Murdarvulise ratsionaalfunktsiooni näidete integraal. Ratsionaalsete funktsioonide integreerimine
Üks olulisemaid funktsioonide klasse, mille integraale väljendatakse elementaarfunktsioonide kaudu, on klass ratsionaalsed funktsioonid.
Definitsioon 1. Vormi kus funktsioon 
- kraadide polünoomidnJamnimetatakse ratsionaalseks. Terve ratsionaalne funktsioon, s.t. polünoom, integreerib otse. Integraal murdosaline ratsionaalne funktsioon on võimalik leida, lagundades terminiteks, mis teisendatakse standardsel viisil põhilisteks tabeliintegraalideks.
Definitsioon 2. Murd 
nimetatakse õigeks, kui lugeja astenvähem kui nimetaja võimsusm. Murru, milles lugeja aste on nimetaja astmest suurem või sellega võrdne, nimetatakse ebaõigeks.
Iga vale murdosa saab esitada polünoomi ja õige murru summana. Seda tehakse polünoomi jagamisel polünoomiga, nagu arvude jagamine.
Näide.
Kujutagem ette murdosa 
polünoomi ja õige murru summana:
x - 1
3
3
3
Esimene ametiaeg 
jagatis saadakse juhtliikme jagamise tulemusena 
, jagatud juhtterminiga X jagaja Siis korrutame 
jagaja kohta x-1 ja saadud tulemus lahutatakse dividendist; Sarnaselt leitakse ka mittetäieliku jagatise ülejäänud liikmed.
Pärast polünoomide jagamist saame:
Seda toimingut nimetatakse terve osa valimiseks.
Definitsioon 3. Kõige lihtsamad murded on õiged ratsionaalsed murded järgmistest tüüpidest:
I. 
II. 
(K = 2, 3, …).
III. 
kus on ruuttrinoom 
IV. 
kus K = 2, 3, …; ruuttrinoom 
tal pole tõelisi juuri.
a) laiendage nimetajat 
kõige lihtsamateks reaalteguriteks (algebra põhiteoreemi kohaselt võib see laiendus sisaldada vormi lineaarseid binoome 
ja ruuttrinoomid 
, millel puuduvad juured);
b) kirjutage skeem etteantud murru lagunemisest lihtmurdude summaks. Veelgi enam, iga vormi tegur 
vastab k I ja II tüüpi komponendid:
vormi igale tegurile 
vastab III ja IV tüüpi e tingimustele:
Näide.
Kirjutage üles murdosa laiendamise skeem 
kõige lihtsamate summani.
c) sooritada saadud lihtsamate murdude liitmine. Kirjutage üles saadud ja algmurru lugejate võrdsus;
d) leidke vastava laienemise koefitsiendid: 
(lahendusmeetodeid käsitletakse allpool);
e) asendada koefitsientide leitud väärtused lagunemisskeemi.
Mis tahes õige ratsionaalse murru integreerimine pärast lagunemist selle lihtsaimatesse terminitesse taandab integraalide leidmiseks ühte järgmistest tüüpidest:
(k Ja e =2, 3, …).
Integraali arvutamine 
taandub valemiks III:
lahutamatu 
- valemile II:
lahutamatu 
on leitav ruuttrinoomi sisaldavate funktsioonide integreerimise teoorias määratud reegliga; 
- allpool näites 4 näidatud teisenduste kaudu.
Näide 1.
a) faktori nimetaja:
b) kirjutage skeem integrandi terminiteks jaotamiseks:
c) lisage lihtmurrud:
Kirjutame üles murdude lugejate võrdsuse:
d) tundmatute koefitsientide A, B, C leidmiseks on kaks meetodit.
Kaks polünoomi on võrdsed siis ja ainult siis, kui nende koefitsiendid on samade astmete korral võrdsed X, et saaksite luua vastava võrrandisüsteemi. See on üks lahendusmeetoditest.
Koefitsiendid juures 
vabaliikmed (koefitsient at 
):4A=8.
Olles lahendanud süsteemi, saame A=2, B=1, C = -10.
Järgmises näites käsitletakse teist meetodit - privaatseid väärtusi;
e) asendage leitud väärtused lagunemisskeemi:
Asendades saadud summa integraalimärgi alla ja integreerides iga liikme eraldi, leiame:
Näide 2.
