Décimales : définitions, notation, exemples, opérations avec décimales. Lire des décimales Écrire et lire des notes de cours sur les décimales

Parmi les nombreuses fractions trouvées en arithmétique, celles qui ont 10, 100, 1000 au dénominateur - en général, toute puissance de dix - méritent une attention particulière. Ces fractions ont un nom et une notation particuliers.

Un nombre décimal est une fraction numérique dont le dénominateur est une puissance de dix.

Exemples décimales:

Pourquoi était-il nécessaire de séparer de telles fractions ? Pourquoi ont-ils besoin de leur propre formulaire d’enregistrement ? Il y a à cela au moins trois raisons :

1. Les décimales sont beaucoup plus faciles à comparer. N'oubliez pas : à titre de comparaison fractions ordinaires il faut les soustraire les unes aux autres et, surtout, ramener les fractions à un dénominateur commun. En décimales, rien de tel n’est requis ;
2. Réduisez les calculs. Les nombres décimaux s'additionnent et se multiplient selon leurs propres règles, et avec un peu de pratique, vous pourrez travailler avec eux beaucoup plus rapidement qu'avec des fractions régulières ;
3. Facilité d'enregistrement. Contrairement aux fractions ordinaires, les décimales sont écrites sur une seule ligne sans perte de clarté.

La plupart des calculatrices donnent également des réponses en décimales. Dans certains cas, un format d'enregistrement différent peut poser des problèmes. Par exemple, que se passe-t-il si vous demandez de la monnaie dans le magasin d'un montant de 2/3 de rouble :)

Règles d'écriture des fractions décimales

Le principal avantage des fractions décimales est leur notation pratique et visuelle. À savoir:

La notation décimale est une forme d'écriture de fractions décimales, où partie entière séparé d'une fraction par un point régulier ou une virgule. Dans ce cas, le séparateur lui-même (point ou virgule) est appelé point décimal.

Par exemple, 0,3 (lire : « pointeurs zéro, 3 dixièmes ») ; 7,25 (7 entiers, 25 centièmes) ; 3,049 (3 entiers, 49 millièmes). Tous les exemples sont tirés de la définition précédente.

À l’écrit, une virgule est généralement utilisée comme point décimal. Ici et plus loin sur tout le site, la virgule sera également utilisée.

Pour écrire une fraction décimale arbitraire sous cette forme, vous devez suivre trois étapes simples :

1. Écrivez le numérateur séparément ;
2. Décalez la virgule vers la gauche d’autant de positions qu’il y a de zéros au dénominateur. Supposons qu'au départ, le point décimal se trouve à droite de tous les chiffres ;
3. Si la virgule décimale s'est déplacée et qu'après elle il y a des zéros à la fin de l'entrée, ils doivent être barrés.

Il arrive qu'à la deuxième étape, le numérateur n'ait pas suffisamment de chiffres pour effectuer le décalage. Dans ce cas, les positions manquantes sont remplies de zéros. Et en général, à gauche de n'importe quel nombre, vous pouvez attribuer n'importe quel nombre de zéros sans nuire à votre santé. C'est moche, mais parfois utile.

À première vue, cet algorithme peut paraître assez compliqué. En fait, tout est très, très simple : il suffit de s'entraîner un peu. Jetez un œil aux exemples :

Tâche. Pour chaque fraction, indiquez sa notation décimale :

Le numérateur de la première fraction est : 73. On décale la virgule décimale d'une place (puisque le dénominateur est 10) - on obtient 7,3.

Numérateur de la deuxième fraction : 9. On décale la virgule décimale de deux places (puisque le dénominateur est 100) - on obtient 0,09. J'ai dû ajouter un zéro après la virgule et un de plus avant, afin de ne pas laisser une entrée étrange comme « .09 ».

Le numérateur de la troisième fraction est : 10029. On décale la virgule décimale de trois places (puisque le dénominateur est 1000) - on obtient 10,029.

Le numérateur de la dernière fraction : 10 500. Encore une fois, nous décalons le point de trois chiffres - nous obtenons 10 500. Il y a des zéros supplémentaires à la fin du numéro. Rayez-les et nous obtenons 10,5.

Faites attention aux deux derniers exemples : les nombres 10,029 et 10,5. Selon les règles, les zéros à droite doivent être barrés, comme cela a été fait dans le dernier exemple. Cependant, vous ne devez jamais faire cela avec des zéros à l’intérieur d’un nombre (qui sont entourés d’autres nombres). C'est pourquoi nous avons obtenu 10,029 et 10,5, et non 1,29 et 1,5.

Nous avons donc compris la définition et la forme d'écriture des fractions décimales. Voyons maintenant comment convertir des fractions ordinaires en décimales - et vice versa.

Conversion de fractions en décimales

Considérons une fraction numérique simple de la forme a /b. Vous pouvez utiliser la propriété de base d'une fraction et multiplier le numérateur et le dénominateur par un nombre tel que le bas s'avère être une puissance de dix. Mais avant de le faire, lisez ce qui suit :

Il existe des dénominateurs qui ne peuvent être réduits à des puissances de dix. Apprenez à reconnaître de telles fractions, car elles ne peuvent pas être utilisées à l'aide de l'algorithme décrit ci-dessous.

C'est ça. Eh bien, comment comprenez-vous si le dénominateur est réduit à une puissance dix ou non ?

La réponse est simple : factoriser le dénominateur en facteurs premiers. Si le développement ne contient que les facteurs 2 et 5, ce nombre peut être réduit à une puissance dix. S'il existe d'autres nombres (3, 7, 11 - peu importe), vous pouvez oublier la puissance dix.

Tâche. Vérifiez si les fractions indiquées peuvent être représentées sous forme décimale :

Écrivons et factorisons les dénominateurs de ces fractions :

20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 - seuls les nombres 2 et 5 sont présents. Par conséquent, la fraction peut être représentée sous forme décimale.

12 = 4 · 3 = 2 2 · 3 - il existe un facteur « interdit » 3. La fraction ne peut pas être représentée sous forme décimale.

640 = 8 · 8 · 10 = 2 3 · 2 3 · 2 · 5 = 2 7 · 5. Tout est en ordre : il n'y a rien à part les nombres 2 et 5. Une fraction peut être représentée sous forme décimale.

48 = 6 · 8 = 2 · 3 · 2 3 = 2 4 · 3. Le facteur 3 « refait surface » et ne peut pas être représenté comme une fraction décimale.

Nous avons donc réglé le dénominateur - examinons maintenant l'ensemble de l'algorithme pour passer aux fractions décimales :

1. Factorisez le dénominateur de la fraction d'origine et assurez-vous qu'il est généralement représentable sous forme décimale. Ceux. vérifier que seuls les facteurs 2 et 5 sont présents dans le développement, sinon l'algorithme ne fonctionne pas ;
2. Comptez combien de deux et de cinq sont présents dans l'extension (il n'y aura pas d'autres nombres là-bas, vous vous souvenez ?). Choisissez un facteur supplémentaire tel que le nombre de deux et de cinq soit égal.
3. En fait, multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction originale par ce facteur - nous obtenons la représentation souhaitée, c'est-à-dire le dénominateur sera une puissance de dix.

Bien entendu, le facteur supplémentaire sera également décomposé uniquement en deux et cinq. Dans le même temps, afin de ne pas vous compliquer la vie, vous devez choisir le plus petit multiplicateur possible.

Et encore une chose : si la fraction d'origine contient une partie entière, assurez-vous de convertir cette fraction en une fraction impropre - et ensuite seulement appliquez l'algorithme décrit.

Tâche. Convertissez ces fractions numériques en décimales :

Factorisons le dénominateur de la première fraction : 4 = 2 · 2 = 2 2 . La fraction peut donc être représentée sous forme décimale. L'expansion contient deux deux et non un seul cinq, donc le facteur supplémentaire est 5 2 = 25. Avec lui, le nombre de deux et de cinq sera égal. Nous avons:

Examinons maintenant la deuxième fraction. Pour ce faire, notez que 24 = 3 8 = 3 2 3 - il y a un triple dans le développement, donc la fraction ne peut pas être représentée sous forme décimale.

Les deux dernières fractions ont respectivement pour dénominateurs 5 (nombre premier) et 20 = 4 · 5 = 2 2 · 5 - seuls deux et cinq sont présents partout. De plus, dans le premier cas, « pour un bonheur complet » un facteur de 2 ne suffit pas, et dans le second - 5. On obtient :

Conversion de décimales en fractions communes

La conversion inverse – de la notation décimale à la notation régulière – est beaucoup plus simple. Il n'y a pas de restrictions ni de contrôles spéciaux ici, vous pouvez donc toujours convertir une fraction décimale en fraction classique « à deux étages ».

L'algorithme de traduction est le suivant :

1. Rayez tous les zéros à gauche de la virgule, ainsi que le point décimal. Ce sera le numérateur de la fraction souhaitée. L'essentiel est de ne pas en faire trop et de ne pas rayer les zéros intérieurs entourés d'autres chiffres ;
2. Comptez combien de décimales il y a après la virgule. Prenez le chiffre 1 et ajoutez autant de zéros à droite que de caractères que vous comptez. Ce sera le dénominateur ;
3. En fait, notez la fraction dont nous venons de trouver le numérateur et le dénominateur. Si possible, réduisez-le. Si la fraction originale contenait une partie entière, nous obtiendrons désormais une fraction impropre, ce qui est très pratique pour des calculs ultérieurs.

Tâche. Convertir des fractions décimales en fractions ordinaires : 0,008 ; 3.107 ; 2,25 ; 7,2008.

