Изчисляване на неправилни интеграли с помощта на остатъци. Решаване на интеграли онлайн

Интеграл на рационална функция.

Нека разгледаме неправилния интеграл на рационална функция - отношението на два полинома P(x) и Q(x) (с комплексни коефициенти):

Той се събира, ако знаменателят няма реални корени и степента на числителя е поне две единици по-малка от степента на знаменателя.

Как да изчислим стойността на този интеграл?

Можете, разбира се, да вземете неопределения интеграл на рационалната функция и да замените границите. Но се оказва, че понякога е по-бързо да се използват методи, свързани с аналитичния характер на функцията.

Функцията на комплексна променлива z, равна, е аналитична навсякъде в равнината на променливата z, с изключение на краен брой точки - корените на знаменателя. Разгледайте в горната полуравнина затворен частично гладък контур L, образуван от сегмента [-R, R] на реалната ос и полукръга

където R е толкова голямо, че извън получения полукръг вече няма нито един корен от знаменателя в горната полуравнина.

Вътре в този полукръг има, най-общо казано, определен брой корени на знаменателя, например (фиг. 1.3.1).

По силата на формулата

получаваме израза

Нека сега насочим R навътре. На полукръг имаме, по силата на условията за степените на полиномите P(z) и Q(z), където A е някаква константа; Ето защо

От това следва, че интегралът

има ограничение при стойност (1.3.1.2). Но тъй като интегралът (1.3.1.1) се събира, той трябва да съвпада с границата на интеграла (1.3.1.3). Така,

А. Ако корените са прости, тогава според формулата

и следователно

b. Коментирайте. Приведохме техния интеграл към сумата от остатъците (умножени по) функцията в горната полуравнина, като разгледахме контура L, съставен от сегмента [-R, R] и полукръг.

Но по същия начин може да се разсъждава с контур, съставен от сегмент (прекаран отдясно наляво) и полукръг в долната полуравнина; ще получим

където са корените на полинома Q(z), лежащ в долната полуравнина.

Преминавайки до границата при, намираме

Полученият резултат се различава по форма от резултата (1.3.1.4). В действителност, разбира се, те съвпадат, така че разликата на тези резултати, т.е., умножена по сумата от остатъците на функцията във всички корени на Q(z), както в горната, така и в долната полуравнина, е равна на 0.

Това може да се покаже и директно. Както знаем, тази сума от остатъците съвпада с интеграла

по пълна окръжност с радиус R, достатъчно голям, за да съдържа всички корени на Q(z) вътре. Този интеграл не зависи от R и в същото време допуска оценката

Така интеграл (8) е равен на 0. Следователно

А. Интеграли на Фурие. Често се срещат интеграли на формата

Ако условието е изпълнено

тогава и трите интеграла на Фурие се събират абсолютно. Ако при , функцията f(x) е реална и монотонно клони към нула, интегралите (1.3.2.2) и (1.3.2.3) се събират при , но най-общо казано не абсолютно. Ако f(- x)f(x) (т.е. функцията f(x) е четна), тогава интегралът (1.3.2.3) е равен на нула, но ако f(- x) = -f(x) (функция f(x) е нечетно), тогава интеграл (1.3.2.2) е равен на нула. Освен това има очевидна връзка

така че в случай на реално f(x), интегралите (1.3.2.2) и (1.3.2.3) представляват реалната и имагинерната част на интеграла (1.3.2.1).

b. Методите за интегриране на контури често са полезни. Нека бъде. Има рационална функцияи полиномът Q(x) има степен поне с една по-висока от степента на полинома P(x) и не изчезва за реално x. В този случай интегралите (1.3.2.1) - (1.3.2.3) се събират

Нека са корените на полинома Q(x), лежащи в горната полуравнина. Формираме затворен контур, състоящ се от сегмент [-R, R] от реалната ос и полукръг.

Нека покажем това кога

Ако, тогава ||=||=. Следователно, ако степента на полинома Q(z) е най-малко две единици по-висока от степента на полинома P(z), доказателството на връзката (1.3.2.5) може да се извърши точно по същия начин, както в 1.3 .1.

V. Ако степента на полинома Q(z) е само с една по-висока от степента на полинома P(z), тогава разсъжденията 1.3.1 не работят. За този случай установяваме следната лема.

Лема. Когато неравенството е вярно

(c - константа).

Доказателство. Тъй като е достатъчно да разгледаме интеграла

е точно половината от предишния. Имаме при

тъй като функцията за u>0 е ограничена. Лемата е доказана.

Препис

1 МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ ФЕДЕРАЛНА АГЕНЦИЯ ЗА ОБРАЗОВАНИЕ Държава образователна институцияпо-висок професионално образование„Оренбургски Държавен университет» Отдел приложна математика IP VASILEGO ИЗЧИСЛЯВАНЕ НА ИНТЕГРАЛИ С ИЗПОЛЗВАНЕ НА ЗАБЕЛЕЖКИ МЕТОДОЛОГИЧЕСКИ ИНСТРУКЦИИ Препоръчва се за публикуване от Редакционно-издателския съвет на държавната образователна институция за висше професионално образование "Оренбургски държавен университет" Оренбург

2 BBK 6 ya7 V 9 UDC 7 (7 Рецензент Кандидат на физико-математическите науки, доцент, ръководител на катедрата по математически анализ Nevostruev LM Vasilego IP Изчисляване на интеграли с помощта на остатъци: Методически B9 инструкции Оренбург: Държавна образователна институция OSU, с Методически инструкциите са предназначени за ученици икономически специалностии инженерни и технически специалности Въз основа на основната теорема на теорията на остатъците, алгоритми за изчисляване на определени интеграли на тригонометрични функции и неправилни интеграли от два вида BBK 6 ya7 IP Vasilego, GOU OSU,

3 Въведение Решаването на много проблеми във физиката, механиката и някои клонове на математиката е свързано с изчисляването на определени или неправилни интеграли. Работата обсъжда методите за изчисляване на такива интеграли с помощта на теорията на остатъците. Разделът предоставя основна информация от теорията на остатъци Разделът предоставя примери за методи за изчисляване на определени и неправилни интеграли и примери за опции за самостоятелна работа

