Primjeri figura sa aksijalnom i centralnom simetrijom. Prezentacija Vrste simetrije

Aksijalna simetrija i koncept savršenstva

Aksijalna simetrija je svojstvena svim oblicima u prirodi i jedan je od temeljnih principa ljepote. Čovek je od davnina pokušavao

shvati značenje savršenstva. Ovaj koncept su prvi potkrijepili umjetnici, filozofi i matematičari Ancient Greece. I samu riječ "simetrija" skovali su oni. Označava proporcionalnost, harmoniju i identitet dijelova cjeline. Drevni grčki mislilac Platon je tvrdio da samo predmet koji je simetričan i proporcionalan može biti lijep. I zaista, one pojave i forme koje imaju proporcionalnost i potpunost su „ugodne za oko“. Mi ih zovemo ispravnim.

Aksijalna simetrija kao koncept

Simetrija u svijetu živih bića očituje se u pravilnom rasporedu identičnih dijelova tijela u odnosu na centar ili osu. Češće u

priroda je aksijalno simetrična. Uzrokuje ne samo opšta struktura organizma, ali i mogućnost njegovog kasnijeg razvoja. geometrijski oblici a proporcije živih bića formirane su "aksijalnom simetrijom". Njegova definicija je formulirana na sljedeći način: to je svojstvo objekata koji se mogu kombinirati pod različitim transformacijama. Stari su vjerovali da sfera posjeduje princip simetrije u najvećoj mjeri. Smatrali su ovaj oblik harmoničnim i savršenim.

Aksijalna simetrija u divljini

Ako pogledate bilo koje stvorenje, simetrija strukture tijela odmah upada u oči. Čovjek: dvije ruke, dvije noge, dva oka, dva uha i tako dalje. Svaka vrsta životinje ima karakterističnu boju. Ako se u bojanju pojavi uzorak, tada se, u pravilu, zrcali s obje strane. To znači da postoji linija duž koje se životinje i ljudi mogu vizualno podijeliti na dvije identične polovine, odnosno njihova geometrijska struktura temelji se na aksijalnoj simetriji. Priroda stvara bilo koji živi organizam ne haotično i besmisleno, već prema općim zakonima svjetskog poretka, jer ništa u Univerzumu nema čisto estetsku, dekorativnu svrhu. Dostupnost razne forme takođe zbog prirodne nužde.

Aksijalna simetrija u nežive prirode

U svijetu smo svuda okruženi pojavama i objektima kao što su: tajfun, duga, kap, lišće, cvijeće itd. Njihova zrcalna, radijalna, centralna, aksijalna simetrija je očigledna. U velikoj mjeri, to je zbog fenomena gravitacije. Često se koncept simetrije shvata kao pravilnost promjene bilo koje pojave: dan i noć, zima, proljeće, ljeto i jesen itd. U praksi, ovo svojstvo postoji svuda gde postoji red. I sami zakoni prirode - biološki, hemijski, genetski, astronomski - podležu principima simetrije koji su zajednički svima nama, budući da imaju zavidnu doslednost. Dakle, ravnoteža, identitet kao princip ima univerzalni domet. Aksijalna simetrija u prirodi jedan je od "kamen temeljaca" zakona na kojima se temelji svemir kao cjelina.

"SIMETRIJA - SIMBOL LJEPOTE, HARMONIJE I SAVRŠENSTVA"

OD simetrija(starogrčki - "proporcionalnost") - pravilan raspored sličnih (identičnih) dijelova tijela ili oblika živog organizma, ukupnost živih organizama u odnosu na centar ili os simetrije. To implicira da je proporcionalnost dio harmonije, ispravna kombinacija dijelova cjeline.

G armony - grčka riječ, koji označava "dosljednost, proporcionalnost, jedinstvo dijelova i cjeline." Izvana, harmonija se može manifestirati u melodiji, ritmu, simetriji i proporcijama. U svemu vlada zakon harmonije, I sve na svijetu je ritam, akord i ton. J. Dryden

OD savršenstvo - najviši stepen, granica bilo koje pozitivne kvalitete, sposobnosti ili vještine.

„Sloboda je glavni unutrašnji znak svakog bića, stvorenog na sliku i priliku Božju; u ovom znaku leži apsolutno savršenstvo plana stvaranja.” N. A. Berdjajev Simetrija je temeljni princip strukture svijeta.

Simetrija je uobičajena pojava, služi njena univerzalnost efikasan metod poznavanje prirode. Za održavanje stabilnosti potrebna je simetrija u prirodi. Unutar vanjske simetrije leži unutrašnja simetrija konstrukcije, koja garantuje ravnotežu.

