Murtolukujen jakamista koskevat säännöt. Murtolukujen kertominen ja jako

Voit tehdä kaiken murtoluvuilla, mukaan lukien jako. Tämä artikkeli näyttää tavallisten murtolukujen jaon. Määritelmät annetaan ja esimerkkejä keskustellaan. Tarkastellaanpa yksityiskohtaisesti murtolukujen jakamista luonnollisilla luvuilla ja päinvastoin. Käsitellään yhteisen murtoluvun jakamista sekaluvulla.

Murtolukujen jakaminen

Jako on kertolaskujen käänteisluku. Jakamisessa tuntematon tekijä löydetään toisen tekijän tunnetun tulon kanssa, jossa sen annettu merkitys säilytetään tavallisilla murtoluvuilla.

Jos yhteinen murto-osa a b on jaettava c d:llä, niin tällaisen luvun määrittämiseksi sinun on kerrottava jakajalla c d, tämä antaa lopulta osingon a b. Otetaan luku ja kirjoitetaan se a b · d c , missä d c on c d -luvun käänteisarvo. Yhtälöitä voidaan kirjoittaa käyttämällä kertolaskuominaisuuksia, nimittäin: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, jossa lauseke a b · d c on a b:n jakomäärä c d:llä.

Täältä saamme ja muotoilemme säännön tavallisten murtolukujen jakamiseksi:

Määritelmä 1

Jos haluat jakaa yhteisen murtoluvun a b:llä c d, sinun on kerrottava osinko jakajan käänteisluvulla.

Kirjoita sääntö lausekkeen muodossa: a b: c d = a b · d c

Jakosäännöt rajoittuvat kertomiseen. Pysyäksesi siinä, sinulla on oltava hyvä käsitys murtolukujen kertomisesta.

Siirrytään tarkastelemaan tavallisten murtolukujen jakoa.

Esimerkki 1

Jaa 9 7 luvulla 5 3. Kirjoita tulos murtolukuna.

Ratkaisu

Luku 5 3 on käänteinen murtoluku 3 5. On tarpeen käyttää sääntöä tavallisten murtolukujen jakamiseen. Kirjoitamme tämän lausekkeen seuraavasti: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.

Vastaus: 9 7: 5 3 = 27 35 .

Murtolukuja pienennettäessä erottele koko osa, jos osoittaja on suurempi kuin nimittäjä.

Esimerkki 2

Jaa 8 15: 24 65. Kirjoita vastaus murtolukuna.

Ratkaisu

Ratkaisua varten sinun on siirryttävä jakotilasta kertolaskuun. Kirjoitetaan se tähän muotoon: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

On tarpeen tehdä vähennys, ja se tehdään seuraavasti: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Valitse koko osa ja saat 13 9 = 1 4 9.

Vastaus: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Satunnaisen murtoluvun jakaminen luonnollisella luvulla

Käytämme sääntöä jakaa murto luonnollinen luku: jakaaksesi a b luonnollisella luvulla n, sinun tarvitsee vain kertoa nimittäjä n:llä. Tästä saadaan lauseke: a b: n = a b · n.

Jakolasääntö on seuraus kertolaskusäännöstä. Siksi luonnollisen luvun esittäminen murtolukuna antaa tämän tyyppisen yhtälön: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.

Harkitse tätä murto-osan jakoa luvulla.

Esimerkki 3

Jaa murtoluku 16 45 luvulla 12.

Ratkaisu

Sovelletaan sääntöä murtoluvun jakamisesta luvulla. Saamme lausekkeen muodossa 16 45: 12 = 16 45 · 12.

Pienennetään murto-osaa. Saamme 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135.

Vastaus: 16 45: 12 = 4 135 .

Luonnollisen luvun jakaminen murtoluvulla

Jakosäännöt ovat samanlaiset O sääntö luonnollisen luvun jakamisesta tavallisella murtoluvulla: luonnollisen luvun n jakamiseksi tavallisella murtoluvulla a b on tarpeen kertoa luku n murtoluvun a b käänteisluvulla.

Säännön perusteella meillä on n: a b = n · b a, ja luonnollisen luvun kertomissäännön ansiosta tavallisella murtoluvulla saamme lausekkeemme muodossa n: a b = n · b a. Tätä jakoa on tarkasteltava esimerkin avulla.

Esimerkki 4

Jaa 25 luvulla 15 28.

Ratkaisu

Meidän on siirryttävä jakotilasta kertolaskuun. Kirjoitetaan se lausekkeen 25 muodossa: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. Pienennetään murtolukua ja saadaan tulos murtoluvun 46 2 3 muodossa.

Vastaus: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Murtoluvun jakaminen sekaluvulla

Kun jaat yhteisen murtoluvun sekaluvulla, voit helposti alkaa jakaa yhteisiä murtolukuja. Sinun on muutettava sekaluku vääräksi murtoluvuksi.

Esimerkki 5

Jaa murtoluku 35 16 luvulla 3 1 8.

Ratkaisu

Koska 3 1 8 on sekaluku, esitetään se virheellisenä murtolukuna. Sitten saamme 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. Jaetaan nyt murtoluvut. Saamme 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

Vastaus: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

Sekaluvun jakaminen tapahtuu samalla tavalla kuin tavalliset luvut.

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Murtolukujen lisääminen samoilla nimittäjillä

Murtolukujen yhteenlaskua on kahta tyyppiä:

1. Murtolukujen lisääminen samoilla nimittäjillä
2. Murtolukujen lisääminen kanssa eri nimittäjiä

Ensin opetellaan murto-osien yhteenlasku samanlaisilla nimittäjillä. Täällä kaikki on yksinkertaista. Jos haluat lisätä murtolukuja, joilla on sama nimittäjä, sinun on lisättävä niiden osoittajat ja jätettävä nimittäjä ennalleen. Lisätään esimerkiksi murtoluvut ja . Lisää osoittajat ja jätä nimittäjä ennalleen:

Tämä esimerkki on helppo ymmärtää, jos muistamme pizzan, joka on jaettu neljään osaan. Jos lisäät pizzan pizzaan, saat pizzan:

Esimerkki 2. Lisää murtoluvut ja .