4 Основни факти от теорията на остатъците Задължително от книгите (и (читателят трябва да се запознае с основните понятия от теорията на функциите на комплексна променлива: аналитична функция, интеграл на функция на комплексна променлива върху крива и нейните свойства , редове на Тейлър и Лоран и т.н. Определение Нулата на аналитична функция f е точката, за която f (Ако f не е идентично нула във всяка околност на точка, тогава е възможно да се опише окръжност с достатъчно малък радиус с център в точка, вътре в която няма да има други нули освен центъра Ако (k f f f (, и (k f (, тогава точката се нарича нула от ред k за функция f Ако k, тогава нулата се нарича проста, за k > k - множество Точки на дефиниция, в които функцията f престава да бъде аналитична, се наричат ​​особени точки на функцията f Определение Точка се нарича изолирана особена точка на функцията f, ако функцията f е аналитична в някаква пунктирана околност (пръстен (C< < r}, а в самой точке или не определена, или определена, но не дифференцируема Определение Ряд вида a (a a где { a } - последовательность комплексных чисел, называется рядом Лорана с центром в точке a Ряд (частью ряда Лорана Ряд a, сходящемся в круге < r, называется правильной, сходящийся в области >, се нарича главна част на ред на Лоран. По дефиниция редът на Лоран се събира, ако неговите правилни и главни части се събират едновременно. Следователно редът на Лоран се събира в пръстен:< < r Изолированные особые точки бывают трех типов: устранимая особая точка, полюс, существенно особая точка Определение Изолированная особая точка функции f lm f f называется устранимой, если существует конечный предел

5 Тогава f ако и само ако главната част от нейната серия на Лоран с център в точката отсъства Определение 6 Изолирана особена точка на функция f lm f е отстранима особена точка на функция, наречена полюс ако Тогава f ако и само ако главната част на редицата на Лоран с център в точка се състои от m (краен брой членове: f е полюс на функцията a a m m a a m m m (((, a, m Числото m се нарича ред на полюса Ако m , тогава полюсът се нарича прост Ако за функцията f точката е полюс от порядък m, тогава за функцията точката е нула от порядък m f Определение 7 Изолирана особена точка на функцията f lm f не съществува Точка се нарича по същество особена точка, ако f, ако и само ако главната част от серията на Лоран, центрирана в точката, съдържа безкраен брой членове, е по същество особена точка на функцията Например, точката - по същество особена точка на функция Наистина, e! Забележете, че изолирана сингулярна точка на функция f е полюс от порядък k тогава и само ако е в някаква пунктирана околност на точката:< < r, f причем аналитична (k в круге < r и (Вычет функции и правила вычисления его Определение 8 Вычетом однозначной аналитической функции f в изолированной особой точке (в том числе называется значение интеграла f γ d Re s f e

6, където интегрирането се извършва върху γ-затворен частично гладък Йорданов контур, съдържащ точка вътре в себе си и не съдържащ други особени точки на функцията f. В този случай интегрирането се извършва в положителна посока спрямо областта, съдържаща точката Ако Re s f a е коефициентът за (в серията на Лоран. Ако тогава, тогава Re s f a в разширението на Лоран на функцията. Остатъкът f в точка, където a е коефициентът при f в близост до точката, се намира, основно, директно по дефиниция, а окръжността R с достатъчно голям радиус се приема като контур γ Правила за изчисляване на остатъци в точка Ако точката е подвижна особена точка за функция f, тогава Re s f Нека точката е полюс на първата ред (прост полюс за Re s f lm f f Тогава (По-специално, ако f, където функциите и ψ, (, ψ(, ψ (, тогава околността на точката Re s f ψ ((Ако дадена точка е полюс на) ред > m функциите f ψ са аналитични в, тогава Re s f! (m lm m (m f) За изчисляване на интеграли ще използваме основната теорема на теорията на остатъците: Ако функция f е аналитична в затворена област G, ограничена от затворена поправима Йорданова крива C, с изключение на краен брой изолирани сингулярни точки a, a, a, разположени вътре в C, тогава формулата f d Re s f ak c k 6 е валидна

7 Изчисляване на интеграли на тригонометрични функции Интеграли от формата R(cos,s d, където (u v R, е рационална функция, а функцията g (R(cos, s) е непрекъсната на сегмента [,], се свежда до интеграл върху единичната окръжност от функции на комплексна променлива Нека e Тогава използвайки формулите на Ойлер: e cos s получаваме e e e e s, cos или s, cos (Следователно d e d или При промяна от на d d d променливата се движи около окръжността, ~ ~ следователно R d (където R R, Тъй като рационалната функция R ~ върху окръжността, тогава има r > такова, че в окръжността< r функция R ~ определена и аналитична всюду за исключением быть может конечного числа изолированных особых точек, находящихся в круге < Взяв в качестве контура С окружность и применяя теорему, получим ~ Re s R, (k a k где таков:, k - полюсы функции a a, a R ~, лежащие в круге < Таким образом, алгоритм вычисления интеграла R(cos,s d надо доказать, что функция R(cos, s s и непрерывна на [ ;]; делаем замену e при которой отрезок [ ;] cos или рациональна относительно переводится в d M C ; s, cos t, d и t множество { } 7

8~Rd; проверяваме условията на теоремата. За да направим това, намираме изолирани особени точки, k функции R ~ принадлежащи на множеството C< R ~ аналитична на замкнутом множестве { } { C } G Теперь функция ограниченном окружностью за исключением точек, k ; вычисляем ориентируясь на следующие возможные случаи: ~ а R P многочлен относительно Так как изолированных особых точек нет, то; ~ a б R P (P - многочлен Тогда точка простой R ~ ~ и Re s R a (по определению вычета, поэтому полюс функции a a ; ~ в R причем ψ(, (, ψ (Тогда по правилу ψ ~ ((Re s R и по формуле (; ψ (ψ (~ P г R, где P и Q - многочлены Q Особые точки, k ищутся среди корней (нулей многочлена Q Точки, k могут быть только полюсами (простыми или порядка m Вычет функции R ~ точек, k находят по правилу или по правилу Тогда k ~ Re sr Рассмотрим примеры: dt (cos t Решение Функция cost и непрерывной на [ ;] Полагая f (t является рациональной функцией (cos t t e имеем d cos t, dt 8

9 9 Сега d d d d Интегрантът (g има особени точки, които са полюси от втори ред) Функцията g((интегрантът е аналитичен върху окръжността и в окръжността< за исключением точки Следовательно, по теореме имеем: (Re 8 (Re g s g s d Пользуясь формулой правила вычисления вычета имеем: lm lm lm lm lm! ((Re g s Таким образом 8 Вычислить s cos d Решение Используя формулы понижения степени: cos s, cos cos получим, что cos cos d Сделаем замену t, тогда cos cos dt t t Функция t t cos cos является рациональной функцией относительно cost и непрерывной на ; Теперь после замены t e имеем 6 8 d