Rayez les zéros à gauche et les virgules - nous obtenons les nombres suivants (ce seront les numérateurs) : 8 ; 3107 ; 225 ; 72008.

Dans les première et deuxième fractions, il y a 3 décimales, dans la deuxième - 2 et dans la troisième - jusqu'à 4 décimales. On obtient les dénominateurs : 1000 ; 1000 ; 100 ; 10000.

Enfin, combinons les numérateurs et les dénominateurs en fractions ordinaires :

Comme le montrent les exemples, la fraction résultante peut très souvent être réduite. Permettez-moi de noter encore une fois que toute fraction décimale peut être représentée comme une fraction ordinaire. La conversion inverse n’est pas toujours possible.

Nous consacrerons ce matériel à un sujet aussi important que les fractions décimales. Tout d'abord, définissons les définitions de base, donnons des exemples et attardons-nous sur les règles de la notation décimale, ainsi que sur les chiffres des fractions décimales. Ensuite, nous soulignons les principaux types : fractions finies et infinies, périodiques et non périodiques. Dans la dernière partie, nous montrerons comment les points correspondant aux nombres fractionnaires sont situés sur l'axe des coordonnées.

Qu'est-ce que la notation décimale des nombres fractionnaires

La notation dite décimale des nombres fractionnaires peut être utilisée aussi bien pour les nombres naturels que pour les nombres fractionnaires. Cela ressemble à un ensemble de deux nombres ou plus séparés par une virgule.

Le point décimal est nécessaire pour séparer la partie entière de la partie fractionnaire. En règle générale, le dernier chiffre d'une fraction décimale n'est pas un zéro, à moins que le point décimal n'apparaisse immédiatement après le premier zéro.

Quels sont quelques exemples de nombres fractionnaires en notation décimale ? Cela peut être 34, 21, 0, 35035044, 0, 0001, 11 231 552, 9, etc.

Dans certains manuels, vous pouvez trouver l'utilisation d'un point au lieu d'une virgule (5. 67, 6789. 1011, etc.). Cette option est considérée comme équivalente, mais elle est plus typique pour les sources de langue anglaise.

Définition des décimales

Sur la base du concept de notation décimale ci-dessus, nous pouvons formuler la définition suivante des fractions décimales :

Définition 1

Les décimales représentent des nombres fractionnaires en notation décimale.

Pourquoi devons-nous écrire les fractions sous cette forme ? Cela nous donne certains avantages par rapport aux notations ordinaires, par exemple une notation plus compacte, surtout dans les cas où le dénominateur contient 1000, 100, 10, etc., ou un nombre mixte. Par exemple, au lieu de 6 10, nous pouvons spécifier 0,6, au lieu de 25 10000 - 0,0023, au lieu de 512 3 100 - 512,03.

Comment représenter correctement des fractions ordinaires avec des dizaines, des centaines, des milliers au dénominateur sous forme décimale sera discuté dans un document séparé.

Comment lire correctement les décimales

Il existe quelques règles pour lire les notations décimales. Ainsi, les fractions décimales qui correspondent à leurs équivalents ordinaires réguliers se lisent presque de la même manière, mais avec l'ajout des mots « zéro dixième » au début. Ainsi, l’entrée 0, 14, qui correspond à 14 100, se lit comme « zéro virgule quatorze centièmes ».

Si une fraction décimale peut être associée à un nombre fractionnaire, alors elle se lit de la même manière que ce nombre. Ainsi, si nous avons la fraction 56 002, qui correspond à 56 2 1000, nous lisons cette entrée comme « cinquante-six virgule deux millièmes ».

La signification d'un chiffre dans une fraction décimale dépend de l'endroit où il se trouve (comme dans le cas des nombres naturels). Ainsi, dans la fraction décimale 0,7, sept équivaut à des dixièmes, dans 0,0007 à des dix millièmes et dans la fraction 70 000,345, cela signifie sept dizaines de milliers d'unités entières. Ainsi, dans les fractions décimales, il existe également la notion de valeur de position.

Les noms des chiffres situés avant la virgule décimale sont similaires à ceux qui existent dans les nombres naturels. Les noms de ceux situés après sont clairement présentés dans le tableau :

Regardons un exemple.

Exemple 1

Nous avons la fraction décimale 43 098. Elle a un quatre à la place des dizaines, un trois à la place des unités, un zéro à la place des dixièmes, un 9 à la place des centièmes et un 8 à la place des millièmes.

Il est d'usage de distinguer les rangs des fractions décimales par priorité. Si nous parcourons les nombres de gauche à droite, nous passerons du plus significatif au moins significatif. Il s’avère que les centaines sont plus anciennes que les dizaines et que les parties par million sont plus jeunes que les centièmes. Si nous prenons cette fraction décimale finale que nous avons citée comme exemple ci-dessus, alors la place la plus élevée ou la plus élevée sera la place des centaines, et la place la plus basse ou la plus basse sera la 10 millième.

