Verkkolaskimen funktion pienuusjärjestys. Rajoitukset verkossa

Toiminnan raja- numero a on jonkin muuttujan arvon raja, jos sen muutoksen aikana tämä vaihteleva määrä lähestyy loputtomasti a.

Tai toisin sanoen numero A on toiminnon raja y = f(x) pisteessä x 0, jos jollekin funktion määrittelyalueen pistejonosta ei ole yhtä suuri x 0, ja joka konvergoi asiaan x 0 (lim x n = x0), vastaavien funktioarvojen sarja konvergoi numeroon A.

Kuvaaja funktiosta, jonka raja on yhtä suuri kuin äärettömyyteen pyrkivä argumentti L:

Merkitys A On funktion raja (raja-arvo). f(x) pisteessä x 0 minkä tahansa pistesarjan tapauksessa , joka supistuu x 0, mutta joka ei sisällä x 0 yhtenä sen osista (eli puhjennetussa läheisyydessä x 0), funktioarvojen sarja yhtyy A.

Cauchyn funktion raja.

Merkitys A tulee olemaan toiminnon raja f(x) pisteessä x 0 jos jokin ei-negatiivinen luku on otettu etukäteen ε vastaava ei-negatiivinen luku löytyy δ = δ(ε) niin että jokaiselle väitteelle x, ehtoa tyydyttävä 0 < | x - x0 | < δ , eriarvoisuus tyydytetään | f(x)A |< ε .

Se on hyvin yksinkertaista, jos ymmärrät rajan olemuksen ja sen löytämisen perussäännöt. Mikä on funktion raja f (x) klo x pyrkii a on yhtä suuri A, on kirjoitettu näin:

Lisäksi arvo, johon muuttuja pyrkii x, voi olla paitsi luku, myös ääretön (∞), joskus +∞ tai -∞, tai rajaa ei ehkä ole ollenkaan.

Ymmärtääksesi kuinka löytää funktion rajat, on parasta tarkastella esimerkkejä ratkaisuista.

On tarpeen löytää funktion rajat f (x) = 1/x osoitteessa:

x→ 2, x→ 0, x→ ∞.

Etsitään ratkaisu ensimmäiseen rajaan. Voit tehdä tämän yksinkertaisesti korvaamalla x numero, johon se pyrkii, ts. 2, saamme:

Etsitään funktion toinen raja. Korvaa tänne puhdas muoto 0 sen sijaan x se on mahdotonta, koska Et voi jakaa 0:lla. Mutta voimme ottaa arvot lähellä nollaa, esimerkiksi 0,01; 0,001; 0,0001; 0.00001 ja niin edelleen, ja funktion arvo f (x) kasvaa: 100; 1000; 10 000; 100 000 ja niin edelleen. Siten voidaan ymmärtää, että milloin x→ 0 rajamerkin alla olevan funktion arvo kasvaa ilman rajaa, ts. pyrkiä äärettömyyteen. Joka tarkoittaa:

Mitä tulee kolmanteen rajaan. Sama tilanne kuin edellisessä tapauksessa, sitä ei voida korvata ∞ puhtaimmassa muodossaan. Meidän on harkittava rajattoman korotuksen tapausta x. Korvaamme 1000 yksitellen; 10 000; 100000 ja niin edelleen, meillä on, että funktion arvo f (x) = 1/x laskee: 0,001; 0,0001; 0,00001; ja niin edelleen, taipuen nollaan. Siksi:

On tarpeen laskea funktion raja

Aloittaessamme toisen esimerkin ratkaisemisen näemme epävarmuutta. Täältä löydämme osoittajan ja nimittäjän korkeimman asteen - tämä on x 3, otamme sen pois suluista osoittajassa ja nimittäjässä ja pienennämme sitä seuraavasti:

Vastaus

Ensimmäinen askel sisään löytää tämä raja, korvaa arvo 1 sen sijaan x, mikä johtaa epävarmuuteen. Sen ratkaisemiseksi kerrotaan osoittaja ja tehdään tämä käyttämällä menetelmää toisen yhtälön juurten löytämiseksi x 2 + 2x - 3:

D = 2 2 - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16→ √ D=√16 = 4

x 1,2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;x 2= 1.

Joten osoittaja on:

Vastaus

Tämä on sen tietyn arvon tai tietyn alueen, johon funktio osuu, määritelmä, jota raja rajoittaa.

Rajaa ratkaistaksesi noudattamalla sääntöjä:

Ymmärtettyään olemuksen ja pääasia säännöt rajan ratkaisemiseksi, saat perustiedot niiden ratkaisemisesta.

Yllä olevasta artikkelista saat selville, mikä on raja ja millä sitä syödään - tämä on ERITTÄIN tärkeää. Miksi? Et ehkä ymmärrä, mitä determinantit ovat ja ratkaiset ne onnistuneesti; et ehkä ymmärrä ollenkaan, mikä johdannainen on ja löytää ne "A":lla. Mutta jos et ymmärrä, mikä raja on, käytännön tehtävien ratkaiseminen on vaikeaa. Myös malliratkaisuihin ja suunnittelusuosituksiini olisi hyvä tutustua. Kaikki tiedot esitetään yksinkertaisessa ja helposti saatavilla olevassa muodossa.

Ja tarkoituksiin tämä oppitunti Tarvitsemme seuraavat opetusmateriaalit: Ihanat rajat Ja Trigonometriset kaavat. Ne löytyvät sivulta. On parasta tulostaa oppaat - se on paljon kätevämpää, ja lisäksi sinun on usein viitattava niihin offline-tilassa.

