1 on antud kolmnurga abc tipu koordinaadid, leia. Antud kolmnurga tippude koordinaadid

Probleem 1. Kolmnurga ABC tippude koordinaadid on antud: A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16). Leia: 1) külje AB pikkus; 2) külgede AB ja BC võrrandid ning nende nurkkoefitsiendid; 3) nurk B radiaanides kahekohalise täpsusega; 4) kõrguse CD ja selle pikkuse võrrand; 5) mediaani AE võrrand ja selle mediaani lõikepunkti K koordinaadid kõrgusega CD; 6) küljega AB paralleelset punkti K läbiva sirge võrrand; 7) punkti M koordinaadid, mis paiknevad sümmeetriliselt punkti A suhtes sirge CD suhtes.

Lahendus:

1. Punktide A(x 1 ,y 1) ja B(x 2 ,y 2) vaheline kaugus d määratakse valemiga

Rakendades (1), leiame külje AB pikkuse:

2. Punkte A(x 1 ,y 1) ja B(x 2 ,y 2) läbiva sirge võrrand on kujul

(2)

Asendades punktide A ja B koordinaadid punktiga (2), saame külje AB võrrandi:

Olles lahendanud y viimase võrrandi, leiame külje AB võrrandi nurkkoefitsiendiga sirge võrrandi kujul:

kus

Asendades punktide B ja C koordinaadid punktiga (2), saame sirge BC võrrandi:

Või

3. On teada, et kahe sirge vahelise nurga puutuja, mille nurkkoefitsiendid on vastavalt võrdsed, arvutatakse valemiga

(3)

Soovitud nurga B moodustavad sirged AB ja BC, mille nurkkoefitsiendid leitakse: Rakendades (3) saame

Või rõõmus.

4. Antud punkti antud suunas läbiva sirge võrrandil on kuju

(4)

Kõrgus CD on risti küljega AB. Kõrguse CD kalde leidmiseks kasutame sirgete perpendikulaarsuse tingimust. Sellest ajast Asendades (4) punkti C koordinaadid ja leitud kõrguse nurkkoefitsient, saame

Kõrguse CD pikkuse leidmiseks määrame esmalt punkti D koordinaadid - sirgete AB ja CD lõikepunkti. Süsteemi koos lahendamine:

leiame need. D(8;0).

Valemi (1) abil leiame kõrguse CD pikkuse:

5. Mediaan AE võrrandi leidmiseks määrame kõigepealt punkti E koordinaadid, mis on külje BC keskpunkt, kasutades lõigu kaheks võrdseks osaks jagamise valemeid:

(5)

Seega

Asendades punktide A ja E koordinaadid punktiga (2), leiame mediaani võrrandi:

Kõrguse CD ja mediaani AE lõikepunkti koordinaatide leidmiseks lahendame koos võrrandisüsteemi

Leiame.

6. Kuna soovitud sirge on paralleelne küljega AB, on selle nurgategur võrdne sirge AB nurkkoefitsiendiga. Asendades (4)-ks leitud punkti K koordinaadid ja nurkkoefitsient saame

3x + 4a – 49 = 0 (KF)

7. Kuna sirge AB on risti sirgjoonega CD, siis sirgjoonel AB asub soovitud punkt M, mis paikneb sirge CD suhtes sümmeetriliselt punktiga A. Lisaks on punkt D lõigu AM keskpunkt. Valemite (5) abil leiame soovitud punkti M koordinaadid:

Kolmnurk ABC, kõrgus CD, mediaan AE, sirge KF ja punkt M on konstrueeritud xOy koordinaatsüsteemis joonisel fig. 1.

2. ülesanne. Koostage võrrand punktide asukoha jaoks, mille kaugused antud punktist A(4; 0) ja antud sirgest x=1 on võrdsed 2-ga.

Lahendus:

Koordinaatsüsteemis xOy konstrueerime punkti A(4;0) ja sirge x = 1. Olgu M(x;y) punktide soovitud geomeetrilise asukoha suvaline punkt. Alandame risti MB antud sirgele x = 1 ja määrame punkti B koordinaadid. Kuna antud sirgel asub punkt B, on selle abstsiss võrdne 1-ga. Punkti B ordinaat võrdub punkti M ordinaat Seetõttu B(1;y) (joonis 2).

Vastavalt ülesande tingimustele |MA|: |MV| = 2. Kaugused |MA| ja |MB| leiame ülesande 1 valemist (1):

Vasaku ja parema külje ruudustamiseks saame

või

Saadud võrrand on hüperbool, mille tegelik pooltelg on a = 2 ja kujuteldav pooltelg

Määratleme hüperbooli fookused. Hüperbooli puhul on võrdsus täidetud.Seetõttu ja - hüperbooli trikid. Nagu näete, on antud punkt A(4;0) hüperbooli õige fookus.

Määrame saadud hüperbooli ekstsentrilisuse:

Hüperbooli asümptootide võrrandid on kujul ja . Seetõttu või ja on hüperbooli asümptoodid. Enne hüperbooli konstrueerimist koostame selle asümptoodid.

Probleem 3. Koostage võrrand punktist A(4; 3) ja sirgest y = 1 võrdsel kaugusel asuvate punktide lookuse jaoks. Taandage saadud võrrand selle lihtsaimale kujule.

Lahendus: Olgu M(x; y) üks soovitud punktide geomeetrilise lookuse punktidest. Kukkugem risti MB punktist M sellele sirgele y = 1 (joonis 3). Määrame punkti B koordinaadid. Ilmselt on punkti B abstsiss võrdne punkti M abstsissiga ja punkti B ordinaat 1, st B(x; 1). Vastavalt ülesande tingimustele |MA|=|MV|. Järelikult on mis tahes punkti M(x;y), mis kuulub soovitud punktide geomeetrilisse asukohta, järgmine võrdsus:

Saadud võrrand defineerib parabooli, mille tipp asub punktis. Paraboolivõrrandi lihtsaimale kujule viimiseks paneme paika ja y + 2 = Y, siis saab parabooli võrrand järgmise kuju:

Näide mõne ülesande lahendamisest standardtööst “Analüütiline geomeetria tasapinnal”

Tipud on antud,
,
kolmnurk ABC. Leia:

Kolmnurga kõigi külgede võrrandid;

Kolmnurka määratlev lineaarvõrratuste süsteem ABC;

Kolmnurga tipust tõmmatud kõrguse, mediaani ja poolitaja võrrandid A;

Kolmnurga kõrguste lõikepunkt;

Kolmnurga mediaanide lõikepunkt;

Küljele langetatud kõrguse pikkus AB;

Nurk A;

Tee joonistus.

Olgu kolmnurga tippudel koordinaadid: A (1; 4), IN (5; 3), KOOS(3; 6). Joonistame kohe joonise:

1. Kolmnurga kõigi külgede võrrandite üleskirjutamiseks kasutame kahte antud punkti läbiva sirge võrrandit koordinaatidega ( x 0 , y 0 ) ja ( x 1 , y 1 ):

=

Seega asendades ( x 0 , y 0 ) punkti koordinaadid A, ja selle asemel ( x 1 , y 1 ) punkti koordinaadid IN, saame sirge võrrandi AB:

Saadud võrrand on sirgjoone võrrand AB, sisse kirjutatud üldine vorm. Samamoodi leiame sirgjoone võrrandi AC:

Ja ka sirgjoone võrrand Päike:

2. Pange tähele, et kolmnurga punktide hulk ABC tähistab kolme pooltasandi ristumiskohta ja iga pooltasapinda saab määratleda lineaarse ebavõrdsuse abil. Kui võtame kummagi poole võrrandi ∆ ABC, Näiteks AB, siis ebavõrdsused

Ja

määratleda punktid, mis asuvad joone vastaskülgedel AB. Peame valima pooltasapinna, kus asub punkt C. Asendame selle koordinaadid mõlema võrratusega:

Teine võrratus on õige, mis tähendab, et nõutavad punktid määratakse ebavõrdsusega

.