Simetrija je manifestacija želje materije za pouzdanošću i snagom.

Simetrični oblici obezbeđuju ponovljivost uspešnih formi, stoga su otporniji na različite uticaje. Simetrija je višestruka.

U prirodi, a posebno u živoj prirodi, simetrija nije apsolutna i uvijek sadrži određeni stepen asimetrije. Asimetrija - (grčki α- - "bez" i "simetrija") - nedostatak simetrije.

Simetrija u prirodi

Simetrija, kao i proporcija, bila je poštovana neophodno stanje harmonije i lepote.

Gledajući izbliza prirodu, možete vidjeti zajedničko čak iu najbeznačajnijim stvarima i detaljima, pronaći manifestacije simetrije. Oblik lista drveta nije slučajan: on je strogo pravilan. List je, takoreći, zalijepljen iz dvije manje-više identične polovine, od kojih je jedna zrcaljena u odnosu na drugu. Simetrija lista se uporno ponavlja, bilo da je u pitanju gusjenica, leptir, buba itd.

Postoji vrlo složena višeslojna klasifikacija tipova simetrije. Ovdje nećemo razmatrati ove poteškoće klasifikacije, zabilježit ćemo samo osnovne odredbe i podsjetiti se na najjednostavnije primjere.

Zapravo vrhunski nivo Postoje tri vrste simetrije: strukturna, dinamička i geometrijska. Svaka od ovih vrsta simetrije na sljedećem nivou dijeli se na klasičnu i neklasičnu.

Ispod su sljedeći hijerarhijski nivoi. Grafička slika svi nivoi subordinacije daje razgranati dendrogram.

U svakodnevnom životu najčešće se susrećemo sa takozvanom zrcalnom simetrijom. Ovo je struktura objekata kada se mogu podijeliti na desnu i lijevu ili gornju i donju polovicu zamišljenom osom, koja se naziva osa zrcalne simetrije. U ovom slučaju, polovice koje se nalaze na suprotnim stranama osi su identične jedna drugoj.

Refleksija u ravni simetrije. Refleksija je najpoznatija i najčešće prisutna vrsta simetrije u prirodi. Ogledalo reprodukuje tačno ono što "vidi", ali redosled razmatranja je obrnut: desna ruka vaš dvojnik će zapravo završiti na lijevoj strani, pošto su prsti na njemu obrnutim redoslijedom. Zrcalna simetrija se može naći posvuda: u listovima i cvjetovima biljaka. Štaviše, zrcalna simetrija je svojstvena tijelima gotovo svih živih bića, a takva podudarnost nikako nije slučajna. Zrcalna simetrija ima sve što se može podijeliti na dvije zrcalno jednake polovine. Svaka od polovica služi kao zrcalna slika druge, a ravan koja ih razdvaja naziva se ravan zrcalne refleksije ili jednostavno zrcalna ravan.

rotaciona simetrija. Izgled uzorka se neće promijeniti ako se rotira za neki ugao oko ose. Simetrija koja nastaje u ovom slučaju naziva se rotaciona simetrija. Listovi i cvjetovi mnogih biljaka pokazuju radijalnu simetriju. To je takva simetrija u kojoj list ili cvijet, okrećući se oko ose simetrije, prelazi u sebe. Na poprečnim presjecima tkiva koji čine korijen ili stabljiku biljke, radijalna simetrija je jasno vidljiva. Cvatovi mnogih cvjetova također imaju radijalnu simetriju.

Cvijeće, gljive, drveće imaju simetriju radijalnog snopa. Ovdje se može primijetiti da su na nečupanim cvjetovima i gljivama, drveću koje raste, ravni simetrije uvijek orijentirane okomito. Određujući prostornu organizaciju živih organizama, pravi ugao organizuje život silama gravitacije. Biosfera (sloj bića živih bića) je ortogonalna na vertikalnu liniju Zemljine gravitacije. Vertikalne stabljike biljaka, stabla drveća, horizontalne površine vodenih prostora i zemljina kora u cjelini čine pravi ugao. Pravi ugao koji leži ispod trougla upravlja prostorom simetrije sličnosti, a sličnost je, kao što je već pomenuto, cilj života. I sama priroda i izvorni dio čovjeka su u vlasti geometrije, podložni simetriji i kao suštine i kao simboli. Bez obzira na to kako su građeni objekti prirode, svaki ima svoju glavnu karakteristiku, koja se ispoljava formom, bilo da se radi o jabuci, zrnu raži ili osobi.

Primjeri radijalne simetrije.

Najjednostavniji tip simetrije je zrcalna (aksijalna), koja se javlja kada se figura rotira oko ose simetrije.

U prirodi je zrcalna simetrija karakteristična za biljke i životinje koje rastu ili se kreću paralelno s površinom Zemlje. Na primjer, krila i tijelo leptira mogu se nazvati standardom zrcalne simetrije.

Aksijalna simetrija ovo je rezultat rotacije potpuno istih elemenata oko zajedničkog centra. Štaviše, mogu se nalaziti pod bilo kojim uglom i sa različitim frekvencijama. Glavna stvar je da se elementi rotiraju oko jednog centra. U prirodi se primjeri aksijalne simetrije najčešće nalaze među biljkama i životinjama koje rastu ili se kreću okomito na površinu Zemlje.

Također postoji vijčana simetrija.

Translacija se može kombinovati sa refleksijom ili rotacijom, a nastaju nove operacije simetrije. Rotacija za određeni broj stupnjeva, praćena translacijom na udaljenost duž ose rotacije, stvara spiralnu simetriju - simetriju spiralnog stepeništa. Primjer spiralne simetrije je raspored listova na stabljici mnogih biljaka. Ako uzmemo u obzir raspored listova na grani drveta, primijetit ćemo da je list odvojen od drugog, ali i rotiran oko ose debla.

Listovi su raspoređeni na deblu duž spiralne linije kako ne bi zaklanjali jedno drugo sunčeva svetlost. Glava suncokreta ima procese raspoređene u geometrijske spirale koje se odmotaju od centra prema van. Najmlađi članovi spirale su u centru. U takvim sistemima se mogu uočiti dvije porodice spirala koje se odmotaju u suprotnim smjerovima i seku pod uglovima bliskim desnom. No, koliko god bile zanimljive i atraktivne manifestacije simetrije u svijetu biljaka, još uvijek postoje mnoge tajne koje kontroliraju razvojne procese. Prateći Getea, koji je govorio o težnji prirode za spiralom, možemo pretpostaviti da se to kretanje odvija duž logaritamske spirale, počevši svaki put od centralne, fiksne tačke i kombinujući kretanje napred(rastezanje) sa rotacijom rotacije.

Na osnovu toga moguće je u donekle pojednostavljenom i shematizovanom obliku (iz dve tačke) formulisati opšti zakon simetrije, koji se jasno i svuda manifestuje u prirodi:

1. Sve što raste ili se kreće okomito, tj. gore ili dolje u odnosu na zemljine površine, poštuje simetriju radijalnog snopa u obliku lepeze ravnina simetrije koje se seku. Listovi i cvjetovi mnogih biljaka pokazuju radijalnu simetriju. To je takva simetrija u kojoj list ili cvijet, okrećući se oko ose simetrije, prelazi u sebe. Na poprečnim presjecima tkiva koji čine korijen ili stabljiku biljke, radijalna simetrija je jasno vidljiva. Cvatovi mnogih cvjetova također imaju radijalnu simetriju.

2. Sve što raste i kreće se horizontalno ili koso u odnosu na površinu zemlje podliježe bilateralnoj simetriji, simetriji lista.

Ovaj univerzalni zakon dvaju postulata ne poštuje samo cvijeće, životinje, lako pokretne tekućine i plinove, već i tvrdo, nepopustljivo kamenje. Ovaj zakon utiče na promjenjive oblike oblaka. Za mirnog dana imaju oblik kupole s manje ili više jasno izraženom radijalno-radijalnom simetrijom. Utjecaj univerzalnog zakona simetrije je, zapravo, čisto vanjski, grub, koji svoj pečat nameće samo vanjskom obliku prirodnih tijela. Njihova unutrašnja struktura i detalji bježe od njegove moći.

Simetrija se zasniva na sličnosti. To znači takav odnos između elemenata, figura, kada se međusobno ponavljaju i balansiraju.

Simetrija sličnosti. Druga vrsta simetrije je simetrija sličnosti, povezana s istovremenim povećanjem ili smanjenjem sličnih dijelova figure i udaljenosti između njih. Matrjoška je primjer ove vrste simetrije. Takva simetrija je vrlo raširena u divljim životinjama. To pokazuju svi rastući organizmi.

Osnova evolucije žive materije je simetrija sličnosti. Zamislite cvijet ruže ili glavicu kupusa. Važnu ulogu u geometriji svih ovih prirodnih tijela igra sličnost njihovih sličnih dijelova. Takvi dijelovi su, naravno, međusobno povezani nekim zajedničkim geometrijskim zakonom, koji nam još nije poznat, što ih čini mogućim da ih izvedemo jedan iz drugog. Simetrija sličnosti, ostvarena u prostoru i vremenu, manifestuje se svuda u prirodi na svemu što raste. Ali upravo rastućim oblicima pripadaju bezbrojne figure biljaka, životinja i kristala. Oblik stabla je kupast, jako izdužen. Grane su obično raspoređene oko debla u spiralu. Ovo nije jednostavna spirala: ona se postepeno sužava prema vrhu. I same grane se smanjuju kako se približavaju vrhu stabla. Dakle, ovdje se radi o spiralnoj osi simetrije sličnosti.

