Yksinkertaisten lineaaristen yhtälöiden ratkaiseminen. Tosiesimerkkien ratkaiseminen yksinkertaisista lineaarisista yhtälöistä

52. Lisää monimutkaisia ​​esimerkkejä yhtälöt.
Esimerkki 1.

5/(x – 1) – 3/(x + 1) = 15/(x 2 – 1)

Yhteinen nimittäjä on x 2 – 1, koska x 2 – 1 = (x + 1)(x – 1). Kerrotaan tämän yhtälön molemmat puolet x 2 – 1:llä. Saamme:

tai vähentämisen jälkeen

5 (x + 1) – 3 (x - 1) = 15

5x + 5 – 3x + 3 = 15

2x = 7 ja x = 3½

Tarkastellaanpa toista yhtälöä:

5/(x-1) – 3/(x+1) = 4(x 2 – 1)

Ratkaisemalla kuten yllä, saamme:

5 (x + 1) - 3 (x - 1) = 4
5x + 5 - 3x - 3 = 4 tai 2x = 2 ja x = 1.

Katsotaan ovatko yhtälömme perusteltuja, jos korvaamme x kussakin tarkastelussa yhtälössä löydetyllä numerolla.

Ensimmäisessä esimerkissä saamme:

Näemme, ettei epäilyille ole varaa: olemme löytäneet x:lle sellaisen luvun, että vaadittu yhtäläisyys on perusteltu.

Toisessa esimerkissä saamme:

5/(1-1) – 3/2 = 15/(1-1) tai 5/0 – 3/2 = 15/0

Tässä herää epäilyksiä: kohtaamme nollalla jakamisen, mikä on mahdotonta. Jos tulevaisuudessa onnistumme antamaan tälle jaolle tietyn, vaikkakin epäsuoran merkityksen, voimme olla yhtä mieltä siitä, että löydetty ratkaisu x – 1 täyttää yhtälömme. Siihen asti meidän on myönnettävä, että yhtälöllämme ei ole ratkaisua, jolla on suora merkitys.

Tällaisia ​​tapauksia voi esiintyä, kun tuntematon sisältyy jollakin tavalla yhtälön murtolukujen nimittäjiin ja osa näistä nimittäjistä muuttuu nollaksi, kun ratkaisu löytyy.

Esimerkki 2.

Näet heti, että tämä yhtälö on suhteessa muotoon: luvun x + 3 suhde numeroon x – 1 on yhtä suuri kuin luvun 2x + 3 suhde numeroon 2x – 2. Antaa jonkun, tätä seikkaa silmällä pitäen päätä soveltaa tätä yhtälön vapauttamiseksi murtoluvuista, suhteiden pääominaisuudesta (ääritermin tulo on yhtä suuri kuin keskitermien tulo). Sitten hän saa:

(x + 3) (2x - 2) = (2x + 3) (x - 1)

2x 2 + 6x - 2x - 6 = 2x 2 + 3x - 2x - 3.

Pelkoja siitä, että emme selviä tästä yhtälöstä, saattaa lisätä se tosiasia, että yhtälö sisältää termejä, joissa on x 2. Voimme kuitenkin vähentää 2x 2 yhtälön molemmilta puolilta - tämä ei riko yhtälöä; sitten termit x 2 tuhotaan ja saamme:

6x - 2x - 6 = 3x - 2x - 3

Siirretään tuntemattomia termejä vasemmalle ja tuttuja oikealle - saamme:

3x = 3 tai x = 1

Muista tämä yhtälö

(x + 3)/(x - 1) = (2x + 3)/(2x - 2)

Huomaamme heti, että x:n löydetty arvo (x = 1) saa jokaisen murtoluvun nimittäjät katoamaan; Meidän on hylättävä tällainen ratkaisu, kunnes olemme pohtineet kysymystä nollalla jaosta.

Jos huomioidaan myös, että suhteellisuusominaisuuden soveltaminen on monimutkaistanut asiaa ja että yksinkertaisempi yhtälö voitaisiin saada kertomalla annetun molemmat puolet yhteisellä nimittäjällä, nimittäin 2(x – 1) - loppujen lopuksi 2x – 2 = 2 (x – 1) , niin saamme:

2(x + 3) = 2x - 3 tai 2x + 6 = 2x - 3 tai 6 = -3,

mikä on mahdotonta.

Tämä seikka osoittaa, että tällä yhtälöllä ei ole ratkaisuja, joilla olisi suora merkitys, joka ei muuttaisi tämän yhtälön nimittäjiä nollaan.
Ratkaisemme nyt yhtälön:

(3x + 5)/(x - 1) = (2x + 18)/(2x - 2)

Kerrotaan yhtälön 2(x – 1) molemmat puolet, eli yhteisellä nimittäjällä, saadaan:

6x + 10 = 2x + 18

Löytyy ratkaisu ei hävitä nimittäjää ja sillä on suora merkitys:

tai 11 = 11

Jos joku käyttäisi suhteellisuusominaisuutta sen sijaan, että kertoisi molemmat osat luvulla 2(x – 1), hän saisi:

(3x + 5) (2x - 2) = (2x + 18) (x - 1) tai
6x 2 + 4x - 10 = 2x 2 + 16x - 18.

Tässä termit, joissa on x 2, eivät tuhoutuisi. Siirtämällä kaikki tuntemattomat termit vasemmalle ja tunnetut oikealle, saisimme

4x 2 - 12x = -8

x 2 – 3x = –2

Nyt emme pysty ratkaisemaan tätä yhtälöä. Jatkossa opimme ratkaisemaan tällaisia ​​yhtälöitä ja löydämme sille kaksi ratkaisua: 1) voit ottaa x = 2 ja 2) voit ottaa x = 1. Molemmat ratkaisut on helppo tarkistaa:

1) 2 2 – 3 2 = –2 ja 2) 1 2 – 3 1 = –2

Jos muistamme alkuyhtälön

(3x + 5) / (x - 1) = (2x + 18) / (2x - 2),

niin näemme, että nyt saamme sen molemmat ratkaisut: 1) x = 2 on ratkaisu, jolla on suora merkitys ja joka ei käännä nimittäjää nollaksi, 2) x = 1 on ratkaisu, joka muuttaa nimittäjän nollaksi ja ei ole suoraa merkitystä.

Esimerkki 3.