Mitä erityistä on merkittävissä rajoissa? Merkittävää näissä rajoissa on se, että kuuluisien matemaatikoiden suurimmat mielet ovat todistaneet ne, ja kiitollisten jälkeläisten ei tarvitse kärsiä kauheista rajoista kasaantumisen kanssa. trigonometriset funktiot, logaritmit, potenssit. Eli rajoja etsittäessä käytetään valmiita, teoreettisesti todistettuja tuloksia.

On olemassa useita upeita rajoja, mutta käytännössä 95 prosentissa tapauksista osa-aikaisilla opiskelijoilla on kaksi upeaa rajaa: Ensimmäinen upea raja, Toinen upea raja. On huomattava, että nämä ovat historiallisesti vakiintuneita nimiä, ja kun he esimerkiksi puhuvat "ensimmäisestä merkittävästä rajasta", he tarkoittavat tällä hyvin erityistä asiaa, ei mitään katosta otettua satunnaista rajaa.

Ensimmäinen upea raja

Harkitse seuraavaa rajaa: (alfa-kirjaimen "he" sijaan käytän kreikkalaista kirjainta "alfa", tämä on materiaalin esittämisen kannalta kätevämpää).

Rajojen löytämissääntömme mukaan (katso artikkeli Rajoitukset. Esimerkkejä ratkaisuista) yritämme korvata funktioon nollan: osoittajassa saamme nollan (nollan sini on nolla), ja nimittäjässä on ilmeisesti myös nolla. Edessämme on siis muotoa koskeva epävarmuus, jota ei onneksi tarvitse paljastaa. Tiedän matemaattinen analyysi, on todistettu, että:

Tätä matemaattista tosiasiaa kutsutaan Ensimmäinen upea raja. En anna analyyttistä näyttöä rajasta, mutta tässä se on: geometrinen merkitys katsomme sitä luokassa noin äärettömän pienet funktiot.

Usein sisään käytännön tehtäviä toiminnot voidaan järjestää eri tavalla, se ei muuta mitään:

- sama ensimmäinen ihana raja.

Mutta et voi itse järjestää osoittajaa ja nimittäjää uudelleen! Jos raja on annettu muodossa , niin se on ratkaistava samassa muodossa ilman mitään uudelleenjärjestelyä.

Käytännössä ei vain muuttuja, vaan myös perusfunktio voi toimia parametrina, monimutkainen toiminto. Ainoa tärkeä asia on, että se pyrkii nollaan.

Esimerkkejä:
, , ,

Täällä , , , , ja kaikki on hyvin - ensimmäinen ihana raja on voimassa.

Mutta seuraava kirjoitus on harhaoppia:

Miksi? Koska polynomilla ei ole taipumusta nollaan, se pyrkii viiteen.

Muuten, nopea kysymys: mikä on raja? ? Vastaus löytyy oppitunnin lopusta.

Käytännössä kaikki ei ole niin sujuvaa, melkein koskaan opiskelijalle ei tarjota ilmaisrajan ratkaisemista ja helpon passin saamista. Hmm... kirjoitan näitä rivejä, ja mieleeni tuli erittäin tärkeä ajatus - loppujen lopuksi on parempi muistaa "ilmaiset" matemaattiset määritelmät ja kaavat ulkoa, tästä voi olla arvokasta apua testissä, kun kysymys valitaan "kahden" ja "kolmen" välillä, ja opettaja päättää kysyä opiskelijalta yksinkertaisen kysymyksen tai tarjota ratkaisun yksinkertaiseen esimerkkiin ("ehkä hän (t) vielä tietää mitä?!".

Siirrytään tarkastelemaan käytännön esimerkkejä:

Esimerkki 1

Löydä raja

Jos havaitsemme rajassa sinin, tämän pitäisi välittömästi saada meidät ajattelemaan mahdollisuutta soveltaa ensimmäistä merkittävää rajaa.

Ensin yritämme korvata 0:lla rajamerkin alla olevaa lauseketta (teemme tämän mielessään tai luonnoksessa):

Meillä on siis muotoa koskeva epävarmuus muista ilmoittaa päätöksenteossa. Rajamerkin alla oleva lauseke on samanlainen kuin ensimmäinen ihana raja, mutta tämä ei ole aivan se, se on sinin alla, mutta nimittäjässä.

Tällaisissa tapauksissa meidän on järjestettävä ensimmäinen merkittävä raja itse keinotekoisella tekniikalla. Päättely voisi olla seuraava: "sinin alla meillä on , mikä tarkoittaa, että meidän on päästävä myös nimittäjään."
Ja tämä tehdään hyvin yksinkertaisesti:

Eli nimittäjä kerrotaan keinotekoisesti tässä tapauksessa 7:llä ja jaetaan samalla seitsemällä. Nyt tallenne on saanut tutun muodon.
Kun tehtävä on laadittu käsin, on suositeltavaa merkitä ensimmäinen merkittävä raja yksinkertaisella lyijykynällä:

Mitä tapahtui? Itse asiassa ympyröity ilmaisumme muuttui yksiköksi ja katosi teokseen:

Nyt jäljellä on vain päästä eroon kolmikerroksisesta murto-osasta:

Kuka on unohtanut monitasoisten murtolukujen yksinkertaistamisen, päivitä lähdekirjan materiaali Kuumat kaavat koulun matematiikan kurssille .

