Paraabeli - asteen funktion ominaisuudet ja kuvaaja. Paraabeliyhtälön johtaminen

Taso III

3.1. Hyperboli koskettaa viivoja 5 x – 6y – 16 = 0, 13x – 10y– – 48 = 0. Kirjoita muistiin hyperbelin yhtälö, jos sen akselit osuvat yhteen koordinaattiakseleiden kanssa.

3.2. Kirjoita yhtälöt hyperbelin tangenteille

1) pisteen läpi kulkeminen A(4, 1), B(5, 2) ja C(5, 6);

2) yhdensuuntainen suoran 10 kanssa x – 3y + 9 = 0;

3) kohtisuorassa suoraa 10 vastaan x – 3y + 9 = 0.

Paraabeli on geometrinen paikka tasossa, jonka koordinaatit täyttävät yhtälön

Paraabeliparametrit:

Piste F(s/2, 0) kutsutaan keskittyä paraabelit, suuruus s – parametri , piste NOIN(0, 0) – alkuun . Tässä tapauksessa suora viiva OF, jonka suhteen paraabeli on symmetrinen, määrittää tämän käyrän akselin.

Suuruus Missä M(x, y) – paraabelin mielivaltainen piste, ns polttopisteen säde , suoraan D: x = –s/2 – johtajatar (se ei leikkaa paraabelin sisäaluetta). Suuruus kutsutaan paraabelin epäkeskisyydeksi.

Paraabelin tärkein ominaisuus: kaikki paraabelin pisteet ovat yhtä kaukana suuntaviivasta ja fokuksesta (kuva 24).

On olemassa muita kanonisen paraabeliyhtälön muotoja, jotka määrittävät sen haarojen muut suunnat koordinaattijärjestelmässä (kuva 25):

varten parametrinen asetus paraabelit parametrina t paraabelipisteen ordinaattinen arvo voidaan ottaa:

Missä t on mielivaltainen reaaliluku.

Esimerkki 1. Määritä paraabelin parametrit ja muoto käyttämällä sen kanonista yhtälöä:

Ratkaisu. 1. Yhtälö y 2 = –8x määrittelee paraabelin, jonka kärki on pisteessä NOIN vai niin. Sen oksat on suunnattu vasemmalle. Vertaamalla tätä yhtälöä yhtälöön y 2 = –2px, löydämme: 2 s = 8, s = 4, s/2 = 2. Siksi painopiste on pisteessä F(–2; 0), suuntayhtälö D: x= 2 (kuvio 26).

2. Yhtälö x 2 = –4y määrittelee paraabelin, jonka kärki on pisteessä O(0; 0), symmetrinen akselin suhteen Oy. Sen oksat on suunnattu alaspäin. Vertaamalla tätä yhtälöä yhtälöön x 2 = –2py, löydämme: 2 s = 4, s = 2, s/2 = 1. Siksi painopiste on pisteessä F(0; –1), suuntayhtälö D: y= 1 (kuvio 27).

Esimerkki 2. Määritä parametrit ja käyrän tyyppi x 2 + 8x – 16y– 32 = 0. Piirrä.

Ratkaisu. Muunnetaan yhtälön vasen puoli täydellisen neliön erotusmenetelmällä:

x 2 + 8x– 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16 – 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16y – 48 =0;

(x + 4) 2 – 16(y + 3).

Tuloksena saamme

(x + 4) 2 = 16(y + 3).

Tämä on kanoninen yhtälö paraabelille, jonka kärki on pisteessä (–4, –3), parametri s= 8, oksat osoittavat ylöspäin (), akseli x= -4. Keskittyminen on pisteessä F(–4; –3 + s/2), ts. F(–4; 1) Rehtori D yhtälön antama y = –3 – s/2 tai y= –7 (kuva 28).

Esimerkki 4. Kirjoita yhtälö paraabelille, jonka kärki on pisteessä V(3; –2) ja tarkenna pisteeseen F(1; –2).

Ratkaisu. Tietyn paraabelin kärkipiste ja fokus ovat akselin suuntaisella suoralla Härkä(samat ordinaatit), paraabelin haarat on suunnattu vasemmalle (fokusen abskissa on pienempi kuin kärjen abskissa), etäisyys fokuksesta kärkipisteeseen on s/2 = 3 – 1 = 2, s= 4. Siten vaadittu yhtälö

(y+ 2) 2 = –2 4( x– 3) tai ( y + 2) 2 = = –8(x – 3).

