Leia esimese diferentsiaalvõrrandi üldlahend. Diferentsiaalvõrrandid

Lahendus diferentsiaalvõrrandid. Tänu meie võrguteenus saate lahendada mis tahes laadi ja keerukusega diferentsiaalvõrrandeid: ebahomogeensed, homogeensed, mittelineaarsed, lineaarsed, esimest, teist järku, eraldatavate või mitteeraldatavate muutujatega jne. Saate diferentsiaalvõrrandite lahenduse analüütilisel kujul koos üksikasjaliku kirjeldusega. Paljud on huvitatud: miks on vaja diferentsiaalvõrrandeid Internetis lahendada? Seda tüüpi võrrandid on väga levinud matemaatikas ja füüsikas, kus paljusid ülesandeid on võimatu lahendada ilma diferentsiaalvõrrandit arvutamata. Samuti on diferentsiaalvõrrandid levinud majanduses, meditsiinis, bioloogias, keemias ja teistes teadustes. Sellise võrrandi lahendus in võrgurežiim hõlbustab oluliselt teie ülesandeid, annab teile võimaluse materjalist paremini aru saada ja ennast proovile panna. Diferentsiaalvõrrandite Internetis lahendamise eelised. Kaasaegne matemaatikateenuste sait võimaldab teil Internetis lahendada mis tahes keerukusega diferentsiaalvõrrandeid. Nagu teate, on olemas suur hulk erinevat tüüpi diferentsiaalvõrrandid ja igaühel neist on oma lahendusmeetodid. Meie teenusest leiate Internetist mis tahes järjestuse ja tüüpi diferentsiaalvõrrandite lahendused. Lahenduse saamiseks soovitame täita algandmed ja vajutada nuppu "Lahendus". Vead teenuse töös on välistatud, seega võite olla 100% kindel, et saite õige vastuse. Lahendage meie teenusega diferentsiaalvõrrandeid. Lahendage diferentsiaalvõrrandeid võrgus. Vaikimisi on sellises võrrandis funktsioon y muutuja x funktsioon. Kuid saate määrata ka oma muutuja tähistuse. Näiteks kui määrate diferentsiaalvõrrandis y(t), määrab meie teenus automaatselt, et y on muutuja t funktsioon. Kogu diferentsiaalvõrrandi järjekord sõltub võrrandis oleva funktsiooni tuletise maksimaalsest järjestusest. Sellise võrrandi lahendamine tähendab soovitud funktsiooni leidmist. Meie teenus aitab teil lahendada diferentsiaalvõrrandeid võrgus. Võrrandi lahendamiseks ei pea te palju pingutama. Peate lihtsalt sisestama võrrandi vasak- ja parempoolsed osad nõutavatele väljadele ja klõpsama nuppu "Lahendus". Funktsiooni tuletise sisestamisel on vaja seda tähistada apostroofiga. Mõne sekundi pärast saate üksikasjalik lahendus diferentsiaalvõrrand. Meie teenus on täiesti tasuta. Eraldatavate muutujatega diferentsiaalvõrrandid. Kui vasakpoolses diferentsiaalvõrrandis on avaldis, mis sõltub y-st, ja paremal pool on avaldis, mis sõltub x-ist, siis nimetatakse sellist diferentsiaalvõrrandit eraldatavate muutujatega. Vasakpoolsel küljel võib olla y tuletis, seda tüüpi diferentsiaalvõrrandite lahendus on y funktsiooni kujul, mida väljendatakse võrrandi parempoolse külje integraali kaudu. Kui vasakul küljel on funktsiooni y diferentsiaal, siis on võrrandi mõlemad osad integreeritud. Kui diferentsiaalvõrrandi muutujaid ei eraldata, tuleb need eraldatud diferentsiaalvõrrandi saamiseks jagada. Lineaarne diferentsiaalvõrrand. Diferentsiaalvõrrandit nimetatakse lineaarseks, kui funktsioon ja kõik selle tuletised on esimesel astmel. Üldine vorm võrrandid: y'+a1(x)y=f(x). f(x) ja a1(x) on pidevad funktsioonid alates x. Seda tüüpi diferentsiaalvõrrandite lahendus taandatakse kahe eraldatud muutujatega diferentsiaalvõrrandi integreerimisele. Diferentsiaalvõrrandi järjekord. Diferentsiaalvõrrand võib olla esimest, teist, n-ndat järku. Diferentsiaalvõrrandi järjekord määrab selles sisalduva kõrgeima tuletise järjekorra. Meie teenuses saate Internetis lahendada esimese, teise, kolmanda jne diferentsiaalvõrrandeid. tellida. Võrrandi lahenduseks on suvaline funktsioon y=f(x), mille asendamisel võrrandisse saad identiteedi. Diferentsiaalvõrrandi lahenduse leidmise protsessi nimetatakse integreerimiseks. Cauchy probleem. Kui lisaks diferentsiaalvõrrandile endale on määratud ka algtingimus y(x0)=y0, siis nimetatakse seda Cauchy probleemiks. Võrrandi lahendile lisatakse indikaatorid y0 ja x0 ning määratakse suvalise konstandi C väärtus ning seejärel võrrandi konkreetne lahendus sellele C väärtusele. See on Cauchy ülesande lahendus. Cauchy probleemi nimetatakse ka piirtingimuste probleemiks, mis on füüsikas ja mehaanikas väga levinud. Samuti on teil võimalus määrata Cauchy probleem, see tähendab kõigist võimalikud lahendused võrrandist vali jagatis, mis vastab antud algtingimustele.

Kas tuletise suhtes juba lahendatud või saab neid lahendada tuletise suhtes .

