Parabole - propriétés et graphique d'une fonction quadratique. Dérivation de l'équation de la parabole

Niveau III

3.1. L'hyperbole touche les lignes 5 X – 6oui – 16 = 0, 13X – 10oui– – 48 = 0. Notez l'équation de l'hyperbole à condition que ses axes coïncident avec les axes de coordonnées.

3.2. Écrire des équations pour les tangentes à une hyperbole

1) passer par un point UN(4, 1), B(5, 2) et C(5, 6);

2) parallèle à la droite 10 X – 3oui + 9 = 0;

3) perpendiculaire à la droite 10 X – 3oui + 9 = 0.

Parabole est le lieu géométrique des points du plan dont les coordonnées satisfont à l'équation

Paramètres de la parabole :

Point F(p/2, 0) est appelé se concentrer paraboles, magnitude p – paramètre , point À PROPOS(0, 0) – haut . Dans ce cas, la droite DE, par rapport à laquelle la parabole est symétrique, définit l'axe de cette courbe.

Ordre de grandeur Où M(X, oui) – un point arbitraire d’une parabole, appelé rayon focal , droit D: X = –p/2 – directrice (il ne coupe pas la région intérieure de la parabole). Ordre de grandeur s'appelle l'excentricité de la parabole.

La principale propriété caractéristique d'une parabole: tous les points de la parabole sont équidistants de la directrice et du foyer (Fig. 24).

Il existe d'autres formes de l'équation canonique de la parabole qui déterminent d'autres directions de ses branches dans le système de coordonnées (Fig. 25) :

Pour réglage paramétrique paraboles comme paramètre t la valeur en ordonnée du point de la parabole peut être prise :

Où t est un nombre réel arbitraire.

Exemple 1. Déterminez les paramètres et la forme d'une parabole à l'aide de son équation canonique :

Solution. 1. Équation oui 2 = –8X définit une parabole dont le sommet est au point À PROPOS Oh. Ses branches sont dirigées vers la gauche. En comparant cette équation avec l'équation oui 2 = –2px, on trouve : 2 p = 8, p = 4, p/2 = 2. Par conséquent, l’accent est mis sur le point F(–2 ; 0), équation directrice D: X= 2 (Fig.26).

2. Équation X 2 = –4oui définit une parabole dont le sommet est au point Ô(0 ; 0), symétrique par rapport à l'axe Oy. Ses branches sont dirigées vers le bas. En comparant cette équation avec l'équation X 2 = –2py, on trouve : 2 p = 4, p = 2, p/2 = 1. Par conséquent, l’accent est mis sur le point F(0 ; –1), équation directrice D: oui= 1 (Fig. 27).

Exemple 2. Déterminer les paramètres et le type de courbe X 2 + 8X – 16oui– 32 = 0. Faites un dessin.

Solution. Transformons le côté gauche de l'équation en utilisant la méthode d'extraction du carré complet :

X 2 + 8X– 16oui – 32 =0;

(X + 4) 2 – 16 – 16oui – 32 =0;

(X + 4) 2 – 16oui – 48 =0;

(X + 4) 2 – 16(oui + 3).

En conséquence nous obtenons

(X + 4) 2 = 16(oui + 3).

C'est l'équation canonique d'une parabole dont le sommet est au point (–4, –3), le paramètre p= 8, branches pointant vers le haut (), axe X= –4. L'accent est mis sur le point F(–4; –3 + p/2), c'est-à-dire F(–4 ; 1) Directrice D donné par l'équation oui = –3 – p/2 ou oui= –7 (Fig. 28).

Exemple 4.Écrire une équation pour une parabole dont le sommet est au point V(3 ; –2) et concentrez-vous sur le point F(1; –2).

Solution. Le sommet et le foyer d'une parabole donnée se trouvent sur une droite parallèle à l'axe Bœuf(mêmes ordonnées), les branches de la parabole sont dirigées vers la gauche (l'abscisse du foyer est inférieure à l'abscisse du sommet), la distance du foyer au sommet est p/2 = 3 – 1 = 2, p= 4. Par conséquent, l'équation requise

(oui+ 2) 2 = –2 4( X– 3) ou ( oui + 2) 2 = = –8(X – 3).

Tâches pour décision indépendante

je nivelle

1.1. Déterminez les paramètres de la parabole et construisez-la :

1) oui 2 = 2X; 2) oui 2 = –3X;

3) X 2 = 6oui; 4) X 2 = –oui.

1.2. Écrivez l'équation d'une parabole dont le sommet est à l'origine si vous savez que :

1) la parabole est située dans le demi-plan gauche symétriquement par rapport à l'axe Bœuf Et p = 4;

2) la parabole est située symétriquement par rapport à l'axe Oy et passe par le point M(4; –2).

3) la directrice est donnée par l'équation 3 oui + 4 = 0.

1.3. Écrire une équation pour une courbe dont tous les points sont équidistants du point (2 ; 0) et de la droite X = –2.

Niveau II

2.1. Déterminez le type et les paramètres de la courbe.

Considérons une droite sur le plan et un point ne se trouvant pas sur cette droite. ET ellipse, Et hyperbole peut être défini de manière unifiée comme le lieu géométrique des points pour lesquels le rapport de la distance à un point donné à la distance à une droite donnée est une valeur constante

rang ε. À 0 1 - hyperbole. Le paramètre ε est excentricité de l'ellipse et de l'hyperbole. Des possibles valeurs positives un paramètre ε, à savoir ε = 1, s'avère inutilisé. Cette valeur correspond au lieu géométrique des points équidistants d'un point donné et d'une droite donnée.

Définition 8.1. Le lieu géométrique des points dans le plan équidistant de un point fixe et depuis une ligne fixe on appelle parabole.

Le point fixe s'appelle foyer de la parabole, et la ligne droite - directrice d'une parabole. En même temps, on pense que excentricité de la paraboleégal à un.

Des considérations géométriques il résulte que la parabole est symétrique par rapport à la droite perpendiculaire à la directrice et passant par le foyer de la parabole. Cette droite est appelée axe de symétrie de la parabole ou simplement l'axe de la parabole. Une parabole coupe son axe de symétrie en un seul point. Ce point est appelé le sommet de la parabole. Il est situé au milieu du segment reliant le foyer de la parabole au point d'intersection de son axe avec la directrice (Fig. 8.3).

Équation de parabole. Pour dériver l’équation d’une parabole, on choisit sur le plan origine au sommet de la parabole, comme axe x- l'axe de la parabole dont la direction positive est précisée par la position du foyer (voir Fig. 8.3). Ce système de coordonnées est appelé canonique pour la parabole en question, et les variables correspondantes sont canonique.

Notons la distance du foyer à la directrice par p. Il est appelé paramètre focal de la parabole.

Alors le foyer a pour coordonnées F(p/2; 0), et la directrice d est décrite par l'équation x = - p/2. Le lieu des points M(x; y), équidistants du point F et de la droite d, est donné par l'équation

Mettons au carré l’équation (8.2) et présentons-en des similaires. On obtient l'équation

qui est appelée équation canonique de la parabole.

Notez que la mise au carré dans ce cas est une transformation équivalente de l’équation (8.2), puisque les deux côtés de l’équation sont non négatifs, tout comme l’expression sous le radical.

Type de parabole. Si la parabole y 2 = x, dont nous considérons la forme connue, est compressée avec un coefficient 1/(2р) le long de l'axe des abscisses, alors on obtient une parabole de forme générale, qui est décrite par l'équation (8.3).

Exemple 8.2. Trouvons les coordonnées du foyer et l'équation de la directrice d'une parabole si elle passe par un point dont les coordonnées canoniques sont (25 ; 10).

En coordonnées canoniques, l'équation de la parabole a la forme y 2 = 2px. Puisque le point (25 ; 10) est sur la parabole, alors 100 = 50p et donc p = 2. Donc y 2 = 4x est l'équation canonique de la parabole, x = - 1 est l'équation de sa directrice, et le le focus est au point (1; 0 ).

Propriété optique d'une parabole. La parabole a la forme suivante propriété optique. Si une source lumineuse est placée au foyer de la parabole, alors tous les rayons lumineux après réflexion par la parabole seront parallèles à l'axe de la parabole (Fig. 8.4). La propriété optique signifie qu'en tout point M de la parabole vecteur normal la tangente fait des angles égaux avec le rayon focal MF et l'axe des abscisses.

Je suggère au reste des lecteurs d'élargir considérablement leurs connaissances scolaires sur les paraboles et les hyperboles. Hyperbole et parabole : sont-elles simples ? ...Je ne peux pas attendre =)

Hyperbole et son équation canonique

La structure générale de la présentation du matériel ressemblera au paragraphe précédent. Commençons avec concept général hyperboles et problèmes pour sa construction.

L'équation canonique d'une hyperbole a la forme , où sont des nombres réels positifs. Veuillez noter que, contrairement à ellipse, la condition n’est pas imposée ici, c’est-à-dire que la valeur « a » peut être inférieur à la valeur"bébé".

Je dois dire que, de manière assez inattendue... l'équation de l'hyperbole « scolaire » ne ressemble même pas beaucoup à la notation canonique. Mais ce mystère devra encore nous attendre, mais pour l’instant, grattons-nous la tête et rappelons-nous quoi. traits caractéristiques a la courbe en question ? Diffusons-le sur l'écran de notre imagination graphique d'une fonction ….

Une hyperbole a deux branches symétriques.

Pas mal de progrès ! Toute hyperbole a ces propriétés, et maintenant nous allons regarder avec une véritable admiration le décolleté de cette ligne :

Exemple 4

Construire l'hyperbole donnée par l'équation

Solution: dans un premier temps, nous mettons cette équation sous forme canonique. N'oubliez pas la procédure standard. Sur la droite, vous devez obtenir « un », nous divisons donc les deux côtés de l'équation originale par 20 :

Ici, vous pouvez réduire les deux fractions, mais il est plus optimal de faire chacune d'elles trois étages:

Et seulement après cela, effectuez la réduction :

Sélectionnez les carrés dans les dénominateurs :

Pourquoi est-il préférable de réaliser des transformations de cette façon ? Après tout, les fractions du côté gauche peuvent être immédiatement réduites et obtenues. Le fait est que dans l'exemple considéré, nous avons eu un peu de chance : le nombre 20 est divisible à la fois par 4 et par 5. Dans le cas général, un tel nombre ne fonctionne pas. Considérons, par exemple, l'équation . Ici avec la divisibilité tout est plus triste et sans fractions de trois étages ce n'est plus possible :

Alors, utilisons le fruit de notre travail - l'équation canonique :

Comment construire une hyperbole ?

Il existe deux approches pour construire une hyperbole : géométrique et algébrique.
D'un point de vue pratique, dessiner au compas... Je dirais même utopique, il est donc bien plus rentable de recourir encore une fois à des calculs simples pour s'aider.

Il est conseillé de respecter l'algorithme suivant, d'abord le dessin terminé, puis les commentaires :

En pratique, on rencontre souvent une combinaison de rotation d'un angle arbitraire et de translation parallèle de l'hyperbole. Cette situation discuté en classe Réduire l'équation de la droite du 2ème ordre à la forme canonique.

Parabole et son équation canonique

C'est fini! C'est la bonne. Prêt à révéler de nombreux secrets. L'équation canonique d'une parabole a la forme , où est un nombre réel. Il est facile de remarquer que dans sa position standard la parabole « repose sur le côté » et que son sommet est à l'origine. Dans ce cas, la fonction spécifie la branche supérieure de cette ligne, et la fonction – la branche inférieure. Il est évident que la parabole est symétrique par rapport à l’axe. En fait, pourquoi s'embêter :

Exemple 6

Construire une parabole

Solution: le sommet est connu, trouvons des points supplémentaires. L'équation détermine l'arc supérieur de la parabole, l'équation détermine l'arc inférieur.

Afin de raccourcir l'enregistrement des calculs, nous effectuerons les calculs « avec un seul pinceau » :

Pour un enregistrement compact, les résultats pourraient être résumés dans un tableau.

Avant d’effectuer un dessin élémentaire point par point, formulons un schéma strict

définition de la parabole :

Une parabole est l'ensemble de tous les points du plan qui sont équidistants d'un point donné et d'une ligne donnée qui ne passe pas par ce point.

