Monimutkaisia esimerkkejä operaatioista murtolukujen kanssa. Operaatiot murtoluvuilla: säännöt, esimerkit, ratkaisut

Murtoluku laskin suunniteltu nopeaan toimintojen laskemiseen murtoluvuilla, ja sen avulla voit helposti lisätä, kertoa, jakaa tai vähentää murtolukuja.

Nykykoululaiset aloittavat murtolukujen opiskelun jo 5. luokalla, ja harjoitukset heidän kanssaan monimutkaistuvat vuosi vuodelta. Matemaattiset termit ja suuret, joita opimme koulussa, voivat harvoin olla hyödyllisiä meille elämässä. aikuisten elämää. Murtolukuja, toisin kuin logaritmit ja potenssit, löytyy kuitenkin melko usein jokapäiväisessä elämässä (etäisyyksien mittaaminen, tavaroiden punnitus jne.). Laskimemme on suunniteltu nopeisiin operaatioihin murtolukujen kanssa.

Ensin määritellään mitä murtoluvut ovat ja mitä ne ovat. Murtoluvut ovat yhden luvun suhdetta toiseen; se on luku, joka koostuu kokonaisluvusta yksikön murto-osia.

Murtotyypit:

Tavallinen
Desimaali
Sekoitettu

Esimerkki tavalliset murtoluvut:

Ylin arvo on osoittaja, alempi on nimittäjä. Viiva osoittaa, että ylin luku on jaollinen alimmalla numerolla. Tämän kirjoitusmuodon sijaan voit kirjoittaa eri tavalla, kun viiva on vaakatasossa. Voit laittaa vinon viivan, esimerkiksi:

1/2, 3/7, 19/5, 32/8, 10/100, 4/1

Desimaalit ovat suosituin murtotyyppi. Ne koostuvat kokonaislukuosasta ja murto-osasta, jotka on erotettu pilkulla.

Esimerkki desimaalimurtoluvuista:

0,2 tai 6,71 tai 0,125

Koostuu kokonaisluvusta ja murto-osasta. Tämän murtoluvun arvon selvittämiseksi sinun on lisättävä kokonaisluku ja murtoluku.

Esimerkki sekoitettuja fraktioita:

Verkkosivustomme murtolaskin voi suorittaa nopeasti mitä tahansa tehtäviä verkossa. matemaattisia operaatioita murtoluvuilla:

Lisäys
Vähennyslasku
Kertominen
Division

Laskennan suorittamiseksi sinun on syötettävä numeroita kenttiin ja valittava toiminto. Murtoluvuille sinun on täytettävä osoittaja ja nimittäjä; kokonaislukua ei saa kirjoittaa (jos murto-osa on tavallinen). Älä unohda napsauttaa "yhtä"-painiketta.

On kätevää, että laskin tarjoaa välittömästi prosessin esimerkin ratkaisemiseksi murtoluvuilla, ei vain valmiita vastauksia. Laajennetun ratkaisun ansiosta voit käyttää tätä materiaalia ratkaisussa koulutehtävät ja käsitellyn materiaalin paremmin hallitsemiseksi.

Sinun on suoritettava esimerkkilaskelma:

Kun indikaattorit on syötetty lomakekenttiin, saamme:

Voit tehdä oman laskelman syöttämällä tiedot lomakkeeseen.

Murtoluku laskin

Syötä kaksi murtolukua:

		+ - * :

Aiheeseen liittyvät osiot.

Esimerkit murtoluvuilla ovat yksi matematiikan peruselementtejä. Murtolukuja sisältäviä yhtälöitä on monia erilaisia. Alla on yksityiskohtaiset ohjeet tämän tyyppisten esimerkkien ratkaisemiseksi.

Kuinka ratkaista esimerkkejä murtoluvuilla - yleiset säännöt

Jotta voit ratkaista esimerkkejä minkä tahansa tyyppisistä murto-osista, olipa kyseessä yhteen-, vähennys-, kerto- tai jakolasku, sinun on tiedettävä perussäännöt:

Jos haluat lisätä murtolausekkeita, joilla on sama nimittäjä (nimittäjä on murto-osan alaosassa oleva numero, osoittaja yläosassa), sinun on lisättävä niiden osoittajat ja jätettävä nimittäjä ennalleen.
Jotta voit vähentää toisen murtolausekkeen (samalla nimittäjällä) yhdestä murtoluvusta, sinun on vähennettävä niiden osoittajat ja jätettävä nimittäjä ennalleen.
Murtolukulausekkeiden lisääminen tai vähentäminen käyttämällä eri nimittäjiä, sinun on löydettävä pienin yhteinen nimittäjä.
Murtotulon löytämiseksi sinun on kerrottava osoittajat ja nimittäjät ja, jos mahdollista, vähennettävä.
Jos haluat jakaa murto-osan murtoluvulla, kerro ensimmäinen murto-osa toisella käänteisellä murto-luvulla.

Kuinka ratkaista esimerkkejä murtoluvuilla - harjoitus

Sääntö 1, esimerkki 1:

Laske 3/4 +1/4.

Säännön 1 mukaan, jos kahdella (tai useammalla) murtoluvulla on sama nimittäjä, lisäät vain niiden osoittajat. Saamme: 3/4 + 1/4 = 4/4. Jos murtoluvulla on sama osoittaja ja nimittäjä, murtoluku on 1.

Vastaus: 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.

Sääntö 2, esimerkki 1:

Laske: 3/4 – 1/4

Käyttämällä sääntöä numero 2, tämän yhtälön ratkaisemiseksi sinun on vähennettävä 1 kolmesta ja jätettävä nimittäjä ennalleen. Saamme 2/4. Koska kaksi 2 ja 4 voidaan pienentää, vähennämme ja saamme 1/2.

Vastaus: 3/4 – 1/4 = 2/4 = 1/2.

Sääntö 3, esimerkki 1

Laske: 3/4 + 1/6

Ratkaisu: Kolmannen säännön avulla löydämme pienimmän yhteisen nimittäjän. Pienin yhteinen nimittäjä on luku, joka on jaollinen esimerkin kaikkien murtolausekkeiden nimittäjillä. Siksi meidän on löydettävä pienin luku, joka on jaollinen sekä 4:llä että 6:lla. Tämä luku on 12. Kirjoitetaan nimittäjäksi 12. Jaetaan 12 ensimmäisen murtoluvun nimittäjällä, saadaan 3, kerrotaan 3:lla, kirjoitetaan 3 osoittajassa *3 ja +-merkki. Jaa 12 toisen murto-osan nimittäjällä, saadaan 2, kerrotaan 2 yhdellä, kirjoitetaan osoittajaan 2*1. Saamme siis uuden murtoluvun, jonka nimittäjä on 12 ja osoittaja 3*3+2*1=11. 11/12.

Vastaus: 12.11

Sääntö 3, esimerkki 2:

Laske 3/4 – 1/6. Tämä esimerkki on hyvin samanlainen kuin edellinen. Teemme kaikki samat vaiheet, mutta osoittajaan +-merkin sijaan kirjoitamme miinusmerkin. Saamme: 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.

Vastaus: 7/12

Sääntö 4, esimerkki 1:

Laske: 3/4 * 1/4

Neljännellä säännöllä kerrotaan ensimmäisen murtoluvun nimittäjä toisen nimittäjällä ja ensimmäisen murtoluvun osoittaja toisen osoittajalla. 3*1/4*4 = 3/16.

Vastaus: 3/16

Sääntö 4, esimerkki 2:

Laske 2/5 * 10/4.

Tätä osuutta voidaan pienentää. Tuotteen tapauksessa ensimmäisen murto-osan osoittaja ja toisen nimittäjä sekä toisen murto-osan osoittaja ja ensimmäisen nimittäjä peruutetaan.

2 peruutusta 4:stä. 10 peruutusta 5:stä. Saamme 1 * 2/2 = 1*1 = 1.

Vastaus: 2/5 * 10/4 = 1

Sääntö 5, esimerkki 1:

Laske: 3/4: 5/6

Viidennen säännön avulla saamme: 3/4: 5/6 = 3/4 * 6/5. Vähennämme murto-osaa edellisen esimerkin periaatteen mukaisesti ja saamme 9/10.

Vastaus: 9/10.

Kuinka ratkaista esimerkkejä murtoluvuilla - murto-yhtälöt

Murtoyhtälöt ovat esimerkkejä, joissa nimittäjä sisältää tuntemattoman. Sellaisen yhtälön ratkaisemiseksi sinun on käytettävä tiettyjä sääntöjä.

Katsotaanpa esimerkkiä:

Ratkaise yhtälö 15/3x+5 = 3

Muista, että et voi jakaa nollalla, ts. nimittäjä ei saa olla nolla. Tällaisia esimerkkejä ratkaistaessa tämä on ilmoitettava. Tätä tarkoitusta varten on olemassa OA (sallittu arvoalue).

Joten 3x+5 ≠ 0.
Siksi: 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3

Kun x = 5/3 yhtälöllä ei yksinkertaisesti ole ratkaisua.

Osoitettuaan ODZ:n, parhaalla mahdollisella tavalla Tämän yhtälön ratkaiseminen päästää eroon murtoluvuista. Tätä varten esitämme ensin kaikki ei-murtoluvut murtolukuna, tässä tapauksessa lukuna 3. Saamme: 15/(3x+5) = 3/1. Päästäksesi eroon murtoluvuista, sinun on kerrottava jokainen niistä pienimmällä yhteisellä nimittäjällä. Tässä tapauksessa se on (3x+5)*1. Jaksotus:

Kerro 15/(3x+5) luvulla (3x+5)*1 = 15*(3x+5).
Avaa kiinnikkeet: 15*(3x+5) = 45x + 75.
Teemme saman yhtälön oikealla puolella: 3*(3x+5) = 9x + 15.
Yhdistä vasen ja oikea puoli: 45x + 75 = 9x +15
Siirrä X:t vasemmalle, numerot oikealle: 36x = – 50
Etsi x: x = -50/36.
Vähennämme: -50/36 = -25/18

Vastaus: ODZ x ≠ 5/3. x = -25/18.

Kuinka ratkaista esimerkkejä murtoluvuilla - murto-epäyhtälöt

Tyyppiä (3x-5)/(2-x)≥0 olevat murtoepäyhtälöt ratkaistaan numeroakselilla. Katsotaanpa tätä esimerkkiä.

Jaksotus:

Yhdistämme osoittajan ja nimittäjän nollaan: 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
2. 2-x=0 => x=2
Piirrämme numeroakselin ja kirjoitamme siihen saadut arvot.
Piirrä ympyrä arvon alle. Ympyröitä on kahdenlaisia - täytettyjä ja tyhjiä. Täytetty ympyrä tarkoittaa, että annettu arvo on ratkaisualueen sisällä. Tyhjä ympyrä osoittaa, että tämä arvo ei sisälly ratkaisualueeseen.
Koska nimittäjä ei voi olla nolla, 2.:n alle jää tyhjä ympyrä.

Merkkien määrittämiseksi korvaamme yhtälöön minkä tahansa kahden suuremman luvun, esimerkiksi 3. (3*3-5)/(2-3)= -4. arvo on negatiivinen, mikä tarkoittaa, että kirjoitamme miinuksen alueen yläpuolelle kahden jälkeen. Korvaa sitten X millä tahansa välin arvolla 5/3 - 2, esimerkiksi 1. Arvo on jälleen negatiivinen. Kirjoitamme miinuksen. Toistamme saman alueen kanssa, joka sijaitsee 5/3 asti. Korvaamme minkä tahansa luvun, joka on pienempi kuin 5/3, esimerkiksi 1. Jälleen miinus.

Koska olemme kiinnostuneita x:n arvoista, joilla lauseke on suurempi tai yhtä suuri kuin 0, eikä tällaisia arvoja ole (miinuksia on kaikkialla), tällä epäyhtälöllä ei ole ratkaisua, eli x = Ø (tyhjä joukko).

Vastaus: x = Ø

Tämä artikkeli on yleinen katsaus murtolukujen käyttämiseen. Tässä muotoillaan ja perustellaan yleisen muodon A/B murtolukujen yhteen-, vähennys-, kerto-, jakolasku- ja eksponentiosäännöt, joissa A ja B ovat joitain lukuja, numeerisia lausekkeita tai muuttujia sisältäviä lausekkeita. Kuten tavallista, tarjoamme aineistoon selittäviä esimerkkejä ja yksityiskohtaisia kuvauksia ratkaisuista.

Sivulla navigointi.

Säännöt operaatioiden suorittamiseen yleisillä numeerisilla murtoluvuilla

Sovitaan numeerisista murtoluvuista yleisnäkymä ymmärtää murtoluvut, joissa osoittaja ja/tai nimittäjä voidaan esittää luonnollisten lukujen lisäksi myös muilla luvuilla tai numeerisilla lausekkeilla. Selvyyden vuoksi tässä on muutamia esimerkkejä tällaisista murtoluvuista: , .

Tiedämme säännöt, joiden mukaan ne suoritetaan. Samoja sääntöjä käyttäen voit suorittaa toimintoja yleisillä murtoluvuilla:

Sääntöjen perustelut

Perustellaksesi yleisen muodon numeeristen murtolukujen suorittamista koskevien sääntöjen pätevyyttä, voit aloittaa seuraavista kohdista:

kauttaviiva on pohjimmiltaan jakomerkki,
jakamista jollain nollasta poikkeavalla luvulla voidaan pitää kertomisena jakajan käänteisluvulla (tämä selittää heti säännön jakamalla murtolukuja),
reaalilukujen operaatioiden ominaisuuksia,
ja sen yleinen käsitys,

Niiden avulla voit suorittaa seuraavat muunnokset, jotka oikeuttavat yhteenlasku-, vähennys-, samankaltaisten ja erilaisten nimittäjien murto-osien säännöt sekä murto-osien kertolaskusäännön:

Esimerkkejä

Annetaan esimerkkejä operaatioiden suorittamisesta yleisillä murtoluvuilla edellisessä kappaleessa opittujen sääntöjen mukaisesti. Sanotaan heti, että yleensä murto-operaatioiden suorittamisen jälkeen tuloksena oleva murto-osa vaatii yksinkertaistamista, ja murto-osan yksinkertaistaminen on usein monimutkaisempaa kuin aikaisempien toimien suorittaminen. Emme käsittele yksityiskohtaisesti murtolukujen yksinkertaistamista (vastaavia muunnoksia käsitellään murto-osien muuntamista käsittelevässä artikkelissa), jotta emme häiritsisi meitä kiinnostavaa aihetta.

Aloitetaan esimerkeillä murtolukujen lisäämisestä ja vähentämisestä samanlaisilla nimittäjillä. Lisätään ensin murtoluvut ja . Ilmeisesti nimittäjät ovat samat. Vastaavan säännön mukaan kirjoitetaan murtoluku, jonka osoittaja on yhtä suuri kuin alkuperäisten murtolukujen osoittajien summa, ja nimittäjä jätetään ennalleen. Lisäys on tehty, jäljellä on vain yksinkertaistaa tuloksena oleva murto: . Niin, .

Ratkaisu olisi voitu käsitellä toisin: ensin siirrytään tavallisiin jakeisiin ja sen jälkeen tehdään lisäys. Tällä lähestymistavalla meillä on .

Vähennetään nyt murtoluvusta murto-osa . Murtolukujen nimittäjät ovat yhtä suuret, joten noudatamme sääntöä samoilla nimittäjillä olevien murtolukujen vähentämisestä:

Siirrytään esimerkkeihin eri nimittäjien murtolukujen yhteen- ja vähentämisestä. Tässä päävaikeus koostuu murto-osien vähentämisestä yhteiseksi nimittäjäksi. Yleisten murtolukujen osalta tämä on melko laaja aihe; tarkastelemme sitä yksityiskohtaisesti erillisessä artikkelissa. tuoda murtoluvut yhteiseen nimittäjään. Rajoittukaamme nyt pariin yleisiä suosituksia, vuodesta alkaen Tämä hetki olemme kiinnostuneempia tekniikasta suorittaa operaatioita murtoluvuilla.

Yleensä prosessi on samanlainen kuin tavallisten murtolukujen pelkistäminen yhteiseksi nimittäjäksi. Toisin sanoen nimittäjät esitetään tulojen muodossa, sitten otetaan kaikki ensimmäisen murto-osan nimittäjän tekijät ja niihin lisätään toisen murto-osan nimittäjästä puuttuvat tekijät.

Kun yhteen- tai vähennyslukujen nimittäjillä ei ole yhteisiä tekijöitä, on loogista ottaa niiden tulo yhteiseksi nimittäjäksi. Otetaan esimerkki.

Oletetaan, että meidän on suoritettava murto-osien ja 1/2 yhteenlasku. Tässä yhteisenä nimittäjänä on loogista ottaa alkuperäisten murtolukujen nimittäjien tulo, eli . Tässä tapauksessa ensimmäisen murto-osan lisäkerroin on 2. Kun osoittaja ja nimittäjä on kerrottu sillä, murto-osa saa muotoa . Ja toiselle murtoluvulle lisätekijä on lauseke. Sen avulla murto-osa 1/2 pelkistetään muotoon . Jäljelle jää vain laskea yhteen saadut murtoluvut samoilla nimittäjillä. Tässä on yhteenveto koko ratkaisusta:

Yleisten murtolukujen tapauksessa emme enää puhu alimmasta yhteisestä nimittäjästä, johon tavalliset murtoluvut yleensä pelkistetään. Vaikka tässä asiassa on silti suositeltavaa pyrkiä minimalismiin. Tällä haluamme sanoa, että alkuperäisten murtolukujen nimittäjien tuloa ei pidä heti ottaa yhteiseksi nimittäjäksi. Esimerkiksi murtolukujen ja tulon yhteistä nimittäjää ei ole ollenkaan tarpeen ottaa . Täällä voimme ottaa.

Siirrytään esimerkkeihin yleisten murtolukujen kertomisesta. Kerrotaan murtoluvut ja . Tämän toiminnon suorittamissääntö käskee meitä kirjoittamaan murto-osan, jonka osoittaja on alkuperäisten murtolukujen osoittajien tulo ja nimittäjä nimittäjien tulo. Meillä on . Tässä, kuten monissa muissakin tapauksissa, kun kerrot murtoluvut, voit pienentää murtolukua: .

Murtolukujen jakosäännön avulla voit siirtyä jaosta käänteismurtoluvulla kertomiseen. Tässä sinun on muistettava, että saadaksesi tietyn murtoluvun käänteisarvon, sinun on vaihdettava annetun murtoluvun osoittaja ja nimittäjä. Tässä on esimerkki siirtymisestä yleisten numeeristen murtolukujen jakamisesta kertolaskuun: . Jäljelle jää vain kertolasku ja tuloksena olevan murtoluvun yksinkertaistaminen (katso tarvittaessa irrationaalisten lausekkeiden muunnos):

Lopuksi tämän kappaleen tiedot, muista, että mikä tahansa luku tai numeerinen lauseke voidaan esittää murtolukuna, jonka nimittäjä on 1, joten lukujen ja murtolukujen yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku voidaan katsoa vastaavan toiminnon suorittamiseksi murtoluvuilla, yksi joiden nimittäjässä on yksi . Esimerkiksi korvaamalla lausekkeessa kolmen juuri murtoluvulla, siirrymme murtoluvun kertomisesta luvulla kahden murtoluvun kertomiseen: .

