Общи бележки за оптималните системи. Автоматични оптимални системи

Системите за автоматично управление обикновено се проектират въз основа на изискванията за осигуряване на определени показатели за качество. В много случаи необходимото повишаване на динамичната точност и подобряване на преходните процеси на автоматичните системи се постига с помощта на коригиращи устройства.

Особено широки възможности за подобряване на показателите за качество се осигуряват от въвеждането във веригата на автоматична система от отворени компенсационни канали и диференциални връзки, синтезирани от едно или друго условие на инвариантност на грешката по отношение на управляващите или смущаващи влияния. Ефектът на коригиращите устройства, отворените компенсационни канали и еквивалентните диференциални връзки върху показателите за качество на автоматичната система обаче зависи от нивото на ограничаване на сигнала от нелинейни елементи на системата. Изходните сигнали на диференциращите устройства, обикновено кратки по продължителност и значителни по амплитуда, са ограничени от елементите на системата и не водят до подобряване на качествените показатели на автоматичната система, по-специално нейната скорост. Най-добри резултати при решаването на проблема за подобряване на качествените показатели на автоматичните системи при наличие на ограничения на сигнала се получават чрез така нареченото оптимално управление.

В широк смисъл думата "оптимално" означава най-доброто в смисъл на някакъв критерий за ефективност. С това тълкуване всяка научно обоснована техническа и икономическа система е оптимална, тъй като при избора на система се подразбира, че тя е в някакво отношение по-добра от други. Критериите, по които се прави изборът (критерии за оптималност), могат да бъдат различни. Тези критерии могат да бъдат качеството на динамиката на процесите на управление, надеждността на системата, консумацията на енергия, нейното тегло и размери, цена и др., Или комбинация от тези критерии с някои тегловни коефициенти. В много случаи необходимото повишаване на динамичната точност и подобряване на преходните процеси на системите за автоматично управление се постига с помощта на коригиращи устройства.

Особено широки възможности за подобряване на показателите за качество се осигуряват от въвеждането в автоматичните системи на компенсационни канали с отворен контур и диференциални връзки, синтезирани от едно или друго условие на инвариантност на грешката по отношение на главните или смущаващи влияния. Въпреки това, ефектът от коригиращи устройства, отворени компенсационни канали и еквивалентни диференциални връзки върху показателите за ефективност на автоматичните системи зависи от нивото на ограничаване на сигнала от нелинейни елементи на системата. Изходните сигнали на диференциращите устройства, обикновено кратки по продължителност и значителни по амплитуда, са ограничени от елементите на системата и не водят до подобряване на качествените показатели на автоматичната система, по-специално нейната скорост. Най-добри резултати при решаването на проблема за повишаване на качествените показатели на автоматичните системи при наличие на ограничения на сигнала се получават чрез така нареченото оптимално управление.

Проблемът за синтезирането на оптимални системи беше строго формулиран сравнително наскоро, когато беше дефинирано понятието критерий за оптималност. В зависимост от целта на управлението, различни технически или икономически показатели на контролирания процес могат да бъдат избрани като критерий за оптималност. В оптималните автоматични системи се осигурява не само леко повишаване на един или друг технико-икономически показател за качество, но постигането на неговата минимална или максимална възможна стойност.

Оптимално управление е това, което се осъществява по най-добрия начин по определени показатели. Системите, които осъществяват оптимално управление, се наричат ​​оптимални. Организацията на оптимален контрол се основава на идентифициране и прилагане на максималните възможности на системите.

При разработването на оптимални системи за управление една от най-важните стъпки е формулирането на критерий за оптималност, който се разбира като основен показател, който определя проблема за оптимизация. Именно по този критерий трябва да функционира оптималната система по най-добрия начин.

Критериите за оптималност включват различни технически и технико-икономически показатели, които изразяват технически и икономически ползи или, обратно, загуби. Поради противоречивите изисквания към системите за автоматично управление, изборът на критерий за оптималност обикновено се превръща в сложен проблем с нееднозначно решение. Например, оптимизирането на автоматична система въз основа на критерии за надеждност може да доведе до увеличаване на цената на системата и нейната сложност. От друга страна, опростяването на системата ще намали редица други нейни показатели. Освен това не всяко оптимално решение, синтезирано теоретично, може да бъде приложено на практика въз основа на постигнатото технологично ниво.

Теорията на автоматичното управление използва функционали, които характеризират отделните качествени показатели. Следователно най-често оптималните автоматични системи се синтезират като оптимални според един основен критерий, а останалите показатели, които определят качеството на функциониране на автоматичната система, са ограничени до диапазона на допустимите стойности. Това опростява и прави задачата за намиране на оптимални решения при разработването на оптимални системи по-специфична.

В същото време задачата за избор на конкурентни системни опции става по-сложна, тъй като те се сравняват по различни критерии и оценката на системата няма ясен отговор. Наистина, без задълбочен анализ на много противоречиви, често неформализирани фактори, е трудно да се отговори например на въпроса коя система е по-добра: по-надеждна или по-евтина?

Ако критерият за оптималност изразява технически и икономически загуби (автоматични системни грешки, време за преход, консумация на енергия, средства, разходи и т.н.), тогава оптималният ще бъде: управление, което осигурява минимум от критерия за оптималност. Ако изразява рентабилност (ефективност, производителност, печалба,
обхват на полета на ракетата и т.н.), тогава оптималното управление трябва да осигури максималния критерий за оптималност.

Задачата за определяне на оптималната автоматична система, по-специално синтеза на оптималните параметри на автоматичната система, когато на нейния вход се приема команден вход и смущения, които са стационарни произволни сигнали; взема се средната квадратна стойност на грешката като критерий за оптималност. Условията за повишаване на точността на възпроизвеждане на полезния сигнал (определящо влияние) и потискане на смущенията са противоречиви, поради което възниква задачата да се изберат такива (оптимални) параметри на системата, при които средноквадратичната грешка приема най-малката стойност.

Синтез на оптимална система със средноквадратичен критерий за оптималност е частен проблем. Общите методи за синтезиране на оптимални системи се основават на вариационното смятане. Въпреки това, класическите методи на вариационното смятане за решаване на съвременни практически проблеми, които изискват отчитане на ограничения, в много случаи се оказват неподходящи. Най-удобните методи за синтезиране на оптимални системи за автоматично управление са методът на динамично програмиране на Белман и принципът на максимума на Понтрягин.

IN общ процесПри проектирането на техническите системи могат да се видят два вида проблеми.
1 Проектиране на система за управление, насочена към постигане на задачата (формиране на траектории, режими, избор на методи за управление, които изпълняват траектории и др.). Тази гама от задачи може да се нарече дизайн на движението.
2 Проектиране на структурни и якостни схеми (избор на геометрични, аеродинамични, структурни и други параметри), осигуряващи изпълнението основни характеристикии специфични режими на работа. Този набор от задачи за проектиране е свързан с избора на ресурси, необходими за изпълнение на възложените задачи.

Проектирането на движения (промяна на технологичните параметри) е тясно свързано с групата проблеми от втория тип, тъй като информацията, получена при проектирането на движения, е първоначалната (до голяма степен определяща) за решаването на тези проблеми. Но дори и в случаите, когато вече има готов техническа система(т.е. наличните ресурси са определени), в процеса на неговата модификация могат да се прилагат техники за оптимизиране.

Проблемите от първия тип в момента се решават най-ефективно и стриктно въз основа на общите методи на математическата теория на процесите на оптимално управление. Значението на математическата теория на процесите на оптимално управление се крие във факта, че тя осигурява унифицирана методология за решаване на много широк спектър от проблеми с оптималния дизайн и управление, елиминира инерцията и липсата на обобщеност на предишните частни методи и допринася за ценни резултати и методи, получени в сродни области.

Теорията на оптималните процеси ви позволява да решавате широк спектър от практически проблеми по един достатъчен начин обща настройкакато се вземат предвид повечето технически ограничения, наложени върху осъществимостта на технологичните процеси. Особено нараства ролята на методите от теорията на оптималните процеси в последните годинивъв връзка с широкото въвеждане на компютри в процеса на проектиране.

По този начин, наред с проблема за подобряване на различни показатели за качеството на работа на автоматична система, възниква проблемът за изграждане на оптимални автоматични системи, в които изключителна стойностедин или друг технически и икономически показател за качество.

Разработването и внедряването на оптимални системи за автоматично управление спомага за повишаване на ефективността на използване на производствените единици, повишаване на производителността на труда, подобряване на качеството на продукта, спестяване на енергия, гориво, суровини и др.

Оптималните системи са класифицираниспоред различни критерии. Нека отбележим някои от тях.
В зависимост от използвания критерий за оптималност се разграничават:
1) системи, които са оптимални по отношение на производителността. Те реализират критерия за минимално време на преходни процеси;
2) системи, които са оптимални по точност. Те се формират по критерия за минимално отклонение на променливите при преходни процеси или по критерия за минимална средноквадратична грешка;
3) системи, които са оптимални по отношение на разхода на гориво, енергия и др., изпълняващи критерия за минимално потребление;
4) системи, които са оптимални при условия на инвариантност. Те се синтезират по критерия за независимост на изходните променливи от външни смущения или от други променливи;
5) оптимални екстремални системи, които определят критерия за минимално отклонение на показателя за качество от неговата екстремна стойност.

В зависимост от характеристиките на обектите оптималните системи се разделят на:
1) линейни системи;
2) нелинейни системи;
3) непрекъснати системи;
4) дискретни системи;
5) адитивни системи;
6) параметрични системи.

Тези признаци, с изключение на последните два, не се нуждаят от обяснение. В адитивните системи въздействията върху даден обект не променят неговите характеристики. Ако въздействията променят коефициентите на уравненията на обекта, тогава такива системи се наричат ​​параметрични.

В зависимост от вида на критерия за оптималност оптималните системи се разделят на:
1) равномерно оптимален, при който всеки отделен процес протича оптимално;
2) статистически оптимален, прилагащ критерий за оптималност, който е статистически по природа поради случайни влияния върху системата. В тези системи най-доброто поведение се постига не във всеки отделен процес, а само в няколко. Статистически оптималните системи могат да се нарекат средно оптимални;
3) минимаксен оптимален, който се синтезира от условието на минимаксен критерий, който осигурява най-добрия най-лош резултат в сравнение с подобен най-лош резултат във всяка друга автоматична система.

Въз основа на степента на пълнота на информацията за даден обект оптималните системи се разделят на системи с пълна и непълна информация. Информацията за даден обект включва информация:
1) за връзката между входните и изходните количества на обекта;
2) за състоянието на обекта;
3) за управляващото влияние, което определя необходимия режим на работа на системата;
4) за целта на управлението на функционала, изразяваща критерия за оптималност;
5) за характера на смущението.

Информацията за даден обект всъщност винаги е непълна, но в много случаи това не оказва съществено влияние върху функционирането на системата по избрания критерий за оптималност. В някои случаи непълнотата на информацията е толкова значителна, че се налага използването на статистически методи при решаване на задачи за оптимално управление.

В зависимост от пълнотата на информацията от контролния обект, критерият за оптималност може да бъде избран „твърд“ (с достатъчно пълна информация) или „адаптивен“, т.е. променящ се при промяна на информацията. Въз основа на този критерий оптималните системи се разделят на системи с твърда настройка и адаптивни. Адаптивните системи включват екстремни, самонастройващи се и обучаващи се системи. Тези системи най-пълно отговарят на съвременните изисквания за оптимални системи за управление.

Решението на проблема за синтезиране на оптимална система е да се разработи система за управление, която отговаря на зададените изисквания, т.е. да се създаде система, която изпълнява избрания критерий за оптималност. В зависимост от количеството информация за структурата на системата за автоматично управление, задачата за синтез се поставя в една от следните две постановки.

Първата формулировка обхваща случаите, когато структурата на автоматичната система е известна. Такива. В случаите обектът и контролерът могат да бъдат описани чрез съответните предавателни функции, а проблемът за синтеза се свежда до определяне на оптималните стойности на числените параметри на всички елементи на системата, т.е. тези параметри, които осигуряват изпълнението на избраният критерий за оптималност.

Във втората формулировка задачата за синтез се поставя с неизвестна структура на системата. В този случай е необходимо да се определи такава структура и такива параметри на системата, които да осигурят система, която е оптимална според приетия критерий за качество. В инженерната практика проблемът със синтеза в тази формулировка е рядък. Най-често обектът на управление или се определя като физическо устройство, или се описва математически, а задачата за синтез се свежда до синтеза на оптимален контролер. Трябва да се подчертае, че в този случай е необходимо системен подходкъм синтеза на оптимална система за управление. Същността на този подход е, че при синтезирането на контролер цялата система (регулатор и обект) се разглежда като едно цяло.

В началния етап на синтезиране на оптимален контролер задачата се свежда до неговото аналитично проектиране, т.е. до определяне на неговото математическо описание. В този случай един и същ математически модел на контролера може да бъде реализиран от различни физически устройства. Изборът на конкретна физическа реализация на аналитично определен контролер се извършва, като се вземат предвид условията на работа на конкретна система за автоматично управление. По този начин проблемът за синтезиране на оптимален контролер е двусмислен и може да бъде решен по различни начини.

При синтезирането на оптимална система за управление е много важно да се създаде модел на обекта, който е възможно най-адекватен на реалния обект. В теорията на управлението, както и в други съвременни области на науката, основните типове обектни модели са математически модели на уравненията на статиката и динамиката на обектите.

При решаване на задачи за синтезиране на оптимална система единен математически модел на обекти на управление обикновено е модел под формата на уравнения на състоянието. Състоянието на системата за автоматично управление във всеки момент от времето се разбира като минимален наборпроменливи (променливи на състоянието), които съдържат. количеството информация, достатъчно за определяне на координатите на системата в настоящите и бъдещи състояния на системата. Първоначалните уравнения на обекта обикновено са нелинейни. За да ги редуцирате до формата на уравнения на състоянието, широко се използват методи за линейни трансформации на оригиналните уравнения.

Постановка на основните проблеми на оптималното управлениепод формата на времева програма за автоматична система с критерий за оптималност и гранични условия се формулира по следния начин.

Сред всички програмни управления u = u(t) и контролни параметри, допустими на сегмента, които прехвърлят точката (t0, x0) в точката (t1, x1), намерете тези, за които функционалът върху решенията на системата от уравнения ще вземе най-малката (най-голямата) стойност с условията за оптималност на изпълнението.

Управлението u(t), което решава този проблем, се нарича оптимално (програмно) управление, а векторът a е оптимален параметър. Ако двойката (u*(t), a*) доставя абсолютен минимумфункционален I върху решения на системата, след това рел

Основният проблем за оптимално координирано управление е известен в теорията на оптималните процеси като проблемът за синтезиране на оптималния закон за управление, а в някои проблеми като проблемът за оптималния закон на поведение.

Задачата за синтезиране на оптимален закон за управление на система с критерий и гранични условия, където за простота се приема, че функциите f0, f, h, g не зависят от вектора a, се формулира по следния начин.

Сред всички допустими закони за управление v(x, t) намерете такъв, че за всякакви начални условия (t0, x0) при заместване на този закон се извършва посоченият преход и критерият за качество I[u] взема най-малкия (най-големия) решение.

Траекторията на автоматичната система, съответстваща на оптималното управление u*(t) или оптималния закон v*(x, t), се нарича оптимална траектория. Наборът от оптимални траектории x*(t) и оптимално управление u*(t) образува оптимално контролиран процес (x*(t), u*(t)).

Тъй като оптималният закон за управление v * (x, t) има формата на закон за управление с обратна връзка, той остава оптимален за всякакви стойности на началните условия (t0, x0) и всякакви координати x. За разлика от закона v * (x, t), програмното оптимално управление u * (t) е оптимално само за онези начални условия, за които е изчислено. Когато началните условия се променят, функцията u*(t) също ще се промени. Това е важна разлика, от гледна точка на практическото прилагане на система за автоматично управление, между оптималния закон за управление v*(x, t) и програмния оптимален контрол u*(t), тъй като изборът на началните условия на практика никога не може да се направи абсолютно точно.

Всяка част от оптималната траектория (оптимално управление) също е от своя страна оптимална траектория (оптимално управление). Това свойство е математически формулирано по следния начин.

Нека u*(t), t0< t < t1, – оптимальное управление для выбранного функционала I[u], соответствующее переходу из состояния (t0, x0) в состояние (t1, x1) по оптимальной траектории x*(t). Числа (t0, t1) и вектор x0 – фиксированные, а вектор x1 , вообще говоря, свободен. На оптимальной траектории x*(t) выбираются точки x*(t0) и x*(t1), соответствующие моментам времени t = t0, t = t1. Тогда управление u*(t) на отрезке является оптимальным, соответствующим переходу из состояния x*(t0) в состояние x*(t1), а дуга является оптимальной траекторией

Така, ако първоначалното състояние на системата е x*(t0) и началният момент от време t = t0, тогава независимо от това как системата е стигнала до това състояние, нейното оптимално последващо движение ще бъде дъгата на траекторията x*( t), t0< t < t1, являющейся частью оптимальной траектории между точками(t0, x0) и (t1, x1). Это условие является необходимым и достаточным свойством оптимальности процесса и служит основой динамического программирования.

Математическо описаниезадачата за прехвърляне на обект на управление (процес) от едно състояние в друго се характеризира с n фазови координати x1, x2, x3, . . . xn. В този случай r управляващи действия u1, u2, u3 могат да бъдат приложени към обекта за автоматично управление. . . ug.

Управляващи действия u1(t), u2(t), u3(t), . . . Удобно е да се разглежда uг(t) като координатите на определен вектор u = (u1, u2, u3, ... uг), наречен вектор на управляващо действие. Фазови координати (променливи на състоянието) на управляващия обект x1, x2, x3, . . . xn може също да се разглежда като координатите на някакъв вектор или точка с координати x = (x1, x2, x3, ... xn) в n-мерното пространство на състоянията. Тази точка се нарича фазово състояние на обекта, а n-мерното пространство, в което фазовите състояния са изобразени под формата на точки, се нарича фазово пространство (пространство на състоянията) на разглеждания обект. Когато използвате векторни изображения, контролираният обект може да бъде изобразен, както е показано на фигурата. Под въздействието на управляващото въздействие u (u1, u2, u3, ... uг) фазовата точка x (x1, x2, x3, ... xn) се движи, описвайки определена линия във фазовото пространство, наречена фазова траектория на разглежданото движение на обекта на управление.

Познавайки управляващото действие u(t) = u1(t), u2(t), u3(t), . . . uг(t), при наличие на смущения е възможно еднозначно да се определи движението на обекта на управление при t > t0, ако е известно първоначалното му състояние при t = t0. Ако промените управлението u(t), тогава точката ще се движи по различна траектория, т.е. за различни управления получаваме различни траектории, произтичащи от една и съща точка. Следователно преходът на обект от началното фазово състояние H към крайното състояние xK може да се извърши по различни фазови траектории в зависимост от управлението. Сред многото траектории има най-добрата в известен смисъл, тоест оптималната траектория. Например, ако задачата е да се сведе до минимум разходът на гориво по време на интервала на движение на локомотива, тогава изборът на управление и съответната траектория трябва да се подхожда от тази гледна точка. Специфичният разход на гориво g зависи от развитата сила на тягата на управляващото действие u(t), т.е.g(t). Критерият за оптималност обикновено се представя под формата на някакъв функционал.

Проблемът за синтезирането на оптимални автоматични системи беше строго формулиран сравнително наскоро, когато беше дадена дефиницията на понятието критерий за оптималност. В зависимост от целта на управлението, различни технически или икономически показатели на контролирания процес могат да бъдат избрани като критерий за оптималност. В оптималните системи се осигурява не само леко повишаване на един или друг технико-икономически показател за качество, а постигане на неговата минимална или максимална възможна стойност.

Важна стъпка при формулирането и решаването на общ проблем за управление е изборът на критерий за оптималност. Този избор е неформален акт, той не може да бъде предписан от никоя теория, а се определя изцяло от съдържанието на задачата. В някои случаи формалното изразяване на разбирането за оптималност на една система позволява няколко еквивалентни (или почти еквивалентни) формулировки.

Ако критерият за оптималност изразява технически и икономически загуби (грешки в системата, време за преходен процес, консумация на енергия, пари, цена и т.н.), тогава оптималното управление ще бъде следното: управление, което осигурява минимум от критерия за оптималност. Ако изразява рентабилност (ефективност, производителност, печалба, обсег на ракети и т.н.), тогава оптималното управление трябва да осигури максималния критерий за оптималност.

В такива случаи успехът и простотата на полученото решение се определя до голяма степен от избраната форма на критерия за оптималност (при условие, че във всички случаи той достатъчно пълно определя изискванията на проблема към системата). След изграждането на математически модел на процеса на управление се извършва неговото по-нататъшно изследване и оптимизиране с помощта на математически методи. Оптималното поведение или състояние на автоматичната система се осигурява, когато функционалността достигне своя екстремум I = extg максимум или минимум, в зависимост от физически смисълпроменливи.

В практиката на разработване и изследване на динамични системи най-често се срещат две задачи:
1) синтез на система, която е оптимална по отношение на производителността;
2) синтез на система, която е оптимална по точност.

В първия случай е необходимо да се осигури минимално време на преходния процес, във втория - минимална средна квадратична грешка (отклонение на координатата Dyi (t) от зададена стойност) при определени или произволни влияния.

В този случай функционал може да се дефинира като функция, чиито аргументи са свързани с критериите за оптималност и сами по себе си са функции на променливи. Общият разход на гориво, който ни интересува, основният показател в този случай за качеството на системите за управление на движението на локомотива, се определя от интегралния функционал.

Интегралният функционал, характеризиращ основния показател за качеството на автоматичната система (в разглеждания пример, разход на гориво), се нарича критерий за оптималност. Всяко управление u(t), а следователно и траекторията на локомотива, има своя собствена числова стойносткритерий за оптималност. Възниква проблемът с избора на такова управление u(t) и траектория на движение x(t), при които се постига минималната стойност на критерия за оптималност.

Обикновено се използват критерии за оптималност, чиято стойност се определя не от текущото състояние на обекта (в разглеждания пример специфичен разход на гориво), а от неговата промяна по време на целия процес на управление. Следователно, за да се определи критерият за оптималност, е необходимо, както в дадения пример, да се интегрира някаква функция, чиято стойност в общия случай зависи от текущите стойности на фазовите координати x на обекта и управлението u , влияние, т.е. такъв критерий за оптималност е неразделен функционал на формата

В случаите, когато фазовите координати на даден обект представляват стационарен произволни функции, критерият за оптималност е интегрален функционал не във времевата област, а в честотната област. Такива критерии за оптималност се използват при решаване на проблема за оптимизиране на системи за минимизиране на отклонението на грешката. В най-простите случаи критерият за оптималност може да не е интегрален функционал, а просто функция.

Теорията на автоматичното управление използва така наречените минимаксни критерии за оптималност, които характеризират условията най-добра работасистеми при най-лошите възможни условия. Пример за използване на критерий за минимакс може да бъде изборът, въз основа на него, на вариант на система за автоматично управление, който има минимална стойност на максимално превишаване. Всеки критерий за оптималност се прилага при наличието на ограничения, наложени върху променливите и показателите за качество на управлението. В системите за автоматично управление ограниченията, наложени върху координатите на управление, могат да бъдат разделени на естествени и условни.

В много случаи на автоматичната система се налагат противоречиви изисквания (например изисквания за минимален разход на гориво и максимална скорост на влака). При избор на управление, което отговаря на едно изискване (критерият за минимален разход на гориво), други изисквания няма да бъдат удовлетворени ( максимална скоростдвижение). Следователно от всички изисквания за подбор едно е основното, което трябва да бъде удовлетворено по най-добрия начин, а други изисквания се вземат предвид под формата на ограничения върху техните стойности. Например, когато отговаря на изискването за минимален разход на гориво, минималната скорост на движение е ограничена. Ако има няколко еднакви индикатора за качество, които не могат да бъдат комбинирани в общ комбиниран индикатор, изборът на оптимални контроли, съответстващи на тези индикатори поотделно, като същевременно ограничава останалите, осигурява опции за решение, които могат (по време на проектирането) да помогнат при избора на оптималната компромисна опция.

При избора на управляващо действие u трябва да се има предвид, че то не може да приема произволни стойности, тъй като върху него се налагат реални ограничения, определени от технически условия. Например, стойността на управляващото напрежение, подавано към електродвигателя, е ограничена от неговата гранична стойност, определена от условията на работа на електродвигателя.

Оптимално управление може да се постигне, ако обектът е управляем, т.е. има поне едно допустимо управление, което прехвърля обекта от първоначалното състояние в зададеното крайно състояние. Изискването за минимизиране на критерия за оптималност може формално да бъде заменено с изискването за минимизиране на крайната стойност на една от координатите на управляващия обект.

Ако граничните условия в задачата за оптимално управление са зададени от началната и крайната точка на траекторията, тогава имаме проблем с фиксирани краища.В случай, когато едното или двете гранични условия са зададени не от точка, а от краен регион или изобщо не е посочен. тогава имаме проблем със свободните краища или един свободен край. Пример за проблем с един свободен край е проблемът за отстраняване на отклонение в автоматична система за управление, причинено от рязка промяна в еталон или смущаващо влияние.

Важен специален случай на оптимално управление е проблемът за оптималната производителност. Сред всички допустими контроли u(t), под въздействието на които контролният обект преминава от началното фазово състояние xH към даденото крайно състояние xK, намерете този, за който този преход се извършва за най-кратко време.

Теорията на оптималните процеси е в основата на единна методология за проектиране на оптимални движения, технически, икономически и информационни системи. В резултат на прилагането на методите на теорията на оптималните процеси към проблемите на проектирането на различни системи може да се получи следното:
1) оптимални времеви програми за промяна на управляващите действия според един или друг критерий и оптимални стойности на постоянни параметри на управление (проектиране, настройка), като се вземат предвид различни видове ограничения върху техните стойности;
2) оптимални траектории, режими, като се вземат предвид ограниченията върху района на тяхното местоположение;
3) оптимални закони за управление под формата на обратна връзка, които определят структурата на контура на системата за управление (решение на проблема за синтез на управление);
4) гранични стойности за редица характеристики или други критерии за качество, които след това могат да се използват като стандарт за сравнение с други системи;
5) решаване на проблеми с гранични стойности за преминаване от една точка на фазовото пространство до друга, по-специално проблемът за навлизане в дадена област;
6) оптимални стратегии за навлизане в определена подвижна зона.

Методи за решаване на задачи за оптимално управлениесе свеждат главно до метода на директно търсене чрез многократно намиране на процеса, докато се променя контролното действие.

Сложността на проблемите на теорията на оптималното управление изискваше по-широка математическа база за нейното изграждане. Тази теория използва вариационното смятане, теорията на диференциалните уравнения и матричните теории. Развитието на оптималното управление на тази основа доведе до преразглеждане на много раздели от теорията на автоматичното управление и поради това теорията на оптималното управление понякога се нарича съвременна теорияуправление. Въпреки че това е преувеличаване на ролята само на един от разделите, развитието на теорията на автоматичното управление се определя от последните десетилетиядо голяма степен развитието на този раздел.

Към днешна дата е изградена математическа теория на оптималното управление. На негова основа са разработени методи за конструиране на оптимални по скорост системи и процедури за аналитично проектиране на оптимални регулатори. Аналитичното проектиране на контролери заедно с теорията на оптималните наблюдатели (оптимални филтри) образуват набор от методи, които се използват широко при проектирането на съвременни сложни системи за управление.

Първоначалната информация за решаване на задачи за оптимално управление се съдържа в постановката на проблема. Управленската задача може да бъде формулирана в смислени (неформални) термини, които често са малко неясни. За да се приложат математически методи, е необходима ясна и строга формулировка на проблемите, която да елиминира възможните несигурности и неясноти и в същото време да направи проблема математически правилен. За тази цел общият проблем изисква адекватна математическа постановка, наречена математически модел на оптимизационния проблем.

Математическият модел е сравнително пълно математическо описание на динамична система и процес на управление в рамките на избраната степен на приближение и детайлност. Математическият модел преобразува първоначалния проблем в определена математическа схема и в крайна сметка в определена система от числа. Той, от една страна, ясно посочва (изброява) цялата информация, без която е невъзможно да се започне аналитично или числено изследване на проблема, а от друга страна, тази допълнителна информация, която следва от същността на проблема и която отразява определено изискване за неговите характеристики.

Пълният математически модел на общия проблем за оптимизиране на управлението се състои от редица частични модели:
контролиран процес на движение;
налични ресурси и технически ограничения;
показател за качество на процеса на управление;
контролни влияния.

По този начин математическият модел на общ проблем за управление се характеризира с набор от определени математически връзки между неговите елементи (диференциални уравнения, ограничения като равенства и неравенства, функции на качеството, начални и гранични условия и т.н.). В теорията на оптималното управление се установяват общи условия, на които трябва да отговарят елементите на математическия модел, за да може съответният математически проблемоптимизацията ще бъде:
ясно определени
би имало смисъл, тоест няма да съдържа условия, водещи до липса на решение.

Обърнете внимание, че постановката на задачите и нейният математически модел не остават непроменени по време на изследователския процес, а взаимодействат помежду си. Обикновено първоначалната формулировка и нейният математически модел претърпяват значителни промени в края на изследването. По този начин изграждането на адекватен математически модел наподобява итеративен процес, по време на който се изясняват както самата формулировка на общия проблем, така и формулировката на математическия модел. Важно е да се подчертае, че за един и същ проблем математическият модел може да не е уникален ( различни системикоординати и др.). Следователно е необходимо да се търси вариант на математическия модел, за който решението и анализът на проблема биха били най-прости.

Синтезът на оптимална система с помощта на критерия за оптималност на средния квадрат е особен проблем. Общите методи за синтезиране на оптимални системи се основават на вариационното смятане. Въпреки това, класическите методи на вариационното смятане за решаване на съвременни практически проблеми, които изискват отчитане на ограничения, в много случаи се оказват неподходящи. Най-удобните методи за синтезиране на оптимални системи за автоматично управление са методът на динамично програмиране на Белман и принципът на максимума на Понтрягин.

Следните се използват широко в теорията на оптималния контрол: математически методи:
- динамично програмиране;
- максимален принцип;
- вариационно смятане;
- математическо програмиране.

Всеки от изброените методи има свои собствени характеристики и следователно своя област на приложение.

Динамичният метод на програмиране има големи възможности. Въпреки това, за системите висок ред(над четвъртата) използването на метода е много трудно. С няколко управляващи променливи, прилагането на метода на динамично програмиране на компютър изисква количества памет, понякога надхвърлящи възможностите на съвременните машини.

Принципът на максимума прави сравнително лесно да се вземат предвид ограниченията върху контролните действия, приложени към контролния обект. Методът е най-ефективен при синтезиране на системи, които са оптимални по производителност. Въпреки това прилагането на метода дори с помощта на компютър е значително трудно.

Вариационното смятане се използва при липса на ограничения върху променливите на състоянието и контролните променливи. Получаването на числено решение въз основа на методите на вариационното смятане е трудно. Методът се използва, като правило, за някои много прости случаи.

Методите на математическото програмиране (линейни, нелинейни и др.) се използват широко за решаване на проблеми с оптимално управление както в автоматични, така и в автоматизирани системи. Общата идея на методите е да се намери екстремумът на функция в пространството на много променливи при ограничения под формата на система от равенства и неравенства. Методите позволяват намирането на числени решения на широк кръг от проблеми с оптимално управление. Предимствата на методите за математическо програмиране са способността сравнително лесно да се вземат предвид ограниченията върху контролите и променливите на състоянието, както и общоприемливите изисквания за памет.

Методът на динамично програмиране на Белман се основава на решаване на вариационни задачи на принципа - участъкът от оптималната траектория от всяка междинна точка до крайната точка е и оптималната траектория между тези точки.

Ще обясним същността на метода на динамично програмиране на следния пример. Да кажем, че трябва да преместим някакъв обект от началната до крайната точка. За да направите това, трябва да направите n стъпки, всяка от които има няколко възможни варианти. Въпреки това, от множеството възможни опции на всяка стъпка се избира тази с екстремна стойност на функционала. Тази процедура се повтаря при всяка стъпка на оптимизация. В крайна сметка получаваме оптималната траектория на преход от началното състояние към крайното състояние, при спазване на условията за оптимизация.

Нека, например, трябва да изберете режима на работа на преминаващ локомотив дадени точки, при които се постига минимален разход на гориво или време на шофиране Оптималното решение може да се намери чрез търсене сред възможните варианти за компютър, но за големи стойности на n и l, които се появяват при решаването на повечето реални проблеми, това би изисквало изключително голямо количество изчисления. Решаването на този проблем е опростено чрез използване на метода на динамично програмиране.

За да формулираме математически проблема с динамичното програмиране, приемаме, че стъпките в решаването на проблема представляват фиксирани интервали от време, т.е. възниква квантуване на времето. Необходимо е да се намери, като се вземат предвид редица ограничения, законът за управление u [n], който прехвърля обекта от точка t [o] на фазовото пространство до точка t [n], при условие че минималният критерий за оптималност е осигурено

Благодарение на това опростяване с помощта на метода на динамично програмиране, става възможно решениепроблеми с оптимално управление, които не могат да бъдат решени чрез директна оптимизация на оригиналния функционал, използвайки класическите методи на вариационното смятане. Методът на динамичното програмиране е по същество метод за създаване на програма за числено решаване на проблем на цифрови компютри. Само в най-простите случаи този методви позволява да получите аналитичен израз на желаното решение и да извършите неговото изследване. С помощта на метода на динамично програмиране е възможно да се решават не само проблеми с оптимално управление, но и проблеми с многоетапна оптимизация от голямо разнообразие от области на технологията.

Методът се използва широко за изследване на оптималното управление както в динамични (технически), така и в икономически системи. За прилагане на метода на динамично програмиране връзките в системата между изходните променливи, контролите и критериите за оптималност могат да бъдат зададени както под формата на аналитични зависимости, така и под формата на таблици с числени данни, експериментални графики и др.

Максималният принцип на Понтрягин може да бъде обяснен с помощта на примера на задачата за максимална скорост. Нека се изисква прехвърляне на представящата точка от началната позиция на фазовото пространство до крайната позиция за минимално време. За всяка точка във фазовото пространство има оптимална фазова траектория и съответно минимално време за преход до крайната точка. Около тази точка можете да конструирате повърхностни изохрони, които са геометричното място на точките със същото минимално време на преход към тази точка. Оптималната траектория от началната до крайната точка в идеалния случай трябва да съвпада с нормалите към изохроните (времето се изразходва за движение по изохроните, без да се намалява интервалът от време до достигане на крайната точка). На практика ограниченията, наложени върху координатите на обекта не винаги позволяват изпълнение идеални, оптимални по отношение на скорост, траектория. Следователно оптималната траектория ще бъде тази, която е възможно най-близка, доколкото позволяват ограниченията, до нормалите на изохроните. Това условие математически означава, че по цялата траектория скаларното произведение на вектора на скоростта на изобразяващата точка и вектора, противоположен (по посока) на градиента на времето на преминаване към крайната точка, трябва да бъде максимално:

където fi, Vi са координатите на съответните вектори.

