatan arvo pisteessä on yhtä suuri kuin funktion kaavion tangentin kaltevuus pisteessä.

Johdannan mekaaninen merkitys.

Tangenttikulman tangentti on arvo, joka osoittaa funktion hetkellisen muutosnopeuden tietyssä pisteessä, eli tutkittavan prosessin uutta ominaisuutta. Leibniz kutsui tätä määrää johdannainen, ja Newton sanoi, että itse derivaatta kutsutaan hetkelliseksi nopeus.

nro 91(1) sivu 91 – näytä taululla.

Käyrän tangentin f(x) = x 3 kulmakerroin pisteessä x 0 – 1 on tämän funktion derivaatan arvo kohdassa x = 1. f’(1) = 3x 2 ; f’(1) = 3.

Nro 91 (3.5) – sanelu.

nro 92(1) – haluttaessa taululle.

Nro 92 (3) – itsenäisesti suullisella testauksella.

nro 92 (5) – hallituksessa.

Vastaukset: 45 0, 135 0, 1,5 e 2.

Tavoite: kehittää käsite "johdannaisen mekaaninen merkitys".

Johdannaisten sovellukset mekaniikassa.

Pisteen x = x(t), t suoraviivaisen liikkeen laki on annettu.

1. Keskimääräinen liikenopeus tietyn ajanjakson aikana;
2. Nopeus ja kiihtyvyys hetkellä t 04
3. Pysähtymisen hetket; jatkaako pysähtymishetken jälkeinen piste liikettä samaan suuntaan vai alkaako se liikkua vastakkaiseen suuntaan;
4. Suurin nopeus liikkeet tietyn ajan kuluessa.

Työ suoritetaan 12 vaihtoehdon mukaan, tehtävät on eriytetty vaikeustason mukaan (ensimmäinen vaihtoehto on alin vaikeustaso).

Ennen työn aloittamista keskustelu seuraavista kysymyksistä:

1. Mitä fyysinen merkitys siirtymän johdannainen? (Nopeus).
2. Onko mahdollista löytää nopeuden derivaatta? Käytetäänkö tätä määrää fysiikassa? Miksi sitä kutsutaan? (Kiihtyvyys).
3. Välitön nopeus yhtä suuri kuin nolla. Mitä voidaan sanoa kehon liikkeestä tällä hetkellä? (Tämä on pysähtymisen hetki).
4. Mikä on seuraavien lauseiden fysikaalinen merkitys: liikkeen derivaatta on nolla pisteessä t 0; muuttuuko derivaatan etumerkki kulkiessaan pisteen t 0 kautta? (Keho pysähtyy; liikkeen suunta muuttuu päinvastaiseksi).

Esimerkki opiskelijoiden työstä.

x(t) = t 3 -2 t 2 +1, t 0 = 2.

Kuva 4

Vastakkaiseen suuntaan.

Piirretään kaavio nopeudesta. Suurin nopeus saavutetaan pisteessä

t = 10, v (10) = 3 · 10 2 -4 · 10 = 300-40 = 260

Kuva 5

1) Mikä on derivaatan geometrinen merkitys?
2) Mikä on derivaatan mekaaninen merkitys?
3) Tee johtopäätös työstäsi.

Sivu 90. nro 91(2,4,6), nro 92(2,4,6,), s. 92 nro 112.

Käytetyt kirjat

• Oppikirja Algebra ja analyysin alku.
  Kirjailija: Yu.M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunina.
  Toimittanut A. B. Zhizhchenko.
• Algebra 11 luokka. Tuntisuunnitelmat Sh. A. Alimovin, Yu. M. Kolyaginin, Yu. V. Sidorovin oppikirjan mukaan. Osa 1.
• Internet-resurssit: