Kohaliku Laplace'i teoreemi tabel. Diskreetse juhusliku suuruse tõenäosusjaotuse seadus
Bayesi valem
Sündmused B 1 , B 2 ,…, B n ei ühildu ja moodustavad täisgrupp, st. Р(В 1)+ Р(В 2)+…+ Р(В n)=1. Ja sündmus A saab toimuda ainult siis, kui ilmneb üks sündmustest B 1 , B 2 ,…, B n. Seejärel leitakse kogu tõenäosuse valemiga sündmuse A tõenäosus.
Olgu sündmus A juba toimunud. Siis saab hüpoteeside B 1 , B 2 ,…, B n tõenäosusi Bayesi valemi abil üle hinnata:
Bernoulli valem
Tehke n sõltumatut katset, millest igaühes sündmus A võib toimuda, kuid ei pruugi toimuda. Sündmuse A toimumise (mitte toimumise) tõenäosus on sama ja võrdne p-ga (q=1-p).
Tõenäosus, et n sõltumatus katses toimub sündmus A täpselt k korda (vastavalt joonisele fig, millises järjestuses), leitakse Bernoulli valemiga:
Tõenäosus, et sündmus toimub n sõltumatus katses:
A). Vähem kui korda P n (0)+P n (1)+…+P n (k-1).
b). Rohkem kui k korda P n (k+1)+P n (k+2)+…+P n (n).
V). vähemalt k korda P n (k)+P n (k+1)+…+P n (n).
G). mitte rohkem kui k korda P n (0)+P n (1)+…+P n (k).
Laplace'i lokaalsed ja integraalteoreemid.
Me kasutame neid teoreeme, kui n on piisavalt suur.
Kohalik Laplace'i teoreem
Tõenäosus, et n sõltumatus katses toimub sündmus täpselt k korda, on ligikaudu võrdne:
Funktsioonitabel jaoks positiivsed väärtused(x) on toodud Gmurmani probleemiraamatus 1. lisas, lk 324–325.
Kuna isegi (), siis jaoks negatiivsed väärtused(x) kasutage sama tabelit.
Laplace'i integraalteoreem.
Tõenäosus, et n sõltumatus katses toimub sündmus vähemalt "k" korda, on ligikaudu võrdne:
Laplace'i funktsioon
Positiivsete väärtuste funktsioonide tabel on toodud Gmurmani probleemiraamatus 2. lisas, lk 326-327. Väärtuste puhul, mis on suuremad kui 5, määrame Ф(х)=0,5.
Kuna Laplace'i funktsioon on paaritu F(-x)=-F(x), siis negatiivsete väärtuste (x) puhul kasutame sama tabelit, ainult funktsiooni väärtused võtame miinusmärgiga.
Diskreetse tõenäosusjaotuse seadus juhuslik muutuja
Binoomjaotuse seadus.
Diskreetne- juhuslik suurus, mille võimalikud väärtused on eraldi isoleeritud arvud, mida see muutuja teatud tõenäosustega võtab. Teisisõnu saab diskreetse juhusliku suuruse võimalikud väärtused nummerdada.
Diskreetse juhusliku suuruse võimalike väärtuste arv võib olla lõplik või lõpmatu.
Diskreetsed juhuslikud muutujad on tähistatud suurte tähtedega X ja nende võimalikud väärtused - väikeste tähtedega x1, x2, x3 ...
Näiteks.
X on saadud punktide arv täringut; X võtab kuus võimalikku väärtust: x1=1, x2=1, x3=3, x4=4, x5=5, x6=6 tõenäosustega p1=1/6, p2=1/6, p3=1/6. p6 =1/6.
Diskreetse juhusliku suuruse jaotusseadus nimetage selle võimalike väärtuste ja nende vastavate tõenäosuste loend.
Jaotamise seaduse võib anda:
1. tabeli kujul.
2. Analüütiliselt - valemi kujul.
3. graafiliselt. Sel juhul konstrueeritakse punktid М1(х1,р1), М2(х2,р2), … Мn(хn,рn) XOP ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis. Need punktid on ühendatud sirgjoontega. Saadud kujundit nimetatakse jaotuspolügoon.
Diskreetse juhusliku suuruse (x) jaotusseaduse kirjutamiseks on vaja loetleda kõik selle võimalikud väärtused ja leida neile vastavad tõenäosused.
Kui neile vastavad tõenäosused leitakse Bernoulli valemiga, siis nimetatakse sellist jaotusseadust binoomseks.
Näide nr 168, 167, 171, 123, 173, 174, 175.
Diskreetsete juhuslike muutujate arvväärtused.
Matemaatiline ootus, dispersioon ja standardhälve.
Diskreetse juhusliku suuruse keskmise väärtuse tunnus on oodatud väärtus.
matemaatiline ootus Diskreetne juhuslik suurus on kõigi selle võimalike väärtuste ja nende tõenäosuste korrutiste summa. Need. kui on antud jaotusseadus, siis matemaatiline ootus
Kui diskreetse juhusliku suuruse võimalike väärtuste arv on lõpmatu, siis
Veelgi enam, võrdsuse paremal küljel olev jada läheneb absoluutselt ja kõigi tõenäosuste summa pi on võrdne ühega.
Matemaatilise ootuse omadused.
1. M(S)=S, S=miinused.
2. M(Cx)=CM(x)
3. М(х1+х2+…+хn)=М(х1)+М(х2)+…+М(хn)
4. М(х1*х2*…*хn)=М(х1)*М(х2)*…*М(хn).
5. Binoomjaotuse seaduse jaoks leitakse matemaatiline ootus valemiga:
Juhusliku suuruse võimalike väärtuste hajuvuse tunnuseks ümber matemaatilise ootuse on dispersioon ja standardhälve.
dispersioon diskreetset juhuslikku muutujat (x) nimetatakse ruudu hälbe matemaatiliseks ootuseks. D(x)=M(x-M(x))2.
Dispersioon arvutatakse mugavalt järgmise valemiga: D (x) \u003d M (x 2) - (M (x)) 2.
Dispersiooniomadused.
1. D(S) = 0, S = miinused.
2. D (Cx) \u003d C 2 D (x)
3. D(x1+x2+…+xn)=D(x1)+D(x2)+…+D(xn)
4. Binoomjaotuse seaduse dispersioon
Keskmine standardhälve nimetatakse juhuslikku muutujat Ruutjuur dispersioonist.
näiteid. 191, 193, 194, 209, d/z.
Pideva juhusliku muutuja (NSV) tõenäosuste integraaljaotusfunktsioon (IDF, DF). Pidev- suurus, mis võib võtta kõik väärtused mõnest lõplikust või lõpmatust intervallist. Võimalikke NSV väärtusi on mitu ja seda ei saa ümber nummerdada.
Näiteks.
Kaugus, mille mürsk tulistades läbib, on NSV.
FMI nimetatakse funktsiooniks F(x), mis määrab iga x väärtuse jaoks tõenäosuse, et NSV X võtab väärtuse X<х, т.е. F(x)=Р(X Sageli öeldakse IFR-i asemel FR. Geomeetriliselt on võrrand F(x)=P(X IF omadused. 1. IF väärtus kuulub intervalli , st. F(x). 2. IF on mittekahanev funktsioon, st. x2 > x1,. Järeldus 1. Tõenäosus, et NSV X võtab intervallis (a; c) sisalduva väärtuse, on võrdne integraalfunktsiooni juurdekasvuga sellel intervallil, s.o. P(a Järeldus 2. Tõenäosus, et NSV X võtab ühe kindla väärtuse, näiteks x1=0, on võrdne 0-ga, s.o. P(x=x1)=0. 3. Kui kõik võimalikud NSV X väärtused kuuluvad (a; c), siis F(x)=0 x jaoks<а, и F(x)=1 при х>V. Järeldus 3. Kehtivad järgmised piirseosed. Pideva juhusliku muutuja (NSV) tõenäosuste diferentsiaaljaotusfunktsioon (DDF) (tõenäosustihedus). DF f(x) NSV tõenäosusjaotused kutsuge IGF-i esimeseks derivaadiks: Sageli öeldakse PDD asemel tõenäosustihedus (PD). Definitsioonist järeldub, et teades IF F(x), võib leida DF f(x). Kuid sooritatakse ka pöördteisendus: teades DF f(x), leiame IF F(x). Tõenäosus, et NSW X võtab (a; c) kuuluva väärtuse, on: A). Kui IF on antud - tagajärg 1. B). Kui DF on antud DF omadused. 1. DF - mitte negatiivne, s.t. . 2. DF-i vale integraal punktis (), võrdub 1-ga, st. . Järeldus 1. Kui kõik võimalikud NSV X väärtused kuuluvad (a; c), siis. Näited. nr 263, 265, 266, 268, 1111, 272, d/s. NSV numbrilised omadused. 1. NSW X matemaatiline ootus (MO), mille võimalikud väärtused kuuluvad kogu OX-teljele, määratakse valemiga: Kui kõik NSV X võimalikud väärtused kuuluvad (a; c), määratakse MO valemiga: Kõik MO omadused, mis on näidatud diskreetsete suuruste jaoks, säilitatakse ka pidevate koguste jaoks. 2. NSW X dispersioon, mille võimalikud väärtused kuuluvad kogu OX-teljele, määratakse järgmise valemiga: Kui kõik NSV X võimalikud väärtused kuuluvad (a; c), määratakse dispersioon järgmise valemiga: Kõik diskreetsete koguste jaoks näidatud dispersiooni omadused säilivad ka pidevate koguste jaoks. 3. NSW X standardhälve määratakse samamoodi nagu diskreetsete suuruste puhul: Näited. nr 276, 279, X, d / s. Operatsiooniarvutus (OI). OI on meetod, mis võimaldab taandada funktsioonide eristamise ja integreerimise operatsioonid lihtsamateks toiminguteks: nende funktsioonide nn kujutiste argumendiga korrutamine ja jagamine. OI kasutamine hõlbustab paljude probleemide lahendamist. Eelkõige probleemid konstantsete koefitsientidega LDE-de integreerimisel ja selliste võrrandite süsteemidega, taandades need lineaarseteks algebralisteks. originaalid ja pildid. Laplace'i teisendused. f(t)-originaal; F(p)-pilt. Nimetatakse üleminekut f(t)F(p). Laplace'i teisendus. Funktsiooni f(t) Laplace'i teisendust nimetatakse F(p), mis sõltub kompleksmuutujast ja on defineeritud valemiga: Seda integraali nimetatakse Laplace'i integraaliks. Selle vale integraali koondumiseks piisab, kui eeldada, et f(t) on intervallis osade kaupa pidev ja mõne konstanti korral M > 0 ning rahuldab ebavõrdsust Nimetatakse selliste omadustega funktsioon f(t). originaal, ja üleminekut originaalilt selle kujutisele nimetatakse Laplace'i teisendus. Laplace'i teisenduse omadused. Kujutiste otsene määramine valemiga (2) on tavaliselt keeruline ja seda saab oluliselt hõlbustada Laplace'i teisenduse omaduste kasutamine. Olgu F(p) ja G(p) vastavalt originaalide f(t) ja g(t) kujutised. Seejärel toimuvad järgmised omadused-suhted: 1. С*f(t)С*F(p), С=const - homogeensuse omadus. 2. f(t)+g(t)F(p)+G(p) - liitvusomadus. 3. f(t)F(p-) - nihketeoreem. originaali n-nda tuletise üleminek kujutisele (originaalne diferentseerumisteoreem). Üks kuulsamaid mitteelementaarfunktsioone, mida kasutatakse matemaatikas, diferentsiaalvõrrandite teoorias, statistikas ja tõenäosusteoorias, on Laplace'i funktsioon. Probleemide lahendamine sellega nõuab märkimisväärset ettevalmistust. Uurime välja, kuidas saate seda indikaatorit Exceli tööriistade abil arvutada. Laplace'i funktsioonil on lai rakendus ja teoreetiline rakendus. Näiteks kasutatakse seda üsna sageli diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks. Sellel terminil on teine samaväärne nimi - tõenäosusintegraal. Mõnel juhul on lahenduse aluseks väärtustabeli koostamine. Excelis lahendatakse määratud ülesanne operaatori abil NORM.ST.DIST. Selle nimi on lühend terminist "tavaline standardjaotus". Kuna selle põhiülesanne on tagastada valitud lahtrisse standardne integraaljaotus. See operaator kuulub Exceli standardfunktsioonide statistilisse kategooriasse. Excel 2007-s ja programmi varasemates versioonides kutsuti seda avaldust NORMSTRAST. Ühilduvuse huvides on see jäetud ka rakenduste kaasaegsetesse versioonidesse. Kuid siiski soovitavad nad kasutada täiustatud analoogi - NORM.ST.DIST. Operaatori süntaks NORM.ST.DIST järgnevalt: NORM.ST.DIS(z;integraal) Aegunud operaator NORMSTRAST on kirjutatud nii: NORMSDIST(z) Nagu näete, uues versioonis olemasolevale argumendile Z argument lisatud "Integraal". Tuleb märkida, et iga argument on kohustuslik. Argument Z määrab arvväärtuse, mille jaotust joonistatakse. Argument "Integraal" on tõeväärtus, mida saab esitada "TÕSI" ("1") või "VALE" («0»)
. Esimesel juhul tagastatakse määratud lahtrisse integraaljaotuse funktsioon ja teisel juhul kaalujaotuse funktsioon. Muutuja jaoks vajaliku arvutuse tegemiseks rakendatakse järgmist valemit: NORM.ST.DIST(z;integraal(1))-0,5 Vaatame nüüd konkreetset näidet operaatori abil NORM.ST.DIST konkreetse probleemi lahendamiseks. Laplace'i funktsioon on mitteelementaarfunktsioon ja seda kasutatakse sageli nii diferentsiaalvõrrandite teoorias ja tõenäosusteoorias kui ka statistikas. Laplace'i funktsioon nõuab teatud teadmisi ja koolitust, sest see võimaldab lahendada erinevaid rakenduslike ja teoreetiliste rakenduste valdkonna probleeme. Laplace'i funktsiooni kasutatakse sageli diferentsiaalvõrrandite lahendamiseks ja seda nimetatakse sageli tõenäosusintegraaliks. Vaatame, kuidas seda funktsiooni saab Excelis kasutada ja kuidas see toimib. Tõenäosusintegraal ehk Laplace'i funktsioon Excelis vastab operaatorile "NORMSDIST", mille süntaks on: "=NORMSDIST(z). Programmi uuemates versioonides on operaatoril ka nimi "NORM.ST.DIST." ja veidi muudetud süntaks “=NORM.ST.DIST(z; integral).
Teooriast saadakse aru. Liigume edasi praktika juurde. Kaaluge Laplace'i funktsiooni kasutamist Excelis. 1. Kirjutage väärtus lahtrisse, sisestage funktsioon järgmisesse. 2. Kirjutame funktsiooni käsitsi "=NORM.ST.DIST(B4;1). 3. Või kasutage funktsioonide sisestamise viisardit – minge kategooriasse "Staatiline" ja valige "Täielik tähestikuline loend". 4. Osutage ilmuvas funktsiooni argumentide aknas algväärtustele. Meie algne lahter vastutab muutuja "Z" eest ja sisestage "1" lahtrisse "Integral". Meie funktsioon tagastab kumulatiivse jaotuse funktsiooni. 5. Selle funktsiooni "NORM.ST.DIST" jaoks saame standardse normaaljaotuse valmislahenduse. Kuid see pole veel kõik, meie eesmärk oli leida Laplace'i funktsioon või tõenäosusintegraal, nii et teeme veel mõned sammud. 6. Laplace'i funktsioon tähendab, et saadud funktsiooni väärtusest tuleb lahutada "0,5". Lisame funktsioonile vajaliku toimingu. Vajutage "Enter" ja hankige lõplik lahendus. Soovitud väärtus on õige ja kiiresti leitud. Excel arvutab selle funktsiooni hõlpsalt mis tahes lahtri väärtuse, lahtrivahemiku või lahtriviidete jaoks. Funktsioon NORM.ST.DIST on standardne operaator tõenäosusintegraali või, nagu seda nimetatakse ka Laplace'i funktsiooniks, leidmiseks.
2.1. Laplace'i funktsioon (tõenäosusintegraal). paistab nagu: Laplace'i funktsiooni graafik on näidatud joonisel 5. Funktsioon F(X) on tabelina (vt lisade tabel 1). Selle tabeli kasutamiseks peate teadma Laplace'i funktsiooni omadused: 1) Funktsioon Ф( X) kummaline: F(-X)= -F(X). 2) Funktsioon F(X) kasvab monotoonselt. 3) F(0)=0. 4) F(+¥
)=0,5; F(-¥
)=-0,5. Praktikas võime eeldada, et x³5 korral on funktsioon F(X)=0,5; x £ -5 puhul funktsioon F(X)=-0,5. 2.2.
