Mis on juhusliku suuruse jaotusfunktsioon. Juhusliku suuruse tõenäosusjaotusfunktsioon ja selle omadused
Oleme kindlaks teinud, et jaotusrida iseloomustab täielikult diskreetset juhuslikku muutujat. See omadus pole aga universaalne. See on olemas ainult diskreetsete koguste jaoks. Pideva suuruse jaoks ei saa jaotussarja koostada. Tõepoolest, pidev juhuslik väärtus on lõpmatu arv võimalikke tähendusi, mis täidavad täielikult teatud tühimiku. On võimatu luua tabelit, mis loetleks selle koguse kõik võimalikud väärtused. Järelikult ei ole pideva juhusliku muutuja jaoks jaotusrida selles tähenduses, milles see eksisteerib diskreetne väärtus. Juhusliku muutuja võimalike väärtuste erinevad piirkonnad ei ole aga võrdselt tõenäolised ja pideva muutuja puhul on siiski olemas "tõenäosusjaotus", kuigi mitte samas mõttes kui diskreetse muutuja puhul.
Selle tõenäosusjaotuse kvantitatiivseks iseloomustamiseks on mugav kasutada mitte sündmuse tõenäosust R(X= X), mis seisneb selles, et juhuslik muutuja võtab teatud väärtuse X ja sündmuse tõenäosust R(X<X), mis seisneb selles, et juhuslik muutuja võtab väärtuse, mis on väiksem kui X. Ilmselt sõltub selle sündmuse tõenäosus sellest X, st. on mingi funktsioon X.
Definitsioon. Jaotusfunktsioon juhuslik muutuja X nimetatakse funktsiooniks F(x), väljendades iga väärtuse kohta X tõenäosus, et juhuslik suurus X võtab väärtuse, mis on väiksem kui X:
| F(x) = P(X < x). | (4.2) |
Nimetatakse ka jaotusfunktsiooni kumulatiivne jaotusfunktsioon või jaotuse terviklik seadus .
Jaotusfunktsioon on juhusliku suuruse kõige universaalsem tunnus. See on olemas kõigi juhuslike muutujate jaoks: nii diskreetsete kui ka pidevate. Jaotusfunktsioon iseloomustab täielikult juhuslikku suurust tõenäosuslikust vaatepunktist, s.t. on üks jaotusseaduse vorme.
Jaotusfunktsioon võimaldab lihtsat geomeetrilist tõlgendamist. Mõelge juhuslikule muutujale X teljel Oh(joon. 4.2), mis kogemuse tulemusena võib võtta ühe või teise positsiooni. Olgu teljel valitud punkt, millel on väärtus X. Seejärel eksperimendi tulemusena juhuslik suurus X võib asuda punktist vasakul või paremal X. Ilmselt on tõenäosus, et juhuslik suurus X jääb punktist vasakule X, oleneb punkti asukohast X, st. olema argumendi funktsioon X.
Diskreetse juhusliku suuruse jaoks X, mis võib võtta väärtusi X 1 , X 2 , …, x n, on jaotusfunktsioonil vorm
Leidke ja kujutage graafiliselt selle jaotusfunktsiooni.
Lahendus. Määrame erinevad väärtused X ja leida neile F(x) = = P(X < x).
1. Kui X≤ 0, siis F(x) = P(X < X) = 0.
2. Kui 0< X≤ 1, siis F(x) = P(X < X) = P(X = 0) = 0,08.
3. Kui 1< X≤ 2, siis F(x) = P(X < X) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0,08 + 0,44 = 0,52.
4. Kui X> 2, siis F(x) = P(X < X) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0,08 + 0,44 + + 0,48 = 1.
Paneme kirja jaotusfunktsiooni.
Kujutame jaotusfunktsiooni graafiliselt (joonis 4.3). Pange tähele, et kui läheneda katkestuspunktidele vasakult, siis funktsioon säilitab oma väärtuse (sellist funktsiooni nimetatakse vasakpoolseks pidevaks). Need punktid on graafikul esile tõstetud. ◄
See näide võimaldab meil jõuda järeldusele, et mis tahes diskreetse juhusliku suuruse jaotusfunktsioon on katkendlik sammfunktsioon, mille hüpped toimuvad juhusliku suuruse võimalikele väärtustele vastavates punktides ja on võrdsed nende väärtuste tõenäosustega.
Mõelgem üldised omadused jaotusfunktsioonid.
1. Juhusliku suuruse jaotusfunktsioon on mittenegatiivne funktsioon nulli ja ühe vahel:
3. Miinuslõpmatuse korral on jaotusfunktsioon võrdne nulliga, pluss lõpmatuse juures ühega, st.
Näide 4.3. Juhusliku muutuja jaotusfunktsioon X on kujul:
Leidke tõenäosus, et juhuslik suurus X võtab intervallis väärtuse ja selle tõenäosus on null.
Kuid idee sündmusest, mille tõenäosus on nullist erinev, kuid koosneb null tõenäosusega sündmustest, ei ole paradoksaalsem kui idee lõigust, millel on teatud pikkus, samas kui lõigul pole ühtegi punkti. on nullist erineva pikkusega. Lõik koosneb sellistest punktidest, kuid selle pikkus ei ole võrdne nende pikkuste summaga.
Sellest omadusest tuleneb järgmine tagajärg.
Tagajärg. Kui X on pidev juhuslik suurus, siis tõenäosus, et see väärtus langeb intervalli (x 1, x 2) ei sõltu sellest, kas see intervall on avatud või suletud:
P(x 1 < X < x 2) = P(x 1 ≤ X < x 2) = P(x 1 < X ≤ x 2) = P(x 1 ≤ X ≤ x 2).
Jaotusfunktsioon on kõige rohkem üldine vorm levitamisseaduse kehtestamine. Seda kasutatakse nii diskreetsete kui ka pidevate juhuslike muutujate määramiseks. Tavaliselt on see määratud. Jaotusfunktsioon määrab tõenäosuse, et juhuslik suurus võtab väiksemaid väärtusi kui fikseeritud reaalarv, st. 
. Jaotusfunktsioon iseloomustab täielikult juhuslikku suurust tõenäosuslikust vaatepunktist. Seda nimetatakse ka kumulatiivseks jaotusfunktsiooniks.
Jaotusfunktsiooni geomeetriline tõlgendamine on väga lihtne. Kui juhuslikku suurust käsitleda juhusliku punktina teljel (joonis 6), mis testi tulemusena võib sellel teljel ühe või teise positsiooni võtta, siis jaotusfunktsioon on tõenäosus, et juhuslik punkt selle tulemusena test langeb punktist vasakule.
Diskreetse juhusliku muutuja puhul, mis võib võtta väärtusi,, ... ,, on jaotusfunktsioonil kujund
,
kus summamärgi all olev ebavõrdsus tähendab, et liitmine laieneb kõigile väiksematele väärtustele. Sellest valemist järeldub, et diskreetse juhusliku suuruse jaotusfunktsioon on katkendlik ja hüppeliselt suureneb punktide läbimisel,,...,, ning hüppe suurus on võrdne vastava väärtuse tõenäosusega (joon. 7). ). Kõigi jaotusfunktsiooni hüpete summa on võrdne ühega.
Pideval juhuslikul suurusel on pidevjaotusfunktsioon, selle funktsiooni graafik on sujuva kõvera kujuga (joonis 8).
Riis. 7. Joon. 8.
Vaatleme jaotusfunktsioonide üldisi omadusi.
Vara 1. Jaotusfunktsioon on mittenegatiivne funktsioon nulli ja ühe vahel:
Selle omaduse kehtivus tuleneb asjaolust, et jaotusfunktsioon on defineeritud kui juhusliku sündmuse tõenäosus, mis seisneb selles, et.
Vara 2. Tõenäosus, et juhuslik suurus langeb intervalli, on võrdne jaotusfunktsiooni väärtuste erinevusega selle intervalli otstes, s.o.
Sellest järeldub, et pideva juhusliku suuruse mis tahes individuaalse väärtuse tõenäosus on null.
Vara 3. Juhusliku suuruse jaotusfunktsioon on mittekahanev funktsioon, st millal .
Vara 4. Miinuslõpmatuse korral on jaotusfunktsioon null ja plusslõpmatuse korral on jaotusfunktsioon üks, st.
Näide 1. Pideva juhusliku suuruse jaotusfunktsiooni annab avaldis
Leidke koefitsient ja joonistage graafik. Määrake tõenäosus, et juhuslik muutuja võtab katse tulemusel intervalli väärtuse.
Lahendus. Kuna pideva juhusliku suuruse jaotusfunktsioon on pidev, saame: 
. Siit. Funktsioonigraafik on näidatud joonisel fig. 9.
Jaotusfunktsiooni teise omaduse põhjal on meil:
.
4. Tõenäosuse jaotuse tihedus ja selle omadused.
Pideva juhusliku suuruse jaotusfunktsioon on selle tõenäosustunnus. Kuid selle puuduseks on see, et selle põhjal on raske hinnata juhusliku suuruse jaotuse olemust arvtelje ühe või teise punkti väikeses naabruses. Selgema ettekujutuse pideva juhusliku suuruse jaotuse olemusest annab funktsioon, mida nimetatakse juhusliku suuruse tõenäosusjaotuse tiheduseks või diferentsiaaljaotuse funktsiooniks.
Jaotustihedus võrdne jaotusfunktsiooni tuletisega, s.o.
.
Jaotustiheduse tähendus on see, et see näitab, kui sageli esineb katsete kordamisel juhuslik suurus punkti teatud naabruses. Nimetatakse juhusliku suuruse jaotustihedust kujutavat kõverat jaotuskõver.
Vaatleme jaotustiheduse omadusi.
Vara 1. Jaotustihedus on mittenegatiivne, s.t.
Vara 2. Juhusliku suuruse jaotusfunktsioon on võrdne tiheduse integraaliga vahemikus alates kuni, s.t.
Juhuslike suuruste ja nende muutujate jaotusfunktsioonide leidmiseks on vaja uurida kõiki selle teadmusvaldkonna tunnuseid. Neid on mitu erinevaid meetodeid kõnealuste väärtuste, sealhulgas muutuva muutuse ja pöördemomendi genereerimise leidmiseks. Jaotus on kontseptsioon, mis põhineb sellistel elementidel nagu hajuvus ja variatsioonid. Need iseloomustavad aga ainult hajuvusvahemiku ulatust.
Juhuslike muutujate olulisemad funktsioonid on omavahel seotud ja sõltumatud ning identselt jaotunud funktsioonid. Näiteks kui X1 on meessoost populatsioonist juhuslikult valitud isendi kaal, X2 on teise isendi kaal, ... ja Xn on teise isendi kaal meespopulatsioonist, siis peame teadma, kuidas juhuslik funktsioon X on jaotatud. Sel juhul kehtib klassikaline teoreem, mida nimetatakse keskpiiri teoreemiks. See võimaldab meil näidata, et suure n korral järgib funktsioon standardjaotusi.
Ühe juhusliku suuruse funktsioonid
Keskne piirteoreem on mõeldud huvipakkuvate diskreetsete väärtuste, nagu binoom ja Poisson, ligikaudseks lähendamiseks. Juhuslike suuruste jaotusfunktsioone vaadeldakse ennekõike ühe muutuja lihtväärtustel. Näiteks kui X on pidev juhuslik muutuja, millel on oma tõenäosusjaotus. See juhtum uurib, kuidas leida tihedusfunktsiooni Y kahe abil erinevaid lähenemisviise, nimelt jaotusfunktsiooni meetod ja muutuja muutmine. Esiteks võetakse arvesse ainult üks-ühele väärtusi. Seejärel tuleb muutuja muutmise tehnikat muuta, et leida selle tõenäosus. Lõpuks peate õppima, kuidas kumulatiivne jaotus võib aidata modelleerida juhuslikke numbreid, mis järgivad teatud järjestikuseid mustreid.
Vaadeldavate väärtuste jaotusmeetod
Selle tiheduse leidmiseks kasutatakse juhusliku suuruse tõenäosusjaotusfunktsiooni meetodit. See meetod arvutab kumulatiivse väärtuse. Seejärel saab seda eristades saada tõenäosustiheduse. Nüüd, kui meil on jaotusfunktsiooni meetod, võime vaadata veel mõnda näidet. Olgu X teatud tõenäosustihedusega pidev juhuslik suurus.
