Leidke maatriksiga antud operaatori omaväärtused. Lineaarse operaatori omavektorid ja omaväärtused

Diagonaaltüüpi maatriksid on kõige lihtsamini paigutatud. Tekib küsimus, kas on võimalik leida alust, milles lineaaroperaatori maatriks oleks diagonaalse kujuga. Selline alus on olemas.
Olgu antud lineaarruum R n ja selles toimiv lineaaroperaator A; sel juhul võtab operaator A R n enda sisse ehk A:R n → R n .

Definitsioon. Nullist erinevat vektorit x nimetatakse operaatori A omavektoriks, kui operaator A teisendab x temaga kollineaarseks vektoriks, st . Arvu λ nimetatakse omavektorile x vastava operaatori A omaväärtuseks või omaväärtuseks.
Märgime mõningaid omaväärtuste ja omavektorite omadusi.
1. Omavektorite mis tahes lineaarne kombinatsioon operaatori A, mis vastab samale omaväärtusele λ, on sama omaväärtusega omavektor.
2. Omavektorid operaator A paarikaupa erinevate omaväärtustega λ 1 , λ 2 , …, λ m on lineaarselt sõltumatud.
3. Kui omaväärtused λ 1 =λ 2 = λ m = λ, siis omaväärtus λ vastab mitte rohkem kui m lineaarselt sõltumatule omavektorile.

Seega, kui on n lineaarselt sõltumatut omavektorit mis vastavad erinevatele omaväärtustele λ 1 , λ 2 , …, λ n , siis on nad lineaarselt sõltumatud, seega võib neid võtta ruumi R n aluseks. Leiame lineaaroperaatori A maatriksi kuju tema omavektorite alusel, mille puhul toimime operaatoriga A baasvektorite alusel: siis .
Seega on lineaarse operaatori A maatriksil oma omavektorite alusel diagonaalkuju ja operaatori A omaväärtused on diagonaalil.
Kas on veel mõni alus, mille puhul maatriksil on diagonaalne vorm? Sellele küsimusele annab vastuse järgmine teoreem.

Teoreem. Lineaaroperaatori A maatriksil aluses (i = 1..n) on diagonaalkuju siis ja ainult siis, kui kõik aluse vektorid on operaatori A omavektorid.

Omaväärtuste ja omavektorite leidmise reegel

. (*)

(1)
kus on lineaaroperaatori maatriks.

Süsteemil (1) on nullist erinev lahendus, kui selle determinant D on võrdne nulliga

Näide 12. Lineaaroperaator A toimib R 3-s vastavalt seadusele , kus x 1 , x 2 , .., x n on baasis oleva vektori koordinaadid , , . Leidke selle operaatori omaväärtused ja omavektorid.
Otsus. Koostame selle operaatori maatriksi:
.
Koostame omavektorite koordinaatide määramise süsteemi:

Koostame iseloomuliku võrrandi ja lahendame selle:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Asendades süsteemi λ = -1, saame:
või
Nagu , siis on kaks sõltuvat muutujat ja üks vaba muutuja.
Olgu siis x 1 vaba tundmatu Lahendame selle süsteemi mis tahes viisil ja leiame ühine otsus Sellest süsteemist: Lahenduste põhisüsteem koosneb ühest lahendist, kuna n - r = 3 - 2 = 1.
Omaväärtusele λ = -1 vastav omavektorite hulk on kujul: , kus x 1 on mis tahes arv, mis ei ole null. Valime sellest hulgast ühe vektori, näiteks määrates x 1 = 1: .
Sarnaselt argumenteerides leiame omaväärtusele λ = 3 vastava omavektori: .
Ruumis R 3 koosneb baas kolmest lineaarselt sõltumatust vektorist, kuid oleme saanud ainult kaks lineaarselt sõltumatut omavektorit, millest R 3 baasi moodustada ei saa. Järelikult ei saa lineaaroperaatori maatriksit A ​​taandada diagonaalkujule.

Näide 13 Antud maatriks .
1. Tõesta, et vektor on maatriksi A omavektor. Leia sellele omavektorile vastav omaväärtus.
2. Leia alus, milles maatriksil A on diagonaalkuju.
Otsus.
1. Kui , siis x on omavektor

.
Vektor (1, 8, -1) on omavektor. Omaväärtus λ = -1.
Maatriksil on omavektoritest koosnevas baasis diagonaalvorm. Üks neist on kuulus. Leiame ülejäänud.
Otsime omavektoreid süsteemist:

Iseloomulik võrrand: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2–1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Leidke omaväärtusele λ = -3 vastav omavektor:

Selle süsteemi maatriksi auaste on võrdne kahega ja võrdub tundmatute arvuga, seetõttu on sellel süsteemil ainult nulllahendus x 1 = x 3 = 0. x 2 võib siin olla midagi muud kui null, näiteks x 2 = 1. Seega on vektor (0 ,1,0) omavektor, mis vastab väärtusele λ = -3. Kontrollime:
.
Kui λ = 1, siis saame süsteemi
Maatriksi auaste on kaks. Tõmmake viimane võrrand läbi.
Olgu x 3 vaba tundmatu. Siis x 1 \u003d -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = 9x 3.
Eeldades, et x 3 = 1, saame (-3,-9,1) - omaväärtusele λ = 1 vastav omavektor. Kontrollige:

.
Kuna omaväärtused on reaalsed ja erinevad, on neile vastavad vektorid lineaarselt sõltumatud, nii et neid saab R 3 aluseks võtta. Seega aluses , , maatriksil A on vorm:
.
Mitte iga lineaarse operaatori A:R n → R n maatriksit ei saa taandada diagonaalkujule, kuna mõne lineaaroperaatori puhul võib olla vähem kui n lineaarselt sõltumatut omavektorit. Kui aga maatriks on sümmeetriline, siis vastab täpselt m lineaarselt sõltumatut vektorit kordsusvõrrandi m juurele.

