Comment trouver l'aire d'un triangle si le sinus est connu. Aire d'un triangle

En termes simples, ce sont des légumes cuits dans l'eau selon recette spéciale. Je considérerai deux composants initiaux (salade de légumes et eau) et le résultat final - le bortsch. Géométriquement, il peut être considéré comme un rectangle, avec un côté représentant la laitue et l’autre côté représentant l’eau. La somme de ces deux côtés indiquera le bortsch. La diagonale et l'aire d'un tel rectangle « bortsch » sont purement concepts mathématiques et ne sont jamais utilisés dans les recettes de bortsch.

Vous ne trouverez rien sur les fonctions angulaires linéaires dans les manuels de mathématiques. Mais sans eux, il ne peut y avoir de mathématiques. Les lois des mathématiques, comme les lois de la nature, fonctionnent que nous connaissions ou non leur existence.

Les fonctions angulaires linéaires sont des lois d'addition. Voyez comment l'algèbre se transforme en géométrie et la géométrie en trigonométrie.

Est-il possible de se passer de fonctions angulaires linéaires ? C’est possible, car les mathématiciens s’en sortent encore sans eux. Le truc des mathématiciens est qu'ils ne nous parlent toujours que des problèmes qu'ils savent eux-mêmes résoudre, et ne parlent jamais des problèmes qu'ils ne peuvent pas résoudre. Regarder. Si nous connaissons le résultat de l’addition et d’un terme, nous utilisons la soustraction pour trouver l’autre terme. Tous. Nous ne connaissons pas d’autres problèmes et nous ne savons pas comment les résoudre. Que devons-nous faire si nous ne connaissons que le résultat de l’addition et ne connaissons pas les deux termes ? Dans ce cas, le résultat de l’addition doit être décomposé en deux termes à l’aide de fonctions angulaires linéaires. Ensuite, nous choisissons nous-mêmes ce que peut être un terme, et les fonctions angulaires linéaires montrent ce que devrait être le deuxième terme afin que le résultat de l'addition soit exactement ce dont nous avons besoin. Il peut exister un nombre infini de telles paires de termes. DANS Vie courante Nous pouvons très bien faire sans décomposer la somme : la soustraction nous suffit. Mais quand recherche scientifique lois de la nature, décomposer une somme en ses composants peut être très utile.

Une autre loi d'addition dont les mathématiciens n'aiment pas parler (une autre de leurs astuces) exige que les termes aient les mêmes unités de mesure. Pour la salade, l’eau et le bortsch, il peut s’agir d’unités de poids, de volume, de valeur ou d’unité de mesure.

La figure montre deux niveaux de différence pour les mathématiques. Le premier niveau concerne les différences dans le domaine des nombres, qui sont indiquées un, b, c. C'est ce que font les mathématiciens. Le deuxième niveau concerne les différences dans le domaine des unités de mesure, qui sont indiquées entre crochets et indiquées par la lettre U. C'est ce que font les physiciens. Nous pouvons comprendre le troisième niveau - les différences dans la zone des objets décrits. Différents objets peuvent avoir le même nombre d'unités de mesure identiques. À quel point cela est important, nous pouvons le voir dans l'exemple de la trigonométrie du bortsch. Si nous ajoutons des indices à la même désignation d'unités de mesure de différents objets, nous pouvons dire exactement lequel quantité mathématique décrit un objet spécifique et comment il évolue au fil du temps ou en raison de nos actions. Lettre W Je désignerai l'eau avec une lettre S Je désignerai la salade avec une lettre B- du bortsch. Voici à quoi ressembleront les fonctions angulaires linéaires du bortsch.

Si nous prenons une partie de l'eau et une partie de la salade, elles se transformeront ensemble en une portion de bortsch. Ici, je vous propose de faire une petite pause dans le bortsch et de vous souvenir de votre enfance lointaine. Vous souvenez-vous de la façon dont on nous a appris à assembler des lapins et des canards ? Il fallait trouver combien d'animaux il y aurait. Qu’est-ce qu’on nous a appris à faire alors ? On nous a appris à séparer les unités de mesure des nombres et à additionner les nombres. Oui, n’importe quel numéro peut être ajouté à n’importe quel autre numéro. C'est un chemin direct vers l'autisme des mathématiques modernes - nous faisons de manière incompréhensible quoi, de manière incompréhensible pourquoi, et comprenons très mal comment cela se rapporte à la réalité, en raison des trois niveaux de différence, les mathématiciens opèrent avec un seul. Il serait plus correct d'apprendre à passer d'une unité de mesure à une autre.