Intervalli tüüpi diferentsiaalvõrrandite üldlahendus X, mis on antud, saab leida, võttes selle võrdsuse mõlema poole integraali.

Hangi .

Vaadates omadusi määramatu integraal, siis leiame soovitud ühine otsus:

y = F(x) + C,

kus F(x)- funktsiooni üks antiderivaate f(x) vahel X, a FROM on suvaline konstant.

Pange tähele, et enamiku ülesannete puhul on intervall Xära näita. See tähendab, et lahendus tuleb leida igaühe jaoks. x, mille jaoks ja soovitud funktsioon y, ja algne võrrand on mõistlik.

Kui teil on vaja arvutada diferentsiaalvõrrandi konkreetne lahendus, mis vastab algtingimusele y(x0) = y0, siis pärast üldintegraali arvutamist y = F(x) + C, on ikkagi vaja määrata konstandi väärtus C=C0 kasutades algseisundit. See tähendab, et konstant C=C0 võrrandist määratud F(x 0) + C = y 0, ja diferentsiaalvõrrandi soovitud konkreetne lahendus on järgmisel kujul:

y = F(x) + C0.

Kaaluge näidet:

Leidke diferentsiaalvõrrandi üldlahend, kontrollige tulemuse õigsust. Leiame sellele võrrandile konkreetse lahenduse, mis rahuldaks algtingimust .

Lahendus:

Pärast antud diferentsiaalvõrrandi integreerimist saame:

.

Me võtame selle integraali osade kaupa integreerimise meetodil:

See., on diferentsiaalvõrrandi üldlahend.

Kontrollime, kas tulemus on õige. Selleks asendame antud võrrandiga leitud lahenduse:

.

See tähendab, kell algne võrrand muutub identiteediks:

seetõttu määrati diferentsiaalvõrrandi üldlahend õigesti.

Meie leitud lahendus on argumendi iga reaalväärtuse diferentsiaalvõrrandi üldlahendus x.

Jääb välja arvutada konkreetne ODE lahendus, mis rahuldaks algtingimust. Teisisõnu on vaja arvutada konstandi väärtus FROM, mille korral võrdsus on tõene:

.

.

Siis asendamine C = 2 ODE üldlahendisse saame diferentsiaalvõrrandi konkreetse lahenduse, mis rahuldab algtingimust:

.

Tavaline diferentsiaalvõrrand saab tuletise suhtes lahendada, jagades võrrandi 2 osa arvuga f(x). See teisendus on samaväärne, kui f(x) ei lähe ühegi puhul nulli x diferentsiaalvõrrandi integreerimise intervallist X.

Olukorrad on tõenäolised, kui mõne argumendi väärtuse puhul x ∈ X funktsioonid f(x) ja g(x) keerake samal ajal nulli. Sarnaste väärtuste jaoks x diferentsiaalvõrrandi üldlahend on mis tahes funktsioon y, mis on neis määratletud, sest .

Kui mõne argumendi väärtuse puhul x ∈ X tingimus on täidetud, mis tähendab, et antud juhul pole ODE-l lahendusi.

Kõigile teistele x intervallist X teisendatud võrrandist määratakse diferentsiaalvõrrandi üldlahend.

Vaatame näiteid:

Näide 1

Leiame ODE üldise lahenduse: .

Lahendus.

Põhiliste elementaarfunktsioonide omaduste põhjal on selge, et naturaallogaritmi funktsioon on määratletud argumendi mittenegatiivsete väärtuste jaoks, seega avaldise domeen log(x+3) on vaheaeg x > -3 . Seega on antud diferentsiaalvõrrand mõttekas x > -3 . Nende argumendi väärtustega avaldis x + 3 ei kao, seega saab ODE lahendada tuletise suhtes, jagades 2 osa arvuga x + 3.

Saame .

Järgmisena integreerime saadud diferentsiaalvõrrandi, mis on lahendatud tuletise suhtes: . Selle integraali võtmiseks kasutame diferentsiaali märgi alla liitmise meetodit.

Esimest järku diferentsiaalvõrrandid. Lahendusnäited.
Eraldatavate muutujatega diferentsiaalvõrrandid

Diferentsiaalvõrrandid (DE). Need kaks sõna hirmutavad tavalist võhikut. Diferentsiaalvõrrandid näivad olevat midagi ennekuulmatut ja paljude õpilaste jaoks raskesti omandatavad. Uuuuuu… diferentsiaalvõrrandid, kuidas ma seda kõike üle elaks?!

Selline arvamus ja selline suhtumine on põhimõtteliselt vale, sest tegelikult DIFERENTSIAALVÕRRADID ON LIHTSALT JA ISEGI LÕBUSAD. Mida on vaja teada ja õppida diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks? Difuuride edukaks õppimiseks peate oskama hästi integreerida ja eristada. Mida paremini teemasid õpitakse Ühe muutuja funktsiooni tuletis ja Määramatu integraal, seda lihtsam on diferentsiaalvõrranditest aru saada. Ütlen veel, kui sul on enam-vähem korralik lõimumisoskus, siis on teema praktiliselt läbitud! Mida rohkem integraale erinevat tüüpi sa tead, kuidas otsustada - seda parem. Miks? Peate palju integreerima. Ja eristada. Samuti väga soovitadaõppige leidma.

95% juhtudest sisse kontrolltööd Esimest järku diferentsiaalvõrrandeid on 3 tüüpi: eraldatavad võrrandid, mida selles õppetükis käsitleme; homogeensed võrrandid ja lineaarsed mittehomogeensed võrrandid. Algajatele difuusoreid uurima soovitan lugeda selles järjestuses olevaid õppetunde ja pärast kahe esimese artikli lugemist ei tee haiget oma oskusi täiendavas töötoas kinnistada - võrrandid, mis taandavad homogeenseks.

