Formule pour l'aire d'un trapèze passant par la moyenne. Comment trouver l'aire d'un trapèze

Trapèze s'appelle un quadrilatère dont seulement deux les côtés sont parallèles les uns aux autres.

On les appelle les bases de la figure, les autres sont appelées les côtés. Les parallélogrammes sont considérés comme des cas particuliers de la figure. Il existe également un trapèze courbe, qui comprend le graphique d'une fonction. Les formules pour l'aire d'un trapèze incluent presque tous ses éléments et la meilleure solution est sélectionnée en fonction des valeurs données.
Les rôles principaux dans le trapèze sont attribués à la hauteur et à la ligne médiane. ligne médiane- Il s'agit d'une ligne reliant les milieux des côtés. Hauteur Le trapèze est dessiné à angle droit du coin supérieur à la base.
L'aire d'un trapèze sur sa hauteur est égale au produit de la moitié de la somme des longueurs des bases multipliée par la hauteur :

Si la ligne moyenne est connue selon les conditions, alors cette formule est considérablement simplifiée, puisqu'elle est égale à la moitié de la somme des longueurs des bases :

Si, selon les conditions, les longueurs de tous les côtés sont données, alors on peut considérer un exemple de calcul de l'aire d'un trapèze à l'aide de ces données :

Supposons qu'on nous donne un trapèze avec des bases a = 3 cm, b = 7 cm et des côtés c = 5 cm, d = 4 cm. Trouvons l'aire de la figure :

Aire d'un trapèze isocèle

Un trapèze isocèle, ou, comme on l'appelle aussi, un trapèze isocèle, est considéré comme un cas distinct.
Un cas particulier est la recherche de l'aire d'un trapèze isocèle (équilatéral). La formule est dérivée différentes façons– par les diagonales, par les angles adjacents à la base et au rayon du cercle inscrit.
Si la longueur des diagonales est précisée selon les conditions et que l'angle entre elles est connu, vous pouvez utiliser la formule suivante :

N'oubliez pas que les diagonales d'un trapèze isocèle sont égales entre elles !

Autrement dit, connaissant l'une de leurs bases, leur côté et leur angle, vous pouvez facilement calculer l'aire.

Aire d'un trapèze courbe

Un cas particulier est trapèze courbé. Il est situé sur l'axe des coordonnées et est limité par le graphique d'une fonction positive continue.

Sa base est située sur l'axe X et est limitée à deux points :
Les intégrales aident à calculer la surface trapèze courbé.
La formule s'écrit ainsi :

Considérons un exemple de calcul de l'aire d'un trapèze courbe. La formule nécessite certaines connaissances pour travailler avec certaines intégrales. Tout d’abord, regardons la valeur de l’intégrale définie :

Ici F(a) est la valeur de la fonction primitive f(x) au point a, F(b) est la valeur de la même fonction f(x) au point b.

Maintenant, résolvons le problème. La figure montre un trapèze courbe délimité par la fonction. Fonction
Il faut trouver l'aire de la figure sélectionnée, qui est un trapèze curviligne délimité en haut par le graphique, à droite par la droite x =(-8), à gauche par la droite x =(-10 ) et l'axe OX ci-dessous.
Nous calculerons l'aire de cette figure à l'aide de la formule :

Les conditions du problème nous donnent une fonction. En l'utilisant nous trouverons les valeurs de la primitive en chacun de nos points :


Maintenant
Répondre: L'aire d'un trapèze courbe donné est de 4.

Il n'y a rien de compliqué dans le calcul de cette valeur. La seule chose qui compte est une extrême prudence dans les calculs.

Le trapèze aux multiples côtés... Il peut être arbitraire, isocèle ou rectangulaire. Et dans chaque cas, il faut savoir comment trouver l'aire d'un trapèze. Bien entendu, le plus simple est de mémoriser les formules de base. Mais parfois, il est plus facile d’en utiliser une dérivée prenant en compte toutes les caractéristiques d’une figure géométrique particulière.