Toute fraction décimale peut être développée en chiffres individuels, c'est-à-dire présentée sous forme de somme. Cette action s'effectue de la même manière que pour nombres naturels.

Exemple 2

Essayons de développer la fraction 56, 0455 en chiffres.

Nous allons obtenir:

56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005

Si nous nous souvenons des propriétés d'addition, nous pouvons représenter cette fraction sous d'autres formes, par exemple comme la somme 56 + 0, 0455, ou 56, 0055 + 0, 4, etc.

Que sont les décimales de fin ?

Toutes les fractions dont nous avons parlé ci-dessus sont des décimales finies. Cela signifie que le nombre de chiffres après la virgule est fini. Dérivons la définition :

Définition 1

Les décimales de fin sont un type de fraction décimale qui comporte un nombre fini de décimales après le signe décimal.

Des exemples de telles fractions peuvent être 0, 367, 3, 7, 55, 102567958, 231 032, 49, etc.

Chacune de ces fractions peut être convertie soit en un nombre fractionnaire (si la valeur de sa partie fractionnaire est différente de zéro), soit en une fraction ordinaire (si la partie entière est nulle). Nous avons consacré un article séparé à la façon dont cela se fait. Ici, nous nous contenterons de rappeler quelques exemples : par exemple, nous pouvons réduire la fraction décimale finale 5, 63 à la forme 5 63 100, et 0, 2 correspond à 2 10 (ou toute autre fraction égale, par exemple exemple, 4 20 ou 1 5.)

Mais le processus inverse, c'est-à-dire enregistrer fraction commune sous forme décimale ne peut pas toujours être effectuée. Ainsi, 5 13 ne peut pas être remplacé par une fraction égale avec le dénominateur 100, 10, etc., ce qui signifie qu'une fraction décimale finale ne peut pas en être obtenue.

Principaux types de fractions décimales infinies : fractions périodiques et non périodiques

Nous avons indiqué ci-dessus que les fractions finies sont ainsi appelées parce qu’elles ont un nombre fini de chiffres après la virgule. Cependant, il se peut qu'elle soit infinie, auquel cas les fractions elles-mêmes seront également appelées infinies.

Définition 2

Les fractions décimales infinies sont celles qui ont un nombre infini de chiffres après la virgule.

De toute évidence, ces nombres ne peuvent tout simplement pas être écrits dans leur intégralité, nous n'en indiquons donc qu'une partie, puis ajoutons des points de suspension. Ce signe indique une continuation infinie de la séquence des décimales. Des exemples de fractions décimales infinies incluent 0, 143346732…, ​​​​3, 1415989032…, 153, 0245005…, 2, 66666666666…, 69, 748768152…. etc.

La « queue » d'une telle fraction peut contenir non seulement des séquences de nombres apparemment aléatoires, mais également une répétition constante du même caractère ou groupe de caractères. Les fractions avec des nombres alternés après la virgule décimale sont appelées périodiques.

Définition 3

Les fractions décimales périodiques sont des fractions décimales infinies dans lesquelles un chiffre ou un groupe de plusieurs chiffres est répété après la virgule. La partie répétitive est appelée la période de la fraction.

Par exemple, pour la fraction 3, 444444…. le point sera le chiffre 4, et pour 76, 134134134134... - le groupe 134.

Quel est le nombre minimum de caractères qu’on peut laisser dans la notation d’une fraction périodique ? Pour les fractions périodiques, il suffira d’écrire la période entière une fois entre parenthèses. Donc, fraction 3, 444444…. Il serait correct de l'écrire sous la forme 3, (4) et 76, 134134134134... – sous la forme 76, (134).

En général, les entrées avec plusieurs points entre parenthèses auront exactement la même signification : par exemple, la fraction périodique 0,677777 est la même que 0,6 (7) et 0,6 (77), etc. Les enregistrements de la forme 0, 67777 (7), 0, 67 (7777), etc. sont également acceptables.

Pour éviter les erreurs, nous introduisons une uniformité de notation. Convenons de n'écrire qu'un seul point (la séquence de nombres la plus courte possible), la plus proche de la virgule décimale, et de le mettre entre parenthèses.

Autrement dit, pour la fraction ci-dessus, nous considérerons que l'entrée principale est 0, 6 (7) et, par exemple, dans le cas de la fraction 8, 9134343434, nous écrirons 8, 91 (34).

Si le dénominateur d'une fraction ordinaire contient des facteurs premiers qui ne sont pas égaux à 5 et 2, alors une fois convertis en notation décimale, ils donneront des fractions infinies.