On olemas veelgi haruldasemaid diferentsiaalvõrrandi tüüpe: võrrandid summaarsetes diferentsiaalides, Bernoulli võrrandid ja mõned teised. Kahest viimasest tüübist on kõige olulisemad summaarsete diferentsiaalide võrrandid, kuna lisaks sellele DE-le pean ma uus materjal – osaline integratsioon.

Kui teil on jäänud vaid päev või kaks, siis ülikiireks valmistamiseks seal on välkkursus pdf formaadis.

Niisiis, maamärgid on seatud – lähme:

Meenutagem esmalt tavalisi algebralisi võrrandeid. Need sisaldavad muutujaid ja numbreid. Lihtsaim näide: . Mida tähendab tavalise võrrandi lahendamine? See tähendab leida numbrite komplekt mis seda võrrandit rahuldavad. On lihtne näha, et laste võrrandil on üks juur: . Lõbu pärast kontrollime, asendame leitud juur meie võrrandiga:

- saadakse õige võrdsus, mis tähendab, et lahendus leitakse õigesti.

Difuusid on paigutatud umbes samamoodi!

Diferentsiaalvõrrand esimene tellimusüldiselt sisaldab:
1) sõltumatu muutuja ;
2) sõltuv muutuja (funktsioon);
3) funktsiooni esimene tuletis: .

Mõnes esimest järku võrrandis ei pruugi olla "x" või (ja) "y", kuid see pole oluline - oluline nii et DU-s oli esimene tuletis ja ei olnud kõrgema järgu tuletised - , jne.

Mida tähendab ? Diferentsiaalvõrrandi lahendamine tähendab leidmist kõigi funktsioonide komplekt mis seda võrrandit rahuldavad. Sellisel funktsioonide komplektil on sageli vorm ( on suvaline konstant), mida nimetatakse diferentsiaalvõrrandi üldlahendus.

Näide 1

Lahendage diferentsiaalvõrrand

Täis laskemoon. Kust alustada lahendus?

Kõigepealt peate tuletise veidi teistsugusel kujul ümber kirjutama. Meenutame tülikat märkimist, mida paljud teist ilmselt pidasid naeruväärseks ja ebavajalikuks. See on see, mis valitseb hajutites!

Teises etapis vaatame, kas see on võimalik jagada muutujad? Mida tähendab muutujate eraldamine? Jämedalt öeldes, vasakul pool me peame lahkuma ainult "mängud", a paremal pool korraldada ainult x-id. Muutujate eraldamine toimub "kooli" manipulatsioonide abil: sulud, terminite ülekandmine osast osasse märgivahetusega, tegurite ülekandmine osast osasse vastavalt proportsioonireeglile jne.

Diferentsiaalid ja on täielikud kordistajad ja aktiivsed vaenutegevuses osalejad. Selles näites on muutujad kergesti eraldatavad ümberpööramisteguritega vastavalt proportsioonireeglile:

Muutujad on eraldatud. Vasakul pool - ainult "Mäng", paremal - ainult "X".

Järgmine etapp - diferentsiaalvõrrandi integreerimine. See on lihtne, me riputame integraalid mõlemale osale:

Muidugi tuleb võtta integraalid. Sel juhul on need tabelina:

Nagu mäletame, määratakse igale antiderivaadile konstant. Siin on kaks integraali, kuid konstandi kirjutamisest piisab üks kord (sest konstant + konstant on ikkagi võrdne teise konstandiga). Enamikul juhtudel asetatakse see paremale küljele.

Rangelt võttes loetakse diferentsiaalvõrrand pärast integraalide võtmist lahendatuks. Ainus asi on see, et meie "y" ei väljendata "x" kaudu, see tähendab, et lahendus on esitatud implitsiitses vormi. Diferentsiaalvõrrandi kaudset lahendit nimetatakse diferentsiaalvõrrandi üldintegraal. See tähendab, et see on üldine integraal.

Sellisel kujul vastus on üsna vastuvõetav, kuid kas on paremat võimalust? Proovime saada ühine otsus.

Palun, mäleta esimest tehnikat, on see väga levinud ja seda kasutatakse sageli praktilisi ülesandeid: kui pärast integreerimist ilmub paremale poole logaritm, siis on paljudel juhtudel (aga mitte mingil juhul alati!) soovitatav kirjutada ka konstant logaritmi alla.

See on, SELLE ASEMEL tavaliselt kirjutatakse protokolle .

Miks seda vaja on? Ja selleks, et "y" väljendamine oleks lihtsam. Kasutame logaritmide omadust . Sel juhul:

Nüüd saab logaritme ja mooduleid eemaldada:

Funktsioon on selgelt esitatud. See on üldine lahendus.

Vastus: ühine otsus: .

Paljude diferentsiaalvõrrandite vastuseid on üsna lihtne kontrollida. Meie puhul tehakse seda üsna lihtsalt, võtame leitud lahenduse ja eristame seda:

Seejärel asendame tuletise algse võrrandiga:

- saadakse õige võrdsus, mis tähendab, et üldlahend vastab võrrandile , mida oli vaja kontrollida.

Konstanti andmine erinevaid tähendusi, võite saada lõpmatult palju eraotsused diferentsiaalvõrrand. On selge, et mis tahes funktsioonid , jne. rahuldab diferentsiaalvõrrandi .

Mõnikord nimetatakse üldist lahendust funktsioonide perekond. Selles näites üldlahendus - see on perekond lineaarsed funktsioonid, õigemini, otseste proportsionaalsuste perekond.