Quelques mots sur le trapèze et ses éléments

Tout quadrilatère dont les deux côtés sont parallèles peut être appelé trapèze. En général, elles ne sont pas égales et sont appelées bases. Le plus grand est celui du bas et l’autre est celui du haut.

Les deux autres côtés s'avèrent latéraux. Dans un trapèze arbitraire, ils ont des longueurs différentes. S'ils sont égaux, alors la figure devient isocèle.

Si soudainement l'angle entre n'importe quel côté et la base s'avère être égal à 90 degrés, alors le trapèze est rectangulaire.

Toutes ces fonctionnalités peuvent aider à résoudre le problème de la recherche de l'aire d'un trapèze.

Parmi les éléments de la figure qui peuvent être indispensables pour résoudre des problèmes, on peut souligner les suivants :

• la hauteur, c'est-à-dire un segment perpendiculaire aux deux bases ;
• la ligne médiane, qui a à ses extrémités les milieux des côtés latéraux.

Quelle formule peut être utilisée pour calculer l’aire si la base et la hauteur sont connues ?

Cette expression est donnée comme base car le plus souvent on peut reconnaître ces grandeurs même lorsqu'elles ne sont pas données explicitement. Ainsi, pour comprendre comment trouver l'aire d'un trapèze, vous devrez additionner les deux bases et les diviser par deux. Multipliez ensuite la valeur obtenue par la valeur de la hauteur.

Si nous désignons les bases par 1 et a 2 et la hauteur par n, alors la formule pour l'aire ressemblera à ceci :

S = ((une 1 + une 2)/2)*n.

La formule qui calcule la superficie si sa hauteur et sa ligne médiane sont données

Si vous regardez attentivement la formule précédente, il est facile de remarquer qu’elle contient clairement la valeur de la ligne médiane. A savoir la somme des bases divisée par deux. Supposons que la ligne médiane soit désignée par la lettre l, alors la formule pour l'aire devient :

S = l * n.

Capacité à trouver une zone en utilisant les diagonales

Cette méthode sera utile si l'angle qu'ils forment est connu. Supposons que les diagonales soient désignées par les lettres d 1 et d 2 et que les angles entre elles soient α et β. Ensuite, la formule pour trouver l'aire d'un trapèze s'écrira comme suit :

S = ((d 1 * d 2)/2) * péché α.

Vous pouvez facilement remplacer α par β dans cette expression. Le résultat ne changera pas.

Comment connaître l'aire si tous les côtés de la figure sont connus ?

Il existe également des situations où les côtés exacts de cette figure sont connus. Cette formule est lourde et difficile à retenir. Mais probablement. Que les côtés aient la désignation : a 1 et a 2, la base a 1 est supérieure à a 2. Alors la formule d’aire prendra la forme suivante :

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (en 1 2 - [(a 1 - a 2) 2 + en 1 2 - en 2 2) / (2 * (a 1 - a 2)) ] 2 ).

Méthodes de calcul de l'aire d'un trapèze isocèle

La première est due au fait qu’un cercle peut y être inscrit. Et, connaissant son rayon (il est noté par la lettre r), ainsi que l'angle à la base - γ, vous pouvez utiliser la formule suivante :

S = (4 * r 2) / péché γ.

La dernière formule générale, qui repose sur la connaissance de tous les côtés de la figure, sera considérablement simplifiée du fait que les côtés ont la même signification :

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (en 2 - [(a 1 - a 2) 2 / (2 * (a 1 - a 2))] 2 ).

Méthodes de calcul de l'aire d'un trapèze rectangulaire

Il est clair que n'importe lequel des éléments ci-dessus convient à n'importe quelle figure. Mais parfois, il est utile de connaître une caractéristique d’un tel trapèze. Cela réside dans le fait que la différence entre les carrés des longueurs des diagonales est égale à la différence constituée des carrés des bases.

Souvent, les formules d'un trapèze sont oubliées, tandis que les expressions des aires d'un rectangle et d'un triangle sont mémorisées. Ensuite, vous pouvez utiliser une méthode simple. Divisez le trapèze en deux formes, s'il est rectangulaire, ou en trois. L'un sera certainement un rectangle et le second, ou les deux autres, seront des triangles. Après avoir calculé les aires de ces figures, il ne reste plus qu'à les additionner.