Vastaus osoittautui vääräksi murto-osaksi. Jos tehtävän loppu tulee, niin alkaen vääriä murtolukuja Siitä on tapana päästä eroon. Päästäksesi eroon väärästä murto-osasta, sinun on valittava sen koko osa. Meidän tapauksessamme koko osa erottuu helposti - kaksi jaettuna kahdella on yhtä:

Tämä esimerkki on helppo ymmärtää, jos muistamme pizzan, joka on jaettu kahteen osaan. Jos lisäät pizzaan pizzaa, saat yhden kokonaisen pizzan:

Esimerkki 3. Lisää murtoluvut ja .

Jälleen laskemme osoittajat yhteen ja jätämme nimittäjän ennalleen:

Tämä esimerkki on helppo ymmärtää, jos muistamme pizzan, joka on jaettu kolmeen osaan. Jos lisäät pizzaa pizzaan, saat pizzan:

Esimerkki 4. Etsi lausekkeen arvo

Tämä esimerkki on ratkaistu täsmälleen samalla tavalla kuin edelliset. Osoittajat on lisättävä ja nimittäjä jätettävä ennalleen:

Yritetään kuvata ratkaisumme piirustuksen avulla. Jos lisäät pizzat pizzaan ja lisäät pizzoja, saat 1 kokonaisen pizzan ja lisää pizzoja.

Kuten näet, samoilla nimittäjillä olevien murtolukujen lisäämisessä ei ole mitään monimutkaista. Riittää, kun ymmärrät seuraavat säännöt:

1. Jos haluat lisätä murto-osia, joilla on sama nimittäjä, sinun on lisättävä niiden osoittajat ja jätettävä nimittäjä ennalleen.

Murtolukujen lisääminen eri nimittäjillä

Nyt opitaan lisäämään murtolukuja eri nimittäjillä. Murtolukuja laskettaessa murto-osien nimittäjien on oltava samat. Mutta ne eivät aina ole samoja.

Esimerkiksi murto-osia voidaan lisätä, koska niillä on samat nimittäjät.

Mutta murtolukuja ei voi lisätä heti, koska näillä murtoluvuilla on erilaiset nimittäjät. Tällaisissa tapauksissa murtoluvut on vähennettävä samaan (yhteiseen) nimittäjään.

On olemassa useita tapoja vähentää murtolukuja samaan nimittäjään. Tänään tarkastelemme vain yhtä niistä, koska muut menetelmät voivat tuntua monimutkaisilta aloittelijalle.

Tämän menetelmän ydin on, että ensin etsitään molempien murtolukujen nimittäjien LCM. LCM jaetaan sitten ensimmäisen murto-osan nimittäjällä ensimmäisen lisäkertoimen saamiseksi. He tekevät saman toisen murto-osan kanssa - LCM jaetaan toisen murto-osan nimittäjällä ja saadaan toinen lisäkerroin.

Murtolukujen osoittajat ja nimittäjät kerrotaan sitten niiden lisätekijöillä. Näiden toimien seurauksena murtoluvut, joilla oli eri nimittäjät, muuttuvat murtoluvuiksi, joilla on sama nimittäjä. Ja me tiedämme jo kuinka lisätä tällaisia ​​murtolukuja.

Esimerkki 1. Lisätään murtoluvut ja

Ensinnäkin löydämme molempien murtolukujen nimittäjien pienimmän yhteisen kerrannaisen. Ensimmäisen murtoluvun nimittäjä on luku 3 ja toisen murtoluvun nimittäjä on luku 2. Näiden lukujen pienin yhteinen kerrannainen on 6

LCM (2 ja 3) = 6

Palataan nyt murtolukuihin ja . Jaa ensin LCM ensimmäisen murtoluvun nimittäjällä ja hanki ensimmäinen lisäkerroin. LCM on luku 6 ja ensimmäisen murto-osan nimittäjä on luku 3. Jaa 6 kolmella, saadaan 2.

Tuloksena oleva luku 2 on ensimmäinen lisäkerroin. Kirjoitamme sen ensimmäiseen murto-osaan. Tee tämä tekemällä murto-osan päälle pieni vino viiva ja kirjoita sen yläpuolella oleva lisätekijä:

Teemme saman toisen jakeen kanssa. Jaamme LCM:n toisen murto-osan nimittäjällä ja saamme toisen lisätekijän. LCM on luku 6 ja toisen murto-osan nimittäjä on luku 2. Jaa 6 kahdella, saadaan 3.

Tuloksena oleva luku 3 on toinen lisäkerroin. Kirjoitamme sen toiseen murto-osaan. Teemme jälleen pienen vinoviivan toisen murto-osan päälle ja kirjoitamme sen yläpuolelle löytyneen lisätekijän:

Nyt meillä on kaikki valmiina lisättäväksi. On vielä kerrottava murtolukujen osoittajat ja nimittäjät niiden lisäkertoimilla:

Katsokaa tarkasti, mihin olemme tulleet. Tulimme siihen tulokseen, että murtoluvut, joilla oli eri nimittäjät, muuttuivat murtoluvuiksi, joilla oli sama nimittäjä. Ja me tiedämme jo kuinka lisätä tällaisia ​​murtolukuja. Viedään tämä esimerkki loppuun:

Tämä täydentää esimerkin. Osoittautuu lisättäväksi.

Yritetään kuvata ratkaisumme piirustuksen avulla. Jos lisäät pizzan pizzaan, saat yhden kokonaisen pizzan ja toisen kuudesosan pizzasta:

Murtolukujen pelkistys samaan (yhteiseen) nimittäjään voidaan kuvata myös kuvan avulla. Pienentämällä murtoluvut ja yhteiseksi nimittäjäksi saimme murtoluvut ja . Näitä kahta fraktiota edustavat samat pizzanpalat. Ainoa ero on, että tällä kertaa ne jaetaan yhtä suuriin osuuksiin (samaan nimittäjään vähennettynä).

