Comment multiplier des fractions ordinaires par un nombre naturel. Multiplier et diviser des fractions

Multiplier un nombre entier par une fraction n’est pas une tâche difficile. Mais il y a des subtilités que vous avez probablement comprises à l’école, mais que vous avez oubliées depuis.

Comment multiplier un nombre entier par une fraction – quelques termes

Si vous vous souvenez de ce que sont un numérateur et un dénominateur et en quoi une fraction propre diffère d'une fraction impropre, sautez ce paragraphe. C'est pour ceux qui ont complètement oublié la théorie.

Le numérateur est la partie supérieure de la fraction – ce que nous divisons. Le dénominateur est inférieur. C'est par cela que nous divisons.
Une fraction propre est une fraction dont le numérateur est inférieur à son dénominateur. Une fraction impropre est une fraction dont le numérateur est supérieur ou égal à son dénominateur.

Comment multiplier un nombre entier par une fraction

La règle pour multiplier un entier par une fraction est très simple : on multiplie le numérateur par l'entier, mais on ne touche pas au dénominateur. Par exemple : deux multiplié par un cinquième - nous obtenons deux cinquièmes. Quatre multiplié par trois seizièmes égale douze seizièmes.

Réduction

Dans le deuxième exemple, la fraction résultante peut être réduite.
Qu'est-ce que ça veut dire? Veuillez noter que le numérateur et le dénominateur de cette fraction sont divisibles par quatre. Divisez les deux nombres par diviseur commun et cela s’appelle réduire une fraction. Nous obtenons les trois quarts.

Fractions impropres

Mais supposons que nous multipliions quatre par deux cinquièmes. Il s'est avéré que c'était huit cinquièmes. C'est une fraction impropre.
Il faut absolument qu'elle soit amenée à le bon genre. Pour ce faire, vous devez en sélectionner une partie entière.
Ici, vous devez utiliser la division avec un reste. Nous obtenons un et trois comme reste.
Un entier et trois cinquièmes constituent notre fraction propre.

Il est un peu plus difficile de donner la forme correcte de trente-cinq huitièmes : le nombre le plus proche de trente-sept divisible par huit est trente-deux. Une fois divisé, nous obtenons quatre. Soustrayez trente-deux de trente-cinq et nous obtenons trois. Résultat : quatre entiers et trois huitièmes.

Égalité du numérateur et du dénominateur. Et ici, tout est très simple et beau. Si le numérateur et le dénominateur sont égaux, le résultat est simplement un.

Multiplier et diviser des fractions.

Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui « beaucoup… »)

Cette opération est bien plus sympa que l’addition-soustraction ! Parce que c'est plus facile. Pour rappel, pour multiplier une fraction par une fraction, il faut multiplier les numérateurs (ce sera le numérateur du résultat) et les dénominateurs (ce sera le dénominateur). C'est-à-dire:

Par exemple:

Tout est extrêmement simple. Et s’il vous plaît, ne cherchez pas de dénominateur commun ! On n'a pas besoin de lui ici...

Pour diviser une fraction par une fraction, il faut inverser deuxième(c'est important !) fraction et multipliez-les, c'est-à-dire :

Par exemple:

Si vous rencontrez une multiplication ou une division avec des nombres entiers et des fractions, ce n'est pas grave. Comme pour l'addition, on fait une fraction à partir d'un nombre entier avec un au dénominateur - et c'est parti ! Par exemple:

Au lycée, on est souvent confronté à des fractions de trois étages (voire quatre étages !). Par exemple:

Comment puis-je rendre cette fraction décente ? Oui, très simple ! Utilisez la division en deux points :

Mais n'oubliez pas l'ordre de division ! Contrairement à la multiplication, c'est très important ici ! Bien entendu, on ne confondra pas 4:2 ou 2:4. Mais il est facile de se tromper sur une fraction de trois étages. A noter par exemple :

Dans le premier cas (expression de gauche) :

Dans la seconde (expression de droite) :

Sentez-vous la différence ? 4 et 1/9 !

Qu’est-ce qui détermine l’ordre de division ? Soit avec des parenthèses, soit (comme ici) avec la longueur des lignes horizontales. Développez votre œil. Et s'il n'y a pas de parenthèses ni de tirets, comme :

puis divise et multiplie dans l'ordre, de gauche à droite!

Et une autre technique très simple et importante. Dans des actions avec diplômes, cela vous sera tellement utile ! Divisons un par n'importe quelle fraction, par exemple par 13/15 :

Le coup s'est retourné ! Et cela arrive toujours. Lorsque l’on divise 1 par n’importe quelle fraction, le résultat est la même fraction, mais à l’envers.

C'est tout pour les opérations avec des fractions. La chose est assez simple, mais elle donne largement assez d'erreurs. Tenez compte des conseils pratiques, et il y en aura moins (erreurs) !

Conseils pratiques :

1. La chose la plus importante lorsque l’on travaille avec des expressions fractionnaires est la précision et l’attention ! Ce ne sont pas des mots généraux, ni de bons vœux ! C'est une nécessité absolue ! Effectuez tous les calculs de l'examen d'État unifié comme une tâche à part entière, ciblée et claire. Il est préférable d’écrire deux lignes supplémentaires dans votre brouillon plutôt que de faire des erreurs lors de vos calculs mentaux.

2. Dans les exemples avec différents types fractions - allez aux fractions ordinaires.

3. Nous réduisons toutes les fractions jusqu'à ce qu'elles s'arrêtent.

4. Nous réduisons les expressions fractionnaires à plusieurs niveaux aux expressions ordinaires en utilisant la division par deux points (nous suivons l'ordre de division !).

5. Divisez une unité par une fraction dans votre tête, en retournant simplement la fraction.

Voici les tâches que vous devez absolument accomplir. Les réponses sont données après toutes les tâches. Utilisez le matériel sur ce sujet et les conseils pratiques. Estimez combien d’exemples vous avez pu résoudre correctement. La première fois! Sans calculatrice ! Et tirez les bonnes conclusions...

N'oubliez pas : la bonne réponse est reçu dès la deuxième (surtout la troisième) fois ne compte pas ! Telle est la dure vie.

Donc, résoudre en mode examen ! D'ailleurs, il s'agit déjà d'une préparation à l'examen d'État unifié. Nous résolvons l'exemple, le vérifions, résolvons le suivant. Nous avons tout décidé - vérifié à nouveau du début au dernier. Mais, seulement Alors regarde les réponses.

Calculer:

As-tu décidé?

Nous recherchons des réponses qui correspondent aux vôtres. Je les ai volontairement notées dans le désordre, loin de la tentation, pour ainsi dire... Les voici, les réponses, écrites avec des points-virgules.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Maintenant, nous tirons des conclusions. Si tout s'est bien passé, je suis content pour toi ! Les calculs de base avec des fractions ne sont pas votre problème ! Vous pouvez faire des choses plus sérieuses. Sinon...

Vous avez donc l'un des deux problèmes suivants. Ou les deux à la fois.) Manque de connaissances et (ou) inattention. Mais ça soluble Problèmes.

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Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)

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Dans cet article, nous examinerons multiplier des nombres fractionnaires. Tout d'abord, nous décrirons la règle de multiplication des nombres fractionnaires et envisagerons l'application de cette règle lors de la résolution d'exemples. Nous parlerons ensuite de la multiplication d'un nombre fractionnaire et d'un nombre naturel. Enfin, nous apprendrons à multiplier un nombre fractionnaire et une fraction commune.

Navigation dans les pages.

Multiplier des nombres mixtes.

Multiplier des nombres fractionnaires peut être réduit à multiplier des fractions ordinaires. Pour ce faire, il suffit de convertir les nombres fractionnaires en fractions impropres.