Živa priroda u svim svojim manifestacijama otkriva isti cilj, isti smisao života: svaki živi predmet se ponavlja u svojoj vrsti. Glavni zadatakživot je život, a pristupačan oblik bića leži u postojanju odvojenih integralnih organizama. I ne samo primitivne organizacije, već i složeni kosmički sistemi, kao što je čovjek, pokazuju zadivljujuću sposobnost da doslovno iz generacije u generaciju ponavljaju iste forme, iste skulpture, karakterne crte, iste gestove, manire.

Priroda otkriva sličnost kao svoj globalni genetski program. Ključ promjene također leži u sličnosti. Sličnost vlada živom prirodom u cjelini. Geometrijska sličnost - opšti princip prostorna organizacija stambenih objekata. Javorov list je kao javorov list, list breze je kao list breze. Geometrijska sličnost prožima sve grane drveta života. Kakvim god metamorfozama prolazi u procesu rasta u budućnosti živa ćelija, koji pripada cijelom organizmu i vrši funkciju njegove reprodukcije u novi, poseban, jedinstveni objekt bića, to je tačka "početka", koja će se, kao rezultat podjele, transformirati u objekt sličan originalni. Ovo objedinjuje sve vrste živih struktura, iz tog razloga postoje stereotipi o životu: osoba, mačka, vilin konjic, glista. Oni se beskrajno tumače i variraju mehanizmima podjele, ali ostaju isti stereotipi organizacije, oblika i ponašanja.

Živim organizmima simetričan raspored dijelova tjelesnih organa pomaže u održavanju ravnoteže tokom kretanja i funkcionisanja, osigurava vitalnost i bolju adaptaciju na okolni svijet, što važi i za flora. Na primjer, deblo smreke ili bora je najčešće ravno, a grane su ravnomjerno raspoređene u odnosu na deblo. Stablo, koje se razvija pod dejstvom gravitacije, dostiže stabilan položaj. Prema vrhu stabla njegove grane postaju sve manje - poprima oblik stošca, jer svjetlost mora padati na donje grane, kao i na gornje. Osim toga, centar gravitacije treba biti što je moguće niže, o tome ovisi stabilnost stabla. Zakoni prirodna selekcija i gravitacije doprinijelo tome da drvo nije samo estetski lijepo, već i svrsishodno uređeno.

Ispada da je simetrija živih organizama povezana sa simetrijom zakona prirode. Na svakodnevnom nivou, kada vidimo manifestaciju simetrije u živoj i neživoj prirodi, nehotice osjećamo zadovoljstvo univerzalnim, kako nam se čini, poretkom koji vlada u prirodi.

Kako uređenje živih organizama, njihovo usložnjavanje u toku razvoja života, asimetrija sve više prevladava nad simetrijom, istiskujući je iz biohemijskih i fizioloških procesa. Međutim, i ovdje se odvija dinamičan proces: simetrija i asimetrija u funkcioniranju živih organizama su usko povezane. Izvana, čovjek i životinje su simetrični, ali njihovi unutrašnja struktura značajno asimetrična. Ako se u nižim biološkim objektima, na primjer, nižim biljkama, reprodukcija odvija simetrično, onda kod viših postoji jasna asimetrija, na primjer, podjela polova, gdje svaki spol u proces samopouzdanja unosi samo njemu svojstvenu genetsku informaciju. reprodukcija. Dakle, stabilno očuvanje nasljednosti je manifestacija simetrije u određenom smislu, dok se asimetrija manifestuje u varijabilnosti. Općenito, duboka unutrašnja povezanost simetrije i asimetrije u živoj prirodi određuje njen nastanak, postojanje i razvoj.

Univerzum je asimetrična cjelina, a život kakav je predstavljen mora biti funkcija asimetrije svemira i njegovih posljedica. Za razliku od neživih molekula, molekule organska materija imaju izražen asimetrični karakter (hiralnost). Davanje veliki značaj asimetriju žive materije, Pasteur je smatrao da je to upravo jedina, jasno razgraničena linija koja se trenutno može povući između žive i nežive prirode, tj. šta razlikuje živa materija od neživog. moderna nauka dokazao da u živim organizmima, kao iu kristalima, promjene strukture odgovaraju promjenama svojstava.

