Разширение в ред на Фурие на четна функция. Редица на Фурие

Как се вмъква математически формуликъм уебсайта?

Ако някога трябва да добавите една или две математически формули към уеб страница, тогава най-лесният начин да направите това е както е описано в статията: математическите формули лесно се вмъкват в сайта под формата на снимки, които се генерират автоматично от Wolfram Alpha . Освен простотата, това универсален методще помогне за подобряване на видимостта на уебсайта търсачки. Работи отдавна (и мисля, че ще работи завинаги), но вече е морално остарял.

Ако постоянно използвате математически формули на вашия сайт, препоръчвам ви да използвате MathJax - специална JavaScript библиотека, която показва математическа нотацияв уеб браузъри, използващи MathML, LaTeX или ASCIIMathML маркиране.

Има два начина да започнете да използвате MathJax: (1) като използвате прост код, можете бързо да свържете MathJax скрипт към вашия уебсайт, който автоматично ще бъде зареден от отдалечен сървър в точното време (списък със сървъри); (2) изтеглете скрипта MathJax от отдалечен сървър на вашия сървър и го свържете към всички страници на вашия сайт. Вторият метод - по-сложен и отнема много време - ще ускори зареждането на страниците на вашия сайт и ако родителският MathJax сървър стане временно недостъпен по някаква причина, това няма да се отрази по никакъв начин на вашия собствен сайт. Въпреки тези предимства избрах първия метод, тъй като е по-прост, по-бърз и не изисква технически умения. Следвайте примера ми и само след 5 минути ще можете да използвате всички функции на MathJax на вашия сайт.

Можете да свържете скрипта на библиотеката MathJax от отдалечен сървър, като използвате две опции за код, взети от основния уебсайт на MathJax или от страницата с документация:

Една от тези опции за код трябва да бъде копирана и поставена в кода на вашата уеб страница, за предпочитане между таговете и/или непосредствено след тага. Според първата опция MathJax се зарежда по-бързо и забавя страницата по-малко. Но втората опция автоматично следи и зарежда най-новите версии на MathJax. Ако поставите първия код, той ще трябва да се актуализира периодично. Ако поставите втория код, страниците ще се зареждат по-бавно, но няма да е необходимо постоянно да наблюдавате актуализациите на MathJax.

Най-лесният начин за свързване на MathJax е в Blogger или WordPress: в контролния панел на сайта добавете уиджет, предназначен да вмъква JavaScript код на трета страна, копирайте първата или втората версия на кода за изтегляне, представен по-горе, в него и поставете уиджета по-близо до началото на шаблона (между другото, това изобщо не е необходимо, тъй като скриптът MathJax се зарежда асинхронно). Това е всичко. Сега научете синтаксиса за маркиране на MathML, LaTeX и ASCIIMathML и сте готови да вмъквате математически формули в уеб страниците на вашия сайт.

Всеки фрактал се конструира според определено правило, който се прилага последователно неограничен брой пъти. Всяко такова време се нарича итерация.

Итеративният алгоритъм за конструиране на гъба на Менгер е доста прост: оригиналният куб със страна 1 е разделен от равнини, успоредни на лицата му, на 27 равни куба. От него се отстраняват един централен куб и 6 куба, съседни на него по стените. Резултатът е комплект, състоящ се от останалите 20 по-малки кубчета. Като направим същото с всяко от тези кубчета, получаваме комплект, състоящ се от 400 по-малки кубчета. Продължавайки този процес безкрайно, получаваме гъба Menger.

В теорията на функционалните серии централно мястозаема раздел, посветен на серийно разширение на функция.

Така се поставя задачата: за дадена функция трябва да намеря такъв степенни редове

който се сближава на определен интервал и сумата му е равна на
, тези.

= ..

Тази задача се нарича проблемът за разширяване на функция в степенен ред.

Необходимо условие за разложимостта на функция в степенен реде неговата диференцируемост безкраен брой пъти - това следва от свойствата на сходните степенни редове. Това условие е изпълнено, като правило, за елементарни функции в тяхната област на дефиниране.

Така че нека приемем, че функцията
има производни от всякакъв ред. Възможно ли е да се разшири в степенна серия? Ако е така, как можем да намерим тази серия? Втората част от проблема е по-лесна за решаване, така че нека започнем с нея.

Да приемем, че функцията
може да се представи като сбор от степенен ред, събиращ се в интервала, съдържащ точката х 0 :

= .. (*)

Където А 0 ,А 1 ,А 2 ,...,А П ,... – неизвестни (все още) коефициенти.

Нека поставим в равенство (*) стойността х = х 0 , тогава получаваме

.

Нека диференцираме степенните редове (*) член по член

= ..

и вярвайки тук х = х 0 , получаваме

.

При следващото диференциране получаваме редицата

= ..

вярвайки х = х 0 , получаваме
, където
.

След П-множествена диференциация, която получаваме

Ако приемем в последното равенство х = х 0 , получаваме
, където

И така, коефициентите са намерени

,
,
, …,
,….,

замествайки което в серията (*), получаваме

Получената серия се нарича до Тейлърза функция
.

Така установихме, че ако функцията може да бъде разширена в степенен ред по степени (x - x 0 ), тогава това разширение е уникално и получената серия непременно е серия на Тейлър.

Имайте предвид, че серията на Тейлър може да бъде получена за всяка функция, която има производни от всякакъв ред в точката х = х 0 . Но това не означава, че между функцията и получената серия може да се постави знак за равенство, т.е. че сумата от редицата е равна на оригиналната функция. Първо, такова равенство може да има смисъл само в областта на конвергенция и серията на Тейлър, получена за функцията, може да се разминава, и второ, ако серията на Тейлър се сближава, тогава нейната сума може да не съвпада с оригиналната функция.

Нека формулираме твърдение, с помощта на което ще бъде решена задачата.

Ако функцията
в някаква околност на точка x 0 има производни до (н+ 1) от ред включително, тогава в този квартал имамеформулаТейлър

КъдетоР н (х)-остатъчният член на формулата на Тейлър – има формата (форма на Лагранж)

Където точкаξ се намира между x и x 0 .