Mis on x2 tõenäosustiheduse funktsioon? Kui vaatate funktsiooni (üleval ja paremal) y = x2 või kujutate selle graafikut, võite märkida, et see suurendab X ja 0 Viimases näites pöörati suurt tähelepanu kumulatiivsete funktsioonide ja tõenäosustiheduste indekseerimisele kas X või Y-ga, et näidata, millise juhusliku suuruse juurde need kuuluvad. Näiteks Y kumulatiivse jaotusfunktsiooni leidmisel saime X. Kui on vaja leida juhuslik suurus X ja selle tihedus, siis tuleb see lihtsalt eristada. Olgu X pidev juhuslik suurus, mis on määratud jaotusfunktsiooniga ühise nimetajaga f (x). Sel juhul, kui paned y väärtuse X = v(Y), saad x väärtuse, näiteks v(y). Nüüd peame saama pideva juhusliku suuruse Y jaotusfunktsiooni. Kumulatiivse Y definitsioonist lähtuvad esimene ja teine võrdsus. Kolmas võrdus on täidetud, kuna funktsiooni osa, mille puhul u (X) ≤ y kehtib ka see, et X ≤ v (Y ). Ja viimast tehakse selleks, et määrata tõenäosus pidevas juhuslikus suuruses X. Nüüd peame Y tõenäosustiheduse saamiseks võtma Y-i kumulatiivse jaotusfunktsiooni FY(y) tuletise. Olgu X pidev juhuslik suurus, mille ühine f(x) on defineeritud üle c1 Selle probleemi lahendamiseks saab koguda kvantitatiivseid andmeid ja kasutada empiirilist kumulatiivset jaotusfunktsiooni. Selle teabe omamine ja selle poole pöördumine nõuab näidisvahendite, standardhälbete, meediaandmete jms kombinatsiooni. Samuti võib isegi üsna lihtsal tõenäosusmudelil olla palju tulemusi. Näiteks kui viskad münti 332 korda. Siis on pööretest saadud tulemuste arv suurem kui google'il (10100) – arv, kuid mitte vähem kui 100 kvintiljonit korda suurem kui teadaolevas universumis leiduvatel elementaarosakestel. Puudub huvi analüüsi vastu, mis annab vastuse igale võimalikule tulemusele. Vaja on lihtsamat kontseptsiooni, nagu peade arv või sabade pikim tõmme. Huvipakkuvatele küsimustele keskendumiseks võetakse vastu konkreetne tulemus. Definitsioon on antud juhul järgmine: juhuslik suurus on tõenäosusruumiga reaalfunktsioon. Juhusliku muutuja vahemikku S nimetatakse mõnikord olekuruumiks. Seega, kui X on kõnealune väärtus, siis N = X2, exp ↵X, X2 + 1, tan2 X, bXc ja nii edasi. Neist viimast, ümardades X lähima täisarvuni, nimetatakse põrandafunktsiooniks. Kui juhusliku suuruse x huvipakkuv jaotusfunktsioon on kindlaks määratud, tekib tavaliselt küsimus: "Kui suur on tõenäosus, et X satub B väärtuste mõnda alamhulka?" Näiteks B = (paaritud arvud), B = (suurem kui 1) või B = (2 ja 7 vahel), et näidata neid tulemusi, mille alamhulgas A on X, juhusliku muutuja väärtus. Näiteks võite sündmusi kirjeldada järgmiselt. (X on paaritu arv), (X on suurem kui 1) = (X> 1), (X on vahemikus 2 kuni 7) = (2) Seega saame arvutada tõenäosuse, et juhusliku suuruse x jaotusfunktsioon võtab intervalli väärtused lahutamise teel. Peate mõtlema lõpp-punktide kaasamisele või välistamisele. Juhuslikku muutujat nimetame diskreetseks, kui sellel on lõplik või loendatav lõpmatu olekuruum. Seega on X peade arv kolmel sõltumatul kallutatud mündil, mis tõuseb tõenäosusega p. Peame leidma diskreetse juhusliku muutuja FX kumulatiivse jaotusfunktsiooni X jaoks. Olgu X piikide arv kolmest kaardist koosnevas kogumis. Siis Y = X3 FX kaudu. FX algab 0-st, lõpeb 1-ga ega vähene, kui x väärtused suurenevad. Diskreetse juhusliku suuruse X kumulatiivne FX jaotusfunktsioon on konstantne, välja arvatud hüpped. Hüppamisel on FX pidev. Väite jaotusfunktsiooni õige järjepidevuse kohta saate tõestada tõenäosusomadusest definitsiooni abil. See käib nii: konstantsel juhuslikul muutujal on kumulatiivne FX, mis on diferentseeritav. Näitamaks, kuidas see võib juhtuda, võib tuua näite: ühikulise raadiusega sihtmärk. Arvatavasti. nool on ühtlaselt jaotatud määratud alale. Mõnel λ> 0. Seega suurenevad pidevate juhuslike suuruste jaotusfunktsioonid sujuvalt. FX-l on jaotusfunktsiooni omadused. Mees ootab bussipeatuses, kuni see kohale jõuab. Olles ise otsustanud, et keeldub, kui ooteaeg jõuab 20 minutini. Siit tuleb leida T kumulatiivne jaotusfunktsioon. Kellaaeg, millal inimene veel bussijaamas on või ei lahku. Isegi kui kumulatiivne jaotusfunktsioon on defineeritud iga juhusliku muutuja jaoks. Siiski kasutatakse üsna sageli muid tunnuseid: diskreetse muutuja mass ja juhusliku suuruse jaotustiheduse funktsioon. Tavaliselt väljastatakse väärtus, kasutades ühte neist kahest väärtusest. Neid väärtusi arvestatakse järgmiste omadustega, mis on üldist (massilist) laadi. Esimene põhineb asjaolul, et tõenäosused ei ole negatiivsed. Teine tuleneb tähelepanekust, et kogu x=2S, X olekuruum moodustab osa X tõenäosuslikust vabadusest. Näide: kallutatud mündi visked, mille tulemused on sõltumatud. Saate jätkata teatud toimingute sooritamist, kuni saate väravate lööki. Olgu X juhuslik suurus, mis annab sabade arvu enne esimest pead. Ja p tähistab tõenäosust mis tahes antud tegevuses. Seega on massitõenäosusfunktsioonil