Le théorème prouvé en 1994. Le dernier théorème de Fermat : preuve de Wiles et Perelman, formules, règles de calcul et preuve complète du théorème

Au cours du dernier XXe siècle, s’est produit un événement qui n’a jamais été d’une ampleur égale en mathématiques dans toute son histoire. Le 19 septembre 1994, un théorème formulé par Pierre de Fermat (1601-1665) il y a plus de 350 ans en 1637 était prouvé. Il est également connu sous le nom de « dernier théorème de Fermat » ou « dernier théorème de Fermat » car il existe également ce qu'on appelle le « petit théorème de Fermat ». Cela a été prouvé par Andrew Wiles, professeur à l'Université de Princeton, 41 ans, qui jusqu'à présent n'avait rien de remarquable dans la communauté mathématique et, selon les normes mathématiques, n'était plus jeune.

Il est surprenant que non seulement nos habitants russes ordinaires, mais aussi de nombreuses personnes intéressées par la science, y compris même un nombre considérable de scientifiques russes qui utilisent les mathématiques d'une manière ou d'une autre, ne soient pas vraiment au courant de cet événement. C’est ce que montrent les reportages « sensationnels » continus sur les « preuves élémentaires » du théorème de Fermat dans les journaux populaires russes et à la télévision. Les dernières preuves étaient couvertes d’un tel pouvoir d’information, comme si les preuves de Wiles, qui ont fait l’objet de l’examen le plus autorisé et sont devenues largement connues dans le monde entier, n’existaient pas. La réaction de la communauté mathématique russe à cette nouvelle en première page dans le contexte d’une preuve rigoureuse obtenue il y a longtemps a été étonnamment lente. Notre objectif est d'esquisser l'histoire fascinante et dramatique de la preuve de Wiles dans le contexte de l'histoire enchanteresse du grand théorème de Fermat lui-même, et de parler un peu de sa preuve elle-même. Ici, nous nous intéressons principalement à la question de la possibilité d'une présentation accessible de la preuve de Wiles, que, bien sûr, la plupart des mathématiciens du monde connaissent, mais seulement très, très peu d'entre eux peuvent parler de compréhension de cette preuve.

Rappelons donc le célèbre théorème de Fermat. La plupart d’entre nous en ont entendu parler d’une manière ou d’une autre depuis l’école. Ce théorème est lié à une équation très significative. Il s’agit peut-être de l’équation significative la plus simple pouvant être écrite en utilisant trois inconnues et un autre paramètre entier strictement positif. C'est ici:

Le dernier théorème de Fermat stipule que pour les valeurs du paramètre (le degré de l'équation) supérieures à deux, il n'y a pas de solutions entières à une équation donnée (sauf bien sûr la solution lorsque toutes ces variables sont égales à zéro à la en même temps).

Le pouvoir attractif du théorème de Fermat pour le grand public est évident : il n’existe aucun autre énoncé mathématique qui ait une telle simplicité de formulation, une telle accessibilité apparente de la preuve, ainsi que l’attrait de son « statut » aux yeux de la société.

Avant Wiles, une incitation supplémentaire pour les Fermatistes (comme on appelait ceux qui attaquaient de manière maniaque le problème de Fermat) était le prix de la preuve allemand Wolfskehl, créé il y a près de cent ans, bien que petit par rapport au prix Nobel - il a réussi à se déprécier au cours de la Première Guerre mondiale. Guerre mondiale.

Par ailleurs, le caractère probablement élémentaire de la preuve a toujours attiré l'attention, puisque Fermat lui-même « l'a prouvé » en écrivant en marge de la traduction de l'Arithmétique de Diophante : « J'en ai trouvé une preuve vraiment merveilleuse, mais les marges ici sont trop étroits pour le contenir.

C'est pourquoi il convient ici d'évaluer la pertinence de vulgariser la preuve du problème de Fermat de Wiles, qui appartient au célèbre mathématicien américain R. Murty (nous citons la traduction prochainement publiée de l'ouvrage de Yu. Manin et A. Panchishkin « Introduction à la théorie moderne des nombres » :

"Le dernier théorème de Fermat occupe endroit spécial dans l'histoire de la civilisation. Avec sa simplicité extérieure, il a toujours attiré aussi bien les amateurs que les professionnels... Tout semble avoir été conçu par un esprit supérieur qui, au fil des siècles, a développé diverses lignes de pensée pour ensuite les réunir en une fusion passionnante pour résoudre le Grand Théorèmes de Fermat. Personne ne peut prétendre être un expert sur toutes les idées utilisées dans cette preuve « miracle ». À l’ère de la spécialisation universelle, où chacun de nous en sait « de plus en plus sur de moins en moins », il est absolument nécessaire d’avoir une vue d’ensemble de ce chef-d’œuvre… »

Tous longue histoire Le théorème mystérieux était accompagné d'annonces constantes de sa preuve, à commencer par Fermat lui-même. Des erreurs constantes dans le flot incessant de preuves ont frappé non seulement les mathématiciens amateurs, mais aussi les mathématiciens professionnels. Cela a conduit au fait que le terme « Fermatiste », appliqué à ceux qui ont prouvé le théorème de Fermat, est devenu un nom commun. L'intrigue constante avec ses preuves conduisait parfois à des incidents amusants. Ainsi, lorsqu'une lacune fut découverte dans la première version de la preuve déjà largement médiatisée de Wiles, une inscription malveillante apparut dans l'une des stations de métro de New York : « J'ai trouvé une preuve vraiment merveilleuse du dernier théorème de Fermat, mais mon train est arrivé et je n'ai pas le temps de l'écrire.

Andrew Wiles, né en Angleterre en 1953, a étudié les mathématiques à Cambridge ; à l'école supérieure, il a étudié avec le professeur John Coates. Sous sa direction, Andrew a compris la théorie du mathématicien japonais Iwasawa, qui se trouvait à la frontière théorie classique nombres et géométrie algébrique moderne. Cette fusion de disciplines mathématiques apparemment lointaines est appelée géométrie algébrique arithmétique. Andrew a contesté le problème de Fermat en s'appuyant précisément sur cette théorie synthétique, difficile même pour de nombreux mathématiciens professionnels.

Après avoir terminé ses études supérieures, Wiles a accepté un poste à l'Université de Princeton, où il travaille toujours. Il est marié et père de trois filles, dont deux sont nées « au cours des sept années de processus de la première version de la preuve ». Durant ces années, seule Nada, l'épouse d'Andrew, savait qu'il attaquait seul le sommet le plus inaccessible et le plus célèbre des mathématiques. C’est à elles, Nadya, Claire, Kate et Olivia, que est dédié le célèbre article final de Wiles « Courbes elliptiques modulaires et dernier théorème de Fermat » dans la revue mathématique centrale « Annals of Mathematics », où les plus importantes travail mathématique.

Les événements eux-mêmes autour de la preuve se sont déroulés de manière assez dramatique. Ce scénario passionnant pourrait être appelé « fermatiste – mathématicien professionnel ».

En effet, Andrew rêvait déjà de prouver le théorème de Fermat avec les jeunes années. Mais, contrairement à l'écrasante majorité des fermatistes, il était clair pour lui que pour cela il fallait maîtriser des couches entières des mathématiques les plus complexes. Poursuivant son objectif, Andrew est diplômé de la Faculté de mathématiques de la célèbre université de Cambridge et commence à se spécialiser dans la théorie moderne des nombres, qui se situe à l'intersection de la géométrie algébrique.

L'idée de prendre d'assaut le sommet brillant est assez simple et fondamentale - les meilleures munitions possibles et un développement minutieux de l'itinéraire.

Comme outil puissant pour atteindre cet objectif, la théorie d'Iwasawa, développée par Wiles lui-même et qui lui est déjà familière, qui a de profondes racines historiques, est choisie. Cette théorie généralisait la théorie de Kummer, historiquement la première théorie mathématique sérieuse à attaquer le problème de Fermat, apparu au XIXe siècle. À son tour, les racines de la théorie de Kummer résident dans la célèbre théorie du légendaire et brillant révolutionnaire romantique Evariste Galois, décédé à l'âge de vingt et un ans dans un duel pour défendre l'honneur d'une fille (faites attention, en vous souvenant de l'histoire avec Taniyama , au rôle fatal des belles dames dans l'histoire des mathématiques) .

Wiles est complètement immergé dans la preuve, arrêtant même de participer à conférences scientifiques. Et à la suite d'une retraite de sept ans de la communauté mathématique de Princeton, en mai 1993, Andrew a mis fin à son texte - le travail était terminé.