Écrivons-le règle de multiplication de nombres mixtes:

Premièrement, les nombres fractionnaires multipliés doivent être remplacés par des fractions impropres ;
Deuxièmement, vous devez utiliser la règle pour multiplier des fractions par fractions.

Regardons des exemples d'application de cette règle lors de la multiplication d'un nombre fractionnaire par un nombre fractionnaire.

Effectuez la multiplication de nombres fractionnaires et .

Représentons d’abord les nombres fractionnaires à multiplier sous la forme fractions impropres: Et . Nous pouvons désormais remplacer la multiplication des nombres fractionnaires par la multiplication des fractions ordinaires : . En appliquant la règle de multiplication des fractions, on obtient . La fraction résultante est irréductible (voir fractions réductibles et irréductibles), mais elle est impropre (voir fractions propres et impropres), donc, pour obtenir la réponse finale, il reste à isoler toute la partie de la fraction impropre : .

Écrivons la solution entière sur une seule ligne : .

Pour renforcer les compétences de multiplication de nombres fractionnaires, envisagez de résoudre un autre exemple.

Faites la multiplication.

Les nombres amusants et sont respectivement égaux aux fractions 13/5 et 10/9. Alors . A ce stade, il est temps de penser à la réduction d’une fraction : remplacez tous les nombres de la fraction par leurs décompositions en facteurs premiers, et effectuez une réduction de facteurs identiques.

Multiplier un nombre fractionnaire et un nombre naturel

Après avoir remplacé un numéro mixte, non fraction propre, multiplier un nombre fractionnaire et un nombre naturel conduit à la multiplication d’une fraction ordinaire et d’un nombre naturel.

Multipliez un nombre fractionnaire par l'entier naturel 45.

Un nombre fractionnaire est égal à une fraction, alors . Remplaçons les nombres de la fraction résultante par leurs décompositions en facteurs premiers, effectuons une réduction, puis sélectionnons la partie entière : .

La multiplication d'un nombre fractionnaire et d'un nombre naturel est parfois commodément effectuée en utilisant la propriété distributive de multiplication par rapport à l'addition. Dans ce cas, le produit d'un nombre fractionnaire et d'un nombre naturel est égal à la somme des produits de la partie entière par le nombre donné entier naturel et la partie fractionnaire pour un nombre naturel donné, c'est-à-dire .

Calculez le produit.

Remplaçons le nombre fractionnaire par la somme des parties entières et fractionnaires, après quoi nous appliquons la propriété distributive de multiplication : .

Multiplier des nombres fractionnaires et des fractions Il est plus pratique de le réduire à la multiplication de fractions ordinaires en représentant le nombre fractionnaire multiplié comme une fraction impropre.

Multipliez le nombre fractionnaire par la fraction commune 4/15.

En remplaçant le nombre fractionnaire par une fraction, on obtient .

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Multiplier des fractions

§ 140. Définitions. 1) La multiplication d'une fraction par un entier se définit de la même manière que la multiplication d'entiers, à savoir : multiplier un nombre (multiplicande) par un nombre entier (facteur) signifie composer une somme de termes identiques, dans laquelle chaque terme est égal au multiplicande, et le nombre de termes est égal au multiplicateur.

Donc multiplier par 5 revient à trouver la somme :
2) Multiplier un nombre (multiplicande) par une fraction (facteur) signifie trouver cette fraction du multiplicande.

Ainsi, nous appellerons maintenant trouver une fraction d'un nombre donné, que nous avons considéré précédemment, multiplication par une fraction.

3) Multiplier un nombre (multiplicande) par un nombre fractionnaire (facteur) signifie multiplier le multiplicande d'abord par le nombre entier du multiplicateur, puis par la fraction du multiplicateur, et additionner les résultats de ces deux multiplications.

Par exemple:

Le nombre obtenu après multiplication dans tous ces cas s'appelle travail, c'est-à-dire la même chose que lors de la multiplication d'entiers.

De ces définitions, il ressort clairement que la multiplication de nombres fractionnaires est une action toujours possible et toujours sans ambiguïté.

§ 141. L'opportunité de ces définitions. Pour comprendre l’opportunité d’introduire les deux dernières définitions de la multiplication en arithmétique, prenons le problème suivant :

Tâche. Un train, se déplaçant uniformément, parcourt 40 km/h ; comment savoir combien de kilomètres ce train parcourra en un nombre d'heures donné ?

Si nous nous en tenions à la seule définition de la multiplication indiquée en arithmétique entière (l'addition de termes égaux), alors notre problème aurait trois solutions différentes, à savoir :

Si le nombre d'heures donné est un nombre entier (par exemple 5 heures), alors pour résoudre le problème, vous devez multiplier 40 km par ce nombre d'heures.

Si un nombre d'heures donné est exprimé sous forme de fraction (par exemple une heure), alors vous devrez trouver la valeur de cette fraction à partir de 40 km.

Enfin, si le nombre d'heures donné est mixte (par exemple, heures), alors 40 km devront être multipliés par l'entier contenu dans le nombre mixte, et au résultat ajouter une autre fraction de 40 km, qui est dans le nombre mixte. nombre.

Les définitions que nous avons données nous permettent de donner une réponse générale à tous ces cas possibles :

il faut multiplier 40 km par un nombre d'heures donné, quel qu'il soit.

Ainsi, si le problème est représenté dans vue générale Donc:

Un train, se déplaçant uniformément, parcourt v km en une heure. Combien de kilomètres le train parcourra-t-il en t heures ?

alors, quels que soient les nombres v et t, nous pouvons donner une réponse : le nombre souhaité est exprimé par la formule v · t.

Note. Trouver une fraction d'un nombre donné, selon notre définition, signifie la même chose que multiplier un nombre donné par cette fraction ; ainsi, par exemple, trouver 5 % (c'est-à-dire cinq centièmes) d'un nombre donné revient à multiplier un nombre donné par ou par ; trouver 125% d'un nombre donné revient à multiplier ce nombre par ou par, etc.

§ 142. Une note sur le moment où un nombre augmente et quand il diminue suite à la multiplication.

La multiplication par une fraction propre diminue le nombre, et la multiplication par une fraction impropre augmente le nombre si cette fraction impropre est supérieure à un, et reste inchangé si elle est égale à un.
Commentaire. Lors de la multiplication de nombres fractionnaires, ainsi que d'entiers, le produit est pris égal à zéro si l'un des facteurs est égal à zéro, donc .

§ 143. Dérivation des règles de multiplication.

1) Multiplier une fraction par un nombre entier. Soit une fraction multipliée par 5. Cela signifie augmentée de 5 fois. Pour augmenter une fraction de 5 fois, il suffit d'augmenter son numérateur ou de diminuer son dénominateur de 5 fois (§ 127).

C'est pourquoi:
Règle 1. Pour multiplier une fraction par un nombre entier, vous devez multiplier le numérateur par ce nombre entier, mais laisser le dénominateur inchangé ; au lieu de cela, vous pouvez également diviser le dénominateur de la fraction par le nombre entier donné (si possible) et laisser le numérateur inchangé.

Commentaire. Le produit d'une fraction par son dénominateur est égal à son numérateur.

Donc:
Règle 2. Pour multiplier un nombre entier par une fraction, vous devez multiplier le nombre entier par le numérateur de la fraction et faire de ce produit le numérateur, et signer le dénominateur de cette fraction comme dénominateur.
Règle 3. Pour multiplier une fraction par une fraction, vous devez multiplier le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur, et faire du premier produit le numérateur et du second le dénominateur du produit.