C'est un moyen assez simple de trouver l'aire d'un trapèze rectangulaire.

Et si les coordonnées des sommets du trapèze étaient connues ?

Dans ce cas, vous devrez utiliser une expression qui permettra de déterminer la distance entre les points. Il peut être appliqué trois fois : afin de connaître les deux bases et une hauteur. Et puis il suffit d'appliquer la première formule, décrite un peu plus haut.

Pour illustrer cette méthode, l’exemple suivant peut être donné. Étant donné les sommets de coordonnées A(5; 7), B(8; 7), C(10; 1), D(1; 1). Vous devez connaître l'aire de la figure.

Avant de trouver l'aire du trapèze, vous devez calculer les longueurs des bases à partir des coordonnées. Vous aurez besoin de la formule suivante :

longueur du segment = √((différence des premières coordonnées des points) 2 + (différence des secondes coordonnées des points) 2 ).

La base supérieure est désignée AB, ce qui signifie que sa longueur sera égale à √((8-5) 2 + (7-7) 2 ) = √9 = 3. La base inférieure est CD = √ ((10-1) 2 + (1-1 ) 2 ) = √81 = 9.

Vous devez maintenant tracer la hauteur du haut vers la base. Soit son début au point A. La fin du segment sera sur la base inférieure au point de coordonnées (5; 1), soit le point H. La longueur du segment AN sera égale à √((5 -5) 2 + (7-1) 2 ) = √36 = 6.

Il ne reste plus qu'à substituer les valeurs résultantes dans la formule de l'aire d'un trapèze :

S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.

Le problème a été résolu sans unités de mesure, car l'échelle de la grille de coordonnées n'était pas spécifiée. Cela peut être un millimètre ou un mètre.

Exemples de problèmes

N ° 1. État. L'angle entre les diagonales d'un trapèze arbitraire est connu : il est égal à 30 degrés. La plus petite diagonale a une valeur de 3 dm et la seconde est 2 fois plus grande. Il est nécessaire de calculer l'aire du trapèze.

Solution. Vous devez d’abord connaître la longueur de la deuxième diagonale, car sans cela, il ne sera pas possible de calculer la réponse. Ce n'est pas difficile à calculer, 3 * 2 = 6 (dm).

Vous devez maintenant utiliser la formule appropriée pour la surface :

S = ((3 * 6) / 2) * sin 30º = 18/2 * ½ = 4,5 (dm 2). Le problème est résolu.

Répondre: L'aire du trapèze est de 4,5 dm2.

N ° 2. État. Dans le trapèze ABCD, les bases sont les segments AD et BC. Le point E est le milieu du côté SD. On en trace une perpendiculaire à la droite AB, l'extrémité de ce segment est désignée par la lettre H. On sait que les longueurs AB et EH sont respectivement égales à 5 et 4 cm. Il faut calculer l'aire de ​​le trapèze.

Solution. Vous devez d’abord faire un dessin. Puisque la valeur de la perpendiculaire est inférieure au côté vers lequel elle est dessinée, le trapèze sera légèrement allongé vers le haut. EH sera donc à l’intérieur de la figure.

Pour voir clairement les progrès dans la résolution du problème, vous devrez effectuer une construction supplémentaire. A savoir, tracez une ligne droite qui sera parallèle au côté AB. Les points d'intersection de cette droite avec AD sont P, et avec la continuation de BC sont X. La figure résultante VHRA est un parallélogramme. De plus, sa superficie est égale à celle requise. Cela est dû au fait que les triangles obtenus lors de la construction supplémentaire sont égaux. Cela résulte de l'égalité du côté et de deux angles qui lui sont adjacents, l'un vertical, l'autre transversal.

Vous pouvez trouver l'aire d'un parallélogramme à l'aide d'une formule qui contient le produit du côté et de la hauteur abaissée sur celui-ci.