Tehtäviä varten itsenäinen päätös

I taso

1.1. Määritä paraabelin parametrit ja muodosta se:

1) y 2 = 2x; 2) y 2 = –3x;

3) x 2 = 6y; 4) x 2 = –y.

1.2. Kirjoita paraabelin yhtälö, jonka kärkipiste on origossa, jos tiedät, että:

1) paraabeli sijaitsee vasemmalla puolitasolla symmetrisesti akseliin nähden Härkä Ja s = 4;

2) paraabeli sijaitsee symmetrisesti akseliin nähden Oy ja kulkee pisteen läpi M(4; –2).

3) suuntaviiva on annettu yhtälöllä 3 y + 4 = 0.

1.3. Kirjoita yhtälö käyrälle, jonka kaikki pisteet ovat yhtä kaukana pisteestä (2; 0) ja suorasta x = –2.

Taso II

2.1. Määritä käyrän tyyppi ja parametrit.

Tarkastellaan linjaa tasossa ja pistettä, joka ei ole tällä viivalla. JA ellipsi, Ja hyperbeli voidaan määritellä yhtenäisellä tavalla niiden pisteiden geometriseksi paikaksi, joille etäisyyden tiettyyn pisteeseen ja etäisyyteen tiettyyn suoraan on vakioarvo

sijoitus ε. Kohdassa 0 1 - hyperbola. Parametri ε on sekä ellipsin että hyperbolin epäkeskisyys. Mahdollisista positiiviset arvot yksi parametri ε, nimittäin ε = 1, osoittautuu käyttämättömäksi. Tämä arvo vastaa pisteiden geometristä sijaintia, jotka ovat yhtä kaukana tietystä pisteestä ja tietystä suorasta.

Määritelmä 8.1. Tason pisteiden geometrinen sijainti, joka on yhtä kaukana kohteesta kiinteä piste ja kiinteästä linjasta kutsutaan paraabeli.

Kiinteää pistettä kutsutaan paraabelin painopiste ja suora - paraabelin suuntaviiva. Samalla uskotaan, että paraabelien epäkeskisyys yhtä suuri kuin yksi.

Geometrisista näkökohdista seuraa, että paraabeli on symmetrinen suoraviivaan nähden, joka on kohtisuorassa suuntaviivaan nähden ja kulkee paraabelin polttopisteen läpi. Tätä suoraa kutsutaan paraabelin symmetria-akseliksi tai yksinkertaisesti paraabelin akseli. Paraabeli leikkaa symmetria-akselinsa yhdessä pisteessä. Tätä kohtaa kutsutaan paraabelin kärki. Se sijaitsee keskellä segmenttiä, joka yhdistää paraabelin polttopisteen sen akselin ja suuntaviivan leikkauspisteeseen (kuva 8.3).

Paraabeliyhtälö. Paraabelin yhtälön johtamiseksi valitsemme tasossa alkuperää paraabelin kärjessä, as x-akseli- paraabelin akseli, jonka positiivisen suunnan määrittää tarkennuksen sijainti (katso kuva 8.3). Tätä koordinaattijärjestelmää kutsutaan kanoninen kyseessä olevalle paraabelille, ja vastaavat muuttujat ovat kanoninen.

Merkitään etäisyys fokuksesta suuntaviivaan p:llä. Häntä kutsutaan paraabelin polttoparametri.

Tällöin polttopisteellä on koordinaatit F(p/2; 0), ja suuntaviivaa d kuvaa yhtälö x = - p/2. Pisteiden M(x; y) sijainti, jotka ovat yhtä kaukana pisteestä F ja suorasta d, saadaan yhtälöstä

Neliötetään yhtälö (8.2) ja esitetään samanlaiset. Saamme yhtälön

jota kutsutaan kanoninen paraabeliyhtälö.

Huomaa, että neliöinti on tässä tapauksessa yhtälön (8.2) ekvivalentti muunnos, koska yhtälön molemmat puolet ovat ei-negatiivisia, kuten myös radikaalin alla oleva lauseke.

Paraabelin tyyppi. Jos paraabeli y 2 = x, jonka muotoa pidämme tunnetuksi, puristetaan kertoimella 1/(2р) abskissa-akselia pitkin, saadaan yleismuotoinen paraabeli, jota kuvataan yhtälöllä (8.3).