Etsitään tähän yhtälöön sisältyvien murtolukujen yhteinen nimittäjä ottamalla huomioon jokainen nimittäjä:

1) x 2 - 5x + 6 = x 2 - 3x - 2x + 6 = x (x - 3) - 2 (x - 3) = (x - 3) (x - 2),

2) x 2 – x – 2 = x 2 – 2x + x – 2 = x (x – 2) + (x – 2) = (x – 2) (x + 1),

3) x 2 – 2x – 3 = x 2 – 3x + x – 3 = x (x – 3) + (x – 3) = (x – 3) (x + 1).

Yhteinen nimittäjä on (x – 3)(x – 2)(x + 1).

Kerrotaan tämän yhtälön molemmat puolet (ja voimme nyt kirjoittaa sen uudelleen seuraavasti:

yhteisellä nimittäjällä (x – 3) (x – 2) (x + 1). Sitten kunkin murto-osan pienentämisen jälkeen saamme:

3(x + 1) – 2(x – 3) = 2(x – 2) tai
3x + 3 - 2x + 6 = 2x - 4.

Täältä saamme:

–x = –13 ja x = 13.

Tällä ratkaisulla on suora merkitys: se ei hävitä mitään nimittäjistä.

Jos otamme yhtälön:

sitten toimimalla täsmälleen samoin kuin edellä, saisimme

3(x + 1) – 2(x – 3) = x – 2

3x + 3 - 2x + 6 = x - 2

3x – 2x – x = –3 – 6 – 2,

mistä saisit sen?

mikä on mahdotonta. Tämä seikka osoittaa, että viimeiselle yhtälölle on mahdotonta löytää ratkaisua, jolla on suora merkitys.

Kuinka oppia ratkaisemaan yksinkertaisia ​​ja monimutkaisia ​​yhtälöitä

Rakkaat vanhemmat!

Ilman matemaattista peruskoulutusta koulutus on mahdotonta moderni mies. Koulussa matematiikka toimii tukiaineena monille läheisille oppiaineille. Koulun jälkeisessä elämässä siitä tulee todellinen välttämättömyys jatkokoulutus, joka vaatii peruskoulun, mukaan lukien matematiikan.

SISÄÄN ala-aste pääaiheiden tietämyksen lisäksi se kehittyy looginen ajattelu, mielikuvitusta ja spatiaalisia esityksiä sekä kiinnostuksen muodostumista tätä aihetta kohtaan.

Jatkuvuuden periaatetta huomioiden keskitymme tärkeimpään aiheeseen, nimittäin "Toiminnan komponenttien väliseen suhteeseen yhdistelmäyhtälöiden ratkaisemisessa".

Käyttämällä tämä oppitunti voit helposti oppia ratkaisemaan monimutkaisia ​​yhtälöitä. Tällä oppitunnilla opit yksityiskohtaisesti vaiheittaiset ohjeet monimutkaisten yhtälöiden ratkaiseminen.

Monet vanhemmat ovat hämmentyneitä kysymyksestä, kuinka saada lapsensa oppimaan ratkaisemaan yksinkertaisia ​​ja monimutkaisia ​​yhtälöitä. Jos yhtälöt ovat yksinkertaisia, se on puolet ongelmasta, mutta on myös monimutkaisia ​​- esimerkiksi integraalisia. Muuten, tiedoksi, on olemassa myös yhtälöitä, joita ihmiset kamppailevat ratkaistakseen parhaat mielet planeettamme ja jonka ratkaisemisesta jaetaan erittäin merkittäviä rahapalkintoja. Esimerkiksi jos muistatPerelmanja useiden miljoonien lunastamaton käteisbonus.

Palataan kuitenkin ensin yksinkertaisiin matemaattisiin yhtälöihin ja toistetaan yhtälötyypit ja komponenttien nimet. Pientä lämmittelyä:

_________________________________________________________________________

LÄMMITELLÄ

Etsi ylimääräinen numero kustakin sarakkeesta:

2) Mikä sana puuttuu kustakin sarakkeesta?

3) Yhdistä ensimmäisen sarakkeen sanat toisen sarakkeen sanoihin.

"Yhtälö" "Tasa-arvo"

4) Miten selität mitä "tasa-arvo" on?

5) Entä "yhtälö"? Onko tämä tasa-arvoa? Mitä erikoista siinä on?

summa termi

minusta ero

vähentävä tuote

tekijätasa-arvo

osinkoa

yhtälö

Johtopäätös: Yhtälö on yhtälö muuttujan kanssa, jonka arvo on löydettävä.

_______________________________________________________________________

Kehotan jokaista ryhmää kirjoittamaan paperille huopakynällä yhtälöitä: (taululle)

Yhden ryhmästä tulee lukea yhtälönsä matemaattisella kielellä ja kommentoida ratkaisuaan, eli puhua suoritettava operaatio toimintojen tunnetuilla komponenteilla (algoritmi).

Johtopäätös: Voimme ratkaista kaiken tyyppisiä yksinkertaisia ​​yhtälöitä käyttämällä algoritmia, lukea ja kirjoittaa kirjaimellisia lausekkeita.

Ehdotan ratkaisemaan ongelman, jossa ilmestyy uudenlainen yhtälö.

Johtopäätös: Tutustuimme yhtälöiden ratkaisuun, jonka yksi osa sisältää numeerisen lausekkeen, jonka arvo täytyy löytää ja saada yksinkertainen yhtälö.

________________________________________________________________________

Tarkastellaan yhtälön toista versiota, jonka ratkaisu pelkistetään yksinkertaisten yhtälöiden ketjun ratkaisemiseen. Tässä on yksi johdatus yhdisteyhtälöihin.

Suosittelen jokaista kirjoittamaan lauseen matemaattisella kielellä:

Lukujen x ja 4 sekä luvun 3 välisen eron tulo on 15.

PÄÄTELMÄ: nouseva ongelmallinen tilanne motivoi asettamaan oppitunnin tavoitteen: oppia ratkaisemaan yhtälöitä, joissa tuntematon komponentti on lauseke. Tällaiset yhtälöt ovat yhdistelmäyhtälöitä.

__________________________________________________________________________

Tai ehkä jo tutkimamme yhtälötyypit auttavat meitä? (algoritmit)

Mikä kuuluisista yhtälöistä on samanlainen kuin yhtälömme? X * a = b

ERITTÄIN TÄRKEÄ KYSYMYS: Mikä on vasemmalla puolella oleva lauseke - summa, erotus, tulo tai osamäärä?