Valmis. Lopullinen vastaus:

Jos et halua käyttää lyijykynämerkkejä, niin ratkaisu voidaan kirjoittaa näin:

“

Käytetään ensimmäinen ihmeellinen raja

“

Esimerkki 2

Löydä raja

Jälleen näemme rajassa murto-osan ja sinin. Yritetään korvata nolla osoittajassa ja nimittäjässä:

Meillä on todellakin epävarmuutta, ja siksi meidän on yritettävä järjestää ensimmäinen ihmeellinen raja. Oppitunnilla Rajoitukset. Esimerkkejä ratkaisuista Pohdimme sääntöä, että kun meillä on epävarmuutta, meidän on kerrottava osoittaja ja nimittäjä. Tässä on sama asia, edustamme asteita tuotteena (kertoimet):

Kuten edellisessä esimerkissä, piirrämme lyijykynällä merkittävien rajojen ympärille (tässä niitä on kaksi) ja osoitamme, että niillä on tapana yhtenäistää:

Itse asiassa vastaus on valmis:

Seuraavissa esimerkeissä en tee taidetta Paintissa, ajattelen kuinka tehdä ratkaisu oikein muistikirjaan - ymmärrät jo.

Esimerkki 3

Löydä raja

Korvaamme nollan rajamerkin alla olevaan lausekkeeseen:

On saatu epävarmuus, joka pitää paljastaa. Jos rajassa on tangentti, se muunnetaan melkein aina siniksi ja kosiniksi käyttämällä hyvin tunnettua trigonometrista kaavaa (muuten, he tekevät suunnilleen saman asian kotangentin kanssa, katso metodologinen materiaali Kuumat trigonometriset kaavat Sivulla Matemaattiset kaavat, taulukot ja vertailumateriaalit).

Tässä tapauksessa:

Nollan kosini on yhtä suuri kuin yksi, ja siitä on helppo päästä eroon (älä unohda merkitä, että se pyrkii yhteen):

Jos siis rajassa kosini on KERTOJA, niin karkeasti sanottuna se on muutettava yksiköksi, joka katoaa tuotteeseen.

Täällä kaikki osoittautui yksinkertaisemmiksi, ilman kertomuksia ja jakoja. Ensimmäinen merkittävä raja muuttuu myös yhdeksi ja katoaa tuotteeseen:

Tuloksena saadaan ääretön, ja tämä tapahtuu.

Esimerkki 4

Löydä raja

Yritetään korvata nolla osoittajassa ja nimittäjässä:

Epävarmuus saadaan (nollan kosini, kuten muistamme, on yhtä suuri kuin yksi)

Käytämme trigonometrinen kaava. Ota muistiin! Jostain syystä tätä kaavaa käyttävät rajoitukset ovat hyvin yleisiä.

Siirretään vakiotekijät rajakuvakkeen ulkopuolelle:

Järjestetään ensimmäinen upea raja:

Tässä meillä on vain yksi merkittävä raja, joka muuttuu yhdeksi ja katoaa tuotteeseen:

Päästään eroon kolmikerroksisesta rakenteesta:

Raja on itse asiassa ratkaistu, osoitamme, että jäljellä oleva sini pyrkii nollaan:

Esimerkki 5

Löydä raja

Tämä esimerkki on monimutkaisempi, yritä selvittää se itse:

Jotkut rajat voidaan pienentää ensimmäiseen merkittävään rajaan vaihtamalla muuttujaa, voit lukea tästä hieman myöhemmin artikkelista Menetelmät rajojen ratkaisemiseksi.

Toinen upea raja

Matemaattisen analyysin teoriassa on todistettu, että:

Tätä tosiasiaa kutsutaan toinen ihana raja.

Viite: on irrationaalinen luku.

Parametri voi olla paitsi muuttuja myös monimutkainen funktio. Ainoa tärkeä asia on, että se pyrkii äärettömyyteen.

Esimerkki 6

Löydä raja

Kun rajamerkin alla oleva lauseke on asteessa, tämä on ensimmäinen merkki siitä, että sinun on yritettävä soveltaa toista ihanaa rajaa.

Mutta ensin, kuten aina, yritämme korvata lauseeseen äärettömän suuren luvun, periaatetta, jolla tämä tehdään, käsitellään oppitunnilla Rajoitukset. Esimerkkejä ratkaisuista.

On helppo huomata, että milloin asteen kanta on , ja eksponentti on , eli muodon suhteen on epävarmuutta:

Tämä epävarmuus paljastuu tarkasti toisen merkittävän rajan avulla. Mutta kuten usein tapahtuu, toinen ihana raja ei ole hopeavadilla, ja se on järjestettävä keinotekoisesti. Voit perustella seuraavasti: tässä esimerkissä parametri on , mikä tarkoittaa, että meidän on myös järjestettävä indikaattorissa. Tätä varten nostamme kantaa tehoon, ja jotta lauseke ei muutu, nostamme sen tehoon:

Kun tehtävä on suoritettu käsin, merkitsemme lyijykynällä:

Melkein kaikki on valmista, kauheasta tutkinnosta on tullut kiva kirje:

Tässä tapauksessa siirrämme itse raja-kuvakkeen indikaattoriin:

Esimerkki 7

Löydä raja

Huomio! Tämän tyyppinen rajoitus esiintyy hyvin usein, joten tutustu tähän esimerkkiin erittäin huolellisesti.

