Paraabeliyhtälön johtaminen. Paraabeli - asteen funktion ominaisuudet ja kuvaaja

Koko tässä luvussa oletetaan, että tasossa on valittu tietty asteikko (jossa kaikki alla tarkasteltavat luvut ovat); Vain tämän mittakaavan suorakaiteen muotoiset koordinaattijärjestelmät otetaan huomioon.

§ 1. Paraabeli

Paraabeli on lukijalle tuttu koulun kurssi matematiikka käyränä, joka on funktion kuvaaja

(Kuva 76). (1)

Minkä tahansa neliöllisen trinomin kuvaaja

on myös paraabeli; on mahdollista yksinkertaisesti siirtämällä koordinaattijärjestelmää (jollain vektorilla OO), eli muuntamalla

varmista, että funktion kuvaaja (toisessa koordinaattijärjestelmässä) osuu kuvaajaan (2) (ensimmäisessä koordinaattijärjestelmässä).

Itse asiassa korvataan (3) tasa-arvolla (2). Saamme

Haluamme valita niin, että tämän yhtälön oikealla puolella olevan polynomin kerroin at ja vapaa termi (suhteessa ) ovat nolla. Tätä varten määritämme yhtälöstä

joka antaa

Nyt päätämme tilanteen perusteella

johon korvaamme jo löydetyn arvon. Saamme

Eli siirron (3) avulla, jossa

siirryimme uuteen koordinaattijärjestelmään, jossa paraabelin (2) yhtälö sai muodon

(Kuva 77).

Palataan yhtälöön (1). Se voi toimia paraabelin määritelmänä. Muistakaamme sen yksinkertaisimmat ominaisuudet. Käyrällä on symmetria-akseli: jos piste täyttää yhtälön (1), niin pisteen M suhteen symmetrinen piste suhteessa ordinaatta-akseliin täyttää myös yhtälön (1) - käyrä on symmetrinen suhteessa ordinaatta-akseliin (kuva 76) .

Jos , Sitten paraabeli (1) sijaitsee ylemmässä puolitasossa, jolla on yksi yhteinen piste O abskissa-akselin kanssa.

Abskissan absoluuttisen arvon rajoittamattomalla lisäyksellä myös ordinaatta kasvaa rajattomasti. Yleinen muoto anna käyrä kuvassa. 76, a.

Jos (kuva 76, b), käyrä sijaitsee alemmalla puolitasolla symmetrisesti suhteessa abskissa-akseliin käyrään nähden.

Jos siirrytään uuteen koordinaattijärjestelmään, joka on saatu vanhasta korvaamalla ordinaatta-akselin positiivinen suunta vastakkaisella, niin paraabeli, jolla on yhtälö y vanhassa järjestelmässä, saa yhtälön y uudessa. koordinaattijärjestelmä. Siksi paraboleja tutkiessamme voimme rajoittua yhtälöihin (1), joissa .

Muutetaan lopuksi akselien nimet, eli siirrytään uuteen koordinaattijärjestelmään, jossa ordinaatta-akseliksi tulee vanha abskissa-akseli ja abskissa-akseliksi vanha ordinaatta-akseli. Tässä uudessa järjestelmässä yhtälö (1) kirjoitetaan muodossa

Tai jos numero on merkitty , muodossa

Yhtälöä (4) kutsutaan analyyttisessä geometriassa paraabelin kanoniseksi yhtälöksi; suorakaiteen muotoista koordinaattijärjestelmää, jossa tietyllä paraabelilla on yhtälö (4), kutsutaan kanoniseksi koordinaattijärjestelmäksi (tälle paraabelille).

Nyt asennamme geometrinen merkitys kerroin Tätä varten otamme pisteen

kutsutaan paraabelin (4) keskipisteeksi ja yhtälön määrittelemäksi suoraksi d:ksi

Tätä suoraa kutsutaan paraabelin (4) suuntaviivaksi (katso kuva 78).

Antaa olla mielivaltainen piste paraabelista (4). Yhtälöstä (4) seuraa, että näin ollen pisteen M etäisyys suunnasta d on luku

Pisteen M etäisyys tarkkuudesta F on

Mutta siis

Joten kaikki paraabelin pisteet M ovat yhtä kaukana sen fokuksesta ja suunnasta:

Käänteisesti jokainen piste M, joka täyttää ehdon (8) on paraabelissa (4).

Todellakin,

Siten,

ja sulkujen avaamisen ja samankaltaisten termien tuomisen jälkeen

Olemme osoittaneet, että jokainen paraabeli (4) on niiden pisteiden paikka, jotka ovat yhtä kaukana fokuksesta F ja tämän paraabelin suunnasta d.

Samalla olemme selvittäneet yhtälön (4) kertoimen geometrisen merkityksen: luku on yhtä suuri kuin fokuksen ja paraabelin suuntaviivan välinen etäisyys.

Oletetaan nyt, että piste F ja suora d, jotka eivät kulje tämän pisteen läpi, on annettu mielivaltaisesti tasossa. Osoitetaan, että on olemassa paraabeli, jonka fokus on F ja suunta d.

Piirrä tätä varten viiva g pisteen F kautta (kuva 79), joka on kohtisuorassa linjaa d vastaan; merkitään molempien suorien leikkauspiste D:llä; etäisyys (eli pisteen F ja suoran d välinen etäisyys) merkitään .