Le point s'appelle se concentrer paraboles, ligne droite - directrice (écrit avec un "es") paraboles. La constante "pe" de l'équation canonique est appelée paramètre focal, qui est égale à la distance du foyer à la directrice. Dans ce cas . Dans ce cas, le foyer a des coordonnées , et la directrice est donnée par l'équation .
Dans notre exemple :

La définition d’une parabole est encore plus simple à comprendre que celles d’une ellipse et d’une hyperbole. Pour tout point d'une parabole, la longueur du segment (la distance du foyer au point) est égale à la longueur de la perpendiculaire (la distance du point à la directrice) :

Toutes nos félicitations! Vous êtes nombreux à avoir fait une véritable découverte aujourd’hui. Il s'avère qu'une hyperbole et une parabole ne sont pas du tout des graphiques de fonctions « ordinaires », mais ont une origine géométrique prononcée.

Évidemment, à mesure que le paramètre focal augmente, les branches du graphique « monteront » de haut en bas, se rapprochant infiniment de l’axe. À mesure que la valeur « pe » diminue, ils commenceront à se comprimer et à s'étirer le long de l'axe.

L'excentricité de toute parabole est égale à l'unité :

Rotation et translation parallèle d'une parabole

La parabole est l’une des droites les plus courantes en mathématiques et vous devrez la construire très souvent. Par conséquent, veuillez accorder une attention particulière au dernier paragraphe de la leçon, où je discuterai des options typiques pour l'emplacement de cette courbe.

! Note : comme dans les cas des courbes précédentes, il est plus correct de parler de rotation et de translation parallèle des axes de coordonnées, mais l'auteur se limitera à une version simplifiée de la présentation afin que le lecteur ait une compréhension de base de ces transformations.

Tout au long de ce chapitre, on suppose qu'une certaine échelle a été choisie dans le plan (dans lequel se trouvent toutes les figures considérées ci-dessous) ; Seuls les systèmes de coordonnées rectangulaires avec cette échelle sont pris en compte.

§ 1. Parabole

La parabole est connue du lecteur depuis cours scolaire les mathématiques comme une courbe qui est le graphique d'une fonction

(Fig. 76). (1)

Graphique de n'importe quel trinôme quadratique

est aussi une parabole ; est possible en déplaçant simplement le système de coordonnées (par un vecteur OO), c'est-à-dire en transformant

assurez-vous que le graphique de la fonction (dans le deuxième système de coordonnées) coïncide avec le graphique (2) (dans le premier système de coordonnées).

En fait, substituons (3) à l'égalité (2). On a

On veut choisir pour que le coefficient at et le terme libre du polynôme (par rapport à ) du côté droit de cette égalité soient égaux à zéro. Pour ce faire, on détermine à partir de l'équation

qui donne

Maintenant, nous déterminons à partir de la condition

dans lequel nous substituons la valeur déjà trouvée. On a

Ainsi, au moyen du décalage (3), dans lequel

nous sommes passés à un nouveau système de coordonnées, dans lequel l'équation de la parabole (2) a pris la forme

(Fig. 77).

Revenons à l'équation (1). Cela peut servir de définition d’une parabole. Rappelons ses propriétés les plus simples. La courbe a un axe de symétrie : si un point satisfait à l'équation (1), alors un point symétrique au point M par rapport à l'axe des ordonnées satisfait également à l'équation (1) - la courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (Fig. 76) .

Si , alors la parabole (1) se situe dans le demi-plan supérieur et a un seul point commun O avec l'axe des abscisses.

Avec une augmentation illimitée de la valeur absolue de l'abscisse, l'ordonnée augmente également sans limite. Forme générale donner une courbe sur la Fig. 76, a.

Si (Fig. 76, b), alors la courbe est située dans le demi-plan inférieur symétriquement par rapport à l'axe des abscisses de la courbe.

Si nous passons à un nouveau système de coordonnées, obtenu à partir de l'ancien en remplaçant la direction positive de l'axe des ordonnées par la direction opposée, alors la parabole, qui a l'équation y dans l'ancien système, recevra l'équation y dans le nouveau système de coordonnées. Par conséquent, lors de l'étude des paraboles, nous pouvons nous limiter aux équations (1), dans lesquelles .