En principe, nous pouvons écrire n’importe quelle fraction finie comme une fraction périodique. Pour ce faire, il suffit d’ajouter un nombre infini de zéros à droite. A quoi ça ressemble en enregistrement ? Disons que nous avons la fraction finale 45, 32. Sous forme périodique, cela ressemblera à 45, 32 (0). Cette action est possible car l’ajout de zéros à droite de toute fraction décimale donne une fraction qui lui est égale.

Une attention particulière doit être portée aux fractions périodiques avec une période de 9, par exemple 4, 89 (9), 31, 6 (9). Il s'agit d'une notation alternative pour les fractions similaires avec une période de 0, elles sont donc souvent remplacées lors de l'écriture par des fractions avec une période nulle. Dans ce cas, un est ajouté à la valeur du chiffre suivant et (0) est indiqué entre parenthèses. L'égalité des nombres résultants peut être facilement vérifiée en les représentant comme des fractions ordinaires.

Par exemple, la fraction 8, 31 (9) peut être remplacée par la fraction correspondante 8, 32 (0). Ou 4, (9) = 5, (0) = 5.

Les fractions périodiques décimales infinies font référence à nombres rationnels. En d’autres termes, toute fraction périodique peut être représentée comme une fraction ordinaire, et vice versa.

Il existe également des fractions qui n'ont pas de séquence répétitive à l'infini après la virgule décimale. Dans ce cas, on les appelle fractions non périodiques.

Définition 4

Les fractions décimales non périodiques incluent les fractions décimales infinies qui ne contiennent pas de point après la virgule, c'est-à-dire groupe répétitif de nombres.

Parfois, les fractions non périodiques ressemblent beaucoup aux fractions périodiques. Par exemple, 9, 03003000300003... à première vue, il semble y avoir un point, cependant analyse détaillée les décimales confirment qu'il s'agit toujours d'une fraction non périodique. Il faut être très prudent avec de tels chiffres.

Les fractions non périodiques sont classées comme nombres irrationnels. Ils ne sont pas convertis en fractions ordinaires.

Opérations de base avec des décimales

Avec les fractions décimales, vous pouvez faire les actions suivantes: comparaison, soustraction, addition, division et multiplication. Examinons chacun d'eux séparément.

La comparaison de décimales peut être réduite à la comparaison de fractions qui correspondent aux décimales originales. Mais les fractions infinies non périodiques ne peuvent pas être réduites à cette forme, et la conversion de fractions décimales en fractions ordinaires est souvent une tâche fastidieuse. Comment pouvons-nous effectuer rapidement une action de comparaison si nous devons le faire tout en résolvant un problème ? Il est pratique de comparer des fractions décimales par chiffre de la même manière que nous comparons des nombres naturels. Nous consacrerons un article séparé à cette méthode.

Pour additionner certaines fractions décimales avec d'autres, il est pratique d'utiliser la méthode d'addition de colonnes, comme pour les nombres naturels. Pour ajouter des fractions décimales périodiques, vous devez d'abord les remplacer par des fractions ordinaires et compter selon schéma standard. Si, selon les conditions du problème, nous devons ajouter des fractions infinies non périodiques, nous devons d'abord les arrondir à un certain chiffre, puis les ajouter. Plus le chiffre auquel nous arrondissons est petit, plus la précision du calcul sera élevée. Pour la soustraction, la multiplication et la division de fractions infinies, un pré-arrondi est également nécessaire.

Trouver la différence entre des fractions décimales est l’inverse de l’addition. Essentiellement, en utilisant la soustraction, nous pouvons trouver un nombre dont la somme avec la fraction que nous soustrayons nous donnera la fraction que nous minimisons. Nous en parlerons plus en détail dans un article séparé.

La multiplication de fractions décimales se fait de la même manière que pour les nombres naturels. La méthode de calcul des colonnes convient également pour cela. On réduit encore cette action avec les fractions périodiques à la multiplication des fractions ordinaires selon les règles déjà étudiées. Les fractions infinies, on s'en souvient, doivent être arrondies avant les calculs.

Le processus de division de nombres décimaux est l’inverse de la multiplication. Lors de la résolution de problèmes, nous utilisons également des calculs en colonnes.

Vous pouvez établir une correspondance exacte entre la fraction décimale finale et un point sur l'axe des coordonnées. Voyons comment marquer un point sur l'axe qui correspondra exactement à la fraction décimale requise.

Nous avons déjà étudié comment construire des points correspondant à des fractions ordinaires, mais les fractions décimales peuvent être réduites à cette forme. Par exemple, la fraction commune 14 10 est la même que 1, 4, donc le point correspondant sera éloigné de l'origine dans le sens positif exactement de la même distance :

Vous pouvez vous passer de remplacer la fraction décimale par une fraction ordinaire, mais utilisez la méthode d'expansion par chiffres comme base. Ainsi, si nous devons marquer un point dont la coordonnée sera égale à 15, 4008, alors nous présenterons d'abord ce nombre comme la somme 15 + 0, 4 +, 0008. Pour commencer, mettons de côté 15 segments unitaires entiers dans le sens positif dès le début du compte à rebours, puis 4 dixièmes d’un segment, puis 8 dix millièmes d’un segment. En conséquence, nous obtenons un point de coordonnées qui correspond à la fraction 15, 4008.