Commentaire. Cette règle peut également être appliquée à la multiplication d'une fraction par un entier et d'un entier par une fraction, si seulement l'on considère l'entier comme une fraction avec un dénominateur un. Donc:

Ainsi, les trois règles maintenant esquissées sont contenues dans une seule, qui peut en général s'exprimer comme suit :
4) Multiplication de nombres fractionnaires.

Règle 4ème. Pour multiplier des nombres fractionnaires, vous devez les convertir en fractions impropres, puis multiplier selon les règles de multiplication des fractions. Par exemple:
§ 144. Réduction lors de la multiplication. Lors de la multiplication de fractions, si possible, il est nécessaire de procéder à une réduction préalable, comme le montrent les exemples suivants :

Une telle réduction peut être effectuée car la valeur d'une fraction ne changera pas si son numérateur et son dénominateur sont réduits du même nombre de fois.

§ 145. Modification d'un produit avec des facteurs changeants. Lorsque les facteurs changent, le produit de nombres fractionnaires changera exactement de la même manière que le produit d'entiers (§ 53), à savoir : si vous augmentez (ou diminuez) un facteur plusieurs fois, alors le produit augmentera (ou diminuera) du même montant.

Donc, si dans l'exemple :
pour multiplier plusieurs fractions, vous devez multiplier leurs numérateurs entre eux et leurs dénominateurs entre eux et faire du premier produit le numérateur et du second le dénominateur du produit.

Commentaire. Cette règle peut également être appliquée à de tels produits dans lesquels certains des facteurs du nombre sont entiers ou mixtes, si seulement nous considérons l'entier comme une fraction avec un dénominateur un et que nous transformons les nombres mixtes en fractions impropres. Par exemple:
§ 147. Propriétés fondamentales de la multiplication. Les propriétés de multiplication que nous avons indiquées pour les nombres entiers (§ 56, 57, 59) s'appliquent également à la multiplication des nombres fractionnaires. Indiquons ces propriétés.

1) Le produit ne change pas lorsque les facteurs changent.

Par exemple:

En effet, selon la règle du paragraphe précédent, le premier produit est égal à la fraction, et le second est égal à la fraction. Mais ces fractions sont les mêmes, car leurs termes ne diffèrent que par l'ordre des facteurs entiers, et le produit des nombres entiers ne change pas lorsque la place des facteurs est modifiée.

2) Le produit ne changera pas si un groupe de facteurs est remplacé par son produit.

Par exemple:

Les résultats sont les mêmes.

De cette propriété de multiplication, on peut tirer la conclusion suivante :

pour multiplier un nombre par un produit, vous pouvez multiplier ce nombre par le premier facteur, multiplier le nombre obtenu par le second, etc.

Par exemple:
3) Loi distributive de multiplication (par rapport à l'addition). Pour multiplier une somme par un nombre, vous pouvez multiplier chaque terme séparément par ce nombre et additionner les résultats.

Cette loi a été expliquée par nous (§ 59) comme appliquée aux nombres entiers. Cela reste vrai sans aucun changement pour les nombres fractionnaires.

Montrons en effet que l'égalité

(a + b + c + .)m = am + bm + cm + .

(la loi distributive de la multiplication par rapport à l'addition) reste vraie même lorsque les lettres signifient nombres fractionnaires. Considérons trois cas.

1) Supposons d'abord que le facteur m est un entier, par exemple m = 3 (a, b, c – n'importe quel nombre). D'après la définition de la multiplication par un entier, on peut écrire (en se limitant à trois termes pour plus de simplicité) :

(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).

Basé sur la loi associative d'addition, nous pouvons omettre toutes les parenthèses du côté droit ; En appliquant la loi commutative de l'addition, puis à nouveau la loi associative, on peut évidemment réécrire le membre de droite comme suit :

(une + une + une) + (b + b + b) + (c + c + c).

(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.

Cela signifie que la loi distributive est confirmée dans ce cas.

Multiplier et diviser des fractions

La dernière fois, nous avons appris à additionner et à soustraire des fractions (voir la leçon « Additionner et soustraire des fractions »). La partie la plus difficile de ces actions consistait à amener les fractions à un dénominateur commun.

Il est maintenant temps de s'occuper de la multiplication et de la division. Bonnes nouvelles est que ces opérations sont encore plus simples que l’addition et la soustraction. Considérons d’abord le cas le plus simple, lorsqu’il existe deux fractions positives sans partie entière séparée.

Pour multiplier deux fractions, vous devez multiplier leurs numérateurs et dénominateurs séparément. Le premier nombre sera le numérateur de la nouvelle fraction et le second sera le dénominateur.

Pour diviser deux fractions, vous devez multiplier la première fraction par la deuxième fraction « inversée ».

De la définition, il résulte que la division de fractions se réduit à la multiplication. Pour « retourner » une fraction, échangez simplement le numérateur et le dénominateur. Par conséquent, tout au long de la leçon, nous considérerons principalement la multiplication.

À la suite de la multiplication, une fraction réductible peut apparaître (et apparaît souvent) - elle doit bien sûr être réduite. Si après toutes les réductions la fraction s'avère incorrecte, la partie entière doit être mise en évidence. Mais ce qui n'arrivera certainement pas avec la multiplication, c'est la réduction à un dénominateur commun : pas de méthodes croisées, de plus grands facteurs et de plus petits multiples communs.

Par définition nous avons :

Multiplier des fractions par des parties entières et des fractions négatives

Si les fractions contiennent une partie entière, elles doivent être converties en fractions impropres - et ensuite seulement multipliées selon les schémas décrits ci-dessus.

S'il y a un moins au numérateur d'une fraction, au dénominateur ou devant celui-ci, il peut être retiré de la multiplication ou supprimé complètement selon les règles suivantes :

Plus par moins donne moins ;
Deux négatifs font un affirmatif.

Jusqu'à présent, ces règles n'étaient rencontrées que lors de l'addition et de la soustraction de fractions négatives, lorsqu'il fallait se débarrasser de la partie entière. Pour un ouvrage, ils peuvent être généralisés afin de « brûler » plusieurs inconvénients à la fois :

On raye les négatifs par paires jusqu'à ce qu'ils disparaissent complètement. Dans des cas extrêmes, un moins peut survivre - celui pour lequel il n'y avait pas de partenaire ;
S'il ne reste plus de points négatifs, l'opération est terminée - vous pouvez commencer à multiplier. Si le dernier moins n’est pas barré parce qu’il n’y avait pas de paire, on le sort des limites de la multiplication. Le résultat est une fraction négative.

Tâche. Trouvez le sens de l'expression :

Nous convertissons toutes les fractions en fractions impropres, puis retirons les moins de la multiplication. On multiplie ce qui reste selon les règles habituelles. On a:

Permettez-moi de vous rappeler encore une fois que le signe moins qui apparaît avant la fraction avec le surligné partie entière, fait spécifiquement référence à la fraction entière, et pas seulement à sa partie entière (cela s'applique aux deux derniers exemples).

Notez également nombres négatifs: Lors de la multiplication, ils sont mis entre parenthèses. Ceci est fait afin de séparer les moins des signes de multiplication et de rendre l'ensemble de la notation plus précise.

Réduire les fractions à la volée

La multiplication est une opération très laborieuse. Les nombres ici s'avèrent assez grands, et pour simplifier le problème, vous pouvez essayer de réduire davantage la fraction avant la multiplication. En effet, par essence, les numérateurs et les dénominateurs des fractions sont des facteurs ordinaires et, par conséquent, ils peuvent être réduits en utilisant la propriété fondamentale d'une fraction. Jetez un œil aux exemples :

Tâche. Trouvez le sens de l'expression :

Par définition nous avons :

Dans tous les exemples, les nombres réduits et ce qui en reste sont marqués en rouge.

Attention : dans le premier cas, les multiplicateurs ont été complètement réduits. A leur place restent des unités qui, en général, n'ont pas besoin d'être écrites. Dans le deuxième exemple, il n’a pas été possible d’obtenir une réduction complète, mais le montant total des calculs a néanmoins diminué.

Cependant, n’utilisez jamais cette technique pour additionner et soustraire des fractions ! Oui, il existe parfois des chiffres similaires que vous souhaitez simplement réduire. Tiens, regarde :

Vous ne pouvez pas faire ça !

L'erreur se produit car lors de l'addition, le numérateur d'une fraction produit une somme et non un produit de nombres. Par conséquent, il est impossible d’appliquer la propriété fondamentale d’une fraction, puisque cette propriété concerne spécifiquement la multiplication des nombres.

Il n'y a tout simplement aucune autre raison pour réduire les fractions, donc la bonne solution au problème précédent ressemble à ceci :

Comme vous pouvez le constater, la bonne réponse s’est avérée moins belle. En général, soyez prudent.

Multiplier des fractions.

Pour multiplier correctement une fraction par une fraction ou une fraction par un nombre, vous devez savoir règles simples. Nous allons maintenant analyser ces règles en détail.

Multiplier une fraction commune par une fraction.

Pour multiplier une fraction par une fraction, vous devez calculer le produit des numérateurs et le produit des dénominateurs de ces fractions.

Regardons un exemple :
On multiplie le numérateur de la première fraction par le numérateur de la deuxième fraction, et on multiplie également le dénominateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction.

Multiplier une fraction par un nombre.

Tout d'abord, rappelons la règle, n'importe quel nombre peut être représenté sous forme de fraction \(\bf n = \frac \) .

Utilisons cette règle lors de la multiplication.

La fraction impropre \(\frac = \frac = \frac + \frac = 2 + \frac = 2\frac \\\) a été convertie en fraction mixte.

Autrement dit, Lorsque nous multiplions un nombre par une fraction, nous multiplions le nombre par le numérateur et laissons le dénominateur inchangé. Exemple:

Multiplier des fractions mixtes.

Pour multiplier des fractions mixtes, vous devez d'abord représenter chaque fraction mixte comme une fraction impropre, puis utiliser la règle de multiplication. Nous multiplions le numérateur par le numérateur et multiplions le dénominateur par le dénominateur.

Multiplication de fractions et de nombres réciproques.

Questions connexes:
Comment multiplier une fraction par une fraction ?
Réponse : Le produit de fractions ordinaires est la multiplication d'un numérateur par un numérateur, d'un dénominateur par un dénominateur. Pour obtenir le produit de fractions mixtes, vous devez les convertir en fraction impropre et multiplier selon les règles.

Comment multiplier des fractions avec des dénominateurs différents ?
Réponse : peu importe qu’ils soient identiques ou différents dénominateurs Pour les fractions, la multiplication s'effectue selon la règle consistant à trouver le produit du numérateur avec le numérateur, du dénominateur avec le dénominateur.

Comment multiplier des fractions mixtes ?
Réponse : tout d'abord, vous devez convertir la fraction mixte en une fraction impropre puis trouver le produit en utilisant les règles de multiplication.

Comment multiplier un nombre par une fraction ?
Réponse : nous multiplions le nombre par le numérateur, mais laissons le même dénominateur.

Exemple 1:
Calculer le produit : a) \(\frac \times \frac \) b) \(\frac \times \frac \)

Exemple n°2 :
Calculer les produits d'un nombre et d'une fraction : a) \(3 \times \frac \) b) \(\frac \times 11\)

Exemple n°3 :
Écrire l'inverse de la fraction \(\frac \) ?
Réponse : \(\frac = 3\)

Exemple n°4 :
Calculer le produit de deux fractions mutuellement inverses : a) \(\frac \times \frac \)

Exemple n°5 :
Les fractions réciproques peuvent-elles être :
a) simultanément avec des fractions propres ;
b) fractions impropres simultanément ;
c) simultanément des nombres naturels ?

Solution:
a) pour répondre à la première question, donnons un exemple. La fraction \(\frac \) est propre, sa fraction inverse sera égale à \(\frac \) - une fraction impropre. Réponse : non.

b) dans presque toutes les énumérations de fractions, cette condition n'est pas remplie, mais certains nombres remplissent la condition d'être simultanément une fraction impropre. Par exemple, une fraction impropre est \(\frac \) , sa fraction inverse est égale à \(\frac \). Nous obtenons deux fractions impropres. Réponse : pas toujours sous certaines conditions lorsque le numérateur et le dénominateur sont égaux.

c) les nombres naturels sont des nombres que nous utilisons pour compter, par exemple 1, 2, 3,…. Si l'on prend le nombre \(3 = \frac \), alors sa fraction inverse sera \(\frac \). La fraction \(\frac \) n’est pas un nombre naturel. Si l'on parcourt tous les nombres, l'inverse du nombre est toujours une fraction, sauf 1. Si l'on prend le nombre 1, alors sa fraction réciproque sera \(\frac = \frac = 1\). Le numéro 1 est un nombre naturel. Réponse : ils ne peuvent être simultanément des nombres naturels que dans un seul cas, s'il s'agit du nombre 1.

Exemple n°6 :
Faire le produit de fractions mixtes : a) \(4 \times 2\frac \) b) \(1\frac \times 3\frac \)

Solution:
a) \(4 \times 2\frac = \frac \times \frac = \frac = 11\frac \\\\ \)
b) \(1\frac \times 3\frac = \frac \times \frac = \frac = 4\frac \)

Exemple n°7 :
Deux réciproques peuvent-ils être des nombres mixtes en même temps ?

Regardons un exemple. Prenons une fraction mixte \(1\frac \), trouvons sa fraction inverse, pour ce faire nous la convertissons en une fraction impropre \(1\frac = \frac \) . Sa fraction inverse sera égale à \(\frac \) . La fraction \(\frac\) est une fraction propre. Réponse : Deux fractions mutuellement inverses ne peuvent pas être des nombres mixtes en même temps.

Multiplier un nombre décimal par un nombre naturel

Présentation de la leçon

Attention! Les aperçus des diapositives sont fournis à titre informatif uniquement et peuvent ne pas représenter toutes les fonctionnalités de la présentation. Si tu es intéressé ce travail, veuillez télécharger la version complète.

De manière ludique, initiez les élèves à la règle de multiplication d'une fraction décimale par un nombre naturel, par une unité de valeur de position, ainsi qu'à la règle d'expression d'une fraction décimale en pourcentage. Développer la capacité d'appliquer les connaissances acquises lors de la résolution d'exemples et de problèmes.
Développer et activer pensée logiqueétudiants, la capacité d'identifier des modèles et de les généraliser, de renforcer la mémoire, la capacité de coopérer, de fournir une assistance, d'évaluer leur propre travail et celui des autres.
Cultiver l’intérêt pour les mathématiques, l’activité, la mobilité et les compétences en communication.

Équipement: tableau interactif, une affiche avec un chiffrement, des affiches avec des déclarations de mathématiciens.

Organisation du temps.
Arithmétique orale – généralisation du matériel déjà étudié, préparation à l’étude du nouveau matériel.
Explication du nouveau matériel.
Devoir.
Éducation physique mathématique.
Généralisation et systématisation des connaissances acquises en forme de jeu utilisant un ordinateur.
Classement.

2. Les gars, aujourd'hui, notre leçon sera quelque peu inhabituelle, car je ne l'enseignerai pas seul, mais avec mon ami. Et mon ami est aussi inhabituel, vous le verrez maintenant. (Un ordinateur de dessin animé apparaît à l'écran.) Mon ami a un nom et il peut parler. Quel est ton nom, mon pote ? Komposha répond : « Je m'appelle Komposha. » Êtes-vous prêt à m'aider aujourd'hui ? OUI! Eh bien, commençons la leçon.

Aujourd'hui, j'ai reçu un chiffrement crypté, les gars, que nous devons résoudre et déchiffrer ensemble. (Une affiche avec comptage verbal sur l'addition et la soustraction de fractions décimales, à la suite de quoi les enfants reçoivent le code suivant 523914687. )

Komposha aide à déchiffrer le code reçu. Le résultat du décodage est le mot MULTIPLICATION. La multiplication est le mot clé du sujet de la leçon d'aujourd'hui. Le sujet de la leçon est affiché sur le moniteur : « Multiplier une fraction décimale par un nombre naturel »

Les gars, nous savons comment multiplier les nombres naturels. Aujourd'hui, nous allons examiner la multiplication de nombres décimaux par un nombre naturel. La multiplication d'une fraction décimale par un nombre naturel peut être considérée comme une somme de termes dont chacun est égal à cette fraction décimale, et le nombre de termes est égal à cet nombre naturel. Par exemple : 5,21 ·3 = 5,21 + 5,21 + 5,21 = 15,63 Donc 5,21 ·3 = 15,63. En présentant 5,21 comme fraction commune à un nombre naturel, on obtient

Et dans ce cas nous avons obtenu le même résultat : 15,63. Maintenant, en ignorant la virgule, au lieu du nombre 5,21, prenez le nombre 521 et multipliez-le par cet nombre naturel. Ici, nous devons nous rappeler que dans l'un des facteurs, la virgule a été déplacée de deux places vers la droite. En multipliant les nombres 5, 21 et 3, nous obtenons un produit égal à 15,63. Maintenant, dans cet exemple, nous déplaçons la virgule de deux places vers la gauche. Ainsi, de combien de fois l'un des facteurs a été augmenté, de combien de fois le produit a été diminué. Sur la base des similitudes de ces méthodes, nous tirerons une conclusion.

Multiplier décimal pour un nombre naturel, il faut :
1) sans faire attention à la virgule, multipliez les nombres naturels ;
2) dans le produit obtenu, séparez autant de chiffres à droite par une virgule qu'il y en a dans la fraction décimale.

Les exemples suivants sont affichés sur le moniteur, que nous analysons avec Komposha et les gars : 5,21 ·3 = 15,63 et 7,624 ·15 = 114,34. Ensuite, je montre la multiplication par numéro rond 12,6 ·50 = 630. Ensuite, je passe à la multiplication d’une fraction décimale par une unité de valeur de position. Je montre les exemples suivants : 7,423 · 100 = 742,3 et 5,2 · 1000 = 5200. J'introduis donc la règle pour multiplier une fraction décimale par une unité numérique :

Pour multiplier une fraction décimale par des unités numériques 10, 100, 1000, etc., vous devez déplacer la virgule décimale de cette fraction vers la droite d'autant de places qu'il y a de zéros dans l'unité numérique.

Je termine mon explication en exprimant la fraction décimale sous forme de pourcentage. J'introduis la règle :

Pour exprimer une fraction décimale sous forme de pourcentage, vous devez la multiplier par 100 et ajouter le signe %.

Je vais donner un exemple sur un ordinateur : 0,5 100 = 50 ou 0,5 = 50 %.

4. A la fin de l'explication je donne aux gars devoirs, qui s'affiche également sur l'écran de l'ordinateur : № 1030, № 1034, № 1032.

5. Afin que les gars se reposent un peu, nous faisons une séance d'éducation physique mathématique avec Komposha pour consolider le sujet. Tout le monde se lève, montre les exemples résolus à la classe et doit répondre si l'exemple a été résolu correctement ou incorrectement. Si l'exemple est résolu correctement, ils lèvent les bras au-dessus de leur tête et frappent dans leurs paumes. Si l'exemple n'est pas résolu correctement, les gars tendent les bras sur les côtés et tendent les doigts.

6. Et maintenant que vous vous êtes un peu reposé, vous pouvez résoudre les tâches. Ouvrez votre manuel à la page 205, № 1029. Dans cette tâche, vous devez calculer la valeur des expressions :

Les tâches apparaissent sur l'ordinateur. Au fur et à mesure qu'ils sont résolus, une image apparaît avec l'image d'un bateau, qui assemblage complet s'envole.

En résolvant cette tâche sur ordinateur, la fusée se replie progressivement ; après avoir résolu le dernier exemple, la fusée s'envole. Le professeur donne une petite information aux élèves : « Chaque année depuis le sol du Kazakhstan, depuis le cosmodrome de Baïkonour, ils s'envolent vers les étoiles. vaisseaux spatiaux. Le Kazakhstan construit son nouveau cosmodrome Baiterek près de Baïkonour.

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Une autre opération pouvant être effectuée avec des fractions ordinaires est la multiplication. Nous essaierons d'expliquer ses règles de base lors de la résolution de problèmes, de montrer comment une fraction ordinaire est multipliée par un nombre naturel et comment multiplier correctement trois fractions ordinaires ou plus.

Écrivons d'abord la règle de base :

Définition 1

Si nous multiplions une fraction ordinaire, alors le numérateur de la fraction résultante sera égal au produit des numérateurs des fractions originales et le dénominateur sera égal au produit de leurs dénominateurs. Sous forme littérale, pour deux fractions a / b et c / d, cela peut être exprimé par a b · c d = a · c b · d.

Regardons un exemple de la façon d'appliquer correctement cette règle. Disons que nous avons un carré dont le côté est égal à une unité numérique. L'aire de la figure sera alors de 1 carré. unité. Si nous divisons le carré en rectangles égaux dont les côtés sont égaux à 1 4 et 1 8 unités numériques, nous obtenons qu'il se compose désormais de 32 rectangles (car 8 4 = 32). En conséquence, l'aire de chacun d'eux sera égale à 1 32 de l'aire de la figure entière, c'est-à-dire 1 32 m² unités.

Nous avons un fragment ombré dont les côtés sont égaux à 5 8 unités numériques et 3 4 unités numériques. Par conséquent, pour calculer son aire, vous devez multiplier la première fraction par la seconde. Ce sera égal à 5 8 · 3 4 m². unités. Mais on peut simplement compter combien de rectangles sont inclus dans le fragment : il y en a 15, ce qui signifie superficie totale est de 15 32 unités carrées.

Puisque 5 3 = 15 et 8 4 = 32, on peut écrire l'égalité suivante :

5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32

Cela confirme la règle que nous avons formulée pour multiplier les fractions ordinaires, qui est exprimée par a b · c d = a · c b · d. Cela fonctionne de la même manière pour les fractions propres et impropres ; Il peut être utilisé pour multiplier des fractions ayant des dénominateurs différents et identiques.

Examinons les solutions à plusieurs problèmes impliquant la multiplication de fractions ordinaires.

Exemple 1

Multipliez 7 11 par 9 8.

Solution

Tout d'abord, calculons le produit des numérateurs des fractions indiquées en multipliant 7 par 9. Nous en avons 63. Ensuite, nous calculons le produit des dénominateurs et obtenons : 11 · 8 = 88. Composons deux nombres et la réponse est : 63 88.

La solution entière peut s'écrire ainsi :

7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88

Répondre: 7 11 · 9 8 = 63 88.

Si nous obtenons une fraction réductible dans notre réponse, nous devons terminer le calcul et effectuer sa réduction. Si nous obtenons une fraction impropre, nous devons en séparer la partie entière.

Exemple 2

Calculer le produit de fractions 4 15 et 55 6 .