Yritetään korvata rajamerkin alla olevaan lausekkeeseen äärettömän suuri luku:

Tuloksena on epävarmuus. Mutta toinen merkittävä raja koskee muodon epävarmuutta. Mitä tehdä? Meidän on muunnettava tutkinnon kanta. Päättelemme näin: nimittäjässä meillä on , mikä tarkoittaa, että osoittajassa meidän on myös järjestettävä .

Niille, jotka haluavat oppia löytämään rajoja, tässä artikkelissa kerromme sinulle siitä. Emme syvenny teoriaan, opettajat pitävät sen yleensä luennoilla. Joten "tylsä ​​teoria" tulisi kirjoittaa muistivihkoon. Jos näin ei ole, voit lukea kirjastosta lainattuja oppikirjoja. oppilaitos tai muissa Internet-lähteissä.

Joten rajan käsite on varsin tärkeä korkeamman matematiikan opiskelussa, varsinkin kun törmäät integraalilaskeluun ja ymmärrät rajan ja integraalin välisen yhteyden. Käsittelemme nykyisessä materiaalissa yksinkertaisia ​​esimerkkejä, sekä tapoja ratkaista ne.

Esimerkkejä ratkaisuista

Mitä tehdä muodon epävarmuudella: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Siirretään kahden viimeisen esimerkin raja äärettömyyteen ja otetaan huomioon epävarmuus: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Algoritmi rajojen laskemiseen

Tehdään siis lyhyt yhteenveto esimerkeistä ja luodaan algoritmi rajojen ratkaisemiseksi:

1. Korvaa rajamerkkiä seuraavan lausekkeen piste x. Jos saadaan tietty luku tai ääretön, niin raja on täysin ratkaistu. Muuten meillä on epävarmuutta: "nolla jaettuna nollalla" tai "ääretön jaettuna äärettömyydellä" ja siirrytään ohjeiden seuraaviin vaiheisiin.
2. Poistaaksesi "nolla jaettuna nollalla" epävarmuuden, sinun on otettava huomioon osoittaja ja nimittäjä. Vähennä vastaavia. Korvaa rajamerkin alla olevaan lausekkeeseen piste x.
3. Jos epävarmuus on "ääretön jaettuna äärettömyydellä", niin osoittaja ja nimittäjä x poistetaan suurimmassa määrin. Lyhennämme X:itä. Korvaamme x:n arvot rajan alta jäljellä olevaan lausekkeeseen.

Tässä artikkelissa opit rajojen ratkaisemisen perusteet, joita käytetään usein Calculus-kurssilla. Nämä eivät tietenkään ole kaikentyyppisiä tutkijoiden tarjoamia ongelmia, vaan vain yksinkertaisimmat rajat. Puhumme muista tehtävistä tulevissa artikkeleissa, mutta ensin sinun on opittava tämä oppitunti, jotta voit siirtyä eteenpäin. Pohditaan mitä tehdä, jos on juuria, asteita, tutkitaan äärettömän pieniä ekvivalenttifunktioita, merkittäviä rajoja, L'Hopitalin sääntöä.

Jos et itse ymmärrä rajoja, älä panikoi. Autamme aina mielellämme!

Rajateoria on yksi matemaattisen analyysin haaroista. Kysymys rajojen ratkaisemisesta on varsin laaja, koska rajojen ratkaisemiseen on olemassa kymmeniä menetelmiä erilaisia ​​tyyppejä. On olemassa kymmeniä vivahteita ja temppuja, joiden avulla voit ratkaista tämän tai toisen rajan. Siitä huolimatta yritämme edelleen ymmärtää tärkeimmät käytännössä kohdattavat rajatyypit.

Aloitetaan rajan käsitteestä. Mutta ensin lyhyt historiallinen tausta. 1800-luvulla asui ranskalainen Augustin Louis Cauchy, joka loi perustan matemaattiselle analyysille ja antoi tiukat määritelmät, erityisesti rajan määritelmän. Minun on sanottava, että tästä samasta Cauchystä on haaveiltu, siitä haaveillaan ja haavetaan jatkossakin painajaisia kaikille fysiikan ja matematiikan tiedekuntien opiskelijoille, kuten hän todisti suuri määrä matemaattisen analyysin lauseita, ja yksi lause on inhottavampi kuin toinen. Tältä osin emme harkitse rajan tiukkaa määritelmää, vaan yritämme tehdä kaksi asiaa:

1. Ymmärrä, mikä raja on.
2. Opi ratkaisemaan tärkeimmät rajatyypit.

Pahoittelen joitakin epätieteellisiä selityksiä, on tärkeää, että materiaali on ymmärrettävää teekannullekin, mikä itse asiassa on projektin tehtävä.

Joten mikä on raja?

Ja vain esimerkki miksi takkuiselle mummolle...

Mikä tahansa raja koostuu kolmesta osasta:

1) Tunnettu raja-kuvake.
2) merkinnät raja-kuvakkeen alla, tässä tapauksessa . Merkintä kuuluu "X pyrkii yhteen". Useimmiten - täsmälleen, vaikka "X":n sijasta käytännössä on muita muuttujia. Käytännön tehtävissä yhden paikka voi olla täysin mikä tahansa luku, samoin kuin ääretön ().
3) Toiminnot rajamerkin alla, tässä tapauksessa .

Itse äänitys kuuluu näin: "funktion raja kuten x pyrkii yksikköön."