Pour une fraction décimale infinie, il est préférable d'utiliser cette méthode, car elle permet de se rapprocher à volonté du point souhaité. Dans certains cas, il est possible de construire une correspondance exacte à une fraction infinie sur l'axe des coordonnées : par exemple, 2 = 1, 41421. . . , et cette fraction peut être associée à un point du rayon de coordonnées, distant de 0 de la longueur de la diagonale du carré, dont le côté sera égal à un segment unitaire.

Si l'on trouve non pas un point sur l'axe, mais une fraction décimale qui lui correspond, alors cette action est appelée la mesure décimale d'un segment. Voyons comment procéder correctement.

Disons que nous devons passer de zéro à un point donné sur l'axe des coordonnées (ou nous en rapprocher le plus possible dans le cas d'une fraction infinie). Pour ce faire, on reporte progressivement les segments unitaires depuis l'origine jusqu'à arriver au point souhaité. Après des segments entiers, si nécessaire, nous mesurons les dixièmes, les centièmes et les fractions plus petites afin que la correspondance soit la plus précise possible. En conséquence, nous avons reçu une fraction décimale qui correspond à point donné sur l'axe des coordonnées.

Ci-dessus, nous avons montré un dessin avec le point M. Regardez-le à nouveau : pour en arriver à ce point, il faut mesurer un segment unitaire et quatre dixièmes de celui-ci à partir de zéro, puisque ce point correspond à la fraction décimale 1, 4.

Si nous ne pouvons pas atteindre un point dans le processus de mesure décimale, cela signifie que cela correspond à une fraction décimale infinie.

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Leçonmathématiques en 5e année sur le thème « Notation décimale des nombres fractionnaires »

Sujet: Le concept de fraction décimale. Lire et écrire des décimales.

Le but de la leçon : introduire la notion de fractions décimales, leur lecture et leur écriture correctes.

Tâches:

Organiser le travail des étudiants pour étudier et consolider dans un premier temps la notion de « fraction décimale » et l'algorithme d'écriture des fractions décimales.

Créer les conditions pour la formation de l'UUD :

UUD communicative : capacités d'écoute, discipline, pensée indépendante.

UUD réglementaire : comprendre la tâche éducative de la leçon, effectuer la solution de la tâche éducative sous la direction de l'enseignant, déterminer le but de la tâche éducative, contrôler vos actions dans le processus de sa mise en œuvre, détecter et corriger les erreurs, répondre aux questions finales et évaluez vos réalisations

UUD personnelle : formation de la motivation éducative, besoin d'acquérir de nouvelles connaissances.

Type de cours : leçon sur l'apprentissage de nouveaux matériaux

Technologie de construction de cours : méthode du problème, travailler en binôme

Formes de travail: individuel, frontal, conversation, travail en binôme.

Organisation des activités étudiantes en classe :

Ils identifient indépendamment le problème et le résolvent ;

Déterminer indépendamment le sujet et les objectifs de la leçon ;

Dériver une règle ;

Travailler avec le texte du manuel ;

Répondez aux questions;

Résoudre les problèmes de manière indépendante ;

S'évaluer eux-mêmes et les uns les autres ;

Ils reflètent.

Méthodes d'enseignement: verbal, visuel - illustratif, pratique

Ressources: projecteur multimédia, présentation.

Accompagnement pédagogique et méthodologique: cahier de texte"Mathématiques. 5e année »auteur N.Ya. Vilenkine ; CD « Mathématiques. Enseigner selon les nouvelles normes. Théorie. Méthodologie. Pratique. Maison d'édition "Uchitel".

Une fraction décimale doit contenir une virgule. La partie numérique de la fraction située à gauche de la virgule décimale est appelée la partie entière ; à droite - fractionnaire :

5.28 5 - partie entière 28 - partie fractionnaire

La partie fractionnaire d'un nombre décimal est constituée de décimales(places décimales) :

• dixièmes - 0,1 (un dixième);
• centièmes - 0,01 (un centième);
• millièmes - 0,001 (un millième) ;
• dix millièmes - 0,0001 (un dix millième) ;
• cent millièmes - 0,00001 (cent millièmes) ;
• millionièmes - 0,000001 (un millionième) ;
• dix millionièmes - 0,0000001 (un dix millionième) ;
• cent millionièmes - 0,00000001 (cent millionièmes) ;
• milliardièmes - 0,000000001 (un milliardième), etc.

• lisez le nombre qui compose toute la partie de la fraction et ajoutez le mot " entier";
• lisez le nombre qui constitue la partie fractionnaire de la fraction et ajoutez le nom du chiffre le moins significatif.