Teeme sama sirgjoonega BC, selle võrrandiga
. Testpunktina kasutame punkti A (1, 1):

See tähendab, et nõutav ebavõrdsus on kujul:

.

Kui kontrollime sirgjoont AC (katsepunkt B), saame:

See tähendab, et nõutav ebavõrdsus saab kuju

Lõpuks saame ebavõrdsuse süsteemi:

Märgid “≤”, “≥” tähendavad, et kolmnurga moodustavate punktide hulka kuuluvad ka kolmnurga külgedel asuvad punktid. ABC.

3. a) Et leida tipust langenud kõrguse võrrand A küljele Päike, kaaluge külje võrrandit Päike:
. Vektor koordinaatidega
küljega risti Päike ja seetõttu paralleelne kõrgusega. Kirjutame üles punkti läbiva sirge võrrandi A paralleelselt vektoriga
:

See on t-st välja jäetud kõrguse võrrand. A küljele Päike.

b) Leia külje keskkoha koordinaadid Päike vastavalt valemitele:

Siin
– need on t koordinaadid. IN, A
– koordinaadid t. KOOS. Asendame ja saame:

Seda punkti ja punkti läbiv sirgjoon A on nõutav mediaan:

c) Otsime poolitaja võrrandit lähtudes sellest, et võrdhaarse kolmnurga kõrgus, mediaan ja poolitaja, mis on laskunud ühest tipust kolmnurga põhja, on võrdsed. Leiame kaks vektorit
Ja
ja nende pikkused:

Siis vektor
on vektoriga samas suunas
ja selle pikkus
Samuti ühikvektor
kattub suunalt vektoriga
Vektori summa

on vektor, mis kattub suunalt nurga poolitajaga A. Seega saab soovitud poolitaja võrrandi kirjutada järgmiselt:

4) Oleme ühe kõrguse võrrandi juba konstrueerinud. Koostame võrrandi mõne teise kõrguse jaoks, näiteks tipust IN. Külg AC võrrandiga antud
Seega vektor
risti AC, ja seega paralleelselt soovitud kõrgusega. Seejärel tippu läbiva sirge võrrand IN vektori suunas
(st risti AC), on kujul:

On teada, et kolmnurga kõrgused ristuvad ühes punktis. Eelkõige on see punkt leitud kõrguste ristumiskoht, s.o. võrrandisüsteemi lahendamine:

- selle punkti koordinaadid.

5. Keskmine AB on koordinaadid
. Kirjutame mediaani võrrandi küljele AB. See sirge läbib punkte koordinaatidega (3, 2) ja (3, 6), mis tähendab, et selle võrrandi kuju on järgmine:

Pange tähele, et null sirge võrrandi murdosa nimetajas tähendab, et see sirge kulgeb paralleelselt ordinaatteljega.

Mediaanide lõikepunkti leidmiseks piisab võrrandisüsteemi lahendamisest:

Kolmnurga mediaanide lõikepunktil on koordinaadid
.

6. Küljele langetatud kõrguse pikkus AB, võrdne kaugusega punktist KOOS sirgjoonele AB võrrandiga
ja see leitakse valemiga:

7. Nurga koosinus A võib leida vektoritevahelise nurga koosinuse valemi abil Ja , mis võrdub nende vektorite skalaarkorrutise ja nende pikkuste korrutise suhtega:

.

1. Arvestades kolmnurga tipud ABC.A(–9; –2), IN(3; 7), KOOS(1; –7).

1) külje pikkus AB;

2) külgede võrrandid AB Ja AC ja nende nurkkoefitsiendid;

3) nurk A radiaanides;

4) kõrgusvõrrand KOOSD ja selle pikkus;

5) ringi võrrand, mille kõrgus KOOSD on läbimõõt;

6) süsteem lineaarsed ebavõrdsused, määratledes kolmnurga ABC.

Lahendus. Teeme joonise.

