Valem ringi pindala leidmiseks. Ringi pindala: valem

Juhised

Kasutage Pi raadiuse leidmiseks kuulus väljak ring. See konstant määrab proportsiooni ringi läbimõõdu ja selle piiri (ringi) pikkuse vahel. Ringi pikkus on tasandi maksimaalne pindala, mida saab selle abil katta ja läbimõõt on võrdne kahe raadiusega, seega on pindala ja raadius omavahel seotud ka proportsiooniga, mida saab väljendada number Pi. See konstant (π) on defineeritud kui ringi pindala (S) ja ruudu raadius (r). Sellest järeldub, et raadiust saab väljendada kui Ruutjuur pindala jagatisest, mis on jagatud Pi-ga: r=√(S/π).

Pikka aega Erastothenes juhtis Aleksandria raamatukogu, kuulsaimat raamatukogu iidne maailm. Lisaks meie planeedi suuruse arvutamisele tegi ta mitmeid olulisi leiutisi ja avastusi. Leiutas lihtsa meetodi määramiseks algarvud, mida nüüd nimetatakse "Erasstofenese sõelaks".

Ta joonistas “maailma kaardi”, millel näitas kõiki tolleaegsetele vanadele kreeklastele teadaolevaid maailma osi. Kaarti peeti omal ajal üheks parimaks. Töötas välja pikkus- ja laiuskraadide süsteemi ning kalendri, mis sisaldas liigaastad. Leiutas armillaarsfääri, mehaanilise seadme, mida varased astronoomid kasutasid tähtede nähtava liikumise demonstreerimiseks ja ennustamiseks taevas. Ta koostas ka tähekataloogi, mis sisaldas 675 tärni.

Allikad:

• Kreeka teadlane Eratosthenes Küreene oli esimene maailmas, kes arvutas välja Maa raadiuse
• Eratosthenes "Maa ümbermõõdu arvutamine".
• Eratosthenes

Ringid nõuavad hoolikamat lähenemist ja on ülesannetes B5 palju vähem levinud. Samas on üldine lahendusskeem veelgi lihtsam kui hulknurkade puhul (vt õpetust “Hulknurkade pindalad koordinaatvõrgul”).

Selliste ülesannete puhul on vaja vaid leida ringi R raadius. Seejärel saate arvutada ringi pindala valemiga S = πR 2. Sellest valemist järeldub ka, et selle lahendamiseks piisab R 2 leidmisest.

Näidatud väärtuste leidmiseks piisab, kui märkida ringil punkt, mis asub võrgujoonte ristumiskohas. Ja siis kasuta Pythagorase teoreemi. Mõelgem konkreetsed näited raadiuse arvutused:

Ülesanne. Leidke joonisel näidatud kolme ringi raadiused:

Teeme igas ringis täiendavaid konstruktsioone:

Igal juhul valitakse ringil punkt B, mis asub võrgujoonte ristumiskohas. Punkt C ringides 1 ja 3 viige joonis lõpuni täisnurkne kolmnurk. Jääb üle leida raadiused:

Vaatleme kolmnurka ABC esimeses ringis. Pythagorase teoreemi järgi: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.

Teise ringi puhul on kõik ilmne: R = AB = 2.

Kolmas juhtum sarnaneb esimesega. Alates kolmnurk ABC Pythagorase teoreemi järgi: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 1 2 + 2 2 = 5.

Nüüd teame, kuidas leida ringi (või vähemalt selle ruudu) raadiust. Seetõttu leiame selle piirkonna üles. On probleeme, kus peate leidma sektori ala, mitte kogu ringi. Sellistel juhtudel on lihtne välja selgitada, milline osa ringist see sektor on, ja seeläbi piirkond üles leida.

Ülesanne. Leidke varjutatud sektori ala S. Palun märkige vastuses S/π.

Ilmselgelt on sektor üks veerand ringist. Seetõttu S = 0,25 S ring.

Jääb leida ringi S - ringi pindala. Selleks teostame täiendava ehituse:

Kolmnurk ABC on täisnurkne kolmnurk. Pythagorase teoreemi järgi on meil: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.

Nüüd leiame ringi ja sektori pindala: S ring = πR 2 = 8π ; S = 0,25 S ring = 2π.

Lõpuks on soovitud väärtus S /π = 2.

Sektori ala teadmata raadiusega

See on täiesti uut tüüpi ülesanne, aastatel 2010–2011 midagi sarnast polnud. Tingimuse järgi antakse meile teatud pindala ring (nimelt pindala, mitte raadius!). Seejärel valitakse selle ringi sees sektor, mille pindala tuleb leida.

Hea uudis on see, et sellised ülesanded on matemaatika ühtsel riigieksamil esinevatest alaülesannetest kõige lihtsamad. Lisaks on ring ja sektor alati paigutatud koordinaatide ruudustikule. Seetõttu vaadake selliste probleemide lahendamise õppimiseks lihtsalt pilti:

Olgu algse ringi pindala S = 80. Seejärel saab selle jagada kaheks sektoriks, mille pindala on S = 40 (vt samm 2). Samamoodi saab kõik need “poolikud” sektorid uuesti pooleks jagada – saame neli sektorit pindalaga S = 20 (vt 3. sammu). Lõpuks saame kõik need sektorid jagada veel kaheks - saame 8 sissekannet. Kõigi nende "jääkide" pindala on S = 10.

Pange tähele: üheski pole väiksemat partitsiooni Ühtne riigieksami ülesanne ei matemaatikas! Seega on ülesande B-3 lahendamise algoritm järgmine:

1. Lõika algne ring 8 "jääkide" sektoriks. Iga nende pindala on täpselt 1/8 kogu ringi pindalast. Näiteks kui tingimuse kohaselt on ringil ringi pindala S = 240, siis “jääkide” pindala on S = 240: 8 = 30;
2. Uurige, kui palju "jääke" mahub algsesse sektorisse, mille pindala tuleb leida. Näiteks kui meie sektor sisaldab 3 “jääke” pindalaga 30, siis vajaliku sektori pindala on S = 3 · 30 = 90. See on vastus.

See on kõik! Probleem lahendatakse praktiliselt suuliselt. Kui midagi pole ikka veel selge, ostke pitsa ja lõigake see 8 tükiks. Iga selline tükk on sama sektor - "jäägid", mida saab kombineerida suuremateks tükkideks.

Vaatame nüüd näiteid ühtse riigieksami prooviversioonist:

Ülesanne. Ruudulisele paberile joonistatakse ring pindalaga 40. Leidke varjutatud figuuri pindala.

Seega on ringi pindala 40. Jagage see 8 sektoriks - igaüks pindalaga S = 40: 5 = 8. Saame:

Ilmselgelt koosneb varjutatud sektor täpselt kahest "jääkide" sektorist. Seetõttu on selle pindala 2 · 5 = 10. See on kogu lahendus!

Ülesanne. Ruudulisele paberile joonistatakse ring pindalaga 64. Leidke varjutatud figuuri pindala.

Jällegi jagage kogu ring 8 võrdseks sektoriks. Ilmselgelt on ühe neist ala just see, mida tuleb leida. Seetõttu on selle pindala S = 64: 8 = 8.

Ülesanne. Ruudulisele paberile joonistatakse ring pindalaga 48. Leidke varjutatud figuuri pindala.

Jällegi jagage ring 8 võrdseks sektoriks. Igaühe nende pindala on võrdne S = 48: 8 = 6. Nõutav sektor sisaldab täpselt kolme "praagi" sektorit (vt joonist). Seetõttu on nõutava sektori pindala 3 6 = 18.

- See lame figuur, mis on punktide kogum, mis asuvad keskpunktist võrdsel kaugusel. Need on kõik samal kaugusel ja moodustavad ringi.

Nimetatakse lõiku, mis ühendab ringi keskpunkti selle ümbermõõdul asuvate punktidega raadius. Igas ringis on kõik raadiused üksteisega võrdsed. Nimetatakse sirgjoont, mis ühendab kahte ringi punkti ja läbib keskpunkti läbimõõt. Ringi pindala valem arvutatakse matemaatilise konstandi - arvu π abil.

See on huvitav : arv π. tähistab ringi ümbermõõdu ja selle läbimõõdu pikkuse suhet ja on konstantne väärtus. Väärtust π = 3,1415926 kasutati pärast L. Euleri 1737. aasta tööd.

Ringi pindala saab arvutada konstandi π abil. ja ringi raadius. Ringi pindala valem raadiuse järgi näeb välja järgmine:

Vaatame näidet ringi pindala arvutamisest raadiuse abil. Olgu meile antud ring raadiusega R = 4 cm. Leiame joonise pindala.

Meie ringi pindala saab olema 50,24 ruutmeetrit. cm.

Valem on olemas läbimõõduga ringi pindala. Seda kasutatakse laialdaselt ka vajalike parameetrite arvutamiseks. Neid valemeid saab kasutada leidmiseks.

Vaatleme näidet ringi pindala arvutamiseks läbi selle läbimõõdu, teades selle raadiust. Olgu meile antud ring raadiusega R = 4 cm. Kõigepealt leiame diameetri, mis teadupärast on kahekordne raadius.


Nüüd kasutame andmeid ringi pindala arvutamise näiteks ülaltoodud valemi abil:

Nagu näete, on tulemuseks sama vastus, mis esimestel arvutustel.

Ringi pindala arvutamise standardvalemite tundmine aitab teil tulevikus hõlpsasti kindlaks teha sektori piirkond ja leida kergesti puuduvad kogused.

Teame juba, et ringi pindala valem arvutatakse konstantse väärtuse π korrutamisel ringi raadiuse ruuduga. Raadiust saab väljendada ümbermõõduna ja asendada valemis oleva avaldise ringi pindala ümbermõõduga:
Nüüd asendame selle võrdsuse ringi pindala arvutamise valemiga ja saame valemi ringi pindala leidmiseks ümbermõõdu järgi

Vaatleme näidet ringi pindala arvutamisest ümbermõõdu abil. Olgu antud ring pikkusega l = 8 cm Asendage väärtus tuletatud valemiga:

Ringi kogupindala on 5 ruutmeetrit. cm.

Ümber ruudu ümbritsetud ringi pindala

Ruudu ümber piiratud ringi pindala on väga lihtne leida.

Selleks on vaja ainult ruudu külge ja teadmisi lihtsatest valemitest. Ruudu diagonaal on võrdne piiritletud ringi diagonaaliga. Teades külge a, saab selle leida Pythagorase teoreemi abil: siit.
Pärast diagonaali leidmist saame arvutada raadiuse: .
Ja siis asendame kõik ruudu ümber ümbritsetud ringi pindala põhivalemiga:

Ring on nähtav kogum paljudest punktidest, mis asuvad keskpunktist samal kaugusel. Selle pindala leidmiseks peate teadma, mis on raadius, diameeter, π arv ja ümbermõõt.

Ringi pindala arvutamisel osalevad kogused

Ringjoone keskpunkti ja ükskõik millise ringi punktiga piiratud kaugust nimetatakse selle raadiuseks geomeetriline kujund. Ühe ringi kõigi raadiuste pikkused on ühesugused. Ringjoone mis tahes kahe punkti vahelist lõiku, mis läbib keskpunkti, nimetatakse läbimõõduks. Läbimõõdu pikkus võrdub raadiuse pikkusega, mis on korrutatud 2-ga.

Ringi pindala arvutamiseks kasutatakse arvu π väärtust. See väärtus võrdub ümbermõõdu ja ringi läbimõõdu pikkuse suhtega ja sellel on konstantne väärtus. Π = 3,1415926. Ümbermõõt arvutatakse valemiga L=2πR.

Leidke raadiuse abil ringi pindala

Seetõttu võrdub ringi pindala arvu π ja teise astmeni tõstetud ringi raadiuse korrutisega. Näiteks võtame ringi raadiuse pikkuseks 5 cm. Siis võrdub ringi S pindala 3,14*5^2=78,5 ruutmeetrit. cm.

Läbimõõduga ringi pindala

Ringi pindala saab arvutada ka ringi läbimõõtu teades. Sel juhul S = (π/4)*d^2, kus d on ringi läbimõõt. Võtame sama näite, kus raadius on 5 cm. Siis on selle läbimõõt 5*2=10 cm. Ringi pindala on S = 3,14/4*10^2=78,5 ruutcm. Tulemus, mis on võrdne esimese näite arvutuste summaga, kinnitab mõlemal juhul arvutuste õigsust.

Ringi pindala läbi ümbermõõdu

Kui ringi raadius on esitatud läbi ümbermõõdu, on valem järgmine: R=(L/2)π. Asendame selle avaldise ringi pindala valemis ja selle tulemusena saame S=(L^2)/4π. Vaatleme näidet, kus ümbermõõt on 10 cm. Siis on ringi pindala S = (10^2)/4*3,14=7,96 ruutmeetrit. cm.

Ringjoone pindala läbi kirjutatud ruudu külje pikkuse

Kui ruut on ringi sisse kirjutatud, siis on ringi läbimõõdu pikkus võrdne ruudu diagonaali pikkusega. Teades ruudu külje suurust, saate hõlpsalt teada ringi läbimõõdu, kasutades valemit: d^2=2a^2. Teisisõnu, teise astme läbimõõt on võrdne teise astme ruudu küljega, mis on korrutatud 2-ga.

Olles arvutanud ringi läbimõõdu pikkuse, saate teada selle raadiuse ja seejärel kasutada ringi pindala määramiseks üht valemit.

Ringi sektori pindala

Sektor on ringi osa, mis on piiratud 2 raadiusega ja kaarega nende vahel. Selle pindala väljaselgitamiseks peate mõõtma sektori nurka. Pärast seda peate looma murdosa, mille lugejaks on sektori nurga väärtus ja nimetajaks 360. Sektori pindala arvutamiseks peab murdosa jagamisel saadud väärtus olema korrutatakse ringi pindalaga, mis arvutatakse ühe ülaltoodud valemi abil.

Nagu me teame kooli õppekava, ringi nimetatakse tavaliselt tasaseks geomeetriliseks kujundiks, mis koosneb paljudest punktidest, mis asuvad joonise keskpunktist võrdsel kaugusel. Kuna need kõik asuvad samal kaugusel, moodustavad nad ringi.

Mugav navigeerimine artiklis:

Ringi pindala kalkulaator