Par exemple:

• 0,25 - zéro virgule vingt-cinq centièmes ;
• 9.1 - neuf virgule un dixième ;
• 18.013 - dix-huit virgule treize millièmes ;
• 100.2834 - cent virgule deux mille huit cent trente-quatre dix millièmes.

Écrire des décimales

Pour écrire une fraction décimale :

• notez toute la partie de la fraction et mettez une virgule (le nombre signifiant toute la partie de la fraction se termine toujours par le mot " entier");
• écrivez la partie fractionnaire de la fraction de manière à ce que le dernier chiffre tombe dans le chiffre souhaité (s'il n'y a pas de chiffres significatifs à certaines décimales, ils sont remplacés par des zéros).

Par exemple:

• vingt virgule neuf - 20,9 - dans cet exemple tout est simple ;
• cinq virgule un centième - 5,01 - le mot « centième » signifie qu'il doit y avoir deux chiffres après la virgule décimale, mais comme le chiffre 1 n'a pas de dixième place, il est remplacé par zéro ;
• zéro virgule huit cent huit millièmes - 0,808 ;
• trois virgule quinze dixièmes - une telle fraction décimale ne peut pas être écrite, car il y a eu une erreur dans la prononciation de la partie fractionnaire - le nombre 15 contient deux chiffres et le mot « dixièmes » n'en implique qu'un. Correct serait trois virgule quinze centièmes (ou millièmes, dix millièmes, etc.).

Comparaison des décimales

La comparaison des fractions décimales s'effectue de la même manière que la comparaison des nombres naturels.

1. d'abord, les parties entières des fractions sont comparées - la fraction décimale dont la partie entière est la plus grande sera la plus grande ;
2. si les parties entières des fractions sont égales, comparez les parties fractionnaires petit à petit, de gauche à droite, en commençant par la virgule décimale : dixièmes, centièmes, millièmes, etc. La comparaison est effectuée jusqu'au premier écart - plus grande sera la fraction décimale qui a un chiffre inégal plus grand dans le chiffre correspondant de la partie fractionnaire. Par exemple : 1,2 8 3 > 1,27 9, car à la place des centièmes, la première fraction en a 8 et la seconde en a 7.

Sections: Mathématiques

Sujet: Le concept de fraction décimale. Lire et écrire des décimales.

Objectifs:

1. Formation de connaissances et de compétences pour écrire et lire des fractions décimales. Initier les élèves à de nouveaux nombres - les décimales (une nouvelle façon d'écrire les nombres)
2. Développer l'intuition, la conjecture, l'érudition et la maîtrise des méthodes mathématiques.
3. Susciter la curiosité et l'initiative mathématiques, développer un intérêt durable pour les mathématiques.
4. Favoriser une culture de la pensée mathématique.

Objectif de développement: Formation de compétences d'auto-évaluation et d'auto-analyse des activités éducatives.

Basé sur des problèmes - leçon de développement (combinée)

Étapes:

1) situation problématique;
2) problème ;
3) rechercher des moyens de le résoudre ;
4) résolution de problèmes

Devise de la leçon:

Objectif de la leçon

Épigraphes:

« On ne peut pas apprendre les mathématiques en regardant son voisin le faire. »
(poète Nivey)

"Il faut s'amuser en apprenant... Pour digérer un savoir, il faut l'absorber avec appétit"
(Anatole France)

Équipement:

1. cartes individuelles - tâches ;
2. des fiches de tâches pour travailler en binôme ;
3. clarté pour le travail oral, pour information historique;
4. tableau magnétique

Répétition:

1. Fractions communes
2. Figures géométriques

Pendant les cours

L’ancien poète grec Niveus affirmait que les mathématiques ne s’apprennent pas en regardant son voisin le faire. Par conséquent, aujourd’hui, nous travaillerons tous activement, bien et au bénéfice de l’esprit.

je. « Heure la plus belle fraction ordinaire" - travail oral

Première tournée

Deuxième tour « Chaînes logiques »

Disposer par ordre croissant.

Troisième tour.

L'élève a fait une erreur en appliquant les bases
propriétés des fractions. Trouve l'erreur!

Quatrième tour

Apprendre un nouveau sujet

Regardons le tableau des catégories et répondons aux questions :

Des questions:

1. Comment la position de l'unité change-t-elle dans chaque ligne suivante par rapport à la précédente ?
2. En quoi cela change-t-il sa signification ?
3. Comment change la valeur du nombre correspondant ?
4. Quelle opération arithmétique correspond à ce changement ?

Conclusion: en déplaçant l'unité d'un chiffre vers la droite, à chaque fois nous avons diminué le nombre correspondant de 10 fois et nous avons fait cela jusqu'à ce que nous atteignions le dernier chiffre - le chiffre des unités.

Est-il possible d'en réduire un de 10 fois ?
Certainement,

Problème: Mais il n’y a pas encore de place pour ce nombre dans nos tableaux de classement.