Käännetään suora g akseliksi ja otetaan sen suunta DF positiiviseksi. Tehdään tästä akselista suorakaiteen muotoisen koordinaattijärjestelmän abskissa-akseli, jonka origo on janan keskimmäinen O

Tällöin myös suora d saa yhtälön .

Nyt voimme kirjoittaa paraabelin kanonisen yhtälön valittuun koordinaattijärjestelmään:

jossa piste F on tarkennus ja suora d on paraabelin (4) suuntaviiva.

Yllä totesimme, että paraabeli on pisteiden M paikka, jotka ovat yhtä kaukana pisteestä F ja suorasta d. Joten voimme antaa tällaisen geometrisen (eli koordinaattijärjestelmästä riippumattoman) määritelmän paraabelille.

Määritelmä. Paraabeli on pisteiden paikka, jotka ovat yhtä kaukana joistakin kiinteä piste(paraabelin "fokus") ja jokin kiinteä viiva (paraabelin "suunta").

Merkitsemällä fokuksen ja paraabelin suuntaviivan välistä etäisyyttä , voimme aina löytää suorakulmaisen koordinaattijärjestelmän, joka on kanoninen tietylle paraabelille, eli sellaisen, jossa paraabelin yhtälöllä on kanoninen muoto:

Sitä vastoin mikä tahansa käyrä, jolla on tällainen yhtälö jossain suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä, on paraabeli (äsken määritetyssä geometrisessa mielessä).

Tarkennuksen ja paraabelin suuntaviivan välistä etäisyyttä kutsutaan polttoparametriksi tai yksinkertaisesti paraabelin parametriksi.

Viivaa, joka kulkee polttopisteen läpi kohtisuorassa paraabelin suuntaviivaan nähden, kutsutaan sen polttoakseliksi (tai yksinkertaisesti akseliksi); se on paraabelin symmetria-akseli - tämä seuraa siitä tosiasiasta, että paraabelin akseli on abskissa-akseli koordinaattijärjestelmässä, johon nähden paraabelin yhtälöllä on muoto (4).

Jos piste täyttää yhtälön (4), niin pisteen M kanssa symmetrinen piste abskissa-akselin suhteen täyttää myös tämän yhtälön.

Paraabelin ja sen akselin leikkauspistettä kutsutaan paraabelin kärjeksi; se on tietyn paraabelin kanonisen koordinaattijärjestelmän origo.

Annetaan toinen geometrinen tulkinta paraabeliparametrista.

Piirretään suora viiva paraabelin fokuksen läpi, kohtisuorassa paraabelin akseliin nähden; se leikkaa paraabelin kahdessa pisteessä (katso kuva 79) ja määrittää paraabelin ns. polttojänteen (eli jänteen, joka kulkee polttopisteen läpi samansuuntaisesti paraabelin suuntaviivan kanssa). Puolet polttojänteen pituudesta on paraabelin parametri.

Itse asiassa puolet polttojänteen pituudesta on minkä tahansa pisteen ordinaatin itseisarvo, jonka kunkin pisteen abskissa on yhtä suuri kuin polttopisteen abskissa, ts. Siksi jokaisen pisteen ordinaatille

Q.E.D.

Tehtävä nro 1. Määritä polttopisteiden koordinaatit ja muodosta paraabelin suuntaviivan yhtälö

Vertaamalla tätä yhtälöä yhtälöön
, huomaamme, että 2p=4, mistä . Eli pointti
- paraabelin polttopisteet ja suora viiva
, eli x=-1 tai x+1=0 on sen suuntaviiva.

Vastaus: (1;0)

Tehtävä nro 2. Paraabelin, jonka kärki on origossa, polttopisteet ovat pisteessä F(0;-4). Kirjoita tämän paraabelin yhtälö.

Tehtävä nro 3. Paraabelin, jonka kärki on origossa, suuntaviiva on suora 2x+5=0

Kirjoita yhtälö ja löydä paraabelin polttopisteen koordinaatit.

R
Ratkaisu: Koska paraabelin, jonka kärki on origossa, suuntaviiva on suora 2x+5=0 tai
, silloin sen kohdistuksella on koordinaatit

, siksi haluttu käyrä on symmetrinen Ox-akselin F( )
ja sen haarat on suunnattu oikealle (fokusoinnin abskissa on positiivinen). Siksi paraabelin yhtälöllä on muoto

Koska
Että
ja paraabelin yhtälö on:
, ja sen fokuksen koordinaatit ovat F(2.5;0)

Vastaus:
; F(2,5;0)

Tehtävä nro 4. Kirjoita Oy-akselin suhteen symmetrisen paraabelin yhtälö, jonka keskipiste on koordinaattijärjestelmän origossa, jos se kulkee pisteen B(1;-2) kautta.

Koska paraabeli on symmetrinen Oy-akselin suhteen ja sillä on kärkipiste koordinaattijärjestelmän origossa, sen yhtälö on muotoa
. Koska piste B(1;-2) on paraabelilla, sen koordinaatit täyttävät paraabelit, ts.
,

Missä
, ja siksi
- paraabelin yhtälö.

Vastaus:

Tehtävä nro 5. Laske 24 m pitkän sillan kaaren korkeus, jos kaarella on paraabelin muoto, jonka yhtälö on

Piirretään paraabeli
suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä. Merkitään h:lla sillan korkeus ja arvolla =24 - sillan kaaren pituus. Sitten A(12;-h) P:
.