Ensimmäinen piirros esittää murto-osaa (neljä kappaletta kuudesta) ja toinen piirros murto-osaa (kolme kappaletta kuudesta). Lisäämällä nämä palaset saamme (seitsemän kappaletta kuudesta). Tämä murtoluku on virheellinen, joten korostimme sen koko osan. Tuloksena saimme (yksi kokonaisen pizzan ja toisen kuudennen pizzan).

Huomaa, että olemme kuvanneet tätä esimerkkiä liian yksityiskohtaisesti. SISÄÄN koulutusinstituutiot Ei ole tapana kirjoittaa niin yksityiskohtaisesti. Sinun on pystyttävä nopeasti löytämään molempien nimittäjien ja niiden lisätekijöiden LCM sekä kertomaan löydetyt lisätekijät nopeasti osoittajillasi ja nimittäjilläsi. Jos olisimme koulussa, meidän olisi kirjoitettava tämä esimerkki seuraavasti:

Mutta kolikolla on myös toinen puoli. Jos et tee yksityiskohtaisia ​​muistiinpanoja matematiikan opiskelun ensimmäisissä vaiheissa, alkaa ilmestyä tällaisia ​​​​kysymyksiä. "Mistä tuo luku tulee?", "Miksi murtoluvut muuttuvat yhtäkkiä täysin erilaisiksi murtoluvuiksi? «.

Voit helpottaa eri nimittäjien murtolukujen lisäämistä seuraavien vaiheittaisten ohjeiden avulla:

1. Etsi murto-osien nimittäjien LCM;
2. Jaa LCM kunkin murto-osan nimittäjällä ja hanki jokaiselle murtoluvulle lisäkerroin;
3. Kerro murtolukujen osoittajat ja nimittäjät niiden lisäkertoimilla;
4. Lisää murtoluvut, joilla on samat nimittäjät;
5. Jos vastaus osoittautuu vääräksi murtoluvuksi, valitse sen koko osa;

Esimerkki 2. Etsi lausekkeen arvo .

Käytetään yllä olevia ohjeita.

Vaihe 1. Etsi murtolukujen nimittäjien LCM

Etsi molempien murtolukujen nimittäjien LCM. Murtolukujen nimittäjät ovat luvut 2, 3 ja 4

Vaihe 2. Jaa LCM kunkin murto-osan nimittäjällä ja hanki jokaiselle murtoluvulle lisäkerroin

Jaa LCM ensimmäisen murtoluvun nimittäjällä. LCM on luku 12 ja ensimmäisen murtoluvun nimittäjä on luku 2. Jaa 12 kahdella, saamme 6. Saimme ensimmäisen lisäkertoimen 6. Kirjoitetaan se ensimmäisen murtoluvun yläpuolelle:

Nyt jaamme LCM:n toisen murto-osan nimittäjällä. LCM on luku 12 ja toisen murto-osan nimittäjä on luku 3. Jaa 12 kolmella, saamme 4. Saamme toisen lisäkertoimen 4. Kirjoitetaan se toisen murtoluvun yläpuolelle:

Nyt jaamme LCM:n kolmannen murtoluvun nimittäjällä. LCM on luku 12 ja kolmannen murtoluvun nimittäjä on luku 4. Jaa 12 4:llä, saamme 3. Saamme kolmannen lisäkertoimen 3. Kirjoitetaan se kolmannen murtoluvun yläpuolelle:

Vaihe 3. Kerro murtolukujen osoittajat ja nimittäjät niiden lisäkertoimilla

Kerromme osoittajat ja nimittäjät niiden lisätekijöillä:

Vaihe 4. Lisää murtoluvut, joilla on sama nimittäjä

Tulimme siihen tulokseen, että murtoluvut, joilla oli eri nimittäjät, muuttuivat murtoluvuiksi, joilla oli samat (yhteiset) nimittäjät. Jäljelle jää vain näiden jakeiden lisääminen. Lisää se:

Lisäys ei mahtunut yhdelle riville, joten siirsimme jäljellä olevan lausekkeen seuraavalle riville. Tämä on sallittua matematiikassa. Kun lauseke ei mahdu yhdelle riville, se siirretään seuraavalle riville ja ensimmäisen rivin loppuun ja uuden rivin alkuun on laitettava yhtäläisyysmerkki (=). Toisella rivillä oleva yhtäläisyysmerkki osoittaa, että tämä on jatkoa ensimmäisellä rivillä olevalle lausekkeelle.

Vaihe 5. Jos vastaus osoittautuu vääräksi murtoluvuksi, valitse sen koko osa

Vastauksemme osoittautui vääräksi murto-osaksi. Meidän on korostettava kokonaista osaa siitä. Korostamme:

Saimme vastauksen

Murtolukujen vähentäminen samoilla nimittäjillä

Murtolukujen vähentämistä on kahta tyyppiä:

1. Murtolukujen vähentäminen samoilla nimittäjillä
2. Eri nimittäjillä olevien murtolukujen vähentäminen

Ensin opetellaan vähentämään murtolukuja samanlaisilla nimittäjillä. Täällä kaikki on yksinkertaista. Jos haluat vähentää yhdestä murtoluvusta toisen, sinun on vähennettävä toisen murtoluvun osoittaja ensimmäisen murto-osan osoittajasta, mutta jätettävä nimittäjä ennalleen.

Etsitään esimerkiksi lausekkeen arvo. Tämän esimerkin ratkaisemiseksi sinun on vähennettävä toisen murtoluvun osoittaja ensimmäisen murtoluvun osoittajasta ja jätettävä nimittäjä ennalleen. Tehdään tämä:

Tämä esimerkki on helppo ymmärtää, jos muistamme pizzan, joka on jaettu neljään osaan. Jos leikkaat pizzat pizzasta, saat pizzat:

Esimerkki 2. Etsi lausekkeen arvo.