järgmised iseloomulikud tunnused. Kuna terminid moodustavad arvulise jada, nimetatakse X-i geomeetriliseks juhuslikuks muutujaks. Geomeetriline skeem c, cr, cr2,. , crn-il on summa. Ja seetõttu on sn-l piir, kui n 1. Sel juhul on piiriks lõpmatu summa. Ülaltoodud massifunktsioon moodustab suhtega geomeetrilise jada. Seetõttu on olemas naturaalarvud a ja b. Jaotusfunktsiooni väärtuste erinevus on võrdne massifunktsiooni väärtusega. Vaadeldavatel tiheduse väärtustel on järgmine määratlus: X on juhuslik suurus, mille jaotusel FX on tuletis. FX, mis rahuldab Z xFX (x) = fX (t) dt-1, nimetatakse tõenäosustiheduse funktsiooniks. Ja X-i nimetatakse pidevaks juhuslikuks muutujaks. Arvutuse põhiteoreemis on tihedusfunktsioon jaotuse tuletis. Tõenäosusi saab arvutada kindlate integraalide arvutamisega. Kuna andmeid kogutakse mitmest vaatlusest, tuleb katseprotseduuride modelleerimiseks arvestada korraga rohkem kui ühe juhusliku muutujaga. Seetõttu tähendab nende väärtuste kogum ja nende ühine jaotus kahe muutuja X1 ja X2 jaoks sündmuste vaatamist. Diskreetsete juhuslike suuruste jaoks määratakse ühised tõenäosuslikud massifunktsioonid. Pidevate puhul arvestatakse fX1, X2, kus ühine tõenäosustihedus on täidetud. Kaks juhuslikku muutujat X1 ja X2 on sõltumatud, kui kaks nendega seotud sündmust on samad. Sõnades on kahe sündmuse (X1 2 B1) ja (X2 2 B2) samaaegse toimumise tõenäosus y võrdne ülaltoodud muutujate korrutisega, et igaüks neist toimub eraldi. Sõltumatute diskreetsete juhuslike suuruste jaoks on ühine tõenäosuslik massifunktsioon, mis on piirava ioonimahu korrutis. Sõltumatute pidevate juhuslike muutujate korral on ühine tõenäosustiheduse funktsioon piirtiheduse väärtuste korrutis. Lõpuks võetakse arvesse n sõltumatut vaatlust x1, x2. , xn, mis tuleneb tundmatust tihedus- või massifunktsioonist f. Näiteks siini ooteaega kirjeldava eksponentsiaalse juhusliku muutuja funktsioonide tundmatu parameeter. Selle teoreetilise valdkonna peamine eesmärk on pakkuda tööriistu, mis on vajalikud statistikateaduse usaldusväärsetel põhimõtetel põhinevate järeldusprotseduuride väljatöötamiseks. Seega on tarkvara üheks väga oluliseks rakenduseks võime genereerida pseudoandmeid tegeliku teabe simuleerimiseks. See võimaldab testida ja täiustada analüüsimeetodeid enne nende kasutamist reaalsetes andmebaasides. See on vajalik andmete omaduste uurimiseks modelleerimise kaudu. Paljude tavaliselt kasutatavate juhuslike muutujate perekondade jaoks pakub R nende loomiseks käske. Muudel juhtudel on vaja meetodeid sõltumatute juhuslike muutujate jada modelleerimiseks, millel on ühine jaotus. Diskreetsed juhuslikud muutujad ja käsumuster. Näidiskäsku kasutatakse lihtsate ja stratifitseeritud juhuslike valimite loomiseks. Selle tulemusel valib valim (x, 40) jada x korral x hulgast 40 kirjet, nii et kõik 40 suuruse suvandid on võrdse tõenäosusega. See kasutab asendamiseta valimiseks vaikekäsku R. Saab kasutada ka diskreetsete juhuslike muutujate modelleerimiseks. Selleks tuleb vektoris x anda olekuruum ja massifunktsioon f. Asenda = TRUE kutsumine näitab, et asendusega toimub diskreetimine. Seejärel kasutatakse valimit (x, n, asenda = TRUE, prob = f) n sõltumatust juhuslikust muutujast koosneva valimi saamiseks, millel on ühine massifunktsioon f. Tehtakse kindlaks, et 1 on väikseim esitatud väärtus ja 4 on kõigist suurim. Kui käsk prob = f jäetakse välja, võetakse valim ühtlaselt vektori x väärtustest. Simulatsiooni saate võrrelda massifunktsiooniga, mis andmed genereeris, märkides topeltvõrdusmärgi ==. Ja loendades tähelepanekuid, mis võtavad x jaoks kõik võimalikud väärtused. Saate teha laua. Korrake seda 1000 jaoks ja võrrelge simulatsiooni vastava massifunktsiooniga. Esiteks simuleerige juhuslike suuruste u1, u2, homogeenseid jaotusfunktsioone. , un intervallil . Umbes 10% arvudest peaks olema vahemikus . See vastab 10% simulatsioonidele intervalli kohta FX-jaotuse funktsiooniga juhusliku suuruse korral. Samuti peaks umbes 10% juhuslikest numbritest olema vahemikus . See vastab 10%-le jaotusfunktsiooniga FX juhusliku muutuja intervalli simulatsioonidest. Need väärtused x-teljel saab saada FX-i pöördväärtusega. Kui X on pidev juhuslik suurus, mille tihedus fX on positiivne kõikjal oma domeenis, siis jaotusfunktsioon on rangelt kasvav. Sel juhul on FX-il FX-1 pöördfunktsioon, mida nimetatakse kvantiilfunktsiooniks. FX (x) u ainult siis, kui x FX-1 (u). Tõenäosusteisendus tuleneb juhusliku suuruse U = FX (X) analüüsist. FX on vahemikus 0 kuni 1. See ei saa võtta väärtusi, mis on väiksemad kui 0 ega suuremad kui 1. Väärtuste puhul u vahemikus 0 kuni 1. Kui U saab modelleerida, siis on vaja juhuslikku suurust simuleerida FX jaotus kvantiilfunktsiooni kaudu. Kasutage tuletist, et näha, et tihedus u muutub 1 piires. Kuna juhusliku suuruse U tihedus on tema võimalike väärtuste intervalli