Definicija matrice kvadratnog oblika. Kvadratni oblici

Kvadratni oblici.
Znak određenosti oblika. Silvesterov kriterijum

Pridjev “kvadratičan” odmah sugerira da je ovdje nešto povezano s kvadratom (drugi stepen), a vrlo brzo ćemo saznati to “nešto” i kakav je oblik. Ispostavilo se da je to bila zverkalica :)

Dobrodošli u moju novu lekciju, a kao trenutno zagrijavanje pogledat ćemo prugasti oblik linearno. Linearni oblik varijable pozvao homogena polinom 1. stepena:

- neke konkretni brojevi* (pretpostavljamo da je barem jedan od njih različit od nule), a su varijable koje mogu uzeti proizvoljne vrijednosti.

* U okviru ove teme samo ćemo razmotriti realni brojevi .

Već smo se susreli sa terminom „homogeno“ u lekciji o homogeni sistemi linearnih jednačina, a u ovom slučaju to implicira da polinom nema plus konstantu.

na primjer: – linearni oblik dvije varijable

Sada je oblik kvadratan. Kvadratni oblik varijable pozvao homogena polinom 2. stepena, čiji svaki termin sadrži ili kvadrat varijable ili dubl proizvod varijabli. Tako, na primjer, kvadratni oblik dvije varijable ima sljedeći oblik:

Pažnja! Ovo je standardni unos i nema potrebe ništa mijenjati u vezi s tim! Unatoč „zastrašujućem“ izgledu, ovdje je sve jednostavno - dvostruki indeksi konstanti signaliziraju koje su varijable uključene u koji termin:
– ovaj izraz sadrži proizvod i (kvadrat);
- evo posla;
- i evo posla.

– Odmah predvidim grubu grešku kada izgube „minus“ koeficijenta, ne shvatajući da se to odnosi na pojam:

Ponekad postoji „školska“ opcija dizajna u duhu, ali samo ponekad. Usput, imajte na umu da nam konstante ovdje uopće ništa ne govore, pa je stoga teže zapamtiti "laku notaciju". Pogotovo kada ima više varijabli.

I kvadratno oblik od tri varijable već sadrži šest članova:

...zašto su “dva” faktora stavljena u “mješovite” pojmove? Ovo je zgodno i uskoro će biti jasno zašto.

Međutim opšta formula Hajde da to zapišemo, zgodno je urediti ga kao "list":

– pažljivo proučavamo svaki red – u tome nema ništa loše!

Kvadratni oblik sadrži članove sa kvadratima varijabli i članove sa njihovim uparenim produktima (cm. kombinatorna kombinacija formule) . Ništa više - nema „usamljenog X“ i dodane konstante (onda ćete dobiti ne kvadratni oblik, već heterogena polinom 2. stepena).

Matrična notacija kvadratnog oblika

Ovisno o vrijednostima, dotični oblik može poprimiti i pozitivan i negativne vrijednosti, a isto vrijedi i za bilo koji linearni oblik - ako je barem jedan njegov koeficijent različit od nule, onda može biti pozitivan ili negativan (ovisno o vrijednostima).

Ovaj oblik se zove naizmjenični znak. A ako je sve transparentno s linearnim oblikom, onda su s kvadratnim oblikom stvari mnogo zanimljivije:

Apsolutno je jasno da ovaj oblik može poprimiti značenje bilo kojeg znaka, dakle kvadratni oblik također može biti naizmjeničan.

Ili možda ne:

– uvijek, osim ako je istovremeno jednako nuli.

– za bilo koga vektor osim nule.

I općenito, ako za bilo koga ne-nula vektor , , tada se kvadratni oblik naziva pozitivno definitivno; ako je tako onda negativno određeno.

I sve bi bilo u redu, ali određenost kvadratnog oblika je vidljiva samo u jednostavni primjeri, a ova vidljivost se gubi čak i uz malu komplikaciju:
– ?

Moglo bi se pretpostaviti da je oblik pozitivno određen, ali da li je to zaista tako? Odjednom postoje vrijednosti na kojima je manje od nule?

Postoji a teorema: ako SVE sopstvene vrijednosti matrice kvadratnog oblika su pozitivne * , onda je pozitivno određen. Ako su svi negativni, onda negativni.

* U teoriji je dokazano da su sve vlastite vrijednosti realne simetrične matrice validan

Napišimo matricu gornjeg oblika:
i iz jednadžbe. hajde da je nađemo sopstvene vrijednosti:

Hajde da rešimo dobro staro kvadratna jednačina:

, što znači oblik se definiše pozitivno, tj. za bilo koje vrijednosti različite od nule to je veće od nule.

Čini se da razmatrana metoda funkcionira, ali postoji jedno veliko ALI. Već za matricu tri po tri, traženje odgovarajućih brojeva je dug i neprijatan zadatak; sa velikom vjerovatnoćom ćete dobiti polinom 3. stepena sa iracionalnim korijenima.

Šta da radim? Postoji lakši način!

Silvesterov kriterijum

Ne, ne Sylvester Stallone :) Prvo da vas podsjetim šta je to korner maloletnici matrice. Ovo kvalifikacije koji "rastu" iz svog gornjeg lijevog ugla:

a posljednja je tačno jednaka determinanti matrice.

Sada, zapravo, kriterijum:

1) Definiran je kvadratni oblik pozitivno ako i samo ako su SVI njegovi ugaoni minori veći od nule: .

2) Definiran je kvadratni oblik negativan ako i samo ako se njegovi ugaoni minori smenjuju u znaku, pri čemu je 1. minor manji od nule: , , ako je – paran ili , ako je – neparan.

Ako je barem jedan ugaoni minor suprotnog predznaka, tada je oblik naizmjenični znak. Ako su ugaoni minori predznaka „onaj“, ali među njima nema nula, onda je ovo poseban slučaj, koji ću pogledati malo kasnije, nakon što kliknemo na uobičajenije primjere.

Analizirajmo ugaone minore matrice :

I to nam odmah govori da forma nije negativno definirana.

Zaključak: svi manji uglovi su veći od nule, što znači oblik definiše se pozitivno.

Postoji li razlika s metodom vlastitih vrijednosti? ;)

Hajde da napišemo matricu oblika iz Primjer 1:

prvi je njegov ugaoni minor, a drugi , iz čega proizlazi da je oblik naizmjenično u znaku, tj. ovisno o vrijednostima, može imati i pozitivne i negativne vrijednosti. Međutim, to je već očigledno.

Uzmimo formu i njenu matricu iz Primjer 2:

Ne postoji način da se ovo shvati bez uvida. Ali sa Sylvesterovim kriterijumom nas nije briga:
, dakle, forma definitivno nije negativna.

, i definitivno nije pozitivan (pošto svi ugaoni minori moraju biti pozitivni).

Zaključak: oblik se mijenja.

Primjeri za zagrijavanje za nezavisna odluka:

Primjer 4

Istražite kvadratne forme za definitivnost znaka

A)

U ovim primjerima sve je glatko (pogledajte kraj lekcije), ali u stvari, da se izvrši takav zadatak Silvesterov kriterijum možda neće biti dovoljan.

Poenta je da postoje „rubni“ slučajevi, odnosno: ako postoji ne-nula vektor, tada se određuje oblik nenegativan, ako – onda negativan. Ovi oblici imaju ne-nula vektori za koje .

Ovdje možete citirati sljedeću "harmoniku":

Isticanje savršen kvadrat, vidimo odmah nenegativnost oblik: , i jednak je nuli za bilo koji vektor sa jednakim koordinatama, na primjer: .

Primjer "ogledala". negativan određeni oblik:

i još trivijalniji primjer:
– ovdje je oblik jednak nuli za bilo koji vektor , gdje je proizvoljan broj.

Kako prepoznati ne-negativne ili nepozitivne forme?

Za ovo nam je potreban koncept glavni maloljetnici matrice. Dur minor je mol sastavljen od elemenata koji stoje na sjecištu redova i kolona s istim brojevima. Dakle, matrica ima dva glavna minora 1. reda:
(element se nalazi na raskrsnici 1. reda i 1. kolone);
(element je na raskrsnici 2. reda i 2. kolone),

i jedan glavni mol 2. reda:
– sastavljena od elemenata 1., 2. reda i 1., 2. kolone.