10 Функцията (~ R има особени точки 8 (6, точките лежат вътре в окръжността И - полюс от втори ред, намираме нейния остатък по правилото ~ (6 (6 Re lm s R lm 8(6 8(6) 8 Точка - прост полюс Остатък Re s R ~ намираме по правилото ~ Re s R(lm 8 (((По формулата (имаме (8((cos Изчислете d a cos a R, > 8 (8(8 8) при условие че< a < и s Решение Рассмотрим интеграл d a cos a поскольку подынтегральная функция нечетна, а пределы интегрирования симметричны Тогда cos s e d d a cos a a cos a После замены e d, cos, d будем иметь d d a a a(a a a ~ Подынтегральная функция R (аналитична на множестве кроме ~ нуля знаменателя а, который является простым полюсом функции R (Особая точка не принадлежит множеству По формуле (и a ~ a a правилу имеем, что Re s R(lm a a a a a a a a

11 (d Изчислете (s α s e Решение) Нека направим замяната (s α d (s α e) Тогава d d s, d и s α (Интегрантът е аналитичен в множеството с изключение на нулата на знаменателя, която е прост полюс на интегранд. Съгласно формулата (и правилото, получаваме, че (s α (Re lm (s s α (((Примери за независимо решениеДа се ​​изчислят интегралите: d dt ; ; cos s t s d d ;, ; cos a > a cos cos d,< a < ; as 7 (cos cos d,; cos cos d 9, a < ; a cos a s d 6, < a < ; a s a, s 8, a >; a cos a d (a b cos, a > b > d

12 Изчисляване на неправилни интеграли Когато изчисляваме някои видове неправилни интеграли, ще използваме следните две Йорданови леми Лема Нека функцията f( е непрекъсната в областта D C R, m за някои R > и lm R M (R, където ( ) max f , C ( C R, m ) M (R C R R R Тогава lm f d R C R Лема Нека m> и за функцията f(са изпълнени условията: f(е непрекъсната в областта D за някои R >; lm M (R R Тогава lm f e d R C R m Интеграли от първи тип Интеграл от вида R(x, където P (x R (x е рационална функция, Q(x) и полиномът Q(x не се нулира на реалната ос и степента му е поне две единици по-голяма от степента на полинома P(x, ще го наричаме интеграл от първи тип. Поради условията, наложени по-горе на R(x, c), неравенството R(x с някаква константа C> е изпълнено и следователно x интегралът се сближава. Извеждаме формула за изчисляване на този интеграл, използвайки остатъци. За да направите това, помислете за затворен контур K τ, състоящ се от полукръг C τ ( C τ, m ) и сегмента [ τ, τ] на реалната ос (вж. фигура y C τ -τ τ x Фигура Посоката на преминаване на контура K τ е показана на фигурата Разгледайте функцията на комплексната променлива R (и нека - полюсите на това

13 функции, лежащи в горната полуравнина. Вземаме числото τ толкова голямо, че всички точки да са вътре в K τ Тъй като Q (x е на реалната ос, тогава има област G, съдържаща затворена горна полуравнина ( C m ) и така, че функцията R( е аналитична в G с изключение само на точки, област G, контур K τ и функция R(удовлетворява условията на теоремата, следователно или τ τ K τ R(d Re sr(k R(x R) (d Re sr(C R k k нека се преместим до границата при τ Забележете, че в този случай дясната му страна не се променя, а от лявата страна R d от първата τ Йорданова лема и интеграла R (x R(x Така , получаваме формулата τ k k R(x Re s R( , (Така, алгоритъмът за решаване на несобствени интеграли от първия тип е следният: показваме, че знаменателят Q(x не се равнява на нула на реалната ос и че неговата степен е най-малко две единици по-голяма от степента на полинома P(x; P(преминава към комплексната функционална променлива R ; Q(ние намираме комплексните корени на полинома Q(, които са полюсите на функцията R(; от намерените полюси на функцията R (избираме само тези, които лежат в горната полуравнина, например, ; според правилата (или (изчисляваме остатъците Re s R(, k, ; 6 по формулата) (ние изчисляваме интеграла Понякога точки и 6 се изпълняват едновременно Разгледайте примери Изчислете ( x k k C R

14 Решение Тъй като интегрантът (x е четен, тогава (x) Тъй като (x не се нулира върху реалната ос и степента на полинома (x е четири повече от степента на числителя (x), тогава интегралът (x е интеграл от първия тип. Помислете за функцията R Корени полином ((са, - Точки и - полюси от втори ред на функцията R(Полюсът падна в горната полуравнина. Според правилото, ние изчисляваме остатъка с спрямо: Re s R(lm (! lm 8 ((lm ((! (По формулата (изчисляваме интеграла Изчисляваме интеграла x (x (x 9 lm ((Решение) Очевидно е, че интегралът от първи тип Функцията R е аналитична навсякъде в равнината, с ((9 изключение на точките, Тези точки са прости полюси на функцията R(Две от тях (и лежат в горната полуравнина) По формулата (имаме Според правилото Re s R(lm Re s R(lm (R(x Re s R(Re s R(lm (((9 ((9 (9 (lm (((((9,

15 Следователно 6 6 Изчислете интеграла x, a > (x a Решение Тъй като подинтегралната функция е четна, тогава x (x a) Очевидно интегралът е от първи тип. Разгледайте функцията R(Тя е аналитична навсякъде в равнината, с изключение на точките (a a и a Тези точки са полюсите на третия ред на функция R(Една от тях (a попадна в горната полуравнина) Съгласно формулата (и правилото, което имаме (a a Re s R(lm lm a a! a a a) (a lm a (a a (a 6a) Изчислете интеграла, a >, (a x Решение - интеграл от първи тип Функция R(има полюс a n (a от ред в горната (a (полуравнина)) Използвайки правилото и формула (, получаваме Re lm a lm s R a (! a (! a a a a! ((((((a (a ((!! Примери за независимо решение) Изчислете интеграли: x ; x x ; x

16; 7 x ; x x 6 x (bx a, a, b > ; (x a (x b, a, b > ; 7 9 x ; x x ; x 8 8 x 6 (x a, a > ; (x x a, a > 6) Интеграли от втори тип Интеграли от вида R(x s αx, R(x cos αx) се наричат ​​интеграли P(x от втори тип, ако R (x е рационална функция и Q(x) няма Q(x реални корени и степента на Q(x е поне една по-голяма от степента на P (x) Нека покажем, че при тези условия и двата интеграла се събират. Интегрирайки по части и като вземем предвид, че lm R(x, получаваме R(xsαx R(xcosαx α x α R (xcosαx α R (x cosαx) Интегралът R (x cos αx се сближава абсолютно, тъй като функцията R (x) има степента на числителя поне две единици по-малка от степента на знаменателя. Това предполага сходимост на интеграла R(x s αx. По подобен начин доказваме сходимостта на интегралната спомагателна функция чрез силата на теоремата, получаваме τ τ αx Cτ α R(x cos αx Интегрирайки f R( e по контура K τ (виж фигурата в α R( x e R(e d Re s f, където τ е толкова голямо, че k k всички полюси на R(лежат вътре в K τ Преминавайки към границата при τ и отбелязвайки, че α чрез втората Йорданова лема R e d стигаме до равенството C τ