ulatuses konstantne, nimetatakse seda intervallil ühtlaseks. See on modelleeritud R-vormingus, kasutades käsku runif. Identiteeti nimetatakse tõenäosuslikuks teisenduseks. Näete, kuidas see töötab noolelaua näites. X vahemikus 0 kuni 1 on jaotusfunktsioon u = FX (x) = x2 ja seetõttu on kvantiilfunktsioon x = FX-1 (u). Võimalik on simuleerida sõltumatuid vaatlusi kauguse kohta noolepaneeli keskpunktist, genereerides samal ajal ühtseid juhuslikke muutujaid U1, U2,. ,Un. Jaotusfunktsioon ja empiiriline funktsioon põhinevad 100 noolelaua jaotuse simulatsioonil. Eksponentsiaalse juhusliku suuruse puhul arvatavasti u = FX(x) = 1 - exp(- x) ja seega x = - 1 ln(1 - u). Mõnikord koosneb loogika samaväärsetest väidetest. Sel juhul peate ühendama argumendi kaks osa. Identiteet ristumiskohaga on mõne väärtuse asemel sarnane kõigi 2 (S i i) S puhul. Ühend Ci on võrdne olekuruumiga S ja iga paar välistab üksteist. Kuna Bi jaguneb kolmeks aksioomiks. Iga test põhineb vastaval tõenäosusel P. Mis tahes alamhulga jaoks. Identiteedi kasutamine tagamaks, et vastus ei sõltu sellest, kas intervalli lõpp-punktid on kaasatud. Kõigi sündmuste iga tulemuse puhul kasutatakse lõpuks tõenäosuste pidevuse teist omadust, mida peetakse aksiomaatiliseks. Juhusliku suuruse funktsiooni jaotusseadus näitab siin, et igaühel on oma lahendus ja vastus. Antud on juhusliku muutuja jaotusfunktsiooni ja pideva juhusliku muutuja tõenäosustiheduse definitsioonid. Neid mõisteid kasutatakse aktiivselt veebisaitide statistikat käsitlevates artiklites. Vaadeldakse näiteid jaotusfunktsiooni ja tõenäosustiheduse arvutamisest MS EXCELi funktsioonide abil..
Tutvustame statistika põhimõisteid, ilma milleta pole keerulisemaid mõisteid võimalik seletada. Laske meil olla elanikkonnast(populatsioon) N objekti, millest igaühel on mingi arvtunnuse X teatud väärtus. Üldkogumi (GS) näide on masinaga toodetud sarnaste osade masside kogum. Kuna matemaatilises statistikas tehakse igasugune järeldus ainult X-i tunnuste põhjal (abstraheerides objektidest endist), siis sellest vaatenurgast lähtudes elanikkonnast tähistab N arvu, mille hulgas võib üldjuhul olla identseid. Meie näites on GS lihtsalt osa massi väärtuste arvuline massiiv. X on ühe osa kaal. Kui antud GS-ist valime juhuslikult ühe objekti, millel on tunnus X, siis X väärtus on juhuslik muutuja. Definitsiooni järgi mis tahes juhuslik väärtus Sellel on jaotusfunktsioon, mida tavaliselt tähistatakse F(x). Jaotusfunktsioon tõenäosused juhuslik muutuja X on funktsioon F(x), mille väärtus punktis x on võrdne sündmuse X tõenäosusega F(x) = P(X Selgitame, kasutades meie masinat näitena. Kuigi meie masin peaks tootma ainult ühte tüüpi detaile, on ilmne, et toodetavate osade kaal on üksteisest veidi erinev. See on võimalik tänu sellele, et valmistamisel saab kasutada erinevaid materjale ja ka töötlemistingimused võivad veidi erineda jne. Olgu masinaga toodetud raskeim osa 200 g ja kergeim 190 g. Tõenäosus, et tõenäosus, et valitud osa X kaalub alla 200 g, on võrdne 1-ga. Tõenäosus, et see kaalub alla 190 g, on 0. Vaheväärtused määratakse jaotusfunktsiooni vormi järgi. Näiteks kui protsess on seadistatud 195 g kaaluvate detailide tootmiseks, siis on mõistlik eeldada, et 195 g-st kergema osa valimise tõenäosus on 0,5. Tüüpiline graafik Jaotusfunktsioonid pideva juhusliku muutuja jaoks on näidatud alloleval pildil (lilla kõver, vt näidisfail): MS EXCELIS abi Jaotusfunktsioon helistas Integraalne jaotusfunktsioon (KumulatiivneLevitamineFunktsioon,
CDF). Siin on mõned omadused Jaotusfunktsioonid: Tuletame teile seda meelde jaotustihedus on tuletatud jaotusfunktsioonid, st. selle muutumise “kiirus”: p(x)=(F(x2)-F(x1))/Dx, kus Dx kaldub 0-le, kus Dx=x2-x1. Need. asjaolu, et jaotustihedus>1 tähendab ainult seda, et jaotusfunktsioon kasvab üsna kiiresti (see on näites ilmne). Märge: ala, mis sisaldub täielikult kogu kujutava kõvera all jaotustihedus, on võrdne 1-ga. Märge: Tuletame meelde, et jaotusfunktsiooni F(x) kutsutakse MS EXCELi funktsioonides kumulatiivne jaotusfunktsioon. See termin esineb funktsiooni parameetrites, näiteks NORM.DIST (x; keskmine; standardhälve; lahutamatu). Kui funktsioon MS EXCEL peaks tagastama jaotusfunktsioon, siis parameeter lahutamatu, d.b. seatud väärtusele TÕENE. Kui on vaja arvutada tõenäosustihedus, siis parameeter lahutamatu, d.b. VALETA. Märge: Sest diskreetne jaotus Tõenäosust, et juhuslik suurus võtab teatud väärtuse, nimetatakse sageli ka tõenäosustiheduseks (tõenäosuse massifunktsioon (pmf)). MS EXCELIS abi tõenäosustihedus võib isegi nimetada "tõenäosuse mõõtmise funktsiooniks" (vt funktsiooni BINOM.DIST()). On selge, et selleks, et arvutada tõenäosustihedus juhusliku muutuja teatud väärtuse jaoks peate teadma selle jaotust. Me leiame tõenäosustihedus N(0;1) korral x=2. Selleks peate kirjutama valemi =NORMAL.ST.DIST(2,FALSE)=0,054 või =NORMAL.DIST(2;0;1;FALSE). Tuletame teile seda meelde tõenäosus et pidev juhuslik suurus võtab konkreetse väärtuse x on 0. Sest pidev juhuslik suurus X-i saab arvutada ainult selle sündmuse tõenäosuse järgi, et X võtab intervallis (a; b) sisalduva väärtuse. 