1. Leiame külje AB pikkuse. Kahe punkti vaheline kaugus määratakse valemiga

2. Leiame külgede võrrandidAB JaAC ja nende nurkkoefitsiendid.

Kirjutame üles kahte punkti läbiva sirge võrrandi.

See üldvõrrand sirge. Lahendame selle y suhtes, saame

, sirgjoone kalle on võrdne

Samamoodi on meil külje vahelduvvoolu jaoks.

sirge kalle on võrdne

3. Me leiamenurkA radiaanides. See on nurk kahe vektori vahel
Ja
. Kirjutame üles vektorite koordinaadid. Vektorite vahelise nurga koosinus on võrdne

4. Me leiamekõrguse võrrandKOOS D ja selle pikkus.
Seetõttu on nende nurkkoefitsiendid seotud suhtega
.

Kirjutame kõrgusvõrrandi läbi nurkkoefitsiendi

Punkt
kuulub reale CD, seetõttu vastavad selle koordinaadid sirge võrrandile, seega on meil

Lõpuks
või

Kõrguse pikkuse arvutame kaugusena punktist C sirgeni AB

5. Leiame ringi võrrandi, millise kõrguse jaoksKOOS D on läbimõõt.

Punkti D koordinaadid leiame kahe sirge AB ja CD lõikepunktiks, mille võrrandid on teada.

Leiame punkti O – ringi keskpunkti – koordinaadid. See on CD sektsiooni keskpunkt.

Ringi raadius on

Kirjutame üles ringi võrrandi.

6) Määratleme kolmnurgaABC lineaarsete võrratuste süsteem.

Leiame sirge CB võrrandi.

Lineaarsete võrratuste süsteem näeb välja selline.

2. Otsustama see süsteem võrrandid, kasutades Crameri valemeid. Kontrollige saadud lahust.

Lahendus. Arvutame selle süsteemi determinandi:

.

Leiame määrajad
ja lahendage süsteem:

Eksam:

Vastus:

3. Kirjutage võrrandisüsteem maatrikskujul ja lahendage see kasutades

pöördmaatriks. Kontrollige saadud lahust

Lahendus.

Leiame maatriksi A determinandi

maatriks ei ole ainsuses ja sellel on pöördväärtus. Leiame kõik algebralised täiendid ja loome liitmaatriksi.

pöördmaatriks on kujul:

Teeme korrutamise
ja leida lahenduste vektor.

Läbivaatus

.
Vastus:

Lahendus.

N = (2, 1). Joonistage normaalvektoriga risti olev nivoojoon ja liigutage seda normaalse suunas,

Objektifunktsioon saavutab oma miinimumi punktis A ja maksimumi punktis B. Nende punktide koordinaadid leiame, lahendades ühiselt nende sirgete võrrandid, mille ristumiskohas need asuvad.

5. Reisifirma ei nõua enamat A kolmetonnised bussid ja mitte rohkem V

viietonnised bussid. Esimese margi busside müügihind on 20 000 USD, teist marki

40 000 USD Reisifirma ei saa eraldada rohkem kui Koos c.u.

Mitu iga margi bussi tuleks eraldi osta, et nende kokku

(kogu)kandevõime oli maksimaalne. Lahendage probleem graafiliselt.

A= 20 V= 18 Koos= 1000000

Lahendus. Koostame matemaatiline mudelülesandeid . Tähistame tähisega
- iga ostetava tonnaaži busside arv. Hanke eesmärk on omada ostetavate masinate maksimaalset kandevõimet, mida kirjeldab eesmärgifunktsioon

Ülesande piirangud määrab ostetud busside arv ja nende maksumus.

Lahendame probleemi graafiliselt. . Konstrueerime probleemile teostatavate lahenduste piirkonna ja nivoojoontele normaalse N = (3, 5). Joonistage normaalvektoriga risti olev nivoojoon ja liigutage seda normaalvektori suunas.

Eesmärgi funktsioon saavutab punktis maksimumi
, võtab eesmärgifunktsioon väärtuse .