17 R e α d Res f k k Приравнявайки реалната и имагинерната част, получаваме α R(x cos αx Re Re s(R(e k k α R(x s αx m Re s(R(e k k ((/ където, k са полюсите) на функцията R(, лежаща в горната полуравнина Разгледайте примери (x s x x x Изчислете интеграла Решение Ясно е, че интегралът от втория тип D 8< x x x R, и степень знаменателя на меньше степени числителя (s (s Рассмотрим функцию R(((((Функция R(имеет в верхней полуплоскости один простой полюс в точке По формуле (/ имеем m Re s(R(e Используя правило, получаем (e (((e Re s e R(Re s lm ((((lm (e ((e (e e e (cos s Таким образом m e (cos s cos e cos x Вычислить интеграл, a >x a Решение Тъй като под знака за интеграл има дори функция, тогава cos x и R (x, α x a x a Тъй като степента на числителя (е по-малка от степента на знаменателя (x a с две единици и x a за всяко реално x, тогава интегралът 7

18 от втория тип Да разгледаме функцията R(Функция a (a(a R(имаме прост полюс a в горната полуравнина) Съгласно формулата (и правилото имаме a a e e e e Re Re s Re Re a a a a a За да изчислим остатък тук използвахме формулата ((a Re s, тъй като (a, ψ(a и ψ (a) По същия начин a ψ(ψ (a) беше възможно да се изчисли остатъкът в примера Примери за независимо решение Изчислете интегралите (x s x x s x ; ; x x (x 9 x s x ; x x x s x, a > ; x a x x x x s x 6 7 ; x x s x 9 ; x x 9 6 cosx (x a (x b cos x (x b a > ; cos ax 8, a > ; x x a x cos x x x a >, b >) а б; 8

19 Списък на използваните източници Александров И.А., Соболев В.В. Аналитични функции на комплексна променлива М: висше училище, 98 9 с Бицадзе А. В. Основи на теорията на аналитичните функции на комплексна променлива М: ​​Наука, 969 с Евграфов М. А., Сидоров ЮВ, Федорюк М. В., Шабунин М. И., Бежанов К. А. Колекция от проблеми по теория на аналитичните функции М: Наука, с Ершова В. В. Импулсни функции Функции на комплексна променлива Оперативно смятане Минск: Висше училище, с Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Функции на комплексна променлива Оперативно смятане Теория на стабилността М: Наука, 987 с 6 Маркушевич А. И. Кратък курстеория на аналитичните функции М: Наука, стр. 7 Привалов И. И. Въведение в теорията на функциите на комплексна променлива М: ​​Наука, 977 стр. 8 Радыгин В. М., Голубева О. В. Приложение на функциите на комплексна променлива в проблемите на физиката и технология - М: По-висока скала, 98 6 стр. 9 Свешников А. Г. , Тихонов А. Н. Теория на функциите на комплексна променлива М: ​​Наука, с Сидоров ЮВ, Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теория на функциите на комплексна променлива М : ​​Наука, с Соломенцев Е. Д. Функции на комплексна променлива и тяхното приложение М: Висше училище с Шабат Б. В. Въведение в комплексния анализ М: Наука, стр. 9

Практически урок 8 Остатъци 8 Дефиниция на остатъка 8 Изчисляване на остатъци 8 Логаритмичен остатък 8 Дефиниция на остатък Нека изолирана сингулярна точка на функция в изолирана сингуляра Аналитичен остатък

Министерство на образованието на Република Беларус Беларуски държавен университет NI Ilyinkova, OAKononova, NKFilippova Приложение на теорията на остатъците за изчисляване на интеграли Минск UDC 575/55(75) Решение

Интеграл на сложна функция променлив интегралот границата на FKP на интегралната сума на Риман σ = = f (t Δ за функцията f (по кривата AB, ако не зависи от метода за разделяне на кривата AB на елементарни

Старков В.Н. Материали за ориентиращата лекция Въпрос 9. Развиване на аналитичните функции в степенни редове Определение. Функционална серия от формата (((... (..., където комплексни константи (коефициенти на серията

Методическа разработкаРешаване на проблеми с помощта на TFKP Комплексни числа Операции с комплексни числа Комплексна равнина Комплексното число може да бъде представено в алгебрична и тригонометрична експоненциална форма

Глава 1 Оперативно смятане. 1. Определение на преобразуването на Лаплас. Трансформацията на Лаплас свързва функцията f(t) с реална променлива t с функцията F() на комплексна променлива = x + iy

ЛЕКЦИЯ N38. Поведение на аналитична функция в безкрайност. Специални точки. Остатъци от функция..околност на точка в безкрайност.....Разширение на Лоран в околност на точка в безкрайност.... 3.Поведение

I Резюме Цел и цели на дисциплината (модул) Целта на овладяването на дисциплината: да даде на студентите систематични знания за методите на комплексния анализ и да ги научи да прилагат тези знания за решаване на математически задачи

Багачук А.В. Бушуева Н.А. Полякова И.А. Трутнев В.М. ТЕОРИЯ НА ФУНКЦИИТЕ НА КОМПЛЕКСНА ПРОМЕНЛИВА Насоки за извършване на самостоятелна работа Красноярск 2007 г. Съдържание. Главна информация 3 2. Задачи

8 Комплексна числова поредица Да разгледаме числова поредица с комплексни числа от формата k a, (46) където (a k) е дадена числова поредица с комплексни членове k Серията (46) се нарича сходяща, ако

Министерство на образованието на Република Беларус Образователна институция „Беларуска държава Педагогически университетна името на Максим Танк" N T Stelmashuk, V A Shilinets ТЕСТОВЕ ПО КУРСА TFKP Образователни и методически

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ Национален изследователски Нижегородски държавен университет на името на Н. И. Лобачевски Н. П. Семерикова А. А. Дубков А. А. Харчева РАНГОВЕ НА АНАЛИТИЧНИ ФУНКЦИИ

ЕЛЕМЕНТИ НА ТЕОРИЯТА НА ФУНКЦИИТЕ НА ОПЕРАЦИОННО СЧИТАНЕ С КОМПЛЕКСНА ПРОМЕНЛИВА В резултат на изучаването на тази тема студентът трябва да научи: намира тригонометричните и експоненциалните форми на комплексно число според