Matrica je "tri sa tri" Postoji sedam glavnih minora, a ovdje ćete morati savijati bicepse:
– tri maloletna lica I reda,
tri minora 2. reda:
– sastavljena od elemenata 1., 2. reda i 1., 2. kolone;
– sastavljena od elemenata 1., 3. reda i 1., 3. kolone;
– sastavljena od elemenata 2., 3. reda i 2., 3. kolone,
i jedan mol 3. reda:
– sastavljena od elemenata 1., 2., 3. reda i 1., 2. i 3. kolone.
Vježbajte za razumijevanje: zapišite sve glavne sporedne vrijednosti matrice .
Provjeravamo na kraju lekcije i nastavljamo.

Švarcenegerov kriterijum:

1) Definisan kvadratni oblik koji nije nula* nenegativan ako i samo ako SVI njegovi glavni maloljetnici nenegativan(veće ili jednako nuli).

* Nulti (degenerisani) kvadratni oblik ima sve koeficijente jednake nuli.

2) Definisana je kvadratna forma koja nije nula sa matricom negativan ako i samo ako:
– glavni maloljetnici 1. reda nepozitivna(manje ili jednako nuli);
– glavni maloljetnici 2. reda nenegativan;
– glavni maloljetnici 3. reda nepozitivna(počela naizmjena);
…
– dur mol . reda nepozitivna, ako – neparan ili nenegativan, ako – čak.

Ako je barem jedan maloljetnik suprotnog predznaka, tada je oblik predznak naizmjeničan.

Pogledajmo kako funkcionira kriterij u gornjim primjerima:

Kreirajmo matricu oblika i prije svega Izračunajmo ugaone minore - što ako je definiran pozitivno ili negativno?

Dobijene vrijednosti ne zadovoljavaju Sylvesterov kriterij, već drugi minor nije negativan, a zbog toga je potrebno provjeriti 2. kriterij (u slučaju 2. kriterijuma neće biti automatski ispunjen, tj. odmah se donosi zaključak o promeni znaka forme).

Glavni minori 1. reda:
– pozitivno,
dur-mol 2. reda:
– nije negativan.

Dakle, SVI glavni minori nisu negativni, što znači i oblik nenegativan.

Napišimo matricu oblika , za koji Sylvesterov kriterij očito nije zadovoljen. Ali također nismo dobili suprotne predznake (pošto su oba ugaona minora jednaka nuli). Stoga provjeravamo ispunjenost kriterija nenegativnosti/nepozitivnosti. Glavni minori 1. reda:
– nije pozitivno,
dur-mol 2. reda:
– nije negativan.

Dakle, prema Schwarzeneggerovom kriteriju (tačka 2), forma nije pozitivno definirana.

Sada pogledajmo izbliza zanimljiviji problem:

Primjer 5

Ispitajte kvadratnu formu za definitivnost znaka

Ovaj obrazac je ukrašen redoslijedom “alfa”, koji može biti jednak bilo kojem realnom broju. Ali biće samo zabavnije mi odlučujemo.

Prvo, zapišimo matricu obrasca mnogi su se vjerovatno već navikli da to rade usmeno: on glavna dijagonala Stavljamo koeficijente za kvadrate, a na simetrična mjesta stavljamo polovinu koeficijenata odgovarajućih „mješovitih“ proizvoda:

Izračunajmo ugaone minore:

Proširiću treću odrednicu na 3. red:

Homogeni polinom stepena 2 u nekoliko varijabli naziva se kvadratni oblik.

Kvadratni oblik varijabli sastoji se od dva tipa pojmova: kvadrata varijabli i njihovih parnih proizvoda sa određenim koeficijentima. Kvadratni oblik se obično piše kao sljedeći kvadratni dijagram:

Parovi sličnih članova zapisuju se sa jednakim koeficijentima, tako da svaki od njih čini polovinu koeficijenta odgovarajućeg proizvoda varijabli. Dakle, svaki kvadratni oblik je prirodno povezan sa svojom matricom koeficijenata, koja je simetrična.