T
kuinka piste A kuuluu paraabeliin
, silloin sen koordinaatit täyttävät paraabelin yhtälön. Tämä mahdollistaa sen, että paraabeliyhtälöön voidaan korvata tietyn pisteen koordinaatit nykyisten koordinaattien (x;y) sijaan. Sitten meillä on

Joten sillan kaaren korkeus on 3 m.

Tehtävä nro 6. Horisonttitasoon nähden kulmassa suunnattu vesivirta nousee 2 m korkeuteen ja putoaa 12 m letkun kärjestä. Etsi suihkun parabolinen lentorata.

Ratkaisu: Yhdistetään suihkun parabolinen liikerata suorakulmaiseen suorakulmaiseen koordinaattijärjestelmään siten, että parabolinen liikerata on symmetrinen Oy-akselin kanssa, haarat ovat alaspäin ja sen kärki on koordinaattien origossa.

Sitten tällaisen parabolisen liikeradan yhtälöllä on muoto
, kohta A(6;-2) P:
, siksi sen koordinaatit täyttävät paraabeliyhtälön. Korvaamalla pisteen A koordinaatit paraabelin nykyisten x- ja y-koordinaattien sijaan
, antaa tasa-arvon

. Siten,
- suihkun parabolisen liikeradan yhtälö.

Vastaus:

Päätä itse:

Tehtävä nro 7. Heijastimen poikkileikkaus heijastimen akselin kautta kulkevasta tasosta on paraabeli. Kirjoita sen yhtälö, jos heijastimen leveys on 30 cm ja syvyys 20 cm (heijastimen akseli osuu yhteen Ox-akselin kanssa)

Vastaus:

Tehtävä nro 8. Vesi virtaa ulos maan pinnalla olevasta reiästä virtana, joka edustaa paraabelin haaraa
. Millä etäisyydellä säiliön reunasta virta putoaa maahan, jos reiän korkeus

Vastaus: 3 m.

Tehtävä nro 9. Parabolisen peilin aksiaalileikkaus on paraabeli

Määritä peilin halkaisija, jos sen "syvyys" on 18,75 cm.

Vastaus: 30 cm.

Tehtävä nro 10. Terävässä kulmassa horisonttitasoon nähden heitetty kivi saavutti maksimikorkeuden 16 m. Kuvattuaan parabolisen liikeradan kivi putosi 48 m heittopisteestä. Etsi kiven liikerata.

Vastaus:
.

Tehtävä nro 11 Etsi paraabeli, jonka kärki on origossa, jos sen fokus on pisteessä a) F(3;0); b) F(-2;0); c) F(0;4); d) F(0;-)

Vastaus: a)
; b)
; V)
; G)

Tehtävä nro 12 Etsi paraabelit, joiden kärki on origossa, jos suunnat on annettu: a)
; b)x = -5; c) y = 3; d) y = -2;

Vastaus: a)
; b)
; V)
; G)
.

Tehtävä nro 13. Etsi polttopisteen koordinaatit ja kirjoita kunkin paraabelin suuntayhtälö.

A)
; b)
; V)
; G)
. Rakenna nämä paraabelit.

Vastaus: a) F(2;0); x+2=0; b) F(-3;0); x-3 = 0; c) F(0;); 2v+5=0

d) F(0;-4); x-4 = 0

Tehtävä nro 14. Tarkista, ovatko pisteet A(2;-2) ja B(1;2) paraabelilla

Vastaus: A ovat, B eivät.

Tehtävä nro 15. Kirjoita yhtälö paraabelille, jonka kärki on origossa, symmetrinen Ox-akselin suhteen ja kulkee pisteen läpi

Vastaus:

Tehtävä nro 16. Kirjoita paraabelin yhtälö, jonka kärki on origossa, jos:

A) paraabeli sijaitsee ylemmällä puolitasolla symmetrisesti ordinaatta-akseliin nähden ja sen polttoparametri on yhtä suuri kuin 4;

B) paraabeli sijaitsee alemmalla puolitasolla symmetrisesti ordinaatta-akseliin nähden ja sen polttoparametri on 6;

B) paraabeli sijaitsee oikealla puolitasolla symmetrisesti ordinaatta-akseliin nähden ja sen polttoparametri on 3;

d) paraabeli sijaitsee vasemmalla puolitasolla symmetrisesti ordinaatta-akseliin nähden ja sen polttoparametri on yhtä suuri kuin 5.

Vastaus a)
; b)
; V)
; G)
.

Ehdotan, että muut lukijat laajentavat merkittävästi koulutietoaan paraabeleista ja hyperboleista. Hyperbola ja paraabeli – ovatko ne yksinkertaisia? ...en malta odottaa =)

Hyperbola ja sen kanoninen yhtälö

Materiaalin esityksen yleinen rakenne muistuttaa edellistä kappaletta. Aloitetaan yleinen käsite hyperbolit ja sen rakentamisen ongelmat.

Hyperbolin kanonisella yhtälöllä on muoto , jossa ovat positiiviset reaaliluvut. Huomaa, että toisin kuin ellipsi, ehtoa ei ole asetettu tässä, eli arvo "a" voi olla arvoa pienempi"bae".