Les lapins, les canards et les petits animaux peuvent être comptés en morceaux. Une unité de mesure commune à différents objets nous permet de les additionner. Ce version pour enfants Tâches. Examinons un problème similaire pour les adultes. Qu'obtenez-vous lorsque vous ajoutez des lapins et de l'argent ? Il y a ici deux solutions possibles.

Première option. Nous déterminons la valeur marchande des lapins et l’ajoutons au montant d’argent disponible. Nous avons obtenu la valeur totale de notre richesse en termes monétaires.

Deuxième option. Vous pouvez ajouter le nombre de lapins au nombre de billets dont nous disposons. Nous recevrons le montant des biens meubles en morceaux.

Comme vous pouvez le constater, la même loi d’addition permet d’obtenir des résultats différents. Tout dépend de ce que nous voulons savoir exactement.

Mais revenons à notre bortsch. Nous pouvons maintenant voir ce qui se passera lorsque différentes significations angle des fonctions angulaires linéaires.

L'angle est nul. Nous avons de la salade, mais pas d'eau. Nous ne pouvons pas cuisiner du bortsch. La quantité de bortsch est également nulle. Cela ne veut pas du tout dire que zéro bortsch équivaut à zéro eau. Il peut y avoir zéro bortsch avec zéro salade (angle droit).

Pour moi personnellement, c'est la principale preuve mathématique du fait que . Zéro ne change pas le nombre une fois ajouté. Cela se produit parce que l’addition elle-même est impossible s’il n’y a qu’un seul terme et que le deuxième terme manque. Vous pouvez ressentir cela comme bon vous semble, mais rappelez-vous : tout opérations mathématiques les mathématiciens eux-mêmes ont inventé zéro, alors jetez votre logique et bourrez bêtement les définitions inventées par les mathématiciens : « la division par zéro est impossible », « tout nombre multiplié par zéro est égal à zéro », « au-delà de la perforation du point est zéro » et d'autres absurdités. Il suffit de se rappeler une fois que zéro n'est pas un nombre, et vous ne vous poserez plus jamais la question de savoir si zéro est un nombre naturel ou non, car une telle question perd tout sens : comment quelque chose qui n'est pas un nombre peut-il être considéré comme un nombre. ? C'est comme demander dans quelle couleur une couleur invisible doit être classée. Ajouter un zéro à un nombre équivaut à peindre avec de la peinture qui n’est pas là. Nous avons agité un pinceau sec et avons dit à tout le monde que « nous avions peint ». Mais je m'éloigne un peu.

L'angle est supérieur à zéro mais inférieur à quarante-cinq degrés. Nous avons beaucoup de laitue, mais pas assez d'eau. En conséquence, nous obtiendrons du bortsch épais.

L'angle est de quarante-cinq degrés. Nous avons des quantités égales d'eau et de salade. C'est le bortsch parfait (pardonnez-moi, chefs, ce ne sont que des mathématiques).

L'angle est supérieur à quarante-cinq degrés, mais inférieur à quatre-vingt-dix degrés. Nous avons beaucoup d'eau et peu de salade. Vous obtiendrez du bortsch liquide.

Angle droit. Nous avons de l'eau. Tout ce qui reste de la salade, ce sont des souvenirs, alors que nous continuons à mesurer l'angle à partir de la ligne qui marquait autrefois la salade. Nous ne pouvons pas cuisiner du bortsch. La quantité de bortsch est nulle. Dans ce cas, tenez bon et buvez de l'eau pendant que vous en avez)))

Ici. Quelque chose comme ça. Je peux raconter ici d’autres histoires qui seraient plus que appropriées ici.

Deux amis avaient leur part dans une entreprise commune. Après avoir tué l'un d'eux, tout est allé à l'autre.

L'émergence des mathématiques sur notre planète.

Toutes ces histoires sont racontées dans le langage mathématique à l’aide de fonctions angulaires linéaires. Une autre fois, je vous montrerai la place réelle de ces fonctions dans la structure des mathématiques. En attendant, revenons à la trigonométrie du bortsch et considérons les projections.

samedi 26 octobre 2019

J'ai regardé une vidéo intéressante sur Série Grundy Un moins un plus un moins un - Numberphile. Les mathématiciens mentent. Ils n’ont pas effectué de contrôle d’égalité lors de leur raisonnement.

Cela fait écho à mes réflexions sur .

Examinons de plus près les signes que les mathématiciens nous trompent. Au tout début de l’argumentation, les mathématiciens disent que la somme d’une séquence DÉPEND du fait qu’elle comporte ou non un nombre pair d’éléments. Il s’agit d’un fait OBJECTIVEMENT ÉTABLI. Que se passe-t-il ensuite ?