1) Leiame tõenäosuse, et (vt ülaltoodud pilti) jaotatud juhuslik suurus saab positiivse väärtuse. Vastavalt varale Jaotusfunktsioonid tõenäosus on F(+∞)-F(0)=1-0,5=0,5. NORM.ST.DIST(9,999E+307,TRUE) -NORM.ST.DIST(0,TRUE) =1-0,5. 2) Leidke tõenäosus, et juhuslik suurus jaotub , võttis negatiivse väärtuse. Definitsiooni järgi Jaotusfunktsioonid tõenäosus on F(0)=0,5. MS EXCELIS kasutage selle tõenäosuse leidmiseks valemit =NORMAL.ST.DIST(0,TRUE) =0,5. 3) Leidke tõenäosus, et juhuslik suurus jaotub standardne normaaljaotus, võtab intervallis (0; 1) sisalduva väärtuse. Tõenäosus on võrdne F(1)-F(0), st. intervallist X valimise tõenäosusest (-∞;1) peate lahutama intervallist X valimise tõenäosuse (-∞;0). MS EXCELIS kasutage valemit =NORM.ST.DIST(1,TRUE) - NORM.ST.DIST(0,TRUE). Kõik ülaltoodud arvutused viitavad juhuslikule suurusele, mis on jaotatud tavaline tavaseadus N(0;1). On selge, et tõenäosusväärtused sõltuvad konkreetsest jaotusest. Otsige artiklist üles punkt, mille puhul F(x) = 0,5, ja seejärel leidke selle punkti abstsiss. Punkti abstsiss =0, s.o. tõenäosus, et juhuslik suurus X võtab väärtuse<0, равна 0,5. MS EXCELIS kasutage valemit =NORM.ST.REV(0,5) =0. Arvutage väärtus ühemõtteliselt juhuslik muutuja võimaldab monotoonsuse omadust jaotusfunktsioonid. Pöördjaotusfunktsioon arvutab , mida kasutatakse näiteks siis, kui . Need. meie puhul on arv 0 kvantiil 0,5 normaaljaotus. Näitefailis saate teise arvutada kvantiil see jaotus. Näiteks kvantiil 0,8 on 0,84. Inglise kirjanduses pöördjaotusfunktsioon nimetatakse sageli protsendipunkti funktsiooniks (PPF). Märge: Arvutamisel kvantilid MS EXCELIS kasutatakse järgmisi funktsioone: NORM.ST.INV(), LOGNORM.INV(), CHI2.INR(), GAMMA.INR() jne. MS EXCELIS esitatud distributsioonide kohta saate lähemalt lugeda artiklist. Artikli sisu
Jaotusfunktsioon– makroskoopilise süsteemi osakeste jaotumise tõenäosustihedus koordinaatide, momentide või kvantolekute vahel. Jaotusfunktsioon on paljude erinevate (mitte ainult füüsiliste) süsteemide peamine omadus, mida iseloomustab juhuslik käitumine, s.t. juhuslik muutus süsteemi olekus ja vastavalt ka selle parameetrites. Isegi statsionaarsetes välistingimustes võib süsteemi enda olek olla selline, et mõne selle parameetri mõõtmise tulemuseks on juhuslik suurus. Valdav enamus juhtudel sisaldab jaotusfunktsioon kogu võimalikku ja seega kõikehõlmavat teavet selliste süsteemide omaduste kohta. Matemaatilises tõenäosusteoorias ja matemaatilises statistikas erinevad jaotusfunktsioon ja tõenäosustihedus üksteisest, kuid on üksteisega selgelt seotud. Allpool räägime peaaegu eranditult tõenäosustihedusest, mida (füüsika pikaaegse traditsiooni kohaselt) nimetatakse tõenäosusjaotuse tiheduseks või jaotusfunktsiooniks, pannes nende kahe termini vahele võrdusmärgi. Juhuslik käitumine on ühel või teisel määral iseloomulik kõikidele kvantmehaanilistele süsteemidele: elementaarosakestele, molekuli aatomitele jne. Kuid juhuslik käitumine ei ole ainult kvantmehaaniliste süsteemide eripära, paljudel puhtalt klassikalistel süsteemidel on see omadus. Mündi visates kõvale horisontaalsele pinnale on ebaselge, kas see maandub numbriga ülespoole või vapiga. Teatavasti on nende sündmuste tõenäosus teatud tingimustel võrdne 1/2-ga. Täringu viskamisel ei saa te kindlalt öelda, milline kuuest numbrist on esiküljel. Iga arvu väljalangemise tõenäosus teatud eelduste korral (stants on homogeenne kuubik ilma lõhestatud servadeta ja tippudeta kukub kõvale siledale horisontaalsele pinnale) on 1/6. Molekulaarse liikumise juhuslikkus avaldub kõige enam gaasis. Isegi statsionaarsetes välistingimustes on makroskoopiliste parameetrite täpsed väärtused kõikuvad (muutuvad juhuslikult) ja ainult nende keskmised väärtused on püsivad. Makroskoopiliste süsteemide kirjeldus makroparameetrite keskmiste väärtuste keeles on termodünaamilise kirjelduse () olemus. Olgu olemas ideaalne üheaatomiline gaas ja kolm selle (veel keskmistamata) makroskoopilist parameetrit: N– gaasiga hõivatud anumas liikuvate aatomite arv; P on gaasi rõhk anuma seinale ja on gaasi siseenergia. Gaas on ideaalne ja üheaatomiline, seetõttu on selle siseenergia lihtsalt gaasiaatomite translatsioonilise liikumise kineetiliste energiate summa. Number N kõigub vähemalt sorptsiooni (sellega kokkupõrkel anuma seina külge kleepumise) ja desorptsiooni (lahtinemise protsess, kui molekul tuleb seinalt ise või mõne teise molekuli tabamise tagajärjel lahti) tõttu. ) ja lõpuks klastrite moodustumise protsess – mitme molekuli lühiealised kompleksid. Kui oleks võimalik mõõta N koheselt ja täpselt, siis sellest tulenev sõltuvus