Tekee asioita murtoluvuilla, jotka sisältävät muuttujia

Tämän artikkelin ensimmäisen osan säännöt koskevat myös toimintojen suorittamista muuttujia sisältävillä murtoluvuilla. Perustellaan ensimmäinen niistä - sääntö murto-osien lisäämisestä ja vähentämisestä samoilla nimittäjillä, loput todistetaan täysin samalla tavalla.

Osoitetaan, että kaikilla lausekkeilla A, C ja D (D ei ole identtisesti nolla) yhtälö pätee sen sallittujen muuttujien arvojen alueella.

Otetaan tietty joukko muuttujia ODZ:stä. Olkoon lausekkeet A, C ja D arvot a 0, c 0 ja d 0 näille muuttujien arvoille. Sitten valitun joukon muuttujien arvojen korvaaminen lausekkeella muuttaa sen numeeristen murtolukujen summaksi (erotukseksi) muodon samoilla nimittäjillä, joka säännön mukaan numeeristen murtolukujen yhteenlasku (vähennys) samoilla nimittäjillä , on yhtä suuri kuin . Mutta muuttujien arvojen korvaaminen valitusta joukosta lausekkeeksi muuttaa sen samaksi murtoluvuksi. Tämä tarkoittaa, että ODZ:stä valitulle muuttujaarvojoukolle lausekkeiden arvot ja ovat yhtä suuret. On selvää, että ilmoitettujen lausekkeiden arvot ovat yhtä suuret kaikille muille ODZ:n muuttujien arvoille, mikä tarkoittaa, että lausekkeet ja ovat identtiset, eli todistettava yhtäläisyys on totta. .

Esimerkkejä murtolukujen yhteen- ja vähentämisestä muuttujien kanssa

Kun yhteen- tai vähennysosien nimittäjät ovat samat, kaikki on melko yksinkertaista - osoittajat lisätään tai vähennetään, mutta nimittäjä pysyy samana. On selvää, että tämän jälkeen saatua murto-osaa yksinkertaistetaan tarvittaessa ja mahdollista.

Huomaa, että joskus murtolukujen nimittäjät eroavat vain ensi silmäyksellä, mutta itse asiassa ne ovat identtisiä yhtäläisiä lausekkeita, esim. ja , tai ja . Ja joskus riittää, että alkuperäiset murtoluvut yksinkertaistetaan niin, että niiden identtiset nimittäjät "näkyvät".

Esimerkki.

, b) , V) .

Ratkaisu.

a) Meidän on vähennettävä murtoluvut samanlaisilla nimittäjillä. Vastaavan säännön mukaan jätämme nimittäjän ennalleen ja vähennämme osoittajat, meillä on . Toimi on suoritettu. Mutta voit myös avata sulut osoittajassa ja esittää samanlaisia termejä: .

b) Ilmeisesti yhteen laskettavien murtolukujen nimittäjät ovat samat. Siksi laskemme osoittajat yhteen ja jätämme nimittäjän ennalleen: . Lisäys valmis. Mutta on helppo nähdä, että tuloksena olevaa fraktiota voidaan pienentää. Tuloksena olevan murtoluvun osoittaja voidaan todellakin tiivistää käyttämällä summan kaavan neliötä (lgx+2) 2 (katso lyhennetyn kertolaskukaavat), joten seuraavat muunnokset tapahtuvat: .

c) Murtoluvut summassa on eri nimittäjiä. Mutta kun olet muuntanut yhden murtoluvuista, voit siirtyä lisäämään murtolukuja, joilla on samat nimittäjät. Näytämme kaksi ratkaisua.

Ensimmäinen tapa. Ensimmäisen murto-osan nimittäjä voidaan kertoa neliöiden erotuskaavan avulla ja pienentää sitten tätä murto-osaa: . Täten, . Ei silti haittaa vapauttaa itsesi irrationaalisuudesta murtoluvun nimittäjässä: .

Toinen tapa. Kertomalla toisen murtoluvun osoittaja ja nimittäjä (tämä lauseke ei mene nollaan millään muuttujan x arvolla alkuperäisen lausekkeen ODZ:stä) voit saavuttaa kaksi tavoitetta kerralla: vapautua irrationaalisuudesta ja siirtyä lisäämällä murtoluvut samoilla nimittäjillä. Meillä on

Vastaus:

A) , b) , V) .

