Примеры фигур обладающих осевой и центральной симметрией. Презентация Виды симметрии

Осевая симметрия и понятие совершенства

Осевая симметрия присуща всем формам в природе и является одним из основополагающих принципов красоты. С древнейших времен человек пытался

постигнуть смысл совершенства. Впервые обосновали это понятие художники, философы и математики Древней Греции. Да и само слово "симметрия" было придумано ими. Обозначает оно пропорциональность, гармоничность и тождественность частей целого. Древнегреческий мыслитель Платон утверждал, что прекрасным может быть только тот объект, который симметричен и соразмерен. И действительно, «радуют глаз» те явления и формы, которые имеют пропорциональность и завершенность. Их мы называем правильными.

Осевая симметрия как понятие

Симметрия в мире живых существ проявляется в закономерном расположении одинаковых частей тела относительно центра или оси. Чаще в

природе встречается осевая симметрия. Она обуславливает не только общее строение организма, но и возможности его последующего развития. Геометрические формы и пропорции живых существ формирует «осевая симметрия». Определениеее формулируется следующим образом: это свойство объектов совмещаться при различных преобразованиях. Древние считали, что принципом симметричности в наиболее полном объеме обладает сфера. Эту форму они полагали гармоничной и совершенной.

Осевая симметрия в живой природе

Если взглянуть на любое живое существо, сразу бросается в глаза симметричность устройства организма. Человек: две руки, две ноги, два глаза, два уха и так далее. Каждому виду животных присущ характерный окрас. Если в расцветке фигурирует рисунок, то, как правило, он зеркально дублируется с обеих сторон. Это означает, что существует некая линия, по которой животные и люди могут быть визуально поделены на две идентичные половинки, то есть в основе их геометрического устройства лежит осевая симметрия. Любой живой организм природа создает не хаотично и бессмысленно, а согласно общим законам мироустройства, ведь во Вселенной ничто не имеет чисто эстетического, декоративного назначения. Наличие различных форм также обусловлено закономерной необходимостью.

Осевая симметрия в неживой природе

В мире нас повсюду окружают такие явления и предметы, как: тайфун, радуга, капля, листья, цветы и т.д. Их зеркальная, радиальная, центральная, осевая симметрия - очевидны. В значительной степени она обусловлена явлением гравитации. Часто под понятием симметрия понимается регулярность смены каких-либо явлений: день и ночь, зима, весна, лето и осень и так далее. Практически, это свойство существует везде, где наблюдается упорядоченность. Да и сами законы природы - биологические, химические, генетические, астрономические, подчинены общим для нас всех принципам симметрии, поскольку имеют завидную системность. Таким образом, сбалансированность, тождественность как принцип имеет всеобщий масштаб. Осевая симметрия в природе - это один из «краеугольных» законов, на котором базируется мироздание в целом.

«СИММЕТРИЯ - СИМВОЛ КРАСОТЫ, ГАРМОНИИ И СОВЕРШЕНСТВА»

Симметрия (др.-греч. — «соразмерность») — закономерное расположение подобных (одинаковых) частей тела или форм живого организма, совокупности живых организмов относительно центра или оси симметрии. При этом подразумевается, что соразмерность - часть гармонии, правильного сочетания частей целого.

Гармония - греческое слово, обозначающее «согласованность, соразмерность, единство частей и целого». Внешне гармония может проявляться в мелодии, ритме, симметрии и пропорциональности. Во всем царит гармонии закон, И в мире всё суть ритм, аккорд и тон. Дж. Драйден

Совершенство - высшая степень, предел какого-либо положительного качества, способности, или мастерства.

«Свобода есть основной внутренний признак каждого существа, сотворенного по образу и подобию Божьему; в этом признаке заключено абсолютное совершенство плана творения». Н. А. Бердяев Симметрия - основополагающий принцип устройства мира.