Jälleen, vähennä ensimmäisen murto-osan osoittajasta toisen murto-osan osoittaja ja jätä nimittäjä ennalleen:

Tämä esimerkki on helppo ymmärtää, jos muistamme pizzan, joka on jaettu kolmeen osaan. Jos leikkaat pizzat pizzasta, saat pizzat:

Esimerkki 3. Etsi lausekkeen arvo

Tämä esimerkki on ratkaistu täsmälleen samalla tavalla kuin edelliset. Ensimmäisen murtoluvun osoittajasta sinun on vähennettävä jäljellä olevien murtolukujen osoittajat:

Kuten näette, samoilla nimittäjillä olevien murtolukujen vähentämisessä ei ole mitään monimutkaista. Riittää, kun ymmärrät seuraavat säännöt:

1. Jos haluat vähentää yhdestä murtoluvusta toisen, sinun on vähennettävä toisen murtoluvun osoittaja ensimmäisen murtoluvun osoittajasta ja jätettävä nimittäjä ennalleen;
2. Jos vastaus osoittautuu vääräksi murto-osaksi, sinun on korostettava sen koko osa.

Eri nimittäjillä olevien murtolukujen vähentäminen

Voit esimerkiksi vähentää murto-osan murtoluvusta, koska murtoluvuilla on samat nimittäjät. Mutta et voi vähentää murto-osaa murtoluvusta, koska näillä murtoluvuilla on erilaiset nimittäjät. Tällaisissa tapauksissa murtoluvut on vähennettävä samaan (yhteiseen) nimittäjään.

Yhteinen nimittäjä löytyy samalla periaatteella, jota käytimme eri nimittäjillä olevia murtolukuja laskettaessa. Ensinnäkin, etsi molempien murtolukujen nimittäjien LCM. Sitten LCM jaetaan ensimmäisen murto-osan nimittäjällä ja saadaan ensimmäinen lisäkerroin, joka kirjoitetaan ensimmäisen murto-osan yläpuolelle. Vastaavasti LCM jaetaan toisen murto-osan nimittäjällä ja saadaan toinen lisäkerroin, joka kirjoitetaan toisen murto-osan yläpuolelle.

Murtoluvut kerrotaan sitten niiden lisätekijöillä. Näiden operaatioiden tuloksena murtoluvut, joilla oli eri nimittäjä, muunnetaan murtoluvuiksi, joilla on samat nimittäjät. Ja me tiedämme jo kuinka vähentää tällaisia ​​murtolukuja.

Esimerkki 1. Etsi ilmaisun merkitys:

Näillä murtoluvuilla on eri nimittäjät, joten sinun on vähennettävä ne samaan (yhteiseen) nimittäjään.

Ensin löydetään molempien murtolukujen nimittäjien LCM. Ensimmäisen murtoluvun nimittäjä on luku 3 ja toisen murtoluvun nimittäjä on luku 4. Näiden lukujen pienin yhteinen kerrannainen on 12

LCM (3 ja 4) = 12

Nyt palataan murtolukuihin ja

Etsitään lisäkerroin ensimmäiselle murtoluvulle. Tee tämä jakamalla LCM ensimmäisen murtoluvun nimittäjällä. LCM on luku 12 ja ensimmäisen murtoluvun nimittäjä on luku 3. Jaa 12 kolmella, saadaan 4. Kirjoita ensimmäisen murtoluvun yläpuolelle neljä:

Teemme saman toisen jakeen kanssa. Jaa LCM toisen murtoluvun nimittäjällä. LCM on luku 12 ja toisen murto-osan nimittäjä on luku 4. Jaa 12 4:llä, saadaan 3. Kirjoita kolmos toisen murtoluvun päälle:

Nyt olemme valmiita vähentämään. On vielä kerrottava murtoluvut niiden lisätekijöillä:

Tulimme siihen tulokseen, että murtoluvut, joilla oli eri nimittäjät, muuttuivat murtoluvuiksi, joilla oli sama nimittäjä. Ja me tiedämme jo kuinka vähentää tällaisia ​​murtolukuja. Viedään tämä esimerkki loppuun:

Saimme vastauksen

Yritetään kuvata ratkaisumme piirustuksen avulla. Jos leikkaat pizzan pizzasta, saat pizzan

Tämä on ratkaisun yksityiskohtainen versio. Jos olisimme koulussa, meidän olisi ratkaistava tämä esimerkki lyhyemmin. Tällainen ratkaisu näyttäisi tältä:

Murtolukujen pelkistäminen yhteiseksi nimittäjäksi voidaan kuvata myös kuvan avulla. Pienentämällä nämä murtoluvut yhteiseksi nimittäjäksi, saimme murtoluvut ja . Näitä murto-osia edustavat samat pizzaviipaleet, mutta tällä kertaa ne jaetaan yhtä suuriin osuuksiin (pienennettynä samaan nimittäjään):

Ensimmäisessä kuvassa on murto-osa (kahdeksan kappaletta kahdestatoista) ja toisessa kuvassa murto-osa (kolme kappaletta kahdestatoista). Leikkaamalla kolme kappaletta kahdeksasta kappaleesta saadaan viisi kappaletta kahdestatoista. Murtoluku kuvaa näitä viittä kappaletta.

Esimerkki 2. Etsi lausekkeen arvo

Näillä murtoluvuilla on eri nimittäjät, joten sinun on ensin vähennettävä ne samaan (yhteiseen) nimittäjään.

Etsitään näiden murtolukujen nimittäjien LCM.

Murtolukujen nimittäjät ovat luvut 10, 3 ja 5. Näiden lukujen pienin yhteinen kerrannainen on 30

LCM(10; 3; 5) = 30

Nyt löydämme lisätekijöitä jokaiselle murtoluvulle. Tee tämä jakamalla LCM kunkin murtoluvun nimittäjällä.