Esimerkki 8.2. Etsitään fokuksen koordinaatit ja paraabelin suuntaviivan yhtälö, jos se kulkee pisteen läpi, jonka kanoniset koordinaatit ovat (25; 10).

Kanonisissa koordinaateissa paraabelin yhtälö on muotoa y 2 = 2px. Koska piste (25; 10) on paraabelissa, niin 100 = 50p ja siten p = 2. Siksi y 2 = 4x on paraabelin kanoninen yhtälö, x = - 1 on sen suuntaviivan yhtälö ja tarkennus on pisteessä (1; 0 ).

Paraabelin optinen ominaisuus. Paraabelilla on seuraava optinen ominaisuus. Jos valonlähde sijoitetaan paraabelin keskipisteeseen, niin kaikki valonsäteet paraabelista heijastuksen jälkeen ovat yhdensuuntaisia ​​paraabelin akselin kanssa (kuva 8.4). Optinen ominaisuus tarkoittaa, että missä tahansa paraabelin pisteessä M normaali vektori tangentti muodostaa yhtä suuret kulmat polttosäteen MF ja abskissa-akselin kanssa.

Ehdotan, että muut lukijat laajentavat merkittävästi koulutietoaan paraabeleista ja hyperboleista. Hyperbola ja paraabeli – ovatko ne yksinkertaisia? ...en malta odottaa =)

Hyperbola ja sen kanoninen yhtälö

Materiaalin esityksen yleinen rakenne muistuttaa edellistä kappaletta. Aloitetaan yleinen käsite hyperbolit ja sen rakentamisen ongelmat.

Hyperbolin kanonisella yhtälöllä on muoto , jossa ovat positiiviset reaaliluvut. Huomaa, että toisin kuin ellipsi, ehtoa ei ole asetettu tässä, eli arvo "a" voi olla arvoa pienempi"bae".

Minun on sanottava, aivan odottamatta... "koulu"hyperbolin yhtälö ei edes läheisesti muistuta kanonista merkintää. Mutta tämän mysteerin on vielä odotettava meitä, mutta nyt raapukaamme päätämme ja muistamme mitä ominaispiirteet onko kyseisellä käyrällä? Levitetään se mielikuvituksemme ruudulle funktion kuvaaja ….

Hyperbolalla on kaksi symmetristä haaraa.

Ei huono edistys! Kaikilla hyperboleilla on nämä ominaisuudet, ja nyt katsomme aidosti ihaillen tämän linjan pääntietä:

Esimerkki 4

Muodosta yhtälön antama hyperboli

Ratkaisu: ensimmäisessä vaiheessa tuomme tämän yhtälön kanoniseen muotoon. Muista vakiomenettely. Oikealla sinun on saatava "yksi", joten jaamme alkuperäisen yhtälön molemmat puolet 20: llä:

Täällä voit pienentää molempia fraktioita, mutta on optimaalisempaa tehdä jokainen niistä kolmikerroksinen:

Ja vasta sen jälkeen suorita vähennys:

Valitse neliöt nimittäjistä:

Miksi muutosten tekeminen tällä tavalla on parempi? Loppujen lopuksi vasemman puolen fraktioita voidaan vähentää ja saada välittömästi. Tosiasia on, että tarkasteltavassa esimerkissä meillä oli vähän onnea: luku 20 on jaollinen sekä 4:llä että 5:llä. Yleensä tällainen luku ei toimi. Harkitse esimerkiksi yhtälöä . Täällä jaettavuudella kaikki on surullisempaa ja ilman kolmikerroksisia murto-osia ei enää mahdollista:

Joten, käytetään työmme hedelmää - kanonista yhtälöä:

Kuinka rakentaa hyperbola?

Hyperbolin muodostamiseen on kaksi lähestymistapaa - geometrinen ja algebrallinen.
Käytännön näkökulmasta kompassilla piirtäminen... Sanoisin jopa utopistista, joten on paljon kannattavampaa käyttää jälleen kerran apuna yksinkertaisia ​​laskelmia.

On suositeltavaa noudattaa seuraavaa algoritmia, ensin valmis piirros, sitten kommentit:

Käytännössä kohdataan usein mielivaltaisen kulman mukaisen kiertymisen ja hyperbelin rinnakkaissiirron yhdistelmä. Tämä tilanne keskusteltu luokassa Toisen asteen riviyhtälön pelkistäminen kanoniseen muotoon.