Minun on sanottava, aivan odottamatta... "koulu"hyperbolin yhtälö ei edes läheisesti muistuta kanonista merkintää. Mutta tämän mysteerin on vielä odotettava meitä, mutta nyt raapukaamme päätämme ja muistamme mitä ominaispiirteet onko kyseisellä käyrällä? Levitetään se mielikuvituksemme ruudulle funktion kuvaaja ….

Hyperbolalla on kaksi symmetristä haaraa.

Ei huono edistys! Kaikilla hyperboleilla on nämä ominaisuudet, ja nyt katsomme aidosti ihaillen tämän linjan pääntietä:

Esimerkki 4

Muodosta yhtälön antama hyperboli

Ratkaisu: ensimmäisessä vaiheessa tuomme tämän yhtälön kanoniseen muotoon. Muista vakiomenettely. Oikealla sinun on saatava "yksi", joten jaamme alkuperäisen yhtälön molemmat puolet 20: llä:

Täällä voit pienentää molempia fraktioita, mutta on optimaalisempaa tehdä jokainen niistä kolmikerroksinen:

Ja vasta sen jälkeen suorita vähennys:

Valitse neliöt nimittäjistä:

Miksi muutosten tekeminen tällä tavalla on parempi? Loppujen lopuksi vasemman puolen fraktioita voidaan vähentää ja saada välittömästi. Tosiasia on, että tarkasteltavassa esimerkissä meillä oli vähän onnea: luku 20 on jaollinen sekä 4:llä että 5:llä. Yleensä tällainen luku ei toimi. Harkitse esimerkiksi yhtälöä . Täällä jaettavuudella kaikki on surullisempaa ja ilman kolmikerroksisia murto-osia ei enää mahdollista:

Joten, käytetään työmme hedelmää - kanonista yhtälöä:

Kuinka rakentaa hyperbola?

Hyperbolin muodostamiseen on kaksi lähestymistapaa - geometrinen ja algebrallinen.
Käytännön näkökulmasta kompassilla piirtäminen... Sanoisin jopa utopistista, joten on paljon kannattavampaa käyttää jälleen kerran apuna yksinkertaisia laskelmia.

On suositeltavaa noudattaa seuraavaa algoritmia, ensin valmis piirros, sitten kommentit:

Käytännössä kohdataan usein mielivaltaisen kulman mukaisen kiertymisen ja hyperbelin rinnakkaissiirron yhdistelmä. Tämä tilanne keskusteltu luokassa Toisen asteen riviyhtälön pelkistäminen kanoniseen muotoon.

Paraabeli ja sen kanoninen yhtälö

Se on valmis! Hän on se. Valmis paljastamaan monia salaisuuksia. Paraabelin kanonisella yhtälöllä on muoto , jossa on reaaliluku. On helppo huomata, että vakioasennossaan paraabeli "makaa kyljellään" ja sen kärki on origossa. Tässä tapauksessa funktio määrittää tämän rivin ylähaaran ja funktio alemman haaran. On selvää, että paraabeli on symmetrinen akselin suhteen. Oikeastaan, miksi vaivautua:

Esimerkki 6

Rakenna paraabeli

Ratkaisu: kärki on tiedossa, etsitään lisäpisteitä. Yhtälö määrittää paraabelin yläkaaren, yhtälö määrittää alemman kaaren.

Laskelmien kirjaamisen lyhentämiseksi suoritamme laskelmat "yhdellä harjalla":

Kompaktitallennuksessa tulokset voitaisiin koota taulukkoon.

Ennen kuin suoritat alkeellisen pistekohtaisen piirustuksen, muotoillaan tiukka

paraabelin määritelmä:

Paraabeli on joukko kaikkia tason pisteitä, jotka ovat yhtä kaukana tietystä pisteestä ja tietystä suorasta, joka ei kulje pisteen läpi.

Piste on ns keskittyä paraabelit, suora viiva - johtajatar (kirjoitettu yhdellä "es") paraabelit. Kanonisen yhtälön vakio "pe" on nimeltään polttoparametri, joka on yhtä suuri kuin etäisyys kohdistuksesta suuntaviivaan. Tässä tapauksessa . Tässä tapauksessa painopisteellä on koordinaatit ja suunta saadaan yhtälöstä .
Esimerkissämme:

Paraabelin määritelmä on jopa yksinkertaisempi ymmärtää kuin ellipsin ja hyperbolin määritelmät. Minkä tahansa paraabelin pisteen janan pituus (etäisyys tarkennuksesta pisteeseen) on yhtä suuri kuin kohtisuoran pituus (etäisyys pisteestä suuntaviivaan):

Onnittelut! Monet teistä ovat tehneet todellisen löydön tänään. Osoittautuu, että hyperbola ja paraabeli eivät ole ollenkaan "tavallisten" funktioiden kuvaajia, vaan niillä on selvä geometrinen alkuperä.

On selvää, että polttoparametrin kasvaessa kaavion haarat "nousevat" ylös ja alas lähestyen äärettömän lähellä akselia. Kun "pe"-arvo laskee, ne alkavat puristaa ja venyä pitkin akselia

Minkä tahansa paraabelin epäkeskisyys on yhtä suuri kuin yksikkö:

Paraabelin kierto ja rinnakkaissiirto

Paraabeli on yksi yleisimmistä matematiikan viivoista, ja sinun on rakennettava se todella usein. Siksi kiinnitä erityistä huomiota oppitunnin viimeiseen kappaleeseen, jossa keskustelen tämän käyrän tyypillisistä sijainnista.