Etsitään lisäkerroin ensimmäiselle murtoluvulle. LCM on luku 30 ja ensimmäisen murtoluvun nimittäjä on luku 10. Jaa 30 10:llä, saadaan ensimmäinen lisäkerroin 3. Kirjoitetaan se ensimmäisen murtoluvun yläpuolelle:

Nyt löydämme lisätekijän toiselle murtoluvulle. Jaa LCM toisen murtoluvun nimittäjällä. LCM on luku 30 ja toisen murto-osan nimittäjä on luku 3. Jaa 30 kolmella, saadaan toinen lisäkerroin 10. Kirjoitetaan se toisen murtoluvun yläpuolelle:

Nyt löydämme lisätekijän kolmannelle murtoluvulle. Jaa LCM kolmannen murtoluvun nimittäjällä. LCM on luku 30 ja kolmannen murtoluvun nimittäjä on luku 5. Jaa 30 5:llä, saadaan kolmas lisäkerroin 6. Kirjoitetaan se kolmannen murtoluvun yläpuolelle:

Nyt kaikki on valmis vähennyskelpoiseksi. On vielä kerrottava murtoluvut niiden lisätekijöillä:

Tulimme siihen tulokseen, että murtoluvut, joilla oli eri nimittäjät, muuttuivat murtoluvuiksi, joilla oli samat (yhteiset) nimittäjät. Ja me tiedämme jo kuinka vähentää tällaisia ​​murtolukuja. Lopetetaan tämä esimerkki.

Esimerkin jatko ei mahdu yhdelle riville, joten siirrämme jatkon seuraavalle riville. Älä unohda yhtäläisyysmerkkiä (=) uudella rivillä:

Vastaus osoittautui tavalliseksi murto-osaksi, ja kaikki näyttää sopivan meille, mutta se on liian raskasta ja rumaa. Meidän pitäisi tehdä siitä yksinkertaisempi. Mitä voidaan tehdä? Voit lyhentää tätä murto-osaa.

Murtoluvun pienentämiseksi sinun on jaettava sen osoittaja ja nimittäjä (GCD) luvuista 20 ja 30.

Joten löydämme numeroiden 20 ja 30 gcd: n:

Nyt palataan esimerkkiimme ja jaetaan murtoluvun osoittaja ja nimittäjä löydetyllä gcd:llä, eli luvulla 10

Saimme vastauksen

Murtoluvun kertominen luvulla

Jos haluat kertoa murtoluvun luvulla, sinun on kerrottava murto-osan osoittaja tällä luvulla ja jätettävä nimittäjä ennalleen.

Esimerkki 1. Kerro murto-osa luvulla 1.

Kerro murtoluvun osoittaja luvulla 1

Nauhoituksen voi ymmärtää kestävän puoli 1 kertaa. Jos esimerkiksi otat pizzan kerran, saat pizzan

Kertolaskujen laeista tiedämme, että jos kertoja ja kerroin vaihdetaan, tulo ei muutu. Jos lauseke kirjoitetaan muodossa , tulo on silti yhtä suuri kuin . Jälleen sääntö kokonaisluvun ja murtoluvun kertomisesta toimii:

Tämä merkintätapa voidaan ymmärtää ottavan puolet yhdestä. Esimerkiksi jos on 1 kokonainen pizza ja otamme siitä puolet, niin meillä on pizza:

Esimerkki 2. Etsi lausekkeen arvo

Kerro murtoluvun osoittaja 4:llä

Vastaus oli väärä murto-osa. Korostetaan koko osaa siitä:

Lauseke voidaan ymmärtää ottavan kaksi neljäsosaa 4 kertaa. Jos otat esimerkiksi 4 pizzaa, saat kaksi kokonaista pizzaa

Ja jos vaihdamme kertojan ja kertoimen, saamme lausekkeen . Se on myös yhtä suuri kuin 2. Tämä lauseke voidaan ymmärtää ottamalla kaksi pizzaa neljästä kokonaisesta pizzasta:

Murtoluvulla kerrottava luku ja murtoluvun nimittäjä ratkaistaan, jos niillä on yhteinen jakaja, suurempi kuin yksi.

Esimerkiksi lauseke voidaan arvioida kahdella tavalla.

Ensimmäinen tapa. Kerro luku 4 murtoluvun osoittajalla ja jätä murtoluvun nimittäjä ennalleen:

Toinen tapa. Neljä kerrotaan ja neljä murtoluvun nimittäjässä voidaan pienentää. Näitä neloksia voidaan pienentää 4:llä, koska kahden nelon suurin yhteinen jakaja on itse neljä:

Saimme saman tuloksen 3. Nelosten pienentämisen jälkeen niiden tilalle muodostetaan uudet numerot: kaksi ykköstä. Mutta yhden kertominen kolmella ja sitten jakaminen yhdellä ei muuta mitään. Siksi ratkaisu voidaan kirjoittaa lyhyesti:

Vähentäminen voidaan suorittaa myös silloin, kun päätimme käyttää ensimmäistä menetelmää, mutta luvun 4 ja osoittajan 3 kertomisvaiheessa päätimme käyttää vähennystä:

Mutta esimerkiksi lauseke voidaan laskea vain ensimmäisellä tavalla - kerro 7 murtoluvun nimittäjällä ja jätä nimittäjä ennalleen:

Tämä johtuu siitä, että luvulla 7 ja murto-osan nimittäjällä ei ole yhtä suurempaa yhteistä jakajaa kuin yksi, joten ne eivät peruuta.

Jotkut opiskelijat lyhentävät erehdyksessä kerrottavaa lukua ja murtoluvun osoittajaa. Et voi tehdä tätä. Esimerkiksi seuraava merkintä ei ole oikein:

Murto-osan pienentäminen tarkoittaa sitä sekä osoittaja että nimittäjä jaetaan samalla luvulla. Lausekkeen tilanteessa jako suoritetaan vain osoittajassa, koska tämän kirjoittaminen on sama kuin kirjoittaminen. Näemme, että jako suoritetaan vain osoittajassa, eikä jakoa tapahdu nimittäjässä.

Murtolukujen kertominen

Jos haluat kertoa murtoluvut, sinun on kerrottava niiden osoittajat ja nimittäjät. Jos vastaus osoittautuu vääräksi murto-osaksi, sinun on korostettava sen koko osa.

Esimerkki 1. Etsi lausekkeen arvo.