Laplace'i funktsioonil on ka teisi vorme: Erinevalt nendest vormidest on funktsioon F(X) nimetatakse standard- või normaliseeritud Laplace'i funktsiooniks. See on suhete kaudu seotud muude vormidega: NÄIDE 2. Pidev juhuslik suurus X omab normaaljaotuse seadust parameetritega: m=3, s=4. Leidke tõenäosus, et testi tulemusel juhuslik suurus X: a) võtab intervallis (2; 6) sisalduva väärtuse; b) võtab väärtuse alla 2; c) võtab väärtuse, mis on suurem kui 10; d) kalduda kõrvale matemaatilisest ootusest summaga, mis ei ületa 2. Illustreerige ülesande lahendust graafiliselt. Lahendus. a) Tõenäosus, et tavaline juhuslik suurus X jääb määratud intervalli ( a,b), Kus a=2 ja b=6 on võrdne: Laplace'i funktsiooni väärtused F(x) määratakse lisas toodud tabeli järgi, arvestades seda F(–X)= –F(X). b) Tõenäosus, et tavaline juhuslik suurus X võtab väärtuse, mis on väiksem kui 2, on võrdne: c) tõenäosus, et tavaline juhuslik suurus X võtab väärtuse, mis on suurem kui 10, on võrdne: d) tõenäosus, et tavaline juhuslik suurus X d=2 on võrdne: Geomeetrilisest vaatenurgast on arvutatud tõenäosused arvuliselt võrdsed normaalkõvera all olevate varjutatud aladega (vt joonis 6). Riis. 6. Juhusliku suuruse normaalkõver X~N(3;4) Lahendus. Juhuslike vigade matemaatiline ootus on null m X kõrvale kalduda matemaatilisest ootusest summa võrra, mis on väiksem kui d=15 on võrdne: NÄIDE 4. Masin teeb palle. Pall loetakse kehtivaks, kui kõrvalekalle X kuuli läbimõõt kavandatud suurusest on absoluutväärtuses väiksem kui 0,7 mm. Eeldusel, et juhuslik muutuja X normaalselt jaotatud standardhälbega 0,4 mm, leidke, kui palju häid kuule on keskmiselt 100 valmistatud palli hulgas. Lahendus. Juhuslik väärtus X- kuuli läbimõõdu kõrvalekalle kavandatud suurusest. Hälbe matemaatiline ootus on null, s.t. M(X)=m=0. Siis tõenäosus, et tavaline juhuslik suurus X kõrvale kalduda matemaatilisest ootusest summa võrra, mis on väiksem kui d\u003d 0,7, on võrdne: Sellest järeldub, et ligikaudu 92 palli 100-st on head. NÄIDE 5. Tõesta reeglit "3 s». Lahendus. Tõenäosus, et tavaline juhuslik muutuja X kõrvale kalduda matemaatilisest ootusest summa võrra, mis on väiksem kui d= 3s, on võrdne: NÄIDE 6. Juhuslik väärtus X tavaliselt jaotatud matemaatilise ootusega m=10. Tabamise tõenäosus X intervallis (10, 20) on 0,3. Kui suur on löögi tõenäosus X intervalli (0, 10)? Lahendus. Tavaline kõver on sümmeetriline sirgjoone suhtes X=m=10, seega ülevalt normaalkõveraga ja altpoolt intervallidega (0, 10) ja (10, 20) piiratud alad on omavahel võrdsed. Kuna alad on arvuliselt võrdsed tabamise tõenäosustega X sobiva intervalliga. See artikkel on selle õppetunni loomulik jätk sõltumatud testid kus me kohtusime Bernoulli valem ja töötas välja selle teema kohta tüüpilised näited. Laplace'i lokaalsed ja integraalteoreemid (Moivre-Laplace) lahendavad sarnase ülesande selle erinevusega, et need on rakendatavad piisavalt suure hulga sõltumatute testide puhul. Sõnu “kohalik”, “integraalne”, “teoreemid” ei pea maha vaikima – materjali valdatakse sama kergusega, millega Laplace patsutas Napoleoni lokkis pead. Seetõttu kaalume ilma komplekside ja esialgsete märkusteta kohe demo näidet: Münti visatakse 400 korda. Leidke tõenäosus, et pead kerkivad 200 korda. Iseloomulike tunnuste järgi on siin vaja rakendada Bernoulli valem on tõenäosus, et juhuslik sündmus toimub sõltumatutes katsetes täpselt üks kord; Meie ülesande jaoks: Seega on tõenäosus, et 400 mündiviske tulemuseks on täpselt 200 pead: ...Stopp, mida edasi teha? Mikrokalkulaator (vähemalt minu oma) ei tulnud 400. kraadiga toime ja kapituleerus faktoriaalid. Ja ma ei viitsinud toodet läbi lugeda =) Kasutame Exceli standardfunktsioon, mis suutis koletist töödelda: . Juhin teie tähelepanu sellele, mis on saadud täpne väärtus ja selline lahendus tundub olevat ideaalne. Esmapilgul. Siin on mõned kaalukad vastuargumendid: - esiteks ei pruugi tarkvara käepärast olla; Seetõttu, kallid lugejad, ootame lähitulevikus: Kui juhusliku sündmuse toimumise tõenäosus igas katses on konstantne, siis tõenäosus, et sündmus toimub katsetes täpselt üks kord, on ligikaudu võrdne: Samal ajal, mida rohkem , seda paremini on arvutatud tõenäosus ligikaudne saadud täpsele väärtusele (vähemalt hüpoteetiliselt) Bernoulli valemi järgi. Soovitatav minimaalne testide