Paraabeli ja sen kanoninen yhtälö

Se on valmis! Hän on se. Valmis paljastamaan monia salaisuuksia. Paraabelin kanonisella yhtälöllä on muoto , jossa on reaaliluku. On helppo huomata, että vakioasennossaan paraabeli "makaa kyljellään" ja sen kärki on origossa. Tässä tapauksessa funktio määrittää tämän rivin ylähaaran ja funktio alemman haaran. On selvää, että paraabeli on symmetrinen akselin suhteen. Oikeastaan, miksi vaivautua:

Esimerkki 6

Rakenna paraabeli

Ratkaisu: kärki on tiedossa, etsitään lisäpisteitä. Yhtälö määrittää paraabelin yläkaaren, yhtälö määrittää alemman kaaren.

Laskelmien kirjaamisen lyhentämiseksi suoritamme laskelmat "yhdellä harjalla":

Kompaktitallennuksessa tulokset voitaisiin koota taulukkoon.

Ennen kuin suoritat alkeellisen pistekohtaisen piirustuksen, muotoillaan tiukka

paraabelin määritelmä:

Paraabeli on joukko kaikkia tason pisteitä, jotka ovat yhtä kaukana tietystä pisteestä ja tietystä suorasta, joka ei kulje pisteen läpi.

Piste on ns keskittyä paraabelit, suora viiva - johtajatar (kirjoitettu yhdellä "es") paraabelit. Kanonisen yhtälön vakio "pe" on nimeltään polttoparametri, joka on yhtä suuri kuin etäisyys kohdistuksesta suuntaviivaan. Tässä tapauksessa . Tässä tapauksessa painopisteellä on koordinaatit ja suunta saadaan yhtälöstä .
Esimerkissämme:

Paraabelin määritelmä on jopa yksinkertaisempi ymmärtää kuin ellipsin ja hyperbolin määritelmät. Minkä tahansa paraabelin pisteen janan pituus (etäisyys tarkennuksesta pisteeseen) on yhtä suuri kuin kohtisuoran pituus (etäisyys pisteestä suuntaviivaan):

Onnittelut! Monet teistä ovat tehneet todellisen löydön tänään. Osoittautuu, että hyperbola ja paraabeli eivät ole ollenkaan "tavallisten" funktioiden kuvaajia, vaan niillä on selvä geometrinen alkuperä.

On selvää, että polttoparametrin kasvaessa kaavion haarat "nousevat" ylös ja alas lähestyen äärettömän lähellä akselia. Kun "pe"-arvo laskee, ne alkavat puristaa ja venyä pitkin akselia

Minkä tahansa paraabelin epäkeskisyys on yhtä suuri kuin yksikkö:

Paraabelin kierto ja rinnakkaissiirto

Paraabeli on yksi yleisimmistä matematiikan viivoista, ja sinun on rakennettava se todella usein. Siksi kiinnitä erityistä huomiota oppitunnin viimeiseen kappaleeseen, jossa keskustelen tämän käyrän tyypillisistä sijainnista.

! Huomautus : kuten aikaisempien käyrien tapauksessa, on oikeampaa puhua rotaatiosta ja koordinaattiakselien rinnakkaissiirrosta, mutta kirjoittaja rajoittuu esityksen yksinkertaistettuun versioon, jotta lukijalla on peruskäsitys näistä muunnoksista.

Koko tässä luvussa oletetaan, että tasossa on valittu tietty asteikko (jossa kaikki alla tarkasteltavat luvut ovat); Vain tämän mittakaavan suorakaiteen muotoiset koordinaattijärjestelmät otetaan huomioon.

§ 1. Paraabeli

Paraabeli on lukijalle tuttu koulun kurssi matematiikka käyränä, joka on funktion kuvaaja

(Kuva 76). (1)

Minkä tahansa neliöllisen trinomin kuvaaja

on myös paraabeli; on mahdollista yksinkertaisesti siirtämällä koordinaattijärjestelmää (jollain vektorilla OO), eli muuntamalla

varmista, että funktion kuvaaja (toisessa koordinaattijärjestelmässä) osuu kuvaajaan (2) (ensimmäisessä koordinaattijärjestelmässä).