N(t) oleks sarnane joonisel kujutatule. Joonise kõikumiste vahemik on selguse huvides oluliselt ülehinnatud, kuid väikese keskmise väärtusega (b N~ 10 2) osakeste arvuga gaasis on see ligikaudu sama. Kui valida anuma seinal väike ala ja mõõta sellele alale anumas paiknevate gaasimolekulide mõjul mõjuvat jõudu, siis on selle jõu normaalkomponendi keskmise väärtuse suhe pindalaga. piirkonna pindalale nimetatakse tavaliselt survet. Erinevatel ajahetkedel lendab kohale erinev arv molekule ja erineva kiirusega. Selle tulemusel, kui seda jõudu oleks võimalik kohe ja täpselt mõõta, oleks joonisel kujutatuga sarnane pilt, peate muutma ainult tähistust piki vertikaaltelge: N(t) YU P(t) ja b N(t)s Yu b P(t) Koos. Peaaegu sama kehtib gaasi siseenergia kohta, erinevad on ainult protsessid, mis viivad selle koguse juhuslike muutusteni. Näiteks konteineri seinale lähenedes põrkub gaasimolekul mitte abstraktse, absoluutselt elastse ja peegeldava seinaga, vaid ühe selle seina materjali moodustava osakesega. Olgu sein teras, siis need on tasakaaluasendite ümber võnkuvad raua ioonid - kristallvõre sõlmed. Kui gaasimolekul läheneb seinale selles iooni võnkefaasis, kui ta selle poole liigub, siis kokkupõrke tagajärjel lendab molekul seinast eemale suurema kiirusega, kui ta lähenes. Koos selle molekuli energiaga suureneb ka gaasi siseenergia E. Kui molekul põrkab kokku temaga samas suunas liikuva iooniga, lendab see molekul ära väiksema kiirusega kui see, millega ta lendas. Lõpuks võib molekul sattuda interstitsiaalsesse ruumi (tühja ruumi kristallvõre kõrvuti asetsevate sõlmede vahel) ja sinna kinni jääda, nii et isegi tugev kuumutamine ei suuda seda sealt eemaldada. Kahel viimasel juhul gaasi siseenergia E väheneb. Seega E(t) on samuti aja juhuslik funktsioon ja on selle funktsiooni keskmine väärtus. Olles kindlaks teinud Browni osakese asukoha mingil ajahetkel t 1, saab täpselt ennustada ainult selle asukohta järgmisel ajahetkel t 2 ei ületa ( t 2 –t 1) · c, Kus c- valguse kiirus vaakumis. On juhtumeid diskreetse ja pideva olekute spektriga ja vastavalt muutuvatele x. Muutuja väärtuste spektri all mõistetakse selle võimalike väärtuste kogumit. Diskreetse olekuspektri korral on tõenäosusjaotuse määramiseks vaja esiteks näidata juhusliku suuruse võimalike väärtuste täielik komplekt x 1, x 2, x 3,…x k,… (1) ja teiseks nende tõenäosused: W 1, W 2, W 3,…W k,… (2) Kõigi võimalike sündmuste tõenäosuste summa peab olema võrdne ühega (normaliseerimistingimus) Tõenäosusjaotuse kirjeldamine seostega (1) – (3) on võimatu pideva olekuspektri ja vastavalt muutuja võimalike väärtuste pideva spektri korral. x. Lase x aktsepteerib kõiki võimalikke intervalli tegelikke väärtusi x KOHTA [ a, b] (4) Kus a Ja b mitte tingimata lõplik. Näiteks gaasimolekuli kiirusvektori mooduli jaoks V O lamades kogu võimalike väärtuste vahemikus, st. x KOHTA [ x,x+D x] KOHTA [ a, b] (5) Siis tõenäosus D W(x, D x) tabamust x intervallis (5) on võrdne Siin N– mõõtmiste koguarv x ja D n(x, D x) – intervalli (5) langevate tulemuste arv. Tõenäosus D W oleneb loomulikult kahest argumendist: x– intervalli asukoht [ a, b] ja D x- selle pikkus (eeldatakse, kuigi see pole üldse vajalik, et D x> 0). Näiteks täpse väärtuse saamise tõenäosus x, teisisõnu tabamise tõenäosus x nullpikkuses intervallis on võimatu sündmuse tõenäosus ja see on seega võrdne nulliga: D W(x, 0) = 0 Teisest küljest väärtuse saamise tõenäosus x kuskil (ükskõik kus) kogu intervalli sees [ a, b] on usaldusväärse sündmuse tõenäosus (alati juhtub midagi) ja on seetõttu võrdne ühega (eeldatakse, et b > a): D W(a, b – a) = 1. Las D x vähe. Piisava väiksuse kriteerium sõltub süsteemi spetsiifilistest omadustest, mida kirjeldab tõenäosusjaotus D W(x, D x). Kui D x on väike, siis funktsioon D W(x, D x) saab laiendada D-astmete seeriaks x: Kui joonistate D graafiku W(x, D x) teisest argumendist D x, siis täpse sõltuvuse asendamine ligikaudse avaldisega (7) tähendab (väikeses piirkonnas) täpse kõvera asendamist parabooli tükiga (7). Punktis (7) on esimene liige täpselt võrdne nulliga, kolmas ja järgnevad liikmed, kui D on piisavalt väike x võib ära jätta. Noodikirja sissejuhatus annab olulise tulemuse D W(x, D x) » r( x)·D x (8) Suhe (8), mis on täpsemalt täidetud, väiksem D x tähendab, et kui intervalli pikkus on lühike, on sellesse intervalli sattumise tõenäosus võrdeline selle pikkusega. Võite liikuda ka väikestest, kuid piiratud D -st x formaalselt lõpmatu väikeseni dx, D samaaegse asendamisega W(x, D x) peal dW(x). Siis ligikaudne võrdsus (8) muutub täpseks dW(x) = r( x)· dx(9) Proportsionaalsuse tegur R ( x) on lihtne tähendus. Nagu võib näha (8) ja (9), r ( x) on arvuliselt võrdne tabamise tõenäosusega xühiku pikkuse intervalliga. Seetõttu üks funktsiooni r nimesid ( x) - muutuja tõenäosuse jaotuse tihedus x. Funktsioon r( x) sisaldab kogu teavet selle