arv on ligikaudu 50-100, vastasel juhul võib tulemus olla tõest kaugel. Lisaks töötab kohalik Laplace'i teoreem, seda paremini, mida lähemal on tõenäosus 0,5-le ja vastupidi - see annab nulli või ühele lähedaste väärtuste puhul olulise vea. Sel põhjusel veel üks valemi tõhusa kasutamise kriteerium Nii et näiteks kui , siis on Laplace'i teoreemi rakendamine 50 katse jaoks õigustatud. Aga kui ja , siis lähendus (täpse väärtuseni) saab halb olema. Miks ja erifunktsioonist Vormistame suhte oma näitega: Ülesanne 1 Münti visatakse 400 korda. Leidke tõenäosus, et pead täpselt maanduvad: a) 200 korda; Kust alustada lahendus? Kõigepealt paneme teadaolevad kogused kirja nii, et need silme ette jääksid: on sõltumatute testide koguarv; a) Leia tõenäosus, et 400 viske seerias kukuvad pead välja täpselt üks kord. Testide suure arvu tõttu kasutame kohalikku Laplace'i teoreemi: Esimeses etapis arvutame argumendi vajaliku väärtuse: Järgmisena leiame funktsioonile vastava väärtuse: . Seda saab teha mitmel viisil. Kõigepealt tekivad muidugi otsesed arvutused: Otsese arvutuse miinuseks on see, et iga mikrokalkulaator ei seedi eksponendit, lisaks pole arvutused kuigi meeldivad ja võtavad aega. Miks nii kannatada? Kasutage terver kalkulaator (punkt 4) ja saate kohe väärtust! Lisaks on olemas funktsiooni väärtuste tabel, mis on saadaval peaaegu igas tõenäosusteooria raamatus, eriti õpikus VE. Gmurman. Laadige alla, kes pole veel alla laadinud - kasulikku kraami on üldiselt palju ;-) Ja õppige kindlasti laua kasutamist (kohe!)- sobiv arvutitehnika ei pruugi alati käepärast olla! Viimases etapis rakendame valemit Nagu näete, on saadud tulemus väga lähedane täpsele väärtusele, mis on arvutatud Bernoulli valem. b) Leidke tõenäosus, et 400 katsest koosneva seeria jooksul kerkivad pead täpselt üks kord. Kasutame kohalikku Laplace'i teoreemi. Üks, kaks, kolm – ja ongi valmis: on soovitud tõenäosus. Vastus: Järgmine näide, nagu paljud on arvanud, on pühendatud lapseootele - ja see on teie enda otsustada :) 2. ülesanne Poisi saamise tõenäosus on 0,52. Leidke tõenäosus, et 100 vastsündinu hulgas on täpselt: a) 40 poissi, b) 50 poissi, c) 30 tüdrukut. Ümarda tulemused 4 komakohani. ... Siin kõlab huvitavalt väljend “sõltumatud testid” =) Muide, päris statistiline tõenäosus poisi sündivus paljudes maailma piirkondades jääb vahemikku 0,51–0,52. Näide ülesandest tunni lõpus. Kõik märkasid, et numbrid on üsna väikesed ja see ei tohiks olla eksitav - lõppude lõpuks räägime üksikisiku tõenäosustest, kohalik väärtused (seega ka teoreemi nimi). Ja selliseid väärtusi on palju ja piltlikult öeldes tõenäosusest "peaks piisama kõigile". Tõepoolest, palju sündmusi praktiliselt võimatu. Lubage mul selgitada ülaltoodud näidet müntidega: neljasajast katsest koosnevas seerias võivad pead teoreetiliselt kukkuda 0 kuni 400 korda ja need sündmused kujunevad täisgrupp: Enamik neist väärtustest on aga napp, nii et näiteks tõenäosus, et pead kukuvad välja 250 korda, on juba üks kümnest miljonist:. Väärtuste kohta nagu Teisest küljest ei tohiks alahinnata tagasihoidlikke tulemusi: kui see on ainult umbes , siis tõenäosus, et pead kukuvad, ütleme 220 kuni 250 korda, on väga märgatav. Mõelgem nüüd: kuidas seda tõenäosust arvutada? Ära loe järgi ühildamatute sündmuste tõenäosuste liitmise teoreem summa: Need väärtused on palju lihtsamad ühendada. Ja millegi liitu, nagu teate, nimetatakse integratsiooni: Kui juhusliku sündmuse toimumise tõenäosus igas katses on konstantne, siis tõenäosus Sel juhul peab katsetuste arv muidugi olema ka piisavalt suur ja tõenäosus ei ole liiga väike/suur (umbes), vastasel juhul on lähendus ebaoluline või halb. Funktsiooni kutsutakse Laplace'i funktsioon ja selle väärtused on jällegi kokku võetud standardtabelis ( leidke ja õppige sellega töötama!!). Mikrokalkulaator siin ei aita, kuna integraal ei ole sissetõmmatav. Kuid Excelis on vastav funktsionaalsus - kasutamine punkt 5 disaini paigutus. Praktikas on kõige levinumad väärtused: Lisaks Laplace'i funktsioon kummaline: 3. ülesanne Tõenäosus, et laskur tabab märklauda, on 0,7. Leidke tõenäosus, et 100 lasuga tabatakse sihtmärki 65 kuni 80 korda. Võtsin üles kõige realistlikuma näite, muidu leidsin siit mitu ülesannet, milles laskur teeb tuhandeid lasku =) Lahendus: selles probleemis me