Имайте предвид, че има разлика между реда на Тейлър и формулата на Тейлър: формулата на Тейлър е крайна сума, т.е. П -фиксиран номер.

Припомнете си, че сумата от сер С(х) може да се дефинира като граница на функционална последователност от частични суми С П (х) на някакъв интервал х:

.

Според това, да се разшири функция в серия на Тейлър означава да се намери серия такава, че за всяко хх

Нека запишем формулата на Тейлър във формата където

забележи това
дефинира грешката, която получаваме, заменете функцията f(х) полином С н (х).

Ако
, Че
,тези. функцията се разширява в серия на Тейлър. Обратно, ако
, Че
.

Така доказахме критерий за разложимостта на функция в ред на Тейлър.

За да може функциятаf(x) се разширява в серия на Тейлър, е необходимо и достатъчно на този интервал
, КъдетоР н (х) е остатъчният член на реда на Тейлър.

Използвайки формулирания критерий, може да се получи достатъчноусловия за разложимостта на функция в ред на Тейлър.

Ако внякаква околност на точка x 0 абсолютните стойности на всички производни на функцията са ограничени до едно и също число М≥ 0, т.е.

, To в тази близост функцията се разширява в серия на Тейлър.

От горното следва алгоритъмразширяване на функциятаf(х) в серията Тейлърв близост до точка х 0 :

1. Намиране на производни на функции f(х):

f(x), f’(x), f”(x), f’”(x), f (н) (х),…

2. Изчислете стойността на функцията и стойностите на нейните производни в точката х 0

f(x 0 ), f’(x 0 ), f”(x 0 ), f’”(x 0 ), е (н) (х 0 ),…

3. Формално записваме редицата на Тейлър и намираме областта на сходимост на получената степенна редица.

4. Проверяваме изпълнението на достатъчни условия, т.е. установяваме за кои хот областта на конвергенция, остатъчен член Р н (х) клони към нула като
или
.

Развиването на функции в ред на Тейлър с помощта на този алгоритъм се нарича разширяване на функция в ред на Тейлър по дефиницияили директно разграждане.

Които вече са доста скучни. И чувствам, че е настъпил моментът, когато е време да извлечем нови консерви от стратегическите резерви на теорията. Възможно ли е функцията да се разшири в серия по някакъв друг начин? Например, изразете сегмент от права линия чрез синуси и косинуси? Изглежда невероятно, но такива привидно далечни функции могат да бъдат
"обединение". В допълнение към познатите степени в теорията и практиката, има и други подходи за разширяване на функция в серия.

На този урокЩе се запознаем с тригонометричния ред на Фурие, ще засегнем въпроса за неговата конвергенция и сумата и, разбира се, ще анализираме множество примери за разширяване на функции в редове на Фурие. Искрено исках да нарека статията „Редове на Фурие за манекени“, но това би било неискрено, тъй като решаването на проблемите ще изисква познания в други клонове на математическия анализ и известен практически опит. Следователно преамбюлът ще прилича на обучение на астронавти =)

Първо, трябва да подходите към изучаването на материалите на страницата в отлична форма. Сънен, отпочинал и трезвен. Без силни емоции за счупена лапа на хамстер и натрапчиви мислиза трудностите на живота аквариумни рибки. Сериите на Фурие обаче не са трудни за разбиране практически задачите просто изискват повишена концентрация на внимание - в идеалния случай трябва напълно да се отделите от външни стимули. Ситуацията се утежнява от факта, че няма лесен начин за проверка на решението и отговор. Така че, ако здравето ви е под средното, тогава е по-добре да направите нещо по-просто. Вярно ли е.

Второ, преди да полетите в космоса, трябва да проучите арматурното табло космически кораб. Нека започнем със стойностите на функциите, върху които трябва да щракнете върху машината:

За всяка природна стойност:

1) . Наистина, синусоидата "зашива" оста x през всяко "pi":
. Кога отрицателни стойностиаргумент, резултатът, разбира се, ще бъде същият: .

2) . Но не всички знаеха това. Косинусът "пи" е еквивалентът на "мигач":

Отрицателният аргумент не променя нещата: .

Може би това е достатъчно.

И трето, скъпи отряд космонавти, трябва да можете да... се интегрирате.
По-специално, уверено подведете функция под диференциалния знак, интегрирайте по части и бъдете в хармония с формулата на Нютон-Лайбниц. Да започнем важните упражнения преди полета. Категорично не препоръчвам да го пропуснете, за да не се смачкате в безтегловност по-късно:

Пример 1

Изчисляване на определени интеграли

където приема природни ценности.

Решение: интегрирането се извършва върху променливата “x” и на този етап дискретната променлива “en” се счита за константа. Във всички интеграли подлагаме функцията под диференциалния знак:

Кратка версия на решението, към която би било добре да се насочите, изглежда така:

Нека свикнем:

Четирите оставащи точки са за вас. Опитайте се да подходите съвестно към задачата и да изпълните интегралите краткият път. Примерни решения в края на урока.

След КАЧЕСТВЕНО изпълнение на упражненията обличаме скафандри
и се готви да започнем!

Нека разгледаме някаква функция, която е дефинирана поне на интервал (и евентуално на по-голям интервал). Ако тази функция е интегрируема на интервала, тогава тя може да бъде разширена в тригонометричен ред на Фурие:
, където са т.нар Коефициенти на Фурие.

В този случай числото се нарича период на разлагане, а числото се нарича полупериод на разлагане.

Очевидно е, че в общия случай редът на Фурие се състои от синуси и косинуси:

Наистина, нека го напишем подробно:

Нулевият член на серията обикновено се записва във формата .

Коефициентите на Фурие се изчисляват по следните формули:

Отлично разбирам, че тези, които започват да изучават темата, все още не са наясно с новите термини: период на разлагане, полу-цикъл, Коефициенти на Фуриеи т.н. Не се паникьосвайте, това не е сравнимо с вълнението преди излизане отворено пространство. Нека разберем всичко в следния пример, преди да изпълним, което е логично да зададем належащи практически въпроси:

Разгънете функцията в ред на Фурие. Освен това често се налага да се изобрази графика на функция, графика на сбор от редица, частична сума, а в случай на сложни професорски фантазии, да се направи нещо друго.