Katsotaanpa seuraavaa tärkeää kysymystä - mitä ilmaus "x" tarkoittaa? pyrkii yhdelle"? Ja mitä "pyrkiminen" edes tarkoittaa?
Rajan käsite on niin sanotusti käsite, dynaaminen. Rakennetaan sekvenssi: ensin , sitten , , …, , ….
Eli ilmaisu "x pyrkii yhteen" tulee ymmärtää seuraavasti: "x" ottaa johdonmukaisesti arvot jotka lähestyvät yhtenäisyyttä äärettömän lähellä ja käytännöllisesti katsoen yhtenevät sen kanssa.

Miten yllä oleva esimerkki ratkaistaan? Yllä olevan perusteella sinun tarvitsee vain korvata yksi rajamerkin alla olevaan funktioon:

Eli ensimmäinen sääntö: Kun annetaan jokin raja, yritämme ensin yksinkertaisesti kytkeä numeron funktioon.

Olemme pohtineet yksinkertaisinta rajaa, mutta niitäkin tapahtuu käytännössä, eikä niin harvoin!

Esimerkki äärettömyydestä:

Selvitetään mikä se on? Näin on silloin, kun se kasvaa rajattomasti, eli ensin, sitten, sitten, sitten ja niin edelleen loputtomiin.

Mitä toiminnolle tapahtuu tällä hetkellä?
, , , …

Joten: jos , niin funktiolla on taipumus miinus äärettömään:

Karkeasti sanottuna ensimmäisen sääntömme mukaan "X":n sijaan korvaamme funktioon äärettömän ja saamme vastauksen.

Toinen esimerkki äärettömyydestä:

Alamme jälleen kasvaa äärettömyyteen ja tarkastella funktion käyttäytymistä:

Johtopäätös: kun funktio kasvaa ilman rajoituksia:

Ja toinen esimerkkisarja:

Yritä itse analysoida mielessäsi seuraavat asiat ja muistaa yksinkertaisimmat rajatyypit:

, , , , , , , , ,
Jos sinulla on epäilyksiä missä tahansa, voit ottaa laskimen ja harjoitella vähän.
Siinä tapauksessa , yritä muodostaa sekvenssi , , . Jos sitten , , .

Huomaa: tämä lähestymistapa useiden lukujen sekvenssien rakentamiseen on tiukasti ottaen virheellinen, mutta yksinkertaisimpien esimerkkien ymmärtämiseen se on varsin sopiva.

Kiinnitä huomiota myös seuraavaan asiaan. Vaikka sille annetaan raja suuri numero huipulla, jopa miljoonalla: se on sama , koska ennemmin tai myöhemmin "X" saa niin jättimäiset arvot, että miljoona heihin verrattuna on todellinen mikrobi.

Mitä sinun tulee muistaa ja ymmärtää yllä olevasta?

1) Kun jokin raja on annettu, yritämme ensin yksinkertaisesti korvata numeron funktioon.

2) Sinun on ymmärrettävä ja ratkaistava välittömästi yksinkertaisimmat rajat, kuten , , jne.

Nyt tarkastellaan rajojen ryhmää, kun , ja funktio on murtoluku jonka osoittaja ja nimittäjä sisältävät polynomeja

Esimerkki:

Laske raja

Sääntömme mukaan yritämme korvata funktion äärettömyyden. Mitä saamme huipulla? ääretön. Ja mitä tapahtuu alla? Myös äärettömyys. Näin ollen meillä on niin kutsuttu lajiepävarmuus. Voisi luulla, että , ja vastaus on valmis, mutta yleisessä tapauksessa näin ei ole ollenkaan, ja on tarpeen soveltaa jotain ratkaisutekniikkaa, jota nyt tarkastelemme.

Kuinka ratkaista tämän tyyppiset rajat?

Ensin katsomme osoittajaa ja löydämme suurimman tehon:

Osoittimen johtava teho on kaksi.

Nyt katsomme nimittäjä ja löydämme sen myös korkeimpaan potenssiin:

Nimittäjän suurin aste on kaksi.

Sitten valitsemme osoittajan ja nimittäjän suurimman tehon: tässä esimerkissä ne ovat samat ja yhtä kuin kaksi.

Ratkaisumenetelmä on siis seuraava: epävarmuuden paljastamiseksi on välttämätöntä jakaa osoittaja ja nimittäjä suurimmalla potenssilla.

Tässä se on, vastaus, eikä ollenkaan äärettömyys.

Mikä on olennaisen tärkeää päätöksen suunnittelussa?

Ensin osoitamme epävarmuuden, jos sellaista on.

Toiseksi on suositeltavaa keskeyttää ratkaisu väliselityksiä varten. Käytän yleensä merkkiä, sillä ei ole matemaattista merkitystä, vaan se tarkoittaa, että ratkaisu keskeytetään väliselvitystä varten.

Kolmanneksi rajaan on suositeltavaa merkitä mitä on menossa minne. Kun työ piirretään käsin, on helpompi tehdä se näin:

Muistiinpanoihin on parempi käyttää yksinkertaista kynää.

Mitään tätä ei tietenkään tarvitse tehdä, mutta sitten ehkä opettaja huomauttaa ratkaisun puutteista tai alkaa kyselemään lisäkysymyksiä tehtävästä. Tarvitsetko sitä?