Kvadratnu formu pogodno je predstaviti u sljedećoj matričnoj notaciji. Označimo sa X stupac varijabli kroz X - red, tj. matrica transponovana sa X. Tada

Kvadratni oblici se nalaze u mnogim granama matematike i njenim primjenama.

U teoriji brojeva i kristalografiji, kvadratni oblici se razmatraju pod pretpostavkom da varijable imaju samo cjelobrojne vrijednosti. U analitičkoj geometriji, kvadratni oblik je dio jednadžbe krive (ili površine) reda. U mehanici i fizici, čini se da kvadratni oblik izražava kinetička energija sistema kroz komponente generalizovanih brzina itd. Ali, osim toga, proučavanje kvadratnih oblika je neophodno i u analizi kada se proučavaju funkcije mnogih varijabli, u pitanjima za čije je rešavanje važno saznati kako je data funkcija u blizina date tačke odstupa od njene aproksimacije linearna funkcija. Primjer problema ovog tipa je proučavanje funkcije za njen maksimum i minimum.

Razmotrimo, na primjer, problem proučavanja maksimuma i minimuma za funkciju dvije varijable koja ima kontinuirane parcijalne izvode do reda. Neophodan uslov Da bi tačka dala maksimum ili minimum funkcije, parcijalni derivati ​​reda u tački su jednaki nuli. Zadajmo varijablama x i y male priraštaje i k i razmotrimo odgovarajući prirast funkcije Prema Taylorovoj formuli, ovaj prirast, do malih viših redova, jednak je kvadratnom obliku gdje su vrijednosti drugih izvoda. izračunato u tački Ako je ovaj kvadratni oblik pozitivan za sve vrijednosti i k (osim ), tada funkcija ima minimum u tački ako je negativna, onda ima maksimum. Konačno, ako obrazac ima i pozitivne i negativne vrijednosti, tada neće postojati maksimum ili minimum. Funkcije od više varijable.

Proučavanje kvadratnih oblika uglavnom se sastoji od proučavanja problema ekvivalencije oblika u odnosu na jedan ili drugi skup linearnih transformacija varijabli. Za dva kvadratna oblika se kaže da su ekvivalentna ako se jedan od njih može pretvoriti u drugi jednom od transformacija datog skupa. Usko vezan za problem ekvivalencije je problem redukcije forme, tj. transformišući ga u neki moguće najjednostavniji oblik.

IN razna pitanja povezane s kvadratnim oblicima, razmatraju se i različiti skupovi prihvatljivih transformacija varijabli.

U pitanjima analize koriste se sve nespecijalne transformacije varijabli; za potrebe analitičke geometrije od najvećeg su interesa ortogonalne transformacije, odnosno one koje odgovaraju prelazu iz jednog sistema varijabli Kartezijanske koordinate drugome. Konačno, u teoriji brojeva i kristalografiji razmatraju se linearne transformacije sa cjelobrojnim koeficijentima i s determinantom jednakom jedinici.

Razmotrit ćemo dva od ovih problema: pitanje redukcije kvadratnog oblika na njegov najjednostavniji oblik kroz bilo koje nesingularne transformacije i isto pitanje za ortogonalne transformacije. Prije svega, hajde da saznamo kako se matrica kvadratne forme transformira tijekom linearne transformacije varijabli.

Neka je , gdje je A simetrična matrica koeficijenata oblika, X je stupac varijabli.

Napravimo linearnu transformaciju varijabli, pišući je skraćeno kao . Ovdje C označava matricu koeficijenata ove transformacije, X je stupac novih varijabli. Tada i stoga je matrica transformiranog kvadratnog oblika

Matrica se automatski ispostavi da je simetrična, što je lako provjeriti. Dakle, problem svođenja kvadratnog oblika na najjednostavniji oblik je ekvivalentan problemu svođenja simetrične matrice na najjednostavniji oblik množenjem s lijeve i desne strane međusobno transponovanim matricama.