По същество трябва да намерите Коефициенти на Фурие, тоест съставете и изчислете три определени интеграла.

Моля, копирайте общата форма на реда на Фурие и трите работни формули в тетрадката си. Много се радвам, че някои посетители на сайта сбъдват детската си мечта да станат астронавти точно пред очите ми =)

Пример 2

Разгънете функцията в ред на Фурие на интервала. Построете графика, графика на сумата от редицата и частичната сума.

Решение: Първата част от задачата е да разширим функцията в ред на Фурие.

Началото е стандартно, не забравяйте да запишете, че:

В тази задача периодът на разширение е половин период.

Нека разширим функцията в ред на Фурие на интервала:

Използвайки подходящите формули, намираме Коефициенти на Фурие. Сега трябва да съставите и изчислите три определени интеграла. За удобство ще номерирам точките:

1) Първият интеграл е най-простият, но той също изисква очи:

2) Използвайте втората формула:

Този интеграл е добре известен и се взема на части:

При намирането е използван методът за подреждане на функцията под диференциалния знак.

В разглежданата задача е по-удобно веднага да се използва формулата за интегриране по части в определен интеграл :

Няколко технически бележки. Първо, след прилагане на формулата, целият израз трябва да бъде ограден в големи скоби, тъй като има константа пред оригиналния интеграл. Да не я губим! Скобите могат да бъдат разширени на всяка следваща стъпка; направих това в краен случай. В първото "парче" Проявяваме изключителна грижа при заместването; както виждате, константата не се използва, а границите на интеграция се заместват в продукта. Това действие е подчертано в квадратни скоби. Е, запознат си с интеграла на второто „парче“ от формулата от тренировъчната задача;-)

И най-важното – изключителна концентрация!

3) Търсим третия коефициент на Фурие:

Получава се относителен на предишния интеграл, който също може да се интегрира по части:

Този случай е малко по-сложен, ще коментирам следващите стъпки стъпка по стъпка:

(1) Ограждаме целия израз в големи скоби. Не исках да изглеждам скучен, те губят константата твърде често.

(2) В този случай веднага отворих тези големи скоби. Обръщаме специално внимание на първото „парче“: постоянното пуши отстрани и не участва в подмяната на границите на интеграция ( и ) в продукта. Поради претрупаността на записа, отново е препоръчително да подчертаете това действие с квадратни скоби. С второто "парче" всичко е по-просто: тук фракцията се появи след отваряне на големи скоби, а константата - в резултат на интегриране на познатия интеграл;-)

(3) В квадратни скоби извършваме трансформации, а в десния интеграл - заместване на граници на интегриране.

(4) Премахваме „мигащата светлина“ от квадратните скоби: , и след това отваряме вътрешните скоби: .

(5) Отменяме 1 и –1 в скоби и правим последни опростявания.

Накрая се намират и трите коефициента на Фурие:

Нека ги заместим във формулата :

В същото време не забравяйте да разделите наполовина. На последната стъпка константата ("минус две"), която не зависи от "en", се изважда извън сумата.

Така получихме разлагането на функцията в ред на Фурие на интервала:

Нека проучим въпроса за сходимостта на редовете на Фурие. Ще обясня по-специално теорията Теорема на Дирихле, буквално "на пръсти", така че ако имате нужда от строги формулировки, моля, вижте учебника по математически анализ (например 2-ри том на Бохан; или 3-ти том на Фихтенхолц, но е по-трудно).

Втората част на задачата изисква начертаване на графика, графика на сумата от редица и графика на частична сума.

Графиката на функцията е обикновена права линия в равнината, която е начертана с черна пунктирана линия:

Нека намерим сбора на серията. Както знаете, функционалните серии се събират във функции. В нашия случай конструираният ред на Фурие за всяка стойност на "x"ще се сближи с функцията, която е показана в червено. Тази функция толерира прекъсвания от 1-ви вид в точки , но също така е дефинирана в тях (червени точки на чертежа)

По този начин: . Лесно се вижда, че тя е забележимо различна от оригиналната функция, поради което в записа Използва се тилда вместо знак за равенство.

Нека да проучим алгоритъм, който е удобен за конструиране на сумата от редица.

В централния интервал редът на Фурие се сближава към самата функция (централният червен сегмент съвпада с черната пунктирана линия на линейната функция).

Сега нека поспекулираме малко за естеството на разглеждания въпрос. тригонометрично разширение. Редица на Фурие включва само периодични функции (константа, синуси и косинуси), така че сумата от серията също е периодична функция.

Какво означава това в нашия конкретен пример? А това означава, че сумата от серията – със сигурност е периодичен и червеният сегмент от интервала трябва да се повтаря безкрайно отляво и отдясно.

Мисля, че значението на фразата „период на разлагане“ сега най-накрая стана ясно. Казано по-просто, всеки път ситуацията се повтаря отново и отново.

На практика обикновено е достатъчно да се изобразят три периода на разлагане, както е направено на чертежа. Е, и също „пънове“ на съседни периоди - така че да е ясно, че графиката продължава.

Особен интерес представляват точките на прекъсване от 1-ви род. В такива точки редът на Фурие се сближава до изолирани стойности, които се намират точно в средата на „скока“ на прекъсването (червени точки на чертежа). Как да намерим ординатата на тези точки? Първо, нека намерим ординатата на „горния етаж“: за да направим това, изчисляваме стойността на функцията в най-дясната точка на централния период на разширението: . За да изчислите ординатата на „долния етаж“, най-лесният начин е да вземете най-лявата стойност за същия период: . Ординатата на средната стойност е средната стойност аритметична сума"отгоре и отдолу": . Приятен факт е, че когато конструирате чертеж, веднага ще видите дали средата е изчислена правилно или неправилно.

Нека да изградим частична сума от серията и в същото време да повторим значението на термина "конвергенция". Мотивът е познат и от урока за сбора на числова редица. Нека опишем подробно нашето богатство:

За да съставите частична сума, трябва да напишете нула + още два члена от редицата. Това е,

На чертежа графиката на функцията е показана в зелено и, както можете да видите, тя „обвива“ пълната сума доста плътно. Ако разгледаме частична сума от пет термина от серията, тогава графиката на тази функция ще приближи червените линии още по-точно; ако има сто термина, тогава „зелената змия“ всъщност ще се слее напълно с червените сегменти, и т.н. Така редът на Фурие се сближава към сбора си.

Интересно е да се отбележи, че всяка частична сума е непрекъсната функция, но общата сума на серията все още е прекъсната.

На практика не е толкова рядко да се построи графика на частична сума. Как да го направим? В нашия случай е необходимо да се разгледа функцията на сегмента, да се изчислят нейните стойности в краищата на сегмента и в междинните точки (колкото повече точки смятате, толкова по-точна ще бъде графиката). След това трябва да маркирате тези точки на чертежа и внимателно да начертаете графика върху периода и след това да го „копирате“ в съседни интервали. Как иначе? В края на краищата, приближението също е периодична функция... ...по някакъв начин нейната графика ми напомня за равномерен сърдечен ритъм на дисплея на медицинско устройство.

Извършването на конструкцията, разбира се, не е много удобно, тъй като трябва да бъдете изключително внимателни, като поддържате точност не по-малка от половин милиметър. Въпреки това ще зарадвам читателите, които не се чувстват комфортно с чертането - в "истински" проблем не винаги е необходимо да се извърши чертеж; в около 50% от случаите е необходимо функцията да се разшири в ред на Фурие и това е .

След като завършим чертежа, изпълняваме задачата:

Отговор :

В много проблеми функцията претърпява прекъсване от 1-ви вид точно в периода на разширяване:

Пример 3

Разгънете функцията, дадена на интервала, в ред на Фурие. Начертайте графика на функцията и общата сума на редицата.

Предложената функция е посочена на части (и, забележете, само на сегмента)и претърпява прекъсване от 1-ви вид в точката . Възможно ли е да се изчислят коефициентите на Фурие? Няма проблем. Както лявата, така и дясната страна на функцията са интегрируеми на своите интервали, следователно интегралите във всяка от трите формули трябва да бъдат представени като сбор от два интеграла. Да видим например как се прави това за нулев коефициент:

Вторият интеграл се оказа равен на нула, което намали работата, но това не винаги е така.

Другите два коефициента на Фурие са описани по подобен начин.

Как да покажа сумата на серия? На левия интервал начертаваме прав сегмент, а на интервала - прав сегмент (маркираме участъка на оста с удебелен шрифт и получер). Тоест, в интервала на разширение сумата от серията съвпада с функцията навсякъде, с изключение на три „лоши“ точки. В точката на прекъсване на функцията редът на Фурие ще се сближи до изолирана стойност, която се намира точно в средата на „скока“ на прекъсването. Не е трудно да го видите устно: лява граница: , дясна граница: и, очевидно, ординатата на средната точка е 0,5.

Поради периодичността на сумата, картината трябва да бъде „умножена“ в съседни периоди, по-специално, едно и също нещо трябва да бъде изобразено на интервалите и . В същото време в точки редът на Фурие ще се сближи със средните стойности.

Всъщност тук няма нищо ново.

Опитайте се сами да се справите с тази задача. Приблизителна проба на окончателния дизайн и чертеж в края на урока.

За произволен период на разширение, където "el" е всяко положително число, формулите за редовете на Фурие и коефициентите на Фурие се отличават с малко по-сложен аргумент за синус и косинус:

Ако , тогава получаваме интервалните формули, с които започнахме.

Алгоритъмът и принципите за решаване на проблема са напълно запазени, но техническата сложност на изчисленията се увеличава:

Пример 4

Разгънете функцията в ред на Фурие и начертайте сумата.

Решение: всъщност аналог на пример № 3 с прекъсване от 1-ви род в точката. В тази задача периодът на разширение е половин период. Функцията е дефинирана само на полуинтервала, но това не променя нещата - важно е и двете части на функцията да са интегрируеми.

Нека разширим функцията в ред на Фурие:

Тъй като функцията е прекъсната в началото, всеки коефициент на Фурие очевидно трябва да бъде записан като сбор от два интеграла:

1) Ще напиша първия интеграл възможно най-подробно:

2) Внимателно разглеждаме повърхността на Луната:

Взимаме втория интеграл по части:

На какво трябва да обърнем специално внимание, след като отворим продължението на решението със звездичка?

Първо, ние не губим първия интеграл , където веднага прилагаме диференциалния знак. Второ, не забравяйте злополучната константа преди големите скоби и не се бъркайте в знаците, когато използвате формулата . Големите скоби все още са по-удобни за отваряне веднага в следващата стъпка.

Останалото е въпрос на техника, трудностите могат да бъдат причинени само от недостатъчен опит в решаването на интеграли.

Да, не напразно видните колеги на френския математик Фурие се възмущаваха - как се е осмелил да подрежда функции в тригонометрични редове?! =) Между другото сигурно всеки се интересува от практическия смисъл на въпросната задача. Самият Фурие работи върху математически моделтоплопроводимост, а впоследствие наречената на него серия започва да се използва за изследване на много периодични процеси, които са видими и невидими в околния свят. Сега, между другото, се хванах на мисълта, че не случайно сравних графиката на втория пример с периодичния ритъм на сърцето. Желаещите могат да се запознаят с практическо приложение Преобразуване на Фуриев източници на трети страни. ...Въпреки че е по-добре да не го правите - ще бъде запомнено като първа любов =)

3) Като вземем предвид многократно споменаваните слаби връзки, нека да разгледаме третия коефициент:

Нека интегрираме по части:

Нека заместим намерените коефициенти на Фурие във формулата , като не забравяме да разделим нулевия коефициент наполовина:

Нека да начертаем сбора на серията. Нека накратко повторим процедурата: построяваме права линия върху интервал и права линия върху интервал. Ако стойността на „x“ е нула, поставяме точка в средата на „скока“ на празнината и „репликираме“ графиката за съседни периоди:


В „кръстовищата“ на периодите сумата също ще бъде равна на средните точки на „скока“ на празнината.