Lahendus. 1. Funktsiooni määratluspiirkond on kogu numbritelg.

2, funktsioon pole paaris ega paaritu.

3. Kui x=0, y=20

4. Uurime monotoonsuse ja ekstreemsuse funktsiooni.

Leiame tuletise nullid

Funktsiooni statsionaarsed punktid.

Joonistame Ox-teljele statsionaarsed punktid ja kontrollime tuletise märke igal teljelõigul.

- maksimumpunkt
;
- miinimumpunkt

5. Uurime kumeruse ja nõgususe funktsiooni graafikut. Võtame 2. tuletise

Funktsioonigraafiku käändepunkt.

Kell
- funktsioon on kumer; juures
- funktsioon on nõgus.

Funktsiooni graafik näeb välja selline

6. Leia suurim ja väikseim väärtus funktsioonid intervallil [-1; 4]

Arvutame segmendi otstes oleva funktsiooni väärtuse
Minimaalses punktis võtab funktsioon väärtused, seega lõigu väikseima väärtuse [-1; 4] funktsioon võtab minimaalsest punktist ja maksimumi intervalli vasakpoolsest piirist.

7. Otsi määramata integraalid ja kontrollige integreerimise tulemusi

eristamist.

Lahendus.

Uurimine.

Siin on koosinuste korrutis trigonomeetriliste valemite järgi asendatud summaga.

1. Külgede AB ja BC võrrand ning nende nurkkoefitsiendid.
Ülesanne annab nende punktide koordinaadid, mida need sirged läbivad, seega kasutame kahte antud punkti läbiva sirge võrrandit $$\frac(x-x_1)(x_2-x_1)=\frac(y-y_1) (y_2-y_1)$ $ asenda ja hanki võrrandid
sirge AB võrrand $$\frac(x+6)(6+6)=\frac(y-8)(-1-8) => y = -\frac(3)(4)x + \frac( 7 )(2)$$ sirge AB kalle on võrdne \(k_(AB) = -\frac(3)(4)\)
sirge BC võrrand $$\frac(x-4)(6-4)=\frac(y-13)(-1-13) => y = -7x + 41$$ sirge BC kalle on võrdne \ (k_( eKr) = -7\)

2. Nurk B radiaanides kahekohalise täpsusega
Nurk B on sirgete AB ja BC vaheline nurk, mis arvutatakse valemiga $$tg\phi=|\frac(k_2-k_1)(1+k_2*k_1)|$$ asendab nurgakoefitsientide väärtused nendest ridadest ja saada $$tg\ phi=|\frac(-7+\frac(3)(4))(1+7*\frac(3)(4))| = 1 => \phi = \frac(\pi)(4) \umbes 0,79 $$
3.Külje AB pikkus
Külje AB pikkus arvutatakse punktide vahelise kaugusena ja see on võrdne \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\) => $$d_(AB) = \sqrt((6+ 6)^2+(-1-8)^2) = 15$$
4. CD kõrguse ja selle pikkuse võrrand.
Kõrgusvõrrandi leiame läbiva sirge valemi abil antud punkt C(4;13) antud suunas - risti sirgega AB valemi \(y-y_0=k(x-x_0)\) järgi. Leiame kõrguse nurkkoefitsiendi \(k_(CD)\), kasutades ristsirgete omadust \(k_1=-\frac(1)(k_2)\) saame $$k_(CD)= -\frac(1 )(k_(AB) ) = -\frac(1)(-\frac(3)(4)) = \frac(4)(3)$$ Asendame võrrandisse sirge, saame $$y - 13 = \frac(4)(3) (x-4) => y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)$$ Otsime kõrguse pikkust kui kaugus punktist C(4;13) sirgjooneni AB, kasutades valemit $$d = \frac(Ax_0+By_0+C)(\sqrt(A^2+B^2))$$ lugejas on võrrand sirgjoonest AB taandame selle kujule \(y = -\frac(3)(4)x + \frac(7)(2) => 4y+3x-14 = 0\) , asendame saadud tulemusega võrrand ja punkti koordinaadid valemisse $$d = \frac(4*13+3*4-14 )(\sqrt( 4^2+3^2)) = \frac(50)(5) = 10 $ $