Saimme vastauksen. Tätä osuutta on suositeltavaa pienentää. Fraktiota voidaan pienentää 2:lla. Sitten lopullinen liuos on seuraavanlainen:

Ilmaus voidaan ymmärtää niin, että pizza otetaan puolikkaasta pizzasta. Oletetaan, että meillä on puoli pizzaa:

Kuinka ottaa kaksi kolmasosaa tästä puoliskosta? Ensin sinun on jaettava tämä puolikas kolmeen yhtä suureen osaan:

Ja ota kaksi näistä kolmesta kappaleesta:

Teemme pizzaa. Muista miltä pizza näyttää kolmeen osaan jaettuna:

Yhdellä palalla tätä pizzaa ja kahdella otamme palalla on samat mitat:

Toisin sanoen puhumme samankokoisesta pizzasta. Siksi lausekkeen arvo on

Esimerkki 2. Etsi lausekkeen arvo

Kerro ensimmäisen murto-osan osoittaja toisen murto-osan osoittajalla ja ensimmäisen murto-osan nimittäjä toisen murto-osan nimittäjällä:

Vastaus oli väärä murto-osa. Korostetaan koko osaa siitä:

Esimerkki 3. Etsi lausekkeen arvo

Kerro ensimmäisen murto-osan osoittaja toisen murto-osan osoittajalla ja ensimmäisen murto-osan nimittäjä toisen murto-osan nimittäjällä:

Vastaus osoittautui tavalliseksi murto-osaksi, mutta olisi hyvä, jos sitä lyhennetään. Tämän murtoluvun pienentämiseksi sinun on jaettava tämän murtoluvun osoittaja ja nimittäjä lukujen 105 ja 450 suurimmalla yhteisellä jakajalla (GCD).

Etsitään siis numeroiden 105 ja 450 gcd:

Nyt jaamme vastauksemme osoittajan ja nimittäjän nyt löytämämme gcd:llä, eli luvulla 15

Esittää kokonaislukua murtolukuna

Mikä tahansa kokonaisluku voidaan esittää murtolukuna. Esimerkiksi numero 5 voidaan esittää muodossa . Tämä ei muuta viiden merkitystä, koska ilmaus tarkoittaa "lukua viisi jaettuna yhdellä", ja tämä, kuten tiedämme, on yhtä suuri kuin viisi:

Vastavuoroiset numerot

Nyt tutustumme hyvin mielenkiintoinen aihe matematiikassa. Sitä kutsutaan "käänteisiksi numeroiksi".

Määritelmä. Käänteinen numeroona on luku, joka kerrottunaa antaa yhden.

Korvataan tämä määritelmä muuttujan sijaan a numero 5 ja yritä lukea määritelmä:

Käänteinen numeroon 5 on luku, joka kerrottuna 5 antaa yhden.

Onko mahdollista löytää luku, joka kerrottuna viidellä antaa yhden? Osoittautuu, että se on mahdollista. Kuvitellaan viisi murtolukuna:

Kerro sitten tämä murto-osa itsellään, vaihda vain osoittaja ja nimittäjä. Toisin sanoen kerrotaan murto-osa itsellään, vain ylösalaisin:

Mitä tämän seurauksena tapahtuu? Jos jatkamme tämän esimerkin ratkaisemista, saamme yhden:

Tämä tarkoittaa, että luvun 5 käänteisluku on luku , koska kun kerrot 5:llä, saat yhden.

Luvun käänteisluku löytyy myös mille tahansa muulle kokonaisluvulle.

Voit myös löytää minkä tahansa muun murtoluvun käänteisluvun. Voit tehdä tämän kääntämällä sen ympäri.

Murtoluvun jakaminen luvulla

Oletetaan, että meillä on puoli pizzaa:

Jaetaan se tasan kahdelle. Kuinka paljon pizzaa kukin saa?

Voidaan nähdä, että puolikkaan pizzan jakamisen jälkeen saatiin kaksi samankokoista palaa, joista jokainen muodostaa pizzan. Joten kaikki saavat pizzan.

Murtolukujen kertominen ja jako.

Huomio!
On olemassa ylimääräisiä
materiaalit erityisosastossa 555.
Niille, jotka ovat erittäin "ei kovin..."
Ja niille, jotka "erittäin...")

Tämä operaatio on paljon mukavampi kuin yhteen- ja vähennyslasku! Koska se on helpompaa. Muistutuksena, jos haluat kertoa murto-osan murtoluvulla, sinun on kerrottava osoittajat (tämä on tuloksen osoittaja) ja nimittäjät (tämä on nimittäjä). Tuo on:

Esimerkiksi:

Kaikki on erittäin yksinkertaista. Ja älä etsi yhteistä nimittäjää! Ei häntä täällä tarvita...

Jos haluat jakaa murto-osan murtoluvulla, sinun on käännettävä toinen(tämä on tärkeää!) murtoluku ja kerro ne, eli:

Esimerkiksi:

Jos törmäät kerto- tai jakolaskuihin kokonaisluvuilla ja murtoluvuilla, se on okei. Kuten yhteenlaskussa, teemme murto-osan kokonaisluvusta, jonka nimittäjässä on yksi - ja jatka eteenpäin! Esimerkiksi:

Lukiossa joutuu usein käsittelemään kolmikerroksisia (tai jopa nelikerroksisia!) murto-osia. Esimerkiksi:

Miten saan tämän jakeen näyttämään kunnolliselta? Kyllä, hyvin yksinkertaista! Käytä kahden pisteen jakoa:

Mutta älä unohda jakojärjestystä! Toisin kuin kertolasku, tämä on erittäin tärkeää tässä! Emme tietenkään sekoita 4:2 tai 2:4. Mutta kolmikerroksisessa murto-osassa on helppo tehdä virhe. Huomaa esimerkiksi:

Ensimmäisessä tapauksessa (lauseke vasemmalla):

Toisessa (lauseke oikealla):

Tunnetko eron? 4 ja 1/9!

Mikä määrittää jakojärjestyksen? Joko suluilla tai (kuten tässä) vaakaviivojen pituudella. Kehitä silmääsi. Ja jos ei ole sulkeita tai viivoja, kuten:

sitten jaa ja kerro järjestyksessä, vasemmalta oikealle!