Ainsi, l'aire du trapèze est de 5 * 4 = 20 cm 2.

Répondre: S = 20 cm2.

N° 3. État.Éléments trapèze isocèle avoir les valeurs suivantes : base inférieure - 14 cm, supérieure - 4 cm, angle aigu - 45º. Vous devez calculer son aire.

Solution. Soit la plus petite base désignée BC. La hauteur tirée du point B sera appelée VH. Puisque l’angle est de 45º, le triangle ABH sera rectangulaire et isocèle. Donc AN=VN. De plus, AN est très facile à trouver. Elle est égale à la moitié de la différence des bases. Soit (14 - 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (cm).

Les bases sont connues, les hauteurs sont calculées. Vous pouvez utiliser la première formule, évoquée ici, pour un trapèze arbitraire.

S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (cm 2).

Répondre: La surface requise est de 45 cm 2.

N° 4. État. Il existe un trapèze arbitraire ABCD. Les points O et E sont pris sur ses côtés latéraux, de telle sorte que OE soit parallèle à la base de AD. La superficie du trapèze AOED est cinq fois plus grande que celle de l'OVSE. Calculez la valeur OE si les longueurs des bases sont connues.

Solution. Vous devrez tracer deux lignes parallèles AB : la première passant par le point C, son intersection avec OE - point T ; la seconde passant par E et le point d'intersection avec AD sera M.

Soit l'inconnu OE=x. La hauteur du plus petit trapèze OVSE est n 1, le plus grand AOED est n 2.

Puisque les aires de ces deux trapèzes sont liées entre 1 et 5, on peut écrire l’égalité suivante :

(x + une 2) * n 1 = 1/5 (x + une 1) * n 2

n 1 / n 2 = (x + une 1) / (5 (x + une 2)).

Les hauteurs et les côtés des triangles sont proportionnels par construction. Par conséquent, nous pouvons écrire une égalité supplémentaire :

n 1 / n 2 = (x - a 2) / (a ​​​​1 - x).

En deux dernières entrées sur le côté gauche se trouvent valeurs égales, ce qui signifie qu'on peut écrire que (x + a 1) / (5(x + a 2)) est égal à (x - a 2) / (a ​​​​1 - x).

Un certain nombre de transformations sont nécessaires ici. Multipliez d’abord en croix. Des parenthèses apparaîtront pour indiquer la différence des carrés, après avoir appliqué cette formule vous obtiendrez une courte équation.

Dans celui-ci, vous devez ouvrir les parenthèses et déplacer tous les termes avec le « x » inconnu vers la gauche, puis extraire la racine carrée.

Répondre: x = √ ((une 1 2 + 5 une 2 2) / 6).

Il existe de nombreuses façons de trouver l'aire d'un trapèze. Habituellement, un professeur de mathématiques connaît plusieurs méthodes pour le calculer, examinons-les plus en détail :
1) , où AD et BC sont les bases, et BH est la hauteur du trapèze. Preuve : tracez la diagonale BD et exprimez les aires des triangles ABD et CDB par le demi-produit de leurs bases et hauteurs :

, où DP est la hauteur extérieure en

Additionnons ces égalités terme à terme et compte tenu que les hauteurs BH et DP sont égales, on obtient :

Mettons-le hors parenthèses

Q.E.D.

Corollaire à la formule de l'aire d'un trapèze :
Puisque la demi-somme des bases est égale à MN - la ligne médiane du trapèze, alors

2) Application de la formule générale de l'aire d'un quadrilatère.
L'aire d'un quadrilatère est égale à la moitié du produit des diagonales multiplié par le sinus de l'angle qui les sépare
Pour le prouver, il suffit de diviser le trapèze en 4 triangles, d'exprimer l'aire de chacun en termes de « la moitié du produit des diagonales et du sinus de l'angle entre elles » (pris comme angle, ajouter le résultat expressions, sortez-les de la parenthèse et factorisez cette parenthèse en utilisant la méthode de regroupement pour obtenir son égalité avec l'expression.