Ensuite, les mathématiciens soustraient la séquence de l’unité. A quoi cela conduit-il ? Cela conduit à une modification du nombre d'éléments de la séquence - un nombre pair se transforme en nombre impair, un nombre impair se transforme en nombre pair. Après tout, nous avons ajouté un élément égal à un à la séquence. Malgré toute la similitude externe, la séquence avant la transformation n'est pas égale à la séquence après la transformation. Même si nous parlons d’une séquence infinie, nous devons nous rappeler qu’une séquence infinie avec un nombre impair d’éléments n’est pas égale à une séquence infinie avec un nombre pair d’éléments.

En mettant un signe égal entre deux suites comportant des nombres d'éléments différents, les mathématiciens prétendent que la somme de la suite NE DÉPEND PAS du nombre d'éléments dans la suite, ce qui contredit un FAIT OBJECTIVEMENT ÉTABLI. Tout autre raisonnement sur la somme d’une séquence infinie est faux, car il repose sur une fausse égalité.

Si vous voyez que des mathématiciens, au cours de preuves, placent des parenthèses, réorganisent des éléments d'une expression mathématique, ajoutent ou suppriment quelque chose, soyez très prudent, ils essaient très probablement de vous tromper. Comme les magiciens des cartes, les mathématiciens utilisent diverses manipulations avec des expressions pour détourner votre attention afin de éventuellement vous échapper. faux résultat. Si vous ne pouvez pas répéter un tour de cartes sans connaître le secret de la tromperie, alors en mathématiques tout est beaucoup plus simple : vous ne vous doutez même pas de la tromperie, mais répéter toutes les manipulations avec une expression mathématique vous permet de convaincre les autres de l'exactitude de le résultat obtenu, tout comme lorsqu'ils vous ont convaincu.

Question du public : L'infini (comme le nombre d'éléments dans la séquence S) est-il pair ou impair ? Comment changer la parité de quelque chose qui n’a pas de parité ?

L'infini est pour les mathématiciens, comme le Royaume des Cieux est pour les prêtres - personne n'y est jamais allé, mais tout le monde sait exactement comment tout y fonctionne))) Je suis d'accord, après la mort, vous serez absolument indifférent que vous ayez vécu un nombre pair ou impair de jours, mais... En ajoutant juste un jour au début de votre vie, nous obtiendrons une personne complètement différente : son nom, son prénom et son patronyme sont exactement les mêmes, seule la date de naissance est complètement différente - il était né un jour avant toi.

Venons-en maintenant au fait))) Disons qu’une suite finie qui a une parité perd cette parité en allant vers l’infini. Alors tout segment fini d’une séquence infinie doit perdre la parité. Nous ne voyons pas cela. Le fait qu’on ne puisse pas dire avec certitude si une séquence infinie comporte un nombre pair ou impair d’éléments ne signifie pas que la parité a disparu. La parité, si elle existe, ne peut disparaître sans laisser de trace à l’infini, comme dans la manche d’un Sharpie. Il existe une très bonne analogie pour ce cas.

Avez-vous déjà demandé au coucou assis dans l'horloge dans quel sens l'aiguille de l'horloge tourne ? Pour elle, la flèche tourne dans le sens inverse de ce que l’on appelle « les aiguilles d’une montre ». Aussi paradoxal que cela puisse paraître, le sens de rotation dépend uniquement du côté depuis lequel on observe la rotation. Et donc, nous avons une roue qui tourne. Nous ne pouvons pas dire dans quelle direction se produit la rotation, puisque nous pouvons l'observer à la fois d'un côté du plan de rotation et de l'autre. Nous pouvons seulement témoigner du fait qu'il y a rotation. Analogie complète avec la parité d'une séquence infinie S.

Ajoutons maintenant une deuxième roue tournante dont le plan de rotation est parallèle au plan de rotation de la première roue tournante. Nous ne pouvons toujours pas dire avec certitude dans quel sens ces roues tournent, mais nous pouvons absolument dire si les deux roues tournent dans le même sens ou dans le sens opposé. Comparer deux séquences infinies S Et 1-S, j'ai montré à l'aide des mathématiques que ces suites ont des parités différentes et mettre un signe égal entre elles est une erreur. Personnellement, je fais confiance aux mathématiques, je ne fais pas confiance aux mathématiciens))) D'ailleurs, pour bien comprendre la géométrie des transformations de séquences infinies, il faut introduire le concept "simultanéité". Cela devra être dessiné.

mercredi 7 août 2019

Pour conclure la conversation, nous devons considérer un ensemble infini. Le fait est que le concept « d’infini » affecte les mathématiciens comme un boa constrictor affecte un lapin. L'horreur tremblante de l'infini prive les mathématiciens bon sens. Voici un exemple :