räägime korduvad sõltumatud testid ja nende arv on üsna suur. Tingimuse kohaselt on vaja leida tõenäosus, et sihtmärk tabatakse vähemalt 65, kuid mitte rohkem kui 80 korda, mis tähendab, et on vaja kasutada Laplace'i integraali teoreemi: , kus Mugavuse huvides kirjutame algandmed ümber veergu: Seetõttu annab Laplace'i teoreem hea lähenduse. Arvutame argumentide väärtused: Kasutage ülaltoodud tabelit või terver disaini paigutus (punkt 5). Kasutage kindlasti funktsiooni veidrust! Igaks juhuks kirjutan täpsemalt: Vastus: Tulemus ümardatakse enamasti 4 kümnendkohani. (jällegi vastavalt tabelivormingule). Eraldiseisva lahenduse jaoks: 4. ülesanne Hoones on 2500 lampi, millest igaühe õhtul süttimise tõenäosus on 0,5. Leidke tõenäosus, et õhtul süttib vähemalt 1250 ja maksimaalselt 1275 lampi. Ligikaudne viimistlusnäidis õppetunni lõpus. Tuleb märkida, et vaadeldavaid ülesandeid leidub sageli "umbisikulises" vormis, näiteks: Tehakse mõni katse, milles juhuslik sündmus võib toimuda tõenäosusega 0,5. Katset korratakse muutmata tingimustes 2500 korda. Määrake tõenäosus, et 2500 katses toimub sündmus 1250 kuni 1275 korda Ja sarnane sõnastus läbi katuse. Ülesannete šabloonilisuse tõttu püüavad nad sageli tingimust varjata - see on "ainus võimalus" lahendust kuidagi mitmekesistada ja keerulisemaks muuta: 5. ülesanne Instituudis õpib 1000 üliõpilast. Söögisaalis on 105 istekohta. Iga õpilane läheb suurel vaheajal sööklasse tõenäosusega 0,1. Kui suur on tõenäosus, et tavalisel koolipäeval: a) söögituba ei ole täidetud rohkem kui kahe kolmandiku võrra; Juhin teie tähelepanu olulisele klauslile "TAV koolipäeval" - see tagab olukorra suhtelise muutumatuse. Peale puhkust võib instituuti tulla oluliselt vähem tudengeid ja “Avatud uste päeval” laskub alla näljane delegatsioon =) Ehk siis “ebatavalisel” päeval erinevad tõenäosused märgatavalt. Lahendus: kasutame Laplace'i integraaliteoreemi, kus Selles ülesandes: a) Arvutage, mitu kohta moodustab kaks kolmandikku koguarvust: istekohad Leiame tõenäosuse, et tavalisel koolipäeval on söökla täidetud mitte rohkem kui kahe kolmandiku võrra. Mida see tähendab? See tähendab, et suurele vaheajale tuleb 0–70 inimest. See, et kedagi ei tule või tuleb paar õpilast – üritusi on praktiliselt võimatu, kuid Laplace'i integraaliteoreemi rakendamiseks tuleks neid tõenäosusi siiski arvesse võtta. Seega: Arvutame vastavad argumendid: Tulemusena: Meeldetuletus
: kui Laplace'i funktsiooni peetakse võrdseks . purustada siiski =) b) Sündmus "Kõigile ei jätku kohti" seisneb selles, et suurel vaheajal tuleb söögituppa einestama 106-1000 inimest (mis kõige tähtsam, tihendage hästi =)). On selge, et külastatavus on uskumatu, kuid sellegipoolest: Argumentide loendamine: Seega tõenäosus, et kõigile ei jätku kohti: Vastus: Nüüd keskendume ühele oluline nüanss meetod: kui teeme arvutusi eraldi segment, siis on kõik "pilvetu" - otsustage kaalutud malli järgi. Kui aga arvestada täielik ürituste rühm peaks näitama teatud täpsus. Lubage mul seda punkti selgitada äsja analüüsitud probleemi näitel. Lõikes “olla” leidsime tõenäosuse, et kõigile ei jätku kohti. Lisaks arvutame sama skeemi järgi: Sest need sündmused vastupidine, siis peab tõenäosuste summa olema võrdne ühega: Mis viga? – siin tundub kõik olevat loogiline. Asi on selles, et Laplace'i funktsioon on pidev, kuid me ei võtnud arvesse intervall 105-lt 106-le. Siia kadus tükk 0,0338. Sellepärast sama standardvalemi järgi tuleks arvutada: Noh, või veelgi lihtsam: Tekib küsimus: mis siis, kui me ESIMENE leiame? Siis on lahendusest veel üks versioon: Aga kuidas see saab olla?! – kahel viisil saadakse erinevaid vastuseid! See on lihtne: Laplace'i integraalteoreem on meetod ligikaudne arvutused ja seetõttu on vastuvõetavad mõlemad teed. Täpsemate arvutuste tegemiseks kasutage Bernoulli valem ja näiteks exceli funktsioon BINOMDIST. Tulemusena selle rakendus saame: Ja avaldan tänu ühele saidi külastajale, kes sellele peensusele tähelepanu juhtis - see jäi minu vaateväljast välja, kuna terve sündmuste rühma uurimist leiab praktikas harva. Soovijad saavad tutvuda
Operaator NORM.ST.DIST
Probleemi lahendus
Argument "Z" vastutab jaotuse arvväärtuse eest. Argument "Integraal" - tagastab kaks väärtust - "1" - integraalne jaotusfunktsioon, "0" - kaalujaotuse funktsioon.