! Huomautus : kuten aikaisempien käyrien tapauksessa, on oikeampaa puhua rotaatiosta ja koordinaattiakselien rinnakkaissiirrosta, mutta kirjoittaja rajoittuu esityksen yksinkertaistettuun versioon, jotta lukijalla on peruskäsitys näistä muunnoksista.

Luultavasti kaikki tietävät, mikä paraabeli on. Mutta tarkastelemme, kuinka sitä käytetään oikein ja asiantuntevasti, kun ratkaisemme erilaisia käytännön ongelmia alla.

Ensin hahmotellaan peruskäsitteet, jotka algebra ja geometria antavat tälle termille. Tarkastellaan kaikkia tämän kaavion mahdollisia tyyppejä.

Selvitetään kaikki tämän toiminnon tärkeimmät ominaisuudet. Ymmärretään käyrän rakentamisen (geometrian) perusteet. Opitaan kuinka löytää tämän tyyppisen kaavion ylä- ja muut perusarvot.

Otetaan selvää: kuinka rakentaa haluttu käyrä oikein yhtälön avulla, mihin sinun on kiinnitettävä huomiota. Katsotaanpa perusasiat käytännön käyttöä tämä ainutlaatuinen arvo ihmiselämässä.

Mikä on paraabeli ja miltä se näyttää?

Algebra: Tämä termi viittaa kuvaamiseen neliöfunktio.

Geometria: tämä on toisen asteen käyrä, jolla on useita erityispiirteitä:

Kanoninen paraabeliyhtälö

Kuvassa on suorakulmainen koordinaattijärjestelmä (XOY), ääripää, funktion haarojen suunta piirrettynä abskissa-akselia pitkin.

Kanoninen yhtälö on:

y 2 = 2 * p * x,

jossa kerroin p on paraabelin (AF) polttoparametri.

Algebrassa se kirjoitetaan eri tavalla:

y = a x 2 + b x + c (tunnistettava kuvio: y = x 2).

Toisen asteen funktion ominaisuudet ja kuvaaja

Funktiolla on symmetria-akseli ja keskipiste (ääripiste). Määritelmäalue on kaikki abskissa-akselin arvot.

Funktion arvoalue – (-∞, M) tai (M, +∞) riippuu käyrän haarojen suunnasta. Parametri M tarkoittaa tässä rivin yläosassa olevan funktion arvoa.

Kuinka määrittää, mihin paraabelin haarat on suunnattu

Löytääksesi tämän tyyppisen käyrän suunnan lausekkeesta, sinun on määritettävä etumerkki ennen algebrallisen lausekkeen ensimmäistä parametria. Jos a ˃ 0, ne on suunnattu ylöspäin. Jos asia on toisinpäin, alas.

Kuinka löytää paraabelin kärki kaavan avulla

Äärikohdan löytäminen on tärkein askel monien käytännön ongelmien ratkaisemisessa. Tietenkin voit avata erityisiä online-laskimet, mutta on parempi tehdä se itse.

Miten se määritetään? On olemassa erityinen kaava. Kun b ei ole yhtä suuri kuin 0, meidän on etsittävä tämän pisteen koordinaatit.

Kaavat kärjen löytämiseksi:

x0 = -b/(2*a);
y 0 = y (x 0).

Esimerkki.

On olemassa funktio y = 4 * x 2 + 16 * x – 25. Etsitään tämän funktion kärjet.

Tällaiselle riville:

x = -16 / (2 * 4) = -2;
y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Saamme kärjen (-2, -41) koordinaatit.

Paraabelin siirtymä

Klassinen tapaus on, kun toisen asteen funktiossa y = a x 2 + b x + c toinen ja kolmas parametri ovat yhtä kuin 0 ja = 1 - kärki on pisteessä (0; 0).

Liikkuminen pitkin abskissa- tai ordinaattisia akseleita johtuu parametrien b ja c muutoksista, vastaavasti. Tasossa olevaa viivaa siirretään täsmälleen parametrin arvon verran.

Esimerkki.

Meillä on: b = 2, c = 3.

Tämä tarkoittaa, että käyrän klassinen muoto siirtyy 2 yksikkösegmentillä abskissa-akselia pitkin ja 3 yksikköä ordinaatta-akselia pitkin.

Kuinka rakentaa paraabeli neliöyhtälön avulla

Koululaisten on tärkeää oppia piirtämään paraabeli oikein annettujen parametrien avulla.

Analysoimalla lausekkeita ja yhtälöitä voit nähdä seuraavat asiat:

Halutun suoran ja ordinaattavektorin leikkauspisteellä on arvo yhtä suuri kuin arvo Kanssa.
Kaikki kaavion pisteet (x-akselia pitkin) ovat symmetrisiä suhteessa funktion pääääripisteeseen.

Lisäksi leikkauspisteet OX:n kanssa voidaan löytää tuntemalla tällaisen funktion diskriminantti (D):

D = (b2-4*a*c).

Tätä varten sinun on rinnastettava lauseke nollaan.

Paraabelin juurten läsnäolo riippuu tuloksesta:

D ˃ 0, sitten x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
D = 0, sitten x 1, 2 = -b/(2*a);
D ˂ 0, silloin ei ole leikkauspisteitä vektorin OX kanssa.