Pretpostavlja se da je nastala asimetrija naglo nastala kao rezultat Velikog biološkog praska (po analogiji sa Velikim praskom, koji je rezultirao formiranjem Univerzuma) pod uticajem zračenja, temperature, elektromagnetnih polja itd. i našao svoj odraz u genima živih organizama. Ovaj proces je u suštini i proces samoorganizacije.

Naučno-praktična konferencija

MOU "Srednja škola br. 23"

grad Vologda

sekcija: prirodno-naučna

projektantski i istraživački rad

VRSTE SIMETRIJE

Rad je uradio učenik 8. "a" razreda

Kreneva Margarita

Rukovodilac: viši nastavnik matematike

godina 2014

Struktura projekta:

1. Uvod.

2. Ciljevi i zadaci projekta.

3. Vrste simetrije:

3.1. Centralna simetrija;

3.2. Aksijalna simetrija;

3.3. Zrcalna simetrija (simetrija u odnosu na ravan);

3.4. Rotacijska simetrija;

3.5. Prenosiva simetrija.

4. Zaključak.

Simetrija je ideja kroz koju je čovjek vekovima pokušavao da shvati i stvori red, lepotu i savršenstvo.

G. Weil

Uvod.

Tema mog rada izabrana je nakon proučavanja sekcije "Aksijalna i centralna simetrija" na predmetu "Geometrija 8. razred". Veoma me zanimala ova tema. Hteo sam da znam: koje vrste simetrije postoje, po čemu se razlikuju jedna od druge, koji su principi konstrukcije simetrične figure u svakoj vrsti.

Cilj : Uvod u različite vrste simetrije.

Zadaci:

Proučite literaturu na ovu temu.

Sažeti i sistematizovati proučeno gradivo.

Pripremite prezentaciju.

U davna vremena, riječ "SIMETRIJA" se koristila u značenju "harmonija", "ljepota". U prijevodu s grčkog, ova riječ znači „proporcionalnost, proporcionalnost, istovjetnost u rasporedu dijelova nečega na suprotnim stranama tačke, prave ili ravni.

Postoje dvije grupe simetrija.

Prva grupa uključuje simetriju položaja, oblika, struktura. To je simetrija koja se može direktno vidjeti. Može se nazvati geometrijskom simetrijom.

Druga grupa karakteriše simetriju fizičke pojave i zakone prirode. Ova simetrija leži u samoj osnovi prirodno-naučne slike svijeta: može se nazvati fizičkom simetrijom.

Prestajem da učimgeometrijska simetrija .

Zauzvrat, postoji i nekoliko vrsta geometrijske simetrije: centralna, aksijalna, zrcalna (simetrija u odnosu na ravninu), radijalna (ili rotirajuća), prijenosna i druge. Danas ću razmotriti 5 vrsta simetrije.

Centralna simetrija

Dvije tačke A i A 1 nazivaju se simetričnim u odnosu na tačku O ako leže na pravoj liniji koja prolazi kroz m O i nalaze se na suprotnim stranama na istoj udaljenosti. Tačka O se naziva središtem simetrije.

Figura se naziva simetrična u odnosu na tačkuO , ako je za svaku tačku figure tačka koja joj je simetrična u odnosu na tačkuO takođe pripada ovoj figuri. DotO nazvano središtem simetrije figure, za figuru se kaže da ima centralnu simetriju.

Primjeri figura sa centralnom simetrijom su krug i paralelogram.

Slike prikazane na slajdu su simetrične u odnosu na neku tačku

2. Aksijalna simetrija

Dvije tačkeX i Y naziva se simetričnim u odnosu na pravut , ako ova prava prolazi središtem segmenta XY i okomita je na nju. Takođe treba reći da svaka tačka linijet smatra se simetričnim za sebe.

Pravot je osa simetrije.

Za figuru se kaže da je simetrična u odnosu na pravu liniju.t, ako je za svaku tačku figure tačka koja joj je simetrična u odnosu na pravu linijut takođe pripada ovoj figuri.

Pravotnazvana osa simetrije figure, za figuru se kaže da ima aksijalnu simetriju.

Aksijalnu simetriju posjeduju nerazvijeni ugao, jednakokraki i jednakostranični trouglovi, pravougaonik i romb,pisma (vidi prezentaciju).

Simetrija ogledala (simetrija oko ravni)

Dva P boda 1 i P se nazivaju simetričnim u odnosu na ravan a ako leže na pravoj liniji okomitoj na ravan a i na istoj su udaljenosti od nje

Zrcalna simetrija svima dobro poznat. Povezuje bilo koji predmet i njegov odraz u ravno ogledalo. Za jednu figuru se kaže da je ogledalo simetrična drugoj.

Na ravni je lik sa beskonačnim brojem osi simetrije bio krug. U svemiru, beskonačan broj ravni simetrije ima loptu.

Ali ako je krug jedini te vrste, onda u trodimenzionalnom svijetu postoji čitav niz tijela koja imaju beskonačan broj ravni simetrije: pravi cilindar s krugom u osnovi, konus sa kružna baza, lopta.

Lako je ustanoviti da se svaka simetrična ravna figura može kombinovati sa sobom uz pomoć ogledala. Iznenađujuće je da su tako složene figure poput petokrake zvijezde ili jednakostraničnog petougla također simetrične. Kao što slijedi iz broja osi, odlikuju se upravo visokom simetrijom. I obrnuto: nije tako lako razumjeti zašto je tako naizgled tačna figura, kao kosi paralelogram, nije simetričan.

4. P rotaciona simetrija (ili radijalna simetrija)

Rotaciona simetrija je simetrija koja čuva oblik objektapri rotaciji oko neke ose za ugao jednak 360° /n(ili višekratnik ove vrijednosti), gdjen= 2, 3, 4, … Naznačena osa se naziva rotirajuća osan-th red.

Atn=2 sve tačke na slici su rotirane za ugao od 180 0 ( 360 0 /2 = 180 0 ) oko ose, dok je oblik figure očuvan, tj. svaka tačka figure ide u tačku iste figure (figura se pretvara u sebe). Osa se naziva osa drugog reda.

Na slici 2 prikazana je osovina trećeg reda, slika 3 - 4. reda, slika 4 - 5. reda.

Objekat može imati više od jedne rotacione ose: sl.1 - 3 ose rotacije, sl.2 - 4 ose, sl. 3 - 5 ose, sl. 4 - samo 1 os

Dobro poznata slova "I" i "F" imaju rotacionu simetriju. Ako slovo "I" zarotirate za 180° oko ose koja je okomita na ravan slova i koja prolazi kroz njegov centar, tada će slovo biti poravnato sa sebe. Drugim riječima, slovo "I" je simetrično u odnosu na rotaciju za 180°, 180°= 360°: 2,n=2, tako da ima simetriju drugog reda.

Imajte na umu da slovo "F" također ima rotacijsku simetriju drugog reda.

Osim toga, slovo i ima centar simetrije, a slovo F ima os simetrije

Vratimo se primjerima iz života: čaša, kilogram sladoleda u obliku kupa, komad žice, lula.

Ako bolje pogledamo ova tijela, primijetit ćemo da se sva, na ovaj ili onaj način, sastoje od kruga, kroz beskonačan broj osi simetrije kroz koje prolazi beskonačan broj ravni simetrije. Većina ovih tijela (nazivaju se tijela okretanja) ima, naravno, i centar simetrije (centar kruga), kroz koji prolazi barem jedna rotirajuća os simetrije.

Jasno je vidljiva, na primjer, os korneta za sladoled. Proteže se od sredine kruga (što viri iz sladoleda!) do oštrog kraja funky korneta. Skup elemenata simetrije nekog tijela doživljavamo kao neku vrstu mjere simetrije. Lopta je, bez sumnje, u smislu simetrije nenadmašno oličenje savršenstva, ideal. Stari Grci su ga doživljavali kao najsavršenije tijelo, a krug, naravno, kao najsavršeniju ravnu figuru.

Za opis simetrije određenog objekta potrebno je specificirati sve ose rotacije i njihov redoslijed, kao i sve ravnine simetrije.

Uzmite u obzir, na primjer, geometrijsko tijelo, sastavljen od dvije identične pravilne četverokutne piramide.

Ima jednu rotirajuću os 4. reda (osa AB), četiri rotacione ose 2. reda (ose CE,D.F., MP, NQ), pet ravni simetrije (ravniCDEF, AFBD, ACBE, AMBP, ANBQ).

5 . Prenosiva simetrija

Druga vrsta simetrije jeprenosiv With simetrija.

Oni govore o takvoj simetriji kada se figura pomiče duž prave linije za neku udaljenost "a" ili udaljenost koja je višestruka od ove vrijednosti, ona se kombinira sama sa sobom Prava linija duž koje se vrši prijenos naziva se prijenosna osa, a razmak "a" se naziva elementarnim prijenosom, periodom ili korakom simetrije.

Uzorak koji se periodično ponavlja na dugoj vrpci naziva se ivica. U praksi se bordure sreću u različitim oblicima (zidno slikarstvo, liveno gvožđe, gipsani bareljefi ili keramika). Bordure koriste slikari i umjetnici prilikom ukrašavanja prostorija. Za izvođenje ovih ukrasa izrađuje se šablona. Pomičemo šablonu, okrećući je ili ne okrećući je, crtamo konturu, ponavljajući uzorak i dobivamo ornament (vizuelna demonstracija).

Granicu je lako napraviti pomoću šablona (originalnog elementa), pomicanja ili okretanja i ponavljanja uzorka. Na slici je prikazano pet vrsta šablona:a ) asimetrična;b, c ) imaju jednu os simetrije: horizontalnu ili vertikalnu;G ) centralno simetrična;d ) koji ima dvije ose simetrije: vertikalnu i horizontalnu.

Sljedeće transformacije se koriste za izgradnju granica:

a ) paralelni prijenos;b ) simetrija oko vertikalne ose;in ) centralna simetrija;G ) simetrija oko horizontalne ose.

Slično, možete napraviti utičnice. Za to je krug podijeljen nan jednaki sektori, u jednom od njih se izvodi uzorak uzorka, a zatim se potonji dosljedno ponavlja u preostalim dijelovima kruga, okrećući uzorak svaki put za ugao od 360 ° /n .

Dobar primjer upotrebe aksijalne i translatorne simetrije je ograda prikazana na fotografiji.

Zaključak: Dakle, postoje različite vrste simetrije, simetrične tačke u svakoj od ovih vrsta simetrije se grade prema određenim zakonima. U životu svugdje susrećemo jednu ili drugu vrstu simetrije, a često se u objektima koji nas okružuju može uočiti nekoliko vrsta simetrije odjednom. To stvara red, ljepotu i savršenstvo u svijetu oko nas.

LITERATURA:

Priručnik iz osnovne matematike. M.Ya. Vygodsky. - Izdavačka kuća "Nauka". - Moskva 1971. – 416 str.

Savremeni vokabular strane reči. - M.: Ruski jezik, 1993.

Istorija matematike u školiIX - Xcasovi. G.I. Glaser. - Izdavačka kuća "Prosvjeta". – Moskva 1983 – 351 str.

Vizuelna geometrija 5 - 6 časova. I.F. Sharygin, L.N. Erganzhiev. - Izdavačka kuća "Drofa", Moskva, 2005. - 189p.

Enciklopedija za djecu. Biologija. S. Ismailova. – Izdavačka kuća “Avanta+”. – Moskva 1997 – 704 str.

Urmantsev Yu.A. Simetrija prirode i priroda simetrije - M.: Misao arhitektura / arhkomp2. htm, , en.wikipedia.org/wiki/

Koncept kretanja

Razmotrimo prvo takav koncept kao što je kretanje.

Definicija 1

Mapiranje u ravnini naziva se kretanje u ravnini ako mapiranje čuva udaljenosti.

Postoji nekoliko teorema vezanih za ovaj koncept.

Teorema 2

Trokut, kada se kreće, prelazi u jednak trokut.

Teorema 3

Bilo koja figura, kada se kreće, prelazi u figuru jednaku njoj.

Aksijalna i centralna simetrija su primjeri kretanja. Razmotrimo ih detaljnije.

Aksijalna simetrija

Definicija 2

Za tačke $A$ i $A_1$ se kaže da su simetrične u odnosu na pravu $a$ ako je ova prava okomita na segment $(AA)_1$ i prolazi kroz njegovo središte (slika 1).

Slika 1.

Razmotrite aksijalnu simetriju koristeći problem kao primjer.

Primjer 1

Konstruirajte simetričan trokut za dati trokut u odnosu na bilo koju od njegovih stranica.

Rješenje.

Neka nam je dat trougao $ABC$. Konstruisaćemo njegovu simetriju u odnosu na stranu $BC$. Strana $BC$ u slučaju aksijalne simetrije će ići u sebe (slijedi iz definicije). Tačka $A$ će ići do tačke $A_1$ na sljedeći način: $(AA)_1\bot BC$, $(AH=HA)_1$. Trougao $ABC$ će se pretvoriti u trougao $A_1BC$ (slika 2).

Slika 2.

Definicija 3

Figura se naziva simetričnom u odnosu na pravu $a$ ako se svaka simetrična tačka ove figure nalazi na istoj figuri (slika 3).

Slika 3

Slika $3$ prikazuje pravougaonik. Ima aksijalnu simetriju u odnosu na svaki od svojih prečnika, kao iu odnosu na dve prave koje prolaze kroz središta suprotnih strana datog pravougaonika.

Centralna simetrija

Definicija 4

Za tačke $X$ i $X_1$ se kaže da su simetrične u odnosu na tačku $O$ ako je tačka $O$ centar segmenta $(XX)_1$ (slika 4).