Identiteet on võrdsus, mis kehtib selles sisalduvate tundmatute mis tahes väärtuste puhul. Selle põhjal eraväärtuse meetod. Võib anda X mingeid väärtusi. Arvutuste jaoks on mugavam võtta need väärtused, mis muudavad kõik võrdsuse paremal küljel olevad tingimused kaduma.
Lase x = 0. Siis 1 = A 0(0+2)+V 0 (0-1)+С (0-1)(0+2).
Samamoodi jaoks x = -2 meil on 1= -2V*(-3), kell x = 1 meil on 1 = 3A.
Seega 
Näide 3.
d) esmalt kasutame osaväärtuse meetodit.
Lase x = 0, Siis 1 = A 1, A = 1.
Kell x = -1 meil on - 1+4+2+1 = - B(1+1+1) või 6 = -3 V, B = -2.
Koefitsientide C ja D leidmiseks peate looma veel kaks võrrandit. Selleks võite võtta mis tahes muid väärtusi X, Näiteks x = 1 Ja x = 2. Võite kasutada esimest meetodit, st. võrdsustada koefitsiente mis tahes identsetel astmetel X, näiteks millal 
Ja 
. Saame
1 = A+B+C ja 4 = C+D- IN.
Teades A = 1, B = -2, leiame C = 2, D = 0 .
Seega saab koefitsientide arvutamisel kombineerida mõlemat meetodit.
Viimane integraal 
leiame eraldi uue muutuja määramise meetodis määratud reegli järgi. Valime nimetajas täiusliku ruudu:
ütleme 
Siis 
Saame:
=
Asendades eelmise võrdsusega, leiame
Näide 4.
Otsi 
b) 
d) 
Integreerides on meil:
Teisendame esimese integraali valemiks III:
Teisendame teise integraali valemiks II:
Kolmandas integraalis asendame muutuja: 
(Teisenduste tegemisel kasutasime trigonomeetria valemit 
Leidke integraalid:
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
Enesetesti küsimused.
Milline andmetest ratsionaalsed murded on õiged:
2. Kas skeem murdu lihtmurdude summaks lagundamiseks on õigesti kirjutatud?
2.,
5.
,
3.
,
6.
.
Integraalides 1-3 as u
aktsepteerima 
. Siis pärast n-valemi (19) mitmekordsel rakendamisel jõuame ühe tabeliintegraalini
,
,
.
Integraalides 4-6 lihtsustage eristamisel transtsendentaalset tegurit 
,
või 
, mida tuleks võtta kui u.
Arvutage järgmised integraalid.
Näide 7.
Näide 8. 
Integraalide taandamine iseendale
Kui integrand 
on kujul:
,
,
ja nii edasi,
siis pärast kahekordset integreerimist osade kaupa saame algset integraali sisaldava avaldise 
:
,
Kus 
- mõni konstantne.
Tulemuseks oleva võrrandi lahendamine 
, saame algse integraali arvutamise valemi:
.
Seda osade kaupa integreerimise meetodi rakendamise juhtumit nimetatakse " integraali enda juurde toomine».
Näide 9. Arvuta integraal
.
Paremal küljel on algne integraal 
. Liigutades selle vasakule küljele, saame:
.
Näide 10. Arvuta integraal
.
4.5. Lihtsamate õigete ratsionaalsete murdude integreerimine
Definitsioon.Kõige lihtsamad õiged murded I , II Ja III tüübid Nimetatakse järgmisi murde:
I.
;
II.
;
(
- positiivne täisarv);
III.
; (nimetaja juured on keerulised, see tähendab: 
.
Vaatleme lihtmurdude integraale.
I.
;
(20)
II. ; (21)
III.
;
Teisendame murru lugeja selliselt, et isoleerime lugejas oleva liikme 
, võrdne nimetaja tuletisega.
Vaatleme esimest kahest saadud integraalist ja muudame seda:
Teises integraalis lisame nimetaja täiuslikule ruudule:
Lõpuks on kolmanda tüübi murdosa integraal võrdne:
=
+
.
(22)
Seega väljendatakse I tüüpi lihtsaimate murdude integraali logaritmide kaudu, II tüüpi - ratsionaalsete funktsioonide kaudu, III tüüpi - logaritmide ja arctangentide kaudu.
4.6.Murd-ratsionaalfunktsioonide integreerimine
Üks funktsioonide klasse, millel on elementaarfunktsioonide kaudu väljendatud integraal, on algebraliste ratsionaalfunktsioonide klass, st funktsioonid, mis tulenevad argumendiga tehtud piiratud arvust algebralistest tehtetest.
Iga ratsionaalne funktsioon 
saab esitada kahe polünoomi suhtena 
Ja 
:
.
(23)
Eeldame, et polünoomidel pole ühiseid juuri.
Vormi (23) murdosa kutsutakse õige, kui lugeja aste on väiksem kui nimetaja aste, see tähendab, m< n. Muidu - vale.
Kui murd on vale, siis jagades lugeja nimetajaga (vastavalt polünoomide jagamise reeglile), esitame murdosa polünoomi ja õige murru summana:
,
(24)
Kus 
- polünoom, 
- õige murdosa ja polünoomi aste 
- mitte kõrgem kui kraad ( n-1).
Näide. 
Kuna polünoomi integreerimine taandatakse tabeli integraalide summaks toitefunktsioon, siis on ratsionaalsete murdude integreerimise peamiseks raskuseks õigete ratsionaalsete murdude integreerimine.
Algebras on tõestatud, et iga õige murd 
laguneb ülaltoodu summaks algloomad murrud, mille vorm määratakse nimetaja juurtega 
.
Vaatleme kolme erijuhtumit. Siin ja edasi eeldame, et koefitsient 
nimetaja kõrgeimal astmel 
võrdne ühega 
=1, see tähendabredutseeritud polünoom
.
Juhtum 1. Nimetaja juured ehk juured 
võrrandid 
=0, on kehtivad ja erinevad. Seejärel esitame nimetaja lineaarsete tegurite korrutisena:
ja õige murdosa laguneb I-gotüübi kõige lihtsamateks murdudeks:
,
(26)
Kus 
- mõned konstantsed arvud, mis leitakse määramata koefitsientide meetodil.
Selleks vajate:
1. Viige laienduse parem pool (26) ühisele nimetajale.
2. Võrdsusta identsete polünoomide identsete astmete koefitsiendid vasaku ja parema külje lugejas. Määramiseks saame lineaarvõrrandisüsteemi 
.
3. Lahendage saadud süsteem ja leidke määramata koefitsiendid 
.
Siis on murdratsionaalfunktsiooni (26) integraal võrdne valemiga (20) arvutatud I-tüüpi kõige lihtsamate murdude integraalide summaga.
Näide. Arvuta integraal 
.
Lahendus. Faktoriseerime nimetaja, kasutades Vieta teoreemi:
Seejärel jagatakse integrandi funktsioon lihtsate murdude summaks:
.
X:
Kirjutame leidmiseks kolmest võrrandist koosneva süsteemi 
X vasakul ja paremal küljel:
.
Näidakem lihtsamat viisi ebakindlate koefitsientide leidmiseks, nn osalise väärtuse meetod.
Eeldades võrdsust (27) 
saame 
, kus 
. Uskudes 
saame 
. Lõpuks, uskudes 
saame 
.
.
Juhtum 2. Nimetaja juur 
kehtivad, kuid nende hulgas on mitu (võrdset) juurt. Seejärel esitame nimetaja korrutises sisalduvate lineaarsete tegurite korrutisena niivõrd, kuivõrd vastava juure kordsus on:
Kus 
.
Õige murdosa 
I ja II tüüpi murdude summa lagundatakse. Olgu näiteks 
- paljususe nimetaja juur k ja kõik teised ( n-
k) juured on erinevad.
Seejärel näeb laiendus välja selline:
Samamoodi, kui on ka teisi mitut juurt. Mitte-mitu juurte puhul hõlmab laiendus (28) esimese tüübi lihtsamaid murde.
Näide. Arvuta integraal 
.
Lahendus. Kujutagem ette murdosa esimest ja teist tüüpi kõige lihtsamate määramata koefitsientidega murdude summana:
.
Toome parema poole ühise nimetajani ja võrdsustame vasaku ja parema külje lugejates olevad polünoomid:
Paremal küljel esitame samade kraadidega sarnased X:
Kirjutame leidmiseks neljast võrrandist koosneva süsteemi 
Ja 
. Selleks võrdsustame koefitsiendid samadel astmetel X vasakul ja paremal küljel
.
Juhtum 3. Nimetaja juurte hulgas 
on keerulised üksikud juured. See tähendab, et nimetaja laiendamine hõlmab teise astme tegureid 
, ei ole lagundatavad reaalseteks lineaarseteks teguriteks ja neid ei korrata.
Seejärel vastab iga selline tegur murdosa lagunemisel III tüüpi lihtsaimale murdosale. Lineaarsed tegurid vastavad I ja II tüüpi kõige lihtsamatele murdosadele.
Näide. Arvuta integraal 
.
Lahendus.
.
.
.
Siin pakume üksikasjalikke lahendusi kolmele näitele järgmiste ratsionaalsete murdude integreerimisest:
,
,
.
Näide 1
Arvutage integraal:
.
Lahendus
Siin on integraalimärgi all ratsionaalne funktsioon, kuna integrand on murdosa polünoomidest. Nimetaja polünoomi aste ( 3 ) on väiksem kui lugejapolünoomi ( 4 ). Seetõttu peate kõigepealt valima kogu murdosa.
1.
Valime kogu murdosa. Jaga x 4
x poolt 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:
Siit
.
2.
Faktoriseerime murdosa nimetaja. Selleks peate lahendama kuupvõrrandi:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6
.
Asendame x = 1
:
.
1
. jaga x-ga - 1
:
Siit
.
Otsustame ruutvõrrand.
.
Võrrandi juured on: , .
Siis
.
3.
Jaotame murdosa selle lihtsaimaks vormiks.
.
Niisiis leidsime:
.
Integreerime.
Vastus
Näide 2
Arvutage integraal:
.
Lahendus
Siin on murru lugejaks nullkraadiga polünoom ( 1 = x 0). Nimetaja on kolmanda astme polünoom. Kuna 0 < 3 , siis on murd õige. Jagame selle lihtmurdudeks.
1.
Faktoriseerime murdosa nimetaja. Selleks peate lahendama kolmanda astme võrrandi:
.
Oletame, et sellel on vähemalt üks terve juur. Siis on see arvu jagaja 3
(liige ilma x-ita). See tähendab, et kogu juur võib olla üks arvudest:
1, 3, -1, -3
.
Asendame x = 1
:
.
Niisiis, oleme leidnud ühe juure x = 1
. Jaga x 3 + 2 x - 3 kohta x - 1
:
Niisiis,
.
Ruutvõrrandi lahendamine:
x 2 + x + 3 = 0.
Leidke diskriminant: D = 1 2 - 4 3 = -11. Kuna D< 0
, siis pole võrrandil tegelikke juuri. Seega saime nimetaja faktoriseerimise:
.
2.
.
(x - 1) (x 2 + x + 3):
(2.1)
.
Asendame x = 1
. Siis x - 1 = 0
,
.
Asendame sisse (2.1)
x = 0
:
1 = 3 A - C;
.
Võrdustame sellega (2.1)
koefitsiendid x jaoks 2
:
;
0 = A + B;
.
.
3.
Integreerime.
(2.2)
.
Teise integraali arvutamiseks valime lugejas oleva nimetaja tuletise ja taandame nimetaja ruutude summaks.
;
;
.
Arvutage I 2
.
.
Kuna võrrand x 2 + x + 3 = 0 ei oma tegelikke juuri, siis x 2 + x + 3 > 0. Seetõttu võib mooduli märgi ära jätta.
Tarnime kohale (2.2)
:
.
Vastus
Näide 3
Arvutage integraal:
.
Lahendus
Siin on integraalimärgi all murdosa polünoomidest. Seetõttu on integrand ratsionaalne funktsioon. Polünoomi aste lugejas on võrdne 3 . Murru nimetaja polünoomi aste on võrdne 4 . Kuna 3 < 4 , siis on murd õige. Seetõttu saab selle lagundada lihtfraktsioonideks. Kuid selleks peate nimetaja faktoriseerima.
1.
Faktoriseerime murdosa nimetaja. Selleks peate lahendama neljanda astme võrrandi:
.
Oletame, et sellel on vähemalt üks terve juur. Siis on see arvu jagaja 2
(liige ilma x-ita). See tähendab, et kogu juur võib olla üks arvudest:
1, 2, -1, -2
.
Asendame x = -1
:
.
Niisiis, oleme leidnud ühe juure x = -1
. jaga x-ga - (-1) = x + 1:
Niisiis,
.
Nüüd peame lahendama kolmanda astme võrrandi:
.
Kui eeldame, et sellel võrrandil on täisarvu juur, siis on see arvu jagaja 2
(liige ilma x-ita). See tähendab, et kogu juur võib olla üks arvudest:
1, 2, -1, -2
.
Asendame x = -1
:
.
Niisiis, leidsime veel ühe juure x = -1
. Nagu eelmisel juhul, oleks võimalik polünoomi jagada arvuga , kuid rühmitame terminid:
.
Kuna võrrand x 2 + 2 = 0
millel pole tegelikke juuri, siis saame nimetaja faktoriseerimise:
.
2.
Jaotame murdosa selle lihtsaimaks vormiks. Otsime laiendust kujul:
.
Vabaneme murdosa nimetajast, korrutame sellega (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1)
.
Asendame x = -1
. Siis x + 1 = 0
,
.
Teeme vahet (3.1)
:
;
.
Asendame x = -1
ja võta arvesse, et x + 1 = 0
:
;
;
.
Asendame sisse (3.1)
x = 0
:
0 = 2 A + 2 B + D;
.
Võrdustame sellega (3.1)
koefitsiendid x jaoks 3
:
;
1 = B + C;
.
Niisiis, oleme leidnud lagunemise lihtsateks murdudeks:
.
3.
Integreerime.
.
1. ja 2. kursuse üliõpilastele antakse test funktsioonide, sealhulgas ratsionaalsete murdude lõimimise kohta. Integraalide näited pakuvad huvi peamiselt matemaatikutele, majandusteadlastele ja statistikutele. Neid näiteid küsiti edasi proovitöö järgi nime saanud LNU-s. I. Frank. Järgmiste näidete tingimused on "Leia integraal" või "Arvuta integraal", nii et ruumi ja teie aja säästmiseks neid välja ei kirjutatud.
Näide 15. Jõudsime murd-ratsionaalfunktsioonide integreerimiseni. Nad hõivavad eriline koht integraalide hulgas, sest nende arvutamiseks kulub palju aega ja see aitab õpetajatel testida teie teadmisi mitte ainult lõimimisest. Integraali all oleva funktsiooni lihtsustamiseks liidame ja lahutame lugejas avaldise, mis võimaldab jagada integraali all oleva funktsiooni kaheks lihtsaks
Selle tulemusena leiame üsna kiiresti ühe integraali, teises peame murdu laiendama elementaarmurdude summaks 
Kui taandada ühiseks nimetajaks, saame järgmised numbrid
Järgmisena avage sulud ja rühm
Võrdlustame paremal ja vasakul oleva "x" sama astme väärtuse. Selle tulemusena jõuame kolme süsteemini lineaarvõrrandid(SLAU) kolme tundmatuga. 
Võrrandisüsteemide lahendamist kirjeldatakse saidi teistes artiklites. Lõplikus versioonis saate järgmise SLAE lahenduse
A=4; B = -9/2; C = -7/2.
Asendame konstandid murdude lihtarvudeks laiendamisel ja teostame integreerimise
Sellega on näide lõpetatud.
Näide 16. Jällegi peame leidma murdosalise ratsionaalfunktsiooni integraali. Alustuseks jagame murdosa nimetajas sisalduva kuupvõrrandi lihtsateks teguriteks 
Järgmisena jagame murdosa selle kõige lihtsamateks vormideks 
Vähendame parema poole ühiseks nimetajaks ja avame lugejas sulud. 
Me võrdsustame muutuja samade astmete koefitsiendid. Tuleme taas kolme tundmatuga SLAE juurde 
Asendame väärtused A, B, C laiendusse ja arvutage integraal 
Esimesed kaks liiget annavad logaritmi, viimast on samuti lihtne leida.
Näide 17. Murdarvulise ratsionaalfunktsiooni nimetajas on kuubikute vahe. Kasutades lühendatud korrutamisvalemeid, jagame selle kaheks lihtsaks teguriks 
Järgmisena kirjutame saadud murdfunktsiooni summasse lihtmurrud ja tuua need kokku ühiseks nimetajaks 
Lugejas saame järgmise avaldise.
Sellest moodustame lineaarvõrrandisüsteemi 3 tundmatu arvutamiseks 
A = 1/3; B = -1/3; C = 1/3.
Asendame valemis A, B, C ja teostame integreerimise. Selle tulemusena saame järgmise vastuse: 
Siin teisendati teise integraali lugeja logaritmiks ja integraali all olev jääk annab arktangensi.
Internetis on palju sarnaseid näiteid ratsionaalsete murdude integreerimise kohta. Sarnaseid näiteid leiate allolevatest materjalidest.
Laadimine...