Changeons enfin les noms des axes, c'est-à-dire que nous passerons à un nouveau système de coordonnées, dans lequel l'axe des ordonnées sera l'ancien axe des abscisses, et l'axe des abscisses sera l'ancien axe des ordonnées. Dans ce nouveau système, l'équation (1) s'écrira sous la forme

Ou, si le nombre est noté , sous la forme

L'équation (4) est appelée en géométrie analytique l'équation canonique d'une parabole ; le système de coordonnées rectangulaires dans lequel une parabole donnée a l'équation (4) est appelé système de coordonnées canonique (pour cette parabole).

Maintenant, nous allons installer signification géométrique coefficient Pour ce faire, nous prenons le point

appelée foyer de la parabole (4), et la droite d, définie par l'équation

Cette droite est appelée directrice de la parabole (4) (voir Fig. 78).

Soit un point arbitraire de la parabole (4). De l'équation (4), il s'ensuit que Par conséquent, la distance du point M à la directrice d est le nombre

La distance du point M au foyer F est

Mais donc

Ainsi, tous les points M de la parabole sont équidistants de son foyer et de sa directrice :

Inversement, tout point M satisfaisant la condition (8) se trouve sur la parabole (4).

En effet,

Ainsi,

et, après avoir ouvert les parenthèses et apporté des termes semblables,

Nous avons prouvé que chaque parabole (4) est le lieu des points équidistants du foyer F et de la directrice d de cette parabole.

Parallèlement, nous avons établi la signification géométrique du coefficient dans l'équation (4) : le nombre est égal à la distance entre le foyer et la directrice de la parabole.

Supposons maintenant qu'un point F et une droite d ne passant pas par ce point soient donnés arbitrairement sur le plan. Montrons qu'il existe une parabole de foyer F et de directrice d.

Pour ce faire, tracez une ligne g passant par le point F (Fig. 79), perpendiculaire à la ligne d ; notons D le point d'intersection des deux droites ; la distance (c'est-à-dire la distance entre le point F et la droite d) sera notée .

Transformons la droite g en axe, en prenant la direction DF comme positive. Faisons de cet axe l'axe des abscisses d'un repère rectangulaire dont l'origine est le milieu O du segment

Alors la droite d reçoit également l’équation .

Nous pouvons maintenant écrire l'équation canonique de la parabole dans le système de coordonnées sélectionné :

où le point F sera le foyer, et la droite d sera la directrice de la parabole (4).

Nous avons établi plus haut qu'une parabole est le lieu des points M équidistants du point F et de la droite d. Ainsi, nous pouvons donner une telle définition géométrique (c’est-à-dire indépendante de tout système de coordonnées) d’une parabole.

Définition. Une parabole est le lieu des points équidistants d’un point fixe (le « foyer » de la parabole) et d’une ligne fixe (la « directrice » de la parabole).

En désignant la distance entre le foyer et la directrice d'une parabole par , on peut toujours trouver un système de coordonnées rectangulaires canonique pour une parabole donnée, c'est-à-dire dans lequel l'équation de la parabole a la forme canonique :

À l’inverse, toute courbe qui possède une telle équation dans un système de coordonnées rectangulaires est une parabole (au sens géométrique que nous venons d’établir).

La distance entre le foyer et la directrice d'une parabole est appelée paramètre focal, ou simplement paramètre de la parabole.

La droite passant par le foyer perpendiculaire à la directrice de la parabole est appelée son axe focal (ou simplement axe) ; c'est l'axe de symétrie de la parabole - cela découle du fait que l'axe de la parabole est l'axe des abscisses dans le système de coordonnées, par rapport auquel l'équation de la parabole a la forme (4).

Si un point satisfait à l'équation (4), alors un point symétrique au point M par rapport à l'axe des abscisses satisfait également à cette équation.

Le point d'intersection d'une parabole avec son axe est appelé sommet de la parabole ; c'est l'origine du système de coordonnées canonique pour une parabole donnée.

Donnons une autre interprétation géométrique du paramètre de parabole.

Traçons une ligne droite passant par le foyer de la parabole, perpendiculaire à l'axe de la parabole ; il coupera la parabole en deux points (voir Fig. 79) et déterminera la corde dite focale de la parabole (c'est-à-dire la corde passant par le foyer parallèle à la directrice de la parabole). La moitié de la longueur de la corde focale est le paramètre de la parabole.