(x - 4) * 3 = 15 (tuote)

Miksi? (koska viimeinen toiminto on kertolasku)

Johtopäätös:Tällaisia ​​yhtälöitä ei ole vielä otettu huomioon. Mutta voimme ratkaista sen, jos lausekex - 4laita kortti (y - igrek), ja saat yhtälön, joka voidaan helposti ratkaista yksinkertaisella algoritmilla tuntemattoman komponentin löytämiseksi.

Yhdistelmäyhtälöitä ratkaistaessa on jokaisessa vaiheessa tarpeen valita toiminto automatisoidulla tasolla, kommentoimalla ja nimeämällä toiminnon komponentit.

(y - 5) * 4 = 28
y - 5 = 28: 4
y - 5 = 7
y = 5 +7
y = 12
(12 - 5) * 4 = 28
28 = 28 (i)

Johtopäätös:Eritaustaisilla luokilla tämä työ voidaan järjestää eri tavalla. Valmistuneemmilla luokilla, jopa ensisijaista konsolidointia varten, voidaan käyttää lausekkeita, joissa ei kaksi, vaan kolme tai useampi toiminto, mutta niiden ratkaisu vaatii lisää vaiheet, jokainen vaihe yksinkertaistaa yhtälöä, kunnes saat yksinkertaisen yhtälön. Ja joka kerta voit tarkkailla, kuinka toimien tuntematon komponentti muuttuu.

_____________________________________________________________________________

PÄÄTELMÄ:

Kun puhumme jostain hyvin yksinkertaisesta ja ymmärrettävästä, sanomme usein: "Asia on yhtä selvä kuin kaksi ja kaksi on neljä!"

Mutta ennen kuin he tajusivat, että kaksi ja kaksi ovat neljä, ihmisten piti opiskella monia, monia tuhansia vuosia.

Muinaiset kreikkalaiset tunsivat monet aritmetiikkaa ja geometriaa koskevista koulukirjoista saadut säännöt yli kaksituhatta vuotta sitten.

Missä tahansa sinun täytyy laskea, mitata, vertailla jotain, et tule toimeen ilman matematiikkaa.

On vaikea kuvitella, kuinka ihmiset eläisivät, jos he eivät osaisi laskea, mitata ja vertailla. Matematiikka opettaa tämän.

Tänään sukeltasit kouluelämään, näytit oppilaiden roolia, ja kutsun teitä, rakkaat vanhemmat, arvioimaan taitojasi asteikolla.

Elämässä on hetkiä, jolloin edessäsi näkyy toivottomalta näyttävä tilanne tai ongelma, jonka ratkaisu ei lupaa olla sinun eduksesi. Älä kiirehdi luopumaan unelmiesi toteuttamisesta, tavoitteidesi saavuttamisesta tai paniikkiin. Eräs muinainen viisas sanoi: "Valitse aika ajatella - tämä on voiman lähde." No, hänen kanssaan on vaikea olla eri mieltä, koska mieli on voimakas ase. Monimutkaisimmallakin ongelmalla on kymmeniä ratkaisuja, ja se on poissa näkyvistä vain siksi, että ihmiset ovat tottuneet ajattelemaan tietyissä puitteissa. Monimutkaisen ongelman ratkaisemiseksi sinun on koordinoitava tietoisen ja alitajunnan työ - tämä laajentaa näköalojasi ja antaa sinun nähdä uusia mahdollisuuksia.

"100 ideaa" -tekniikka

"100 Idea" -tekniikan hallitsemiseen tarvitset vain 1-2 tuntia vapaa-aikaa, mukavan henkilökohtaisen kulman, jossa kukaan ei häiritse, sekä paperia ja kynää. Pyydä rakkaitasi ja tuttaviasi etukäteen olemaan häiritsemättä sinua "meditoinnin aikana", sammuttakaa puhelin ja rentoutukaa. Muotoile ja kirjoita kysymyksesi tai ongelmasi paperin yläosaan. Numeroi luettelo yhdestä sataan ja aloita ideoiden luominen.

Aluksi ideat tulevat peräkkäin, vaikka ne eivät valitettavasti ole uusia - kuvailet kaikki "valttikorttisi", mukaan lukien taidot, tuttavuudet, yhteydet, taloudelliset resurssit, aika, jonka voit käyttää ongelman ratkaisemiseen. Silloin tuntuu vielä mahdottomalta löytää sata vastausta, ja jos kompastelet kohtaan 20-30, tunnet olosi tyhjäksi. Sinua odottaa pieni hankaluus, joka syntyy luonnollisesti, kun tietoisuus noidankehässä kävellessä on käyttänyt käytettävissään olevat vaihtoehdot ja käynyt läpi kaiken, mitä on jo henkilökohtaisessa kokemuksessa kohdannut.

Toinen vaihe matkallasi alitajuntaan on vielä 40 pistettä, joissa käytät edelleen tietoista mieltäsi, mutta piilotetut voimat he alkavat herätä ja saavat toisen tuulen. Tässä vaiheessa ajattelutapasi tulee esiin. Huomaat, että ideasi alkavat toistaa itseään ja sisältävät kaikenlaisia ​​kliseitä ja asenteita. Sinun tehtäväsi ei ole sipata niitä sivuun, vaan kirjoittaa ne huolellisesti paperille, ja tästä syystä: nämä postimerkit ovat kehyksiä, joiden yli ei voi mennä katsomaan ympärilleen. Se voisi olla julkinen mielipide, tyytymättömyys esimiehiisi, itseluottamuksen puute ja muut psyykesi "purset". Samalla voit löytää omasi piilotettuja ongelmia tai pelkoja, jotka estävät sinua siirtymästä eteenpäin. Tämä vaihe vaatii sinulta suurinta kestävyyttä - loppujen lopuksi ei ole ollenkaan helppoa sipata sivuun kolmekymmentä ensimmäistä pistettä, jotka ovat selvästi mukavuusalueellasi, ja ottaa vastaan ​​uusia, tuntemattomia ja siksi joskus pelottavia ideoita - tämä on normaalia , tärkeintä ei ole luovuttaa. Lisäksi tämä sisäinen kamppailu auttaa vain siirtymään matkan kolmanteen vaiheeseen.