3) Méthode de décalage diagonal
C'est mon nom. Un professeur de mathématiques ne rencontrera pas une telle rubrique dans les manuels scolaires. Une description de la technique ne peut être trouvée que dans des manuels comme exemple de résolution d'un problème. Je note que la plupart des éléments intéressants et faits utiles les professeurs de mathématiques planimétrie révèlent aux étudiants en train d'exécuter Travaux pratiques. Ceci est extrêmement sous-optimal, car l’étudiant doit les isoler dans des théorèmes distincts et les appeler « grands noms ». L’une d’elles est le « décalage diagonal ». De quoi s'agit-il? Traçons une droite parallèle à AC passant par le sommet B jusqu'à ce qu'elle coupe la base inférieure au point E. Dans ce cas, le quadrilatère EBCA sera un parallélogramme (par définition) et donc BC=EA et EB=AC. La première égalité est importante pour nous maintenant. Nous avons:

A noter que le triangle BED, dont l'aire est égale à l'aire du trapèze, possède plusieurs propriétés plus remarquables :
1) Son aire est égale à l'aire du trapèze
2) Son isocèle se produit simultanément avec l'isocèle du trapèze lui-même
3) Son angle supérieur au sommet B est égal à l'angle entre les diagonales du trapèze (qui est très souvent utilisé dans les problèmes)
4) Sa médiane BK est égale à la distance QS entre les milieux des bases du trapèze. J'ai récemment rencontré l'utilisation de cette propriété lors de la préparation d'un étudiant en mécanique et mathématiques à l'Université d'État de Moscou en utilisant le manuel de Tkachuk, version 1973 (le problème est indiqué en bas de page).

Techniques spéciales pour un professeur de mathématiques.

Parfois, je propose des problèmes en utilisant une manière très délicate de trouver l'aire d'un trapèze. Je la classe comme technique particulière car dans la pratique le tuteur les utilise extrêmement rarement. Si vous avez besoin d'une préparation à l'examen d'État unifié en mathématiques uniquement dans la partie B, vous n'êtes pas obligé de lire à ce sujet. Pour les autres, je vous en dirai plus. Il s'avère que l'aire du trapèze est doublée plus de superficie un triangle avec des sommets aux extrémités d'un côté et au milieu de l'autre, c'est-à-dire le triangle ABS sur la figure :
Preuve : tracez les hauteurs SM et SN dans les triangles BCS et ADS et exprimez la somme des aires de ces triangles :

Puisque le point S est le milieu de CD, alors (prouvez-le vous-même) Trouvez la somme des aires des triangles :

Puisque cette somme s'est avérée égale à la moitié de l'aire du trapèze, alors sa seconde moitié. Etc.

J'inclurais dans la collection de techniques spéciales du tuteur la forme de calcul de l'aire d'un trapèze isocèle le long de ses côtés : où p est le demi-périmètre du trapèze. Je ne donnerai pas de preuve. Sinon, votre professeur de mathématiques se retrouvera sans emploi :). Venez en classe !

Problèmes sur l'aire d'un trapèze :

Note du professeur de mathématiques: La liste ci-dessous n'est pas accompagnement méthodologique Pour le sujet, il ne s'agit que d'une petite sélection de problèmes intéressants utilisant les techniques décrites ci-dessus.

1) La base inférieure d'un trapèze isocèle est 13 et la base supérieure est 5. Trouvez l'aire du trapèze si sa diagonale est perpendiculaire au côté.
2) Trouvez l'aire d'un trapèze si ses bases mesurent 2 cm et 5 cm et ses côtés mesurent 2 cm et 3 cm.
3) Dans un trapèze isocèle, la plus grande base est 11, le côté est 5 et la diagonale est Trouvez l'aire du trapèze.
4) La diagonale d'un trapèze isocèle est 5 et la ligne médiane est 4. Trouvez l'aire.
5) Dans un trapèze isocèle, les bases sont 12 et 20 et les diagonales sont perpendiculaires entre elles. Calculer l'aire d'un trapèze
6) La diagonale d'un trapèze isocèle fait un angle avec sa base inférieure. Trouvez l'aire du trapèze si sa hauteur est de 6 cm.
7) L'aire du trapèze est de 20 et l'un de ses côtés mesure 4 cm. Trouvez la distance qui le sépare du milieu du côté opposé.
8) La diagonale d'un trapèze isocèle le divise en triangles d'aires 6 et 14. Trouvez la hauteur si le côté latéral est 4.
9) Dans un trapèze, les diagonales sont égales à 3 et 5, et le segment reliant les milieux des bases est égal à 2. Trouver l'aire du trapèze (Mekhmat MSU, 1970).