Esimerkki 2

Löydä raja
Taas osoittajasta ja nimittäjästä löydämme korkeimmassa asteessa:

Enimmäisaste osoittajassa: 3
Maksimiaste nimittäjässä: 4
Valita suurin arvo, tässä tapauksessa neljä.
Epävarmuuden paljastamiseksi jaamme osoittajan ja nimittäjän luvulla .
Täydellinen tehtävä saattaa näyttää tältä:

Jaa osoittaja ja nimittäjä luvulla

Esimerkki 3

Löydä raja
"X":n enimmäisaste osoittajassa: 2
"X":n enimmäisaste nimittäjässä: 1 (voidaan kirjoittaa muodossa)
Epävarmuuden paljastamiseksi on välttämätöntä jakaa osoittaja ja nimittäjä luvulla. Lopullinen ratkaisu voi näyttää tältä:

Jaa osoittaja ja nimittäjä luvulla

Merkintä ei tarkoita jakamista nollalla (ei voi jakaa nollalla), vaan jakamista äärettömällä pienellä luvulla.

Siten, paljastamalla lajien epävarmuuden, voimme ehkä onnistua lopullinen numero, nolla tai ääretön.

Rajat, joiden tyyppi ja menetelmä niiden ratkaisemiseksi ovat epävarmoja

Seuraava rajojen ryhmä on jossain määrin samanlainen kuin juuri tarkastelut: osoittaja ja nimittäjä sisältävät polynomeja, mutta "x" ei enää pyri äärettömyyteen, vaan äärellinen luku.

Esimerkki 4

Ratkaise raja
Ensin yritetään korvata -1 murtoluvulla:

Tässä tapauksessa saadaan ns. epävarmuus.

Yleissääntö : jos osoittaja ja nimittäjä sisältävät polynomeja ja muodossa on epävarmuus, paljasta se sinun on otettava huomioon osoittaja ja nimittäjä.

Tätä varten sinun on useimmiten päätettävä toisen asteen yhtälö ja/tai käytä lyhennettyjä kertolaskukaavoja. Jos nämä asiat ovat unohtuneet, vieraile sivulla Matemaattiset kaavat ja taulukot ja tarkistaa metodologinen materiaali Kuumat kaavat koulun kurssi matemaatikot. Se on muuten parasta tulostaa, sitä vaaditaan hyvin usein ja tieto imeytyy paremmin paperista.

Ratkaisemme siis rajamme

Kerroin osoittaja ja nimittäjä

Jotta voit kertoa osoittajan, sinun on ratkaistava toisen asteen yhtälö:

Ensin löydämme diskriminantin:

Ja sen neliöjuuri: .

Jos diskriminantti on suuri, esimerkiksi 361, käytämme laskinta, erotusfunktiota neliöjuuri saatavilla yksinkertaisimmalla laskimella.

! Jos juuria ei uuteta kokonaan (osallistuu murtoluku pilkulla), on erittäin todennäköistä, että erottaja on laskettu väärin tai tehtävässä oli kirjoitusvirhe.

Seuraavaksi löydämme juuret:

Täten:

Kaikki. Osoittaja on kertoimella.

Nimittäjä. Nimittäjä on jo yksinkertaisin tekijä, eikä sitä voi mitenkään yksinkertaistaa.

Ilmeisesti se voidaan lyhentää seuraavasti:

Nyt korvataan -1 lausekkeessa, joka jää rajamerkin alle:

Luonnollisesti sisään koetyötä, kokeen tai kokeen aikana ratkaisua ei koskaan kirjoiteta niin yksityiskohtaisesti. Lopullisessa versiossa suunnittelun pitäisi näyttää suunnilleen tältä:

Lasketaan osoittaja kertoimella.

Esimerkki 5

Laske raja

Ensinnäkin ratkaisun "valmis"-versio

Lasketaan osoittaja ja nimittäjä.

Osoittaja:
Nimittäjä:



,

Mikä tässä esimerkissä on tärkeää?
Ensinnäkin sinulla on oltava hyvä käsitys siitä, kuinka osoittaja paljastetaan, ensin otimme 2 suluista ja käytimme sitten neliöiden erotuksen kaavaa. Tämä on kaava, joka sinun täytyy tietää ja nähdä.