Itse asiassa korvataan (3) tasa-arvolla (2). Saamme

Haluamme valita niin, että tämän yhtälön oikealla puolella olevan polynomin kerroin at ja vapaa termi (suhteessa ) ovat nolla. Tätä varten määritämme yhtälöstä

joka antaa

Nyt päätämme tilanteen perusteella

johon korvaamme jo löydetyn arvon. Saamme

Eli siirron (3) avulla, jossa

siirryimme uuteen koordinaattijärjestelmään, jossa paraabelin (2) yhtälö sai muodon

(Kuva 77).

Palataan yhtälöön (1). Se voi toimia paraabelin määritelmänä. Muistakaamme sen yksinkertaisimmat ominaisuudet. Käyrällä on symmetria-akseli: jos piste täyttää yhtälön (1), niin pisteen M suhteen symmetrinen piste suhteessa ordinaatta-akseliin täyttää myös yhtälön (1) - käyrä on symmetrinen suhteessa ordinaatta-akseliin (kuva 76) .

Jos , Sitten paraabeli (1) sijaitsee ylemmässä puolitasossa, jolla on yksi yhteinen piste O abskissa-akselin kanssa.

Abskissan absoluuttisen arvon rajoittamattomalla lisäyksellä myös ordinaatta kasvaa rajattomasti. Yleinen muoto anna käyrä kuvassa. 76, a.

Jos (kuva 76, b), käyrä sijaitsee alemmalla puolitasolla symmetrisesti suhteessa abskissa-akseliin käyrään nähden.

Jos siirrytään uuteen koordinaattijärjestelmään, joka on saatu vanhasta korvaamalla ordinaatta-akselin positiivinen suunta vastakkaisella, niin paraabeli, jolla on yhtälö y vanhassa järjestelmässä, saa yhtälön y uudessa. koordinaattijärjestelmä. Siksi paraboleja tutkiessamme voimme rajoittua yhtälöihin (1), joissa .

Muutetaan lopuksi akselien nimet, eli siirrytään uuteen koordinaattijärjestelmään, jossa ordinaatta-akseliksi tulee vanha abskissa-akseli ja abskissa-akseliksi vanha ordinaatta-akseli. Tässä uudessa järjestelmässä yhtälö (1) kirjoitetaan muodossa

Tai jos numero on merkitty , muodossa

Yhtälöä (4) kutsutaan analyyttisessä geometriassa paraabelin kanoniseksi yhtälöksi; suorakaiteen muotoista koordinaattijärjestelmää, jossa tietyllä paraabelilla on yhtälö (4), kutsutaan kanoniseksi koordinaattijärjestelmäksi (tälle paraabelille).

Nyt asennamme geometrinen merkitys kerroin Tätä varten otamme pisteen

kutsutaan paraabelin (4) keskipisteeksi ja yhtälön määrittelemäksi suoraksi d:ksi

Tätä suoraa kutsutaan paraabelin (4) suuntaviivaksi (katso kuva 78).

Antaa olla mielivaltainen piste paraabelista (4). Yhtälöstä (4) seuraa, että näin ollen pisteen M etäisyys suunnasta d on luku

Pisteen M etäisyys tarkkuudesta F on

Mutta siis

Joten kaikki paraabelin pisteet M ovat yhtä kaukana sen fokuksesta ja suunnasta:

Käänteisesti jokainen piste M, joka täyttää ehdon (8) on paraabelissa (4).

Todellakin,

Siten,

ja sulkujen avaamisen ja samankaltaisten termien tuomisen jälkeen

Olemme osoittaneet, että jokainen paraabeli (4) on niiden pisteiden paikka, jotka ovat yhtä kaukana fokuksesta F ja tämän paraabelin suunnasta d.

Samalla olemme selvittäneet yhtälön (4) kertoimen geometrisen merkityksen: luku on yhtä suuri kuin fokuksen ja paraabelin suuntaviivan välinen etäisyys.

Oletetaan nyt, että piste F ja suora d, jotka eivät kulje tämän pisteen läpi, on annettu mielivaltaisesti tasossa. Osoitetaan, että on olemassa paraabeli, jonka fokus on F ja suunta d.

Piirrä tätä varten viiva g pisteen F kautta (kuva 79), joka on kohtisuorassa linjaa d vastaan; merkitään molempien suorien leikkauspiste D:llä; etäisyys (eli pisteen F ja suoran d välinen etäisyys) merkitään .