Juuri viimeiset 30 pistettä avaavat Pandoran lippaan edessäsi, koska numeroa 100 ei valittu sattumalta. Juuri tämä antaa intuitiosi avautua täysin ja yllättää itsesi odottamattomilla "ylhäältä tulevilla oivalluksilla" - heräävän alitajuntasi improvisoiduilla ilmaisuilla, joista ideat ilmestyvät ilman mielen käsittelyä tai suodatusta. Haussasi olet jo hylännyt logiikan, huomannut kuinka neliömäinen se todella on, ja ymmärrät, että ajattelutapasi on vain yhdessä tasossa - ja maailma on ilmeisesti kolmiulotteinen (aikaa laskematta). Nyt, kun mieli lakkaa sanelemimasta sinulle, mikä on "mahdollista" ja mikä "ei sallittua", alitajunnan ovi avautuu. Voit helposti keksiä jotain poikkeavaa ja ensi silmäyksellä täysin absurdia. Sinusta saattaa jopa tuntua, että sinun ei pitäisi kirjoittaa muistiin ajatusta, joka on selvästi sinulle sopimaton, ajatusta, joka yhtäkkiä nousi päähän. On kuitenkin outoja, joskus typeriä lauseita, jotka voivat osoittautua karkeiksi timanteiksi. Muista, kuinka ihmiset pitivät Maata litteänä ja pelkäsivät pudota sen reunalta, ja kuinka ajatusta planeetan pyöreästä ja pyörivästä kutsuttiin kerran harhaoppiksi. Harhaluuloiset ideat eivät ehkä ole sinulle aluksi selkeitä, mutta sinusta tuntuu, että niissä on jotain - tämä toimii pillinä, joka osoittaa sinut oikeaan suuntaan.

Saattaa myös käydä niin, että niin monen idean esittämisen jälkeen huomaat yhtäkkiä, että tämä ei ollut ollenkaan ongelma - tai näit vain jäävuoren huipun, joten sinun on tehtävä uusi lista vastataksesi täysin eri kysymykseen.

On muutamia muita sääntöjä, joita on noudatettava työskennellessään tällä tekniikalla. Ensinnäkin lista on koottava kerralla, ilman keskeytyksiä - muuten uinuvat loistavat ideasi jäävät uinumaan arjen ajattelun painon alla. Työskennellessään sinun ei pidä lukea luetteloa uudelleen ja arvioida, kuinka paljon on jo tehty ja kuinka monta kohdetta on jäljellä - tämä häiritsee sinua ja estää ajatuksiasi luonnollisesti toistamasta itseään - eikä siksi anna sinun nähdä omia kompastuskiviäsi. . Valmistaudu heti: arvioit ja kritisoit ideoitasi sen jälkeen, kun olet koonnut kaikki sadat pisteet - ja prosessin aikana sinun on kirjoitettava muistiin kaikki ajatukset (sinun ei tarvitse näyttää tätä paperia kenellekään, jos et tee niin). en halua). Jos työ on täydessä vauhdissa, lyhennä sanoja, pääasia, että voit sitten lukea mitä tarkoitit. Voit tietysti käyttää kannettavaa tietokonetta kynän ja paperin sijaan, mutta muista: lähde elektromagneettiset aallot, ainakin teoriassa, estää aivojasi, auraasi ja, jos niin haluat, chakrojasi yhdistämästä universaaliseen mieleen - ja yleensä toimimasta terveesti. Mutta tämä on henkilökohtaisen harkinnan mukaan.

"100 Ideaa" -tekniikan "herkulliset" bonukset eivät ole vain mahdollisuutta syvälliseen itseanalyysiin ja omaperäisten ratkaisujen löytämiseen vaikeisiin tilanteisiin, vaan myös siinä, että sen avulla voit kehittyä monipuolisesti ja suunnitella tulevaisuuttasi, löytää uusia kannustimia. itsensä kehittämiseen ja itsesi yläpuolelle kasvamiseen. Voit tehdä tämän vapaa-ajalla pohtimalla vastauksia alla oleviin aiheisiin (tai mitä tahansa omia):

• Kuinka kouluttaa itseäsi
• Kuinka parantaa suhteita
• Kuinka parantaa elämääsi
• Kuinka tehdä rahaa
• Kuinka parantaa liiketoimintaasi
• Kuinka auttaa ihmisiä
• Kuinka lisätä henkilökohtaista tehokkuutta
• Kuinka tulla terveemmäksi
• Asioita, joita lykkään huomiseen
• Asioita, joita teen parhaiten
• Asioita, jotka motivoivat minua
• Ominaisuuksia, joita haluan kehittää itsessäni
• Kysymyksiä joihin tarvitsen vastauksia
• Arvot joihin uskon
• Asioita joita arvostan elämässä
• Ammatit, joissa haluan kokeilla itseäni
• Asiat (ihmiset), jotka hidastavat minua saavuttamaan tavoitteeni
• Asioita, jotka piristävät minua
• Johtopäätökset, jotka elämä on minulle opettanut
• Asioita, joista voit päästä eroon
• Paikkoja, joissa haluaisin käydä
• Virheet, jotka annan anteeksi itselleni (muille)
• Tapoja ajatella luovemmin

Tässä videossa analysoimme koko sarjan lineaariset yhtälöt, jotka ratkaistaan ​​samalla algoritmilla - siksi niitä kutsutaan yksinkertaisimmiksi.

Ensin määritellään: mikä on lineaarinen yhtälö ja kumpaa kutsutaan yksinkertaisimmiksi?

Lineaarinen yhtälö on sellainen, jossa on vain yksi muuttuja ja vain ensimmäisessä asteessa.

Yksinkertaisin yhtälö tarkoittaa rakennetta:

Kaikki muut lineaariset yhtälöt pelkistetään yksinkertaisimpiin käyttämällä algoritmia:

1. Laajenna sulut, jos sellaisia ​​on;
2. Siirrä muuttujan sisältävät termit yhtäläisyysmerkin toiselle puolelle ja termit ilman muuttujaa toiselle puolelle;
3. Anna samanlaiset termit yhtäläisyysmerkin vasemmalle ja oikealle puolelle;
4. Jaa saatu yhtälö muuttujan $x$ kertoimella.