Solution

Selon la règle étudiée ci-dessus, il faut multiplier le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. L'enregistrement de la solution ressemblera à ceci :

4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90

Nous avons une fraction réductible, c'est-à-dire celui qui est divisible par 10.

Réduisons la fraction : 220 90 pgcd (220, 90) = 10, 220 90 = 220 : 10 90 : 10 = 22 9. En conséquence, nous obtenons une fraction impropre, à partir de laquelle nous sélectionnons la partie entière et obtenons un nombre fractionnaire : 22 9 = 2 4 9.

Répondre: 4 15 55 6 = 2 4 9.

Pour faciliter le calcul, nous pouvons également réduire les fractions originales avant d'effectuer l'opération de multiplication, pour laquelle nous devons réduire la fraction sous la forme a · c b · d. Décomposons les valeurs des variables en facteurs simples et réduisons ces mêmes.

Expliquons à quoi cela ressemble en utilisant les données d'une tâche spécifique.

Exemple 3

Calculez le produit 4 15 55 6.

Solution

Écrivons les calculs basés sur la règle de multiplication. Nous allons obtenir:

4 15 55 6 = 4 55 15 6

Puisque 4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5 et 6 = 2 3, alors 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3.

2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9

Répondre: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .

Une expression numérique dans laquelle des fractions ordinaires sont multipliées a une propriété commutative, c'est-à-dire que, si nécessaire, nous pouvons modifier l'ordre des facteurs :

a b · c d = c d · a b = a · c b · d

Comment multiplier une fraction par un nombre naturel

Écrivons tout de suite la règle de base, puis essayons de l'expliquer dans la pratique.

Définition 2

Pour multiplier une fraction commune par un nombre naturel, vous devez multiplier le numérateur de cette fraction par ce nombre. Dans ce cas, le dénominateur de la fraction finale sera égal au dénominateur de la fraction ordinaire initiale. La multiplication d'une certaine fraction a b par un nombre naturel n peut s'écrire sous la forme de la formule a b · n = a · n b.

Il est facile de comprendre cette formule si l'on se souvient que tout nombre naturel peut être représenté comme une fraction ordinaire avec un dénominateur égal à un, c'est-à-dire :

a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b

Expliquons notre idée avec des exemples précis.

Exemple 4

Calculez le produit 2 27 fois 5.

Solution

En multipliant le numérateur de la fraction originale par le deuxième facteur, nous obtenons 10. En vertu de la règle énoncée ci-dessus, nous obtiendrons ainsi 10 27. La solution complète est donnée dans cet article :

2 27 5 = 2 5 27 = 10 27

Répondre: 2 27 5 = 10 27

Lorsque l’on multiplie un nombre naturel par une fraction, nous devons souvent abréger le résultat ou le représenter sous la forme d’un nombre fractionnaire.

Exemple 5

Condition : calculer le produit 8 par 5 12.

Solution

Selon la règle ci-dessus, on multiplie l'entier naturel par le numérateur. En conséquence, nous obtenons que 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. La fraction finale a des signes de divisibilité par 2, il faut donc la réduire :

LCM (40, 12) = 4, donc 40 12 = 40 : 4 12 : 4 = 10 3

Il ne nous reste plus qu'à sélectionner la partie entière et à écrire la réponse toute prête : 10 3 = 3 1 3.

Dans cette entrée, vous pouvez voir la solution complète : 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3.

Nous pourrions également réduire la fraction en factorisant le numérateur et le dénominateur en facteurs premiers, et le résultat serait exactement le même.

Répondre: 5 12 8 = 3 1 3.

Une expression numérique dans laquelle un nombre naturel est multiplié par une fraction a également la propriété de déplacement, c'est-à-dire que l'ordre des facteurs n'affecte pas le résultat :

a b · n = n · a b = a · n b

Comment multiplier trois fractions courantes ou plus

On peut étendre à l'action de multiplication de fractions ordinaires les mêmes propriétés qui sont caractéristiques de la multiplication des nombres naturels. Cela découle de la définition même de ces concepts.

Grâce à la connaissance des propriétés combinatoires et commutatives, vous pouvez multiplier trois fractions ordinaires ou plus. Il est acceptable de réorganiser les facteurs pour plus de commodité ou de disposer les tranches de manière à faciliter le décompte.

Montrons avec un exemple comment cela se fait.

Exemple 6

Multipliez les quatre fractions communes 1 20, 12 5, 3 7 et 5 8.

Solution : Tout d’abord, enregistrons le travail. Nous obtenons 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 . Nous devons multiplier tous les numérateurs et tous les dénominateurs ensemble : 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .

Avant de commencer à multiplier, nous pouvons nous faciliter un peu la tâche et transformer certains nombres en facteurs premiers pour une réduction ultérieure. Ce sera plus facile que de réduire la fraction obtenue déjà préparée.

1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9 280

Répondre: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9 280.

Exemple 7

Multipliez 5 nombres 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 .

Solution

Pour plus de commodité, nous pouvons regrouper la fraction 7 8 avec le nombre 8, et le nombre 12 avec la fraction 5 36, puisque les abréviations futures nous seront évidentes. En conséquence, nous obtiendrons :
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = 7 5 3 10 = 7 5 10 3 = 350 3 = 116 2 3

Répondre: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3.

Si vous remarquez une erreur dans le texte, veuillez la surligner et appuyer sur Ctrl+Entrée

Dépassez déjà ces râteaux ! 🙂

Multiplier et diviser des fractions.

Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très « pas très ». »
Et pour ceux qui « tout à fait. ")

Cette opération est bien plus agréable que l’addition et la soustraction ! Parce que c'est plus facile. Pour rappel, pour multiplier une fraction par une fraction, il faut multiplier les numérateurs (ce sera le numérateur du résultat) et les dénominateurs (ce sera le dénominateur). C'est-à-dire:

Tout est extrêmement simple. Et s’il vous plaît, ne cherchez pas de dénominateur commun ! On n'a pas besoin de lui ici...

Pour diviser une fraction par une fraction, il faut inverser deuxième(c'est important !) fraction et multipliez-les, c'est-à-dire :

Au lycée, on est souvent confronté à des fractions de trois étages (voire quatre étages !). Par exemple:

Comment puis-je rendre cette fraction décente ? Oui, très simple ! Utilisez la division en deux points :

Dans le premier cas (expression de gauche) :

Dans la seconde (expression de droite) :

Sentez-vous la différence ? 4 et 1/9 !

puis divise et multiplie dans l'ordre, de gauche à droite!

Et une autre technique très simple et importante. Dans des actions avec diplômes, cela vous sera tellement utile ! Divisons un par n'importe quelle fraction, par exemple par 13/15 :

Le coup s'est retourné ! Et cela arrive toujours. Lorsque l’on divise 1 par n’importe quelle fraction, le résultat est la même fraction, mais à l’envers.

C'est tout pour les opérations avec des fractions. La chose est assez simple, mais elle donne largement assez d'erreurs. Tenez compte des conseils pratiques, et il y en aura moins (erreurs) !

2. Dans des exemples avec différents types de fractions, passons aux fractions ordinaires.

3. Nous réduisons toutes les fractions jusqu'à ce qu'elles s'arrêtent.

4. Nous réduisons les expressions fractionnaires à plusieurs niveaux aux expressions ordinaires en utilisant la division par deux points (nous suivons l'ordre de division !).

N'oubliez pas : la bonne réponse est reçu dès la deuxième (surtout la troisième) fois ne compte pas ! Telle est la dure vie.