En fait, la moitié de la longueur de la corde focale est la valeur absolue de l'ordonnée de l'un des points dont l'abscisse de chacun est égale à l'abscisse du foyer, c'est-à-dire Donc pour l’ordonnée de chaque point on a

Q.E.D.

Introduisons un système de coordonnées rectangulaires, où . Laissez l'axe passer par le foyer F parabole et perpendiculaire à la directrice, et l'axe passe à mi-chemin entre le foyer et la directrice. Désignons par la distance entre le foyer et la directrice. Puis l’équation directrice.

Ce nombre est appelé paramètre focal de la parabole. Soit le point actuel de la parabole. Soit le rayon focal du point de l'hyperbole, soit la distance du point à la directrice. Alors( dessin 27.)

Dessin 27.

Par définition d'une parabole. Ainsi,

Mettons l'équation au carré et obtenons :

(15)

où (15) est l’équation canonique d’une parabole symétrique par rapport à l’axe et passant par l’origine.

Etude des propriétés d'une parabole

1) Sommet de la parabole :

L'équation (15) est satisfaite par des nombres et, par conséquent, la parabole passe par l'origine.

2) Symétrie parabolique :

Appartenons à la parabole, c'est-à-dire à la vraie égalité. Le point est symétrique au point par rapport à l'axe, donc la parabole est symétrique par rapport à l'axe des abscisses.

Excentricité de la parabole :

Définition 4.2. L'excentricité d'une parabole est un nombre égal à un.

Puisque par définition d'une parabole.

4) Tangente de la parabole :

La tangente à une parabole au point de tangence est donnée par l'équation

Où ( dessin 28.)

Dessin 28.

Image de parabole

Dessin 29.

Utilisation d'ESO-Mathcad :

dessin 30.)

Dessin 30.

a) Construction sans utilisation des TIC : Pour construire une parabole, nous définissons un système de coordonnées rectangulaires avec un centre au point O et un segment unitaire. On marque le focus sur l'axe OX, puisque l'on dessine tel que, et la directrice de la parabole. Nous construisons un cercle en un point de rayon égal à la distance de la droite à la directrice de la parabole. Le cercle coupe la ligne aux points . On construit une parabole pour qu'elle passe par l'origine et par les points.( dessin 31.)

Dessin 31.

b) Utilisation d'ESO-Mathcad :

L'équation résultante ressemble à : . Pour construire une droite du second ordre dans le programme Mathcad, on réduit l'équation à la forme : .( dessin 32.)

Dessin 32.

Afin de résumer les travaux sur la théorie des droites du second ordre en mathématiques élémentaires et pour faciliter l'utilisation des informations sur les droites lors de la résolution de problèmes, nous inclurons toutes les données sur les droites du second ordre dans le tableau n° 1.

Tableau n°1.

Lignes du second ordre en mathématiques élémentaires

Possibilités d'utilisation des TIC dans l'étude des lignes de second ordre

Le processus d'informatisation, qui couvre aujourd'hui tous les aspects de la vie de la société moderne, comporte plusieurs domaines prioritaires, qui devraient bien entendu inclure l'informatisation de l'éducation. C'est la base fondamentale de la rationalisation globale de l'activité intellectuelle humaine grâce à l'utilisation des technologies de l'information et de la communication (TIC).

Le milieu des années 90 du siècle dernier jusqu'à aujourd'hui est caractérisé par l'utilisation généralisée et la disponibilité des ordinateurs personnels en Russie, l'utilisation généralisée des télécommunications, qui permet l'introduction de technologies de l'information éducatives développées dans le processus éducatif, l'améliorant et le modernisant, améliorant la qualité des connaissances, en augmentant la motivation à apprendre, en utilisant au maximum le principe d'individualisation de l'apprentissage. Les technologies de l'information pour l'éducation sont un outil nécessaire à ce stade de l'informatisation de l'éducation.

Les technologies de l'information facilitent non seulement l'accès à l'information et ouvrent des possibilités de variabilité des activités éducatives, de leur individualisation et de leur différenciation, mais permettent également d'organiser d'une manière nouvelle l'interaction de toutes les matières d'apprentissage, de construire système éducatif, dans lequel l'étudiant participerait activement et sur un pied d'égalité aux activités éducatives.