C'est à ce moment-là que se présente une excellente occasion d'informer monde scientifiqueà propos de sa découverte - déjà en juin, une conférence devait avoir lieu dans son Cambridge natal sur exactement le bon sujet. Trois conférences d'Isaac Newton au Cambridge Institute enthousiasment non seulement le monde mathématique, mais aussi le grand public. A la fin du troisième cours, le 23 juin 1993, Wiles annonce la preuve du dernier théorème de Fermat. La preuve regorge de tout un tas d'idées nouvelles, telles que nouvelle approcheà la conjecture de Taniyama-Shimura-Weil, à la théorie très avancée d'Iwasawa, à la nouvelle « théorie du contrôle des déformations » des représentations de Galois. La communauté mathématique attend avec impatience que le texte de la preuve soit révisé par des experts en géométrie algébrique arithmétique.

C’est là que survient le tournant dramatique. Wiles lui-même, en communiquant avec les évaluateurs, découvre une lacune dans ses preuves. La fissure a été causée par le mécanisme de « contrôle de la déformation » qu’il a lui-même inventé – la structure porteuse de l’épreuve.

L'écart est révélé quelques mois plus tard par l'explication ligne par ligne de Wiles de sa preuve à son collègue de la faculté de Princeton, Nick Katz. Nick Katz, qui entretient des relations amicales avec Andrew depuis longtemps, lui recommande de collaborer avec le jeune mathématicien anglais prometteur Richard Taylor.

Une autre année de travail acharné s'écoule, associée à l'étude d'une arme supplémentaire pour s'attaquer à un problème insoluble - les systèmes dits d'Euler, découverts indépendamment dans les années 80 par notre compatriote Viktor Kolyvagin (travaillant déjà depuis longtemps à l'Université de New York ) et Thain.

Et voici un nouveau test. Inachevé, mais néanmoins très impressionnant, le résultat des travaux de Wiles a été présenté par lui au Congrès international des mathématiciens de Zurich fin août 1994. Wiles se bat dur. Littéralement avant le rapport, selon des témoins oculaires, il écrivait fébrilement autre chose, essayant d'améliorer au maximum la situation avec les preuves « affaissées ».

Après cette audience intrigante des plus grands mathématiciens du monde, le rapport de Wiles, la communauté mathématique « expire de joie » et applaudit avec sympathie : c'est bon, mec, quoi qu'il arrive, mais il a fait progresser la science, montrant qu'en résolvant une hypothèse aussi imprenable, on peut avancer avec succès, ce que personne n'a jamais fait avant que je n'y ai même pas pensé. Un autre fermatiste, Andrew Wiles, n'a pas pu faire disparaître le rêve secret de nombreux mathématiciens de prouver le théorème de Fermat.

Il est naturel d'imaginer l'état de Wiles à cette époque. Même le soutien et l’attitude amicale de ses collègues n’ont pas pu compenser son état de dévastation psychologique.

Et ainsi, juste un mois plus tard, lorsque, comme l'écrit Wiles dans l'introduction de son dernier article des Annales avec la preuve finale, « j'ai décidé de jeter un dernier regard sur les systèmes eulériens pour tenter de relancer cet argument de preuve », cela s'est produit. . Wiles a eu un éclair de perspicacité le 19 septembre 1994. C'est ce jour-là que la lacune dans la preuve a été comblée.

Ensuite, les choses ont évolué à un rythme rapide. Une collaboration déjà établie avec Richard Taylor dans l'étude des systèmes eulériens de Kolyvagin et Thain a permis de finaliser la preuve sous la forme de deux grands articles en octobre.

Leur publication, qui a rempli tout le numéro des Annals of Mathematics, a suivi en novembre 1994. Tout cela a provoqué un nouvel élan d'information puissant. L'histoire de la preuve de Wiles a reçu une presse enthousiaste aux États-Unis, un film a été réalisé et des livres ont été publiés sur l'auteur d'une avancée fantastique en mathématiques. Dans une évaluation de son propre travail, Wiles a noté qu'il avait inventé les mathématiques du futur.

(Je me demande si c’est le cas ? Notons simplement qu’avec toute cette tempête d’informations, il y a eu un contraste frappant avec la résonance informationnelle presque nulle en Russie, qui continue encore aujourd’hui).

Posons-nous une question : quelle est la « cuisine interne » pour obtenir des résultats exceptionnels ? Après tout, il est intéressant de savoir comment un scientifique organise son travail, sur quoi il se concentre et comment il détermine les priorités de ses activités. Que peut-on dire d’Andrew Wiles dans ce sens ? Et de manière inattendue, il s'avère qu'à l'ère moderne de communication scientifique active et de style de travail collectif, Wiles avait sa propre vision du style de travail sur les super problèmes.

Wiles a obtenu son résultat fantastique grâce à un travail individuel intensif et continu de plusieurs années. L'organisation de ses activités, s'exprimant dans la langue officielle, était d'un caractère extrêmement imprévu. Cela ne peut catégoriquement pas être qualifié d'activité dans le cadre d'une subvention spécifique, pour laquelle il est nécessaire de rendre compte régulièrement et, encore une fois, de prévoir à chaque fois d'obtenir certains résultats à une certaine date.

Une telle activité en dehors de la société, qui n'impliquait pas de communication scientifique directe avec des collègues, même lors de conférences, semblait contredire tous les canons du travail d'un scientifique moderne.

Mais exactement travail individuel, nous a permis d’aller au-delà des concepts et méthodes standards déjà établis. Ce style de travail, fermé dans la forme et en même temps libre dans l'essence, a permis d'inventer de nouvelles méthodes puissantes et d'obtenir des résultats d'un nouveau niveau.

Le problème auquel Wiles était confronté (la conjecture de Taniyama-Shimura-Weil) ne faisait même pas partie des sommets les plus proches que les mathématiques modernes pouvaient conquérir à cette époque. Dans le même temps, aucun des spécialistes n’a nié son énorme importance, et elle faisait nominalement partie du « courant dominant » des mathématiques modernes.

Ainsi, les activités de Wiles étaient de nature nettement non systémique et le résultat a été obtenu grâce à une forte motivation, du talent, une liberté de création, de la volonté, des conditions matérielles plus que favorables pour travailler à Princeton et, surtout, une compréhension mutuelle au sein de la famille.

La preuve de Wiles, apparue comme un coup de tonnerre, est devenue une sorte de test pour la communauté mathématique internationale. La réaction, même de la partie la plus progressiste de cette communauté dans son ensemble, s’est avérée curieusement assez neutre. Après que les émotions et la joie de la première fois après l'apparition des preuves historiques se soient calmées, tout le monde a calmement continué ses activités. Les spécialistes de la géométrie algébrique arithmétique étudiaient lentement la « preuve puissante » dans leur cercle étroit, tandis que les autres parcouraient leurs chemins mathématiques, s'écartant, comme auparavant, de plus en plus les uns des autres.

Essayons de comprendre cette situation qui a des raisons à la fois objectives et subjectives. Curieusement, les facteurs objectifs de non-perception ont leurs racines dans la structure organisationnelle de l'économie moderne. activité scientifique. Cette activité est comme une patinoire empruntant une route en pente et possédant une inertie colossale : sa propre école, ses propres priorités établies, ses propres sources de financement, etc. Tout cela est bien du point de vue d'un système de reporting établi à l'intention du donateur, mais il est difficile de lever la tête et de regarder autour de soi : ce qui est réellement important et pertinent pour la science et la société, et non pour la suite de l'étude. une subvention?

Là encore, vous ne voulez pas sortir de votre trou confortable, où tout vous est si familier, et grimper dans un autre trou complètement inconnu. On ne sait pas à quoi s’attendre là-bas. De plus, il est évident qu’ils ne donnent pas d’argent en cas d’intrusion.

Il est tout à fait naturel qu'aucune des structures bureaucratiques organisant la science en différents pays, y compris la Russie, n’ont pas tiré de conclusions non seulement du phénomène de la preuve d’Andrew Wiles, mais aussi d’un phénomène similaire de la preuve sensationnelle de Grigory Perelman d’un autre problème mathématique également célèbre.

Les facteurs subjectifs de la neutralité de la réaction du monde mathématique face à « l’événement du millénaire » résident dans des raisons assez prosaïques. La preuve est en effet extraordinairement complexe et longue. Pour un non-spécialiste de la géométrie algébrique arithmétique, cela semble consister en une superposition de terminologie et de constructions des disciplines mathématiques les plus abstraites. Il semble que l'auteur ne se soit pas du tout fixé pour objectif d'être compris par le plus grand nombre possible de mathématiciens intéressés.

Cette complexité méthodologique est malheureusement présente comme un coût inévitable des grandes preuves des temps récents (par exemple, l’analyse de la preuve récente de Grigori Perelman de la conjecture de Poincaré se poursuit encore aujourd’hui).

La complexité de la perception est encore renforcée par le fait que la géométrie algébrique arithmétique est un sous-domaine très exotique des mathématiques, qui pose des difficultés même aux mathématiciens professionnels. Le problème a également été aggravé par la nature extraordinairement synthétique de la preuve de Wiles, qui a utilisé une variété d'outils modernes créés par un grand nombre de mathématiciens ces dernières années.

Mais nous devons tenir compte du fait que Wiles n’était pas confronté à la tâche méthodologique d’explication : il construisait une nouvelle méthode. Ce qui a fonctionné dans cette méthode était précisément la synthèse des idées brillantes de Wiles et un conglomérat des derniers résultats issus de diverses directions mathématiques. Et c’est précisément une structure si puissante qui a posé le problème inexpugnable. La preuve n’était pas un hasard. Le fait de sa cristallisation était pleinement conforme à la fois à la logique du développement de la science et à la logique de la connaissance. La tâche consistant à expliquer une telle super-preuve semble être un problème absolument indépendant, très difficile, bien que très prometteur.

Tu peux le sentir toi-même opinion publique. Essayez de poser des questions aux mathématiciens que vous connaissez sur la preuve de Wiles : qui a compris ? Qui a compris au moins les idées de base ? Qui voulait comprendre ? Qui a pensé qu’il s’agissait de nouvelles mathématiques ? Les réponses à ces questions semblent rhétoriques. Et il est peu probable que vous rencontriez beaucoup de gens qui souhaitent briser la palissade des termes spéciaux et maîtriser de nouveaux concepts et méthodes afin de résoudre une seule équation très exotique. Et pourquoi est-il nécessaire d’étudier tout cela pour cette tâche particulière ?!

Laissez-moi vous donner un exemple amusant. Il y a quelques années, le célèbre mathématicien français, lauréat Fields, Pierre Deligne, grand spécialiste de la géométrie algébrique et de la théorie des nombres, interrogé par l'auteur sur la signification de l'un des objets clés de la preuve de Wiles - le soi-disant « anneau de déformations” - après une demi-heure de réflexion, il a déclaré qu'il ne comprenait pas complètement la signification de cet objet. Dix ans se sont déjà écoulés depuis la preuve à ce stade.

Nous pouvons désormais reproduire la réaction des mathématiciens russes. La principale réaction est son absence presque totale. Cela est principalement dû aux mathématiques « lourdes » et « inhabituelles » de Wiles.

Par exemple, dans la théorie classique des nombres, vous ne trouverez pas de preuves aussi longues que celle de Wiles. Comme le disent les théoriciens des nombres, « une preuve devrait faire une page » (la preuve de Wiles en collaboration avec Taylor dans la version du journal prend 120 pages).

Vous ne pouvez pas non plus exclure le facteur de peur lié au manque de professionnalisme de votre évaluation : en réagissant, vous assumez la responsabilité d'évaluer les preuves. Comment faire quand on ne connaît pas ces mathématiques ?

La position adoptée par les spécialistes directs de la théorie des nombres est caractéristique : « ... et crainte, intérêt brûlant et prudence face à l'un des plus grands mystères de l'histoire des mathématiques » (extrait de la préface du livre de Paulo Ribenboim "Le dernier théorème de Fermat pour les amateurs" - le seul disponible aujourd'hui à la source directement à partir de la preuve de Wiles pour le grand public.

La réaction de l'un des mathématiciens russes modernes les plus célèbres, l'académicien V.I. Arnold est « activement sceptique » quant à la preuve : il ne s’agit pas de vraies mathématiques – les vraies mathématiques sont géométriques et ont des liens étroits avec la physique. De plus, le problème de Fermat lui-même, de par sa nature, ne peut pas générer le développement des mathématiques, puisqu'il est « binaire », c'est-à-dire que la formulation du problème nécessite une réponse uniquement à la question « oui ou non ». Parallèlement, un travail mathématique dernières années V.I. lui-même Les travaux d'Arnold se sont révélés être largement consacrés à des variations sur des sujets très similaires en théorie des nombres. Il est possible que Wiles, paradoxalement, soit devenu une cause indirecte de cette activité.

À la Faculté de mécanique et de mathématiques de l’Université d’État de Moscou, cependant, apparaissent des passionnés de preuves. Un mathématicien et scientifique populaire remarquable Yu.P. Soloviev (qui nous a quitté intempestivement) initie la traduction du livre d'E. Knapp sur les courbes elliptiques avec matériel nécessaire selon la conjecture de Taniyama – Shimura – Weil. Alexey Panchishkin, qui travaille actuellement en France, a donné des cours à la Faculté de mécanique et de mathématiques en 2001, qui ont servi de base à sa partie correspondante avec Yu.I. Manin de l'excellent livre sur la théorie moderne des nombres mentionné ci-dessus (publié en traduction russe par Sergei Gorchinsky et édité par Alexei Parshin en 2007).

Il est quelque peu surprenant qu'à l'Institut mathématique Steklov de Moscou - le centre du monde mathématique russe - la preuve de Wiles n'ait pas été discutée lors de séminaires, mais étudiée uniquement par des experts spécialisés individuels. De plus, la preuve de la conjecture déjà complète de Taniyama-Shimura-Weil n’a pas été comprise (Wiles n’en a prouvé qu’une partie, suffisante pour prouver le théorème de Fermat). Cette preuve a été donnée en 2000 par toute une équipe de mathématiciens étrangers, dont Richard Taylor, co-auteur de Wiles sur l’étape finale de la preuve du théorème de Fermat.

Il n’y a pas non plus eu de déclarations publiques, et encore moins de discussions, de la part de célèbres mathématiciens russes concernant la preuve de Wiles. Il y a une discussion assez vive entre le Russe V. Arnold (« un sceptique de la méthode de preuve ») et l'Américain S. Lang (« un passionné de la méthode de preuve »), cependant, des traces en sont perdues dans les langues occidentales. publications. Dans la presse mathématique centrale russe, depuis la publication de la preuve de Wiles, il n'y a eu aucune publication sur le sujet de la preuve. La seule publication sur ce sujet était peut-être une traduction d'un article du mathématicien canadien Henry Darmon, même une version incomplète de la preuve, dans Advances in Mathematical Sciences en 1995 (c'est drôle que la preuve complète ait déjà été publiée).

Dans ce contexte mathématique « endormi », malgré le caractère très abstrait de la preuve de Wiles, certains physiciens théoriciens intrépides l'ont incluse dans leur domaine d'intérêt potentiel et ont commencé à l'étudier, dans l'espoir de trouver tôt ou tard des applications aux mathématiques de Wiles. Cela ne peut que se réjouir, ne serait-ce que parce que ces mathématiques sont restées pratiquement isolées pendant toutes ces années.

Néanmoins, le problème de l'adaptation de la preuve, qui aggrave considérablement son potentiel appliqué, est resté et reste très pertinent. À ce jour, le texte original hautement spécialisé de l'article de Wiles et de l'article conjoint de Wiles et Taylor a déjà été adapté, bien que uniquement pour un cercle assez restreint de mathématiciens professionnels. Cela a été fait dans le livre mentionné de Yu. Manin et A. Panchishkin. Ils ont réussi à atténuer une certaine artificialité de la preuve originale. De plus, le mathématicien américain Serge Lang, ardent promoteur de la preuve de Wiles (malheureusement décédé en septembre 2005), a inclus certaines des constructions les plus importantes de la preuve dans la troisième édition de son manuel universitaire classique, Algebra.

Comme exemple du caractère artificiel de la preuve originale, notons que l'un des traits particulièrement frappants qui crée une telle impression est le rôle particulier de l'individu. nombres premiers, tels que 2, 3, 5, 11, 17, ainsi que des individus nombres naturels, comme 15, 30 et 60. Entre autres choses, il est clair que la preuve n’est pas géométrique au sens le plus ordinaire. Il ne contient pas d'images géométriques naturelles auxquelles on pourrait s'attacher pour une meilleure compréhension du texte. L’algèbre abstraite « terminologisée » surpuissante et la théorie des nombres « avancée » sapent purement psychologiquement la capacité de percevoir la preuve, même pour un lecteur mathématique qualifié.

On ne peut que se demander pourquoi, dans une telle situation, les experts en preuve, y compris Wiles lui-même, ne la « peaufinent », ne promeuvent pas et ne popularisent pas un « succès mathématique » évident, même dans leur communauté mathématique d’origine.

Donc, en bref, aujourd’hui, le fait de la preuve de Wiles est simplement le fait de la preuve du théorème de Fermat avec le statut de la première preuve correcte et « une sorte de mathématiques surpuissantes » qui y est utilisée.

Le célèbre mathématicien russe du milieu du siècle dernier, ancien doyen de la Faculté de mécanique et de mathématiques, V.V., a parlé très clairement des mathématiques puissantes, mais pas encore appliquées. Golubev :

« … selon la remarque pleine d'esprit de F. Klein, de nombreux départements de mathématiques s'apparentent à ces expositions des derniers modèles d'armes qui existent dans les entreprises qui fabriquent des armes ; avec tout l'esprit mis par les inventeurs, il arrive souvent qu'au démarrage vraie guerre, ces nouveaux produits s'avèrent inadaptés pour une raison ou une autre... L'enseignement moderne des mathématiques présente exactement le même tableau ; les étudiants reçoivent des cours très avancés et des outils puissants recherche mathématique..., mais alors les étudiants ne peuvent pas comprendre où et comment ces méthodes puissantes et ingénieuses peuvent être appliquées pour résoudre la tâche principale de toute science : comprendre le monde qui nous entoure et influencer la volonté créatrice humaine sur lui. . À une certaine époque, A.P. Tchekhov a déclaré que si, dans le premier acte d'une pièce, il y avait une arme à feu accrochée sur la scène, alors il était nécessaire qu'elle soit tirée au moins dans le troisième acte. Cette remarque est pleinement applicable à l'enseignement des mathématiques : si une théorie quelconque est présentée aux étudiants, alors il faut montrer tôt ou tard quelles applications peuvent être faites de cette théorie, principalement dans le domaine de la mécanique, de la physique ou de la technologie et dans d'autres domaines. zones. »

Il serait juste que la confiance de Wiles dans les mathématiques qu’il a inventées – des mathématiques d’un nouveau niveau – soit confirmée. Et je ne veux vraiment pas que ces mathématiques synthétiques, vraiment très belles, subissent le sort d’un « pistolet qui n’a pas tiré ».

Et pourtant, posons-nous maintenant la question : est-il possible de décrire la preuve de Wiles dans des termes suffisamment accessibles pour un large public intéressé ?

Du point de vue des experts, il s’agit là d’une utopie absolue. Mais essayons quand même, guidés par la simple considération que le théorème de Fermat est une déclaration uniquement sur les points entiers de notre espace euclidien tridimensionnel ordinaire.

Nous remplacerons séquentiellement les points par des coordonnées entières dans l’équation de Fermat.

Wiles trouve le mécanisme optimal pour recalculer les points entiers et les tester pour satisfaire l'équation du théorème de Fermat (après avoir introduit les définitions nécessaires, un tel recalcul correspondra précisément à la soi-disant « propriété de modularité des courbes elliptiques sur le champ des nombres rationnels » , décrit par la conjecture de Taniyama-Shimura-Weil).

Le mécanisme de recalcul est optimisé grâce à une découverte remarquable du mathématicien allemand Gerhard Frey, qui a relié une solution potentielle de l'équation de Fermat avec un exposant arbitraire à une autre équation complètement différente. Cette nouvelle équation est donnée par une courbe spéciale (appelée courbe elliptique de Frey). Cette courbe de Frey est donnée par une équation très simple :

La surprise de l'idée de Frey était le passage de la nature du problème à la théorie des nombres à son aspect géométrique « caché ». A savoir : Frey associé à chaque solution de l’équation de Fermat, c’est-à-dire aux nombres satisfaisant la relation

L’invention de Frey au moment des « débuts » de Wiles était assez récente (année 1985) et faisait également écho à l’approche relativement récente du mathématicien français Helleguarche (années 1970), qui proposait d’utiliser des courbes elliptiques pour trouver des solutions aux équations diophantiennes, c’est-à-dire équations similaires à l'équation de Fermat.

Essayons maintenant d'examiner la courbe de Frey d'un point de vue différent, à savoir en tant qu'outil de recalcul de points entiers dans l'espace euclidien. Autrement dit, notre courbe de Frey jouera le rôle d'une formule qui détermine l'algorithme d'un tel recalcul.

Dans ce contexte, on peut dire que Wiles invente des outils (constructions algébriques spéciales) pour contrôler ce recalcul. En fait, cette boîte à outils subtile de Wiles constitue le noyau central et la principale complexité de la preuve. C'est dans la fabrication de ces instruments que naissent les principales découvertes algébriques sophistiquées de Wiles, si difficiles à comprendre.

Mais l’effet le plus inattendu de la preuve est peut-être la suffisance d’utiliser une seule courbe « freevienne », représentée par une dépendance tout à fait simple, presque « scolaire ». Étonnamment, l'utilisation d'une seule de ces courbes est suffisante pour tester tous les points de l'espace euclidien tridimensionnel avec des coordonnées entières pour voir s'ils satisfont au dernier théorème de Fermat avec un exposant arbitraire.

En d’autres termes, utiliser une seule courbe (même si elle a une forme spécifique), compréhensible pour un lycéen ordinaire, équivaut à construire un algorithme (programme) pour le recalcul séquentiel de points entiers de l’espace tridimensionnel ordinaire. Et pas seulement un recalcul, mais un recalcul avec test simultané de l’ensemble du point pour « sa satisfaction » avec l’équation de Fermat.

C’est ici que surgit le fantôme de Pierre de Fermat lui-même, puisqu’avec un tel recalcul, ce qu’on appelle habituellement la « descente Ferma’t » ou la réduction (ou la « méthode de descente infinie ») de Fermat prend vie.

Dans ce contexte, il devient immédiatement clair pourquoi Fermat lui-même n'a pas pu prouver son théorème pour des raisons objectives, bien qu'il puisse très bien « voir » l'idée géométrique de sa preuve.

Le fait est que le recalcul s'effectue sous le contrôle d'outils mathématiques qui n'ont pas d'analogues non seulement dans un passé lointain, mais aussi inconnus avant Wiles, même dans les mathématiques modernes.

Le plus important ici est que ces outils soient « minimaux », c'est-à-dire ils ne peuvent pas être simplifiés. Bien que ce « minimalisme » en soi soit très difficile. Et c’est la conscience qu’avait Wiles de cette « minimalité » non triviale qui devint l’étape finale décisive de la preuve. C’était exactement « l’épidémie » du 19 septembre 1994.

Un problème qui suscite l'insatisfaction demeure ici - Wiles ne décrit pas explicitement cette construction minimale. Par conséquent, ceux qui s’intéressent au problème de Fermat ont encore travail intéressant- une interprétation claire de cette « minimalité » est nécessaire.

Il est possible que ce soit là que se cache la géométrie de la preuve « algébrisée ». Il est possible que ce soit précisément cette géométrie qu'a ressenti Fermat lui-même lorsqu'il a fait la fameuse note dans les marges étroites de son traité : « J'ai trouvé une preuve vraiment remarquable… ».

Passons maintenant directement à l’expérience virtuelle et essayons de « creuser » la pensée du mathématicien-avocat Pierre de Fermat.

L’image géométrique du soi-disant petit théorème de Fermat peut être représentée comme un cercle roulant « sans glisser » le long d’une ligne droite et « enroulant » des points entiers autour de lui. L'équation du petit théorème de Fermat dans cette interprétation reçoit également une signification physique - la signification de la loi de conservation d'un tel mouvement dans un temps discret unidimensionnel.

Vous pouvez essayer de transférer ces images géométriques et physiques dans une situation où la dimension du problème (nombre variables d'équation) augmente et l'équation du petit théorème de Fermat se transforme en équation du grand théorème de Fermat. A savoir : supposons que la géométrie du dernier théorème de Fermat soit représentée par une sphère roulant le long d’un plan et « enroulant » des points entiers de ce plan autour d’elle-même. Il est important que ce roulement ne soit pas arbitraire, mais « périodique » (les mathématiciens disent aussi « cyclotomique »). La périodicité du roulage fait que les vecteurs de vitesse linéaire et angulaire du véhicule roulant sont maximaux d'une manière générale les sphères se répètent en taille et en direction après un certain temps (période) fixe. Cette périodicité est similaire à la périodicité vitesse linéaire roulage d'un cercle le long d'une droite modélisant la « petite » équation de Fermat.

En conséquence, la « grande » équation de Fermat prend le sens de la loi de conservation du mouvement de la sphère mentionnée ci-dessus déjà en temps discret bidimensionnel. Prenons maintenant la diagonale de ce temps à deux dimensions (c'est dans cette étape que réside toute la difficulté !). Ceci est extrêmement délicat et s’avère être la seule diagonale qui est l’équation du dernier théorème de Fermat, lorsque l’exposant de l’équation est exactement deux.

Il est important de noter que dans une situation unidimensionnelle - celle du petit théorème de Fermat - il n'est pas nécessaire de trouver une telle diagonale, puisque le temps est unidimensionnel et qu'il n'y a aucune raison de prendre une diagonale. Par conséquent, le degré d’une variable dans l’équation du petit théorème de Fermat peut être arbitraire.

Ainsi, de manière tout à fait inattendue, nous obtenons un pont vers la « physicalisation » du grand théorème de Fermat, c’est-à-dire vers l’apparition de sa signification physique. Comment ne pas se rappeler que Fermat n’était pas étranger à la physique.

À propos, l'expérience de la physique montre également que les lois de conservation des systèmes mécaniques du type ci-dessus sont quadratiques dans les variables physiques du problème. Et enfin, tout cela est tout à fait cohérent avec la structure quadratique des lois de conservation de l'énergie de la mécanique newtonienne, connue de l'école.

Du point de vue de l'interprétation « physique » ci-dessus du dernier théorème de Fermat, la propriété de « minimalité » correspond à la minimalité du degré de la loi de conservation (c'est-à-dire deux). Et la réduction de Fermat et Wiles correspond à la réduction des lois de conservation de recalcul des points à la loi de la forme la plus simple. Ce recalcul le plus simple (minimal en complexité), à la fois géométriquement et algébriquement, est représenté par le roulement d'une sphère sur un plan, puisqu'une sphère et un plan sont « minimaux », comme nous le comprenons parfaitement, des objets géométriques bidimensionnels.

Toute la complexité, qui à première vue manque, réside dans le fait qu'une description précise d'un mouvement aussi « simple » d'une sphère n'est pas du tout facile. Le fait est que le roulement « périodique » de la sphère « absorbe » un tas de symétries dites « cachées » de notre espace tridimensionnel. Ces symétries cachées sont causées par des combinaisons (compositions) non triviales du mouvement linéaire et angulaire de la sphère - voir Fig. 1.

Dans l'interprétation géométrique présentée sur la figure 1, le mouvement linéaire du centre de la sphère « compte » des points entiers sur le plan, et son mouvement angulaire (ou rotationnel) fournit la composante spatiale (ou verticale) du recalcul. Le mouvement de rotation de la sphère ne peut pas être immédiatement « vu » dans le roulement arbitraire de la sphère le long du plan. Exactement mouvement de rotation et correspond aux symétries cachées de l'espace euclidien mentionnées ci-dessus.

La courbe de Frey présentée ci-dessus « code » précisément le recalcul le plus esthétique de points entiers dans l'espace, rappelant le mouvement le long d'un escalier en colimaçon. En effet, si vous suivez la courbe qu'un certain point de la sphère balaie en une période, vous constaterez que notre point marqué balaie la courbe montrée sur la Fig. 2, ressemblant à une « double sinusoïde spatiale » - un analogue spatial du graphique. Cette belle courbe peut être interprétée comme un tracé du "minimum" de la (c'est-à-dire) la courbe de Frey. Ceci est le calendrier de notre recalcul de tests.

Après avoir connecté une certaine perception associative de cette image, nous constaterons à notre grande surprise que la surface délimitée par notre courbe est étonnamment similaire à la surface de la molécule d'ADN - la « brique d'angle » de la biologie ! Ce n'est peut-être pas une coïncidence si la terminologie désignant les constructions codant pour l'ADN tirées de la preuve de Wiles est utilisée dans le livre de Singh, Le dernier théorème de Fermat.

Soulignons encore une fois que le point décisif de notre interprétation est le fait que l'analogue de la loi de conservation du petit théorème de Fermat (son degré peut être arbitrairement grand) s'avère être l'équation du Grand Théorème de Fermat précisément dans le cas . C’est cet effet de « minimalité du degré de loi de conservation pour le roulement d’une sphère sur un plan » qui correspond à l’énoncé du dernier théorème de Fermat.

Construisons maintenant un pont vers la physique moderne. L'image géométrique de la preuve de Wiles proposée ici est très proche de la géométrie de la physique moderne, qui tente de percer le mystère de la nature de la gravité - quantique. théorie générale relativité. Pour confirmer cette interaction, à première vue inattendue, entre le dernier théorème de Fermat et la grande physique, imaginons que la sphère qui roule est massive et « pousse » le plan en dessous. L’interprétation de cette « poussée » dans la Fig. 3 rappelle de manière frappante l’interprétation géométrique bien connue de la théorie de la relativité générale d’Einstein, qui décrit précisément la « géométrie de la gravité ».

Et si nous prenons également en compte la discrétisation actuelle de notre image, incarnée par un réseau entier discret sur un plan, alors nous observons réellement la « gravité quantique » de nos propres yeux !

Il convient peut-être maintenant de souligner que, de toute façon, quelle que soit la preuve correcte du théorème de Fermat, elle doit, d’une manière ou d’une autre, utiliser les constructions et la logique de la preuve de Wiles. Il est tout simplement impossible de contourner tout cela en raison de la « propriété de minimalité » mentionnée des outils mathématiques de Wiles utilisés pour la preuve. Dans notre interprétation « géométrique-dynamique » de cette preuve, cette « propriété de minimalité » assure un « minimum les conditions nécessaires» pour la construction correcte (c'est-à-dire « convergente ») d'un algorithme de test.

D’une part, c’est une immense déception pour les agriculteurs amateurs (si, bien sûr, ils l’apprennent ; comme on dit : « moins on en sait, mieux on dort »). D'un autre côté, la « non-simplification » naturelle de la preuve de Wiles rend formellement la vie plus facile aux mathématiciens professionnels - ils ne peuvent pas lire périodiquement les preuves « élémentaires » émergentes des mathématiques amateurs, invoquant le manque de correspondance avec la preuve de Wiles.

La conclusion générale est que les deux doivent « s’efforcer » et comprendre cette preuve « sauvage », comprenant essentiellement « toutes les mathématiques ».

Qu’est-ce qu’il est important de ne pas manquer d’autre pour résumer tout cela ? histoire unique, dont nous avons été témoins ? La force de la preuve de Wiles réside dans le fait qu’il ne s’agit pas simplement d’un argument logique formel, mais qu’elle représente une méthode large et puissante. Cette création n'est pas un outil séparé pour prouver un seul résultat, mais un excellent ensemble d'outils bien choisis qui vous permettent de « diviser » une grande variété de problèmes. Il est également fondamentalement important que lorsque nous regardons du haut du gratte-ciel la preuve de Wiles, nous puissions voir toutes les mathématiques précédentes. Le pathos est qu’il ne s’agira pas d’un « patchwork », mais d’une vision panoramique. Tout cela parle non seulement de la continuité scientifique, mais aussi méthodologique de cette preuve véritablement magique. Tout ce qui reste, c'est « rien » : il suffit de le comprendre et d'apprendre à l'appliquer.

Je me demande ce que fait notre héros contemporain Wiles aujourd’hui ? Il n’y a pas de nouvelles particulières concernant Andrew. Il a bien sûr reçu diverses récompenses et prix, dont le célèbre qui s'est déprécié lors de la première guerre civile Prix ​​allemand Wolfskehl. Pour tout le temps qui s'est écoulé depuis le triomphe de la preuve du problème de Fermat jusqu'à aujourd'hui, j'ai réussi à remarquer un seul article, quoique toujours volumineux, dans les mêmes «Annales» (co-écrit avec Skinner). Peut-être qu'Andrew se cache à nouveau en prévision d'une nouvelle avancée mathématique, par exemple l'hypothèse dite « abc » - récemment formulée (par Masser et Oesterle en 1986) et considérée comme la plus problème principal la théorie des nombres aujourd’hui (c’est le « problème du siècle » selon les mots de Serge Lang).

Beaucoup plus d'informations sur le co-auteur de Wiles sur la dernière partie de la preuve, Richard Taylor. Il était l'un des quatre auteurs de la preuve de la conjecture complète de Taniyama-Shmura-Weil et était un sérieux prétendant à la médaille Fields au Congrès mathématique chinois de 2002. Cependant, il ne l'a pas reçu (alors seuls deux mathématiciens l'ont reçu - le mathématicien russe de Princeton Vladimir Voevodsky « pour la théorie des motifs » et le Français Laurent Laforgue « pour partie importante programme Langlands). Taylor a publié un nombre considérable d'ouvrages remarquables à cette époque. Et récemment, Richard a obtenu un nouveau grand succès - il a prouvé une conjecture très célèbre - la conjecture de Tate-Saito, également liée à la géométrie algébrique arithmétique et généralisant les résultats de l'allemand. Le mathématicien du XIXe siècle G. Frobenius et le mathématicien russe du XXe siècle N. Chebotarev.

Rêvons enfin un peu. Le moment viendra peut-être où les cours de mathématiques dans les universités, et même dans les écoles, seront adaptés aux méthodes de preuve de Wiles. Cela signifie que le dernier théorème de Fermat deviendra non seulement un problème mathématique modèle, mais également un modèle méthodologique pour l'enseignement des mathématiques. Grâce à son exemple, il sera possible d'étudier en effet toutes les principales branches des mathématiques. De plus, la physique du futur, et peut-être même la biologie et l’économie, commenceront à s’appuyer sur cet appareil mathématique. Mais si?

Il semble que les premiers pas dans cette direction aient déjà été faits. En témoigne, par exemple, le fait que le mathématicien américain Serge Lang a inclus les principales constructions de la preuve de Wiles dans la troisième édition de son manuel classique d'algèbre. Les Russes Yuri Manin et Alexey Panchishkin vont encore plus loin dans la nouvelle édition mentionnée de leur « Théorie moderne nombres », exposant en détail la preuve elle-même dans le contexte des mathématiques modernes.

Et comment ne pas s’exclamer maintenant : le grand théorème de Fermat est « mort » – vive la méthode de Wiles !

Andrew Wiles est professeur de mathématiques à l'Université de Princeton. Il a prouvé le dernier théorème de Fermat, avec lequel des générations de scientifiques luttent depuis des centaines d'années.

30 ans sur une seule tâche

Wiles a découvert le dernier théorème de Fermat pour la première fois à l'âge de dix ans. Il s'est arrêté à la bibliothèque en rentrant de l'école et s'est plongé dans la lecture du livre « The Final Problem » d'Eric Temple Bell. Peut-être sans même le savoir, à partir de ce moment-là, il consacra sa vie à la recherche de preuves, alors que cela échappait aux meilleurs esprits de la planète depuis trois siècles.

Wiles a découvert le dernier théorème de Fermat quand il avait dix ans

Il l'a découvert 30 ans plus tard après qu'un autre scientifique, Ken Ribet, ait prouvé le lien entre le théorème des mathématiciens japonais Taniyama et Shimura et le dernier théorème de Fermat. Contrairement à ses collègues sceptiques, Wiles a immédiatement compris que c'était ça, et sept ans plus tard, il a mis un terme à la preuve.

Le processus de preuve lui-même s’est avéré très dramatique : Wiles a terminé son travail en 1993, mais dès son apparition publique, il a découvert une « lacune » importante dans son raisonnement. Il a fallu deux mois pour trouver une erreur dans les calculs (l'erreur était cachée parmi 130 pages imprimées de la solution de l'équation). Puis, pendant un an et demi, un travail intense a été mené pour corriger l'erreur. La communauté scientifique entière de la Terre était désemparée. Wiles a terminé son travail le 19 septembre 1994 et l'a immédiatement présenté au public.

Gloire effrayante

La plus grande peur d'Andrew était la célébrité et la publicité. Il a longtemps refusé d'apparaître à la télévision. On pense que John Lynch a réussi à le convaincre. Il a assuré à Wiles qu'il pourrait inspirer une nouvelle génération de mathématiciens et montrer au public le pouvoir des mathématiques.

Andrew Wiles a longtemps refusé d'apparaître à la télévision

Un peu plus tard, une société reconnaissante a commencé à récompenser Andrew avec des prix. Ainsi, le 27 juin 1997, Wiles a reçu le prix Wolfskehl, d'un montant d'environ 50 000 dollars. C'est bien moins que ce que Wolfskehl avait prévu de laisser un siècle plus tôt, mais l'hyperinflation a conduit à une réduction de ce montant.

Malheureusement, l'équivalent mathématique du prix Nobel, le prix Fields, n'a tout simplement pas été attribué à Wiles car il est décerné à des mathématiciens de moins de quarante ans. Au lieu de cela, il a reçu une plaque d'argent spéciale lors de la cérémonie de la médaille Fields en l'honneur de son importante réalisation. Wiles a également gagné prix prestigieux Wolf, King Faisal Award et de nombreux autres prix internationaux.

Les avis des collègues

La réaction de l’un des mathématiciens russes modernes les plus célèbres, l’académicien V. I. Arnold, face à cette preuve est « activement sceptique » :

Il ne s’agit pas de vraies mathématiques : les vraies mathématiques sont géométriques et ont des liens étroits avec la physique. De plus, le problème de Fermat lui-même, de par sa nature, ne peut pas générer le développement des mathématiques, puisqu'il est « binaire », c'est-à-dire que la formulation du problème nécessite une réponse uniquement à la question « oui ou non ».

Dans le même temps, les travaux mathématiques de V. I. Arnold lui-même se sont révélés ces dernières années largement consacrés à des variations sur des sujets très similaires en théorie des nombres. Il est possible que Wiles, paradoxalement, soit devenu une cause indirecte de cette activité.

Un vrai rêve

Lorsqu'on demande à Andrew comment il a réussi à rester assis entre quatre murs pendant plus de 7 ans pour accomplir une tâche, Wiles raconte comment il a rêvé pendant son travail queLe temps viendra où les cours de mathématiques dans les universités, et même dans les écoles, seront adaptés à sa méthode de démonstration du théorème. Il voulait que la preuve du dernier théorème de Fermat devienne non seulement un problème mathématique modèle, mais aussi un modèle méthodologique pour l'enseignement des mathématiques. Wiles imaginait qu'en utilisant son exemple, il serait possible d'étudier toutes les principales branches des mathématiques et de la physique.

4 dames sans qui il n'y aurait pas de preuve

Andrew est marié et père de trois filles, dont deux sont nées « au cours du processus de sept ans de la première ébauche de la preuve ».

Wiles lui-même estime que sans sa famille, il n'aurait pas réussi.

Durant ces années, seule Nada, l'épouse d'Andrew, savait qu'il attaquait seul le sommet le plus inaccessible et le plus célèbre des mathématiques. C’est à elles, Nadya, Claire, Kate et Olivia, que est dédié le célèbre article final de Wiles « Courbes elliptiques modulaires et dernier théorème de Fermat » dans la revue mathématique centrale « Annals of Mathematics », où sont publiés les travaux mathématiques les plus importants. Cependant, Wiles lui-même ne nie pas du tout que sans sa famille, il n'aurait pas réussi.

Ainsi, le dernier théorème de Fermat (souvent appelé dernier théorème de Fermat), formulé en 1637 par le brillant mathématicien français Pierre Fermat, est de nature très simple et compréhensible pour toute personne ayant une éducation secondaire. Il dit que la formule a à la puissance n + b à la puissance n = c à la puissance n n'a pas de solutions naturelles (c'est-à-dire non fractionnaires) pour n > 2. Tout semble simple et clair, mais le Les meilleurs mathématiciens et les amateurs ordinaires ont lutté pour trouver une solution pendant plus de trois siècles et demi.

OSLO, le 15 mars. /Corr. TASS Youri Mikhaïlenko/. Le Britannique Andrew Wiles a été annoncé comme lauréat du prix Abel, décerné par l'Académie norvégienne des sciences. Ce prix honorifique, souvent appelé « Prix Nobel des mathématiciens », lui a été décerné pour sa preuve du dernier théorème de Fermat en 1994, qui « a lancé une nouvelle ère dans la théorie des nombres ».

"Les nouvelles idées introduites par Wiles ont ouvert la possibilité de nouvelles avancées", a déclaré Jon Rognes, président du comité Abel. « Peu de problèmes mathématiques ont une histoire scientifique aussi riche et une preuve aussi spectaculaire que le dernier théorème de Fermat. »

Le parcours scientifique de Sir Andrew

Dans ses commentaires au Bureau télégraphique norvégien, Rognes a également précisé que la preuve du célèbre théorème n'était qu'une des raisons pour lesquelles Wiles avait été choisi parmi les candidats nominés pour le prix cette année.

"Pour résoudre un théorème qui n'a pu être prouvé avant 350 ans, il a utilisé des approches issues de deux domaines modernes science mathématique, étudiant notamment les courbes elliptiques semi-stables, a déclaré Rognes aux journalistes. "De telles mathématiques sont utilisées, par exemple, dans la cryptographie elliptique, qui protège les données sur les paiements effectués avec des cartes plastiques."

Un scientifique qui le mois prochain aura 63 ans, fera ses études dans les universités d'Oxford et de Cambridge. Son père était un pasteur anglican et professeur de théologie à Cambridge pendant plus de 20 ans. Wiles lui-même a travaillé aux États-Unis pendant 30 ans, enseignant à l'Université de Princeton et, de 2005 à 2009, y a dirigé le département de mathématiques. Il travaille actuellement à Oxford. Il a remporté une douzaine de prix en mathématiques et a également été fait chevalier par la reine Elizabeth II de Grande-Bretagne pour ses réalisations scientifiques.

Une simplicité trompeuse

La particularité du théorème, formulé par le Français Pierre Fermat (1601 - 1665), réside dans une formulation d'une simplicité trompeuse : l'équation « A à la puissance n plus B à la puissance n est égal à C à la puissance n " n'a pas de solutions naturelles si le nombre n est supérieur à deux. À première vue, cela suggère une preuve assez simple, mais en réalité celle-ci s'avère complètement différente.

Wiles lui-même a admis dans de nombreuses interviews que le théorème l'intriguait dès l'âge de 10 ans. Même alors, il lui était facile de comprendre les conditions du problème, et il était hanté par le fait que depuis trois siècles, aucun mathématicien n'avait été capable de le résoudre. Le passe-temps de l’enfance ne s’est pas estompé au fil des années. Ayant déjà fait une carrière scientifique, Wiles a passé de nombreuses années à lutter avec la solution pendant son temps libre, mais n'en a pas fait la publicité, car parmi ses collègues, la passion pour le théorème de Fermat était considérée comme de mauvaises manières. Il propose sa preuve, basée sur l'hypothèse de deux scientifiques japonais, et la publie en 1993, mais quelques mois plus tard, une erreur est découverte dans ses calculs.

Pendant plus d'un an, Wiles et ses étudiants ont essayé de le corriger, abandonnant presque, mais ont finalement trouvé une preuve reconnue comme correcte. Dans le même temps, la preuve simple et élégante prétendument existante, mentionnée par Fermat lui-même, n'a pas encore été trouvée.

Qui était Henrik Abel

En 2014 et 2009, les lauréats du prix Abel étaient respectivement des étudiants de l'école mathématique russe - Yakov Sinai et Mikhail Gromov. Le prix porte le nom du célèbre Norvégien Niels Henrik Abel. Il est devenu le fondateur de la théorie des fonctions elliptiques et a apporté d'importantes contributions à la théorie des séries.

En l'honneur du 200e anniversaire de la naissance du scientifique, qui n'a vécu que 26 ans, le gouvernement norvégien a alloué en 2002 200 millions de couronnes (environ 23,4 millions de dollars aux taux de change actuels) pour créer la Fondation Abel et le Prix Abel. Il vise non seulement à célébrer les mérites de mathématiciens exceptionnels, mais également à contribuer à la popularité croissante de cette discipline scientifique auprès des jeunes.

Aujourd'hui, la composante en espèces de la récompense s'élève à 6 millions de couronnes (700 000 dollars). La cérémonie officielle de remise des prix est prévue le 24 mai. Le prix honorifique sera remis au lauréat par l'héritier du trône norvégien, le prince Haakon Magnus.

Il n'y a pas beaucoup de gens dans le monde qui n'ont jamais entendu parler du dernier théorème de Fermat - c'est peut-être le seul problème de maths, qui est devenu si largement connu et est devenu une véritable légende. Il est mentionné dans de nombreux livres et films, et le contexte principal de presque toutes les mentions est l'impossibilité de prouver le théorème.

Oui, ce théorème est très connu et, dans un sens, est devenu une « idole » vénérée par les mathématiciens amateurs et professionnels, mais peu de gens savent que sa preuve a été trouvée, et cela s'est produit en 1995. Mais tout d’abord.

Ainsi, le dernier théorème de Fermat (souvent appelé dernier théorème de Fermat), formulé en 1637 par le brillant mathématicien français Pierre Fermat, est très simple dans son essence et compréhensible pour toute personne ayant une éducation secondaire. Il dit que la formule a à la puissance n + b à la puissance n = c à la puissance n n'a pas de solutions naturelles (c'est-à-dire non fractionnaires) pour n > 2. Tout semble simple et clair, mais le Les meilleurs mathématiciens et les amateurs ordinaires ont lutté pour trouver une solution pendant plus de trois siècles et demi.

Pourquoi est-elle si célèbre ? Maintenant, nous allons le découvrir...

Existe-t-il de nombreux théorèmes prouvés, non prouvés et encore non prouvés ? Le point ici est que le dernier théorème de Fermat représente le plus grand contraste entre la simplicité de la formulation et la complexité de la preuve. Le dernier théorème de Fermat est un problème incroyablement difficile, et pourtant sa formulation peut être comprise par toute personne ayant atteint la 5e année du lycée, mais même tous les mathématiciens professionnels ne peuvent pas comprendre la preuve. Ni en physique, ni en chimie, ni en biologie, ni en mathématiques, il n'y a pas un seul problème qui puisse être formulé aussi simplement, mais qui soit resté aussi longtemps sans solution. 2. De quoi s’agit-il ?

Commençons par le pantalon pythagoricien. Le libellé est très simple - à première vue. Comme nous le savons depuis l’enfance, « les pantalons pythagoriciens sont égaux de tous côtés ». Le problème semble si simple car il repose sur un énoncé mathématique que tout le monde connaît - le théorème de Pythagore : dans tout triangle rectangle, le carré construit sur l'hypoténuse est égal à la somme des carrés construits sur les jambes.

Au 5ème siècle avant JC. Pythagore a fondé la confrérie pythagoricienne. Les Pythagoriciens, entre autres, étudiaient les triplets entiers satisfaisant l'égalité x²+y²=z². Ils ont prouvé qu’il existe une infinité de triplets pythagoriciens et ont obtenu des formules générales pour les trouver. Ils ont probablement essayé de rechercher des diplômes C et supérieurs. Convaincus que cela ne marchait pas, les Pythagoriciens abandonnèrent leurs tentatives inutiles. Les membres de la confrérie étaient plus des philosophes et des esthètes que des mathématiciens.

Autrement dit, il est facile de sélectionner un ensemble de nombres qui satisfont parfaitement à l'égalité x²+y²=z²

En partant de 3, 4, 5 - en effet, un étudiant junior comprend que 9 + 16 = 25.

Ou 5, 12, 13 : 25 + 144 = 169. Génial.

Il s’avère donc qu’ils ne le sont PAS. C'est là que le truc commence. La simplicité apparaît, car il est difficile de prouver non pas la présence de quelque chose, mais au contraire son absence. Lorsque vous devez prouver qu’il existe une solution, vous pouvez et devez simplement présenter cette solution.

Prouver l'absence est plus difficile : par exemple, quelqu'un dit : telle ou telle équation n'a pas de solution. Le mettre dans une flaque d'eau ? facile : bam - et la voici, la solution ! (donner la solution). Et voilà, l’adversaire est vaincu. Comment prouver son absence ?

Dire : « Je n’ai pas trouvé de telles solutions » ? Ou peut-être que vous n'aviez pas l'air bien ? Et s’ils existaient, seulement très grands, très grands, de telle sorte que même un ordinateur super puissant n’ait toujours pas assez de puissance ? C’est ça qui est difficile.

Cela peut être représenté visuellement comme ceci : si vous prenez deux carrés de tailles appropriées et les démontez en carrés unitaires, alors à partir de ce groupe de carrés unitaires, vous obtenez un troisième carré (Fig. 2) :


Mais faisons la même chose avec la troisième dimension (Fig. 3) : ça ne marche pas. Il n'y a pas assez de cubes, ou il en reste des supplémentaires :

Mais le mathématicien français du XVIIe siècle Pierre de Fermat a étudié avec enthousiasme l'équation générale x n + y n = z n. Et enfin, j'ai conclu : pour n>2 il n'y a pas de solutions entières. La preuve de Fermat est irrémédiablement perdue. Les manuscrits brûlent ! Il ne reste que sa remarque dans l’Arithmétique de Diophante : « J’ai trouvé une preuve vraiment étonnante de cette proposition, mais les marges ici sont trop étroites pour la contenir. »

En fait, un théorème sans preuve s’appelle une hypothèse. Mais Fermat a la réputation de ne jamais commettre d’erreur. Même s'il n'a laissé aucune preuve de sa déclaration, celle-ci a été confirmée par la suite. De plus, Fermat a prouvé sa thèse pour n=4. Ainsi, l’hypothèse du mathématicien français est entrée dans l’histoire sous le nom de Dernier théorème de Fermat.

Après Fermat, de grands esprits comme Léonhard Euler travaillèrent à la recherche d'une preuve (en 1770 il proposa une solution pour n = 3),

Adrien Legendre et Johann Dirichlet (ces scientifiques ont trouvé conjointement la preuve de n = 5 en 1825), Gabriel Lamé (qui a trouvé la preuve de n = 7) et bien d'autres. Au milieu des années 80 du siècle dernier, il est devenu clair que le monde scientifique était sur le point de trouver la solution finale au dernier théorème de Fermat, mais ce n'est qu'en 1993 que les mathématiciens ont vu et cru que l'épopée de trois siècles de recherche d'une preuve de Le dernier théorème de Fermat était pratiquement terminé.

On montre facilement qu’il suffit de prouver le théorème de Fermat uniquement pour n simple : 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Pour n composé, la preuve reste valable. Mais il existe une infinité de nombres premiers...

En 1825, en utilisant la méthode de Sophie Germain, les mathématiciennes Dirichlet et Legendre démontrèrent indépendamment le théorème pour n=5. En 1839, en utilisant la même méthode, le Français Gabriel Lame montra la vérité du théorème pour n=7. Peu à peu, le théorème a été prouvé pour presque tous les n inférieurs à cent.

Enfin, le mathématicien allemand Ernst Kummer, dans une brillante étude, a montré que le théorème en général ne peut être prouvé en utilisant les méthodes mathématiques du XIXe siècle. Le Prix de l'Académie française des sciences, créé en 1847 pour la preuve du théorème de Fermat, n'a pas été décerné.

En 1907, le riche industriel allemand Paul Wolfskehl décide de se suicider à cause d'un amour non partagé. En vrai Allemand, il a fixé la date et l’heure du suicide : exactement à minuit. Le dernier jour, il a rédigé un testament et écrit des lettres à ses amis et à ses proches. Les choses se sont terminées avant minuit. Il faut dire que Paul s'intéressait aux mathématiques. N’ayant rien d’autre à faire, il se rendit à la bibliothèque et commença à lire le célèbre article de Kummer. Soudain, il lui sembla que Kummer s'était trompé dans son raisonnement. Wolfskel a commencé à analyser cette partie de l'article avec un crayon à la main. Minuit est passé, le matin est venu. La lacune dans la preuve a été comblée. Et la raison même du suicide paraissait désormais complètement ridicule. Paul a déchiré ses lettres d'adieu et réécrit son testament.

Il mourut bientôt de causes naturelles. Les héritiers furent assez surpris : 100 000 marks (plus de 1 000 000 de livres sterling actuelles) furent transférés sur le compte de la Société scientifique royale de Göttingen, qui annonça la même année un concours pour le prix Wolfskehl. 100 000 points ont été attribués à celui qui a prouvé le théorème de Fermat. Pas un pfennig n'a été attribué pour réfuter le théorème...

La plupart des mathématiciens professionnels considéraient la recherche d'une preuve du dernier théorème de Fermat comme une tâche désespérée et refusaient résolument de perdre du temps dans un exercice aussi inutile. Mais les amateurs se sont éclatés. Quelques semaines après l’annonce, une avalanche de « preuves » s’est abattue sur l’université de Göttingen. Le professeur E.M. Landau, dont la responsabilité était d'analyser les preuves envoyées, a distribué des cartes à ses étudiants :

Cher. . . . . . . .

Merci de m'avoir envoyé le manuscrit avec la preuve du dernier théorème de Fermat. La première erreur est à la page... en ligne... . De ce fait, toute la preuve perd sa validité.
Professeur E. M. Landau

En 1963, Paul Cohen, s'appuyant sur les découvertes de Gödel, prouva l'insolvabilité de l'un des vingt-trois problèmes de Hilbert : l'hypothèse du continu. Et si le dernier théorème de Fermat était également indécidable ?! Mais les vrais fanatiques du Grand Théorème n’ont pas été déçus du tout. L’avènement des ordinateurs a soudainement offert aux mathématiciens une nouvelle méthode de preuve. Après la Seconde Guerre mondiale, des équipes de programmeurs et de mathématiciens ont prouvé le dernier théorème de Fermat pour toutes les valeurs de n jusqu'à 500, puis jusqu'à 1 000, et plus tard jusqu'à 10 000.

Dans les années 1980, Samuel Wagstaff a élevé la limite à 25 000, et dans les années 1990, les mathématiciens ont déclaré que le dernier théorème de Fermat était vrai pour toutes les valeurs de n jusqu'à 4 millions. Mais si vous soustrayez ne serait-ce qu’un billion de milliards à l’infini, il ne deviendra pas plus petit. Les mathématiciens ne sont pas convaincus par les statistiques. Démontrer le Grand Théorème signifiait le prouver pour TOUT n allant vers l’infini.

En 1954, deux jeunes amis mathématiciens japonais se lancent dans des recherches sur les formes modulaires. Ces formes génèrent des séries de nombres, chacun avec sa propre série. Par hasard, Taniyama a comparé ces séries avec des séries générées par des équations elliptiques. Ils correspondaient ! Mais les formes modulaires sont des objets géométriques et les équations elliptiques sont algébriques. Aucun lien n'a jamais été trouvé entre des objets aussi différents.

Cependant, après des tests minutieux, des amis ont avancé une hypothèse : chaque équation elliptique a une jumelle - une forme modulaire, et vice versa. C'est cette hypothèse qui est devenue le fondement de toute une direction des mathématiques, mais jusqu'à ce que l'hypothèse de Taniyama-Shimura soit prouvée, le bâtiment entier pourrait s'effondrer à tout moment.

En 1984, Gerhard Frey a montré qu'une solution de l'équation de Fermat, si elle existe, peut être incluse dans une équation elliptique. Deux ans plus tard, le professeur Ken Ribet démontrait que cette équation hypothétique ne pouvait avoir d'équivalent dans le monde modulaire. Désormais, le dernier théorème de Fermat était inextricablement lié à la conjecture de Taniyama-Shimura. Après avoir prouvé que toute courbe elliptique est modulaire, nous concluons qu'il n'existe pas d'équation elliptique avec une solution à l'équation de Fermat, et le dernier théorème de Fermat serait immédiatement prouvé. Mais pendant trente ans, il n'a pas été possible de prouver l'hypothèse de Taniyama-Shimura, et il y avait de moins en moins d'espoir de succès.

En 1963, alors qu’il n’a que dix ans, Andrew Wiles est déjà fasciné par les mathématiques. Lorsqu’il a entendu parler du Grand Théorème, il s’est rendu compte qu’il ne pouvait pas y renoncer. En tant qu'écolier, étudiant et étudiant diplômé, il s'est préparé à cette tâche.

Ayant pris connaissance des découvertes de Ken Ribet, Wiles s'est plongé tête baissée dans la preuve de l'hypothèse de Taniyama-Shimura. Il a décidé de travailler dans l'isolement et le secret complets. "J'ai réalisé que tout ce qui avait à voir avec le dernier théorème de Fermat suscitait trop d'intérêt... Trop de spectateurs interféraient évidemment avec la réalisation de l'objectif." Sept années de travail acharné ont porté leurs fruits : Wiles a finalement achevé la preuve de la conjecture de Taniyama-Shimura.

En 1993, le mathématicien anglais Andrew Wiles a présenté au monde sa preuve du dernier théorème de Fermat (Wiles a lu son article sensationnel lors d'une conférence à l'Institut Sir Isaac Newton de Cambridge.), dont les travaux ont duré plus de sept ans.

Alors que le battage médiatique se poursuivait dans la presse, un travail sérieux a commencé pour vérifier les preuves. Chaque élément de preuve doit être soigneusement examiné avant de pouvoir être considéré comme rigoureux et exact. Wiles a passé un été agité à attendre les commentaires des critiques, espérant qu'il serait en mesure de gagner leur approbation. Fin août, les experts ont jugé le jugement insuffisamment motivé.

Il s'est avéré que cette décision contient une erreur grossière, même si en général elle est correcte. Wiles n'a pas abandonné, a fait appel au célèbre spécialiste de la théorie des nombres Richard Taylor, et déjà en 1994, ils ont publié une preuve corrigée et développée du théorème. Le plus étonnant est que ce travail a occupé jusqu'à 130 (!) pages dans la revue mathématique « Annals of Mathematics ». Mais l'histoire ne s'est pas arrêtée là non plus - le point final n'a été atteint que l'année suivante, 1995, lorsque la version finale et « idéale », d'un point de vue mathématique, de la preuve a été publiée.

«... une demi-minute après le début du dîner de fête à l'occasion de son anniversaire, j'ai présenté à Nadya le manuscrit de la preuve complète» (Andrew Wales). N'ai-je pas encore dit que les mathématiciens sont des gens étranges ?

Cette fois, il n’y avait aucun doute sur les preuves. Deux articles ont fait l'objet d'une analyse minutieuse et ont été publiés en mai 1995 dans les Annals of Mathematics.

Beaucoup de temps s'est écoulé depuis ce moment, mais il existe toujours dans la société une opinion selon laquelle le dernier théorème de Fermat est insoluble. Mais même ceux qui connaissent la preuve trouvée continuent de travailler dans cette direction - peu sont convaincus que le Grand Théorème nécessite une solution de 130 pages !

Par conséquent, maintenant les efforts de nombreux mathématiciens (pour la plupart des amateurs et non des scientifiques professionnels) sont consacrés à la recherche d'une preuve simple et concise, mais ce chemin, très probablement, ne mènera nulle part...

source