Pravila za unos funkcija:

Dvaput kontinuirano diferencibilna funkcija f(x) je konveksna (konkavna) ako i samo ako Hessian matrica funkcija f(x) u odnosu na x je pozitivna (negativna) poludefinirana za sve x (vidi točke lokalnih ekstrema funkcije nekoliko varijabli).

Funkcionalne kritične tačke:

• ako je Hessian pozitivno određen, tada je x 0 lokalna minimalna točka funkcije f(x),
• ako je Hessian negativno određen, tada je x 0 lokalna tačka maksimuma funkcije f(x),
• ako Hessian nije predznakom određen (uzima i pozitivne i negativne vrijednosti) i nije degenerisan (det G(f) ≠ 0), tada je x 0 sedlo funkcije f(x).

Kriterijumi za određenost matrice (Sylvesterov teorem)

• svi dijagonalni elementi matrice moraju biti pozitivni;
• svi vodeći glavni kvalifikaciji moraju biti pozitivni.

Pozitivna poluodređenost:

• svi dijagonalni elementi su nenegativni;
• sve glavne determinante su nenegativne.

Kvadratna simetrična matrica reda n, čiji su elementi parcijalni derivati ​​ciljne funkcije drugog reda, nazvana Hessian matrica i označava se:

Da bi simetrična matrica bila pozitivno određena, potrebno je i dovoljno da svi njeni dijagonalni minori budu pozitivni, tj.


za matricu A = (a ij) su pozitivne.

Negativna sigurnost.
Da bi simetrična matrica bila negativno definitivna, potrebno je i dovoljno da postoje sljedeće nejednakosti:
(-1) k D k > 0, k=1,.., n.
Drugim riječima, da bi kvadratni oblik bio negativno određeno, potrebno je i dovoljno da se predznaci ugaonih minora matrice kvadratnog oblika smenjuju, počevši od znaka minus. Na primjer, za dvije varijable, D 1< 0, D 2 > 0.

Ako je Hessian poluodređen, onda ovo može biti i tačka pregiba. Potrebna su dodatna istraživanja koja se mogu provesti pomoću jedne od sljedećih opcija:

1. Redoslijed opadanja. Izvršena je promjena varijabli. Na primjer, za funkciju dvije varijable to je y=x, kao rezultat dobijamo funkciju jedne varijable x. Zatim, ispitujemo ponašanje funkcije na linijama y=x i y=-x. Ako će u prvom slučaju funkcija u tački koja se proučava imati minimum, a u drugom slučaju maksimum (ili obrnuto), tada je tačka koja se proučava sedla.
2. Pronalaženje vlastitih vrijednosti Hessiana. Ako su sve vrijednosti pozitivne, funkcija u tački koja se proučava ima minimum ako su sve vrijednosti negativne, postoji maksimum.
3. Proučavanje funkcije f(x) u okolini tačke ε. Varijable x se zamjenjuju sa x 0 +ε. Zatim je potrebno dokazati da je funkcija f(x 0 +ε) jedne varijable ε ili veća od nule (tada je x 0 minimalna tačka) ili manja od nule (tada je x 0 maksimalna tačka).

Napomena. Da nađem inverzni Hessian dovoljno je pronaći inverznu matricu.

Primjer br. 1. Koje od sljedećih funkcija su konveksne ili konkavne: f(x) = 8x 1 2 +4x 1 x 2 +5x 2 2 .
Rješenje. 1. Nađimo parcijalne izvode.


2. Rešimo sistem jednačina.
-4x 1 +4x 2 +2 = 0
4x 1 -6x 2 +6 = 0
dobijamo:
a) Iz prve jednačine izražavamo x 1 i zamjenjujemo ga u drugu jednačinu:
x 2 = x 2 + 1/2
-2x 2 +8 = 0
Gdje je x 2 = 4
Zamjenjujemo ove vrijednosti x 2 u izraz za x 1. Dobijamo: x 1 = 9 / 2
Broj kritičnih tačaka je 1.
M 1 (9 / 2 ;4)
3. Nađimo parcijalne izvode drugog reda.