Saamme algoritmin paraabelin rakentamiseen:

määritä oksien suunta;
löytää kärjen koordinaatit;
etsi leikkauspiste ordinaatta-akselin kanssa;
etsi leikkauspiste x-akselin kanssa.

Esimerkki 1.

Annettu funktio y = x 2 - 5 * x + 4. On tarpeen rakentaa paraabeli. Noudatamme algoritmia:

a = 1, joten oksat on suunnattu ylöspäin;
äärimmäiset koordinaatit: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
leikkaa ordinaatta-akselin arvossa y = 4;
Etsitään diskriminantti: D = 25 - 16 = 9;
juuria etsimässä:

X 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
X2 = (5 - 3) / 2 = 1; (10).

Esimerkki 2.

Funktiolle y = 3 * x 2 - 2 * x - 1 täytyy rakentaa paraabeli. Toimimme annetun algoritmin mukaan:

a = 3, joten oksat on suunnattu ylöspäin;
äärikoordinaatit: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
leikkaa y-akselin arvossa y = -1;
Etsitään diskriminantti: D = 4 + 12 = 16. Joten juuret ovat:

X 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1; 0);
X2 = (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

Saatujen pisteiden avulla voit rakentaa paraabelin.

Suuntaus, epäkeskisyys, paraabelin fokus

Kanonisen yhtälön perusteella F:n fokuksella on koordinaatit (p/2, 0).

Suora AB on suuntaviiva (eräänlainen tietynpituisen paraabelin sointu). Sen yhtälö on x = -p/2.

Epäkeskisyys (vakio) = 1.

Johtopäätös

Tarkastelimme aihetta, jota koululaiset opiskelevat lukio. Nyt tiedät paraabelin neliöfunktiota katsomalla, kuinka löytää sen kärki, mihin suuntaan haarat suunnataan, onko akseleita pitkin siirtymää, ja kun sinulla on rakennusalgoritmi, voit piirtää sen kaavion.

Luentoja algebrasta ja geometriasta. Lukukausi 1.

Luento 17. Paraabeli.

Luku 17. Paraabeli.

lauseke 1. Perusmääritelmät.

Määritelmä. Paraabeli on tason GMT, joka on yhtä kaukana tason yhdestä kiinteästä pisteestä, jota kutsutaan fokuspisteeksi, ja yhdestä kiinteästä viivasta, jota kutsutaan suuntaviivaksi.

Määritelmä. Etäisyyttä tason mielivaltaisesta pisteestä M paraabelin polttopisteeseen kutsutaan pisteen M polttosäteeksi.

Nimitykset: F – paraabelin fokus, r – polttopisteen säde pisteet M,d– etäisyys pisteestä M linjaan D.

Paraabelin määritelmän mukaan piste M on paraabelin piste jos ja vain jos
.

Paraabelin määritelmän mukaan sen fokus ja suuntaviiva ovat kiinteitä objekteja, joten etäisyys tarkennuksesta suuntaviivaan on vakioarvo tietylle paraabelille.

Määritelmä. Etäisyyttä paraabelin polttopisteestä sen suuntaviivaan kutsutaan paraabelin polttoparametriksi.

Nimitys:
.

Esitetään tälle tasolle koordinaattijärjestelmä, jota kutsumme paraabelin kanoniseksi.

Määritelmä. Akselia, joka on piirretty paraabelin polttopisteen läpi kohtisuoraan suuntaviivaan nähden, kutsutaan paraabelin polttoakseliksi.

Muodostetaan paraabelille kanoninen PDSC, katso kuva 2.

Abskissa-akseliksi valitsemme polttoakselin, suunnan, johon valitsemme suunnasta tarkenteeseen.

Ordinaatta-akseli piirretään janan FN keskeltä kohtisuoraan polttoakseliin nähden. Sitten painopisteellä on koordinaatit
.

lauseke 2. Paraabelin kanoninen yhtälö.

Lause. Paraabelin kanonisessa koordinaattijärjestelmässä paraabelin yhtälö on muotoa:

. (1)

Todiste. Todistuksen suoritamme kahdessa vaiheessa. Ensimmäisessä vaiheessa todistamme, että minkä tahansa paraabelin pisteen koordinaatit täyttävät yhtälön (1). Toisessa vaiheessa todistetaan, että mikä tahansa yhtälön (1) ratkaisu antaa paraabelilla olevan pisteen koordinaatit. Tästä seuraa, että yhtälö (1) täyttyy niiden ja vain niiden koordinaattitason pisteiden koordinaateista, jotka sijaitsevat paraabelilla.

Tästä ja käyrän yhtälön määritelmästä seuraa, että yhtälö (1) on paraabelin yhtälö.

1) Olkoon piste M(x, y) paraabelin piste, ts.

Käytetään kaavaa kahden koordinaattitason pisteen väliselle etäisyydelle ja tämän kaavan avulla määritetään tietyn pisteen M polttosäde:

Kuvasta 2 näemme, että paraabelipisteellä ei voi olla negatiivista abskissaa, koska tässä tapauksessa
. Siksi
Ja
. Täältä saamme tasa-arvon

Neliötetään yhtälön molemmat puolet:

ja pienennyksen jälkeen saamme:

2) Täyttää nyt lukupari (x, y) yhtälön (1) ja olkoon M(x, y) vastaava piste koordinaattitasolla Oxy.