Дагестански държавен университет Национална икономикаОТДЕЛЕНИЕ ПО МАТЕМАТИКА Мухидинов Магомед Госенгаджиевич Испагиева Асият Далгатовна Неопределен интеграл РЪКОВОДСТВО ЗА РЪКОВОДСТВО Махачкала 2017 Мухидинов

Лекция 7 Редици на Тейлър и Лоран 7. Редици на Тейлър В тази част ще видим, че концепциите за степенен ред и аналитична функция дефинират един и същ обект: всеки степенен ред с положителен радиус на сходимост

Съдържание Въведение. Основни понятия.... 4 1. Интегрални уравнения на Волтера... 5 Варианти за домашна работа.... 8 2. Резолвента интегрално уравнениеВолтера. 10 опции за домашна работа.... 11

~ ~ PKP Производна на функция на комплексна променлива PKP Условия на Коши-Риман концепция за редовност PKP Изображение и форма на комплексно число Тип PKP: където реална функция на две променливи е реална

М. В. Дейкалова ЦЯЛОСТЕН АНАЛИЗ Въпроси за изпита (група МХ-21, 215) Въпроси от първи колоквиум 1 1. Диференцируемост на функция на комплексна променлива в точка. Условия на Коши-Риман (Д'Аламберт-Ойлер).

ЕЛЕМЕНТИ НА ОПЕРАТИВНОТО ИЗЧИСЛЕНИЕ ИЗДАТЕЛСТВО TSTU МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ GOU VPO "Тамбовска държавна Технически университет» ЕЛЕМЕНТИ НА ОПЕРАЦИОННОТО ИЗЧИСЛЕНИЕ

Проблеми по теорията на функциите на сложна променлива Част Редовни, вечерни и кореспондентски отдели на Факултета по приложна математика - Процеси на управление на Санкт Петербургския държавен университет

МОСКОВСКИЯТ ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ на името на. М.В. Ломоносова ФИЗИЧЕСКИ ФАКУЛТЕТ КАТЕДРА ПО МАТЕМАТИКА V.T. Волков, А.В. Кравцов, Д.В. Минаев, В.Ю. Попов, Н.Е. Шапкина. Въпроси и задачи за

Фонд от инструменти за оценяване за провеждане на междинна атестация на студентите по дисциплината (модул) Обща информация Катедра Математика, Физика и информационни технологииНаправление на обучение 0030 Математика

Теория на функциите на комплексна променлива Лектор Александър Сергеевич Романов 1. Аналитични функции на комплексна променлива Комплексни числа. Тригонометрични и експоненциални форми на комплексни числа.

Министерство на образованието на Република Беларус Образователна институция "Гомелски държавен университет на името на Франциск Скорина" А П СТАРОВОЙТОВ Г. Н. КАЗИМИРОВ Ж. Н. КУЛБАКОВА ТЕОРИЯ НА ФУНКЦИИТЕ НА КОМПЛЕКСА

ЛЕКЦИЯ N37. Серии от аналитични функции. Развиване на аналитична функция в степенен ред. Серия Тейлър. Редица на Лоран.. Разгъване на аналитична функция в степенен ред..... Редица на Тейлър.... 3. Развиване на аналитична функция

УТВЪРЖДАВА от зам.-ректора по възпитателна работаЮ.А. Самара 10 юни 2010 г. ПРОГРАМА И ЗАДАЧИ Теория на функциите в дисциплината: комплексна променлива в областта на подготовката: 010600 факултети: за всички факултети

Лекция 9 Елементи на теорията на остатъците 9.1 Дефиниция на остатъка В този раздел въвеждаме понятието остатък на аналитична функция в изолирана сингулярна точка, което е важно за приложенията. Малко за самия термин. брои,

Лекция 5 Интеграл от тип Коши 5.1 Интеграл от тип Коши Нека C е ориентирана късово гладка крива, f дефинирана върху кривата непрекъсната функция. За всяка точка z C \ функцията t f(t) z е непрекъсната в променливата

Металургичен факултет Катедра по висша математика РАНГОВЕ Методически указания Новокузнецк 5 Федерална агенцияпо образование Държавна образователна институция за висше професионално образование

Типични задачис решения. Гама функция Пример. Намерете произведението = 3. Решение. Първо, ще преиндексираме +, така че продуктът да започне от едно. В резултат на това получаваме +. 3 След това разлагаме

ВАРИАНТ ЗАДАЧАТА Е ДА ИЗЧИСЛИМ СТОЙНОСТТА НА ФУНКЦИЯТА (ОТГОВОРЪТ Е ДАДЕН В АЛГЕБРИЧНА ФОРМА: a Arch; b РЕШЕНИЕ A ЩЕ ИЗЧИСЛИМ ARH ПО ФОРМУЛАТА Arch(L(В ТОЗИ ПРИМЕР ZI, СЛЕДОВА, Arch L(± L( ± ДОПЪЛНИТЕЛНА УПОТРЕБА

Laurent Rows Още общ тип степенни редовеса серии, съдържащи както положителни, така и отрицателни сили z z 0. Подобно на редовете на Тейлър, те играят важна роля в теорията на аналитичните функции.

Министерство на образованието и науката Руска федерацияФедерална държавна бюджетна образователна институция за висше професионално образование "Сибирски държавен индустриален университет"

Страница от урок 9. Изчисляване на реални интеграли с помощта на остатъци Мат. анализ, прил. математика, 4 семестър Намерете следното тригонометрични интегралиизползвайки остатъци: A π + cos ϕ. A π 3

Министерство на образованието и науката на Руската федерация РУСКИЯТ ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ ПО НЕФТ И ГАЗ НА И.М.ГУБКИН В Мелников, Н.О.Фастовец ТЕОРИЯ НА ФУНКЦИИТЕ НА КОМПЛЕКСНАТА ПРОМЕНЛИВА

Решение на типични опции тестова работана тема Интеграли на функция на една променлива Указания УДК 517.91 Указанията съдържат подробни решениятипични тестови опции

Глава ВАРИАЦИОННО ИЗЧИСЛЕНИЕ Лекция 9 Въведение В тази глава ще разгледаме проблемите за намиране на екстремуми (максимуми или минимуми) на функционали.Веднага отбелязваме, че такива проблеми са сред

РАЗДЕЛ 5 Интегрално смятане на функциите на една променлива Материали, подготвени от преподавателите по математика от катедрата общообразователни дисциплиниза електронни дистанционно обучениеСъдържание

Методически указания за практически (семинарни) занятия Основната цел на практическите (семинарни) занятия по дисциплината „Теория на функциите на комплексната променлива” е способността да се прилагат получените