kohta, kuidas tõenäosus dW(x) tabamust x etteantud pikkusega intervallis dx Sõltub selle intervalli asukohast, st. See näitab, kuidas tõenäosus jaotub x. Seetõttu funktsioon r( x) nimetatakse tavaliselt muutuja jaotusfunktsiooniks x ja seega, füüsilise süsteemi jaotusfunktsioon, kirjeldades olekute spektrit, mille muutuja kehtestati x. Mõisteid „tõenäosustihedus” ja „jaotusfunktsioon” kasutatakse statistilises füüsikas vaheldumisi. Võime kaaluda tõenäosuse (6) ja jaotusfunktsiooni (9) definitsiooni üldistamist näiteks kolme muutuja puhul. Suvaliselt suure hulga muutujate üldistus toimub täpselt samal viisil. Olgu füüsilise süsteemi olek, mis aja jooksul juhuslikult muutub x, y Ja z pideva spektriga: x KOHTA [ a, b] y KOHTA [ c, d] z KOHTA [ e, f] (10) Kus a, b,…, f, nagu varem, pole tingimata piiratud. Muutujad x, y Ja z Võib olla näiteks gaasimolekuli massi keskpunkti koordinaadid, selle kiirusvektori komponendid x YU V x, y YU V y Ja z YU V z või impulss jne. Sündmust mõistetakse kui kõigi kolme muutuja samaaegset esinemist pikkuse D intervalliga x, D y ja D z Seetõttu, s.o: x KOHTA [ x, x+D x] y KOHTA [ y, y+D y] z KOHTA [ z, z+D z] (11) Sündmuse (11) tõenäosust saab määrata sarnaselt (6) erinevusega, et nüüd d n- mõõtmiste arv x, y Ja z, mille tulemused rahuldavad samaaegselt seoseid (11). Kasutades (7) sarnast seeria laienemist dW(x, y, z) = r( x, y, z)· dx dy dz(13) kus r ( x, y, z) - kolme muutuja jaotusfunktsioon korraga x, y Ja z. Matemaatilises tõenäosuse teoorias kasutatakse mõistet „jaotusfunktsioon”, et tähistada R -st erinevat kogust ( x), nimelt: olgu x mingi juhusliku suuruse väärtus x. Funktsioon ф (x), andes tõenäosuse, et x võtab väärtust suuremat kui x ja seda nimetatakse jaotusfunktsiooniks. Funktsioonidel r ja Ф on erinev tähendus, kuid need on omavahel seotud. Tõenäosuste liitmise teoreemi kasutamine annab (siin A– võimalike väärtuste vahemiku vasakpoolne ots x (cm. TÕENÄOSUSTEOORIA): , (14) kust Ligikaudse seose (8) kasutamine annab D W(x, D x) » r( x)·D x. Võrdlus täpse avaldisega (15) näitab, et (8) kasutamine võrdub (16) sisalduva integraali asendamisega integrandi funktsiooni r( x) integreerimisintervalli D pikkuse järgi x: Seos (17) on täpne, kui r = konst Seetõttu on viga (16) asendamisel (17) väike, kui integrandi funktsioon muutub integreerimisintervalli D jooksul veidi x. Võite sisestada D x eff– intervalli pikkus, mille jooksul jaotusfunktsioon r( x) muutub oluliselt, s.t. funktsiooni enda järjekorra väärtusega või Dr eff mooduli järjekord r. Lagrange'i valemit kasutades saame kirjutada: millest järeldub, et D x eff mis tahes funktsiooni jaoks r Jaotusfunktsiooni võib argumendi teatud muutuste intervalli jooksul pidada "peaaegu konstantseks", kui selle juurdekasv |Dr| sellel intervallil on moodul palju väiksem kui funktsioon ise selle intervalli punktides. Nõue |Dr| eff| ~ r (jaotusfunktsioon r i 0) annab D x x eff (20) integreerimisintervalli pikkus peab olema väike võrreldes sellega, mille jooksul integrandi funktsioon oluliselt muutub. Illustratsioon on näidatud joonisel fig. 1. (17) vasakul küljel olev integraal on võrdne kõvera aluse pindalaga. Toote (17) paremal küljel on ala, mis on joonisel fig. 1 veerg. Vastavate alade vahe väiksuse kriteeriumiks on ebavõrdsuse (20) täitumine. Seda saab kontrollida, asendades funktsiooni r( laienduse esimesed liikmed x) volituste järjekorras Nõue, et parandus (teine liige (21) paremal pool) oleks esimesega võrreldes väike, annab ebavõrdsuse (20) D-ga x eff alates (19). Näited mitmetest jaotusfunktsioonidest, mis mängivad olulist rolli statistilises füüsikas. Maxwelli jaotus molekulaarkiiruse vektori projekteerimiseks antud suunas (näiteks see on telje suund HÄRG). Siin m- gaasi molekuli mass, T- tema temperatuur, k– Boltzmanni konstant. Maxwelli jaotus kiirusvektori suuruse jaoks: Maxwelli jaotus molekulide translatsioonilise liikumise energia jaoks e = mV 2/2 Boltzmanni jaotus, täpsemalt nn baromeetriline valem, mis määrab molekulide kontsentratsiooni või õhurõhu jaotuse kõrgusel h mingist “nulltasemest” eeldusel, et õhutemperatuur ei sõltu kõrgusest (isotermilise atmosfääri mudel). Tegelikult langeb temperatuur madalamas atmosfääris märgatavalt kõrguse kasvades.Muutujate muutmise tehnika
Üldistus vähendamise funktsiooni jaoks
Jaotusfunktsioonid
Juhuslikud muutujad ja jaotusfunktsioonid
Massifunktsioonid
Sõltumatud juhuslikud muutujad
Juhuslike muutujate simuleerimine
Tõenäosuse teisenduse illustreerimine
Eksponentfunktsioon ja selle muutujad
Rahvaarv ja juhuslik suurus
Jaotusfunktsioon
Tõenäosuse tiheduse arvutamine MS EXCEL funktsioonide abil
Tõenäosuste arvutamine MS EXCELi funktsioonide abil
+∞ asemel on valemisse sisestatud väärtus 9,999E+307= 9,999*10^307, mis on maksimaalne arv, mida saab MS EXCELi lahtrisse sisestada (nii-öelda lähim +∞-le).
Näited.
Browni liikumine.
Laadimine...