4. Izračunajmo vrijednost ovih parcijalnih izvoda drugog reda u kritičnim tačkama M(x 0 ;y 0).
Izračunavamo vrijednosti za tačku M 1 (9/2 ;4)



Gradimo Hessian matricu:

D 1 = a 11< 0, D 2 = 8 > 0
Pošto dijagonalni minori imaju različite predznake, ništa se ne može reći o konveksnosti ili konkavnosti funkcije.

Kvadratni oblici

Kvadratni oblik f(x 1, x 2,...,x n) od n varijabli je zbir, čiji je svaki član ili kvadrat jedne od varijabli, ili proizvod dvije različite varijable, uzete sa određenim koeficijentom: f (x 1, x 2, ...,x n) = (a ij = a ji).

Matrica A sastavljena od ovih koeficijenata naziva se matrica kvadratnog oblika. Uvek je tako simetrično matrica (tj. matrica simetrična oko glavne dijagonale, a ij = a ji).

U matričnom zapisu, kvadratni oblik je f(X) = X T AX, gdje je

Zaista

Na primjer, zapišimo kvadratni oblik u matričnom obliku.

Da bismo to učinili, nalazimo matricu kvadratnog oblika. Njegovi dijagonalni elementi jednaki su koeficijentima varijabli na kvadrat, a preostali elementi jednaki su polovinama odgovarajućih koeficijenata kvadratnog oblika. Zato

Neka se matrica-stupac varijabli X dobije nedegeneriranom linearnom transformacijom matrice-kolone Y, tj. X = CY, gdje je C nesingularna matrica n-tog reda. Zatim kvadratni oblik
f(X) = X T AX = (CY) T A(CY) = (Y T C T)A(CY) = Y T (C T AC)Y.

Dakle, s nedegeneriranom linearnom transformacijom C, matrica kvadratnog oblika ima oblik: A * = C T AC.

Na primjer, pronađimo kvadratni oblik f(y 1, y 2), dobijen iz kvadratnog oblika f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 linearnom transformacijom.

Kvadratni oblik se zove kanonski(ima kanonski pogled), ako su svi njegovi koeficijenti a ij = 0 za i ≠ j, tj.
f(x 1, x 2,...,x n) = a 11 x 1 2 + a 22 x 2 2 + … + a nn x n 2 = .

Njegova matrica je dijagonalna.

Teorema(dokaz nije dat ovdje). Bilo koji kvadratni oblik može se svesti na kanonski oblik korištenjem nedegenerirane linearne transformacije.

Na primjer, smanjimo kvadratni oblik na kanonski oblik
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3.

Da biste to učinili, prvo odaberite cijeli kvadrat s promjenljivom x 1:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 2 + 2x 1 x 2 + x 2 2) - 2x 2 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = 2(x 1 + x 2) 2 - 5x 2 2 – x 2 x 3.

Sada biramo ceo kvadrat sa promenljivom x 2:

f(x 1, x 2, x 3) = 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 2 – 2* x 2 *(1/10)x 3 + (1/100)x 3 2) - (5/100)x 3 2 =
= 2(x 1 + x 2) 2 – 5(x 2 – (1/10)x 3) 2 - (1/20)x 3 2.

Tada nedegenerirana linearna transformacija y 1 = x 1 + x 2, y 2 = x 2 – (1/10) x 3 i y 3 = x 3 dovodi ovaj kvadratni oblik u kanonski oblik f(y 1, y 2 , y 3) = 2y 1 2 - 5y 2 2 - (1/20)y 3 2 .

Imajte na umu da je kanonski oblik kvadratnog oblika određen dvosmisleno (isti kvadratni oblik se može svesti na kanonski oblik na različite načine). Međutim, primljeno na razne načine kanonski oblici imaju niz opšta svojstva. Konkretno, broj članova s ​​pozitivnim (negativnim) koeficijentima kvadratnog oblika ne ovisi o načinu svođenja forme na ovaj oblik (na primjer, u razmatranom primjeru uvijek će postojati dva negativna i jedan pozitivan koeficijent). Ovo svojstvo se zove zakon inercije kvadratnih oblika.