Sitten korvaamme yhtälön (1) pisteen M polttosäteen lausekkeella:

, josta paraabelin määritelmän mukaan seuraa, että piste M(x, y) on paraabelissa.

Tässä hyödynsimme sitä tosiasiaa, että tasa-arvosta (1) seuraa, että
ja siksi
.

Lause on todistettu.

Määritelmä. Yhtälöä (1) kutsutaan kanoniseksi paraabeliyhtälöksi.

Määritelmä. Paraabelin kanonisen koordinaattijärjestelmän origoa kutsutaan paraabelin kärjeksi.

lauseke 3. Paraabelin ominaisuudet.

Lause. (Paraabelin ominaisuudet.)

1. Koordinaatistossa kanoninen paraabelille, kaistaleessa

ei paraabelipisteitä.

2. Paraabelin kanonisessa koordinaatistossa paraabelin O(0; 0) kärki on paraabelilla.

3. Paraabeli on käyrä, joka on symmetrinen polttoakselin suhteen.

Todiste. 1, 2) Seuraa välittömästi kanonisesta paraabeliyhtälöstä.

3) Olkoon M(x, y) paraabelin mielivaltainen piste. Sitten sen koordinaatit täyttävät yhtälön (1). Mutta sitten pisteen koordinaatit
täyttävät myös yhtälön (1), ja siksi tämä piste on myös paraabelin piste, josta lauseen väite seuraa.

Lause on todistettu.

lauseke 4. Paraabelin rakentaminen.

Symmetriasta johtuen ensimmäisellä neljänneksellä riittää rakentamaan paraabeli, jossa se on funktion kuvaaja

ja näytä sitten tuloksena oleva kaavio symmetrisesti x-akselin ympäri.

Rakennamme kaavion tästä funktiosta ottaen huomioon, että tämä funktio kasvaa aikavälillä
.

lauseke 5. Hyperbolin polttoparametri.

Lause. Paraabelin polttoparametri on yhtä suuri kuin sen symmetria-akselin kohtisuoran pituus, joka palautetaan paraabelin keskipisteeseen ennen leikkausta paraabelin kanssa.

Todiste. Kohdasta lähtien
on paraabelin leikkauspiste
kohtisuoran kanssa
(katso kuva 3), sen koordinaatit täyttävät paraabeliyhtälön:

Täältä löydämme
, josta lauseen väite seuraa.

Lause on todistettu.

lauseke 6. Ellipsin, hyperbolan ja paraabelin yhtenäinen määritelmä.

Käyttämällä ellipsin ja hyperabelin todistettuja ominaisuuksia ja paraabelin määritelmää voimme antaa yhden määritelmän kaikille kolmelle käyrälle.

Määritelmä. HMT-tasoja, joiden etäisyyden etäisyyden yhteen kiinteään pisteeseen, jota kutsutaan fokuspisteeksi, suhde etäisyyteen yhteen kiinteään suoraan, jota kutsutaan suuntaviivaksi, suhde on vakioarvo, kutsutaan:

a) ellipsi, jos tämä vakioarvo on pienempi kuin 1;

b) hyperbola, jos tämä vakioarvo on suurempi kuin 1;

c) paraabeli, jos tämä vakioarvo on yhtä suuri kuin 1.

Tätä vakioarvoa, johon määritelmässä viitataan, kutsutaan epäkeskisyydeksi ja se merkitään , etäisyys tietystä pisteestä tarkenteeseen on sen polttopisteen säde r, etäisyys tietystä pisteestä suuntaviivaan on merkitty d:llä.

Määritelmästä seuraa, että ne tason pisteet, joille suhde on vakiomäärä, joka muodostaa ellipsin, hyperbolin tai paraabelin, riippuen tämän suhteen suuruudesta.

Jos
, niin saamme ellipsin jos
, niin saamme hyperbolin jos
, niin saamme paraabelin.

lauseke 7. Tangentti paraabelille.

Lause. Antaa
– paraabelin mielivaltainen piste

Sitten tämän paraabelin tangentin yhtälö on

pisteessä
on muotoa:

. (2)

Todiste. Riittää, kun tarkastellaan tapausta, jossa kosketuspiste on ensimmäisellä neljänneksellä. Sitten paraabelin yhtälö näyttää tältä:

ja sitä voidaan pitää funktion kuvaajana
.

Käytetään funktion kaavion tangenttiyhtälöä
pisteessä
:

Missä
– tietyn funktion derivaatan arvo pisteessä
.

Etsitään funktion derivaatta
ja sen arvo kosketuspisteessä:

,
.

Tässä hyödynsimme sitä tosiasiaa, että tangenttipiste
on paraabelin piste ja siksi sen koordinaatit täyttävät paraabelin yhtälön, ts.

Korvaamme löydetyn derivaatan arvon tangenttiyhtälöön:

mistä saamme:

Kohdasta lähtien
kuuluu paraabeliin, silloin sen koordinaatit täyttävät sen yhtälön, ts.
, mistä saamme

tai
.

tämä tarkoittaa

Lause on todistettu.

lauseke 8. Paraabelin peiliominaisuus.

Lause. Paraabelin tangentti muodostaa yhtä suuret kulmat symmetria-akselinsa ja tangenttipisteen polttosäteen kanssa.