Готов. Нека ви напомня, че самата функция е по условие дефинирана само на полуинтервал и, очевидно, съвпада със сумата на реда на интервалите

Отговор :

Понякога дадена на части функция е непрекъсната през периода на разширение. Най-простият пример: . Решение (вижте том 2 на Бохан)същото като в двата предишни примера: въпреки непрекъснатостта на функцията в точката, всеки коефициент на Фурие се изразява като сбор от два интеграла.

В интервала на разширение може да има повече точки на прекъсване от 1-ви вид и/или „съвместни“ точки на графиката (две, три и обикновено всякакви финалколичество). Ако една функция е интегрируема на всяка част, тогава тя също е разширима в ред на Фурие. Но от практически опит не помня такова жестоко нещо. Има обаче по-трудни задачи от току-що разгледаните, а в края на статията има връзки към редове на Фурие с повишена сложност за всеки.

Междувременно нека се отпуснем, облегнем се на столовете си и съзерцаваме безкрайните простори от звезди:

Пример 5

Разгънете функцията в ред на Фурие на интервала и начертайте сумата на реда.

В тази задача функцията е непрекъсната на полуинтервала на разширението, което опростява решението. Всичко е много подобно на Пример №2. Няма бягство от космическия кораб - ще трябва да решите =) Приблизителна проба на дизайн в края на урока, приложен е график.

С четни и нечетни функции процесът на решаване на проблема е значително опростен. И ето защо. Нека се върнем към разширяването на функция в ред на Фурие с период от "две пи" и произволна точка „две ел“ .

Да приемем, че нашата функция е четна. Общият член на серията, както можете да видите, съдържа четни косинуси и нечетни синуси. И ако разширяваме функция EVEN, тогава защо имаме нужда от нечетни синуси?! Нека нулираме ненужния коефициент: .

Така четна функция може да бъде разширена в ред на Фурие само по косинуси:

Тъй като интегралите на четни функции върху интеграционен сегмент, който е симетричен спрямо нулата, могат да бъдат удвоени, останалите коефициенти на Фурие също са опростени.

За празнината:

За произволен интервал:

Примери от учебници, които могат да бъдат намерени в почти всеки учебник по математически анализ, включват разширения на четни функции . В допълнение, те са били срещани няколко пъти в моята лична практика:

Пример 6

Функцията е дадена. Задължително:

1) разгънете функцията в ред на Фурие с период , където е произволно положително число;

2) запишете разширението на интервала, конструирайте функция и начертайте общата сума на серията.

Решение: в първия параграф се предлага да се реши проблема в общ изглед, и е много удобно! Ако възникне необходимост, просто заменете вашата стойност.

1) В тази задача периодът на разширение е половин период. По време на по-нататъшни действия, по-специално по време на интегриране, "el" се счита за константа

Функцията е четна, което означава, че може да бъде разширена в ред на Фурие само по косинуси: .

Търсим коефициенти на Фурие с помощта на формулите . Обърнете внимание на техните безусловни предимства. Първо, интеграцията се извършва върху положителния сегмент на разширението, което означава, че безопасно се отърваваме от модула , като се има предвид само „X“ на двете части. И второ, интеграцията е значително опростена.

две:

Нека интегрираме по части:

По този начин:
, докато константата , която не зависи от „en“, се взема извън сумата.

Отговор :

2) Нека напишем разширението на интервала, за тази цел в обща формулазаменете желаната стойност на полуцикъла:

Разширение в ред на Фурие на четни и нечетни функции Разгъване на функция, дадена на интервал, в ред по синуси или косинуси Ред на Фурие за функция с произволен период Комплексно представяне на реда на Фурие Ред на Фурие в общи ортогонални системи от функции Ред на Фурие в ортогонална система Минимално свойство на коефициентите на Фурие Неравенство на Бесел Равенство Парсевал Затворени системи Пълнота и затвореност на системите