Tämä algoritmi ei tietenkään aina auta. Tosiasia on, että joskus kaikkien näiden koneistusten jälkeen muuttujan $x$ kerroin osoittautuu nollaksi. Tässä tapauksessa kaksi vaihtoehtoa on mahdollista:

1. Yhtälöllä ei ole lainkaan ratkaisuja. Esimerkiksi kun jotain $0\cdot x=8$ käy ilmi, ts. vasemmalla on nolla ja oikealla on jokin muu luku kuin nolla. Alla olevassa videossa tarkastellaan useita syitä, miksi tämä tilanne on mahdollinen.
2. Ratkaisu on kaikki numerot. Ainoa tapaus, kun tämä on mahdollista, yhtälö pelkistetään konstruktioon $0\cdot x=0$. On aivan loogista, että riippumatta siitä, mitä $x$ korvaamme, siitä huolimatta tulee esiin "nolla on yhtä kuin nolla", ts. oikea numeerinen yhtäläisyys.

Katsotaan nyt, miten tämä kaikki toimii tosielämän esimerkein.

Esimerkkejä yhtälöiden ratkaisemisesta

Nykyään käsittelemme lineaarisia yhtälöitä ja vain yksinkertaisimpia. Yleensä lineaarinen yhtälö tarkoittaa mitä tahansa yhtälöä, joka sisältää täsmälleen yhden muuttujan, ja se menee vain ensimmäiseen asteeseen.

Tällaiset rakenteet ratkaistaan ​​suunnilleen samalla tavalla:

1. Ensinnäkin sinun on laajennettava sulkuja, jos niitä on (kuten viimeisessä esimerkissämme);
2. Yhdistä sitten samanlaiset
3. Lopuksi eristetään muuttuja, ts. siirrä kaikki muuttujaan liittyvä – sen sisältämät termit – toiselle puolelle ja kaikki, mikä jää ilman sitä, toiselle puolelle.

Sitten sinun on pääsääntöisesti tuotava samanlaiset molemmille puolille tuloksena olevaa yhtäläisyyttä, ja sen jälkeen jäljellä on vain jakaa kertoimella “x”, ja saamme lopullisen vastauksen.

Teoriassa tämä näyttää mukavalta ja yksinkertaiselta, mutta käytännössä jopa kokeneet lukiolaiset voivat tehdä loukkaavia virheitä melko yksinkertaisissa lineaarisissa yhtälöissä. Tyypillisesti virheitä tehdään joko sulkuja avattaessa tai "plussia" ja "miinuksia" laskettaessa.

Lisäksi käy niin, että lineaarisella yhtälöllä ei ole ratkaisuja ollenkaan tai ratkaisu on koko lukuviiva, ts. mikä tahansa numero. Tarkastelemme näitä hienouksia tämän päivän oppitunnilla. Mutta aloitamme, kuten jo ymmärsit, erittäin yksinkertaisia ​​tehtäviä.

Kaavio yksinkertaisten lineaaristen yhtälöiden ratkaisemiseksi

Ensinnäkin kirjoitan vielä kerran koko kaavion yksinkertaisimpien lineaaristen yhtälöiden ratkaisemiseksi:

1. Laajenna kiinnikkeitä, jos sellaisia ​​on.
2. Eristämme muuttujat, ts. Siirrämme kaiken, mikä sisältää "X":n toiselle puolelle ja kaiken ilman X:ää toiselle.
3. Esittelemme samanlaisia ​​termejä.
4. Jaamme kaiken kertoimella "x".

Tämä järjestelmä ei tietenkään aina toimi, siinä on tiettyjä hienouksia ja temppuja, ja nyt opimme tuntemaan ne.

Tosiesimerkkien ratkaiseminen yksinkertaisista lineaarisista yhtälöistä

Tehtävä nro 1

Ensimmäinen vaihe vaatii, että avaamme sulut. Mutta ne eivät ole tässä esimerkissä, joten ohitamme tämän vaiheen. Toisessa vaiheessa meidän on eristettävä muuttujat. Huomaa: puhumme vain yksittäisistä ehdoista. Kirjoitetaan se ylös:

Esittelemme samanlaisia ​​termejä vasemmalla ja oikealla, mutta tämä on jo tehty täällä. Siksi siirrymme neljänteen vaiheeseen: jaa kertoimella:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Joten saimme vastauksen.

Tehtävä nro 2

Näemme tässä tehtävässä sulut, joten laajennetaan niitä:

Sekä vasemmalla että oikealla näemme suunnilleen saman mallin, mutta toimitaan algoritmin mukaan, ts. erottamalla muuttujat:

Tässä on joitain samanlaisia:

Millä juurilla tämä toimii? Vastaus: mihin tahansa. Siksi voimme kirjoittaa, että $x$ on mikä tahansa luku.

Tehtävä nro 3

Kolmas lineaarinen yhtälö on mielenkiintoisempi:

\[\vasen(6-x \oikea)+\vasen(12+x \oikea)-\vasen(3-2x \oikea)=15\]

Tässä on useita sulkuja, mutta niitä ei kerrota millään, vaan niitä edeltää yksinkertaisesti eri merkkejä. Puretaan ne:

Suoritamme jo tuntemamme toisen vaiheen:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Tehdään laskelma:

Suoritamme viimeisen vaiheen - jaa kaikki kertoimella "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Muistettavaa, kun ratkaiset lineaarisia yhtälöitä

Jos jätämme huomiotta liian yksinkertaiset tehtävät, haluaisin sanoa seuraavaa:

• Kuten edellä sanoin, jokaisella lineaarisella yhtälöllä ei ole ratkaisua - joskus juuria ei yksinkertaisesti ole;
• Vaikka juuret olisivat, niiden joukossa voi olla nolla - siinä ei ole mitään vikaa.

Nolla on sama luku kuin muutkin; sinun ei pitäisi syrjiä sitä millään tavalla tai olettaa, että jos saat nollan, olet tehnyt jotain väärin.

Toinen ominaisuus liittyy kiinnikkeiden avaamiseen. Huomaa: kun niiden edessä on "miinus", poistamme sen, mutta suluissa vaihdamme merkit muotoon vastapäätä. Ja sitten voimme avata sen vakioalgoritmeilla: saamme sen, mitä näimme yllä olevissa laskelmissa.

Tämän ymmärtäminen yksinkertainen tosiasia avulla voit välttää typeriä ja loukkaavia virheitä lukiossa, kun tällaisten toimien tekemistä pidetään itsestäänselvyytenä.