Viimeinen esimerkki toi meidät kysymykseen murtolukujen vähentämisestä yhteiseksi nimittäjäksi. Siellä pääsimme melkein vahingossa samoihin nimittäjiin yksinkertaistamalla yhtä lisätyistä murtoluvuista. Mutta useimmissa tapauksissa, kun lisäät ja vähennät murtolukuja eri nimittäjillä, sinun on tarkoituksellisesti saatettava murtoluvut yhteiseen nimittäjään. Tätä varten murto-osien nimittäjät esitetään yleensä tulojen muodossa, kaikki ensimmäisen murto-osan nimittäjästä tulevat tekijät otetaan ja niihin lisätään toisen murto-osan nimittäjästä puuttuvat tekijät.

Esimerkki.

Suorita operaatioita murtoluvuilla: a) , b) , c) .

Ratkaisu.

a) Murtolukujen nimittäjille ei tarvitse tehdä mitään. Yhteisenä nimittäjänä otamme tuotteen . Tässä tapauksessa ensimmäisen murto-osan lisätekijä on lauseke ja toisen murto-osan lisätekijä - luku 3. Nämä lisätekijät tuovat murtoluvut yhteiselle nimittäjälle, jonka avulla voimme myöhemmin suorittaa tarvitsemamme toiminnon.

b) Tässä esimerkissä nimittäjät on jo esitetty tuloina eivätkä vaadi lisämuunnoksia. On selvää, että nimittäjien tekijät eroavat vain eksponenteissa, joten yhteiseksi nimittäjäksi otetaan niiden tekijöiden tulo, joilla on suurin eksponentti, eli . Tällöin ensimmäisen murtoluvun lisäkerroin on x 4 ja toisen – ln(x+1) . Nyt olemme valmiita vähentämään murtolukuja:

c) Ja tässä tapauksessa työskentelemme ensin murtolukujen nimittäjien kanssa. Neliöiden erotuksen ja summan neliön kaavat mahdollistavat siirtymisen alkuperäisestä summasta lausekkeeseen . Nyt on selvää, että nämä murtoluvut voidaan vähentää yhteiseksi nimittäjäksi . Tällä lähestymistavalla ratkaisu näyttää tältä:

Vastaus:

A)

b)

V)

Esimerkkejä murtolukujen kertomisesta muuttujilla

Murtolukujen kertominen tuottaa murtoluvun, jonka osoittaja on alkuperäisten murtolukujen osoittajien tulo ja nimittäjä nimittäjien tulo. Täällä, kuten näet, kaikki on tuttua ja yksinkertaista, ja voimme vain lisätä, että tämän toiminnon tuloksena saatu murto-osa osoittautuu usein pienennettäväksi. Näissä tapauksissa sitä vähennetään, ellei se tietenkään ole välttämätöntä ja perusteltua.

Toiminnot murtoluvuilla. Tässä artikkelissa tarkastellaan esimerkkejä, kaikkea yksityiskohtaisesti selityksillä. Tarkastellaan tavallisia murtolukuja. Tarkastellaan desimaalilukuja myöhemmin. Suosittelen katsomaan koko jutun ja tutkimaan sitä peräkkäin.

1. Murto-osien summa, murto-osien erotus.

Sääntö: kun lisätään murto-osia, joilla on sama nimittäjä, tuloksena on murtoluku - jonka nimittäjä pysyy samana ja sen osoittaja on yhtä suuri kuin murto-osien osoittajien summa.
Sääntö: laskettaessa eroa samoilla nimittäjillä olevien murto-osien välillä, saadaan murto - nimittäjä pysyy samana, ja toisen osoittaja vähennetään ensimmäisen murtoluvun osoittajasta.

Muodollinen merkintä yhtäläisten nimittäjien murtolukujen summalle ja erolle:

Esimerkkejä (1):

On selvää, että kun annetaan tavallisia murtolukuja, kaikki on yksinkertaista, mutta entä jos ne sekoitetaan? Ei mitään monimutkaista...

Vaihtoehto 1– voit muuntaa ne tavallisiksi ja sitten laskea ne.

Vaihtoehto 2– voit "työskennellä" erikseen kokonaisluku- ja murto-osien kanssa.

Esimerkkejä (2):

Lisää:

Entä jos kahden sekamurtoluvun ero on annettu ja ensimmäisen murtoluvun osoittaja on pienempi kuin toisen? Voit myös toimia kahdella tavalla.

Esimerkkejä (3):

*Muunnetaan tavallisiksi murto-osiksi, laskettiin ero, muunnettiin tulos väärä murtoluku sekoitettuun joukkoon.

*Jaoimme sen kokonaisluku- ja murto-osiin, saimme kolmosen, esitimme sitten 3:n 2:n ja 1:n summana, jolloin yksi edusti 11/11, sitten löysimme eron 11/11 ja 7/11 välillä ja laskemme tuloksen . Yllä olevien muunnosten tarkoitus on ottaa (valita) yksikkö ja esittää se murto-osan muodossa tarvitsemallamme nimittäjällä, jolloin voimme vähentää tästä murtoluvusta toisen.