Käännetään suora g akseliksi ja otetaan sen suunta DF positiiviseksi. Tehdään tästä akselista suorakaiteen muotoisen koordinaattijärjestelmän abskissa-akseli, jonka origo on janan keskimmäinen O

Tällöin myös suora d saa yhtälön .

Nyt voimme kirjoittaa paraabelin kanonisen yhtälön valittuun koordinaattijärjestelmään:

jossa piste F on tarkennus ja suora d on paraabelin (4) suuntaviiva.

Yllä totesimme, että paraabeli on pisteiden M paikka, jotka ovat yhtä kaukana pisteestä F ja suorasta d. Joten voimme antaa tällaisen geometrisen (eli koordinaattijärjestelmästä riippumattoman) määritelmän paraabelille.

Määritelmä. Paraabeli on pisteiden paikka, jotka ovat yhtä kaukana jostakin kiinteästä pisteestä (paraabelin "fokus") ja jostakin kiinteästä viivasta (paraabelin "suunta".

Merkitsemällä fokuksen ja paraabelin suuntaviivan välistä etäisyyttä , voimme aina löytää suorakulmaisen koordinaattijärjestelmän, joka on kanoninen tietylle paraabelille, eli sellaisen, jossa paraabelin yhtälöllä on kanoninen muoto:

Sitä vastoin mikä tahansa käyrä, jolla on tällainen yhtälö jossain suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä, on paraabeli (äsken määritetyssä geometrisessa mielessä).

Tarkennuksen ja paraabelin suuntaviivan välistä etäisyyttä kutsutaan polttoparametriksi tai yksinkertaisesti paraabelin parametriksi.

Viivaa, joka kulkee polttopisteen läpi kohtisuorassa paraabelin suuntaviivaan nähden, kutsutaan sen polttoakseliksi (tai yksinkertaisesti akseliksi); se on paraabelin symmetria-akseli - tämä seuraa siitä tosiasiasta, että paraabelin akseli on abskissa-akseli koordinaattijärjestelmässä, johon nähden paraabelin yhtälöllä on muoto (4).

Jos piste täyttää yhtälön (4), niin pisteen M kanssa symmetrinen piste abskissa-akselin suhteen täyttää myös tämän yhtälön.

Paraabelin ja sen akselin leikkauspistettä kutsutaan paraabelin kärjeksi; se on tietyn paraabelin kanonisen koordinaattijärjestelmän origo.

Annetaan toinen geometrinen tulkinta paraabeliparametrista.

Piirretään suora viiva paraabelin fokuksen läpi, kohtisuorassa paraabelin akseliin nähden; se leikkaa paraabelin kahdessa pisteessä (katso kuva 79) ja määrittää paraabelin ns. polttojänteen (eli jänteen, joka kulkee polttopisteen läpi samansuuntaisesti paraabelin suuntaviivan kanssa). Puolet polttojänteen pituudesta on paraabelin parametri.

Itse asiassa puolet polttojänteen pituudesta on minkä tahansa pisteen ordinaatin itseisarvo, jonka kunkin pisteen abskissa on yhtä suuri kuin polttopisteen abskissa, ts. Siksi jokaisen pisteen ordinaatille

Q.E.D.

Otetaan käyttöön suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä, jossa . Anna akselin kulkea tarkennuksen läpi F paraabeli ja kohtisuorassa suuntaviivaan nähden, ja akseli kulkee fokuksen ja suuntaviivan puolivälissä. Merkitään tarkennuksen ja suuntaviivan välisellä etäisyydellä. Sitten suuntaviivayhtälö.

Lukua kutsutaan paraabelin polttoparametriksi. Antaa olla nykyinen piste paraabeli. Antaa olla polttopisteen säde pisteen hyperbola.Antaa olla etäisyys pisteestä Directrix. Sitten( piirustus 27.)

Piirustus 27.

Paraabelin määritelmän mukaan. Siten,

Nelitetään yhtälö ja saadaan:

(15)

missä (15) on paraabelin kanoninen yhtälö, joka on symmetrinen akselin suhteen ja kulkee origon kautta.

Paraabelin ominaisuuksien tutkiminen

1) Paraabelin huippupiste:

Yhtälö (15) täyttyy luvuilla ja siksi paraabeli kulkee origon kautta.

2) Paraabelisymmetria:

Kuulutaan paraabeliin eli todelliseen tasa-arvoon. Piste on symmetrinen pisteen suhteen akseliin nähden, joten paraabeli on symmetrinen suhteessa abskissa-akseliin.

Paraabelien epäkeskisyys:

Määritelmä 4.2. Paraabelin epäkeskisyys on luku, joka on yhtä suuri kuin yksi.

Koska paraabelin määritelmän mukaan.

4) Paraabelin tangentti:

Paraabelin tangentti tangenttipisteessä saadaan yhtälöstä

Missä ( piirustus 28.)

Piirustus 28.

Paraabeli kuva

Piirustus 29.

ESO-Mathcadin käyttö:

piirustus 30.)

Piirustus 30.

a) Rakentaminen ilman ICT:tä: Paraabelin rakentamiseksi asetetaan suorakaiteen muotoinen koordinaattijärjestelmä, jonka keskipiste on pisteessä O ja yksikkösegmentti. Merkitsemme fokuksen OX-akselille, koska piirrämme niin, että ja paraabelin suuntaviiva. Rakennamme ympyrän pisteeseen, jonka säde on yhtä suuri kuin etäisyys suorasta paraabelin suunnasta. Ympyrä leikkaa suoran pisteissä . Rakennamme paraabelin siten, että se kulkee origon ja pisteiden läpi.( piirustus 31.)

Piirustus 31.

b) ESO-Mathcadin käyttäminen:

Tuloksena oleva yhtälö näyttää tältä: . Toisen asteen rivin muodostamiseksi Mathcad-ohjelmassa vähennämme yhtälön muotoon: .( piirustus 32.)

Piirustus 32.

Perusmatematiikan toisen asteen juovien teoriatyön tiivistämiseksi ja suorien tietojen käytön helpottamiseksi tehtävien ratkaisemisessa sisällytämme kaikki tiedot toisen kertaluvun juovista taulukkoon nro 1.

Taulukko 1.

Perusmatematiikan toisen asteen rivit

ICT:n käyttömahdollisuudet toisen asteen linjojen tutkimuksessa

Informatisointiprosessilla, joka on nykyään kattanut kaikki modernin yhteiskunnan elämän osa-alueet, on useita painopistealueita, joihin tietysti pitäisi kuulua koulutuksen informatisointi. Se on perusta ihmisen älyllisen toiminnan maailmanlaajuiselle järkeistämiselle tieto- ja viestintäteknologian (ICT) avulla.

Viime vuosisadan 90-luvun puolivälistä nykypäivään on ominaista henkilökohtaisten tietokoneiden laaja käyttö ja saatavuus Venäjällä, tietoliikenteen laaja käyttö, mikä mahdollistaa kehittyneiden koulutustietotekniikoiden käyttöönoton koulutusprosessissa, sen parantaminen ja nykyaikaistaminen, parantaminen tiedon laatu, oppimismotivaation lisääminen, oppimisen yksilöllisyyden periaatteen maksimaalinen hyödyntäminen. Koulutuksen tietotekniikka on välttämätön työkalu tässä koulutuksen informatisoinnin vaiheessa.

Tietotekniikat eivät ainoastaan ​​helpota tiedonsaantia ja avaa mahdollisuuksia koulutustoiminnan vaihtelulle, yksilöllistymiselle ja eriyttämiselle, vaan mahdollistavat myös kaikkien oppimisaineiden vuorovaikutuksen järjestämisen uudella tavalla, rakentamisen Opetusjärjestelmä, jossa opiskelija olisi aktiivinen ja tasa-arvoinen osallistuja koulutustoimintaan.

Uuden muodostuminen tietotekniikat sisällä ainetunnit edistää tarvetta luoda uusia ohjelmistoja ja metodologisia komplekseja, joiden tarkoituksena on parantaa oppitunnin tehokkuutta laadullisesti. Siksi onnistuneeseen ja kohdennettuun käyttöön koulutusprosessi tietotekniikan työkalut, opettajien tulisi tietää yleinen kuvaus Ohjelmistosovellusten toimintaperiaatteet ja didaktiset kyvyt, ja sitten kokemuksensa ja suositusten perusteella "rakentamaan" ne osaksi koulutusprosessia.

Matematiikan opiskelu liittyy tällä hetkellä useisiin piirteisiin ja kehitysvaikeuksiin. koulun koulutus meidän maassamme.

Matematiikan koulutuksessa on syntynyt niin sanottu kriisi. Syyt tähän ovat seuraavat:

Muuttuvissa prioriteeteissa yhteiskunnassa ja tieteessä, eli humanististen tieteiden painopiste kasvaa tällä hetkellä;

Matematiikan oppituntien määrän vähentämisessä koulussa;

Matemaattisen koulutuksen sisällön eristäminen elämästä;

Vaikuttaa vain vähän opiskelijoiden tunteisiin.

Nykyään kysymys jää avoimeksi: "Kuinka tehokkaimmin hyödyntää nykyaikaisen tieto- ja viestintätekniikan potentiaalia opetettaessa koululaisia, myös matematiikan opetuksessa?"

Tietokone on erinomainen apulainen tutkittaessa aihetta, kuten "Kvadraattinen funktio", koska erikoisohjelmien avulla voit rakentaa eri funktioiden kuvaajia, tutkia funktiota, määrittää helposti leikkauspisteiden koordinaatit, laskea suljettujen lukujen pinta-alat jne. Esimerkiksi 9. luokan algebratunnilla, joka on omistettu kuvaajamuunnokselle (venyttely, puristaminen, koordinaattiakselien siirtäminen), näet vain konstruoinnin jäädytetyn tuloksen, kun taas opettajan ja oppilaan peräkkäisten toimintojen koko dynamiikka näkyy. monitorin näytöllä.

Tietokone kuin mikään muu teknisiä keinoja, paljastaa tarkasti, selkeästi ja jännittävästi opiskelijalle ihanteelliset matemaattiset mallit, ts. mihin lapsen tulisi pyrkiä käytännön toimissaan.

Kuinka monta vaikeuksia matematiikan opettajan täytyy käydä läpi vakuuttaakseen opiskelijat kaavion tangentista neliöfunktio kosketuspisteessä se käytännössä sulautuu funktion kuvaajaan. Tämä tosiasia on erittäin helppo osoittaa tietokoneella - riittää, kun kavennetaan väliä Ox-akselilla ja havaitaan, että tangenttipisteen hyvin pienessä ympäristössä funktion kuvaaja ja tangenttiviiva ovat samat. Kaikki nämä toimet tapahtuvat opiskelijoiden edessä. Tämä esimerkki antaa sysäyksen aktiiviseen pohdiskeluun oppitunnissa. Tietokoneen käyttö on mahdollista sekä uuden materiaalin selityksen aikana tunnilla että kontrollivaiheessa. Näiden ohjelmien, esimerkiksi "My Test" avulla opiskelija voi itsenäisesti testata teoriatietonsa tasoa ja suorittaa teoreettisia ja käytännön tehtäviä. Ohjelmat ovat käteviä monipuolisuutensa ansiosta. Niitä voidaan käyttää sekä itsehallintaan että opettajan ohjaukseen.

Matematiikan ja tietotekniikan järkevä yhdistäminen antaa meille mahdollisuuden tarkastella rikkaammin ja syvempään ongelman ratkaisuprosessiin ja matematiikan lakien ymmärtämiseen. Lisäksi tietokone auttaa muodostamaan opiskelijoiden graafisen, matemaattisen ja mentaalisen kulttuurin, ja tietokoneen avulla voit valmistaa didaktisia materiaaleja: kortteja, kyselylomakkeita, testejä jne. Samalla anna lapsille mahdollisuus itsenäisesti kehittää aiheesta kokeita, joiden aikana kiinnostusta ja luovuutta.

Näin ollen on olemassa tarve käyttää tietokoneita matematiikan tunneilla mahdollisimman laajasti. Tietotekniikan käyttö auttaa parantamaan tiedon laatua, laajentamaan neliöfunktion opiskelun näköaloja ja siten löytämään uusia mahdollisuuksia ylläpitää opiskelijoiden kiinnostusta aihetta ja aihetta kohtaan ja siten parempaan, tarkkaavaisempaan suhtautumiseen sitä kohtaan. . Nykyään nykyaikaisista tietotekniikoista on tulossa tärkein työkalu koulun modernisoinnissa kokonaisuutena - johtamisesta koulutukseen ja koulutuksen saavutettavuuden varmistamiseen.