Pärast esimese näite üksikasjalikku arutamist on asjakohane vastata mõnele naiivsed küsimused diferentsiaalvõrrandite kohta:

1)Selles näites õnnestus meil muutujad eraldada. Kas seda on alati võimalik teha? Ei mitte alati. Ja veelgi sagedamini ei saa muutujaid eraldada. Näiteks sisse homogeensed esimest järku võrrandid tuleb esmalt välja vahetada. Teist tüüpi võrrandites, näiteks esimest järku lineaarses mittehomogeenses võrrandis, peate üldlahenduse leidmiseks kasutama erinevaid nippe ja meetodeid. Eraldatavad muutujavõrrandid, mida me esimeses õppetükis vaatleme, on − lihtsaim tüüp diferentsiaalvõrrandid.

2) Kas diferentsiaalvõrrandit on alati võimalik integreerida? Ei mitte alati. Väga lihtne on välja mõelda "väljamõeldud" võrrand, mida ei saa integreerida, lisaks on integraale, mida ei saa võtta. Kuid selliseid DE-sid saab ligikaudu lahendada spetsiaalsete meetodite abil. D'Alembert ja Cauchy garanteerivad... ...uh, lurkmore. Ma lugesin just praegu palju, lisasin peaaegu "teisest maailmast".

3) Selles näites oleme saanud lahenduse üldintegraali kujul . Kas üldintegraalist on alati võimalik leida üldlahendus ehk väljendada "y" eksplitsiitses vormis? Ei mitte alati. Näiteks: . Noh, kuidas ma saan siin "y" väljendada?! Sellistel juhtudel tuleks vastus kirjutada üldise integraalina. Lisaks võib mõnikord leida üldise lahenduse, kuid see on nii kohmakalt ja kohmakalt kirjutatud, et parem on jätta vastus üldise integraali kujul

4) ...ehk praeguseks piisab. Esimeses näites me kohtusime teine oluline punkt , kuid selleks, et mitte katta "mannekeenid" uue info laviiniga, jätan selle järgmise õppetunnini.

Ärme kiirusta. Veel üks lihtne kaugjuhtimispult ja teine ​​tüüpiline lahendus:

Näide 2

Leia diferentsiaalvõrrandi konkreetne lahendus, mis rahuldab algtingimust

Lahendus: vastavalt tingimusele, mida on vaja leida eraotsus DE, mis vastab antud algtingimusele. Sellist küsitlemist nimetatakse ka Cauchy probleem.

Esiteks leiame üldise lahenduse. Võrrandis pole muutujat “x”, kuid see ei tohiks olla piinlik, peaasi, et sellel oleks esimene tuletis.

Kirjutame tuletise nõutud kujul ümber:

Ilmselgelt saab muutujaid jagada, poisid vasakule, tüdrukud paremale:

Integreerime võrrandi:

Üldine integraal saadakse. Siin joonistasin aktsenttähega konstandi, tõsiasi on see, et varsti muutub see teiseks konstandiks.

Nüüd proovime teisendada üldist integraali üldlahenduseks (väljendage "y" selgesõnaliselt). Meenutame vana, head kooli: . Sel juhul:

Indikaatori konstant tundub kuidagi mitte koššer, seetõttu langetatakse see tavaliselt taevast maa peale. Üksikasjalikult juhtub see nii. Kasutades kraadide omadust, kirjutame funktsiooni ümber järgmiselt:

Kui on konstant, siis on ka mõni konstant, määrake see ümber tähega :

Pidage meeles, et konstandi "lammutamine" on teine ​​tehnika, mida kasutatakse sageli diferentsiaalvõrrandite lahendamise käigus.

Seega on üldine lahendus: Selline tore eksponentsiaalfunktsioonide perekond.

Viimases etapis peate leidma konkreetse lahenduse, mis vastab antud algtingimusele. See on ka lihtne.

Mis on ülesanne? Vaja korjata selline konstandi väärtus tingimuse rahuldamiseks .

Saate seda korraldada erineval viisil, kuid võib-olla on see kõige arusaadavam. Üldlahenduses asendame “x” asemel nulli ja “y” asemel kaks:



See on,

Standardse disaini versioon:

Nüüd asendame konstandi leitud väärtuse üldlahendusega:
– see on konkreetne lahendus, mida me vajame.

Vastus: privaatne lahendus:

Teeme kontrolli. Konkreetse lahenduse kontrollimine hõlmab kahte etappi:

Esmalt tuleb kontrollida, kas leitud konkreetne lahendus tõesti rahuldab algtingimust? "x" asemel asendame nulliga ja vaatame, mis juhtub:
- jah, tõepoolest, saadi kaks, mis tähendab, et algtingimus on täidetud.

Teine etapp on juba tuttav. Võtame saadud konkreetse lahenduse ja leiame tuletise:

Asendage algses võrrandis:

- saavutatakse õige võrdsus.

Järeldus: konkreetne lahendus leitakse õigesti.

Liigume edasi sisukamate näidete juurde.

Näide 3

Lahendage diferentsiaalvõrrand

Lahendus: Kirjutame tuletise ümber meile vajalikul kujul:

Hinnatakse, kas muutujaid saab eraldada? Saab. Teise termini kanname märgivahetusega paremale:

Ja me pöörame tegurid vastavalt proportsioonireeglile:

Muutujad on eraldatud, integreerime mõlemad osad:

Pean teid hoiatama, et kohtupäev on tulemas. Kui te pole hästi õppinud määramata integraalid, lahendas vähe näiteid, siis pole enam kuhugi minna - need tuleb nüüd meisterdada.

Vasaku külje integraali on lihtne leida, kotangensi integraaliga tegeleme standardtehnikaga, mida tunnis käsitlesime Trigonomeetriliste funktsioonide integreerimine Möödunud aastal:

Paremal pool on meil logaritm ja minu esimese tehnilise soovituse kohaselt tuleks logaritmi alla kirjutada ka konstant.