Je n'ai pas choisi les problèmes les plus difficiles (n'ayez pas peur de la mécanique et des mathématiques !) en espérant qu'ils seraient possibles décision indépendante. Décidez pour votre santé ! Si vous avez besoin d'une préparation à l'examen d'État unifié en mathématiques, alors sans la participation de la formule de l'aire d'un trapèze dans ce processus, de graves problèmes peuvent survenir même avec le problème B6 et encore plus avec C4. Ne démarrez pas le sujet et en cas de difficultés, demandez de l'aide. Un professeur de mathématiques est toujours heureux de vous aider.

Kolpakov A.N.
Professeur de mathématiques à Moscou, préparation à l'examen d'État unifié à Strogino.

ET . Nous pouvons maintenant commencer à examiner la question de savoir comment trouver l'aire d'un trapèze. Cette tâche se pose très rarement dans la vie quotidienne, mais il s'avère parfois nécessaire, par exemple, de trouver la superficie d'une pièce en forme de trapèze, qui est de plus en plus utilisée dans la construction d'appartements modernes, ou dans concevoir des projets de rénovation.

Le trapèze est figure géométrique, formé de quatre segments qui se croisent, dont deux sont parallèles entre eux et sont appelés bases d'un trapèze. Les deux autres segments sont appelés les côtés du trapèze. De plus, nous aurons besoin d’une autre définition plus tard. Il s'agit de la ligne médiane du trapèze, qui est un segment reliant les milieux des côtés et la hauteur du trapèze, qui est égale à la distance entre les bases.
Comme les triangles, les trapèzes ont des types spéciaux sous la forme d'un trapèze isocèle (à côtés égaux), dans lequel les longueurs des côtés sont les mêmes, et d'un trapèze rectangulaire, dans lequel l'un des côtés forme un angle droit avec les bases.

Les trapèzes ont des propriétés intéressantes :

1. La ligne médiane du trapèze est égale à la moitié de la somme des bases et leur est parallèle.
   
2. Les trapèzes isocèles ont des côtés égaux et les angles qu'ils forment avec les bases.
   
3. Les milieux des diagonales d'un trapèze et le point d'intersection de ses diagonales sont sur la même droite.
   
4. Si la somme des côtés d'un trapèze est égale à la somme des bases, alors un cercle peut y être inscrit
   
5. Si la somme des angles formés par les côtés d'un trapèze à l'une de ses bases est de 90, alors la longueur du segment reliant les milieux des bases est égale à leur demi-différence.
   
6. Un trapèze isocèle peut être décrit par un cercle. Et vice versa. Si un trapèze s’inscrit dans un cercle, alors il est isocèle.
   
7. Le segment passant par les milieux des bases d'un trapèze isocèle sera perpendiculaire à ses bases et représente l'axe de symétrie.
   

Comment trouver l'aire d'un trapèze.

L'aire du trapèze sera égale à la moitié de la somme de ses bases multipliée par sa hauteur. Sous forme de formule, cela s'écrit sous la forme d'une expression :

où S est l'aire du trapèze, a, b est la longueur de chacune des bases du trapèze, h est la hauteur du trapèze.

Vous pouvez également décomposer n'importe quel trapèze en figures plus simples : un rectangle et un ou deux triangles, et si c'est plus facile pour vous, alors trouvez l'aire du trapèze comme la somme des aires de ses figures constitutives.