Formation de nouveaux technologies de l'information dans cours de matières stimuler la nécessité de créer de nouveaux logiciels et complexes méthodologiques visant à améliorer qualitativement l'efficacité de la leçon. Par conséquent, pour une utilisation réussie et ciblée dans processus éducatif outils informatiques, les enseignants doivent savoir description générale principes de fonctionnement et capacités didactiques des applications logicielles, puis, sur la base de leur expérience et de leurs recommandations, les « intégrer » dans le processus éducatif.

L'étude des mathématiques est actuellement associée à un certain nombre de particularités et de difficultés de développement. éducation scolaire dans notre pays.

Une soi-disant crise de l’enseignement des mathématiques est apparue. Les raisons en sont les suivantes :

Dans l'évolution des priorités dans la société et dans la science, c'est-à-dire que la priorité des sciences humaines augmente actuellement ;

En réduisant le nombre de cours de mathématiques à l'école ;

L'isolement du contenu de l'enseignement mathématique de la vie ;

A peu d’impact sur les sentiments et les émotions des élèves.

Aujourd'hui, la question reste ouverte : « Comment utiliser le plus efficacement possible les capacités potentielles des technologies modernes de l'information et de la communication dans l'enseignement aux écoliers, y compris dans l'enseignement des mathématiques ?

Un ordinateur est un excellent assistant pour étudier un sujet tel que la « fonction quadratique », car à l'aide de programmes spéciaux, vous pouvez créer des graphiques de diverses fonctions, explorer la fonction, déterminer facilement les coordonnées des points d'intersection, calculer les aires de figures fermées, etc. Par exemple, dans une leçon d'algèbre de 9e consacrée à la transformation de graphes (étirement, compression, déplacement des axes de coordonnées), on ne peut voir que le résultat figé de la construction, tandis que toute la dynamique des actions séquentielles de l'enseignant et de l'élève est visible. sur l’écran du moniteur.

Un ordinateur pas comme les autres moyens techniques, révèle avec précision, clarté et enthousiasme les modèles mathématiques idéaux à l'étudiant, c'est-à-dire ce à quoi un enfant devrait s'efforcer dans ses actions pratiques.

Combien de difficultés un professeur de mathématiques doit-il surmonter pour convaincre les élèves que la tangente au graphique fonction quadratique au point de contact, il se confond pratiquement avec le graphique de la fonction. Il est très facile de démontrer ce fait sur un ordinateur : il suffit de rétrécir l’intervalle le long de l’axe Ox et de découvrir que dans un très petit voisinage du point de tangence, le graphique de la fonction et la tangente coïncident. Toutes ces actions se déroulent devant les étudiants. Cet exemple donne une impulsion à une réflexion active dans la leçon. L'utilisation d'un ordinateur est possible aussi bien lors de l'explication de nouveau matériel en classe qu'au stade du contrôle. A l'aide de ces programmes, par exemple « Mon Test », l'étudiant peut tester en toute autonomie son niveau de connaissances théoriques et réaliser des tâches théoriques et pratiques. Les programmes sont pratiques en raison de leur polyvalence. Ils peuvent être utilisés à la fois pour la maîtrise de soi et pour le contrôle de l’enseignant.

Une intégration raisonnable des mathématiques et de la technologie informatique nous permettra d’examiner plus richement et plus profondément le processus de résolution d’un problème et le processus de compréhension des lois mathématiques. De plus, l'ordinateur contribuera à former une culture graphique, mathématique et mentale des élèves, et à l'aide d'un ordinateur vous pourrez préparer du matériel didactique : fiches, fiches d'enquête, tests, etc. possibilité de développer de manière indépendante des tests sur le sujet, au cours desquels intérêt et créativité.

Il est donc nécessaire d’utiliser le plus largement possible les ordinateurs dans les cours de mathématiques. L'utilisation des technologies de l'information contribuera à améliorer la qualité des connaissances, à élargir les horizons d'étude de la fonction quadratique, et donc à trouver de nouvelles perspectives pour maintenir l'intérêt des étudiants pour le sujet et le sujet, et donc pour une attitude meilleure et plus attentive à son égard. . Aujourd'hui, les technologies de l'information modernes deviennent l'outil le plus important pour moderniser l'école dans son ensemble - de la gestion à l'éducation et garantir l'accessibilité de l'éducation.