Nüüd proovime üldist integraali lihtsustada. Kuna meil on ainult logaritmid, siis on täiesti võimalik (ja vajalik) neist lahti saada. Kasutades tuntud omadused maksimaalselt "pakkida" logaritme. Kirjutan väga üksikasjalikult:

Pakend on täielik, et olla barbaarselt räbaldunud:

Kas on võimalik väljendada "y"? Saab. Mõlemad osad peavad olema ruudukujulised.

Aga sa ei pea.

Kolmandaks tehniline nõustamine: kui üldise lahenduse saamiseks peate tõstma võimu või juurduma, siis Enamikel juhtudel peaksite nendest tegevustest hoiduma ja jätma vastuse üldise integraali kujul. Fakt on see, et üldine lahendus näeb lihtsalt kohutav välja - suurte juurte, siltide ja muu prügiga.

Seetõttu kirjutame vastuse üldise integraalina. hea toon arvatakse, et see esindab seda kujul , st paremale küljele jätke võimaluse korral ainult konstant. Seda pole vaja teha, kuid alati on kasulik professorile meeldida ;-)

Vastus:üldine integraal:

! Märge: mis tahes võrrandi üldintegraali saab kirjutada rohkem kui ühel viisil. Seega, kui teie tulemus ei langenud kokku varem teadaoleva vastusega, ei tähenda see, et lahendasite võrrandi valesti.

Üldintegraali kontrollitakse ka üsna lihtsalt, peaasi, et leiaks kaudselt defineeritud funktsiooni tuletis. Eristagem vastust:

Korrutame mõlemad terminid arvuga:

Ja me jagame:

Algne diferentsiaalvõrrand saadi täpselt, mis tähendab, et üldintegraal leiti õigesti.

Näide 4

Leia diferentsiaalvõrrandi konkreetne lahendus, mis rahuldab algtingimust. Käivitage kontroll.

See on näide sõltumatu otsus.

Tuletan teile meelde, et algoritm koosneb kahest etapist:
1) üldlahenduse leidmine;
2) vajaliku konkreetse lahenduse leidmine.

Kontroll viiakse läbi ka kahes etapis (vt näidist näites nr 2), vajate:
1) veenduma, et leitud lahendus vastab algtingimusele;
2) kontrollida, kas konkreetne lahendus üldiselt rahuldab diferentsiaalvõrrandit.

Täislahendus ja vastus tunni lõpus.

Näide 5

Leia diferentsiaalvõrrandi konkreetne lahendus , mis vastab esialgsele tingimusele. Käivitage kontroll.

Lahendus: Esmalt leiame üldlahenduse See võrrand sisaldab juba valmis diferentsiaale ja , mis tähendab, et lahendus on lihtsustatud. Muutujate eraldamine:

Integreerime võrrandi:

Vasakpoolne integraal on tabelikujuline, parempoolne integraal on võetud diferentsiaali märgi all oleva funktsiooni summeerimise meetod:

Üldintegraal on saadud, kas üldlahendit on võimalik edukalt väljendada? Saab. Me riputame logaritmid mõlemale küljele. Kuna need on positiivsed, on moodulmärgid üleliigsed:

(Loodan, et kõik saavad transformatsioonist aru, selliseid asju peaks juba teadma)

Seega on üldine lahendus:

Leiame konkreetse lahenduse, mis vastab antud algtingimusele .
Üldlahenduses asendame "x" asemel nulliga ja "y" asemel kahe logaritmiga:

Tuntum disain:

Asendame konstandi leitud väärtuse üldlahendiga.

Vastus: privaatne lahendus:

Kontrollige: kõigepealt kontrollige, kas esialgne tingimus on täidetud:
- kõik on hästi.

Nüüd kontrollime, kas leitud konkreetne lahendus diferentsiaalvõrrandit üldse rahuldab. Leiame tuletise:

Vaatame algset võrrandit: – see esitatakse diferentsiaalidena. Kontrollimiseks on kaks võimalust. Diferentsiaali leitud tuletisest on võimalik väljendada:

Asendame leitud konkreetse lahenduse ja saadud diferentsiaali algsesse võrrandisse :

Kasutame põhilogaritmilist identiteeti:

Saavutatakse õige võrdsus, mis tähendab, et konkreetne lahendus leitakse õigesti.

Teine kontrolliviis on peegeldatud ja tuttavam: võrrandist väljendage tuletist, selleks jagame kõik tükid järgmisega:

Ja teisendatud DE-s asendame saadud konkreetse lahendi ja leitud tuletise . Lihtsustuste tulemusena tuleks saavutada ka õige võrdsus.

Näide 6

Lahendage diferentsiaalvõrrand. Väljendage vastust üldise integraalina.

See on näide iseseisvaks lahendamiseks, täislahenduseks ja vastuseks tunni lõpus.

Millised raskused ootavad ees eraldatavate muutujatega diferentsiaalvõrrandite lahendamisel?

1) Alati pole (eriti teekannu puhul) ilmne, et muutujaid saab eraldada. Kaaluge tingimuslik näide: . Siin peate tegurid sulgudest välja võtma ja eraldama juured:. Kuidas edasi minna, on selge.

2) Integratsiooni enda raskused. Integraalid tekivad sageli mitte kõige lihtsamad ja kui leidmise oskustes on vigu määramatu integraal, siis on see paljude difuusoritega keeruline. Lisaks on kogumike ja käsiraamatute koostajad populaarsed loogikaga "kuna diferentsiaalvõrrand on lihtne, siis on vähemalt integraalid keerulisemad."