Todiste. Antaa
- yhteyspiste, – sen polttosäde. Merkitään N:llä tangentin ja abskissa-akselin leikkauspiste. Pisteen N ordinaatti on nolla ja piste N on tangentissa, joten sen koordinaatit täyttävät tangenttiyhtälön. Korvaamalla pisteen N koordinaatit tangenttiyhtälöön, saadaan:

jossa pisteen N abskissa on yhtä suuri kuin
.

Harkitse kolmiota
. Todistakaamme, että se on tasakylkinen.

Todella,
. Tässä käytimme kanonista paraabeliyhtälöä johdettaessa saatua yhtälöä:

Tasakylkisessä kolmiossa kantakulmat ovat yhtä suuret. Täältä

, jne.

Lause on todistettu.

Kommentti. Todistettu lause voidaan muotoilla paraabelin peiliominaisuuden muodossa.

Paraabelin polttopisteestä vapautuva valonsäde kulkee paraabelin peilistä heijastuneena paraabelin symmetria-akselin suuntaisesti.

Itse asiassa, koska säteen tulokulma tangentille on yhtä suuri kuin siitä heijastuskulma, tangentin ja heijastuneen säteen välinen kulma on sama kuin tangentin ja abskissa-akselin välinen kulma, mikä tarkoittaa, että heijastunut säde on samansuuntainen abskissa-akselin kanssa.

Kommentti. Tätä paraabelin ominaisuutta on käytetty laajalti tekniikassa. Jos paraabelia kierretään symmetria-akselinsa ympäri, saadaan pinta, jota kutsutaan kierrosparaboloidiksi. Jos teet heijastavan pinnan kierrosparaboloidin muotoon ja asetat valonlähteen fokukseen, heijastuneet säteet kulkevat yhdensuuntaisesti paraboloidin symmetria-akselin kanssa. Näin kohdevalot ja auton ajovalot on suunniteltu. Jos sähkömagneettisia värähtelyjä (aaltoja) vastaanottava laite asetetaan fokukseen, ne heijastuvat paraboloidin pinnalta ja tulevat tähän vastaanottavaan laitteeseen. Satelliittiantennit toimivat tällä periaatteella.

On legenda, että muinaisina aikoina yksi komentaja asetti soturinsa rantaan ja antoi heidän muodostelmilleen paraabelin muodon. Auringonvalo, joka heijastuu soturien kiiltäväksi kiillotetuista kilpistä, kerättiin säteeseen (rakennettu paraabelin keskipisteeseen). Tällä tavalla vihollisen alukset poltettiin. Jotkut lähteet antavat tämän johtuvan Archimedesista. Tavalla tai toisella arabit kutsuivat pyörimisparaboloidia "sytyttäväksi peiliksi".

Muuten, sana "focus" on latinaa ja tarkoittaa tulta, tulisijaa. "Poltavan peilin" avulla voit sytyttää tulen ja keittää vettä aurinkoisena päivänä. Joten tämän termin alkuperä tulee selväksi.

Sana "temppu" tarkoittaa myös jotain temppua tai temppua. Aikaisemmin sirkusta kutsuttiin koppiksi. Farsikkataiteilijat käyttivät siis myös ellipsin peiliominaisuutta ja sytyttivät valoa ellipsin toiseen fokukseen sytyttämällä jotain syttyvää, joka oli sijoitettu sen toiseen fokukseen. Tätä spektaakkelia alettiin kutsua myös taikatemppuksi. (Lue N.Ya. Vilenkinin upea kirja "Matematiikan oppikirjan sivujen takana")

lauseke 9. Ellipsin, hyperbolin ja paraabelin napayhtälö.

Olkoon tasolle annettu piste F, jota kutsumme fokukseksi, ja suora D, jota kutsumme suuntaviivaksi. Piirretään viiva, joka on kohtisuorassa suuntaviivaan (polttoakseliin) nähden polttopisteen läpi ja otetaan käyttöön napakoordinaattijärjestelmä. Asetetaan napa fokukseen ja napasäteeksi otetaan se osa suorasta, joka ei leikkaa suuntaviivaa (ks. kuva 5).

Olkoon piste M ellipsillä, hyperbelillä tai paraabelilla. Seuraavassa kutsumme hyperbolaa tai paraabelia yksinkertaisesti käyräksi.

Lause. Antaa
– käyrän pisteen napakoordinaatit (ellipsi, hyperbola tai paraabeli). Sitten

, (3)

missä p on käyrän polttoparametri, – käyrän epäkeskisyys (paraabelille oletetaan
).

Todiste. Olkoon Q pisteen M projektio käyrän polttoakselille, B – käyrän suuntaviivalle. Olkoon napakulma piste M on tylppä, kuten kuvassa 5. Sitten

missä rakentamisen,
– etäisyys pisteestä M suuntaviivaan ja

. (4)

Toisaalta yleisen ellipsin, hyperbolan ja paraabelin määritelmän mukaan suhde

(5)

yhtä suuri kuin vastaavan käyrän epäkeskisyys missä tahansa pisteessä M tietyllä käyrällä. Anna pointin
– käyrän leikkauspiste kohtisuoran polttoakseliin nähden, palautettu fokusoimaan F ja A – sen projektio suuntaviivaan. Sitten