Slika 4

Razmotrimo centralnu simetriju na primjeru problema.

Primjer 2

Konstruirajte simetrični trokut za dati trokut na bilo kojem od njegovih vrhova.

Rješenje.

Neka nam je dat trougao $ABC$. Konstruirat ćemo njegovu simetriju u odnosu na vrh $A$. Vrh $A$ pod centralnom simetrijom će ići u sebe (slijedi iz definicije). Tačka $B$ će ići u tačku $B_1$ kako slijedi $(BA=AB)_1$, a tačka $C$ će ići u tačku $C_1$ na sljedeći način: $(CA=AC)_1$. Trougao $ABC$ prelazi u trougao $(AB)_1C_1$ (slika 5).

Slika 5

Definicija 5

Figura je simetrična u odnosu na tačku $O$ ako se svaka simetrična tačka ove figure nalazi na istoj slici (slika 6).

Slika 6

Slika $6$ prikazuje paralelogram. Ima centralnu simetriju oko tačke preseka svojih dijagonala.

Primjer zadatka.

Primjer 3

Neka nam je dat segment $AB$. Konstruisati njegovu simetriju u odnosu na pravu $l$, koja ne seče dati segment, i u odnosu na tačku $C$ koja leži na pravoj $l$.

Rješenje.

Hajde da šematski opišemo stanje problema.

Slika 7

Hajde da prvo opišemo aksijalnu simetriju u odnosu na pravu liniju $l$. Pošto je aksijalna simetrija kretanje, onda će prema teoremu $1$, segment $AB$ biti preslikan na segment $A"B"$ koji mu je jednak. Da bismo ga konstruisali, uradimo sledeće: kroz tačke $A\ i\ B$ povučemo prave $m\ i\ n$, okomite na pravu $l$. Neka je $m\cap l=X,\ n\cap l=Y$. Zatim nacrtajte segmente $A"X=AX$ i $B"Y=BY$.

Slika 8

Hajde da sada opišemo centralnu simetriju u odnosu na tačku $C$. Pošto je centralna simetrija kretanje, prema teoremu $1$, segment $AB$ će biti preslikan na segment $A""B""$ koji mu je jednak. Da bismo ga konstruisali, uradićemo sledeće: nacrtati linije $AC\ i\ BC$. Zatim nacrtajte segmente $A^("")C=AC$ i $B^("")C=BC$.

Slika 9

Aksijalna simetrija i koncept savršenstva

Aksijalna simetrija je svojstvena svim oblicima u prirodi i jedan je od temeljnih principa ljepote. Čovek je od davnina pokušavao

shvati značenje savršenstva. Ovaj koncept su prvi potkrijepili umjetnici, filozofi i matematičari antičke Grčke. I samu riječ "simetrija" skovali su oni. Označava proporcionalnost, harmoniju i identitet dijelova cjeline. Drevni grčki mislilac Platon je tvrdio da samo predmet koji je simetričan i proporcionalan može biti lijep. I zaista, one pojave i forme koje imaju proporcionalnost i potpunost su „ugodne za oko“. Mi ih zovemo ispravnim.

Aksijalna simetrija kao koncept

Simetrija u svijetu živih bića očituje se u pravilnom rasporedu identičnih dijelova tijela u odnosu na centar ili osu. Češće u

priroda je aksijalno simetrična. On određuje ne samo opću strukturu organizma, već i mogućnosti njegovog kasnijeg razvoja. Geometrijski oblici i proporcije živih bića formirani su "aksijalnom simetrijom". Njegova definicija je formulirana na sljedeći način: to je svojstvo objekata koji se mogu kombinirati pod različitim transformacijama. Stari su vjerovali da sfera posjeduje princip simetrije u najvećoj mjeri. Smatrali su ovaj oblik harmoničnim i savršenim.

Aksijalna simetrija u divljini

Ako pogledate bilo koje živo biće, simetrija strukture tijela odmah vam upada u oči. Čovjek: dvije ruke, dvije noge, dva oka, dva uha i tako dalje. Svaka vrsta životinje ima karakterističnu boju. Ako se u bojanju pojavi uzorak, tada se, u pravilu, zrcali s obje strane. To znači da postoji linija duž koje se životinje i ljudi mogu vizualno podijeliti na dvije identične polovine, odnosno njihova geometrijska struktura temelji se na aksijalnoj simetriji. Priroda stvara bilo koji živi organizam ne haotično i besmisleno, već prema općim zakonima svjetskog poretka, jer ništa u Univerzumu nema čisto estetsku, dekorativnu svrhu. Prisutnost različitih oblika također je posljedica prirodne potrebe.

Aksijalna simetrija u neživoj prirodi