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО НА РЕПУБЛИКА АЗЕРБАЙДЖАН БАКУНСКИ ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ Програмата е съставена в Катедрата по теория на функциите и функционален анализ на Бакинския държавен университет

Математически анализРаздел: Оперативно смятане Тема: Преобразуване на Лаплас и неговите свойства Лектор Е. Г. Пахомова 2011 11. Оригинал и изображение. Теорема за обръщане ДЕФИНИЦИЯ 1. Нека: R C. Функция

S A Lavrenchenko wwwwrckoru Лекция Преобразуване на Фурие Концепцията за интегрална трансформация Методът на интегралните трансформации е един от мощните методи на математическата физика мощен инструментрешения

ТЕМА V СЕРИИ НА ФУРИЕ ЛЕКЦИЯ 6 Разлагане периодична функцияв редицата на Фурие Много процеси, протичащи в природата и технологията, имат свойството да се повтарят през определени интервали от време. Такива процеси

МИНИСТЕРСТВО НА НАУКАТА И ОБРАЗОВАНИЕТО НА RF МОСКОВСКИЯ ДЪРЖАВЕН ОТКРИТ УНИВЕРСИТЕТ на името на В. С. Черномирдин КОЛОМЕНСКИ ИНСТИТУТ КАТЕДРА ПО ВИСША МАТЕМАТИКА И ФИЗИКА Е. Ф. КАЛИНИЧЕНКО ЛЕКЦИИ ЗА ИЗЧИСЛЯВАНЕ НА СПЕЦИФИЧНИ

Багачук А.В. Бушуева Н.А. Полякова И.А. Трутнев В.М. ТЕОРИЯ НА ФУНКЦИИТЕ НА КОМПЛЕКСНА ПРОМЕНЛИВА Организационни и методически указания за овладяване на дисциплината Красноярск 2007 1. Обща информация Програма на дисциплината

Основи на функционалния анализ и теория на функциите Лектор Сергей Андреевич Тресков 3-ти семестър. Редица на Фурие. Постановка на проблема за разширяване на периодична функция в най-простите хармоници. Коефициенти на Фурие

3724 МНОГОРЕДИЦИ И КРИВОЛИНЕЙНИ ИНТЕГРАЛИ 1 РАБОТНА ПРОГРАМА НА РАЗДЕЛИТЕ „МНОГОРЕДИЦИ И КРИВОЛИНЕЙНИ ИНТЕГРАЛИ” 11 Числови редове Понятие за числови редове Свойства на числови редове Необходим знак за сходимост

ОПЕРАЦИОННО ИЗЧИСЛЕНИЕ Оперативното смятане се отнася до символно смятане, което се основава на изграждането на математическия анализ като система от формални операции върху изкуствено въведени

Комплексни числа, функции и операции върху тях y модул R реална част реално число, yim имагинерна част реално число iy алгебрична форма на запис на комплексни числа Основна стойност на аргумента

Интеграл на Фурие Реални и сложни форми на запис на интеграла на Фурие Нека f () е непериодична функция, дефинирана на цялата числова ос и удовлетворяваща условията на Дирихле на всеки краен интервал

Федерална агенция за образование Архангелски държавен технически университет Строителен факултет RANKS Указания за попълване на задачи за самостоятелна работа Архангелск

Основи на теорията на специалните функции Необходимостта от изучаване на специалните функции на математическата физика е свързана с две основни обстоятелства. Първо, при разработването математически моделфизически

Лекция 11 Изчисляване на интеграли със степенни и логаритмични тегла 11.1 Интеграли със степенни тегла Разгледайте интеграл от вида x α 1 f(x) dx, (11.1) където α е нецяло реално число, а f(x) е рационално

Министерство на образованието на Република Беларус Витебска държавна институция Технически университет" Предмет. Катедра "Редове" по теоретична и приложна математика. разработен от ст.н.с. Е.Б. Дунина. Основен

Модул Тема Функционални последователности и серии Свойства на равномерна конвергенция на последователности и серии Степен редове Лекция Дефиниции на функционални последователности и серии Равномерно

Математически анализ Раздел: Интегриране на FNP Тема: Криволинеен интеграл от втори род Лектор Е. Г. Пахомова 2013 10 10. Криволинейни Криволинейни интегрални интеграли от II II вид по координати

М. И. ЕВДОКИМОВ Л. А. МУРАТОВА Л. В. ЛИМАНОВА СБОРНИК ЗАДАЧИ ПО ВИСША МАТЕМАТИКА МЕТОДИКА ЗА ИЗПИТВАНЕ ЗА КОНТРОЛ НА ЗНАНИЯТА Том III УрокСамара Самарски държавен технически университет МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ Федерална държавна бюджетна образователна институция за висше професионално образование Департамент "Кемеровски държавен университет"

Журнал за експериментални и теоретична физика. 948 т. 8 бр. А.Н. Тихонов А.А. Самара. На принципа на радиацията Формулиран общ принципрадиация за вълново уравнениев смисъл, че решенията

ЛЕКЦИЯ N 7. Степенен ред и ред на Тейлър.. Степенен ред..... Ред на Тейлър.... 4. Развиване на някои елементарни функции в ред на Тейлър и Маклорен.... 5 4. Приложение на степенен ред... 7 .Мощност

Страница от 9 6-ти урок. Изолирани особени точки с уникален характер (IOTOH) Мат. анализ, прил. Математика, 4 семестър A Развийте функцията ln z + 2 z 3 в редица на Лоран в околност на точка. Корени и кратности

ФЕДЕРАЛНА АГЕНЦИЯ ПО ОБРАЗОВАНИЕТО ДЪРЖАВНА ОБРАЗОВАТЕЛНА ИНСТИТУЦИЯ ЗА ВИСШЕ ПРОФЕСИОНАЛНО ОБРАЗОВАНИЕ “САМАРСКИ ДЪРЖАВЕН ТЕХНИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ” Катедра по приложна математика

Министерство на образованието на Република Беларус Образователна институция "Беларуски държавен университет по информатика и радиоелектроника" Факултет по компютърни системи и мрежи Катедра по висша математика

Функции Диференциране на функции 1 Правила за диференциране Тъй като производната на функция се определя както в реалната област, т.е. под формата на граница, тогава, използвайки тази дефиниция и свойствата на границите,

Тема КРИВОЛИНЕЙНИ ИНТЕГРАЛИ Лекция КРИВОЛИНЕЙНИ ИНТЕГРАЛИ ОТ ПЪРВИ РОД Проблеми, водещи до концепцията за криволинеен интеграл от първи род Определение и свойства на криволинеен интеграл от първи род Изчисляване

Теория на функциите на комплексна променлива S. G. Bugaeva Физически факултет на Новосибирския държавен университет Тези слайдове придружаваха лекциите и съдържат някои (не всички!!!) определения и

Калкулаторът решава интеграли с ПОДРОБНО описание на действията на руски и безплатно!