Toinen esimerkki:

Johtopäätös: on olemassa universaali lähestymistapa - yhtäläisten nimittäjien sekamurto-osien summan (eron) laskemiseksi ne voidaan aina muuntaa virheellisiksi ja suorittaa sitten tarvittavat toimet. Tämän jälkeen, jos tulos on väärä murto-osa, muunnetaan se sekamurto-osaksi.

Yllä tarkastelimme esimerkkejä murtoluvuista, joilla on samat nimittäjät. Entä jos nimittäjät ovat erilaisia? Tässä tapauksessa murtoluvut pienennetään samaan nimittäjään ja määritetty toimenpide suoritetaan. Murtoluvun muuttamiseen (muuntamiseen) käytetään murtoluvun perusominaisuutta.

Katsotaanpa yksinkertaisia esimerkkejä:

Näissä esimerkeissä näemme heti, kuinka yksi murto-osista voidaan muuntaa yhtäläisten nimittäjien saamiseksi.

Jos määritämme tapoja vähentää murtolukuja samaan nimittäjään, kutsumme tätä MENETELMÄ YKSI.

Eli heti murto-osaa "arvioinnissa" on selvitettävä, toimiiko tämä lähestymistapa - tarkistamme, onko suurempi nimittäjä jaollinen pienemmällä. Ja jos se on jaollinen, suoritamme muunnoksen - kerromme osoittajan ja nimittäjän niin, että molempien murtolukujen nimittäjät ovat yhtä suuret.

Katso nyt näitä esimerkkejä:

Tämä lähestymistapa ei sovellu heihin. On myös tapoja vähentää murtoluvut yhteiseksi nimittäjäksi; harkitaan niitä.

Menetelmä 2.

Kerrotaan ensimmäisen murtoluvun osoittaja ja nimittäjä toisen nimittäjällä ja toisen murtoluvun osoittaja ja nimittäjä ensimmäisen nimittäjällä:

*Itse asiassa pienennämme murtolukuja, kun nimittäjät ovat yhtä suuret. Seuraavaksi käytämme sääntöä yhtäläisten nimittäjien murtolukujen lisäämiseksi.

Esimerkki:

*Tätä menetelmää voidaan kutsua universaaliksi, ja se toimii aina. Ainoa haittapuoli on, että laskelmien jälkeen saatat päätyä murto-osaan, jota on pienennettävä edelleen.

Katsotaanpa esimerkkiä:

Voidaan nähdä, että osoittaja ja nimittäjä ovat jaollisia viidellä:

Menetelmä KOLME.

Sinun on löydettävä nimittäjien pienin yhteinen kerrannainen (LCM). Tästä tulee yhteinen nimittäjä. Millainen numero tämä on? Tämä on vähin luonnollinen luku, joka on jaollinen kullakin luvulla.

Katso, tässä on kaksi numeroa: 3 ja 4, on monia lukuja, jotka ovat jaollisia niillä - nämä ovat 12, 24, 36, ... Pienin niistä on 12. Tai 6 ja 15, ne ovat jaollisia 30:llä, 60, 90... Pienin on 30. Kysymys kuuluu - kuinka määrittää tämä pienin yhteinen kerrannainen?

On olemassa selkeä algoritmi, mutta usein tämä voidaan tehdä välittömästi ilman laskelmia. Esimerkiksi yllä olevien esimerkkien (3 ja 4, 6 ja 15) mukaan algoritmia ei tarvita, otimme suuret luvut (4 ja 15), tuplasimme ne ja huomasimme, että ne ovat jaollisia toisella numerolla, mutta lukuparit voivat olla muita, esimerkiksi 51 ja 119.

Algoritmi. Jotta voit määrittää useiden lukujen pienimmän yhteisen kerrannaisen, sinun on:

- hajottaa jokainen numero SIMPLE-tekijöiksi

— kirjoita ylös niistä SUUREMMAN hajoaminen

- kerro se muiden lukujen PUUTTUvilla kertoimilla

Katsotaanpa esimerkkejä:

50 ja 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

hajoamisessa lisää yksi viisi puuttuu

=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 ja 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

suuremman luvun laajennuksessa kaksi ja kolme puuttuvat

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Kahden pienin yhteinen kerrannainen alkuluvut sama kuin heidän tuotteensa

Kysymys! Miksi pienimmän yhteiskerran löytäminen on hyödyllistä, koska voit käyttää toista menetelmää ja yksinkertaisesti pienentää tuloksena olevaa murtolukua? Kyllä, se on mahdollista, mutta se ei ole aina kätevää. Katso lukujen 48 ja 72 nimittäjää, jos kerrot ne 48∙72 = 3456. Ymmärrät, että pienempien lukujen kanssa on mukavampaa työskennellä.