3) Teisendused konstandiga. Nagu kõik on märganud, saab diferentsiaalvõrrandite konstandiga üsna vabalt hakkama ja mõni teisendus pole algajale alati selge. Vaatame veel ühte hüpoteetilist näidet: . Selles on soovitatav kõik terminid korrutada 2-ga: . Saadud konstant on ka mingi konstant, mida saab tähistada järgmiselt: . Jah, ja kuna paremal küljel on logaritm, on soovitatav konstant teiseks konstandiks ümber kirjutada: .

Häda on selles , et sageli ei viitsita indeksitega ja kasutatakse sama tähte . Selle tulemusena on otsuse protokoll järgmisel kujul:

Mis ketserlus? Siin on vead! Rangelt võttes jah. Sisulisest küljest aga vigu pole, sest muutujakonstandi teisenduse tulemusena saadakse ikkagi muutuvkonstant.

Või teine ​​näide, oletame, et võrrandi lahendamise käigus saadakse üldine integraal. See vastus näeb kole välja, seetõttu on soovitatav iga termini märki muuta: . Vormiliselt on jälle viga - paremal peaks olema kirjutatud . Kuid mitteametlikult antakse mõista, et "miinus ce" on endiselt konstant ( mis võtab sama hästi mis tahes väärtused!), seega pole "miinuse" panemine mõttekas ja saab kasutada sama tähte.

Püüan vältida hoolimatut lähenemist ja panen konstantide teisendamisel siiski üles erinevad indeksid.

Näide 7

Lahendage diferentsiaalvõrrand. Käivitage kontroll.

Lahendus: See võrrand lubab muutujate eraldamist. Muutujate eraldamine:

Integreerime:

Siinset konstanti ei pea defineerima logaritmi all, sest sellest ei tule midagi head.

Vastus:üldine integraal:

Kontrollige: eristage vastust (kaudne funktsioon):

Vabaneme murdudest, selleks korrutame mõlemad terminid arvuga:

Saadud on algne diferentsiaalvõrrand, mis tähendab, et üldintegraal on leitud õigesti.

Näide 8

Leidke DE konkreetne lahendus.
,

See on tee-seda-ise näide. Ainus vihje on see, et siit saate üldise integraali ja õigemini peate leidma mitte konkreetse lahenduse, vaid privaatne integraal. Täislahendus ja vastus tunni lõpus.

I. Tavalised diferentsiaalvõrrandid

1.1. Põhimõisted ja määratlused

Diferentsiaalvõrrand on võrrand, mis seob sõltumatu muutuja x, soovitud funktsioon y ja selle tuletised või diferentsiaalid.

Sümboolselt kirjutatakse diferentsiaalvõrrand järgmiselt:

F(x,y,y")=0, F(x,y,y")=0, F(x,y,y",y",.., y (n))=0

Diferentsiaalvõrrandit nimetatakse tavaliseks, kui soovitud funktsioon sõltub ühest sõltumatust muutujast.

Diferentsiaalvõrrandi lahendamisega nimetatakse selliseks funktsiooniks, mis muudab selle võrrandi identiteediks.

Diferentsiaalvõrrandi järjekord on selle võrrandi kõrgeima tuletise järjekord

Näited.

1. Vaatleme esimest järku diferentsiaalvõrrandit

Selle võrrandi lahenduseks on funktsioon y = 5 ln x. Tõepoolest, asendades y" võrrandisse, saame - identiteedi.

Ja see tähendab, et funktsioon y = 5 ln x– on selle diferentsiaalvõrrandi lahendus.

2. Vaatleme teist järku diferentsiaalvõrrandit y" - 5a" + 6y = 0. Funktsioon on selle võrrandi lahendus.

Tõesti,.

Asendades need avaldised võrrandisse, saame: , - identiteedi.

Ja see tähendab, et funktsioon on selle diferentsiaalvõrrandi lahendus.

Diferentsiaalvõrrandite integreerimine on diferentsiaalvõrrandite lahenduste leidmise protsess.

Diferentsiaalvõrrandi üldlahend nimetatakse vormi funktsiooniks , mis sisaldab sama palju sõltumatuid suvalisi konstante kui võrrandi järjekord.

Diferentsiaalvõrrandi osalahend nimetatakse lahenduseks, mis saadakse suvaliste konstantide erinevate arvväärtuste üldlahendusest. Suvaliste konstantide väärtused leitakse argumendi ja funktsiooni teatud algväärtuste juures.

Diferentsiaalvõrrandi konkreetse lahendi graafikut nimetatakse integraalkõver.

Näited

1. Leidke esimest järku diferentsiaalvõrrandi konkreetne lahendus

xdx + ydy = 0, kui y= 4 kl x = 3.

Lahendus. Integreerides võrrandi mõlemad pooled, saame

Kommenteeri. Integreerimise tulemusena saadud suvalist konstanti C saab esitada mis tahes kujul, mis sobib edasiste teisenduste jaoks. Sel juhul, võttes arvesse ringi kanoonilist võrrandit, on mugav esitada suvaline konstant С kujul .

on diferentsiaalvõrrandi üldlahend.

Võrrandi konkreetne lahendus, mis vastab algtingimustele y = 4 kl x = 3 leitakse üldisest, asendades üldlahendiga algtingimused: 3 2 + 4 2 = C 2 ; C=5.

Asendades üldlahendisse C=5, saame x2+y2 = 5 2 .

See on üldlahendist saadud diferentsiaalvõrrandi erilahendus antud algtingimustes.

2. Leia diferentsiaalvõrrandi üldlahend

Selle võrrandi lahendus on mis tahes funktsioon kujul , kus C on suvaline konstant. Tõepoolest, asendades võrrandid, saame: , .

Seetõttu on sellel diferentsiaalvõrrandil lõpmatu arv lahendusi, kuna konstandi C erinevate väärtuste korral määrab võrdus võrrandi erinevad lahendid.

Näiteks otsese asendamise abil saab kontrollida, kas funktsioonid toimivad on võrrandi lahendid.

Probleem, mille puhul on vaja leida võrrandile konkreetne lahendus y" = f(x, y) esialgset tingimust rahuldama y(x0) = y0, nimetatakse Cauchy probleemiks.

Võrrandi lahendus y" = f(x, y), mis rahuldab esialgset tingimust, y(x0) = y0, nimetatakse Cauchy probleemi lahenduseks.

Cauchy ülesande lahendusel on lihtne geomeetriline tähendus. Tõepoolest, nende määratluste kohaselt Cauchy probleemi lahendamiseks y" = f(x, y) tingimusel y(x0) = y0, tähendab võrrandi integraalkõvera leidmist y" = f(x, y) mis läbib antud punkt M0 (x0,y 0).

II. Esimest järku diferentsiaalvõrrandid

2.1. Põhimõisted

Esimest järku diferentsiaalvõrrand on vormi võrrand F(x,y,y") = 0.

Esimest järku diferentsiaalvõrrand sisaldab esimest tuletist ja ei hõlma kõrgemat järku tuletisi.

Võrrand y" = f(x, y) nimetatakse esimest järku võrrandiks, mis on lahendatud tuletise suhtes.

Esimest järku diferentsiaalvõrrandi üldlahendus on vormi funktsioon, mis sisaldab ühte suvalist konstanti.

Näide. Mõelge esimest järku diferentsiaalvõrrandile.

Selle võrrandi lahendus on funktsioon .

Tõepoolest, asendades selles võrrandis selle väärtusega, saame

see on 3x = 3x

Seetõttu on funktsioon mis tahes konstandi C võrrandi üldlahend.

Leidke sellele võrrandile konkreetne lahendus, mis rahuldab algtingimust y(1)=1 Algtingimuste asendamine x = 1, y = 1 võrrandi üldlahendisse , saame kust C=0.

Seega saame konkreetse lahenduse üldisest, asendades selle võrrandiga saadud väärtuse C=0 on isiklik otsus.

2.2. Eraldatavate muutujatega diferentsiaalvõrrandid

Eraldatavate muutujatega diferentsiaalvõrrand on järgmise kujuga võrrand: y"=f(x)g(y) või diferentsiaalide kaudu, kus f(x) ja g(y) neile on antud funktsioone.

Nende jaoks y, mille jaoks võrrand y"=f(x)g(y) on võrdne võrrandiga milles muutuja y esineb ainult vasakul küljel ja muutuja x on ainult paremal küljel. Nad ütlevad: "võrrandis y"=f(x)g(y muutujate eraldamine.

Tüüpvõrrand nimetatakse eraldatud muutuja võrrandiks.

Pärast võrrandi mõlema osa integreerimist peal x, saame G(y) = F(x) + C on võrrandi üldlahend, kus G(y) ja F(x) on mõned antiderivaadid vastavalt funktsioonide ja f(x), C suvaline konstant.

Algoritm eraldatavate muutujatega esimest järku diferentsiaalvõrrandi lahendamiseks

Näide 1

lahendage võrrand y" = xy

Lahendus. Funktsiooni tuletis y" asendada

eraldame muutujad

Integreerime mõlemad võrdsuse osad:

Näide 2

2yy" = 1-3x2, kui y 0 = 3 juures x0 = 1

See on eraldatud muutuja võrrand. Esitame seda diferentsiaalides. Selleks kirjutame selle võrrandi ümber kujul Siit

Integreerides viimase võrdsuse mõlemad osad, leiame

Algväärtuste asendamine x 0 = 1, y 0 = 3 leida FROM 9=1-1+C, st. C = 9.

Seetõttu on soovitud osaline integraal või

Näide 3

Kirjutage võrrand punkti läbiva kõvera jaoks M(2;-3) ja millel on puutuja kaldega

Lahendus. Vastavalt seisundile

See on eraldatav muutuja võrrand. Jagades muutujad, saame:

Integreerides võrrandi mõlemad osad, saame:

Kasutades algtingimusi, x=2 ja y=-3 leida C:

Seetõttu on soovitud võrrandil vorm

2.3. Esimest järku lineaarsed diferentsiaalvõrrandid

Esimest järku lineaarne diferentsiaalvõrrand on vormi võrrand y" = f(x)y + g(x)

kus f(x) ja g(x)- mõned antud funktsioonid.

Kui a g(x)=0 siis nimetatakse lineaarset diferentsiaalvõrrandit homogeenseks ja selle kuju on: y" = f(x)y

Kui siis võrrand y" = f(x)y + g(x) nimetatakse heterogeenseks.

Lineaarse homogeense diferentsiaalvõrrandi üldlahendus y" = f(x)y antud valemiga: kus FROM on suvaline konstant.

Eelkõige siis, kui C \u003d 0, siis on lahendus y=0 Kui lineaarne homogeenne võrrand on vorm y" = ky kus k on mingi konstant, siis on selle üldlahend kujul: .

Lineaarse mittehomogeense diferentsiaalvõrrandi üldlahendus y" = f(x)y + g(x) antud valemiga ,

need. on võrdne vastava lineaarse homogeense võrrandi üldlahendi ja selle võrrandi konkreetse lahendi summaga.

Vormi lineaarse mittehomogeense võrrandi jaoks y" = kx + b,

kus k ja b- mõned arvud ja konkreetne lahendus on konstantne funktsioon . Seetõttu on üldlahendusel vorm .