Решаване на неопределени интеграли

Това онлайн услуга V една стъпка:

Решаване на определени интеграли

Това е онлайн услуга в една стъпка:

• Въведете интегралния израз (интегрална функция)
• Въведете долна граница за интеграла
• Въведете горна граница за интеграла

Решаване на двойни интеграли

• Въведете интегралния израз (интегрална функция)

Решаване на неправилни интеграли

• Въведете интегралния израз (интегрална функция)
• Въведете горния диапазон на интегриране (или + безкрайност)
• Въведете долната област на интеграция (или - безкрайност)

Решаване на тройни интеграли

• Въведете интегралния израз (интегрална функция)
• Въведете долни и горни граници за първия интеграционен регион
• Въведете долната и горната граница за втория интеграционен регион
• Въведете долната и горната граница за третия регион на интеграция

Тази услуга ви позволява да проверите вашите изчисленияза коректност

Възможности

• Подкрепа за всички възможни математически функции: синус, косинус, експоненциал, тангенс, котангенс, квадратни и кубични корени, степени, експоненциали и други.
• Има примери за въвеждане като неопределени интеграли, а за несобствени и категорични.
• Коригира грешките във въведените от вас изрази и предлага ваши собствени опции за въвеждане.
• Числено решение за определени и несобствени интеграли (включително двойни и тройни интеграли).
• Поддръжка на комплексни числа, както и различни параметри (можете да посочите не само интеграционна променлива, но също и други променливи параметри)

1. Изчисляване на интеграли по затворен контур. Нека функцията f(z)има само изолирани особени точки вътре в затворения контур Г. Тогава интегралът от f(z)по протежение на контура Γ може да се намери чрез прилагане на теорема 27.1 за остатъците: изчисляване на остатъците в специални точки, разположен вътре в контура Г, като съберем тези остатъци и умножим сумата по 2tgg, получаваме желания интеграл.

G1 пример 28.1. Изчислете интеграл

Решение: Вътре в кръга z = 2 има две особени точки на функцията f(z) = ( 2 2+i)(^+ 3) 2 'а именно z i = Uz 2= -Cтрета сингулярна точка z%= - 3 се намира извън този кръг. Остатъците в точки ±r бяха намерени в Пример 27.5: res*/ = 0.01(7-N), res_*/ = 0.01(7- Ж).Прилагайки формула (27.2), имаме:

Ако функцията f(z)има само изолирани особени точки в разширената комплексна равнина C, тогава вместо да се изчислява сумата от остатъци в крайни особени точки, е по-лесно да се намери остатъкът в точката в безкрайност и да се използва теорема 27.10 за сумата от остатъците.

Пример 28.2. Изчислете интеграл

Решение. функция f(z)= има осем особени точки

Решения на уравнението z s 4- 1 = 0. Всяка от тези точки З ке полюс от втори ред, тъй като в околността на точката З кфункция f(z)изглежда като f(z)= , където h(z)аналитичен в квартал

точки З кИ h(zk) f 0. Всички особени точки лежат вътре в окръжността z= 2. Изчисляването на остатъците във всички тези точки е много трудоемко. Но теорема 27.10 е приложима към тази функция, която дава

Следователно е достатъчно да намерите приспадането в точката zq = eo. Нека използваме формула (27.13). Тук

функция g(w)представим във формата = - 1 ^ ^. Където ч(ш) = --

У(1 + W б)

Тъй като здравей(ш)аналитично в съседство на точката wq = 0 и ч(0) Е 0, тогава остатъкът reso$ може лесно да се намери с помощта на формулата (27.6 /): reso# = h(0) = 1. От (27.2), (28.1) и (27.13) получаваме:

• 2. Изчисляване на интеграли от вида / R(cos ip,грях dp,Където Р-

рационална функция на cos R,грях Р.Такива интеграли възникват в редица приложения (например при решаване на проблеми с гранични стойности). Те се редуцират до интегралите, обсъдени в предишния параграф, като се използва промяната на променлива 2 = e g Тогава dz = e връх idp = zidp, където

(виж формули (12.2)). Когато се промени Рот 0 до 2tg точка r описва окръжност z= 1. Следователно, след преминаване към променлива 2, получаваме интеграла от единичната окръжност на функция, представена като съотношение на два полинома; такива функции се наричат рационални дробиили дробни рационални функции.

Пример 28.3. Изчислете интеграл

Решено и д. Извършвайки горните замествания, намираме, че този интеграл е равен на

Нека разложим на множители знаменателя и намерим корените на уравнението az 2 - (А 2 + )z + А= 0. Дискриминант

Следователно интегралната функция f(z)има две особени точки z - aи 22 = 1/a, всеки от които е полюс от първи ред. Тъй като по условие |a| Z лежи вътре в кръга z= 1, а G?извън него. По теорема 27.1

За изчисляване на остатъка в точка Z = аможете да използвате всяка от формулите (27.5), (27.6), (27.6"). Нека приложим например формула (27.6). Тук

3. Изчисляване на несобствени интеграли. Позволявам f(x)

функция, зададена на цялата ос ОХНека разгледаме изчислението на неподходящо

интеграли f f(x) dx,определени, както следва:

Интегралът, определен от равенството (28.2), се нарича неправилен интеграл в смисъл на главна стойност.Ако бъде предаден в (28.2)

съществува, тогава интегралът J f(x) dxНаречен конвергентен; ако предварително

значи няма дела разнопосочни.

Ако всеки от интегралите се събира

(т.е. съществуват и двете съответни граници), тогава неправилният интеграл в (28.2) също се събира и е равен на сумата от тези интеграли.

Но обратното не е вярно: от конвергенцията на интеграла / f(x)dxОт гледна точка на

основната стойност (т.е. от съществуването на границата в (28.2)) не следва

удари сходимост на интеграли / f(x)dxИ / f(x)dx.Например инте-

• -ооо

/ xdx

• --^ се сближава в смисъла на главната стойност и е равно на нула,
• 1 + Х*

тъй като

В същото време всеки от интегралите се разминава.

Изчисляване на много неправилни интеграли

(по смисъла на основното значение) се основава на следната теорема.

Теорема 28.4. Нека функцията f(x),x 6 (-oo, +os), отговаря на следните две условия:

• 1) функция f(z), получен чрез заместване на x с комплексна променлива z, има в комплексната равнинаСЪС само изолирани сингулярни точки, и никой от тях не лежи на оста OX;
• 2) Ако 7(I) - полукръг с радиус R с център в началото, лежащ в горната (или долната) полуравнина, Че

особено

След това интегралът. Jf(x)dxравно на сума от остатъците на функцията f(z)

във всякакви точки, лежащи в горната половина на равнината, умножено по 2/стр (съответстващо на сумата от остатъците в особени точки от долната полуравнина, умножена по -2 lg).