Katsotaanpa esimerkkejä:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

suuremman luvun laajennuksesta puuttuu kolminkertainen

=> NOC(51,119) = 3∙7∙17

Käytetään nyt ensimmäistä menetelmää:

* Katso laskelmien eroa, ensimmäisessä tapauksessa niitä on vähimmäismäärä, mutta toisessa sinun on työskenneltävä erikseen paperilla, ja jopa saamasi murto-osa on vähennettävä. LOC:n löytäminen yksinkertaistaa työtä huomattavasti.

Lisää esimerkkejä:

*Toisessa esimerkissä se on selvää pienin numero joka on jaollinen 40:llä ja 60 on yhtä suuri kuin 120.

TULOS! YLEINEN TIETOKONEALGORITMI!
— vähennämme murtoluvut tavallisiksi, jos on kokonaislukuosa.
- tuomme murtoluvut yhteiseen nimittäjään (ensin katsotaan onko yksi nimittäjä jaollinen toisella; jos se on jaollinen, niin kerrotaan tämän toisen murtoluvun osoittaja ja nimittäjä; jos se ei ole jaollinen, toimimme muilla menetelmillä edellä mainittu).
- Saatuamme murtoluvut, joilla on sama nimittäjä, suoritamme operaatioita (yhteen- ja vähennyslasku).
- tarvittaessa vähennämme tulosta.
- valitse tarvittaessa koko osa.

2. Jakeiden tulo.

Sääntö on yksinkertainen. Kun murtolukuja kerrotaan, niiden osoittajat ja nimittäjät kerrotaan:

Esimerkkejä:

Tehtävä. Tukikohtaan tuotiin 13 tonnia vihanneksia. Perunat muodostavat ¾ kaikista tuontivihanneksista. Kuinka monta kiloa perunaa tuotiin tukikohtaan?

Lopetetaan kappale.

*Lupasin aiemmin antaa sinulle muodollisen selityksen murto-osan pääominaisuudesta tuotteen kautta, kiitos:

3. Murtolukujen jako.

Murtolukujen jakaminen tarkoittaa niiden kertomista. Tässä on tärkeää muistaa, että murtoluku, joka on jakaja (se, jolla jaetaan) käännetään ja toiminta muuttuu kertolaskuksi:

Tämä toiminto voidaan kirjoittaa ns. nelikerroksisen murto-osan muodossa, koska itse jako ":" voidaan kirjoittaa myös murtolukuna:

Esimerkkejä:

Siinä kaikki! Onnea sinulle!

Ystävällisin terveisin Alexander Krutitskikh.

Murto-osa- luvun esittämisen muoto matematiikassa. Murto-osiopalkki tarkoittaa jakotoimintoa. Osoittaja murto-osaa kutsutaan osingoksi, ja nimittäjä-jakaja. Esimerkiksi murtoluvussa osoittaja on 5 ja nimittäjä 7.

Oikea Kutsutaan murtolukua, jossa osoittajan moduuli on suurempi kuin nimittäjän moduuli. Jos murtoluku on oikea, niin sen arvon moduuli on aina pienempi kuin 1. Kaikki muut murtoluvut ovat väärä.

Murtolukua kutsutaan sekoitettu, jos se kirjoitetaan kokonaislukuna ja murtolukuna. Tämä on sama kuin tämän luvun ja murtoluvun summa:

Murtoluvun pääominaisuus

Jos murtoluvun osoittaja ja nimittäjä kerrotaan samalla luvulla, murto-osan arvo ei muutu, eli esim.

Murtolukujen pelkistäminen yhteiseksi nimittäjäksi

Kahden murtoluvun saattamiseksi yhteiseen nimittäjään tarvitset:

Kerro ensimmäisen murtoluvun osoittaja toisen nimittäjällä
Kerro toisen murtoluvun osoittaja ensimmäisen nimittäjällä
Korvaa molempien murtolukujen nimittäjät niiden tulolla

Operaatiot murtoluvuilla

Lisäys. Tarvitset kahden jakeen lisäämiseen

Lisää molempien murtolukujen uudet osoittajat ja jätä nimittäjä ennalleen

Esimerkki:

Vähennyslasku. Tarvitset murto-osan vähentämiseksi toisesta

Pienennä murtoluvut yhteiseksi nimittäjäksi
Vähennä toisen osoittaja ensimmäisen murtoluvun osoittajasta ja jätä nimittäjä ennalleen

Esimerkki:

Kertominen. Jos haluat kertoa yhden murtoluvun toisella, kerro niiden osoittajat ja nimittäjät:

Division. Jos haluat jakaa yhden murtoluvun toisella, kerro ensimmäisen murtoluvun osoittaja toisen nimittäjällä ja kerro ensimmäisen murtoluvun nimittäjä toisen osoittajalla: