Ruutmaatriks. §1

Tehted maatriksitega ja nende omadused.

Teise ja kolmanda järgu determinandi mõiste.Determinantide omadused ja nende arvutamine.

3. üldkirjeldusülesandeid.

4. Ülesannete täitmine.

5. Laboratoorsete tööde akti koostamine.

Sõnastik

Tutvuge järgmiste mõistetega tingimustele:

Mõõtmed Maatriks on kahe arvu kogum, mis koosneb selle ridade arvust m ja veergude arvust n.

Kui m = n, kutsutakse maatriks ruut maatriks järku n.

Tehted maatriksitega: maatriksi transponeerimine, maatriksi korrutamine (jagamine) arvuga, liitmine ja lahutamine, maatriksi korrutamine maatriksiga.

Üleminekut maatriksilt A maatriksile A m, mille read on veerud ja veerud maatriksi A read, nimetatakse ülevõtmine maatriksid A.

Näide: A = , A t = .

To korrutage maatriks arvuga, peate maatriksi iga elemendi selle arvuga korrutama.

Näide: 2A= 2· = .

Summa (erinevus)ühemõõtmelisi maatrikseid A ja B nimetatakse maatriksiks C=A B, mille elemendid on võrdsed kus ij = a ij b ij kõigi jaoks i Ja j.

Näide: A = ; B = . A+B= = .

Töö maatriksit A ​​m n maatriksiga B n k nimetatakse maatriksiks C m k , mille iga element c ij on võrdne maatriksi A i-nda rea ​​elementide korrutistega j-nda veeru vastava elemendiga. maatriksist B:

c ij = a i1 · b 1j + a i2 ·b 2j +…+ a in ·b nj .

Maatriksi maatriksiga korrutamiseks peavad need olema kokku lepitud korrutamiseks, nimelt veergude arv esimeses maatriksis peaks olema võrdne ridade arv teises maatriksis.

Näide: A= ja B=.

А·В — võimatu, sest need ei ole järjekindlad.

VA= . = = .

Maatriksi korrutustehte omadused.

1. Kui maatriksil A on mõõde m n, ja maatriks B on mõõde n k, siis on korrutis A·B olemas.

Toode BA saab eksisteerida ainult siis, kui m=k.

2. Maatrikskorrutis ei ole kommutatiivne, s.t. A·B ei ole alati võrdne BA·A-ga, isegi kui mõlemad korrutised on määratletud. Kui aga seos А·В=В·А on täidetud, siis maatriksid A ja B nn. muutlik.

Näide. Arvutama.

Alaealine element on järjestusmaatriksi determinant, mis saadakse kolmanda veeru rea kustutamisel.

Algebraline komplement elementi nimetatakse .

Laplace'i laiendusteoreem:

Ruutmaatriksi determinant on võrdne mis tahes rea (veeru) elementide korrutistega nende algebraliste täiendite järgi.

Näide. Arvutama.

Lahendus. .

N-ndat järku determinantide omadused:

1) Determinandi väärtus ei muutu, kui ridu ja veerge vahetatakse.

2) Kui determinant sisaldab ainult nullidest koosnevat rida (veerg), siis on see võrdne nulliga.

3) Kahe rea (veeru) ümberpaigutamisel muudab determinant märki.

4) Determinant, millel on kaks identset rida (veergu), on võrdne nulliga.

5) Determinandi märgist võib välja võtta mis tahes rea (veeru) elementide ühisteguri.

6) Kui teatud rea (veeru) iga element on kahe liikme summa, siis on determinant võrdne kahe determinandi summaga, millest kummaski kõik read (veerud, välja arvatud üks mainitud) on samad selles determinandis ja mainitud reas ( Veerg) sisaldab esimene determinand esimesi termineid, teine ​​- teist.

7) Kui determinandi kaks rida (veergu) on võrdelised, siis võrdub see nulliga.

8) Determinant ei muutu, kui teatud rea (veeru) elementidele lisatakse teise rea (veeru) vastavad elemendid, korrutades sama arvuga.

9) Kolmnurk- ja diagonaalmaatriksi determinandid on võrdsed põhidiagonaali elementide korrutisega.

Nullide kogumise meetod determinantide arvutamiseks põhineb determinantide omadustel.

Näide. Arvutama.

Lahendus. Lahutage esimesest reast kahekordne kolmandik, seejärel kasutage esimeses veerus olevat laiendusteoreemi.

~ .

Kontrollküsimused(OK-1, OK-2, OK-11, PK-1) :

1. Mida nimetatakse teist järku determinandiks?

2. Millised on determinantide peamised omadused?

3. Mis on elemendi moll?

4. Mida nimetatakse determinandi elemendi algebraliseks täiendiks?

5. Kuidas laiendada kolmandat järku determinanti rea (veeru) elementideks?

6. Kui suur on rea (või veeru) elementide korrutiste summa, teise rea (või veeru) vastavate elementide algebraliste täiendite determinant?

7. Mis on kolmnurkade reegel?

8. Kuidas arvutatakse kõrgemate tellimuste determinante tellimuste vähendamise meetodil?

10. Millist maatriksit nimetatakse ruuduks? Null? Mis on reamaatriks, veerumaatriks?

11. Milliseid maatrikseid nimetatakse võrdseteks?

12. Andke definitsioonid liitmise, maatriksite korrutamise, maatriksi arvuga korrutamise operatsioonidele

13. Milliseid tingimusi peavad maatriksite suurused liitmisel ja korrutamisel vastama?

14. Millised on algebratehete omadused: kommutatiivsus, assotsiatiivsus, distributiivsus? Millised neist on maatriksite jaoks liitmise ja korrutamise ajal täidetud ja millised mitte?

15. Mis on pöördmaatriks? Milliste maatriksite jaoks see on määratletud?

16. Sõnasta teoreem pöördmaatriksi olemasolu ja kordumatuse kohta.

17. Sõnastage maatriksite korrutise transponeerimise lemma.

Üldised praktilised ülesanded(OK-1, OK-2, OK-11, PK-1) :

nr 1. Leidke maatriksite A ja B summa ja erinevus :

A)

b)

V)

nr 2. Järgige neid samme :

c) Z = -11A+7B-4C+D

Kui

nr 3. Järgige neid samme :

V)

nr 4. Kasutades nelja ruutmaatriksi determinandi arvutamise meetodit, leidke järgmiste maatriksite determinandid :

nr 5. Leidke veeru (rea) elementide põhjal n-ndat järku determinandid :

A) b)

nr 6. Leidke maatriksi determinant, kasutades determinantide omadusi:

A) b)

MAATRIKS MÄÄRATLUS. MAATRIKSIDE LIIGID

Maatriks suurusega m× n nimetatakse komplektiks m·n numbrid on paigutatud ristkülikukujulisse tabelisse m read ja n veerud. See tabel on tavaliselt sulgudes. Näiteks võib maatriks välja näha selline:

Lühiduse huvides võib maatriksi tähistada ühe suure tähega, näiteks A või IN.

IN üldine vaade maatriksi suurus m× n kirjuta see nii

.

Maatriksi moodustavaid numbreid nimetatakse maatriksi elemendid. Maatrikselemendid on mugav varustada kahe indeksiga a ij: esimene tähistab rea numbrit ja teine ​​veeru numbrit. Näiteks, a 23– element asub 2. reas, 3. veerus.

Kui maatriksil on sama arv ridu kui veergude arvul, kutsutakse maatriksit ruut, ja kutsutakse selle ridade või veergude arv korras maatriksid. Ülaltoodud näidetes on teine ​​maatriks ruut - selle järjekord on 3 ja neljas maatriks on selle järjekord 1.

Kutsutakse maatriksit, milles ridade arv ei võrdu veergude arvuga ristkülikukujuline. Näidetes on see esimene ja kolmas maatriks.

Samuti on maatrikseid, millel on ainult üks rida või üks veerg.

Kutsutakse maatriksit, millel on ainult üks rida maatriks - rida(või string) ja ainult ühe veeruga maatriks maatriks - veerg.

Nimetatakse maatriksit, mille kõik elemendid on nullid null ja seda tähistatakse (0) või lihtsalt 0-ga. Näiteks

.

Peadiagonaal ruutmaatriksi diagonaaliks, mis kulgeb vasakust ülanurgast paremasse alumisse nurka.

Kutsutakse ruutmaatriksit, milles kõik põhidiagonaalist allpool olevad elemendid on võrdsed nulliga kolmnurkne maatriks.

.

Ruutmaatriksit, milles kõik elemendid, välja arvatud ehk põhidiagonaalil olevad elemendid, on võrdsed nulliga, nimetatakse diagonaal maatriks. Näiteks või.

Nimetatakse diagonaalmaatriksit, milles kõik diagonaalelemendid on võrdsed ühega vallaline maatriks ja seda tähistatakse tähega E. Näiteks 3. järku identiteedimaatriksil on vorm .

TEGEVUSED MAATRIKSIDEGA

Maatriksi võrdsus. Kaks maatriksit A Ja B nimetatakse võrdseks, kui neil on sama arv ridu ja veerge ning nende vastavad elemendid on võrdsed a ij = b ij. Nii et kui Ja , See A=B, Kui a 11 = b 11, a 12 = b 12, a 21 = b 21 Ja a 22 = b 22.

Transponeerida. Mõelge suvalisele maatriksile A alates m read ja n veerud. Seda saab seostada järgmise maatriksiga B alates n read ja m veerud, milles iga rida on maatriksi veerg A sama numbriga (seega on iga veerg maatriksi rida A sama numbriga). Nii et kui , See .

See maatriks B helistas üle võetud maatriks A ja üleminek alates A To B ülevõtmine.

Seega on transpositsioon maatriksi ridade ja veergude rollide ümberpööramine. Maatriks maatriksiks transponeeritud A, tavaliselt tähistatud A T.

Maatriksi vaheline suhtlus A ja selle transponeerimise saab kirjutada kujul .

Näiteks. Leia antud maatriks, mis on transponeeritud.

Maatriksi lisamine. Lase maatriksitel A Ja B koosnevad samast arvust ridadest ja samast arvust veergudest, st. on samad suurused. Siis maatriksite lisamiseks A Ja B vaja maatrikselementide jaoks A lisada maatrikselemente B seisab samadel kohtadel. Seega kahe maatriksi summa A Ja B nimetatakse maatriksiks C, mis on määratud reegliga, näiteks

Näited. Leidke maatriksite summa:

Lihtne on kontrollida, kas maatriksi liitmine järgib järgmisi seadusi: kommutatiivne A+B=B+A ja assotsiatiivne ( A+B)+C=A+(B+C).

Maatriksi korrutamine arvuga. Maatriksi korrutamiseks A numbri kohta k maatriksi iga elementi on vaja A korrutage selle arvuga. Seega maatrikskorrutis A numbri kohta k on uus maatriks, mis määratakse reegliga või .

Mis tahes numbrite jaoks a Ja b ja maatriksid A Ja B kehtivad järgmised võrdsused:

Näited.

Maatrikskorrutis. See operatsioon viiakse läbi vastavalt omapärasele seadusele. Kõigepealt märgime, et faktorimaatriksite suurused peavad olema järjepidevad. Korrutada saab ainult neid maatrikseid, milles esimese maatriksi veergude arv langeb kokku teise maatriksi ridade arvuga (st esimese rea pikkus võrdub teise veeru kõrgusega). Töö maatriksid A mitte maatriks B nimetatakse uueks maatriksiks C=AB, mille elemendid koosnevad järgmiselt:

Näiteks selleks, et saada toode (st maatriksis C) element, mis asub 1. reas ja 3. veerus alates 13, peate võtma 1. maatriksi 1. rea, 2. maatriksi 3. veeru ja seejärel korrutama rea ​​elemendid vastava veeru elementidega ja liitma saadud korrutised. Ja muud korrutismaatriksi elemendid saadakse esimese maatriksi ridade ja teise maatriksi veergude sarnase korrutise abil.

Üldiselt, kui korrutame maatriksi A = (a ij) suurus m× n maatriksile B = (b ij) suurus n× lk, siis saame maatriksi C suurus m× lk, mille elemendid arvutatakse järgmiselt: element c ij saadakse elementide korrutise tulemusena i maatriksi rida A vastavatele elementidele j maatriksi veerus B ja nende täiendused.

Sellest reeglist järeldub, et alati saab korrutada kaks sama järku ruutmaatriksit ja selle tulemusena saame sama järgu ruutmaatriksi. Eelkõige saab ruutmaatriksit alati korrutada iseendaga, s.t. ruudu see.

Teine oluline juhtum on reamaatriksi korrutamine veerumaatriksiga ja esimese laius peab olema võrdne teise kõrgusega, mille tulemuseks on esimest järku maatriks (s.o üks element). Tõesti,

.

Näited.

Nii et need lihtsaid näiteid näitavad, et maatriksid üldiselt ei pendelda omavahel, st. A∙B ≠ B∙A . Seetõttu peate maatriksite korrutamisel hoolikalt jälgima tegurite järjekorda.

Saab kontrollida, et maatrikskorrutis järgib assotsiatiivseid ja distributiivseid seadusi, s.t. (AB)C=A(BC) Ja (A+B)C=AC+BC.

Seda on lihtne kontrollida ka ruutmaatriksi korrutamisel A identiteedimaatriksisse E samas järjekorras saame taas maatriksi A ja AE=EA=A.

Märkida võib järgmist huvitavat fakti. Teatavasti ei võrdu 2 nullist erineva arvu korrutis 0-ga. Maatriksite puhul ei pruugi see nii olla, s.t. 2 nullist erineva maatriksi korrutis võib osutuda võrdseks nullmaatriksiga.

Näiteks, Kui , See

.

DETERMINANTIDE MÕISTE

Olgu antud teist järku maatriks – ruutmaatriks, mis koosneb kahest reast ja kahest veerust .

Teist järku determinant antud maatriksile vastav arv on järgmine: 11-22-12-21.

Determinant on tähistatud sümboliga .

Seega tuleb teist järku determinandi leidmiseks lahutada põhidiagonaali elementide korrutisest piki teist diagonaali elementide korrutis.

Näited. Arvutage teist järku determinandid.

Samamoodi võime käsitleda kolmandat järku maatriksit ja sellele vastavat determinanti.

Kolmandat järku determinant, mis vastab antud kolmandat järku ruutmaatriksile, on arv, mida tähistatakse ja saadakse järgmiselt:

.

Seega annab see valem kolmandat järku determinandi laienduse esimese rea elementide suhtes 11, 12, 13 ja taandab kolmanda järgu determinandi arvutamise teist järku determinantide arvutamiseks.

Näited. Arvutage kolmandat järku determinant.

Samamoodi võib tutvustada neljanda, viienda jne determinantide mõisteid. tellimusi, alandades nende järjestust, laienedes 1. rea elementidele, kusjuures terminite märgid “+” ja “–” vahelduvad.

Seega erinevalt maatriksist, mis on arvude tabel, on determinant arv, mis on maatriksile teatud viisil määratud.

Maatriksid matemaatikas on üks olulisemaid praktilise tähtsusega objekte. Sageli algab ekskursioon maatriksiteooriasse sõnadega: "Maatriks on ristkülikukujuline tabel ...". Alustame seda ekskursiooni veidi teisest suunast.

Igas suuruses ja mis tahes hulga abonendiandmetega telefoniraamatud pole midagi muud kui maatriksid. Sellised maatriksid näevad välja umbes sellised:

On selge, et me kõik kasutame selliseid maatrikseid peaaegu iga päev. Nendel maatriksitel on erinev arv ridu (need varieeruvad nagu telefonifirma välja antud kataloog, milles võib olla tuhandeid, sadu tuhandeid ja isegi miljoneid ridu ja uus, mille just alustasite Märkmik, milles on vähem kui kümme rida) ja veerge (kataloog ametnikud mingi organisatsioon, kus võivad olla veerud nagu ametikoha ja kontori number ja teie sama aadressiraamat, kus ei pruugi olla andmeid peale nime ja seega on selles ainult kaks veergu - nimi ja telefoninumber).

Kõikvõimalikke maatrikseid saab liita ja korrutada, samuti nendega muid toiminguid teha, aga telefonikatalooge pole vaja liita ja korrutada, sellest pole kasu ja pealegi saab mõistust kasutada.

Kuid paljusid maatrikseid saab ja tuleks liita ja korrutada ning seeläbi lahendada erinevaid pakilisi probleeme. Allpool on selliste maatriksite näited.

Maatriksid, milles veerud näitavad teatud tüüpi toote ühikute tootmist ja read on aastad, mil selle toote tootmine registreeritakse:

Tööstusharu kokkuvõtlike andmete saamiseks saate lisada seda tüüpi maatrikseid, mis võtavad arvesse erinevate ettevõtete sarnaste toodete toodangut.

Või maatriksid, mis koosnevad näiteks ühest veerust, milles read on teatud tüüpi toote keskmised maksumused:

Kaht viimast tüüpi maatriksit saab korrutada ja tulemuseks on reamaatriks, mis sisaldab igat tüüpi toodete maksumust aastate lõikes.

Maatriksid, põhimääratlused

Ristkülikukujuline tabel, mis koosneb sisse paigutatud numbritest m read ja n veergudeks nimetatakse mn-maatriks (või lihtsalt maatriks ) ja see on kirjutatud järgmiselt:

(1)

Maatriksis (1) nimetatakse numbreid selle elemendid (nagu determinandis, esimene indeks tähistab rea numbrit, teine ​​- veergu, mille ristumiskohas element asub; i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, n).

Maatriksit nimetatakse ristkülikukujuline , Kui.

Kui m = n, siis nimetatakse maatriksit ruut , ja arv n on selle korras .

Ruutmaatriksi A determinant on determinant, mille elemendid on maatriksi elemendid A. Seda tähistab sümbol | A|.

Ruutmaatriksit nimetatakse pole eriline (või mitte-mandunud , mitteainsuses ), kui selle determinant ei ole null, ja eriline (või degenereerunud , ainsus ), kui selle determinant on null.

Maatriksiid nimetatakse võrdne , kui neil on sama arv ridu ja veerge ning kõik vastavad elemendid sobivad.

Maatriksit nimetatakse null , kui kõik selle elemendid on võrdsed nulliga. Nullmaatriksit tähistame sümboliga 0 või .

Näiteks,

Maatriks-rida (või väiketähtedega ) nimetatakse 1 n-maatriks ja maatriks-veerg (või sammaskujuline ) – m 1-maatriks.

Maatriks A", mis saadakse maatriksist A ridade ja veergude vahetamist selles nimetatakse üle võetud maatriksi suhtes A. Seega on maatriksi (1) jaoks transponeeritud maatriks

Maatriksi ülemineku operatsioon A" maatriksi suhtes üle võetud A, nimetatakse maatrikstranspositsiooniks A. Sest mn-maatriks transponeeritud on nm-maatriks.

Maatriksi suhtes transponeeritud maatriks on A, see on

(A")" = A .

Näide 1. Leia maatriks A" , mis on maatriksi suhtes üle võetud

ja selgitada välja, kas algse ja transponeeritud maatriksi determinandid on võrdsed.

Peadiagonaal Ruutmaatriks on selle elemente ühendav kujuteldav joon, mille mõlemad indeksid on samad. Neid elemente nimetatakse diagonaal .

Nimetatakse ruutmaatriks, milles kõik põhidiagonaalist väljapoole jäävad elemendid on võrdsed nulliga diagonaal . Mitte kõik diagonaalmaatriksi diagonaalelemendid pole tingimata nullist erinevad. Mõned neist võivad olla nulliga võrdsed.

Ruutmaatriksit, mille põhidiagonaalil olevad elemendid on võrdsed nullist erineva arvuga ja kõik ülejäänud on võrdsed nulliga, nimetatakse skalaarmaatriks .

Identiteedi maatriks nimetatakse diagonaalmaatriksiks, mille kõik diagonaalelemendid on võrdsed ühega. Näiteks kolmandat järku identiteedimaatriks on maatriks

Näide 2. Antud maatriksid:

Lahendus. Arvutame nende maatriksite determinandid. Kolmnurga reeglit kasutades leiame

Maatriksdeterminant B arvutame valemi abil

Saame selle kergesti kätte

Seetõttu maatriksid A ja on mitteainsuse (mitte-mandunud, mitteainsuse) ja maatriks B– eriline (mandunud, ainsus).

Mis tahes järku identsusmaatriksi determinant on ilmselgelt võrdne ühega.

Lahendage maatriksiülesanne ise ja seejärel vaadake lahendust

Näide 3. Antud maatriksid

,

,

Määrake, millised neist on mitteainsused (mitte-mandunud, mitteainsuses).

Maatriksite rakendamine matemaatilises ja majanduslikus modelleerimises

Konkreetse objekti struktureeritud andmed salvestatakse lihtsalt ja mugavalt maatriksite kujul. Maatriksmudelid luuakse mitte ainult nende struktureeritud andmete salvestamiseks, vaid ka lahendamiseks erinevaid ülesandeid nende lineaaralgebra vahenditega.

Seega on majanduse üldtuntud maatriksmudel sisend-väljundmudel, mille tutvustas Vene päritolu Ameerika majandusteadlane Vassili Leontjev. See mudel põhineb eeldusel, et kogu majanduse tootmissektor jaguneb n puhtad tööstused. Iga tööstus toodab ainult ühte tüüpi tooteid ja erinevad tööstusharud toodavad erinevaid tooteid. Sellisest tööstusharudevahelisest tööjaotusest tulenevalt tekivad tööstusharudevahelised seosed, mille tähendus seisneb selles, et osa iga majandusharu toodangust kantakse tootmisressursina üle teistele majandusharudele.

Toote maht i-ndat majandusharu (mõõdetuna konkreetse mõõtühikuga), mis on toodetud aruandeperioodil, tähistatakse ja seda nimetatakse täistoodanguks i-th tööstusharu. Probleemid saab mugavalt sisestada n-maatriksi komponentrida.

Ühikute arv i-tööstus, mida tuleb kulutada j- tootmisharu oma toodanguühiku tootmiseks on määratud ja seda nimetatakse otseseks kulukoefitsiendiks.

Punktid ruumis, toode Rv annab teise vektori, mis määrab punkti asukoha pärast pööramist. Kui v on reavektor, saab sama teisenduse saada kasutades vR T, kus R T - üle võetud R maatriks.

Entsüklopeediline YouTube

1 / 5

C# – konsool – olümpiaad – ruutspiraal

Maatriks: määratlus ja põhimõisted

Kust saada jõudu ja inspiratsiooni 4-ruudulise maatriksi laadimine

Maatriksite summa ja vahe, maatriksi korrutamine arvuga

Transponeeritud maatriks / Transponeeritud maatriks

Subtiitrid

Peadiagonaal

Elemendid a ii (i = 1, ..., n) moodustavad ruutmaatriksi põhidiagonaali. Need elemendid asuvad kujuteldaval sirgel, mis kulgeb maatriksi vasakust ülanurgast alumisse paremasse nurka. Näiteks joonisel oleva 4x4 maatriksi põhidiagonaal sisaldab elemente a 11 = 9, a 22 = 11, a 33 = 4, a 44 = 10.

Ruutmaatriksi diagonaali, mis läbib alumist vasakut ja ülemist paremat nurka, nimetatakse pool.

Eritüübid

Diagonaal- ja kolmnurkmaatriksid

Kui kõik elemendid väljaspool põhidiagonaali on nullid, A nimetatakse diagonaaliks. Kui kõik põhidiagonaali kohal (all) olevad elemendid on nullid, A nimetatakse alumiseks (ülemiseks) kolmnurkmaatriksiks.

Identiteedi maatriks

aktsepteerib ainult positiivsed väärtused(vastavalt, negatiivsed väärtused või mõlemad). Kui ruutvorm võtab ainult mittenegatiivseid (vastavalt ainult mittepositiivseid) väärtusi, sümmeetrilist maatriksit nimetatakse positiivselt pooldefiniitseks (vastavalt negatiivseks pooldefiniitseks). Maatriks on määramatu, kui see ei ole positiivne ega negatiivne poolmääratletud.

Sümmeetriline maatriks on positiivne siis ja ainult siis, kui kogu tema omaväärtused on positiivsed. Parempoolses tabelis on kaks võimalikku juhtumit 2x2 maatriksite jaoks.

Kui kasutame kahte erinevat vektorit, saame bilineaarse vormi, mis on seotud A:

Ortogonaalne maatriks

Ortogonaalne maatriks on reaalelementidega ruutmaatriks, mille veerud ja read on ortogonaalsed ühikvektorid (st ortonormaalsed). Ortogonaalmaatriksi saate määratleda ka maatriksina, mille pöördväärtus on võrdne selle transponeerimisega:

kust see tuleb

Ortogonaalne maatriks A alati pöörduv ( A −1 = A T), ühtne ( A −1 = A*) ja tavaline ( A*A = A.A.*). Iga ortonormaalse maatriksi determinant on kas +1 või –1. Lineaarse kaardistusena on iga determinandiga +1 ortonormaalne maatriks lihtne pöörlemine, samas kui iga determinandiga −1 ortonormaalne maatriks on kas lihtne peegeldus või peegelduse ja pöörlemise kompositsioon.

Operatsioonid

Rada

Determinant det( A) või | A| ruutmaatriks A on arv, mis määrab maatriksi mõned omadused. Maatriks on pööratav siis ja ainult siis, kui selle determinant on nullist erinev.

Neljandat järku ruutmaatriksit, mille põhidiagonaalil on ühed ja kõik muud elemendid on võrdsed nulliga, nimetatakse identiteedimaatriksiks ja tähistatakse lihtsalt või . Nimetus "identiteedimaatriks" on seotud maatriksi järgmise omadusega: mis tahes ristkülikukujulise maatriksi jaoks

on võrdsused

.

Ilmselgelt

Laskma olla ruutmaatriks. Seejärel määratakse maatriksi aste tavalisel viisil:

Maatriksi korrutamise kombinatsiooni omadusest järeldub:

Siin on suvalised mittenegatiivsed täisarvud.

Vaatleme polünoomi (terve ratsionaalne funktsioon), mille koefitsiendid on väljast:

Siis peame silmas maatriksit

Nii defineeritakse maatriksi polünoom.

Olgu polünoom võrdne polünoomide korrutisega ja :

.

Polünoom saadakse sarnaste liikmete terminipõhisest korrutamisest ja taandamisest. Sel juhul kasutatakse astmete korrutamise reeglit: . Kuna kõik need toimingud kehtivad ka skalaarsuuruse asendamisel maatriksiga, siis

Seega eelkõige

see tähendab, et kaks samast maatriksist pärit polünoomi pendeldavad alati üksteisega.

Leppigem kokku, et ristkülikukujulise maatriksi th supradiagonaal (subdiagonaal) on rida elemente, mis (vastavalt). Tähistame järgu ruutmaatriksiga, milles esimese supradiagonaali elemendid on võrdsed ühega ja kõik ülejäänud elemendid on võrdsed nulliga. Siis

, jne.;

Nende võrdsuste tõttu, kui:

Polünoom on siis suhteline

.

Samamoodi, kui on neljandat järku ruutmaatriks, milles kõik esimese alamdiagonaali elemendid on võrdsed ühega ja kõik ülejäänud on võrdsed nulliga, siis

.

Kutsume lugejat üles kontrollima järgmisi maatriksite omadusi ja:

1° Vasakpoolse suvalise -maatriksi korrutamise tulemusena järgu maatriksiga (maatriksiga) purustatakse (langetatakse) kõik maatriksi read ühe koha võrra üles (alla), maatriksi esimene (viimane) rida. maatriks kaob ja toote viimane (esimene) rida täidetakse nullidega. Näiteks,

,

.

2° Parempoolse suvalise -maatriksi korrutamise tulemusel järgu maatriksiga nihutatakse maatriksi kõik veerud ühe koha võrra paremale (vasakule), samas kui maatriksi viimane (esimene) veerg kaob. , ja toote esimene (viimane) veerg täidetakse nullidega. Näiteks,

.

.

2. Ruutmaatriksit nimetatakse eriliseks, kui . Vastasel juhul nimetatakse ruutmaatriksit mitteainsuseks.

Laskma olema mitteainsuse maatriks (). Vaatleme lineaarset teisendust koefitsientide maatriksiga

Võttes arvesse võrdusi (23) suhteliste võrranditena ja märkides, et võrrandisüsteemi (23) determinant erineb tingimuse järgi nullist, saame seda teadaolevate valemite abil üheselt väljendada järgmiselt:

. (24)

Oleme saanud (23) "pöördteisenduse". Selle teisenduse koefitsientide maatriks

nimetame maatriksi pöördmaatriksiks. Alates (24) on seda lihtne näha

, (25)

kus on determinandi elemendi algebraline komplement (adjunkt). .

Nii näiteks kui

ja ,

.

Moodustades sellest teisendusest (23) ja pöördteisendusest (24) ühes ja teises järjekorras, saame mõlemal juhul identiteedi transformatsioon(ühikkoefitsiendi maatriksiga); Sellepärast

. (26)

Võrdluste (26) kehtivust saab kontrollida ka maatriksite ja korrutamisega. Tõepoolest, tänu (25)

.

Samamoodi

.

On lihtne näha, et maatriksvõrrandid

neil pole peale lahenduse muid lahendusi. Tõepoolest, korrutades esimese vasakpoolse ja teise võrrandi mõlemad pooled maatriksite korrutise kombinatoorset omadust ja võrdsust (26) kasutades, saame mõlemal juhul:

Samamoodi on tõestatud, et iga maatriksvõrrand

kus ja on võrdse suurusega ristkülikukujulised maatriksid, on vastava suurusega ruutmaatriks, millel on üks ja ainult üks lahendus:

Ja vastavalt (29)

Maatriksid (29) on justkui maatriksi maatriksiga jagamise “vasak” ja “parem” jagatis. Punktidest (28) ja (29) järeldub vastavalt (vt lk 22) ja , st. Võrreldes (28) on meil:

Kui ristkülikukujulist maatriksit korrutatakse vasakult või paremalt mitteainsuse maatriksiga, siis algse maatriksi järjestus ei muutu.

Märkigem veel, et (26)-st järeldub, s.o.

Kahe mitteainsuse maatriksi korrutis on meil:

. (30)

3. Kõik järgu maatriksid moodustavad identiteedielemendiga rõnga. Kuna selles ringis on defineeritud välja arvuga korrutamise tehe ja on olemas lineaarselt sõltumatute maatriksite alus, mille kaudu kõik järgu maatriksid on lineaarselt väljendatud, siis on järgu maatriksite ring algebra.

Kõik järgu ruutmaatriksid moodustavad liitmise operatsiooni suhtes kommutatiivse rühma. Kõik mitteainsuse maatriksid moodustavad korrutustehte suhtes (mittekommutatiivse) rühma.

Ruutmaatriksit nimetatakse ülemiseks kolmnurkseks (alumiseks kolmnurkseks), kui kõik põhidiagonaali all (põhidiagonaali kohal) asuvad maatriksi elemendid on võrdsed nulliga:

, .

Diagonaalmaatriks on nii ülemise kui ka alumise kolmnurkmaatriksi erijuhtum.

Kuna kolmnurkse maatriksi determinant on võrdne selle diagonaalsete elementide korrutisega, on kolmnurkne (ja eriti diagonaalne) maatriks mitteainsus ainult siis, kui kõik selle diagonaalelemendid on nullist erinevad.

Lihtne on kontrollida, kas kahe diagonaalse (ülemine kolmnurkne, alumine kolmnurkne) maatriksi summa ja korrutis on diagonaalne (vastavalt ülemine kolmnurkne, alumine kolmnurkne) maatriks ja pöördmaatriks mitteainsuse diagonaali jaoks (ülemine kolmnurkne, alumine kolmnurkne) maatriks on sama tüüpi maatriks. Sellepärast

1° Kõik diagonaalid, kõik ülemised kolmnurksed, kõik alumised kolmnurkmaatriksid moodustavad liitmistoimingu suhtes kolm kommutatiivset rühma.

2° Kõik mitteainsuse diagonaalmaatriksid moodustavad korrutamisel kommutatiivse rühma.

3° Kõik mitteainsuse ülemised (alumised) kolmnurkmaatriksid moodustavad korrutamisel rühma (mittekommutatiivsed)

4. Selle osa lõpetuseks toome välja kaks olulist maatriksitehet – maatriksi transponeerimine ja konjugaatmaatriksile üleminek, seejärel maatriksid.

Kui ruutmaatriks langeb kokku selle transponeerimisega (), nimetatakse sellist maatriksit sümmeetriliseks. Kui ruutmaatriks langeb kokku selle konjugaadiga (), nimetatakse seda hermiitideks. Sümmeetrilises maatriksis on põhidiagonaali suhtes sümmeetriliselt paiknevad elemendid võrdsed, kuid hermiitilises maatriksis on nad omavahel kompleksselt konjugeeritud. Hermiitliku maatriksi diagonaalsed elemendid on alati reaalsed. Pange tähele, et kahe sümmeetrilise (Hermiit) maatriksi korrutis ei ole üldiselt sümmeetriline (Hermiitne) maatriks. 3° tõttu toimub see ainult juhul, kui kaks etteantud sümmeetrilist või hermiitlikku maatriksit pendeldavad üksteisega.

Soodustab võrdsust.

Kui ruutmaatriks erineb selle transponeerimisest teguriga -1 (), nimetatakse sellist maatriksit kaldsümmeetriliseks. Kaldussümmeetrilises maatriksis erinevad kaks põhidiagonaali suhtes sümmeetriliselt paiknevat elementi üksteisest koefitsiendiga -1 ja diagonaalelemendid on võrdsed nulliga. 3°-st järeldub, et kahe üksteisega vahetatud kaldsümmeetrilise maatriksi korrutis on sümmeetriline maatriks.