Nous recherchons des réponses qui correspondent aux vôtres. Je les ai délibérément écrits dans le désarroi, loin de la tentation, pour ainsi dire. Les voici, les réponses, séparées par des points-virgules.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Vous avez donc l'un des deux problèmes suivants. Ou les deux à la fois.) Manque de connaissances et (ou) inattention. Mais. Ce soluble Problèmes.

Tous ces exemples (et bien plus encore !) sont abordés dans la section spéciale 555 « Fractions ». Avec des explications détaillées sur quoi, pourquoi et comment. Cette analyse aide beaucoup avec un manque de connaissances et de compétences !

Oui, et sur le deuxième problème, il y a quelque chose.) Tout à fait conseils pratiques, comment devenir plus attentif. Oui oui! Des conseils applicables chaque.

En plus de la connaissance et de l’attention, la réussite requiert une certaine automaticité. Où peux-je le recevoir? J'entends un gros soupir... Oui, seulement dans la pratique, nulle part ailleurs.

Vous pouvez vous rendre sur le site Web 321start.ru pour vous former. Dans l'option « Essayer », il y a 10 exemples pour tout le monde. Avec vérification instantanée. Pour les utilisateurs enregistrés - 34 exemples du simple au grave. Ce n'est qu'en fractions.

Si vous aimez ce site.

Au fait, j'ai quelques autres sites intéressants pour vous.)

Ici, vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)

Et ici, vous pourrez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.

Règle 1.

Pour multiplier une fraction par un nombre naturel, vous devez multiplier son numérateur par ce nombre et laisser le dénominateur inchangé.

Règle 2.

Pour multiplier une fraction par une fraction :

1. trouver le produit des numérateurs et le produit des dénominateurs de ces fractions

2. Écrivez le premier produit comme numérateur et le second comme dénominateur.

Règle 3.

Afin de multiplier des nombres fractionnaires, vous devez les écrire sous forme de fractions impropres, puis utiliser la règle de multiplication des fractions.

Règle 4.

Pour diviser une fraction par une autre, vous devez multiplier le dividende par l'inverse du diviseur.

Exemple 1.

Calculer

Exemple 2.

Calculer

Exemple 3.

Calculer

Exemple 4.

Calculer

Mathématiques. Autres matériaux

Élever un nombre à une puissance rationnelle. (

Élever un nombre à une puissance naturelle. (

Méthode d'intervalle généralisée pour résoudre les inégalités algébriques (Auteur A.V. Kolchanov)

Méthode de remplacement de facteurs lors de la résolution d'inégalités algébriques (Auteur Kolchanov A.V.)

Signes de divisibilité (Lungu Alena)

Testez-vous sur le thème « Multiplication et division de fractions ordinaires »

Multiplier des fractions

Nous considérerons la multiplication de fractions ordinaires selon plusieurs options possibles.

Multiplier une fraction commune par une fraction

C'est le cas le plus simple dans lequel vous devez utiliser ce qui suit règles pour multiplier des fractions.

À multiplier fraction par fraction, nécessaire:

multipliez le numérateur de la première fraction par le numérateur de la deuxième fraction et écrivez leur produit au numérateur de la nouvelle fraction ;

multipliez le dénominateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction et écrivez leur produit au dénominateur de la nouvelle fraction ;

Avant de multiplier les numérateurs et les dénominateurs, vérifiez si les fractions peuvent être réduites. Réduire les fractions dans les calculs rendra vos calculs beaucoup plus faciles.

Multiplier une fraction par un nombre naturel

Pour faire une fraction multiplier par un nombre naturel Vous devez multiplier le numérateur de la fraction par ce nombre et laisser le dénominateur de la fraction inchangé.

Si le résultat de la multiplication est une fraction impropre, n'oubliez pas de la transformer en nombre fractionnaire, c'est-à-dire de mettre en évidence la partie entière.

Multiplier des nombres fractionnaires

Pour multiplier des nombres fractionnaires, vous devez d'abord les transformer en fractions impropres, puis multiplier selon la règle de multiplication des fractions ordinaires.

Une autre façon de multiplier une fraction par un nombre naturel

Parfois, lors des calculs, il est plus pratique d’utiliser une autre méthode pour multiplier une fraction commune par un nombre.

Pour multiplier une fraction par un nombre naturel, vous devez diviser le dénominateur de la fraction par ce nombre et laisser le numérateur inchangé.

Comme le montre l'exemple, cette version de la règle est plus pratique à utiliser si le dénominateur de la fraction est divisible par un nombre naturel sans reste.

Diviser une fraction par un nombre

Quel est le moyen le plus rapide de diviser une fraction par un nombre ? Analysons la théorie, tirons une conclusion et utilisons des exemples pour voir comment diviser une fraction par un nombre peut être effectué à l'aide d'une nouvelle règle courte.

Généralement, diviser une fraction par un nombre suit la règle de division des fractions. On multiplie le premier nombre (fraction) par l'inverse du second. Puisque le deuxième nombre est un nombre entier, son inverse est une fraction dont le numérateur est égal à un et le dénominateur est égal au nombre donné. Schématiquement, diviser une fraction par un nombre naturel ressemble à ceci :

De là nous concluons :

Pour diviser une fraction par un nombre, vous devez multiplier le dénominateur par ce nombre et laisser le numérateur inchangé. La règle peut être formulée encore plus brièvement :

Lorsque l’on divise une fraction par un nombre, le nombre entre dans le dénominateur.

Divisez une fraction par un nombre :

Pour diviser une fraction par un nombre, on réécrit le numérateur inchangé, et on multiplie le dénominateur par ce nombre. On réduit 6 et 3 par 3.

Lorsque nous divisons une fraction par un nombre, nous réécrivons le numérateur et multiplions le dénominateur par ce nombre. On réduit 16 et 24 par 8.

Lorsque nous divisons une fraction par un nombre, le nombre entre dans le dénominateur, nous laissons donc le numérateur identique et multiplions le dénominateur par le diviseur. On réduit 21 et 35 par 7.

Multiplier et diviser des fractions

Il est maintenant temps de s'occuper de la multiplication et de la division. La bonne nouvelle est que ces opérations sont encore plus simples que l’addition et la soustraction. Considérons d’abord le cas le plus simple, lorsqu’il existe deux fractions positives sans partie entière séparée.

Pour diviser deux fractions, vous devez multiplier la première fraction par la deuxième fraction « inversée ».

Tâche. Trouvez le sens de l'expression :

Par définition nous avons :

Multiplier des fractions par des parties entières et des fractions négatives

Si les fractions contiennent une partie entière, elles doivent être converties en fractions impropres - et ensuite seulement multipliées selon les schémas décrits ci-dessus.

S'il y a un moins au numérateur d'une fraction, au dénominateur ou devant celui-ci, il peut être retiré de la multiplication ou supprimé complètement selon les règles suivantes :

Plus par moins donne moins ;
Deux négatifs font un affirmatif.

On raye les négatifs par paires jusqu'à ce qu'ils disparaissent complètement. Dans des cas extrêmes, un moins peut survivre - celui pour lequel il n'y avait pas de partenaire ;
S'il ne reste plus de points négatifs, l'opération est terminée - vous pouvez commencer à multiplier. Si le dernier moins n’est pas barré parce qu’il n’y avait pas de paire, on le sort des limites de la multiplication. Le résultat est une fraction négative.

Nous convertissons toutes les fractions en fractions impropres, puis retirons les moins de la multiplication. On multiplie ce qui reste selon les règles habituelles. On a:

Permettez-moi de vous rappeler encore une fois que le moins qui apparaît devant une fraction avec une partie entière en surbrillance fait spécifiquement référence à la fraction entière, et pas seulement à sa partie entière (cela s'applique aux deux derniers exemples).