Ja toinen hyvin yksinkertainen ja tärkeä tekniikka. Tutkintotoimissa se on sinulle niin hyödyllistä! Jaetaan yksi millä tahansa murtoluvulla, esimerkiksi luvulla 13/15:

Laukaus on kääntynyt! Ja tätä tapahtuu aina. Kun jaetaan 1 millä tahansa murtoluvulla, tulos on sama murto-osa, vain ylösalaisin.

Siinä se operaatioille murtolukujen kanssa. Asia on melko yksinkertainen, mutta se antaa enemmän kuin tarpeeksi virheitä. Huomautus käytännön neuvoja, ja niitä tulee olemaan vähemmän (virheitä)!

Käytännön vinkkejä:

1. Murtolausekkeiden kanssa työskennellessä tärkeintä on tarkkuus ja tarkkaavaisuus! Nämä eivät ole yleisiä sanoja, eivät hyviä toiveita! Tämä on kipeä välttämättömyys! Tee kaikki Unified State Exam -kokeen laskelmat täysimittaisena tehtävänä, keskittyneenä ja selkeänä. On parempi kirjoittaa luonnoksiin kaksi ylimääräistä riviä kuin sotkea mielenlaskuja.

2. Esimerkeissä, joissa on erityyppisiä murtolukuja, siirrytään tavallisiin murtolukuihin.

3. Vähennämme kaikkia murtolukuja, kunnes ne pysähtyvät.

4. Pelistämme monitasoiset murtolausekkeet tavallisiksi käyttämällä kahden pisteen jakoa (noudatamme jakojärjestystä!).

5. Jaa yksikkö päässäsi olevalla murto-osalla yksinkertaisesti kääntämällä murto-osa ympäri.

Tässä on tehtävät, jotka sinun on ehdottomasti suoritettava. Vastaukset annetaan kaikkien tehtävien jälkeen. Käytä tätä aihetta käsitteleviä materiaaleja ja käytännön vinkkejä. Arvioi kuinka monta esimerkkiä pystyit ratkaisemaan oikein. Ensimmäinen kerta! Ilman laskinta! Ja tee oikeat johtopäätökset...

Muista - oikea vastaus on toisesta (etenkin kolmannesta) kerrasta saatuja ei lasketa! Sellaista se ankara elämä on.

Niin, ratkaista koetilassa ! Tämä on muuten jo valmistautumista Unified State -kokeeseen. Ratkaisemme esimerkin, tarkistamme sen, ratkaisemme seuraavan. Päätimme kaiken - tarkistimme uudelleen ensimmäisestä viimeiseen. Mutta vain Sitten katso vastauksia.

Laskea:

Oletko päättänyt?

Etsimme vastauksia, jotka vastaavat sinun vastauksiasi. Kirjoitin ne tarkoituksella ylös sekaisin, niin sanoakseni pois kiusauksesta... Tässä ne ovat, puolipisteillä kirjoitetut vastaukset.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Nyt tehdään johtopäätökset. Jos kaikki sujui, olen iloinen puolestasi! Peruslaskelmat murtoluvuilla eivät ole sinun ongelmasi! Voit tehdä vakavampia asioita. Jos ei...

Sinulla on siis toinen kahdesta ongelmasta. Tai molemmat kerralla.) Tiedon puute ja (tai) välinpitämättömyys. Mutta tämä ratkaistavissa Ongelmia.

Jos pidät tästä sivustosta...

Muuten, minulla on sinulle pari muuta mielenkiintoista sivustoa.)

Voit harjoitella esimerkkien ratkaisemista ja selvittää tasosi. Testaus välittömällä vahvistuksella. Opitaan - mielenkiinnolla!)

Voit tutustua funktioihin ja johdannaisiin.

Tavalliset murtoluvut tapaavat ensimmäisen kerran koululaiset 5. luokalla ja seuraavat heitä koko elämänsä ajan, koska jokapäiväisessä elämässä on usein tarpeen tarkastella tai käyttää esinettä ei kokonaisuutena, vaan erillisinä kappaleina. Aloita tämän aiheen tutkiminen - jakaa. Osakkeet ovat tasa-arvoisia, johon tämä tai tuo objekti on jaettu. Aina ei nimittäin ole mahdollista ilmaista esimerkiksi tuotteen pituutta tai hintaa kokonaislukuna, vaan jonkin mitan osat tai murto-osat tulee ottaa huomioon. Muodostettu verbistä "jakaa" - jakaa osiin ja jolla on arabialaiset juuret, itse sana "fraktio" syntyi venäjän kielessä 800-luvulla.

Murtolausekkeita on pitkään pidetty matematiikan vaikeimpana osa-alueena. 1600-luvulla, kun ensimmäiset matematiikan oppikirjat ilmestyivät, niitä kutsuttiin "rikollisiksi luvuiksi", joita ihmisten oli erittäin vaikea ymmärtää.

Moderni ilme yksinkertaiset murtojäännökset, joiden osat on erotettu vaakasuoralla viivalla, esitti ensimmäisenä Fibonacci - Leonardo Pisalainen. Hänen teoksensa ovat vuodelta 1202. Mutta tämän artikkelin tarkoitus on selittää lukijalle yksinkertaisesti ja selkeästi, kuinka eri nimittäjillä olevat sekamurtoluvut kerrotaan.

Murtolukujen kertominen eri nimittäjillä

Aluksi se kannattaa määrittää fraktioiden tyypit:

• oikea;
• väärä;
• sekoitettu.

Seuraavaksi sinun on muistettava, kuinka murto-osat, joilla on sama nimittäjä, kerrotaan. Tämän prosessin sääntöä ei ole vaikea muotoilla itsenäisesti: yksinkertaisten murtolukujen kertomisen tulos samoilla nimittäjillä on murtolauseke, jonka osoittaja on osoittajien tulo ja nimittäjä näiden murtolukujen nimittäjien tulos. . Eli itse asiassa uusi nimittäjä on yhden alun perin olemassa olevan nimittäjän neliö.