Ja 
1 5
NÄIDE 3. Võlli läbimõõt mõõdetakse süstemaatiliste (ühe märgi) vigadeta. Juhuslikud mõõtmisvead alluvad normaaljaotuse seadusele standardhälbega 10 mm. Leidke tõenäosus, et mõõtmine sooritatakse veaga, mis absoluutväärtuses ei ületa 15 mm.Lokaalsed ja integraalsed Laplace'i teoreemid
. Meenutagem nende tähtede tähendust:
– binoomkoefitsient;
on sündmuse toimumise tõenäosus igas katses;
on testide koguarv;
- visete arv, mille käigus kotkas peaks välja kukkuma;
- ja teiseks näeb lahendus välja ebastandardne (suure tõenäosusega peate selle uuesti tegema);Kohalik Laplace'i teoreem
, Kus.
on ebavõrdsuse täitumine ()
.
klassis räägime sellest normaalne tõenäosusjaotus, kuid praegu vajame probleemi formaalset-arvutuslikku poolt. Eelkõige on oluline fakt võrdsus see funktsioon: 
.
b) 225 korda.
on tõenäosus saada päid igas viskes;
on sabade saamise tõenäosus.
, Kus 
.
Ümardamine toimub tavaliselt 4 kümnendkohani.
:
on tõenäosus, et 400 mündiviske korral kerkivad pead täpselt 200 korda.
taktitundeliselt vait =)Laplace'i integraalteoreem
asjaolu, et katsetes sündmus tuleb ei vähem ega rohkem kordi (alates kellaaegadeni kaasa arvatud), on ligikaudu võrdne:
- Kirjutage see oma märkmikusse.
Alustades , võime eeldada, et või kui see on kirjutatud rangemalt: 
, ja seda omadust kasutatakse aktiivselt ülesannetes, mis on meid juba oodanud:
- kogu kaadrid;
- minimaalne tabamuste arv;
- maksimaalne tabamuste arv;
- iga lasuga sihtmärgi tabamise tõenäosus;
- iga löögi korral möödalaskmise tõenäosus.
Juhin tähelepanu sellele, et teost ei pea päris juure alt välja tõmbama (nagu probleemide autoritele meeldib numbreid "kohandada")- ilma kahtluseta eraldame juure ja ümardame tulemuse; Varem jätsin 4 kohta pärast koma. Kuid saadud väärtused ümardatakse tavaliselt kahe kümnendkohani - see traditsioon pärineb funktsiooni väärtuste tabelid, kus argumendid on esitatud sellisel kujul.
Kirjaliku kommentaarina soovitan teil lisada järgmise fraasi: leiame funktsiooni väärtused vastava tabeli järgi:
- tõenäosus, et 100 lasuga tabatakse sihtmärki 65 kuni 80 korda.
Fakt on see, et funktsiooni väärtuste tabel sisaldab ainult positiivset "x" ja me töötame (vähemalt legendi järgi) lauaga!
b) kõigile ei jätku kohti.
– üliõpilaste koguarv instituudis;
- tõenäosus, et õpilane läheb suurel vahetunnil sööklasse;
on vastupidise sündmuse tõenäosus.
- tõenäosus, et tavalisel koolipäeval on söökla täidetud mitte rohkem kui kahe kolmandiku võrra.
.
- tõenäosus, et kohti jätkub.
Laadimine...