Faites également attention aux nombres négatifs : lors de la multiplication, ils sont mis entre parenthèses. Ceci est fait afin de séparer les moins des signes de multiplication et de rendre l'ensemble de la notation plus précise.

Réduire les fractions à la volée

Dans tous les exemples, les nombres réduits et ce qui en reste sont marqués en rouge.

Cependant, n’utilisez jamais cette technique pour additionner et soustraire des fractions ! Oui, il existe parfois des chiffres similaires que vous souhaitez simplement réduire. Tiens, regarde :

Vous ne pouvez pas faire ça !

Il n'y a tout simplement aucune autre raison pour réduire les fractions, donc la bonne solution au problème précédent ressemble à ceci :

Comme vous pouvez le constater, la bonne réponse s’est avérée moins belle. En général, soyez prudent.

Diviser des fractions.

Diviser une fraction par un nombre naturel.

Exemples de division d'une fraction par un nombre naturel

Diviser un nombre naturel par une fraction.

Exemples de division d'un nombre naturel par une fraction

Division de fractions ordinaires.

Exemples de division de fractions ordinaires

Division de nombres mixtes.

convertir des fractions mixtes en fractions impropres ;
multiplier la première fraction par l'inverse de la seconde ;
réduire la fraction résultante;
Si vous obtenez une fraction impropre, convertissez-la en une fraction mixte.

Exemples de division de nombres fractionnaires

1 1 2 : 2 2 3 = 1 2 + 1 2 : 2 3 + 2 3 = 3 2 : 8 3 = 3 2 3 8 = 3 3 2 8 = 9 16

2 1 7 : 3 5 = 2 7 + 1 7 : 3 5 = 15 7 : 3 5 = 15 7 5 3 = 15 5 7 3 = 5 5 7 = 25 7 = 7 3 + 4 7 = 3 4 7

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Je m'appelle Dovjik Mikhaïl Viktorovitch. Je suis le propriétaire et l'auteur de ce site, j'ai écrit tout le matériel théorique, et j'ai également développé exercices en ligne et des calculatrices que vous pouvez utiliser pour étudier les mathématiques.

Fractions. Multiplier et diviser des fractions.

Multiplier une fraction commune par une fraction.

Pour multiplier des fractions ordinaires, il faut multiplier le numérateur par le numérateur (on obtient le numérateur du produit) et le dénominateur par le dénominateur (on obtient le dénominateur du produit).

Formule pour multiplier des fractions :

Avant de commencer à multiplier les numérateurs et les dénominateurs, vous devez vérifier si la fraction peut être réduite. Si vous parvenez à réduire la fraction, il vous sera plus facile de faire d'autres calculs.

Note! Inutile de chercher ici un dénominateur commun !!

Diviser une fraction commune par une fraction.

La division d'une fraction ordinaire par une fraction se déroule comme ceci : vous retournez la deuxième fraction (c'est-à-dire que vous changez le numérateur et le dénominateur) et après cela, les fractions sont multipliées.

Formule pour diviser des fractions ordinaires :

Multiplier une fraction par un nombre naturel.

Note! Lors de la multiplication d'une fraction par un nombre naturel, le numérateur de la fraction est multiplié par notre nombre naturel et le dénominateur de la fraction reste le même. Si le résultat du produit est une fraction impropre, assurez-vous de mettre en évidence la partie entière, en transformant la fraction impropre en fraction mixte.

Division de fractions impliquant des nombres naturels.

Ce n'est pas aussi effrayant qu'il y paraît. Comme pour l’addition, on convertit le nombre entier en une fraction avec un au dénominateur. Par exemple:

Multiplier des fractions mixtes.

Règles de multiplication des fractions (mixtes) :

convertir des fractions mixtes en fractions impropres ;
multiplier les numérateurs et les dénominateurs des fractions ;
réduire la fraction;
Si vous obtenez une fraction impropre, nous convertissons la fraction impropre en fraction mixte.

Note! Pour multiplier une fraction mixte par une autre fraction mixte, vous devez d'abord les convertir sous forme de fractions impropres, puis multiplier selon la règle de multiplication des fractions ordinaires.

La deuxième façon de multiplier une fraction par un nombre naturel.

Il peut être plus pratique d'utiliser la deuxième méthode pour multiplier une fraction commune par un nombre.

Note! Pour multiplier une fraction par un nombre naturel, vous devez diviser le dénominateur de la fraction par ce nombre et laisser le numérateur inchangé.

D'après l'exemple donné ci-dessus, il est clair que cette option est plus pratique à utiliser lorsque le dénominateur d'une fraction est divisé sans reste par un nombre naturel.

Fractions à plusieurs étages.

Au lycée, on rencontre souvent des fractions de trois étages (ou plus). Exemple:

Pour ramener une telle fraction à sa forme habituelle, utilisez la division par 2 points :

Note! Lors de la division de fractions, l’ordre de division est très important. Attention, il est facile de se tromper ici.

Note, Par exemple:

En divisant un par n'importe quelle fraction, le résultat sera la même fraction, seulement inversée :

Conseils pratiques pour multiplier et diviser des fractions :

1. La chose la plus importante lorsque l’on travaille avec des expressions fractionnaires est la précision et l’attention. Effectuez tous les calculs avec soin et précision, de manière concentrée et claire. Il vaut mieux écrire quelques lignes supplémentaires dans son brouillon plutôt que de se perdre dans des calculs mentaux.

2. Dans les tâches avec différents types de fractions, accédez au type de fractions ordinaires.

3. Nous réduisons toutes les fractions jusqu'à ce qu'il ne soit plus possible de les réduire.

4. Nous transformons les expressions fractionnaires à plusieurs niveaux en expressions ordinaires en utilisant la division par 2 points.

Sous- et sous- Chanson retravaillée "Spring Tango" (Le temps vient - les oiseaux volent du sud) - musique. Valery Milyaev Je n'ai pas assez entendu, je n'ai pas compris, je n'ai pas compris, dans le sens où je n'ai pas deviné, j'ai écrit tous les verbes avec indissociablement, je ne connaissais pas le préfixe nedo. Ça arrive, […]
Page introuvable En troisième lecture finale, un ensemble de documents gouvernementaux a été adopté, prévoyant la création d'un circonscriptions administratives(SAR). Suite à sa sortie de l’Union européenne, le Royaume-Uni ne sera pas inclus dans l’espace européen de TVA et […]
La Commission d'enquête commune apparaîtra à l'automne La Commission d'enquête commune apparaîtra à l'automne L'enquête de tous les organismes chargés de l'application des lois sera regroupée sous un même toit à la quatrième tentative Déjà à l'automne 2014, selon les Izvestia, le président Vladimir Poutine [ …]
Brevet pour un algorithme À quoi ressemble un brevet pour un algorithme Comment est préparé un brevet pour un algorithme Préparation descriptions techniques les méthodes de stockage, de traitement et de transmission de signaux et/ou de données spécifiquement à des fins de brevet ne présentent généralement pas de difficultés particulières, et […]
CE QUI EST IMPORTANT DE SAVOIR SUR LE NOUVEAU PROJET DE LOI SUR LES PENSIONS DU 12 décembre 1993 CONSTITUTION DE LA FÉDÉRATION DE RUSSIE (tenant compte des modifications apportées par les lois de la Fédération de Russie sur les amendements à la Constitution de la Fédération de Russie du 30 décembre 2008 N 6- FKZ, du 30 décembre 2008 N 7-FKZ, […]
Des chansons amusantes sur la pension d'une femme pour le héros du jour, des hommes pour le héros du jour, des hommes - en chœur pour le héros du jour, des femmes - un dévouement aux retraités, des femmes, humoristiques. Les concours pour les retraités seront intéressants. : Chers amis! Juste un moment! Sensation! Seulement […]