Monimutkaisten lineaaristen yhtälöiden ratkaiseminen

Siirrytään monimutkaisempiin yhtälöihin. Nyt rakenteet monimutkaistuvat ja erilaisia ​​muunnoksia suoritettaessa tulee näkyviin neliöfunktio. Tätä ei kuitenkaan pidä pelätä, koska jos tekijän suunnitelman mukaan ratkaisemme lineaarisen yhtälön, niin muunnosprosessin aikana kaikki neliöfunktion sisältävät monomit varmasti kumoutuvat.

Esimerkki nro 1

On selvää, että ensimmäinen askel on avata sulut. Tehdään tämä erittäin huolellisesti:

Katsotaanpa nyt yksityisyyttä:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Tässä on joitain samanlaisia:

Ilmeisesti tällä yhtälöllä ei ole ratkaisuja, joten kirjoitamme tämän vastaukseen:

\[\varnothing\]

tai ei ole juuria.

Esimerkki nro 2

Suoritamme samat toiminnot. Ensimmäinen askel:

Siirretään kaikki muuttujan kanssa vasemmalle ja ilman sitä - oikealle:

Tässä on joitain samanlaisia:

Ilmeisesti tällä lineaarisella yhtälöllä ei ole ratkaisua, joten kirjoitamme sen näin:

\[\varnothing\],

tai ei ole juuria.

Ratkaisun vivahteet

Molemmat yhtälöt ovat täysin ratkaistu. Näitä kahta lauseketta esimerkkinä käyttämällä vakuutimme jälleen, että yksinkertaisimmissakin lineaarisissa yhtälöissä kaikki ei välttämättä ole niin yksinkertaista: juuria voi olla joko yksi tai ei yhtään tai äärettömän monta juuria. Meidän tapauksessamme tarkastelimme kahta yhtälöä, molemmilla ei yksinkertaisesti ole juuria.

Mutta haluaisin kiinnittää huomiosi toiseen tosiasiaan: kuinka työskennellä sulkeiden kanssa ja kuinka avata ne, jos niiden edessä on miinusmerkki. Harkitse tätä ilmaisua:

Ennen avaamista sinun on kerrottava kaikki "X":llä. Huomaa: moninkertaistuu jokainen yksittäinen termi. Sisällä on kaksi termiä - vastaavasti kaksi termiä ja kerrottu.

Ja vasta kun nämä näennäisesti alkeelliset, mutta erittäin tärkeät ja vaaralliset muutokset on saatu päätökseen, voit avata sulun siltä kannalta, että sen jälkeen on miinusmerkki. Kyllä, kyllä: vasta nyt, kun muunnokset ovat valmiit, muistamme, että suluissa on miinusmerkki, mikä tarkoittaa, että kaikki alla oleva vain muuttaa merkkejä. Samaan aikaan itse kiinnikkeet katoavat ja mikä tärkeintä, myös etuosan "miinus" katoaa.

Teemme saman toisen yhtälön kanssa:

Ei ole sattumaa, että kiinnitän huomiota näihin pieniin, näennäisesti merkityksettömiin faktoihin. Koska yhtälöiden ratkaiseminen on aina alkeismuunnosten sarja, jossa kyvyttömyys suorittaa selkeästi ja pätevästi yksinkertaisia ​​​​toimintoja johtaa siihen, että lukiolaiset tulevat luokseni ja oppivat jälleen ratkaisemaan tällaisia ​​​​yksinkertaisia ​​​​yhtälöitä.

Tietysti tulee päivä, jolloin hiotte näitä taitoja automaattisuuteen asti. Sinun ei enää tarvitse tehdä niin monia muunnoksia joka kerta, vaan kirjoitat kaiken yhdelle riville. Mutta kun olet vain oppimassa, sinun on kirjoitettava jokainen toiminto erikseen.

Vielä monimutkaisempien lineaaristen yhtälöiden ratkaiseminen

Sitä, mitä aiomme ratkaista nyt, voidaan tuskin kutsua yksinkertaisimmaksi tehtäväksi, mutta merkitys pysyy samana.

Tehtävä nro 1

\[\vasen(7x+1 \oikea)\vasen(3x-1 \oikea)-21((x)^(2))=3\]

Kerrotaan kaikki ensimmäisen osan elementit:

Tehdään vähän yksityisyyttä:

Tässä on joitain samanlaisia:

Suoritetaan viimeinen vaihe:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Tässä on lopullinen vastauksemme. Ja huolimatta siitä, että ratkaisuprosessissa meillä oli neliöfunktion kertoimia, ne kumosivat toisensa, mikä tekee yhtälöstä lineaarisen eikä neliöllisen.

Tehtävä nro 2

\[\vasen(1-4x \oikea)\vasen(1-3x \oikea)=6x\vasen(2x-1 \oikea)\]

Suoritetaan ensimmäinen vaihe huolellisesti: kerro jokainen elementti ensimmäisestä hakasulkeesta kullakin elementillä toisesta. Muutosten jälkeen tulee olla yhteensä neljä uutta termiä:

Suoritetaan nyt kertominen huolellisesti jokaisessa termissä:

Siirretään termit "X":llä vasemmalle ja termit, joissa ei ole - oikealle:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Tässä on samanlaisia ​​termejä:

Jälleen kerran olemme saaneet lopullisen vastauksen.

Ratkaisun vivahteet

Tärkein huomautus näistä kahdesta yhtälöstä on seuraava: heti kun alamme kertoa hakasulkuja, jotka sisältävät useamman kuin yhden termin, tämä tehdään seuraavan säännön mukaisesti: otetaan ensimmäinen termi ensimmäisestä ja kerrotaan jokaisella alkiolla toinen; sitten otetaan toinen elementti ensimmäisestä ja kerrotaan samalla tavalla jokaisella toisesta elementistä. Tämän seurauksena meillä on neljä toimikautta.

Tietoja algebrallisesta summasta

Tällä viimeisellä esimerkillä haluaisin muistuttaa oppilaita, mikä on algebrallinen summa. Klassisessa matematiikassa $1-7$ tarkoitamme yksinkertaista konstruktiota: vähennä seitsemän yhdestä. Algebrassa tarkoitamme tällä seuraavaa: numeroon "yksi" lisäämme toisen luvun, nimittäin "miinus seitsemän". Näin algebrallinen summa eroaa tavallisesta aritmeettisesta summasta.

Heti kun suoritat kaikkia muunnoksia, jokaista yhteenlaskua ja kertolaskua, alat nähdä edellä kuvattujen rakenteita, sinulla ei yksinkertaisesti ole ongelmia algebrassa työskennellessäsi polynomien ja yhtälöiden kanssa.