Kun kerrotaan yksinkertaisia ​​murtolukuja eri nimittäjillä kahdelle tai useammalle tekijälle sääntö ei muutu:

a/b * c/d = a*c / b*d.

Ainoa ero on, että murtoviivan alle muodostunut luku on eri lukujen tulo, eikä sitä tietenkään voida kutsua yhden numeerisen lausekkeen neliöksi.

On syytä harkita eri nimittäjien murtolukujen kertomista esimerkein:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

Esimerkeissä käytetään menetelmiä murtolausekkeiden vähentämiseen. Voit pienentää osoittajalukuja vain nimittäjänumeroilla; murtoviivan ylä- tai alapuolella olevia vierekkäisiä kertoimia ei voida pienentää.

Yksinkertaisten murtolukujen ohella on käsite sekamurto. Sekaluku koostuu kokonaisluvusta ja murto-osasta, eli se on näiden lukujen summa:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

Kuinka kertolasku toimii?

Useita esimerkkejä annetaan harkittavaksi.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

Esimerkissä käytetään luvun kertolaskua tavallinen murto-osa, tämän toiminnon sääntö voidaan kirjoittaa seuraavasti:

a* b/c = a*b /c.

Itse asiassa tällainen tulo on identtisten murtojäännösten summa, ja termien määrä osoittaa tämän luonnollisen luvun. Erikoistapaus:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

On toinenkin ratkaisu luvun kertomiseen murtojäännöksellä. Sinun tarvitsee vain jakaa nimittäjä tällä numerolla:

d* e/f = e/f: d.

Tämä tekniikka on hyödyllinen, kun nimittäjä jaetaan luonnollisella luvulla ilman jäännöstä tai, kuten sanotaan, kokonaisluvulla.

Muunna sekaluvut vääriksi murtoluvuiksi ja hanki tulo edellä kuvatulla tavalla:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

Tämä esimerkki sisältää esitysmenetelmän sekoitettu fraktio väärin, se voidaan esittää myös muodossa yleinen kaava:

a bc = a*b+ c / c, jossa uuden murto-osan nimittäjä muodostetaan kertomalla koko osa nimittäjällä ja lisäämällä se alkuperäisen murto-osan osoittajalla, ja nimittäjä pysyy samana.

Tämä prosessi toimii myös kääntöpuoli. Koko osan ja murtojäännöksen erottamiseksi sinun on jaettava väärän murtoluvun osoittaja sen nimittäjällä käyttämällä "kulmaa".

Virheellisten murtolukujen kertominen valmistettu yleisesti hyväksytyllä tavalla. Kun kirjoitat yhden murtoviivan alle, sinun on pienennettävä murtolukuja tarpeen mukaan, jotta voit vähentää lukuja tällä menetelmällä ja helpottaa tuloksen laskemista.

Internetissä on monia avustajia monimutkaistenkin ongelmien ratkaisemiseen. matemaattisia ongelmia eri ohjelmaversioissa. Riittävä määrä tällaisia ​​palveluita tarjoaa apua murtolukujen kertolaskussa eri numerot nimittäjissä - niin sanotut online-laskimet murtolukujen laskemiseen. He pystyvät paitsi kertomaan myös suorittamaan kaikki muut yksinkertaiset aritmeettiset operaatiot tavallisilla murtoluvuilla ja sekalaisia ​​numeroita. Sen kanssa työskentely ei ole vaikeaa; täytät verkkosivun asianmukaiset kentät, valitset matemaattisen operaation etumerkin ja napsautat "laske". Ohjelma laskee automaattisesti.

Murtolukujen aritmeettisten operaatioiden aihe on ajankohtainen koko ylä- ja lukiolaisten koulutuksessa. Lukiossa he eivät enää ajattele yksinkertaisimpia lajeja, vaan kokonaislukujen murtolausekkeet, mutta aiemmin saatua tietoa muunnossäännöistä ja laskelmista sovelletaan alkuperäisessä muodossaan. Hyvin hallittu perustieto antaa täydellisen varmuuden monimutkaisimpien ongelmien menestyksekkääseen ratkaisemiseen.

Lopuksi on järkevää lainata Lev Nikolajevitš Tolstoin sanoja, joka kirjoitti: "Ihminen on murto-osa. Ihmisen vallassa ei ole kasvattaa osoittajaansa - ansioitaan - mutta kuka tahansa voi vähentää nimittäjäänsä - mielipidettään itsestään, ja tämän vähenemisen myötä päästä lähemmäksi täydellisyyttään.

Murto-osa on yksi tai useampi osa kokonaisuudesta, yleensä yhdeksi (1). Kuten luonnollisten lukujen kanssa, voit suorittaa kaikki aritmeettiset perustoiminnot (lisäys, vähennys, jako, kertolasku) murtoluvuilla; tätä varten sinun on tiedettävä murtolukujen kanssa työskentelyn ominaisuudet ja erotettava niiden tyypit. Murtolukuja on useita tyyppejä: desimaali ja tavallinen tai yksinkertainen. Jokaisella murtotyypillä on omat erityispiirteensä, mutta kun ymmärrät perusteellisesti kuinka käsitellä niitä, pystyt ratkaisemaan kaikki esimerkit murtoluvuilla, koska tiedät murtolukujen aritmeettisten laskelmien suorittamisen perusperiaatteet. Katsotaanpa esimerkkejä murtoluvun jakamisesta kokonaisluvulla käyttämällä eri tyyppejä murto-osia.

Kuinka jakaa desimaali kokonaisluvulla?
Desimaaliluku on murtoluku, joka saadaan jakamalla yksikkö kymmeneen, tuhanneen ja niin edelleen. Aritmeettiset toiminnot desimaalien kanssa ovat melko yksinkertaisia.

Katsotaanpa esimerkkiä murto-osan jakamisesta kokonaisluvulla. Oletetaan, että meidän on jaettava desimaaliluku 0,925 luonnollisella luvulla 5.

• erottamista varten desimaali Sarakejakoa käytetään luonnolliselle luvulle;
  
• Osamäärään laitetaan pilkku, kun osingon koko osan jako on suoritettu.