Il existe une autre formule simple pour calculer sa superficie. Selon lui, l'aire d'un trapèze est égale au produit de sa ligne médiane par la hauteur du trapèze et s'écrit sous la forme : S = m*h, où S est l'aire, m est la longueur du ligne médiane, h est la hauteur du trapèze. Cette formule plus adapté aux problèmes mathématiques qu'aux problèmes quotidiens, car dans des conditions réelles, vous ne connaîtrez pas la longueur de la ligne médiane sans calculs préalables. Et vous ne connaîtrez que les longueurs des bases et des côtés.

Dans ce cas, l'aire du trapèze peut être trouvée à l'aide de la formule :

S = ((a+b)/2)*√c 2 -((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2

où S est l'aire, a, b sont les bases, c, d sont les côtés du trapèze.

Il existe plusieurs autres façons de trouver l'aire d'un trapèze. Mais elles sont à peu près aussi gênantes que la dernière formule, ce qui signifie qu’il ne sert à rien de s’y attarder. Par conséquent, nous vous recommandons d’utiliser la première formule de l’article et souhaitons toujours obtenir des résultats précis.

En mathématiques, plusieurs types de quadrilatères sont connus : carré, rectangle, losange, parallélogramme. Parmi eux se trouve un trapèze – un type de quadrilatère convexe dans lequel deux côtés sont parallèles et les deux autres ne le sont pas. Les côtés opposés parallèles sont appelés les bases et les deux autres sont appelés les côtés latéraux du trapèze. Le segment qui relie les milieux des côtés s’appelle la ligne médiane. Il existe plusieurs types de trapèzes : isocèles, rectangulaires, courbes. Pour chaque type de trapèze, il existe des formules permettant de trouver l'aire.

Aire du trapèze

Pour trouver l'aire d'un trapèze, vous devez connaître la longueur de ses bases et sa hauteur. La hauteur d'un trapèze est le segment perpendiculaire aux bases. Soit la base supérieure a, la base inférieure b et la hauteur h. Ensuite, vous pouvez calculer l'aire S à l'aide de la formule :

S = ½ * (a+b) *h

ceux. prenez la moitié de la somme des bases multipliée par la hauteur.

Il sera également possible de calculer l'aire du trapèze si la hauteur et la ligne médiane sont connues. Notons la ligne médiane - m. Alors

Résolvons un problème plus compliqué : les longueurs des quatre côtés du trapèze sont connues - a, b, c, d. Ensuite, l'aire sera trouvée à l'aide de la formule :

Si les longueurs des diagonales et l'angle entre elles sont connus, alors la zone est recherchée comme suit :

S = ½ * d1 * d2 * péché α

où d avec les indices 1 et 2 sont des diagonales. Dans cette formule, le sinus de l'angle est donné dans le calcul.

Compte tenu des longueurs connues des bases a et b et des deux angles à la base inférieure, l'aire est calculée comme suit :

S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))

Aire d'un trapèze isocèle

Un trapèze isocèle est cas particulier trapèzes. Sa différence est qu'un tel trapèze est un quadrilatère convexe dont l'axe de symétrie passe par les milieux de deux côtés opposés. Ses côtés sont égaux.

Il existe plusieurs façons de trouver l'aire d'un trapèze isocèle.

• Sur les longueurs de trois côtés. Dans ce cas, les longueurs des côtés coïncideront, elles sont donc désignées par une valeur - c, et a et b - les longueurs des bases :

• Si la longueur de la base supérieure, le côté et l'angle à la base inférieure sont connus, alors l'aire est calculée comme suit :

S = c * sin α * (a + c * cos α)

où a est la base supérieure, c est le côté.

• Si au lieu de la base supérieure, la longueur de la base inférieure est connue - b, l'aire est calculée à l'aide de la formule :

S = c * sin α * (b – c * cos α)

• Si, lorsque deux bases et l'angle à la base inférieure sont connus, l'aire est calculée par la tangente de l'angle :

S = ½ * (b2 – a2) * bronzage α

• L'aire est également calculée à travers les diagonales et l'angle qui les sépare. Dans ce cas, les diagonales sont de longueur égale, nous désignons donc chacune par la lettre d sans indice :

S = ½ * d2 * péché α

• Calculons l'aire du trapèze, connaissant la longueur du côté, la ligne médiane et l'angle à la base inférieure.