Симметрия - распространенное явление, ее всеобщность служит эффективным методом познания природы. Симметрия в природе нужна, чтобы сохранять устойчивость. Внутри внешней симметрии лежит внутренняя симметрия построения, гарантирующая равновесие.

Симметрия - проявление стремления материи к надежности и прочности.

Симметричные формы обеспечивают повторяемость удачных форм, поэтому более устойчивы к различным воздействиям. Симметрия многообразна.

В природе и, в частности, в живой природе симметрия не абсолютна и всегда содержит некоторую степень асимметрии. Асимметрия — (греч. α- — «без» и «симметрия») — отсутствие симметрии.

Симметрия в живой природе

Симметрия, как и пропорция, почиталась необходимым условием гармонии и красоты.

Внимательно приглядевшись к природе, можно увидеть общее даже в самых незначительных вещах и деталях, найти проявления симметрии. Форма листа дерева не является случайной: она строго закономерна. Листок как бы склеен из двух более или менее одинаковых половинок, одна из которых расположена зеркально относительно другой. Симметрия листка упорно повторяется, будь то гусеница, бабочка, жучок и т.п.

Существует очень сложная многоуровневая классификация типов симметрий. Здесь мы не будем рассматривать эти сложности классификации, отметим лишь принципиальные положения и вспомним простейшие примеры.

На самом верхнем уровне различают три типа симметрии: структурную, динамическую и геометрическую. Каждый из этих типов симметрии на следующем уровне делится на классическую и неклассическую.

Ниже располагаются следующие иерархические уровни. Графическое изображение всех уровней подчинения даёт разветвлённую дендрограмму.

В быту мы чаще всего сталкиваемся с так называемой зеркальной симметрией. Это такое строение объектов, когда их можно разделить на правую и левую или верхнюю и нижнюю половины воображаемой осью, называемой осью зеркальной симметрии. При этом половины, находящиеся по разные стороны оси - идентичны друг другу.

Отражение в плоскости симметрии . Отражение - это наиболее известная и чаще других встречающаяся в природе разновидность симметрии. Зеркало в точности воспроизводит то, что оно "видит", но рассмотренный порядок является обращенным: правая рука у вашего двойника в действительности окажется левой, так как пальцы расположены на ней в обратном порядке. Зеркальную симметрию можно обнаружить повсюду: в листьях и цветах растений. Более того, зеркальная симметрия присуща телам почти всех живых существ, и такое совпадение отнюдь не случайно. Зеркальной симметрией обладает все, допускающее разбиение на две зеркально равные половинки. Каждая из половинок служит зеркальным отражением другой, а разделяющая их плоскость называется плоскостью зеркального отражения, или просто зеркальной плоскостью.

Поворотная симметрия. Внешний вид узора не изменится, если его повернуть на некоторый угол вокруг оси. Симметрия, возникающая при этом, называется поворотной симметрией. Листья и цветы многих растений обнаруживают радиальную симметрию. Это такая симметрия, при которой лист или цветок, поворачиваясь вокруг оси симметрии, переходит в себя. На поперечных сечениях тканей, образующих корень или стебель растения, отчетливо бывает видна радиальная симметрия. Соцветия многих цветков также обладают радиальной симметрией.

Радиально-лучевой симметрией обладают цветы, грибы, деревья. Здесь можно отметить, что на не сорванных цветах и грибах, растущих деревьях плоскости симметрии ориентированы всегда вертикально. Определяя пространственную организацию живых организмов, прямой угол организует жизнь силами гравитации. Биосфера (пласт бытия живых существ) ортогональна вертикальной линии земного тяготения. Вертикальные стебли растений, стволы деревьев, горизонтальные поверхности водных пространств и в целом земная кора составляют прямой угол. Прямой угол, лежащий в основе треугольника, правит пространством симметрии подобий, а подобие, как уже говорилось, - есть цель жизни. И сама природа, и первородная часть человека находятся во власти геометрии, подчинены симметрии и как сущности, и как символы. Как бы ни были выстроены объекты природы, каждый имеет свой основной признак, который отображен формой, будь то яблоко, зерно ржи или человек.

Примеры радиальной симметрии.

Простейший вид симметрии зеркальная (осевая), возникающая при вращении фигуры вокруг оси симметрии.

В природе зеркальная симметрия характерна для растений и животных, которые произрастают или двигаются параллельно поверхности Земли. Например, крылья и туловище бабочки можно назвать эталоном зеркальной симметрии.

Осевая симметрия это результат поворота абсолютно одинаковых элементов вокруг общего центра. При этом они могут располагаться под любым углом и с различной частотой. Главное, чтобы элементы вращались вокруг единого центра. В природе, примеры осевой симметрии чаще всего можно найти среди растений и животных, которые растут или перемещаются перпендикулярно к поверхности Земли.

Также существует винтовая симметрия .

Трансляцию можно комбинировать с отражением или поворотом, при этом возникают новые операции симметрии. Поворот на определенное число градусов, сопровождаемый трансляцией на расстояние вдоль оси поворота, порождает винтовую симметрию - симметрию винтовой лестницы. Пример винтовой симметрии - расположение листьев на стебле многих растений. Если рассматривать расположение листьев на ветке дерева мы заметим, что лист отстоит от другого, но и повернут вокруг оси ствола.

Листья располагаются на стволе по винтовой линии, чтобы не заслонять друг от друга солнечный свет. Головка подсолнечника имеет отростки, расположенные по геометрическим спиралям, раскручивающимся от центра наружу. Самые молодые члены спирали находятся в центре. В таких системах можно заметить два семейства спиралей, раскручивающихся в противоположные стороны и пересекающихся под углами, близкими к прямым. Но какими бы интересными и привлекательными ни были проявления симметрии в мире растений, там еще много тайн, управляющих процессами развития. Вслед за Гете, который говорил о стремлении природы к спирали, можно предположить, что движение это осуществляется по логарифмической спирали, начиная всякий раз с центральной, неподвижной точки и сочетая поступательное движение (растяжение) с поворотом вращения.

На основании этого можно сформулировать в несколько упрощенном и схематизированном виде (из двух пунктов) общий закон симметрии, ярко и повсеместно проявляющийся в природе:

1. Все, что растет или движется по вертикали, т.е. вверх или вниз относительно земной поверхности, подчиняется радиально-лучевой симметрии в виде веера пересекающихся плоскостей симметрии. Листья и цветы многих растений обнаруживают радиальную симметрию. Это такая симметрия, при которой лист или цветок, поворачиваясь вокруг оси симметрии, переходит в себя. На поперечных сечениях тканей, образующих корень или стебель растения, отчетливо бывает видна радиальная симметрия. Соцветия многих цветков также обладают радиальной симметрией.

2. Все то, что растет и движется горизонтально или наклонно по отношению к земной поверхности, подчиняется билатеральной симметрии, симметрии листка.

Этому всеобщему закону из двух постулатов подчиняются не только цветы, животные, легкоподвижные жидкости и газы, но и твердые, неподатливые камни. Этот закон влияет на изменчивые формы облаков. В безветренный день они имеют куполовидную форму с более или менее ясно выраженной радиально-лучевой симметрией. Влияние универсального закона симметрии является по сути дела чисто внешним, грубым, налагающим свою печать только на наружную форму природных тел. Внутреннее их строение и детали ускользают из-под его власти.

Симметрия основана на подобии. Она означает такое соотношение между элементами, фигурами, когда они повторяют и уравновешивают друг друга.

Симметрия подобия. Еще один тип симметрии - симметрия подобия, связанная с одновременным увеличением или уменьшением подобных частей фигуры и расстояний между ними. Примером такого рода симметрии служит матрешка. Очень широко распространена такая симметрия в живой природе. Ее демонстрируют все растущие организмы.

Основой эволюции живой материи является симметрия подобия. Рассмотрим цветок розы или кочан капусты. Важную роль в геометрии всех этих природных тел играет подобие их сходных частей. Такие части, конечно, связаны между собой каким-то общим, еще не известным нам геометрическим законом, позволяющим выводить их друг из друга. Симметрия подобия, осуществляющаяся в пространстве и во времени, повсеместно проявляется в природе на всем, что растет. А ведь именно к растущим формам относятся бесчисленные фигуры растений, животных и кристаллов. Форма древесного ствола - коническая, сильно вытянутая. Ветви обычно располагаются вокруг ствола по винтовой линии. Это не простая винтовая линия: она постепенно сужается к вершине. Да и сами ветви уменьшаются по мере приближения к вершине дерева. Следовательно, здесь мы имеем дело с винтовой осью симметрии подобия.

Живая природа в любых ее проявлениях обнаруживает одну и ту же цель, один и тот же смысл жизни: всякий живой предмет повторяет себя в себе подобном. Главной задачей жизни является жизнь, а доступная форма бытия заключается в существовании отдельных целостных организмов. И не только примитивные организации, но и сложные космические системы, такие как человек, демонстрируют поразительную способность буквально повторять из поколения в поколение одни и те же формы, одни и те же скульптуры, черты характера, те же жесты, манеры.

Природа обнаруживает подобие как свою глобальную генетическую программу. Ключ в изменении тоже заключается в подобии. Подобие правит живой природой в целом. Геометрическое подобие - общий принцип пространственной организации живых структур. Лист клена подобен листу клена, березы - листу березы. Геометрическое подобие пронизывает все ветви древа жизни. Какие бы метаморфозы ни претерпевала в процессе роста в дальнейшем живая клетка, принадлежащая целостному организму и выполняющая функцию его воспроизведения в новый, особенный, единичный объект бытия, она является точкой "начала", которая в итоге деления окажется преобразована в объект, подобный первоначальному. Этим объединяются все виды живых структур, по этой причине и существуют стереотипы жизни: человек, кошка, стрекоза, дождевой червь. Они бесконечно интерпретируются и варьируются механизмами деления, но остаются теми же стереотипами организации, формы и поведения.

Для живых организмов симметричное расположение частей органов тела помогает сохранять им равновесие при передвижении и функционировании, обеспечивает их жизнестойкость и лучшее приспособление к окружающему миру, что справедливо и в растительном мире. Например, ствол ели или сосны чаще всего прямой и ветви равномерно расположены относительно ствола. Дерево, развиваясь в условиях действия силы тяжести, достигает устойчивого положения. К вершине дерева ветви его становятся меньше в размерах - оно приобретает форму конуса, поскольку на нижние ветви, как и на верхние, должен падать свет. Кроме того, центр тяжести должен быть как можно ниже, от этого зависит устойчивость дерева. Законы естественного отбора и всемирного тяготения способствовали тому, что дерево не только эстетически красиво, но устроено целесообразно.

Получается, что симметрия живых организмов связана с симметрией законов природы. На житейском уровне, когда мы видим проявление симметрии в живой и неживой природе, то невольно испытываем чувство удовлетворения тем всеобщим, как нам кажется, порядком, который царит в природе.

По мере упорядочения живых организмов, их усложнения в ходе развития жизни асимметрия все больше и больше превалирует над симметрией, вытесняя ее из биохимических и физиологических процессов. Однако и здесь имеет место динамический процесс: симметрия и асимметрия в функционировании живых организмов тесно связаны. Внешне человек и животные симметричны, однако их внутреннее строение существенно асимметрично. Если у низших биологических объектов, например низших растений, размножение идет симметрично, то у высших имеет место явная асимметрия, например разделение полов, где каждый пол вносит в процесс самовоспроизведения свойственную только ему генетическую информацию. Так, устойчивое сохранение наследственности есть проявление в известном смысле симметрии, а в изменчивости проявляется асимметрия. В целом же глубокая внутренняя связь симметрии и асимметрии в живой природе обусловливает ее возникновение, существование и развитие.

Вселенная есть асимметричное целое, и жизнь в таком виде, в каком она представляется, должна быть функцией асимметрии Вселенной и вытекающих отсюда следствий. В отличие от молекул неживой природы молекулы органических веществ имеют ярко выраженный асимметричный характер (хиральность). Придавая большое значение асимметрии живого вещества, Пастер считал ее именно той единственной, четко разграничивающей линией, которую в настоящее время можно провести между живой и неживой природой, т.е. тем, что отличает живое вещество от неживого. Современная наука доказала, что в живых организмах, как и в кристаллах, изменениям в строении отвечают изменения свойств.

Предполагают, что возникшая асимметрия произошла скачком в результате Большого Биологического Взрыва (по аналогии с Большим Взрывом, в результате которого образовалась Вселенная) под действием радиации, температуры, электромагнитных полей и т.д. и нашла свое отражение в генах живых организмов. Этот процесс, по существу, также является процессом самоорганизации

Научно-практическая конференция

МОУ «Средняя общеобразовательная школа № 23»

города Вологды

секция: естественно - научная

проектно-исследовательская работа

ВИДЫ СИММЕТРИИ

Выполнила работу ученица 8 «а» класса

Кренёва Маргарита

Руководитель: учитель математики высшей

2014 год

Структура проекта:

1. Введение.

2. Цели и задачи проекта.

3. Виды симметрии:

3.1. Центральная симметрия;

3.2. Осевая симметрия;

3.3. Зеркальная симметрия (симметрия относительно плоскости);

3.4. Поворотная симметрия;

3.5. Переносная симметрия.

4. Выводы.

Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство.

Г. Вейль

Введение.

Тема моей работы была выбрана после изучения раздела «Осевая и центральная симметрия» в курсе «Геометрия 8 класса». Меня очень заинтересовала эта тема. Я захотела узнать: какие виды симметрии существуют, чем они отличаются друг от друга, каковы принципы построения симметричных фигур в каждом из видов.

Цель работы : Знакомство с различными видами симметрии.

Задачи:

Изучить литературу по данному вопросу.

Обобщить и систематизировать изученный материал.

Подготовить презентацию.

В древности слово «СИММЕТРИЯ» употреблялось в значении «гармония», «красота». В переводе с греческого это слово означает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей чего-либо по противоположным сторонам от точки, прямой или плоскости.

Существуют две группы симметрий.

К первой группе относится симметрия положений, форм, структур. Это та симметрия, которую можно непосредственно видеть. Она может быть названа геометрической симметрией.

Вторая группа характеризует симметрию физических явлений и законов природы. Эта симметрия лежит в самой основе естественнонаучной картины мира: ее можно назвать физической симметрией.

Я остановлюсь на изучении геометрической симметрии .

В свою очередь, геометрической симметрии существует тоже несколько видов: центральная, осевая, зеркальная (симметрия относительно плоскости) радиальная (или поворотная), переносная и другие. Я рассмотрю сегодня 5 видов симметрии.

Центральная симметрия

Две точки А и А 1 называются симметричными относительно точки О, если они лежат на прямой, проходящей через т О и находятся по разные стороны от неё на одинаковом расстоянии. Точка О называется центром симметрии.

Фигура называется симметричной относительно точки О , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры, говорят, что фигура обладает центральной симметрией.

Примерами фигур, обладающими центральной симметрией является окружность и параллелограмм.

Фигуры, изображённые на слайде симметричны, относительно некоторой точки

2. Осевая симметрия

Две точки X и Y называются симметричными относительно прямой t , если эта прямая проходит чрез середину отрезка ХУ и перпендикулярна к нему. Также следует сказать, что каждая точка прямой t считается симметричной сама себе.

Прямая t – ось симметрии.

Фигура называется симметричной относительно прямой t , если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой t также принадлежит этой фигуре.

Прямая t называется осью симметрии фигуры, говорят, что фигура обладает осевой симметрией.

Осевой симметрией обладают неразвёрнутый угол, равнобедренный и равносторонний треугольники, прямоугольник и ромб, буквы (смотри презентацию).

Зеркальная симметрия (симметрия относительно плоскости)

Две точки Р 1 и Р называются симметричными относительно плоскости а если они лежат на прямой, перпендикулярной плоскости а, и находятся от неё на одинаковом расстоянии

Зеркальная симметрия хорошо знакома каждому человеку. Она связывает любой предмет и его отражение в плоском зеркале. Говорят, что одна фигура зеркально симметрична другой.

На плоскости фигурой с бесчисленным множеством осей симметрии был круг. В пространстве бесчисленное множество плоскостей симметрии имеет шар.

Но если круг является единственным в своем роде, то в трехмерном мире имеется целый ряд тел, обладающих бесконечным множеством плоскостей симметрии: прямой цилиндр с кругом в основании, конус с круговым основанием, шар.

Легко установить, что каждая симметричная плоская фигура может быть с помощью зеркала совмещена сама с собой. Достойно удивления, что такие сложные фигуры, как пятиконечная звезда или равносторонний пятиугольник, тоже симметричны. Как это вытекает из числа осей, они отличаются именно высокой симметрией. И наоборот: не так просто понять, почему такая, казалось бы, правильная фигура, как косоугольный параллелограмм, несимметрична.

4. П оворотная симметрия (или радиальная симметрия)

Поворотная симметрия - это симметрия, сохраняющаяся форму предмета при повороте вокруг некоторой оси на угол, равный 360°/ n (или кратный этой величине), где n = 2, 3, 4, … Указанную ось называют поворотной осью n -го порядка.

При п=2 все точки фигуры поворачиваются на угол 180 0 ( 360 0 /2 = 180 0 )вокруг оси, при этом форма фигуры сохраняется, т.е. каждая точка фигуры переходит в точку той же фигуры(фигура преобразуется сама в себя). Ось называют осью второго порядка.

На рисунке 2 показана ось третьего порядка, на рисунке 3 – 4 порядка, на рисунке 4 - 5-го порядка.

Предмет может иметь более одной поворотной оси: рис.1 – 3оси поворота, рис.2 -4 оси, рис 3 – 5 осей, рис. 4 – только 1 ось

Всем известные буквы «И» и «Ф» обладают поворотной симметрией Если повернуть букву «И» на 180° вокруг оси, перпендикулярной к плоскости буквы и проходящей через ее центр, то буква совместится сама с собой. Иными словами, буква «И» симметрична относительно поворота на 180°, 180°= 360°: 2, n =2 , значит она обладает симметрией второго порядка.

Заметим, что поворотной симметрией второго порядка обладает также буква «Ф».

Кроме того буква и имеет центр симметрии, а буква Ф ось симметрии

Вернемся к примерам из жизни: стакан, конусообразный фунтик с мороженым, кусочек проволоки, труба.

Если мы повнимательней присмотримся к этим телам, то заметим, что все они, так или иначе состоят из круга, через бесконечное множество осей симметрии которого проходит бесчисленное множество плоскостей симметрии. Большинство таких тел (их называют телами вращения) имеют, конечно, и центр симметрии (центр круга), через который проходит по меньшей мере одна поворотная, ось симметрии.

Отчетливо видна, например, ось у конуса фунтика с мороженым. Она проходит от середины круга (торчит из мороженого!) до острого конца конуса-фунтика. Совокупность элементов симметрии какого-либо тела мы воспринимаем как своего рода меру симметрии. Шар, без сомнения, в отношении симметрии является непревзойденным воплощением совершенства, идеалом. Древние греки воспринимали его как наиболее совершенное тело, а круг, естественно, как наиболее совершенную плоскую фигуру.

Для описания симметрии конкретного объекта надо указать все поворотные оси и их порядок, а также все плоскости симметрии.

Рассмотрим, например, геометрическое тело, составленное из двух одинаковых правильных четырехугольных пирамид.

Оно имеет одну поворотную ось 4-го порядка (ось АВ), четыре поворотные оси 2-го порядка (оси СЕ, DF , MP , NQ ), пять плоскостей симметрии (плоскости CDEF , AFBD , ACBE , AMBP , ANBQ ).

5 . Переносная симметрия

Ещё одним видом симметрии является переносная с имметрия.

О такой симметрии говорят тогда, когда при переносе фигуры вдоль прямой на какое-то расстояние «а» либо расстояние, кратное этой величине, она совмещается сама с собой Прямая, вдоль которой производится перенос, называется осью переноса, а расстояние «а» - элементарным переносом, периодом или шагом симметрии.

Периодически повторяющийся рисунок на длинной ленте называется бордюром. На практике бордюры встречаются в различных видах (настенная роспись, чугунное литье, гипсовые барельефы или керамика). Бордюры применяют маляры и художники при оформлении комнаты. Для выполнения этих орнаментов изготавливают трафарет. Передвигаем трафарет, переворачивая или не переворачивая его, обводим контур, повторяя рисунок, и получается орнамент (наглядная демонстрация).

Бордюр легко построить с помощью трафарета (исходного элемента), сдвигая или переворачивая его и повторяя рисунок. На рисунке изображены трафареты пяти видов: а ) несимметричный; б, в ) имеющие одну ось симметрии: горизонтальную или вертикальную; г ) центрально-симметричный; д ) имеющий две оси симметрии: вертикальную и горизонтальную.

Для построения бордюров используют следующие преобразования:

а ) параллельный перенос; б ) симметрию относительно вертикальной оси; в ) центральную симметрию; г ) симметрию относительно горизонтальной оси.

Аналогично можно построить розетки. Для этого круг делят на n равных секторов, в одном из них выполняют образец рисунка и затем последовательно повторяют последний в остальных частях круга, поворачивая рисунок каждый раз на угол 360°/ n .

Наглядным примером применения осевой и переносной симметрии может служить забор, изображённый на фотографии.

Вывод: Таким образом, существуют различные виды симметрии, симметричные точки в каждом из этих видов симметрии строятся по определённым законам. В жизни мы повсюду встречаемся тем или иным видом симметрии, а часто у предметов, которые нас окружают, можно отметить сразу несколько видов симметрии. Это создаёт порядок, красоту и совершенство в окружающем нас мире.

ЛИТЕРАТУРА:

Справочник по элементарной математике. М.Я. Выгодский. – Издательство « Наука». – Москва 1971г. – 416стр.

Современный словарь иностранных слов. - М.: Русский язык, 1993г .

История математики в школе IX - X классы. Г.И. Глейзер. – Издательство «Просвещение». – Москва 1983г. – 351стр.

Наглядная геометрия 5 – 6 классы. И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева. – Издательство «Дрофа», Москва 2005г. – 189стр.

Энциклопедия для детей. Биология. С. Исмаилова. – Издательство «Аванта+». – Москва 1997г. – 704стр.

Урманцев Ю.А. Симметрия природы и природа симметрии - М.: Мысль arxitekt / arhkomp 2. htm , , ru.wikipedia.org/wiki/

Понятие движения

Разберем сначала такое понятие как движение.

Определение 1

Отображение плоскости называется движением плоскости, если при этом отображении сохраняются расстояния.

Существуют несколько теорем, связанных с этим понятием.

Теорема 2

Треугольник, при движении, переходит в равный ему треугольник.