Lopuksi tarkastellaan vielä paria esimerkkiä, jotka ovat vielä monimutkaisempia kuin juuri tarkastelimme, ja niiden ratkaisemiseksi meidän on laajennettava hieman standardialgoritmiamme.

Yhtälöiden ratkaiseminen murtoluvuilla

Tällaisten tehtävien ratkaisemiseksi meidän on lisättävä algoritmiimme vielä yksi vaihe. Mutta aluksi haluan muistuttaa sinua algoritmistamme:

1. Avaa kiinnikkeet.
2. Erilliset muuttujat.
3. Tuo samanlaisia.
4. Jaa suhteella.

Valitettavasti tämä upea algoritmi kaikesta tehokkuudestaan ​​​​huolimatta ei osoittautunut täysin sopivaksi, kun meillä on edessämme murto-osia. Ja mitä näemme alla, meillä on murto-osa sekä vasemmalla että oikealla molemmissa yhtälöissä.

Kuinka toimia tässä tapauksessa? Kyllä, se on hyvin yksinkertaista! Tätä varten sinun on lisättävä algoritmiin vielä yksi vaihe, joka voidaan tehdä sekä ennen ensimmäistä toimintoa että sen jälkeen, nimittäin murto-osien poistaminen. Algoritmi tulee siis olemaan seuraava:

1. Päästä eroon murtoluvuista.
2. Avaa kiinnikkeet.
3. Erilliset muuttujat.
4. Tuo samanlaisia.
5. Jaa suhteella.

Mitä tarkoittaa "eroon murto-osista"? Ja miksi tämä voidaan tehdä sekä ensimmäisen vakiovaiheen jälkeen että ennen sitä? Itse asiassa meidän tapauksessamme kaikki murtoluvut ovat nimittäjällään numeerisia, ts. Kaikkialla nimittäjä on vain numero. Siksi, jos kerromme yhtälön molemmat puolet tällä luvulla, pääsemme eroon murtoluvuista.

Esimerkki nro 1

\[\frac(\vasen(2x+1 \oikea)\vasen(2x-3 \oikea))(4)=((x)^(2))-1\]

Päätetään eroon tämän yhtälön murtoluvuista:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Huomaa: kaikki kerrotaan "neljällä" kerran, ts. se, että sinulla on kaksi sulkumerkkiä, ei tarkoita, että sinun täytyy kertoa jokainen niistä "neljällä". kirjoitetaan:

\[\vasen(2x+1 \oikea)\vasen(2x-3 \oikea)=\vasen(((x)^(2))-1 \oikea)\cdot 4\]

Nyt laajennetaan:

Erotamme muuttujan:

Suoritamme vastaavien termien vähentämisen:

\[-4x=-1\left| :\vasen(-4 \oikea) \oikea.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Olemme saaneet lopullisen ratkaisun, siirrytään toiseen yhtälöön.

Esimerkki nro 2

\[\frac(\vasen(1-x \oikea)\vasen(1+5x \oikea))(5)+((x)^(2))=1\]

Täällä teemme kaikki samat toiminnot:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Ongelma on ratkaistu.

Se on itse asiassa kaikki, mitä halusin kertoa sinulle tänään.

Avainkohdat

Tärkeimmät havainnot ovat:

• Tunne lineaaristen yhtälöiden ratkaisualgoritmi.
• Kyky avata kiinnikkeitä.
• Älä huoli, jos näet neliöfunktiot, todennäköisimmin ne vähenevät jatkomuutosprosessissa.
• Lineaarisissa yhtälöissä on kolmenlaisia ​​juuria, jopa yksinkertaisimpia: yksi juuri, koko lukurivi on juuri eikä juuria ollenkaan.

Toivon, että tämä oppitunti auttaa sinua hallitsemaan yksinkertaisen, mutta erittäin tärkeän aiheen kaiken matematiikan ymmärtämiseksi paremmin. Jos jokin on epäselvää, mene sivustolle ja ratkaise siellä esitetyt esimerkit. Pysy kuulolla, paljon muuta mielenkiintoista odottaa sinua!

Tiedemiehet ovat tutkineet aivojen toiminnan rytmejä ja löytäneet sen, joka sopii parhaiten luovaan näkemykseen ja etsimiseen. hyödyllisiä ideoita

Tiedemiehet ovat tutkineet aivojen toiminnan rytmejä ja löytäneet sen, joka sopii parhaiten luovaan näkemykseen ja hyödyllisten ideoiden etsimiseen.

Syödä. Nukkua. Ratkaista ongelmia. Toistaa. Todennäköisimmin vietät yöunet ottamatta huomioon suurin osa ajastasi erilaisten ongelmien ratkaisemiseen - erityisesti työssä.

Ei sillä, että se olisi huono asia. Monet parhaita yrittäjiä Sarah Blakelysta Richard Bransoniin menestys johtuu heidän kyvystään tunnistaa ongelmia (tässä tapauksessa tyydyttämättömiä kuluttajien tarpeita) ja tarjota ratkaisuja.

Mutta kumpi tahansa tärkeä osa elämämme ei ole ollut ongelmien ratkaisemista, se on loppujen lopuksi stressiä, ja jotkut ihmiset näyttävät selviävän siitä paremmin kuin toiset.

Siksi niille, jotka haluavat menestyä tässä pelissä, voit kokeilla jotain uutta: etsi ratkaisuja unessa. Kirjaimellisesti. Sitä kutsutaan "Ota kiinni theta-rytmisi". Ei, emme puhu itsehypnoosista tai meditaatiosta: se on puhdasta tiedettä ja se toimii.

Mutta selvitetään se ensin:

Mitä ovat aivorytmit?

Kuten opettaja Ned Herrmann selittää, tämä aivojen sähköistä toimintaa ohjaavia rytmejä. Riippuen aktiivisuustasostasi Neljä erilaista rytmiä voidaan erottaa. Listaamme ne aaltojen taajuuden mukaisessa järjestyksessä.

• Maksimiaktiivisuuden aikoina (esimerkiksi tärkeän haastattelun aikana) aivosi toimivat beta rytmi.
• Kun olet rentoutunut, esimerkiksi kun olet juuri lopettanut iso projekti ja voit vihdoin hengittää ulos, - aivot siirtyvät alfa rytmi.
• Nyt hypätään eteenpäin: neljäs rytmi ilmaistaan ​​kirjaimella "delta" ja se tallennetaan, kun olet syvässä unessa.

Jätimme väliin kolmannen vaiheen, theta-rytmin, koska se soveltuu parhaiten ongelmien ratkaisemiseen. Herrmann sanoo:

”Ihmiset, jotka viettävät paljon aikaa autolla ajaessaan, saavat usein hyviä ideoita näinä aikoina, kun he ovat theta-rytmissä... Tämä voi tapahtua suihkussa tai kylvyssä ja jopa hiuksia ajettaessa tai kampaaessa. Tämä on tila, jossa ongelman ratkaiseminen tulee niin automaattiseksi, että voit henkisesti irrottaa itsesi siitä. Theta-rytmin kanssa usein näyttää siltä, ​​että ajatusten virtaa ei rajoita mikään – ei sisäinen sensuuri tai syyllisyydentunteet.”

Aivot siirtyvät tähän tilaan, myös nukahtaessa tai herääessään, kun tasapainoilet hereillä olevan ja syvän unen välillä. Herrmann selittää:

”Herätessään aivot voivat ylläpitää theta-rytmiä pitkään, vaikkapa 5-15 minuuttia, ja tätä aikaa voidaan käyttää vapaasti pohtimaan eilisen tapahtumia tai sitä, mikä on edessä uudessa päivässä. Tämä ajanjakso voi olla erittäin tuottoisa ja tuoda mukanaan monia merkityksellisiä ja luovia ideoita.”

Onko todellista näyttöä tämän toimivuudesta?

Tartu hetkeen, jolloin aivosi ovat valmiit antamaan sinulle parhaita ideoita, - tekniikka, joka menestyneitä ihmisiä on seurattu satoja vuosia.

Taiteilijat, kirjailijat ja suuret ajattelijat ovat jo pitkään huomanneet, että ne hetket, jolloin "nyökkäämme" - eli juuri silloin, kun theta-rytmi vallitsee aivoissa - paras aika herättämään luovuutta.

Albert Einsteinilla ja Thomas Edisonilla oli tapana ratkaista monimutkaisia ​​ongelmia puoliunessa. Nopea, luova mieli on rakennettu ongelmanratkaisuun, minkä vuoksi jopa lyhyt päivän haasteiden pohtiminen aikaisin aamulla, kun olet vielä siinä tilassa (tai jopa illalla, kun alat nukahtaa) voi tuottaa hämmästyttäviä asioita. tuloksia. Se, mikä toimi Einsteinille, voi toimia sinulle – vaikka emme lupaakaan, että sinusta tulee kirjailija. uusi teoria suhteellisuusteoria.

Kuinka käyttää theta-rytmiäsi?

Se kestää jonkin aikaa. Mutta jos teet tämän harjoituksen säännöllisesti, sinulla on hyvä tapa mikä lisää tuottavuuttasi uusi taso. Tässä on mitä tarvitset tähän:

1. Valitse tehtävä

Aamulla, kun olet jo alkanut herätä, mutta silmäsi ovat vielä kiinni ja aivosi ovat vielä puoliunessa, ajattele kiireellisintä ongelmaa tai tehtävää, jonka kohtaat tänään. Ehkä se on hankala keskustelu, tärkeä neuvottelu asiakkaan kanssa, raportin kirjoittaminen tai uuden markkinointikampanjan kehittäminen. Mutta riippumatta siitä, kuinka monta tehtävää mielessäsi leijuu, sinun on valittava yksi - ja anna aivojen työskennellä sen parissa.

Älä yritä ohjata tai rajoittaa ajatuksiasi jotenkin, vaan varmista, etteivät ne mene liian kauas annettu aihe. Todennäköisesti aivosi alkavat tiedostamatta valita ratkaisua.

Saat usein pari hyödyllistä ideaa. Joskus se on jopa loistava oivallus. Todennäköisesti unohdat aluksi käyttää tätä menetelmää joka päivä, mutta ajan myötä siitä tulee toinen tapa, osa aamurituaalejasi.

2. Tee muistiinpanoja

Ehkä turhauttavin osa theta-ongelmien ratkaisua sinulle on se, että unohdat nuo inspiroidut ideat heti, kun pääsi lähtee tyynyltä. Pyörität aivojasi suihkussa yrittäessäsi poimia loistavia kolmen pisteen suunnitelmia, jotka juuri luonnostelit henkisesti. Siksi sinun on kirjoitettava päätöksesi muistiin heti, kun olet tarpeeksi hereillä avataksesi silmäsi.

Tartu älypuhelimeen (se latautuu edelleen sängyn päädyssä, eikö?) ja nauhoita ajatuksesi välittömästi - tekstinä tai äänittimeen. Älä tuhlaa aikaa. Rajoita itsesi avainsanoihin, kuvauksiin ja lauseisiin, jotka hiovat muistiasi myöhemmin, kun olet valmis käyttämään tietoja.

Lisäetu: puhelimen näytön sininen valo auttaa sinua heräämään. Ja jos haluat turvautua samaan tapaan illalla nukahtaessasi, on parempi käyttää kynää ja paperia - näin keinovalo ei häiritse untasi.

3. Analysoi kokemusta

Pidä päiväkirjaa "theta-ajatuksistasi" - ajan myötä tämä auttaa sinua löytämään tyypillisiä ratkaisuja ja niiden käyttöalueet. Saatat huomata, että tämä menetelmä on tehokkain sinulle, kun ratkaiset luovia ongelmia, tai huomaat, että se antaa sinulle etua ihmisten kanssa kommunikoinnissa tai suunnittelussa. Tämä auttaa sinua ymmärtämään, mitä ongelmia tulisi ratkaista teetarytmiä käyttämällä tulevaisuudessa.

Inspiraatio voi tulla mistä tahansa.

Mutta sama koskee esteitä.

Theta Thinking käyttää aivojen universaalia ongelmanratkaisukykyä, jotta voit muistaa ratkaisut ja käyttää niitä. Se voi usein auttaa sinua kiertämään seuraavan esteen tielläsi tai kuromaan umpeen puolivalmisteen idean ja todella hyödyllisen ratkaisun välistä kuilua, ja miksi et hyödyntäisi sitä? Sinun ei tarvitse edes nousta sängystä tehdäksesi tämän! julkaistu