Soit le côté latéral c, la ligne médiane m et l'angle a, alors :

S = m * c * péché α

Parfois, on peut inscrire un cercle dans un trapèze équilatéral dont le rayon sera r.

On sait qu'un cercle peut s'inscrire dans n'importe quel trapèze si la somme des longueurs des bases est égale à la somme des longueurs de ses côtés. Ensuite, l'aire peut être trouvée grâce au rayon du cercle inscrit et à l'angle à la base inférieure :

S = 4r2 / péché α

Le même calcul est fait en utilisant le diamètre D du cercle inscrit (d'ailleurs, il coïncide avec la hauteur du trapèze) :

Connaissant la base et l'angle, l'aire d'un trapèze isocèle est calculée comme suit :

S = a * b / péché α

(cette formule et les suivantes ne sont valables que pour les trapèzes avec un cercle inscrit).

En utilisant les bases et le rayon du cercle, l’aire est trouvée comme suit :

Si seules les bases sont connues, alors l'aire est calculée à l'aide de la formule :

À travers les bases et la ligne latérale, l'aire du trapèze avec le cercle inscrit et à travers les bases et la ligne médiane - m est calculée comme suit :

Aire d'un trapèze rectangulaire

Un trapèze est dit rectangulaire si l'un de ses côtés est perpendiculaire à la base. Dans ce cas, la longueur du côté coïncide avec la hauteur du trapèze.

Un trapèze rectangulaire est constitué d'un carré et d'un triangle. Après avoir trouvé l'aire de chacune des figures, additionnez les résultats et obtenez superficie totale Les figures.

De plus, les formules générales de calcul de l'aire d'un trapèze conviennent au calcul de l'aire d'un trapèze rectangulaire.

• Si les longueurs des bases et la hauteur (ou le côté perpendiculaire) sont connues, alors l'aire est calculée à l'aide de la formule :

S = (une + b) * h / 2

Le côté latéral c peut faire office de h (hauteur). La formule ressemble alors à ceci :

S = (une + b) * c / 2

• Une autre façon de calculer la superficie consiste à multiplier la longueur de la ligne médiane par la hauteur :

ou par la longueur du côté latéral perpendiculaire :

• La façon suivante de calculer consiste à utiliser la moitié du produit des diagonales et le sinus de l'angle qui les sépare :

S = ½ * d1 * d2 * péché α

Si les diagonales sont perpendiculaires, alors la formule se simplifie comme suit :

S = ½ * d1 * d2

• Une autre façon de calculer consiste à utiliser le demi-périmètre (la somme des longueurs de deux côtés opposés) et le rayon du cercle inscrit.

Cette formule est valable pour les bases. Si l'on prend les longueurs des côtés, alors l'un d'eux sera égal à deux fois le rayon. La formule ressemblera à ceci :

S = (2r + c) *r

• Si un cercle est inscrit dans un trapèze, alors l'aire est calculée de la même manière :

où m est la longueur de la ligne médiane.

Aire d'un trapèze courbe

Un trapèze courbé est silhouette plate, limité par le graphique des non négatifs fonction continue y = f(x), défini sur le segment , l'axe des abscisses et les droites x = a, x = b. Essentiellement, deux de ses côtés sont parallèles entre eux (les bases), le troisième côté est perpendiculaire aux bases et le quatrième est une courbe correspondant au graphique de la fonction.

L'aire d'un trapèze curviligne est recherchée par l'intégrale à l'aide de la formule de Newton-Leibniz :

Voici comment les superficies sont calculées divers types trapèze. Mais, en plus des propriétés des côtés, les trapèzes ont les mêmes propriétés d'angles. Comme tous les quadrilatères existants, la somme des angles intérieurs d’un trapèze est de 360 ​​degrés. Et la somme des angles adjacents au côté est de 180 degrés.