Provjerimo ovo dovođenjem istog kvadratnog oblika u kanonski oblik na drugačiji način. Započnimo transformaciju s varijablom x 2:
f(x 1, x 2, x 3) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2 – x 2 x 3 = -3x 2 2 – x 2 x 3 + 4x 1 x 2 + 2x 1 2 = - 3(x 2 2 –
- 2* x 2 ((1/6) x 3 + (2/3)x 1) +((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2) – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 =
= -3(x 2 – (1/6) x 3 - (2/3)x 1) 2 – 3((1/6) x 3 + (2/3)x 1) 2 + 2x 1 2 = f (y 1 , y 2 , y 3) = -3y 1 2 -
-3y 2 2 + 2y 3 2, gdje je y 1 = - (2/3)x 1 + x 2 – (1/6) x 3, y 2 = (2/3)x 1 + (1/6) x 3 i y 3 = x 1 . Ovdje postoji pozitivan koeficijent 2 na y 3 i dva negativna koeficijenta (-3) na y 1 i y 2 (a drugom metodom dobili smo pozitivan koeficijent 2 na y 1 i dva negativna koeficijenta - (-5) na y 2 i (-1 /20) na y 3).

Također treba napomenuti da je rang matrice kvadratnog oblika, tzv rang kvadratnog oblika, jednak je broju nenultih koeficijenata kanonskog oblika i ne mijenja se pod linearnim transformacijama.

Kvadratni oblik f(X) se zove pozitivno (negativan) siguran, ako je za sve vrijednosti varijabli koje nisu istovremeno jednake nuli, ono je pozitivno, tj. f(X) > 0 (negativno, tj.
f(X)< 0).

Na primjer, kvadratni oblik f 1 (X) = x 1 2 + x 2 2 je pozitivno određen, jer je zbir kvadrata, a kvadratni oblik f 2 (X) = -x 1 2 + 2x 1 x 2 - x 2 2 je negativno određen, jer predstavlja može se predstaviti kao f 2 (X) = -(x 1 - x 2) 2.

U većini praktičnih situacija je nešto teže utvrditi definitivni predznak kvadratnog oblika, pa za to koristimo jednu od sljedećih teorema (formulisaćemo ih bez dokaza).

Teorema. Kvadratni oblik je pozitivno (negativno) određen ako i samo ako je sve sopstvene vrijednosti njegove matrice su pozitivne (negativne).

Teorema (Sylvesterov kriterij). Kvadratni oblik je pozitivno određen ako i samo ako su svi vodeći minori matrice ovog oblika pozitivni.

Glavni (ugaoni) mol Matrica k-tog reda A n-tog reda naziva se determinanta matrice, sastavljena od prvih k redova i stupaca matrice A ().

Imajte na umu da se za negativno određene kvadratne forme predznaci glavnih minora izmjenjuju, a minor prvog reda mora biti negativan.

Na primjer, hajde da ispitamo kvadratni oblik f(x 1, x 2) = 2x 1 2 + 4x 1 x 2 + 3x 2 2 radi definicije predznaka.

= (2 - l)*
*(3 - l) – 4 = (6 - 2l - 3l + l 2) – 4 = l 2 - 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Stoga je kvadratni oblik pozitivno određen.

Metoda 2. Glavni minor prvog reda matrice A D 1 = a 11 = 2 > 0. Glavni minor drugog reda D 2 = = 6 – 4 = 2 > 0. Dakle, prema Sylvesterovom kriteriju, kvadratni oblik je pozitivno definitivno.

Ispitujemo još jedan kvadratni oblik za definitivnost znaka, f(x 1, x 2) = -2x 1 2 + 4x 1 x 2 - 3x 2 2.

Metoda 1. Konstruirajmo matricu kvadratnog oblika A = . Karakteristična jednačina će imati oblik = (-2 - l)*
*(-3 - l) – 4 = (6 + 2l + 3l + l 2) – 4 = l 2 + 5l + 2 = 0; D = 25 – 8 = 17;
. Stoga je kvadratni oblik negativno određen.