La source originale est localisée. Alpha signifie nombre réel. Le signe égal dans les expressions ci-dessus indique que si vous ajoutez un nombre ou l'infini à l'infini, rien ne changera, le résultat sera le même infini. Si nous prenons l'ensemble infini comme exemple nombres naturels, alors les exemples considérés peuvent être présentés comme suit :

Pour prouver clairement qu’ils avaient raison, les mathématiciens ont imaginé de nombreuses méthodes différentes. Personnellement, je considère toutes ces méthodes comme des chamanes dansant avec des tambourins. En gros, tout se résume au fait que soit certaines chambres sont inoccupées et que de nouveaux invités emménagent, soit que certains visiteurs sont jetés dans le couloir pour faire de la place aux invités (très humainement). J'ai présenté mon point de vue sur de telles décisions sous la forme d'une histoire fantastique sur la Blonde. Sur quoi se base mon raisonnement ? Déplacer un nombre infini de visiteurs prend un temps infini. Après avoir libéré la première chambre pour un invité, l'un des visiteurs parcourra toujours le couloir de sa chambre à la suivante jusqu'à la fin des temps. Bien sûr, le facteur temps peut être bêtement ignoré, mais cela entrera dans la catégorie « aucune loi n’est écrite pour les imbéciles ». Tout dépend de ce que nous faisons : ajuster la réalité à théories mathématiques ou vice versa.

Qu’est-ce qu’un « hôtel sans fin » ? Un hôtel infini est un hôtel qui a toujours n'importe quelle quantité places gratuites, quel que soit le nombre de pièces occupées. Si toutes les pièces du couloir sans fin « visiteurs » sont occupées, il y a un autre couloir sans fin avec des chambres « invités ». Il y aura un nombre infini de ces couloirs. De plus, « l’hôtel infini » possède un nombre infini d’étages dans un nombre infini de bâtiments sur un nombre infini de planètes dans un nombre infini d’univers créés par un nombre infini de dieux. Les mathématiciens ne parviennent pas à se distancier des problèmes banals du quotidien : il n'y a toujours qu'un seul Dieu-Allah-Bouddha, il n'y a qu'un seul hôtel, il n'y a qu'un seul couloir. Les mathématiciens tentent donc de jongler avec les numéros de série des chambres d’hôtel, nous convainquant qu’il est possible de « mettre l’impossible ».

Je vais vous démontrer la logique de mon raisonnement en utilisant l'exemple d'un ensemble infini de nombres naturels. Vous devez d’abord répondre à une question très simple : combien y a-t-il d’ensembles de nombres naturels – un ou plusieurs ? Il n’y a pas de réponse correcte à cette question, puisque nous avons nous-mêmes inventé les nombres ; les nombres n’existent pas dans la nature. Oui, la Nature sait très bien compter, mais pour cela, elle utilise d'autres outils mathématiques qui ne nous sont pas familiers. Je vous dirai ce que pense la nature une autre fois. Depuis que nous avons inventé les nombres, nous déciderons nous-mêmes du nombre d’ensembles de nombres naturels. Considérons les deux options, comme il sied aux vrais scientifiques.

Première option. « Donnons-nous » un seul ensemble de nombres naturels, qui repose sereinement sur l'étagère. Nous retirons cet ensemble de l'étagère. Ça y est, il n'y a plus d'autres nombres naturels sur l'étagère et nulle part où les prendre. Nous ne pouvons pas en ajouter un à cet ensemble, puisque nous l’avons déjà. Et si tu le voulais vraiment ? Aucun problème. Nous pouvons en prendre un dans l'ensemble que nous avons déjà pris et le remettre sur l'étagère. Après cela, nous pouvons en prendre un sur l’étagère et l’ajouter à ce qu’il nous reste. En conséquence, nous obtiendrons à nouveau un ensemble infini de nombres naturels. Vous pouvez noter toutes nos manipulations comme ceci :

J'ai enregistré les actions dans système algébrique notation et dans le système de notation adopté en théorie des ensembles, avec une liste détaillée des éléments de l'ensemble. L’indice indique que nous avons un seul et unique ensemble de nombres naturels. Il s'avère que l'ensemble des nombres naturels ne restera inchangé que si un y est soustrait et que la même unité est ajoutée.

Deuxième option. Nous avons de nombreux ensembles infinis de nombres naturels sur notre étagère. J'insiste - DIFFÉRENTS, malgré le fait qu'ils soient pratiquement impossibles à distinguer. Prenons un de ces ensembles. Ensuite, nous en prenons un dans un autre ensemble de nombres naturels et l’ajoutons à l’ensemble que nous avons déjà pris. Nous pouvons même additionner deux ensembles de nombres naturels. Voici ce que nous obtenons :

Les indices « un » et « deux » indiquent que ces éléments appartenaient à des ensembles différents. Oui, si vous en ajoutez un à un ensemble infini, le résultat sera également un ensemble infini, mais il ne sera pas le même que l'ensemble d'origine. Si vous ajoutez un autre ensemble infini à un ensemble infini, le résultat est un nouvel ensemble infini composé des éléments des deux premiers ensembles.

L’ensemble des nombres naturels est utilisé pour compter de la même manière qu’une règle l’est pour mesurer. Imaginez maintenant que vous ayez ajouté un centimètre à la règle. Ce sera une ligne différente, non égale à celle d'origine.

Vous pouvez accepter ou non mon raisonnement – ​​c’est votre affaire. Mais si un jour tu tombes sur Problèmes mathématiques, demandez-vous si vous suivez le chemin du faux raisonnement emprunté par des générations de mathématiciens. Après tout, l'étude des mathématiques forme tout d'abord en nous un stéréotype stable de pensée, et ne fait qu'ajouter à nos capacités mentales (ou, à l'inverse, nous prive de libre pensée).

pozg.ru

dimanche 4 août 2019

Je terminais le post-scriptum d'un article sur et j'ai vu ce merveilleux texte sur Wikipédia :

On lit : "... riche base théorique Les mathématiques de Babylone n'avaient pas un caractère holistique et étaient réduites à un ensemble de techniques disparates, dépourvues de système commun et une base de preuves.

Ouah! À quel point nous sommes intelligents et à quel point nous pouvons voir les défauts des autres. Est-il difficile pour nous d’envisager les mathématiques modernes dans le même contexte ? En paraphrasant légèrement le texte ci-dessus, j'ai personnellement obtenu ce qui suit :

La riche base théorique des mathématiques modernes n’est pas de nature holistique et est réduite à un ensemble de sections disparates, dépourvues d’un système commun et d’une base de preuves.

Je n'irai pas loin pour confirmer mes propos - il a un langage et des conventions qui sont différents du langage et symboles de nombreuses autres branches des mathématiques. Les mêmes noms dans différentes branches des mathématiques peuvent avoir des significations différentes. Je souhaite consacrer toute une série de publications aux erreurs les plus évidentes des mathématiques modernes. À bientôt.

Samedi 3 août 2019

Comment diviser un ensemble en sous-ensembles ? Pour ce faire, vous devez saisir une nouvelle unité de mesure présente dans certains des éléments de l'ensemble sélectionné. Regardons un exemple.

Puissions-nous en avoir beaucoup UN composé de quatre personnes. Cet ensemble est formé à partir de « personnes ». Désignons les éléments de cet ensemble par la lettre UN, l'indice avec un numéro indiquera le numéro de série de chaque personne de cet ensemble. Introduisons une nouvelle unité de mesure « sexe » et désignons-la par la lettre b. Puisque les caractéristiques sexuelles sont inhérentes à toutes les personnes, nous multiplions chaque élément de l'ensemble UN basé sur le sexe b. Notez que notre ensemble de « personnes » est désormais devenu un ensemble de « personnes ayant des caractéristiques de genre ». Après cela, nous pouvons diviser les caractéristiques sexuelles en mâles bm et des femmes pc caractéristiques sexuelles. Nous pouvons maintenant appliquer un filtre mathématique : nous sélectionnons l'une de ces caractéristiques sexuelles, peu importe laquelle - masculine ou féminine. Si une personne l'a, alors nous le multiplions par un, s'il n'y a pas un tel signe, nous le multiplions par zéro. Et puis nous utilisons l'habituel mathématiques à l'école. Regardez ce qui s'est passé.

Après multiplication, réduction et réarrangement, nous nous retrouvons avec deux sous-ensembles : le sous-ensemble des hommes Bm et un sous-ensemble de femmes PC. Les mathématiciens raisonnent à peu près de la même manière lorsqu’ils appliquent la théorie des ensembles dans la pratique. Mais ils ne nous donnent pas les détails, mais nous donnent le résultat final : « beaucoup de gens sont constitués d’un sous-ensemble d’hommes et d’un sous-ensemble de femmes ». Naturellement, vous vous posez peut-être une question : dans quelle mesure les mathématiques ont-elles été appliquées correctement dans les transformations décrites ci-dessus ? J'ose vous assurer que tout a été fait correctement, pour l'essentiel, il suffit de connaître les bases mathématiques de l'arithmétique, de l'algèbre booléenne et d'autres branches des mathématiques. Ce que c'est? Une autre fois, je vous en parlerai.

Quant aux supersets, vous pouvez combiner deux ensembles en un seul surensemble en sélectionnant l'unité de mesure présente dans les éléments de ces deux ensembles.

Comme vous pouvez le constater, les unités de mesure et les mathématiques ordinaires font de la théorie des ensembles une relique du passé. Un signe que tout ne va pas bien avec la théorie des ensembles est que les mathématiciens ont mis au point leur propre langage et leur propre notation pour la théorie des ensembles. Les mathématiciens agissaient comme les chamans le faisaient autrefois. Seuls les chamanes savent appliquer « correctement » leur « savoir ». Ils nous enseignent cette « connaissance ».

En conclusion, je veux vous montrer comment les mathématiciens manipulent
Disons qu'Achille court dix fois plus vite que la tortue et se trouve mille pas derrière elle. Pendant le temps qu'il faudra à Achille pour parcourir cette distance, la tortue fera cent pas dans la même direction. Quand Achille fait cent pas, la tortue rampe encore dix pas, et ainsi de suite. Le processus se poursuivra à l'infini, Achille ne rattrapera jamais la tortue.

Ce raisonnement est devenu un choc logique pour toutes les générations suivantes. Aristote, Diogène, Kant, Hegel, Hilbert... Tous ont considéré, d'une manière ou d'une autre, l'aporie de Zénon. Le choc a été si fort que " ...les discussions se poursuivent encore aujourd'hui pour parvenir à une opinion commune sur l'essence des paradoxes communauté scientifique jusqu'à présent, cela n'a pas été possible... nous avons été impliqués dans l'étude de la question analyse mathematique, théorie des ensembles, nouvelles approches physiques et philosophiques ; aucun d'entre eux n'est devenu une solution généralement acceptée au problème..."[Wikipédia, "L'aporie de Zeno". Tout le monde comprend qu'il se fait berner, mais personne ne comprend en quoi consiste la tromperie.

D'un point de vue mathématique, Zénon dans son aporie a clairement démontré le passage de la quantité à . Cette transition implique des applications plutôt que des applications permanentes. D’après ce que je comprends, l’appareil mathématique permettant d’utiliser des unités de mesure variables n’a pas encore été développé, ou bien il n’a pas été appliqué à l’aporie de Zénon. Appliquer notre logique habituelle nous conduit dans un piège. En raison de l'inertie de la pensée, nous appliquons des unités de temps constantes à la valeur réciproque. D'un point de vue physique, cela ressemble à un temps qui ralentit jusqu'à s'arrêter complètement au moment où Achille rattrape la tortue. Si le temps s'arrête, Achille ne peut plus distancer la tortue.

Si l’on renverse notre logique habituelle, tout se met en place. Achille court à une vitesse constante. Chaque segment suivant de son chemin est dix fois plus court que le précédent. Ainsi, le temps consacré à le surmonter est dix fois inférieur au précédent. Si nous appliquons le concept « d'infini » dans cette situation, alors il serait correct de dire « Achille rattrapera la tortue infiniment rapidement ».

Comment éviter ce piège logique ? Restez en unités de temps constantes et ne passez pas aux unités réciproques. Dans la langue de Zeno, cela ressemble à ceci :

Le temps qu'il faut à Achille pour faire mille pas, la tortue rampera cent pas dans la même direction. Au cours du prochain intervalle de temps égal au premier, Achille fera encore mille pas et la tortue rampera cent pas. Achille a désormais huit cents longueurs d'avance sur la tortue.

Cette approche décrit adéquatement la réalité sans aucun paradoxe logique. Mais cela ne constitue pas une solution complète au problème. La déclaration d’Einstein sur l’irrésistibilité de la vitesse de la lumière est très similaire à l’aporie de Zénon « Achille et la tortue ». Nous devons encore étudier, repenser et résoudre ce problème. Et la solution ne doit pas être recherchée sans fin grands nombres, mais en unités de mesure.

Une autre aporie intéressante de Zénon parle d'une flèche volante :

Une flèche volante est immobile, puisqu'à tout instant elle est au repos, et puisqu'elle est au repos à tout instant, elle est toujours au repos.

Dans cette aporie, le paradoxe logique est surmonté très simplement - il suffit de préciser qu'à chaque instant une flèche volante est au repos en différents points de l'espace, ce qui, en fait, est un mouvement. Un autre point doit être souligné ici. À partir d'une photographie d'une voiture sur la route, il est impossible de déterminer ni le fait de son mouvement ni la distance qui la sépare. Pour déterminer si une voiture bouge, vous avez besoin de deux photographies prises du même point à des moments différents, mais vous ne pouvez pas déterminer la distance qui les sépare. Pour déterminer la distance jusqu'à la voiture, vous avez besoin de deux photographies prises depuis différents points l'espace à un moment donné, mais il est impossible de déterminer le fait d'un mouvement à partir d'eux (naturellement, des données supplémentaires sont toujours nécessaires pour les calculs, la trigonométrie vous aidera). Ce sur quoi je veux attirer particulièrement l'attention, c'est que deux points dans le temps et deux points dans l'espace sont des choses différentes qu'il ne faut pas confondre, car ils fournissent différentes possibilités pour la recherche.
Je vais vous montrer le processus avec un exemple. Nous sélectionnons le « solide rouge dans un bouton » - c'est notre « tout ». En même temps, nous voyons que ces choses sont avec un arc et qu'il y en a sans arc. Après cela, nous sélectionnons une partie du « tout » et formons un ensemble « avec un arc ». C’est ainsi que les chamans obtiennent leur nourriture en liant leur théorie des ensembles à la réalité.

Faisons maintenant un petit tour. Prenons « solide avec un bouton et un nœud » et combinons ces « touts » selon la couleur, en sélectionnant les éléments rouges. Nous avons beaucoup de « rouge ». Maintenant la dernière question : les ensembles résultants « avec un arc » et « rouge » sont-ils le même ensemble ou deux différents ensembles? Seuls les chamans connaissent la réponse. Plus précisément, eux-mêmes ne savent rien, mais comme on dit, il en sera ainsi.

Cet exemple simple montre que la théorie des ensembles est totalement inutile lorsqu’il s’agit de la réalité. Quel est le secret ? Nous avons formé un ensemble de « solide rouge avec un bouton et un arc ». La formation s'est déroulée dans quatre unités de mesure différentes : couleur (rouge), force (solide), rugosité (bouton), décoration (avec un arc). Seul un ensemble d'unités de mesure permet de décrire adéquatement des objets réels dans le langage mathématique. Voilà à quoi cela ressemble.

La lettre « a » avec différents indices désigne différentes unités de mesure. Les unités de mesure par lesquelles le « tout » est distingué au stade préliminaire sont mises en évidence entre parenthèses. L'unité de mesure par laquelle l'ensemble est constitué est sortie entre parenthèses. La dernière ligne montre le résultat final - un élément de l'ensemble. Comme vous pouvez le voir, si nous utilisons des unités de mesure pour former un ensemble, alors le résultat ne dépend pas de l'ordre de nos actions. Et ce sont des mathématiques, et non la danse des chamanes avec des tambourins. Les chamanes peuvent arriver « intuitivement » au même résultat, arguant que c’est « évident », car les unités de mesure ne font pas partie de leur arsenal « scientifique ».

En utilisant des unités de mesure, il est très facile de diviser un ensemble ou de combiner plusieurs ensembles en un seul sur-ensemble. Examinons de plus près l'algèbre de ce processus.

Théorème de l'aire du triangle

Théorème 1

L'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit des deux côtés et du sinus de l'angle entre ces côtés.

Preuve.

Donnons-nous un triangle arbitraire $ABC$. Notons les longueurs des côtés de ce triangle par $BC=a$, $AC=b$. Introduisons un système de coordonnées cartésiennes, de sorte que le point $C=(0,0)$, le point $B$ se trouve sur le demi-axe droit $Ox$ et le point $A$ se trouve dans le premier quadrant de coordonnées. Traçons la hauteur $h$ à partir du point $A$ (Fig. 1).

Figure 1. Illustration du théorème 1

La hauteur $h$ est égale à l'ordonnée du point $A$, donc

Théorème des sinus

Théorème 2

Les côtés d'un triangle sont proportionnels aux sinus des angles opposés.

Preuve.

Donnons-nous un triangle arbitraire $ABC$. Notons les longueurs des côtés de ce triangle par $BC=a$, $AC=b,$ $AC=c$ (Fig. 2).

Figure 2.

Prouvons que

D'après le théorème 1, on a

En les assimilant par paires, on obtient ça

Théorème du cosinus

Théorème 3

Le carré d'un côté d'un triangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés du triangle sans le double du produit de ces côtés par le cosinus de l'angle entre ces côtés.

Preuve.

Donnons-nous un triangle arbitraire $ABC$. Notons les longueurs de ses côtés par $BC=a$, $AC=b,$ $AB=c$. Introduisons un système de coordonnées cartésiennes, de sorte que le point $A=(0,0)$, le point $B$ se trouve sur le demi-axe positif $Ox$ et le point $C$ se trouve dans le premier quadrant de coordonnées (Fig. 3).

Figure 3.