Тъй като скаларният продукт на два вектора е равен на произведението на техните абсолютни стойности и косинуса между тях, условието за оптималност е максималната проекция на вектора на скоростта V върху посоката f. Това условие за оптималност е максималния принцип на Понтрягин.

По този начин, когато се използва принципът на максимума, вариационният проблем за намиране на функция u, която екстремизира функционала H, се заменя с по-прост проблем за определяне на контрола u, който доставя максимума на спомагателната функция на Хамилтън. Оттук и името на метода, принципът на максимума.

Основната трудност при прилагането на максималния принцип е, че началните стойности f (0) на спомагателната функция f не са известни.Обикновено им се дават произволни начални стойности f (0), решават уравненията на обекта и прилежащата уравнения заедно и да се получи оптималната траектория, която по правило преминава през зададената крайна точка. Използвайки метода на последователните приближения, чрез задаване на различни начални стойности на f (0), се намира оптималната траектория, преминаваща през дадената крайна точка.

Принципът на максимума е необходимо и достатъчно условие само за линейни обекти. За нелинейни обекти изглежда само необходимо условие.В този случай с негова помощ се намира стеснена група от допустими управления, сред които например чрез изброяване се намира оптималното управление, ако изобщо съществува .

Математическо програмиране. Строго линейните модели, които използват пропорционалност, линейност и адитивност, далеч не са адекватни за много ситуации от реалния живот. В действителност зависимостите като общи разходи, продукция и т.н. от производствения план са нелинейни.

Често прилагането на модели за линейно програмиране в нелинейни условия е успешно. Следователно е необходимо да се определи в кои случаи линеаризираната версия на проблема е адекватно представяне на нелинейно явление.

Методът на математическото програмиране се състои в намиране на екстремума на функция от много променливи при известни ограничения под формата на система от равенства и неравенства. Предимствата на метода на математическото програмиране включват:
сложните ограничения на състоянието и контролните променливи се вземат предвид съвсем просто;
Обемът на компютърната памет може да бъде значително по-малък с други методи на изследване.

Ако е налична информация относно допустимия диапазон от стойности на променливите в оптималното решение, тогава, като правило, е възможно да се конструират подходящи ограничения и да се получи доста надеждно линейно приближение. В случаите, когато има широк диапазон от възможни решения и няма информация за естеството на оптималното решение, е невъзможно да се конструира достатъчно добро линейно приближение. Значението на нелинейното програмиране и използването му непрекъснато нараства.

Често нелинейностите в моделите се задвижват от емпирични наблюдения на връзки, като непропорционални промени в разходите, продукцията, показателите за качество или структурите, но получените връзки включват постулираните физични явления, както и математически изведени или установени от ръководството правила за поведение.

Много различни обстоятелства водят до нелинейно формулиране на ограничения или целеви функции. Ако броят на нелинейностите е малък или ако нелинейностите не са значителни, увеличението на изчислителните усилия може да е незначително.

Винаги е необходимо да се анализира измерението и сложността на модела и да се оцени влиянието на линеаризацията върху вземаното решение. Често се използва двуетапен подход за решаване на проблеми: те изграждат нелинеен модел с малки размери, намират областта, съдържаща неговото оптимално решение, и след това използват по-подробен модел на линейно програмиране с по-висока размерност, апроксимацията на параметрите на който е въз основа на полученото решение на нелинейния модел.

За решаване на проблеми, описани от нелинейни модели, няма такъв универсален метод за решаване като симплексния метод за решаване на проблеми с линейно програмиране. Методът на нелинейно програмиране може да бъде много ефективен за решаване на проблеми от един тип и напълно неприемлив за решаване на други проблеми.

Повечето методи за нелинейно програмиране не винаги осигуряват конвергенция в краен брой итерации. Някои методи осигуряват монотонно подобрение на стойността на целевата функция при преминаване от една итерация към друга.

Проблемът за оптималната производителност винаги е актуален. Намаляването на времето на преходните процеси на системите за проследяване позволява повече краткосроченотработете влиянието на настройката. Намаляването на продължителността на преходните процеси в системите за управление на технически обекти, роботи и технологични процеси води до повишаване на производителността на труда.

В линейните системи за автоматично управление повишената скорост може да се постигне с помощта на коригиращи устройства. Например, намаляването на влиянието на времеконстантата на апериодична връзка с предавателна функция k/(Tp + 1) върху преходния процес е възможно чрез включване на последователно диференциращо устройство с предавателна функция k1 (T1p + 1)/(T2p + 1 ). Ефективните методи за повишаване на производителността на серво системите са методи за потискане на първоначалните стойности на бавно затихващи компоненти на преходния процес на системата и минимизиране на квадратичните интегрални оценки, използвайки връзки, базирани на референтното действие. Въпреки това, ефектът от подобряване на преходния процес в реалните системи зависи от степента на ограничение на координатите (нелинейностите) на системата.Производните от външни влияния, обикновено значителни по величина и краткосрочни по продължителност, са ограничени до елементите на системата и не предизвикват желания ефект на форсиране в преходен режим. Най-добри резултати при решаване на проблема за увеличаване на производителността на автоматичните системи при наличие на ограничения се получават чрез оптимално управление.

Проблемът за оптималното представяне беше първият проблем в теорията на оптималното управление. Тя игра голяма роляв откриването на един от основните методи на теорията за оптимално управление - принципът на максимума. Тази задача, като частен случай на задачата за оптимално управление, се състои в определянето на такова допустимо управляващо действие, под влиянието на което контролираният обект (процес) преминава от първоначалното фазово състояние към крайното за минимално време. Критерият за оптималност в този проблем е времето.

Необходими условия за оптимален контролЗа различни видовезадачите за оптимизация се получават въз основа на използването на аналитични непреки методи за оптимизация и образуват набор от функционални връзки, които трябва да бъдат удовлетворени от екстремалното решение.

При извеждането им е направено съществено предположение за последващо приложение за съществуването на оптимално управление (оптимално решение). С други думи, ако съществува оптимално решение, то задължително удовлетворява зададените (необходимите) условия. Въпреки това, други решения, които не са оптимални, също могат да удовлетворят същите необходими условия (точно както необходимото условие за минимума на функция на една променлива е изпълнено, например, от максималните точки и точките на инфлексия на основната функция). Следователно, ако намереното решение удовлетворява необходимите условия за оптималност, това не означава, че то е оптимално.

Използването само на необходимите условия дава възможност по принцип да се намерят всички решения, които ги удовлетворяват, и след това да се изберат сред тях тези, които са наистина оптимални. На практика обаче най-често не е възможно да се намерят всички решения, които отговарят на необходимите условия поради високата сложност на такъв процес. Следователно, след като се намери решение, което отговаря на необходимите условия, е препоръчително да се провери дали то е наистина оптимално в смисъла на първоначалната формулировка на проблема.

Аналитични условия, чиято изпълнимост върху полученото решение гарантира неговата оптималност, се наричат ​​достатъчни условия. Формулирането на тези условия и особено тяхната практическа (например изчислителна) проверка често се оказва много трудоемка задача.

В общия случай прилагането на необходимите условия за оптималност би било по-оправдано, ако за разглеждания проблем беше възможно да се установи фактът на съществуването или наличието и уникалността на оптимално управление. Този въпрос е математически много сложен.

Проблемът за съществуването, уникалността на оптималното управление, се състои от два въпроса.
1 Съществуването на допустимо управление (т.е. управление, принадлежащо към даден клас функции), което удовлетворява дадените ограничения и прехвърля системата от дадено начално състояние в дадено крайно състояние. Понякога граничните условия на даден проблем са избрани по такъв начин, че системата, поради ограничения характер на своите енергийни (финансови, информационни) ресурси, не е в състояние да ги удовлетвори. В този случай няма решение на проблема с оптимизацията.
2 Наличие на оптимално управление в класа на допустимите управления и неговата еднозначност.

Тези въпроси в случай на нелинейни системи общ изгледвсе още не са решени с достатъчна пълнота за приложения. Проблемът се усложнява и от факта, че уникалността на оптималното управление не предполага уникалност на управлението, което отговаря на необходимите условия. Освен това обикновено е изпълнено едно от най-важните необходими условия (най-често принципът на максимума).

Проверката на допълнителни необходими условия може да бъде доста тромава. Това показва важността на всяка информация за уникалността на контролите, които отговарят на необходимите условия за оптималност, както и за специфичните свойства на такива контроли.

Необходимо е да се внимава да не се правят заключения за съществуването на оптимален контрол въз основа на факта, че се решава „физически“ проблем. Всъщност, когато се прилагат методи на теорията за оптимално управление, трябва да се работи с математически модел. Необходимо условие за адекватност на описанието физически процесматематически модел е именно наличието на решение за математически модел. Тъй като при формирането на математическия модел се въвеждат различни видове опростявания, чието влияние върху съществуването на решения е трудно да се предвиди, доказателството за съществуването е отделен математически проблем.

По този начин:
наличието на оптимално управление предполага наличието на поне едно управление, което удовлетворява необходимите условия за оптималност; наличието на управление, което удовлетворява необходимите условия за оптималност, не предполага съществуването на оптимално управление;
от наличието на оптимално управление и единствеността на управлението, което удовлетворява необходимите условия, следва единствеността на оптималното управление; съществуването и уникалността на оптималното управление не предполага уникалността на управлението, което удовлетворява необходимите условия за оптималност.

Рационално е да се прилагат методи за оптимизиране на управлението:
1) в сложни технически и икономически системи, където намирането на приемливи решения въз основа на опита е трудно. Опитът показва, че оптимизирането на малки подсистеми може да доведе до големи загуби в критериите за качество на интегрираната система. По-добре е приблизително да се реши проблемът с оптимизирането на системата като цяло (дори в опростена формулировка), отколкото да се реши точно за отделна подсистема;
2) в нови задачи, в които няма опит за формиране на задоволителни характеристики на процеса на управление. В такива случаи формулирането на оптималния проблем често ни позволява да установим качествения характер на управлението;
3) не е възможно ранна фазадизайн, когато има по-голяма свобода на избор. След дефиниране голямо количестводизайнерските решения на системата стават недостатъчно гъвкави и последващата оптимизация може да не осигури значителни печалби.

Ако е необходимо, определете посоката на промяна в управлението и параметрите, които дават най-голяма промяна в критерия за качество (определяне на градиента на качеството). Трябва да се отбележи, че за добре проучени системи, които работят дълго време, методите за оптимизация могат да осигурят малка печалба, тъй като практическите решения, намерени от опита, обикновено се доближават до оптималните.

В някои практически задачи се наблюдава известна "грубост" на оптималните контроли и параметри, т.е. малки промени в критерия за качество съответстват на големи локални промени в контролите и параметрите. Това понякога дава основание да се твърди, че на практика не винаги са необходими щадящи и строги методи за оптимизация.

Всъщност „грубостта“ на управлението се наблюдава само в случаите, когато оптималното управление съответства на стационарна точка на критерия за качество. В този случай промяна в контрола по количество води до отклонение на критерия за качество по размер на грешката.

В случай на контроли, разположени на границата на допустимата област, посочената грапавост може да не се появи. Това свойство трябва да се изучава специално за всеки проблем. Освен това при някои проблеми дори малки подобрения в критериите за качество, постигнати чрез оптимизация, могат да бъдат значителни. Сложните проблеми с оптимизацията на управлението често поставят прекомерни изисквания към характеристиките на компютрите, използвани в решението.

Оптималните системи за автоматично управление са системи, в които управлението се извършва по такъв начин, че необходимият критерий за оптималност има екстремна стойност. Гранични условия, определящи началните и търсените крайни състояния на системата, технологичната цел на системата. tн Задава се в случаите, когато осредненото отклонение за определен интервал от време е от особен интерес и задачата на системата за управление е да осигури минимум на този интеграл...

Ако тази работа не ви подхожда, в долната част на страницата има списък с подобни произведения. Можете също да използвате бутона за търсене

Оптимален контрол

Воронов А.А., Титов В.К., Новогранов Б.Н. Основи на теорията на автоматичното регулиране и управление. М.: висше училище, 1977. 519 с. С. 477 491.

Оптимални самоходни оръдия това са системи, в които управлението се осъществява по такъв начин, че търсеният критерий за оптималност има екстремна стойност.

Примери за оптимално управление на обекти:

1. Контролиране на движението на ракета с цел достигане на дадена височина или обхват с минимален разход на гориво;
2. Управление на движението на механизъм, задвижван от двигател, което би минимизирало енергийните разходи;
3. Управление на ядрен реактор за максимална производителност.

Проблемът за оптимално управление се формулира по следния начин:

„Намерете такъв закон за промяна на контролното време u(t ), при което системата, при дадени ограничения, ще премине от едно дадено състояние в друго по оптимален начин в смисъл, че функционалниятаз , изразяваща качеството на процеса, ще получи екстремна стойност “.

За да решите проблема с оптималния контрол, трябва да знаете:

1. Математическо описание на обекта и околната среда, свързващо стойностите на всички координати на процеса на изследване, контрол и смущаващи влияния;

2. Физически ограничения на координатите и закона за управление, изразени математически;

3. Гранични условия, определящи началното и необходимите крайни състояния на системата

(технологична цел на системата);

4. Целева функция (функционал на качеството

математическа цел).

Математически критерият за оптималност най-често се представя като:

t до

I =∫ f o [ y (t), u (t), f (t), t ] dt + φ [ y (t до), t до ], (1)

t n

където първият член характеризира качеството на управление през целия интервал ( tn, tn) и се нарича

интегрален компонент, втори член

характеризира точността в крайната (крайна) точка във времето t до .

Израз (1) се нарича функционал, тъй катоаз зависи от избора на функция u(t ) и полученото y(t).

Проблем на Лагранж.Минимизира функционалността

t до

I=∫f o dt.

t n

Използва се в случаите, когато средното отклонение във времето е от особен интерес.

определен интервал от време, като задачата на системата за управление е да осигури минимум този интеграл (влошаване на качеството на продукта, загуба и др.).

Примери за функционалност:

I =∫ (t) dt критерий за минимална грешка в стабилно състояние, където x(t)

1. отклонение на контролирания параметър от зададената стойност;

I =∫ dt = t 2 - t 1 = > min критерий за максимална скорост на самоходните оръдия;

I =∫ dt = > min критерий за оптимална ефективност.

Проблемът на Майер. В този случай функционалът, който се минимизира, е този, дефиниран само от терминалната част, т.е.

I = φ => мин.

Например за система за управление на самолет, описана от уравнението

F o (x, u, t),

можете да поставите следната задача: определете управлението u (t), t n ≤ t ≤ t k, така че for

определено времеполет за постигане на максимален обхват, при условие че в крайния момент от време t до Летателният апарат ще кацне, т.е. x (t до) =0.

Проблем с Болц свежда до проблема за минимизиране на критерия (1).

Основни методи за решаване на проблеми с оптимално управление са:

1. Класическо вариационно смятане, теорема и уравнение на Ойлер;

2. Принципът на максимална L.S. Понтрягин;

3. Динамично програмиране от Р. Белман.

УРАВНЕНИЕ НА ОЙЛЕР И ТЕОРЕМА

Нека се даде функционалността:

t до

I =∫ f o dt,

t n

Където някои два пъти диференцируеми функции, сред които е необходимо да се намерят такива функции ( t ) или екстремали , които отговарят на зададените гранични условия x i (t n), x i (t k ) и минимизиране на функционалността.

Екстремали се намират сред решенията на уравнението на Ойлер

аз = .

За да се установи фактът на минимизиране на функционала, е необходимо да се уверите, че условията на Лагранж са изпълнени по екстремумите:

подобно на изискванията за положителност на втората производна в минималната точка на функцията.

Теорема на Ойлер: „Ако екстремумът на функционалнотоаз съществува и се постига сред гладки криви, тогава може да се постигне само върху екстремалите.

МАКСИМАЛНИЯТ ПРИНЦИП НА Л.С.ПОНТРЯГИН

Школата на Л. С. Понтрягин формулира теорема за необходимо условиеоптималност, чиято същност е следната.

Да приемем, че диференциално уравнениена обекта заедно с непроменяемата част на устройството за управление са посочени в обща форма:

За да контролирате u j могат да бъдат наложени ограничения, например под формата на неравенства:

, .

Целта на контрола е да прехвърли обекта от първоначалното състояние ( t n ) до крайното състояние ( t до ). Краят на процеса t до може да бъде фиксиран или безплатен.

Нека критерият за оптималност е минимумът на функционала

I = dt.

Нека въведем спомагателни променливи и да формираме функция

Fo ()+ f () f ()+

Принципът на максимума гласи, че за да бъде системата оптимална, т.е. за да се получи минималната функционалност, е необходимо съществуването на такива ненулеви стойности непрекъснати функции, удовлетворяващи уравнението

Това за всяко t , разположени в даден диапазон t n≤ t ≤ t k , стойността на H, като функция на допустимото управление, достига максимум.

Максимумът на функцията H се определя от условията:

ако не достига границите на областта, и като супремум на функцията H, в противен случай.

Динамично програмиране от Р. Белман

Принципът на оптималност на Р. Белман:

„Оптималното поведение има свойството, че независимо от първоначалното състояние и решение в началния момент, следващите решения трябва да представляват оптимално поведение спрямо състоянието, произтичащо от първото решение.“

„Поведението“ на системата трябва да бъде разбранодвижение тези системи и терминът"решение" се отнася заизборът на закона за промяна във времето на управляващите сили.

В динамичното програмиране процесът на търсене на екстремали се разделя нан стъпки, докато в класическото вариационно смятане се извършва търсене на целия екстремал.

Процесът на търсене на екстремал се основава на следните предпоставки на принципа на оптималност на Р. Белман:

1. Всеки сегмент от оптималната траектория сам по себе си е оптимална траектория;
2. Оптималният процес на всеки обект не зависи от неговата история;
3. Оптимално управление (оптимална траектория) се търси с помощта на движение назад [от y (T) до y (T -∆), където ∆ = T/ N, N брой участъци от траекторията и др.].

Евристично, уравненията на Белман за необходимите формулировки на проблема са получени за непрекъснати и дискретни системи.

Адаптивен контрол

Андриевски Б.Р., Фрадков А.Л. Избрани глави от теорията на автоматичното управление с примери на език MATLAB . Санкт Петербург: Наука, 1999. 467 с. Глава 12.

Воронов А.А., Титов В.К., Новогранов Б.Н. Основи на теорията на автоматичното регулиране и управление. М.: Висше училище, 1977. 519 с. С. 491 499.

Анхимюк В.Л., Опейко О.Ф., Михеев Н.Н. Теория на автоматичното управление. Мн.: Design PRO, 2000. 352 с. С. 328 340.

Необходимостта от адаптивни системи за управление възниква поради значителната сложност на решаваните проблеми на управлението, като особеност на тази сложност е липсата на практическа възможност за подробно изследване и описание на процесите, протичащи в контролирания обект.

Например, модерни високоскоростни самолети, точни априорни данни за характеристиките на които при всякакви експлоатационни условия не могат да бъдат получени поради значителни вариации в атмосферните параметри, големи диапазони на скорости на полета, обхвати и височини, както и поради наличието на широк обхватпараметрични и външни смущения.

Някои обекти за управление (самолети и ракети, технологични процесии електроцентрали) се отличават с факта, че техните статични и динамични характеристики се променят в широк диапазон по неочакван начин. Оптималното управление на такива обекти е възможно с помощта на системи, в които липсващата информация се попълва автоматично от самата система по време на работа.

Адаптивен (лат.)адаптио ” устройство) са тези системи, които при промяна на параметрите на обектите или характеристиките на външни въздействия по време на работа, независимо, без човешка намеса, променят параметрите на регулатора, неговата структура, настройки или регулаторни въздействия, за да поддържат оптималния режим на работа на предметът.

Създаването на адаптивни системи за управление се извършва в принципно различни условия, т.е. адаптивните методи трябва да помогнат за постигане на висококачествен контрол при липса на достатъчна пълнота на априорна информация за характеристиките на контролирания процес или в условия на несигурност.

Класификация на адаптивните системи:

Самоадаптиращ се

(адаптивен)

Системи за управление

Самонастройващи се самообучаващи се системи с адаптация

Системни системи в специални фази

държави

Search Searchless- Training- Training- Relay Adaptive

(екстремно (анализирано със стимули без система за собствено колебание с

Нови) тик променливи стимули

Системи системи системи структура

Структурна схема на класификацията на АС (според характера на процеса на адаптация)

Самонастройващи се системи (SNS)са системи, в които адаптирането към променящите се условия на работа се осъществява чрез промяна на параметрите и управляващите действия.

СамоорганизиранеТова са системи, в които адаптирането се извършва чрез промяна не само на параметрите и управляващите въздействия, но и на структурата.

Самообучениее автоматична система за управление, в която оптимален режимработата на контролирания обект се определя с помощта на управляващо устройство, чийто алгоритъм автоматично се подобрява целенасочено в процеса на обучение чрез автоматично търсене. Търсенето се извършва с помощта на второ устройство за управление, което е органична част от системата за самообучение.

В търсачките системи, промяната на параметрите на устройството за управление или контролното действие се извършва в резултат на търсене на условия за екстремума на показателите за качество. Търсенето на екстремни условия в системи от този тип се извършва чрез тестови влияния и оценкаполучени резултати.

В нетърсене системи, определянето на параметрите на управляващото устройство или контролните действия се извършва въз основа на аналитичното определяне на условията, които осигуряват определеното качество на управление без използване на специални сигнали за търсене.

Системи с адаптация в специални фазови състоянияизползвайте специални режими или свойства на нелинейни системи (режими на собствено колебание, режими на плъзгане), за да организирате контролирани промени в динамичните свойства на системата за управление. Специално организираните специални режими в такива системи или служат като допълнителен източник на оперативна информация за променящите се условия на работа на системата, или придават на системите за управление нови свойства, поради които динамичните характеристики на контролирания процес се поддържат в желаните граници , независимо от естеството на промените, които възникват по време на работа.

При използване на адаптивни системи се решават следните основни задачи:

1 . По време на работа на системата за управление, когато се променят параметри, структура и външни въздействия, се осигурява управление, при което се поддържат зададените динамични и статични свойства на системата;

2 . По време на процеса на проектиране и въвеждане в експлоатация, при първоначална липса на пълна информация за параметрите, структурата на обекта на управление и външните въздействия, системата автоматично се настройва в съответствие с зададените динамични и статични свойства.

Пример 1 . Адаптивна система за стабилизиране на ъгловото положение на самолета.

f 1 (t) f 2 (t) f 3 (t)

D1 D2 D3

VU1 VU2 VU3 f (t) f 1 (t) f 2 (t) f 3 (t)

u (t) W 1 (p) W 0 (p) y (t)

+ -

Ориз. 1.

Адаптивна система за стабилизиране на самолета

Когато условията на полет се променят, функцията за прехвърляне се променя W 0 (стр ) самолет и, следователно, динамичните характеристики на цялата система за стабилизиране:

. (1)

Възмущение отвън външна среда f 1 (t), f 2 (t), f 3 (t ), водещи до контролирани промени в параметрите на системата, се прилагат към различни точки на обекта.

Смущаващо влияние f(t ), приложен директно към входа на контролния обект, за разлика от f 1 (t), f 2 (t), f 3 (t ) не променя параметрите си. Следователно само по време на работа на системата f 1 (t), f 2 (t), f 3 (t).

В съответствие с принципа на обратната връзка и израз (1), неконтролирани промени в характеристиките W 0 (стр ) поради смущения и смущения предизвикват относително малки промени в параметрите Ф( p) .

Ако поставим задачата за по-пълна компенсация на контролираните промени, така че предавателната функция Ф(р) на системата за стабилизиране на самолета да остане практически непроменена, тогава характеристиката на контролера трябва да се промени по подходящ начин W 1 (стр ). Това става в адаптивно самоходно оръдие, изпълнено по схемата на фиг.1. Параметри на околната среда, характеризирани със сигнали f 1 (t), f 2 (t), f 3 (t ), например скоростно налягане P H(t) , температура на околната среда T0(t) и скоростта на полета v(t) , се измерват непрекъснато от сензори D 1, D 2, D 3 , а текущите стойности на параметрите се изпращат до изчислителни устройства B 1, Б 2, Б 3 , произвеждащи сигнали, с помощта на които се настройва характеристиката W 1 (стр ), за да компенсира промените в характеристиките W0(p).

Въпреки това, в автоматизирана система за управление от този тип (с отворен конфигурационен контур) няма самоанализ на ефективността на контролираните промени, които прави.

Пример 2. Екстремна система за контрол на скоростта на полета на самолета.

Z смущение

Въздействие

X 3 = X 0 - X 2

Автоматично устройство X 0 Усилване X 4 Изпълнителен X 5 Регулируем X 1

Обект на устройство за математически преобразувател

Extremum iska + - устройство

Измерване

устройство

Фиг. 2. Функционална схема на екстремна система за контрол на скоростта на полета на самолета

Екстремалната система определя най-печелившата програма, т.е. след това стойността X 1 (необходима скорост на самолета), която трябва да се поддържа в момента, за да се получи минимален разход на гориво за единица дължина на пътя.

З - характеристики на обекта; X 0 - управляващо влияние върху системата.

(стойност на разхода на гориво)

y(0)

y(T)

Самоорганизиращи се системи

В общия случай автоматичната система за управление се състои от обект за управление на операционен усилвател с работен параметър Y, контролер P и програматор (задавач) P (фиг. 6.3), който генерира командно действие (програма) за постигане на управление цели, при изпълнение на качествени и количествени изисквания. Програмистът взема предвид цялата външна информация (сигнал И).

Ориз. 6.3. Оптимална структура на управление

Задачата за създаване на оптимална система е да се синтезират контролер и програмист за даден обект на управление, които най-добре решават необходимата цел на управление.
В теорията на автоматичното управление се разглеждат два свързани проблема: синтезът на оптимален програмист и синтезът на оптимален контролер. Математически те се формулират по един и същи начин и се решават с едни и същи методи. В същото време задачите имат специфични характеристики, които на определен етап изискват диференциран подход.

Система с оптимален програматор (оптимално програмно управление) се нарича оптимална по отношение на режима на управление. Система с оптимален регулатор се нарича преходен оптимален. Автоматичната система за управление се нарича оптимална, ако контролерът и програмистът са оптимални.
В някои случаи се приема, че програмистът е даден и трябва да се определи само оптималният контролер.

Проблемът за синтезиране на оптимални системи се формулира като вариационен проблем или проблем на математическото програмиране. В този случай, в допълнение към предавателната функция на обекта на управление, се задават ограничения върху управляващите действия и работните параметри на обекта на управление, гранични условия и критерий за оптималност. Граничните (гранични) условия определят състоянието на обекта в началния и крайния момент от време. Критерият за оптималност, който е числен показател за качеството на системата, обикновено се определя под формата на функционален

J = J[u(T), г(T)],

Където u(T) – контролни действия; г(T) – параметри на обекта на управление.

Проблемът за оптимално управление се формулира по следния начин: като се има предвид обект на управление, ограничения и гранични условия, намерете управление (програмист или контролер), при което критерият за оптималност приема минимална (или максимална) стойност.

28. Обработка на информация в автоматизирани системи за управление на технологични процеси. Връзка между интервала на корелация и честотата на дискретизация на първичните измервателни преобразуватели. Избор на честотата на дискретизация на първичните измервателни преобразуватели.

ОПТИМАЛНА СИСТЕМА

ОПТИМАЛНА СИСТЕМА,автоматична система за управление, която осигурява най-доброто (оптимално) функциониране на контролирания обект от определена гледна точка. Неговите характеристики и външни смущаващи влияния могат да се променят по непредвиден начин, но като правило при определени ограничения. Най-доброто функциониране на системата за управление се характеризира с т.нар. критерий за оптимално управление (критерий за оптималност, целева функция), който е величина, която определя ефективността на постигане на целта на управлението и зависи от промените във времевите или пространствените координати и параметрисистеми. Критерият за оптималност може да бъде различни технически спецификации. и икономичен показатели за функционирането на обекта: ефективност, скорост, средно или максимално отклонение на системните параметри от зададените стойности, себестойност на продукцията, деп. индикатори за качество на продукта или обобщен показател за качество и т.н.. Критерият за оптималност може да се отнася както за преходен, така и за постоянен процес, или и за двата.. Има разлика между регулярен и статистически. критерии за оптималност. Първата зависи от закономерните параметри и от координатите на управляваните и управляващите системи. Вторият се използва, когато входните сигнали са случайни функции и/или е необходимо да се отчетат случайни смущения, генерирани от отделни елементи на системата. Според математиката. При описанието критерият за оптималност може да бъде или функция на краен брой параметри и координати на контролирания процес, която приема екстремна стойност за оптимално функциониране на системата, или функционал на функция, описваща закона за управление; в този случай формата на тази функция се определя така, че функционалът да приема екстремна стойност. За изчисляване на O. s. използвайте принципа на максимума на Понтрягин или динамичната теория. програмиране.

Оптималното функциониране на сложни обекти се постига чрез използване на самонастройващи се (адаптивни) системи за управление, които имат способността да се променят автоматично по време на работа алгоритъмконтрол, неговите характеристики или структура за поддържане на критерия за оптималност непроменен при произволно променящи се системни параметри и работни условия. Следователно в общия случай О. с. се състои от две части: постоянна (непроменлива), която включва обекта на управление и определени елементи на системата за управление, и променлива (променлива), която съчетава останалите елементи. Вижте също Оптимален контрол. М. М. Майзел.

За да се проектира оптимална автоматична система за управление, е необходима пълна информация за операционния усилвател, смущаващи и главни влияния, както и началното и крайното състояние на операционния усилвател. След това трябва да изберете критерий за оптималност. Като такъв критерий може да се използва един от показателите за качество на системата. Изискванията към отделните показатели за качество обаче обикновено са противоречиви (например повишаването на точността на системата се постига чрез намаляване на границата на стабилност). В допълнение, оптималната система трябва да има минимална възможна грешка не само при изпълнение на конкретно управляващо действие, но и през цялото време на работа на системата. Трябва също така да се има предвид, че решението на задачата за оптимално управление зависи не само от структурата на системата, но и от параметрите на нейните съставни елементи.

Постигането на оптимално функциониране на СКУД до голяма степен се определя от това как се осъществява контролът във времето, каква е програмата или алгоритъм за управление.В тази връзка, за да се оцени оптималността на системите, се използват интегрални критерии, изчислени като сума от стойностите на параметъра за качество на системата, който представлява интерес за проектантите за цялото време на процеса на управление.

В зависимост от възприетия критерий за оптималност се разглеждат следните видове оптимални системи.

1. системи, оптимален за изпълнение, които осигуряват минималното време за прехвърляне на операционния усилвател от едно състояние в друго. В този случай критерият за оптималност изглежда така:

където / n и / k са моментите на началото и края на процеса на управление.

В такива системи продължителността на контролния процес е минимална. Най-простият пример- система за управление на двигателя, която осигурява минимално време за ускорение до дадена скорост, като се вземат предвид всички съществуващи ограничения.

2. системи, оптимално по отношение на потреблението на ресурси, които гарантират минималния критерий

Където Да се- коефициент на пропорционалност; U(t)- контролно действие.

Такава система за управление на двигателя осигурява например минимален разход на гориво през целия контролен период.

3. системи, оптимален по отношение на загубите на управление(или точност), които осигуряват минимални контролни грешки въз основа на критерия, където e(f) е динамичната грешка.

По принцип проблемът за проектиране на оптимална система за автоматично управление може да бъде решен чрез най-простия метод за изброяване на всички възможни опции. Разбира се, този метод изисква много време, но съвременните компютри позволяват използването му в някои случаи. За решаване на проблемите на оптимизацията са разработени специални методи на вариационното смятане (метод на максимума, метод на динамично програмиране и др.), Които позволяват да се вземат предвид всички ограничения на реалните системи.

Като пример, нека разгледаме какво трябва да бъде оптималното управление на скоростта на електродвигателя. постоянен ток, ако подаденото към него напрежение е ограничено от граничната стойност (/lr, а самият двигател може да бъде представен като апериодична връзка от 2-ри ред (фиг. 13.9, А).

Максималният метод ви позволява да изчислите закона за промяна u(d),осигуряване на минималното време за ускорение на двигателя до скорост на въртене (фиг. 13.9, б).Процесът на управление на този двигател трябва да се състои от два интервала, във всеки от които напрежението u(t)приема своята максимално допустима стойност (в интервала 0 - /,: u(t)= +?/ ex, в интервала /| - / 2: u(t)= -?/ pr)* За осигуряване на такова управление в системата трябва да бъде включен релеен елемент.

Подобно на конвенционалните системи, оптималните системи са отворен, затворен и комбиниран. Ако оптималното управление, което прехвърля операционния усилвател от първоначалното състояние към крайното състояние и е независимо или слабо зависимо от смущаващи влияния, може да бъде определено като функция на времето U= (/(/), тогава изграждаме система с отворен цикълпрограмно управление (фиг. 13.10, А).

Оптималната програма P, предназначена за постигане на екстремума на приетия критерий за оптималност, е вградена в софтуерното устройство на PU. Съгласно тази схема се осъществява управление

Ориз. 13.9.

А- с общо устройство за управление; б -с двустепенен контролер

устройство

Ориз. 13.10. Схеми на оптимални системи: А- отворени; b- комбинирани

използване на машини с цифрово управление и прости роботи, изстрелване на ракети в орбита и др.

Най-напредналите, макар и най-сложните са комбинирани оптимални системи(фиг. 13.10, б).В такива системи отвореният контур осъществява оптимално управление по зададена програма, а затворен контур, оптимизиран за минимизиране на грешките, обработва отклонението на изходните параметри. Използвайки въжето за измерване на смущения /*, системата става инвариантна по отношение на целия набор от движещи и смущаващи влияния.

За да се реализира такава перфектна система за управление е необходимо точно и бързо измерване на всички смущаващи влияния. Тази възможност обаче не винаги е налична. Много по-често са известни само осреднени статистически данни за смущаващи влияния. В много случаи, особено в системите за дистанционно управление, дори движещата сила навлиза в системата заедно с шума. И тъй като интерференцията е като цяло случаен процес, възможно е само синтезиране статистически оптимална система.Такава система няма да е оптимална за всекиконкретно изпълнение на контролния процес, но ще бъде средно най-доброто за целия набор от негови реализации.

За статистически оптимални системи като критерии за оптималност се използват усреднени вероятностни оценки. Например, за система за проследяване, оптимизирана за минимална грешка, се използва статистическият критерий за оптималност очаквана стойностквадрат на отклонението на изходния ефект от зададената стойност, т.е. дисперсия:

Използват се и други вероятностни критерии. Например, в система за откриване на цел, където е важно само наличието или отсъствието на цел, вероятността от погрешно решение се използва като критерий за оптималност Рош:

Където R p ts е вероятността да пропуснете целта; R LO- вероятност от фалшиво откриване.

В много случаи изчислените оптимални системи за автоматично управление се оказват практически невъзможни за изпълнение поради тяхната сложност. Като правило се изисква да се получат точни стойности на производни от висок ред от входни влияния, което е технически много трудно за изпълнение. Често дори теоретично точен синтез на оптимална система се оказва невъзможен. Оптималните методи за проектиране обаче позволяват изграждането на квазиоптимални системи, макар и опростени до една или друга степен, но все пак позволяващи да се постигнат стойности на приетите критерии за оптималност, които са близки до екстремни.