Näide. lahendage võrrand y" + 2a +3 = 0

Lahendus. Esitame võrrandit kujul y" = -2y - 3 kus k = -2, b = -3Üldlahendus on antud valemiga .

Seetõttu kus C on suvaline konstant.

2.4. Esimest järku lineaarsete diferentsiaalvõrrandite lahendamine Bernoulli meetodil

Üldise lahenduse leidmine esimest järku lineaarsele diferentsiaalvõrrandile y" = f(x)y + g(x) taandub kahe eraldatud muutujatega diferentsiaalvõrrandi lahendamiseks, kasutades asendust y=uv, kus u ja v- tundmatud funktsioonid x. Seda lahendusmeetodit nimetatakse Bernoulli meetodiks.

Algoritm esimest järku lineaarse diferentsiaalvõrrandi lahendamiseks

y" = f(x)y + g(x)

1. Sisestage asendus y=uv.

2. Eristage seda võrdsust y"=u"v + uv"

3. Asendus y ja y" sellesse võrrandisse: u"v + uv" =f(x)uv + g(x) või u"v + uv" + f(x)uv = g(x).

4. Rühmitage võrrandi liikmed nii, et u võtke see sulgudest välja:

5. Leia funktsioon sulust, võrdsustades selle nulliga

See on eraldatav võrrand:

Jagage muutujad ja saage:

Kus . .

6. Asendage saadud väärtus v võrrandisse (punktist 4):

ja leidke funktsioon See on eraldatav võrrand:

7. Kirjutage üldlahendus kujul: , st. .

Näide 1

Leidke võrrandile konkreetne lahendus y" = -2y +3 = 0 kui y=1 juures x=0

Lahendus. Lahendame selle asendamisega y=uv,.y"=u"v + uv"

Asendamine y ja y" sellesse võrrandisse saame

Rühmitades võrrandi vasakule küljele teise ja kolmanda liikme, võtame välja ühisteguri u sulgudest välja

Võrdsustame sulgudes oleva avaldise nulliga ja pärast saadud võrrandi lahendamist leiame funktsiooni v = v(x)

Saime eraldatud muutujatega võrrandi. Integreerime selle võrrandi mõlemad osad: Leia funktsioon v:

Asendage saadud väärtus v võrrandisse saame:

See on eraldatud muutuja võrrand. Integreerime võrrandi mõlemad osad: Leiame funktsiooni u = u(x,c) Leiame üldise lahenduse: Leiame võrrandi konkreetse lahendi, mis vastab algtingimustele y=1 juures x=0:

III. Kõrgemat järku diferentsiaalvõrrandid

3.1. Põhimõisted ja määratlused

Teist järku diferentsiaalvõrrand on võrrand, mis sisaldab tuletisi, mis ei ületa teist järku. Üldjuhul kirjutatakse teist järku diferentsiaalvõrrand järgmiselt: F(x,y,y,y") = 0

Teist järku diferentsiaalvõrrandi üldlahend on funktsioon vormist , mis sisaldab kahte suvalist konstanti C1 ja C2.

Teist järku diferentsiaalvõrrandi konkreetne lahendus on lahend, mis saadakse üldisest mõne suvaliste konstantide väärtuste jaoks C1 ja C2.

3.2. Teist järku lineaarsed homogeensed diferentsiaalvõrrandid koos püsivad suhted.

Teist järku lineaarne homogeenne diferentsiaalvõrrand konstantsete koefitsientidega nimetatakse vormi võrrandiks y" + py" + qy = 0, kus lk ja q on konstantsed väärtused.

Algoritm konstantsete koefitsientidega teist järku homogeensete diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks

1. Kirjutage diferentsiaalvõrrand kujul: y" + py" + qy = 0.

2. Koostage selle tunnusvõrrand, tähistades y" läbi r2, y" läbi r, y 1-s: r2 + pr +q = 0

The Interneti-kalkulaator võimaldab lahendada diferentsiaalvõrrandeid võrgus. Piisab, kui sisestate oma võrrandi vastavale väljale, märkides apostroofiga "funktsiooni tuletise" ja klõpsate nupul "lahenda võrrand". Ja populaarse WolframAlpha veebisaidi põhjal rakendatud süsteem annab üksikasjaliku ülevaate diferentsiaalvõrrandi lahendus täiesti tasuta. Samuti saate Cauchy probleemi seada nii, et see valib kogu võimalike lahenduste hulgast konkreetse, mis vastab antud algtingimustele. Cauchy probleem sisestatakse eraldi väljale.

Diferentsiaalvõrrand

Vaikimisi on võrrandis funktsioon y on muutuja funktsioon x. Küll aga saab määrata oma muutuja tähistuse, kui kirjutate võrrandisse näiteks y(t), tunneb kalkulaator selle automaatselt ära. y on muutuja funktsioon t. Kalkulaatoriga saate lahendada diferentsiaalvõrrandeid mis tahes keerukuse ja tüübiga: homogeensed ja ebahomogeensed, lineaarsed või mittelineaarsed, esimest või teist ja kõrgemat järku, eraldatavate või mitteeraldatavate muutujatega võrrandid jne. Lahenduse erinevus. võrrand on antud analüütilisel kujul, on Täpsem kirjeldus. Diferentsiaalvõrrandid on füüsikas ja matemaatikas väga levinud. Ilma nende arvutamiseta on paljude ülesannete lahendamine võimatu (eriti matemaatilises füüsikas).

Üks diferentsiaalvõrrandite lahendamise etappe on funktsioonide integreerimine. Diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks on olemas standardmeetodid. Võrrandid on vaja viia eraldatavate muutujatega y ja x vormile ning eraldatud funktsioonid eraldi integreerida. Selleks tuleb mõnikord teha teatud asendus.