Sivustolla on online-rajalaskin opiskelijoille ja koululaisille, joilla he voivat koota kattavasti käsittelemäänsä materiaalia ja kouluttaa käytännön taitojaan. Kuinka käyttää online-rajalaskuria resurssissamme? Tämä voidaan tehdä erittäin helposti, sinun tarvitsee vain syöttää alkuperäinen funktio käytettävissä olevaan kenttään, valita muuttujan vaadittu raja-arvo valitsimesta ja klikata "Ratkaisu"-painiketta. Jos jossain vaiheessa sinun on laskettava raja-arvo, sinun on syötettävä juuri tämän pisteen arvo - joko numeerinen tai symbolinen. Online-rajalaskin auttaa sinua löytämään tietystä pisteestä funktion määrittelyvälin rajan, rajan arvon ja tämän arvon, missä tutkittavan funktion arvo ryntää, kun sen argumentti ryntää tiettyyn kohtaan. piste, on rajan ratkaisu. Tekijä: online-laskin Resurssisivustomme rajoissa voimme sanoa seuraavaa - Internetissä on valtava määrä analogeja, voit löytää arvokkaita, sinun on etsittävä tätä. Mutta tässä kohtaat sen tosiasian, että yksi sivusto eroaa toisesta sivustosta. Monet heistä eivät tarjoa online-rajalaskuria ollenkaan, toisin kuin me. Jos tiedossa hakukone, olipa kyseessä Yandex tai Google, haet sivustoja lauseella "Online-rajalaskin", sivusto näkyy hakutulosten ensimmäisillä riveillä. Tämä tarkoittaa, että nämä hakukoneet luottavat meihin, ja sivustollamme on vain korkealaatuista sisältöä, ja mikä tärkeintä, hyödyllistä koulujen ja yliopistojen opiskelijoille! Jatketaan keskustelua rajalaskimista ja yleisesti rajaan siirtymisen teoriasta. Hyvin usein funktion rajan määrittelyssä muotoillaan käsite lähiöistä. Tässä funktioiden rajoja sekä näiden rajojen ratkaisua tutkitaan vain funktioiden määrittelyaluetta rajoittavissa pisteissä, kun tiedetään, että tällaisen pisteen jokaisessa naapurustossa on pisteitä määrittelyalueelta. tämä toiminto. Tämä antaa meille mahdollisuuden puhua halusta muuttuva toiminto tiettyyn pisteeseen. Jos jossain vaiheessa funktion määrittelyalueella on raja ja online-rajalaskin tuottaa tässä vaiheessa yksityiskohtaisen funktion rajaratkaisun, niin funktio osoittautuu tässä vaiheessa jatkuvaksi. Anna ratkaisun sisältävä online-rajalaskurimme antaa jotain positiivinen tulos, ja tarkistamme sen muilta sivustoilta. Tämä voi todistaa resurssimme laadun, ja kuten monet jo tietävät, se on parhaimmillaan ja ansaitsee suurimman kiitoksen. Tämän lisäksi on mahdollisuus online-laskuriin yksityiskohtainen ratkaisu opiskella itsenäisesti, mutta tarkassa valvonnassa ammattitaitoinen opettaja. Usein tämä toimenpide johtaa odotettuihin tuloksiin. Kaikki opiskelijat yksinkertaisesti haaveilevat, että online-rajalaskin, jossa on ratkaisu, kuvaa yksityiskohtaisesti heidän opettajan lukukauden alussa osoittaman monimutkaisen ongelman. Mutta se ei ole niin yksinkertaista. Sinun täytyy ensin opiskella teoria ja sitten käyttää ilmaista laskinta. Aivan kuten online-limiitit, laskin antaa sinulle tarvittavat tiedot yksityiskohtaisesti ja olet tyytyväinen tulokseen. Mutta määritelmäalueen rajapiste ei välttämättä kuulu juuri tähän määritelmäalueeseen, ja tämän todistaa rajalaskurin yksityiskohtainen laskelma verkossa. Esimerkki: voimme tarkastella funktion rajaa avoimen segmentin päissä, jolle funktiomme on määritelty. Tässä tapauksessa itse segmentin rajat eivät sisälly määritelmäalueeseen. Tässä mielessä tämän pisteen kaupunginosien järjestelmä on erikoistapaus sellainen osajoukkojen perusta. Yksityiskohtaisen ratkaisun sisältävä online-rajalaskin tuotetaan reaaliajassa ja siihen sovelletaan kaavoja annetussa eksplisiittisessä analyyttisessä muodossa. Yksityiskohtaisen ratkaisun sisältävää online-rajalaskuria käyttävän funktion raja on yleistys sekvenssin rajan käsitteestä: alun perin funktion raja pisteessä ymmärrettiin toimialueen elementtisarjan rajaksi. funktiosta, joka koostuu funktion määritelmäalueen elementtijonon pisteistä, jotka konvergoivat tiettyyn pisteeseen (raja, jossa tarkastellaan); jos tällainen raja on olemassa, funktion sanotaan konvergoivan määritettyyn arvoon; jos tällaista rajaa ei ole olemassa, funktion sanotaan poikkeavan. Yleisesti ottaen rajan ylittämisen teoria on kaiken matemaattisen analyysin peruskäsite. Kaikki perustuu nimenomaan rajojen läpikäymiseen, eli rajojen yksityiskohtainen ratkaisu on matemaattisen analyysin tieteen perusta, ja online-rajalaskin luo pohjan opiskelijakoulutukselle. Nettisivuilla oleva online-rajalaskin yksityiskohtaisella ratkaisulla on ainutlaatuinen palvelu tarkan ja välittömän vastauksen saamiseen reaaliajassa. Ei ole harvinaista, tai pikemminkin hyvin usein, että opiskelijoilla on välittömästi vaikeuksia ratkaista rajoja milloin alkututkimus matemaattinen analyysi. Takaamme, että rajojen ratkaiseminen verkkolaskimella palvelussamme on avain tarkkuuteen ja laadukkaan vastauksen saamiseen. Yksityiskohtaiseen rajaratkaisuun saat laskurin avulla sekunneissa, voisi jopa sanoa välittömästi. Jos