Теорема 3

Любая фигура, при движении, переходит в равную ей фигуру.

Осевая и центральная симметрия являются примерами движения. Рассмотрим их более подробно.

Осевая симметрия

Определение 2

Точки $A$ и $A_1$ называются симметричными относительно прямой $a$, если эта прямая перпендикулярна к отрезку ${AA}_1$ и проходит через его центр (рис. 1).

Рисунок 1.

Рассмотрим осевую симметрию на примере задачи.

Пример 1

Построить симметричный треугольник для данного треугольника относительно какой-либо его стороны.

Решение.

Пусть нам дан треугольник $ABC$. Будем строить его симметрию относительно стороны $BC$. Сторона $BC$ при осевой симметрии перейдет в саму себя (следует из определения). Точка $A$ перейдет в точку $A_1$ следующим образом: ${AA}_1\bot BC$, ${AH=HA}_1$. Треугольник $ABC$ перейдет в треугольник $A_1BC$ (Рис. 2).

Рисунок 2.

Определение 3

Фигура называется симметричной относительно прямой $a$, если каждая симметричная точка этой фигуры содержится на этой же фигуре (рис. 3).

Рисунок 3.

На рисунке $3$ изображен прямоугольник. Он обладает осевой симметрией относительно каждого своего диаметра, а также относительно двух прямых, которые проходят через центры противоположных сторон данного прямоугольника.

Центральная симметрия

Определение 4

Точки $X$ и $X_1$ называются симметричными относительно точки $O$, если точка $O$ является центром отрезка ${XX}_1$ (рис. 4).

Рисунок 4.

Рассмотрим центральную симметрию на примере задачи.

Пример 2

Построить симметричный треугольник для данного треугольника какой-либо его вершины.

Решение.

Пусть нам дан треугольник $ABC$. Будем строить его симметрию относительно вершины $A$. Вершина $A$ при центральной симметрии перейдет в саму себя (следует из определения). Точка $B$ перейдет в точку $B_1$ следующим образом ${BA=AB}_1$, а точка $C$ перейдет в точку $C_1$ следующим образом: ${CA=AC}_1$. Треугольник $ABC$ перейдет в треугольник ${AB}_1C_1$ (Рис. 5).

Рисунок 5.

Определение 5

Фигура является симметричной относительно точки $O$, если каждая симметричная точка этой фигуры содержится на этой же фигуре(рис. 6).

Рисунок 6.

На рисунке $6$ изображен параллелограмм. Он обладает центральной симметрией относительно точки пересечения его диагоналей.

Пример задачи.

Пример 3

Пусть нам дан отрезок $AB$. Построить его симметрию относительно прямой $l$, не пересекающий данный отрезок и относительно точки $C$, лежащей на прямой $l$.

Решение.

Изобразим схематически условие задачи.

Рисунок 7.

Изобразим для начала осевую симметрию относительно прямой $l$. Так как осевая симметрия является движением, то по теореме $1$, отрезок $AB$ отобразится на равный ему отрезок $A"B"$. Для его построение сделаем следующее: проведем через точки $A\ и\ B$ прямые $m\ и\ n$, перпендикулярно прямой $l$. Пусть $m\cap l=X,\ n\cap l=Y$. Далее проведем отрезки $A"X=AX$ и $B"Y=BY$.

Рисунок 8.

Изобразим теперь центральную симметрию относительно точки $C$. Так как центральная симметрия является движением, то по теореме $1$, отрезок $AB$ отобразится на равный ему отрезок $A""B""$. Для его построения сделаем следующее: проведем прямые $AC\ и\ BC$. Далее проведем отрезки $A^{""}C=AC$ и $B^{""}C=BC$.

Рисунок 9.

Осевая симметрия и понятие совершенства

Осевая симметрия как понятие

Осевая симметрия в живой природе

Осевая симметрия в неживой природе