5. Mediaani AE ja punkti K koordinaatide võrrand, selle mediaani lõikekoht kõrgusega CD.
Otsime mediaani võrrandit kui kahte antud punkti A(-6;8) ja E läbiva sirge võrrandit, kus punkt E on keskpunkt punktide B ja C vahel ning selle koordinaadid leitakse vastavalt valem \(E(\frac(x_2+x_1) (2);\frac(y_2+y_1)(2))\) asendab punktide koordinaadid \(E(\frac(6+4)(2); \frac(-1+13)(2))\) = > \(E(5; 6)\), siis on keskmise AE võrrand järgmine $$\frac(x+6)(5+ 6)=\frac(y-8)(6-8) => y = - \frac(2)(11)x + \frac(76)(11)$$Leiame punktide lõikepunkti koordinaadid kõrgused ja mediaan, s.o. leiame nende ühise punkti. Selleks loome süsteemivõrrandi $$\begin(cases)y = -\frac(2)(11)x + \frac(76)(11)\\y = \frac (4)(3)x+ \frac(23)(3)\end(cases)=>\begin(cases)11y = -2x +76\\3y = 4x+23\end(cases)=>$$$ $\begin(cases)22y = -4x +152\\3y = 4x+23\end(cases)=> \begin(cases)25y =175\\3y = 4x+23\end(cases)=> $$ $$\begin(cases) y =7\\ x=-\frac(1)(2)\end(cases)$$ Lõikepunkti koordinaadid \(K(-\frac(1)(2);7 )\)

6. Võrrand sirgega, mis läbib punkti K paralleelselt küljega AB.
Kui sirge on paralleelne, siis on nende nurkkoefitsiendid võrdsed, st. \(k_(AB)=k_(K) = -\frac(3)(4)\), on teada ka punkti \(K(-\frac(1)(2);7)\) koordinaadid , st. sirgjoone võrrandi leidmiseks rakendame antud suunas antud punkti läbiva sirge võrrandi valemit \(y - y_0=k(x-x_0)\), asendame andmed ja saame $ $y - 7= -\frac(3)(4) (x-\frac(1)(2)) => y = -\frac(3)(4)x + \frac(53)(8)$ $

8. Punkti A suhtes sümmeetrilise punkti M koordinaadid sirge CD suhtes.
Punkt M asub sirgel AB, sest CD on selle külje kõrgus. Leiame CD ja AB lõikepunkti, selleks lahendame võrrandisüsteemi $$\begin(cases)y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)\\y = - \frac(3)(4) x + \frac(7)(2)\end(juhtumid) =>\begin(cases)3y = 4x+23\\4y =-3x + 14\end(juhtumid) => $$$$\begin(juhtumid )12a = 16x+92\\12y =-9x + 42\end(juhtumid) =>
\begin(cases)0= 25x+50\\12y =-9x + 42\end(cases) => $$$$\begin(cases)x=-2\\y=5 \end(cases)$$ Punkti D koordinaadid(-2;5). Tingimuse AD=DK kohaselt leitakse see punktide vaheline kaugus Pythagorase valemiga \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\), kus AD ja DK on hüpotenuusid võrdsed täisnurksed kolmnurgad, ja \(Δx =x_2-x_1\) ja \(Δy=y_2-y_1\) on nende kolmnurkade jalad, st. leiame jalad ja punkti M koordinaadid. \(Δx=x_D-x_A = -2+6=4\) ja \(Δy=y_D-y_A = 5-8=-3\), seejärel koordinaadid punktist M on võrdne \ (x_M-x_D = Δx => x_D +Δx =-2+4 = 2 \) ja \(y_M-y_D = Δy => y_D + Δy =5-3 = 2 \), leidsime, et punkti \( M(2;2)\) koordinaadid