Разгъване в ред на Фурие на четни и нечетни функции Функция f(x), дефинирана в интервала \-1, където I > 0, се извиква четна, ако графиката на четната функция е симетрична спрямо ординатната ос. Функция f(x), дефинирана върху сегмента J), където I > 0, се нарича нечетна, ако графиката на нечетната функция е симетрична спрямо началото. Пример. a) Функцията е четна в интервала |-jt, jt), тъй като за всички x e b) Функцията е нечетна, тъй като разширението в ред на Фурие на четни и нечетни функции е разширяване на функция, дадена на интервал, в редица по синуси или косинуси Ред на Фурие за функция с произволен период Комплексно представяне на реда на Фурие Ред на Фурие за общи ортогонални системи от функции Ред на Фурие за ортогонална система Минимално свойство на коефициентите на Фурие Неравенство на Бесел Равенство на Парсевал Затворени системи Пълнота и затвореност на системите c) Функция f (x)=x2-x, където не принадлежи нито към четни, нито към нечетни функции, тъй като Нека функцията f(x), удовлетворяваща условията на Теорема 1, е четна на интервала x|. Тогава за всички т.е. /(x) cos nx е четна функция, а f(x) sinnx е нечетна. Следователно коефициентите на Фурие на четна функция f(x) ще бъдат равни.Следователно редът на Фурие на четна функция има формата f(x) sin х - четна функция. Следователно ще имаме. По този начин редът на Фурие на нечетна функция има формата Пример 1. Разгънете функцията 4 в ред на Фурие на интервала -x ^ x ^ n Тъй като тази функция е четна и удовлетворява условията на теорема 1, тогава неговият ред на Фурие има формата Намерете коефициентите на Фурие. Имаме Прилагайки интегриране по части два пъти, получаваме, че И така, редът на Фурие на тази функция изглежда така: или, в разширена форма, Това равенство е валидно за всяко x €, тъй като в точките x = ±ir сумата от серия съвпада със стойностите на функцията f(x) = x2, тъй като графиките на функцията f(x) = x и сумата от получената серия са дадени на фиг. Коментирайте. Този ред на Фурие ни позволява да намерим сумата на една от конвергентните числови редове, а именно за x = 0 получаваме, че Пример 2. Разгънете функцията /(x) = x в ред на Фурие на интервала. Функцията /(x) отговаря на условията на теорема 1, следователно тя може да бъде разширена в редица на Фурие, която поради нечетността на тази функция ще има формата Интегрирайки по части, намираме коефициентите на Фурие. Следователно, Серията на Фурие на тази функция има формата Това равенство е валидно за всички x B в точки x - ±t сумата от серията на Фурие не съвпада със стойностите на функцията /(x) = x, тъй като е равна на , Извън интервала [-*, i-] сумата от редицата е периодично продължение на функцията /(x) = x; неговата графика е показана на фиг. 6. § 6. Развиване на функция, дадена на интервал, в ред по синуси или косинуси Нека върху интервала е дадена ограничена монотонна функция /. Стойностите на тази функция на интервала 0| могат да бъдат допълнително дефинирани по различни начини. Например, можете да дефинирате функция / в сегмента tc], така че /. В този случай те казват, че) „се разширява до сегмента 0] по равномерен начин“; неговият ред на Фурие ще съдържа само косинуси. Ако функцията /(x) е дефинирана в интервала [-l-, mc], така че /(, тогава резултатът е нечетна функция и тогава се казва, че / е „разширен до интервала [-*, 0] по странен начин"; в този случай редът на Фурие ще съдържа само синуси. По този начин всяка ограничена частично монотонна функция /(x), дефинирана на интервала, може да бъде разширена в ред на Фурие както в синуси, така и в косинуси. Пример 1 Разгънете функцията в ред на Фурие: а) чрез косинуси; б) по синуси. M Тази функция със своите четни и нечетни продължения в сегмента |-x,0) ще бъде ограничена и монотонна на части. а) Нека разширим /(z) в сегмента 0) а) Разширим j\x) в сегмента (-тр,0| по ​​четен начин (фиг. 7), тогава неговият ред на Фурие i ще има формата П= 1, където коефициентите на Фурие са равни, съответно за Следователно, b) Нека разширим /(z) в сегмента [-x,0] по странен начин (фиг. 8). Тогава неговият ред на Фурие §7. Редица на Фурие за функция с произволен период Нека функцията fix) е периодична с период 21,1 ^ 0. За да я разширим в серия на Фурие в интервала, където I > 0, правим промяна на променливата, като задаваме x = jt . Тогава функцията F(t) = / ^tj ще бъде периодична функция на аргумента t с период и може да бъде разширена върху сегмента в серия на Фурие. Връщайки се към променливата x, т.е. настройката, получаваме Всички теореми са валидни за редове на Фурие от периодични функции с период 2π остават валидни за периодични функции с произволен период 21. По-специално, остава валиден достатъчен критерий за разложимостта на функция в ред на Фурие. Пример 1. Развийте в ред на Фурие периодична функция с период 21, дадена на интервала [-/,/] по формулата (фиг. 9). Тъй като тази функция е четна, нейната серия на Фурие има формата Замествайки намерените стойности на коефициентите на Фурие в серията на Фурие, получаваме Нека отбележим едно важно свойство на периодичните функции. Теорема 5. Ако една функция има период T и е интегрируема, то за произволно число a е изпълнено равенството m. т.е. интегралът на сегмент, чиято дължина е равна на периода T, има една и съща стойност независимо от позицията на този сегмент върху числовата ос. Всъщност ние правим промяна на променлива във втория интеграл, като приемем. Това дава и следователно, геометрично това свойство означава, че в случая на зоната, защрихована на фиг. 10 области са равни една на друга. По-специално, за функция f(x) с период получаваме при Разлагане в редица на Фурие от четни и нечетни функции, разширяване на функция, дадена на интервал, в серия по синуси или косинуси в редица на Фурие за функция с произволна период Комплексно записване на реда на Фурие Ред на Фурие в общи ортогонални системи функции Ред на Фурие в ортогонална система Минимално свойство на коефициентите на Фурие Неравенство на Бесел Равенство на Парсевал Затворени системи Пълнота и затвореност на системи Пример 2. Функцията x е периодична с период Поради странност на тази функция, без да изчисляваме интеграли, можем да заявим, че за всяка. Доказаното свойство по-специално показва, че коефициентите на Фурие на периодична функция f(x) с период 21 могат да бъдат изчислени с помощта на формулите, където a е произволно реално число (обърнете внимание, че функциите cos - и sin имат период 2/). Пример 3. Развийте в ред на Фурие функция, дадена на интервал с период 2x (фиг. 11). 4 Нека намерим коефициентите на Фурие на тази функция. Във формулите намираме, че за Следователно, редът на Фурие ще изглежда така: В точката x = jt (точка на прекъсване от първи род) имаме §8. Комплексно записване на редовете на Фурие Този раздел използва някои елементи на комплексен анализ (вижте глава XXX, където всички действия, извършени тук със сложни изрази, са строго обосновани). Нека функцията f(x) удовлетворява достатъчни условия за разлагане в ред на Фурие. След това на сегмента x] може да бъде представен чрез серия от формата Използвайки формулите на Ойлер Замествайки тези изрази в серия (1) вместо cos πx и sin φx ще имаме Въвеждаме следната нотация Тогава серия (2) ще приеме Така редът на Фурие (1) е представен в сложна форма (3). Нека намерим изрази за коефициентите чрез интеграли. Имаме По същия начин намираме Крайните формули за с„, с_п и с могат да бъдат записани по следния начин: . . Коефициентите с„ се наричат ​​комплексни коефициенти на Фурие на функцията. За периодична функция с период) комплексната форма на реда на Фурие ще приеме формата, където коефициентите Cn се изчисляват с помощта на формулите. Сближаването на редовете (3 ) и (4) се разбира, както следва: сериите (3) и (4) се наричат ​​конвергентни за дадени стойности, ако има граници Пример. Разгънете функцията на периода в сложен ред на Фурие. Тази функция отговаря на достатъчни условия за разширяване в ред на Фурие. Нека намерим комплексните коефициенти на Фурие на тази функция. Имаме за нечетно за четно n, или накратко. Замествайки стойностите), накрая получаваме Забележете, че тази серия може да бъде записана и по следния начин: Редица на Фурие за общи ортогонални системи от функции 9.1. Ортогонални системи от функции Нека означим с множеството от всички (реални) функции, дефинирани и интегрируеми на интервала [a, 6] с квадрат, т.е. тези, за които съществува интеграл.По-специално, всички функции f(x) непрекъснати на интервала [a, 6], принадлежат на 6], а стойностите на техните интеграли на Лебег съвпадат със стойностите на интегралите на Риман. Определение. Система от функции, където, се нарича ортогонална на интервала [a, b\, ако условие (1) предполага, по-специално, че нито една от функциите не е идентично нула. Интегралът се разбира в смисъла на Лебег. и ние наричаме количеството норма на функцията.Ако в ортогонална система за всяко n имаме, тогава системата от функции се нарича ортонормална. Ако системата (y>„(x)) е ортогонална, то системата Пример 1. Тригонометричната система е ортогонална на отсечка. Системата от функции е ортонормирана система от функции в Пример 2. Косинусовата система и синусовата система са ортонормирани. Нека въведем означението, че те са ортогонални на интервала (0, f|, но не са ортонормални (за I Ф- 2). Тъй като техните норми са COS Пример 3. Полиномите, определени от равенството, се наричат ​​полиноми на Лежандро (полиноми). За n = 0 имаме. Може да се докаже, че функциите образуват ортонормална система от функции на интервала. Нека покажем, например, ортогоналността на полиномите на Лежандър. Нека m > n. В този случай, интегрирайки n пъти от части, намираме, тъй като за функцията t/m = (z2 - I)m всички производни до ред m - I включително се нулират в краищата на сегмента [-1,1). Определение. Система от функции (pn(x)) се нарича ортогонална на интервала (a, b) чрез надвес p(x), ако: 1) за всички n = 1,2,... има интеграли. Ето го се приема, че тегловната функция p(x) е дефинирана и положителна навсякъде в интервала (a, b) с възможното изключение на краен брой точки, където p(x) може да изчезне. След като извършихме диференциране във формула (3), намираме. Може да се покаже, че полиномите на Чебишев-Хермит са ортогонални на интервала Пример 4. Системата от функции на Бесел (jL(pix)^ е ортогонална на интервалните нули на функцията на Бесел Пример 5. Разгледайте полиномите на Чебишев-Хермит, които може да се дефинира с помощта на равенството Редица на Фурие върху ортогоналната система Нека има ортогонална система от функции в интервала (a, 6) и нека серията (cj = const) се събира в този интервал към функцията f(x): Умножавайки двете страни на последното равенство по - фиксирано) и интегрирайки върху x от a до 6, в Поради ортогоналността на системата получаваме, че тази операция има, най-общо казано, чисто формален характер. Въпреки това, в някои случаи, например, когато редът (4) се сближава равномерно, всички функции са непрекъснати и интервалът (a, 6) е краен, тази операция е законна. Но за нас сега е важна формалната интерпретация. И така, нека е дадена функция. Нека образуваме числата c* по формула (5) и запишем. Редът от дясната страна се нарича ред на Фурие на функцията f(x) по отношение на системата (^n(i)). Числата Cn се наричат ​​коефициенти на Фурие на функцията f(x) по отношение на тази система. Знакът ~ във формула (6) означава само, че числата Cn са свързани с функцията f(x) по формула (5) (не се предполага, че редът отдясно изобщо се сближава, а още по-малко се сближава с функцията f (х)). Следователно естествено възниква въпросът: какви са свойствата на тази серия? В какъв смисъл „представлява“ функцията f(x)? 9.3. Средна конвергенция Определение. Една последователност се сближава към елемента ] средно, ако нормата е в пространството. Теорема 6. Ако последователност ) се сближава равномерно, тогава тя се сближава средно. M Нека последователността ()) се сближава равномерно в интервала [a, b] към функцията /(x). Това означава, че за всеки, за всички достатъчно големи n, имаме Следователно, от което следва нашето твърдение. Обратното не е вярно: последователността () може да се сближава средно към /(x), но да не е равномерно сходяща. Пример. Разгледайте последователността nx. Лесно е да се види, че Но тази конвергенция не е равномерна: съществува e, например, такова, че независимо колко голямо е n, върху интервалните косинуси серия на Фурие за функция с произволен период Комплексно представяне на реда на Фурие Ред на Фурие за общи ортогонални системи от функции Ред на Фурие за ортогонална система Минимално свойство на коефициентите на Фурие Неравенство на Бесел Равенство на Парсевал Затворени системи Пълнота и затвореност на системите и нека Означаваме с c* коефициентите на Фурие на функцията /(x ) чрез ортонормална система b Разгледайте линейна комбинация, където n ^ 1 е фиксирано цяло число, и намерете стойностите на константите, при които интегралът приема минимална стойност. Нека го напишем по-подробно.Интегрирайки член по член, поради ортонормалността на системата получаваме.Първите два члена от дясната страна на равенството (7) са независими, а третият член е неотрицателен. Следователно интегралът (*) приема минимална стойност при ak = sk.Интегралът се нарича средноквадратично приближение на функцията /(x) чрез линейна комбинация от Tn(x). По този начин средноквадратичното приближение на функцията /\ приема минимална стойност, когато. когато Tn(x) е 71-вата частична сума от редицата на Фурие на функцията /(x) върху системата (. Задавайки ak = sk, от (7) получаваме Равенство (9) се нарича идентичност на Бесел. Тъй като лявото му страна е неотрицателна, тогава от нея следва неравенството на Бесел. Тъй като аз съм тук произволно, неравенството на Бесел може да бъде представено в подсилена форма, т.е., за всяка функция / серията от квадратни коефициенти на Фурие на тази функция в ортонормална система) се събира . Тъй като системата е ортонормална на интервала [-x, m], тогава неравенство (10), преведено в обичайната нотация на тригонометричния ред на Фурие, дава връзката do, която е валидна за всяка функция /(x) с интегрируем квадрат. Ако f2(x) е интегрируем, тогава поради необходимо условиесходимост на редицата от лявата страна на неравенството (11), получаваме това. Равенството на Парсевал За някои системи (^„(x)) знакът за неравенство във формула (10) може да бъде заменен (за всички функции f(x) 6 ×) със знак за равенство. Полученото равенство се нарича равенство на Парсевал-Стеклов (условие за пълнота). Тъждеството на Бесел (9) ни позволява да запишем условие (12) в еквивалентна форма.Така изпълнението на условието за пълнота означава, че частичните суми Sn(x) на реда на Фурие на функцията /(x) се събират към функцията /(x) средно, т.е. според нормата на пространството 6]. Определение. Ортонормална система ( се нарича пълна в b2[ау b], ако всяка функция може да бъде апроксимирана средно с каквато и да е точност чрез линейна комбинация от формата c достатъчно Голям бройусловия, т.е. ако за всяка функция f(x) € b2[a, b\ и за всяко e > 0 има естествено число nq и числата a\, a2y..., така че Не От горното разсъждение следва Теорема 7. Ако чрез ортонормализация системата ) е пълна в пространството, редът на Фурие на всяка функция / върху тази система се свежда до f(x) на по норма Може да се покаже, че тригонометричната система е пълна в пространството.Това предполага твърдението. Теорема 8. Ако една функция /o, нейният тригонометричен ред на Фурие се сближава средно към нея. 9.5. Затворени системи. Пълнота и затвореност на системите Определение. Ортонормална система от функции \ се нарича затворена, ако в пространството Li\a, b) няма ненулева функция, ортогонална на всички функции.В пространството L2\a, b\ понятията за пълнота и затвореност на ортонормалните системи съвпадат. Упражнения 1. Развийте функцията 2 в ред на Фурие в интервала (-i-, x) 2. Развийте функцията в ред на Фурие в интервала (-tr, tr) 3. Развийте функция 4 в ред на Фурие в интервала (-tr, tr) в ред на Фурие в интервала (-jt, tr) функция 5. Разгънете функцията f(x) = x + x в ред на Фурие в интервала (-tr, tr). 6. Разгънете функцията n в ред на Фурие в интервала (-jt, tr) 7. Разгънете функцията /(x) = sin2 x в ред на Фурие в интервала (-tr, x). 8. Разгънете функцията f(x) = y в ред на Фурие в интервала (-tr, jt) 9. Разгънете функцията f(x) = | грях х|. 10. Разгънете функцията f(x) = § в ред на Фурие в интервала (-π-, π). 11. Разгънете функцията f(x) = sin § в ред на Фурие в интервала (-tr, tr). 12. Разгънете функцията f(x) = n -2x, дадена в интервала (0, x), в ред на Фурие, като я разширите в интервала (-x, 0): а) по четен начин; б) по странен начин. 13. Разгънете функцията /(x) = x2, дадена в интервала (0, x), в ред на Фурие по синуси. 14. Разгънете функцията /(x) = 3, дадена в интервала (-2,2), в ред на Фурие. 15. Разгънете функцията f(x) = |x|, дадена в интервала (-1,1), в ред на Фурие. 16. Разгънете функцията f(x) = 2x, зададена в интервала (0,1), в ред на Фурие по синуси.

Как да вмъкнете математически формули в уебсайт?

Ако някога трябва да добавите една или две математически формули към уеб страница, тогава най-лесният начин да направите това е както е описано в статията: математическите формули лесно се вмъкват в сайта под формата на снимки, които се генерират автоматично от Wolfram Alpha . В допълнение към простотата, този универсален метод ще помогне за подобряване на видимостта на сайта в търсачките. Работи отдавна (и мисля, че ще работи завинаги), но вече е морално остарял.

Ако редовно използвате математически формули на вашия сайт, тогава ви препоръчвам да използвате MathJax - специална JavaScript библиотека, която показва математическа нотация в уеб браузъри, използвайки MathML, LaTeX или ASCIIMathML маркиране.

Има два начина да започнете да използвате MathJax: (1) като използвате прост код, можете бързо да свържете MathJax скрипт към вашия уебсайт, който автоматично ще бъде зареден от отдалечен сървър в точното време (списък със сървъри); (2) изтеглете скрипта MathJax от отдалечен сървър на вашия сървър и го свържете към всички страници на вашия сайт. Вторият метод - по-сложен и отнема много време - ще ускори зареждането на страниците на вашия сайт и ако родителският MathJax сървър стане временно недостъпен по някаква причина, това няма да се отрази по никакъв начин на вашия собствен сайт. Въпреки тези предимства избрах първия метод, тъй като е по-прост, по-бърз и не изисква технически умения. Следвайте примера ми и само след 5 минути ще можете да използвате всички функции на MathJax на вашия сайт.

Можете да свържете скрипта на библиотеката MathJax от отдалечен сървър, като използвате две опции за код, взети от основния уебсайт на MathJax или от страницата с документация:

Една от тези опции за код трябва да бъде копирана и поставена в кода на вашата уеб страница, за предпочитане между таговете и/или непосредствено след тага. Според първата опция MathJax се зарежда по-бързо и забавя страницата по-малко. Но втората опция автоматично следи и зарежда най-новите версии на MathJax. Ако поставите първия код, той ще трябва да се актуализира периодично. Ако поставите втория код, страниците ще се зареждат по-бавно, но няма да е необходимо постоянно да наблюдавате актуализациите на MathJax.

Най-лесният начин за свързване на MathJax е в Blogger или WordPress: в контролния панел на сайта добавете уиджет, предназначен да вмъква JavaScript код на трета страна, копирайте първата или втората версия на кода за изтегляне, представен по-горе, в него и поставете уиджета по-близо до началото на шаблона (между другото, това изобщо не е необходимо, тъй като скриптът MathJax се зарежда асинхронно). Това е всичко. Сега научете синтаксиса за маркиране на MathML, LaTeX и ASCIIMathML и сте готови да вмъквате математически формули в уеб страниците на вашия сайт.

Всеки фрактал се конструира според определено правило, което се прилага последователно неограничен брой пъти. Всяко такова време се нарича итерация.

Итеративният алгоритъм за конструиране на гъба на Менгер е доста прост: оригиналният куб със страна 1 е разделен от равнини, успоредни на лицата му, на 27 равни куба. От него се отстраняват един централен куб и 6 куба, съседни на него по стените. Резултатът е комплект, състоящ се от останалите 20 по-малки кубчета. Като направим същото с всяко от тези кубчета, получаваме комплект, състоящ се от 400 по-малки кубчета. Продължавайки този процес безкрайно, получаваме гъба Menger.