annat virheellisiä tietoja, eli merkkejä, joita järjestelmä ei hyväksy, ei hätää, palvelu ilmoittaa sinulle automaattisesti virheestä. Korjaa aiemmin syötetty funktio (tai rajapiste) ja hanki oikea yksityiskohtainen ratkaisu online-rajalaskimen avulla. Luota meihin, emmekä koskaan petä sinua. Voit helposti käyttää sivustoa ja online-rajalaskuri ratkaisun kanssa kuvaa yksityiskohtaisesti vaiheittaiset toimenpiteet ongelman laskemiseksi. Sinun tarvitsee vain odottaa muutama sekunti ja saat haluamasi vastauksen. Rajojen ratkaisemiseen yksityiskohtaisen ratkaisun sisältävällä online-laskimella käytetään kaikkia mahdollisia tekniikoita, erityisesti L'Hopitalin menetelmää käytetään hyvin usein, koska se on universaali ja johtaa vastaukseen nopeammin kuin muut funktion rajan laskentatavat. Usein lukujonon summan laskemiseen tarvitaan online-yksityiskohtainen ratkaisu rajalaskimella. Kuten tiedät, numeerisen sekvenssin summan löytämiseksi sinun on vain ilmaistava oikein tämän sekvenssin osasumma, ja sitten kaikki on yksinkertaista ilmaisen palvelumme verkkosivustolla, koska rajan laskeminen online-rajalaskimellamme osittaisesta summa on numeerisen sekvenssin lopullinen summa. Rajalaskimen yksityiskohtainen ratkaisu verkossa verkkopalvelun avulla mahdollistaa opiskelijoiden näkemisen ongelmien ratkaisun etenemisen, mikä tekee rajateorian ymmärtämisen helpoksi ja saavutettavaksi lähes kaikille. Pysy keskittyneenä äläkä anna väärien tekojesi aiheuttaa sinulle ongelmia epäonnistuneiden arvosanojen muodossa. Kuten mikä tahansa yksityiskohtainen ratkaisu rajalaskimella verkkopalvelu, ongelma esitetään kätevässä ja ymmärrettävässä muodossa, yksityiskohtaisella ratkaisulla, noudattaen kaikkia ratkaisun saamista koskevia sääntöjä ja määräyksiä. Samalla voit säästää aikaa ja rahaa, koska emme pyydä tästä mitään . Nettisivuillamme on saatavilla yksityiskohtainen ratkaisu online-rajalaskimista 24 tuntia vuorokaudessa, aina. Itse asiassa kaikki ratkaisun sisältävät online-rajalaskurit eivät välttämättä anna yksityiskohtaista tietoa vaiheittaisen ratkaisun etenemisestä, emme saa unohtaa tätä ja pitää sitä silmällä. Heti kun yksityiskohtaisen ratkaisun sisältävän online-laskimen rajat kehottavat sinua napsauttamaan ”Ratkaisu”-painiketta, tarkista ensin kaikki. eli tarkista syötetty funktio, myös raja-arvo ja vasta sitten jatka toimintoa. Tämä säästää sinut tuskallisilta kokemuksilta epäonnistuneista laskelmista. Ja sitten verkkolaskimen rajat yksityiskohtaisella lailla antavat oikean tekijän esityksen askel askeleelta toimintaa. Jos online-rajalaskin ei yhtäkkiä tarjoa yksityiskohtaista ratkaisua, tähän voi olla useita syitä. Tarkista ensin kirjoitettu funktiolauseke. Sen tulee sisältää muuttuja "x", muuten järjestelmä käsittelee koko funktiota vakiona. Tarkista seuraavaksi raja-arvo, jos se on määritetty annettu piste tai symbolinen merkitys. Sen tulisi myös sisältää vain latinalaisia ​​kirjaimia - tämä on tärkeää! Sitten voit yrittää uudelleen löytää yksityiskohtaisen ratkaisun rajoituksiin verkosta erinomaisesta palvelustamme ja käyttää tulosta. Heti kun he sanovat, että verkkoratkaisun rajat yksityiskohtaisesti ovat erittäin vaikeita - älä usko sitä, ja mikä tärkeintä, älä panikoi, kaikki voidaan ratkaista rajojen sisällä harjoituskurssi. Suosittelemme, että käytät ilman paniikkia vain muutaman minuutin palveluumme ja tarkista annettu harjoitus. Jos verkkoratkaisun rajoja ei kuitenkaan voida ratkaista yksityiskohtaisesti, teit kirjoitusvirheen, koska muuten sivusto ratkaisee melkein minkä tahansa ongelman ilman suurempia vaikeuksia. Mutta sinun ei tarvitse ajatella, että voit saada halutun tuloksen heti ilman vaikeuksia ja ilman panostusta. Joka tapauksessa sinun on käytettävä tarpeeksi aikaa materiaalin tutkimiseen. Jokainen rajalaskin on mahdollista näyttää verkossa yksityiskohtaisesti ratkaisun kanssa esillä olevan ratkaisun rakennusvaiheessa ja olettaa päinvastoin. Mutta sillä ei ole väliä, miten tämä ilmaistaan, koska olemme huolissamme itse tieteellisen lähestymistavan prosessista. Tuloksena näytämme kuinka verkkoratkaisulla varustettu rajalaskin perustuu yksityiskohtaisesti matematiikan tieteen perustavanlaatuiseen näkökulmaan. Korosta viisi perusperiaatetta ja aloita lisätoimet. Sinulta kysytään, onko verkossa saatavilla rajalaskuriratkaisua yksityiskohtaisella ratkaisulla kaikille, ja vastaat - kyllä, on! Ehkä tässä mielessä ei ole kiinnitetty erityistä huomiota tuloksiin, mutta online-rajalla on hieman eri merkitys, kuin miltä tieteenalaa opiskellessa aluksi saattaa näyttää. Tasapainoisella lähestymistavalla ja oikealla voimien tasapainolla on mahdollista mahdollisimman lyhyen ajan päättele raja verkossa yksityiskohtaisesti itse.! Todellisuudessa on niin, että online-rajalaskin, jossa on ratkaisu yksityiskohtaisesti, alkaa nopeasti edustaa suhteellisesti kaikkia vaiheittaisen laskennan vaiheita.