Réfléchissez à la façon dont vous devez modifier le tableau des chiffres pour pouvoir y écrire le nombre.

Nous pensons que nous devons déplacer le chiffre 1 d’une place vers la droite.

De même:

Donnez des noms aux catégories : dixièmes, centièmes, millièmes, dix millièmes, etc. partie entière partie fractionnaire

2 unités 3 dixièmes
2 unités 3 centièmes

Et pour écrire des nombres en dehors du tableau, nous devons séparer la partie entière de la partie fractionnaire par un signe. Nous avons convenu de le faire en utilisant une virgule ou un point. Dans notre pays, en règle générale, une virgule est utilisée, et aux États-Unis et dans certains autres pays, un point est utilisé. Nous écrivons et lisons les nombres comme suit :

a) 2.3 ou 2.3 (deux virgule trois ou deux, virgule, trois ou deux, point, trois)
b) 2,03 ou 2,03 (deux virgule trois centièmes ou deux, virgule, zéro, trois ou deux, point, zéro, trois)

Règle : Si une virgule (ou un point) est utilisée dans la notation décimale d'un nombre, alors le nombre est dit être écrit sous forme de fraction décimale.

Par souci de concision, les nombres sont simplement appelés en fractions décimales.
Notez que la fraction décimale n'est pas un nouveau type de nombre, mais une nouvelle façon
numéros d'enregistrement.

Ainsi, la devise de notre leçon : « Avoir d'excellentes connaissances sur le thème « Fractions décimales »

Objectif de la leçon: prouver que les fractions ne peuvent pas nous mettre dans une situation difficile.

Visitons maintenant le « Village Historique »

Les fractions sont apparues dans l'Antiquité. Lors du partage des déblais, lors de la mesure des quantités et dans d'autres cas similaires, les gens ont été confrontés à la nécessité d'introduire des fractions. Les opérations avec des fractions au Moyen Âge étaient considérées comme le domaine des mathématiques le plus difficile. Aujourd’hui encore, les Allemands disent d’une personne qui se trouve dans une situation difficile qu’elle « est tombée en fractions ». Pour faciliter le travail avec les fractions, les décimales ont été inventées. Ils ont été introduits en Europe en 1585 par un mathématicien et ingénieur néerlandais. Simon Stévin. Voici comment il a représenté la fraction :

14,382, 14 0 3 1 8 2 2 3
En France, les fractions décimales ont été introduites François Viet en 1579 ; sa notation de fraction : 14,382, 14/382, 14
Et nous avons exposé la doctrine des fractions décimales Léonty Filippovitch Magnitski en 1703 dans le manuel de mathématiques « Arithmétique, c'est-à-dire la science des nombres »
Voici d’autres façons de représenter les nombres décimaux :
14. 3. 8. 2. ;

Chargeur(accompagnement musical)

II. Des exercices

1. Enregistrez le sujet de la leçon.
2. Le premier tableau consiste à noter vous-même les chiffres.
3. Le deuxième tableau consiste à écrire les nombres par chiffre.

III. Récréation- réalisé afin de préserver bonne humeur, bonne humeur, attitude mathématique.

Anatole France a dit un jour : « Il faut apprendre en s’amusant… Pour digérer le savoir, il faut l’absorber avec appétit »

Oralement:

1. Vitya Verkhoglyadkin a trouvé la fraction correcte, qui est supérieure à 1, mais garde secrète sa « découverte ». Pourquoi?
2. Vitya Verkhoglyadkin a dessiné 11 diamètres de cercle. Puis il compte le nombre de rayons dessinés et obtient le chiffre 21. Sa réponse est-elle correcte ?
3. Un détachement de soldats marchait : dix rangées de sept soldats d'affilée. Combien?

a) ils étaient moustachus.
Combien y avait-il de soldats moustachus ?
Combien y avait-il de soldats sans moustache ?
b) ils avaient un gros nez.
Combien y avait-il de soldats au gros nez ?
Combien y avait-il de soldats au nez retroussé ?
Écrivez : = 0,8 ; = 0,4

IV. Répétition - exercices de développement (travail en binôme)

Lac Rebusnoé(Application)

V. Résumé de la leçon.

Réflexion.

Quelles nouvelles choses avez-vous apprises ?
- Qu'est-ce qui vous a semblé difficile ?
- Qu'as-tu appris?
- Quel problème a été posé en classe ?
- Avons-nous réussi à le résoudre ?

Évaluation de votre travail (sur feuilles de papier avec tableaux de classement). Écrivez comment vous avez appris le matériel de la leçon.

1. J'ai de bonnes connaissances.
2. J'ai maîtrisé tout le matériel.
3. J'ai partiellement compris le matériel.

VI. Devoirs. N° 38.1, 38.2, Cahier d'exercices(page 28)