Доказателство. Нека първо разгледаме случая, когато полукръгът 7(R) лежи в горната полуравнина. Да вземем затворен контур Г, състоящ се от отсечка [-I, I] и полуокръжност 7(I), с обход обратно на часовниковата стрелка (фиг. 49). По теорема 27.1

където сумата се отнася за всички особени точки З к, лежащ вътре в контура G. Нека преминем към границата при R -> оо.Използвайки съотношения (28.2) и (28.3), получаваме търсеното равенство:

където сумата се взима по всички особени точки от горната полуравнина.

Ако полукръгът 7(H) лежи в долната полуравнина, тогава съответният контур Γ ще бъде пресечен по посока на часовниковата стрелка (тази посока възниква, защото сегментът [-H, H] във всеки случай трябва да се премине отляво надясно, т.е. посоката на увеличаване Х).Следователно към дясната страна на (28.4) ще бъде добавен знак минус. Теорема 28.4 е доказана.

Пример 28.5. Изчислете интеграл

Решение. В такъв случай f(z) = ^+ yy Нека проверим валидността на условието (28.3):

Където h(z) = --§- че.Тъй като лим h(z)= 1, тогава с достатъчна болка

високи стойности zще h(z)

Следователно.

(Тук f dz= tg Р- дължина на полукръг y(R)).Преминаване към преди 7(«)

разглеждан случай Р-> оо. получаваме (28.3). Следните оценки са валидни както за горния, така и за долния полукръг. Следователно можете да изберете всеки от тях като 7(L). Позволявам y(R) -горен полукръг. защото

Че f(z)има две особени точки z- 3g, зо= -Зг, които са полюси от втори ред. От тях само z= Zg. Намираме остатъка в тази точка, използвайки формула (27.7) с m = 2:

Обърнете внимание, че този интеграл може да се изчисли без да се прибягва до методи на комплексен анализ, а чрез намиране на първоизводната на интегранта. Но горното изчисление е много по-просто.

Разсъждението, което направихме в пример 28.5, за да проверим условие (28.3), се прилага без модификация за която и да е функция f(z),представим като съотношение на два полинома (т.е. рационална дроб), ако степента на полинома в знаменателя е две или повече единици по-голяма от степента на полинома в числителя. (В пример 28.5 степента на полинома в числителя е 2, а в знаменателя - 4.) Следващата теорема показва, че другият също отговаря на условие (28.3) важен класфункции, чиито интеграли възникват, например, в операционното смятане (виж глава VIII).

Теорема 28.6 (лема на Джордан). Нека функцията F(z) е аполитична в полуравнината lm z ^-А, с изключение на краен брой изолирани сингулярни точки, Илим F(z) = 0. Ако 7(R) - дъга

кръг z = 7?, полуравнина Ini 2^ - а, тогава

Ориз. 50

Доказателство. Нека първо разгледаме случая а > 0. Нека означим с М(7?) максимален модул F(z)на дъга 7(7?). От лира F(z) = 0, тогава

лим Г-Н) = 0.

Нека разделим 7(7?) на три части 7i (L), 72(7?) и 7з(T?) (фиг. 50): дъги 7 i(R)и 72(I) са оградени между права линия y = -aи ос OA", а 7з(Т?) е полуокръжност, лежаща в полуравнината Im z^ 0. Очевидно интегралът върху 7(7?) е равен на сумата от интегралите върху тези три дъги. Нека да оценим всеки от тях поотделно.

По точки z = x + iyще бъдат дъги 71 (7?) и 72 (7?). -y Следователно

Нека означим с /(7?) дължините, а с y?(7?) централните ъгли на дъгите 7i(T?) и 72(7?) (в радиани). Лесно се вижда (виж фиг. 50), че siny? =

откъде?>(7?) = arcsin -. Следователно /(7?) = Р

7?arcsin -. От тук получаваме

Така, в случай А> 0 теоремата е доказана. Ако А^ 0, след това дъга "y(R)лежи в полуравнина Аз съм z^0 и е част от дъга 73 (R);части 7i (R)и 7r(R) отсъстват в този случай. За 7 (R)разсъждението, проведено по-горе за 73(7?) е валидно и теорема 28.G е напълно доказана.

Значението на теорема 28.6 е следното. каква е функцията F(z)може да клони към нула произволно бавно (обърнете внимание, че в пример 28.5 намаляването на функцията f(z)при z-? oo беше достатъчно бързо като |z|“ 2). Но умножавайки по e ltzосигурява тенденцията на интеграла върху 7 (R)до нула.

Коментирайте. За случая T z = /?, лежаща в полуравнината Im z ^ -А(показано с пунктирана линия на фиг. 50). Доказателството в този случай е подобно на даденото по-горе за t> 0. В случай T- 0 Теорема 28.6 е неправилна.

Пример 28.7. Оценете интегралите

По този начин реалните и имагинерните части на функцията f(x)и са функциите, чиито интеграли трябва да бъдат намерени. Ето защо

са тези функции, чиито интеграли трябва да бъдат намерени. Ето защо

/ X€*^ x

• --- dxи вземете от него действия + 9

реални и имагинерни части, тогава получаваме необходимите количества.

функция F(z) = .D удовлетворява условията на теорема 28.6: it z"f 9

има само две особени точки z> = ±3t и lim -- = 0. Ec-

z->oО Z z + 9

е 7(/?) дъга от окръжност z = R,разположен в полуравнината Im z> 0. тогава съгласно tcodcmc 28.6

(взехме при (28.5) T= 2). Това означава, че можем да приложим теорема 28.4,

според който интегралът / --- dxравна на сумата от приспаданията на функцията

J x z 4- 9

ции f(z) = --- в особени точки от горната полуравнина 1 t z > zаз Дж

О, умножено по 2т.В полуравнината Им z > 0лъже единственият

Z e i2z

сингулярна точка З= 3g функция f(z).защото f(z) = ------,

(z - oi)(z+ Zg)

Че z= Zg - полюс от първи ред. Остатъците в този момент могат да бъдат намерени от всеки от sboomul (27.,"V. (27.6L (27.63. Ppimenim (27.63. Zles)

Реалните и въображаемите части на полученото число ще бъдат търсените единици и I интеграли и:

(Забележете, че равенството на нула на първия от тези интеграли директно следва от факта, че той е интеграл на нечетна функция върху интервал, симетричен спрямо началото.)