Prouvons que

Dans ce système de coordonnées, on obtient que

Trouvez la longueur du côté $BC$ en utilisant la formule de la distance entre les points

Un exemple de problème utilisant ces théorèmes

Exemple 1

Montrer que le diamètre du cercle circonscrit d'un triangle arbitraire est égal au rapport de n'importe quel côté du triangle au sinus de l'angle opposé à ce côté.

Solution.

Donnons-nous un triangle arbitraire $ABC$. $R$ est le rayon du cercle circonscrit. Dessinons le diamètre $BD$ (Fig. 4).

Peut être trouvé en connaissant la base et la hauteur. Toute la simplicité du schéma réside dans le fait que la hauteur divise la base a en deux parties a 1 et a 2, et le triangle lui-même en deux triangles rectangles dont l'aire est et. Ensuite, l'aire du triangle entier sera la somme des deux aires indiquées, et si l'on retire une seconde de la hauteur de la parenthèse, alors dans la somme on récupère la base :

Une méthode de calcul plus difficile est la formule de Heron, pour laquelle vous devez connaître les trois côtés. Pour cette formule, il faut d'abord calculer le demi-périmètre du triangle : La formule de Héron elle-même implique la racine carrée du demi-périmètre, multipliée à son tour par sa différence de chaque côté.

La méthode suivante, également pertinente pour tout triangle, vous permet de trouver l'aire du triangle passant par deux côtés et l'angle entre eux. La preuve en est la formule avec la hauteur - nous dessinons la hauteur sur l'un des côtés connus et par le sinus de l'angle α nous obtenons que h=a⋅sinα. Pour calculer la superficie, multipliez la moitié de la hauteur par le deuxième côté.

Une autre façon consiste à trouver l'aire d'un triangle, en connaissant 2 angles et le côté qui les sépare. La preuve de cette formule est assez simple et peut être clairement visible sur le diagramme.

Nous abaissons la hauteur du sommet du troisième angle jusqu'au côté connu et appelons les segments résultants x en conséquence. Depuis triangles rectangles il est clair que le premier segment x est égal au produit

L'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit de ses côtés et du sinus de l'angle qui les sépare.

Preuve:

Considérons un triangle arbitraire ABC. Soit le côté BC = a, le côté CA = b et S l'aire de ce triangle. Il faut prouver que S = (1/2)*a*b*sin(C).

Pour commencer, introduisons un système de coordonnées rectangulaires et plaçons l'origine des coordonnées au point C. Positionnons notre système de coordonnées de manière à ce que le point B se trouve dans la direction positive de l'axe Cx et que le point A ait une ordonnée positive.

Si tout est fait correctement, vous devriez obtenir le dessin suivant.

L'aire d'un triangle donné peut être calculée à l'aide de la formule suivante : S = (1/2)*a*h, où h est la hauteur du triangle. Dans notre cas, la hauteur du triangle h est égale à l’ordonnée du point A, c’est-à-dire h = b*sin(C).

Compte tenu des résultats obtenus, la formule de l'aire d'un triangle peut être réécrite comme suit : S = (1/2)*a*b*sin(C). Q.E.D.

Résolution de problème

Problème 1. Trouver la zone triangle ABC, si a) AB = 6*√8 cm, AC = 4 cm, angle A = 60 degrés b) BC = 3 cm, AB = 18*√2 cm, angle B = 45 degrés c) AC = 14 cm, CB = 7 cm, angle C = 48 degrés.

D'après le théorème démontré ci-dessus, l'aire S du triangle ABC est égale à :

S = (1/2)*AB*AC*sin(A).

Faisons les calculs :

a) S = ((1/2) *6*√8*4*sin(60˚)) = 12*√6 cm^2.

b) S = (1/2)*BC*BA*sin(B)=((1/2)* 3*18*√2 *(√2/2)) = 27 cm^2.

c) S = (1/2)*CA*CB*sin(C) = ½*14*7*sin48˚ cm^2.

On calcule la valeur du sinus d'un angle sur une calculatrice ou on utilise les valeurs du tableau des valeurs des angles trigonométriques. Répondre:

une) 12*√6 cm^2.

c) environ 36,41 cm^2.

Problème 2. L'aire du triangle ABC est de 60 cm^2. Trouvez le côté AB si AC = 15 cm, l'angle A = 30˚.

Soit S l'aire du triangle ABC. Par le théorème sur l'aire d'un triangle on a :

S = (1/2)*AB*AC*sin(A).

Remplaçons-y les valeurs que nous avons :

60 = (1/2)*AB*15*sin30˚ = (1/2)*15*(1/2)*AB=(15/4)*AB.

À partir de là, nous exprimons la longueur du côté AB : AB = (60*4)/15 = 16.