Definitsioon. Sümmeetrilist maatriksit nimetatakse ruutmaatriks, milles põhidiagonaali suhtes sümmeetrilised elemendid on võrdsed, see tähendab, milles .
Märkused. 1. Kõik sümmeetrilise maatriksi omaväärtused on reaalsed.
2. Paarikaupa erinevatele omaväärtustele vastava sümmeetrilise maatriksi omavektorid on ortogonaalsed.
Üheks uuritud aparaadi arvukatest rakendustest käsitleme teist järku kõvera kuju määramise probleemi.

Definitsioon: Olgu L antud n- dimensiooniline lineaarne ruum. Nimetatakse nullist erinev vektor L oma vektor lineaarteisendus A, kui on selline arv , et võrdus kehtib:

A
(7.1)

Sel juhul kutsutakse numbrit  omaväärtus (iseloomulik arv) Vektorile vastav lineaarne teisendus A .

Liigutades (7.1) paremat külge vasakule ja võttes arvesse seost
, kirjutame (7.1) ümber kui

(7.2)

Võrrand (7.2) on samaväärne lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemiga:

(7.3)

Lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemi (7.3) nullist erineva lahendi olemasoluks on vajalik ja piisav, et selle süsteemi kordajate determinant on võrdne nulliga, s.o.

|A-λE|=
(7.4)

See determinant on λ suhtes n-nda astme polünoom ja seda nimetatakse iseloomulik polünoom lineaarteisendus A ja võrrand (7.4) - iseloomulik võrrand maatriksid A.

Definitsioon: Kui lineaarne teisendus A mingis aluses ,,…,on maatriks A =
, siis lineaarse teisenduse A omaväärtused leiame tunnusvõrrandi juurtena 1 , 2 , … , n:

Kaaluge erijuhtum . Olgu A mingi tasandi lineaarne teisendus, mille maatriks on võrdne
. Siis saab teisenduse A esitada valemitega:

;

mingil alusel
.

Kui teisendusel A on omavektor omaväärtusega , siis A
.

või

Sest omavektor nullist erinev, siis x 1 ja x 2 ei ole korraga võrdsed nulliga. Sest Kui see süsteem on homogeenne, siis selleks, et sellel oleks mittetriviaalne lahendus, peab süsteemi determinant olema võrdne nulliga. Muidu on süsteemil Crameri reegli järgi unikaalne lahendus – null, mis on võimatu.

Saadud võrrand on lineaarse teisenduse A iseloomulik võrrand.

Seega võib leida omavektori (x 1, x 2) lineaarteisendusest A omaväärtusega , kus  on tunnusvõrrandi juur ning x 1 ja x 2 on võrrandisüsteemi juured, kui sellesse on asendatud väärtus .

On selge, et kui karakteristikul võrrandil pole reaaljuuri, siis lineaarteisendusel A ei ole omavektoreid.

Tuleb märkida, et kui on teisenduse A omavektor, siis iga temaga kollineaarne vektor on ka sama omaväärtusega omavektor.

Tõesti,. Kui võtta arvesse, et vektoritel on üks alguspunkt, siis need vektorid moodustavad nn enda suund või enda otsene.

Sest tunnusvõrrandil võib olla kaks erinevat reaaljuurt  1 ja  2, siis sellisel juhul saame need võrrandisüsteemi asendades lõpmatu arvu lahendeid. (Kuna võrrandid on lineaarselt sõltuvad). See lahenduste komplekt määratleb kaks enda otsene.

Kui tunnusvõrrandil on kaks võrdset juurt 1 = 2 =, siis on kas ainult üks õige sirge või kui süsteemiks asendamisel muutub see süsteemiks kujul:
. See süsteem rahuldab mis tahes väärtusi x 1 ja x 2. Siis on kõik vektorid omavektorid ja sellist teisendust nimetatakse sarnasuse teisendus.

Näide.
.

Näide. Leidke maatriksiga A = lineaarse teisenduse iseloomulikud arvud ja omavektorid
.

Kirjutame lineaarse teisenduse kujul:

Teeme iseloomuliku võrrandi:

 2 - 4+ 4 = 0;

Karakteristiku võrrandi juured:  1 = 2 = 2;

Saame:

Sõltuvus saadakse süsteemist: x 1 – x 2 = 0. Karakteristiku võrrandi esimese juure omavektoritel on koordinaadid: ( t ; t ) kus t- parameeter.

Omavektori saab kirjutada:
.

Kaaluge teist erijuhtum. Kui - kolmemõõtmelises lineaarruumis antud lineaarse teisenduse A omavektor ja x 1, x 2, x 3 on selle vektori komponendid mingil alusel
, siis

kus  on teisenduse A omaväärtus (tunnusarv).

Kui lineaarse teisendusmaatriksil A on vorm:

, siis

Iseloomulik võrrand:

Laiendades determinanti, saame  jaoks kuupvõrrandi. Igal reaalkoefitsiendiga kuupvõrrandil on üks või kolm reaaljuurt.

Siis on igal lineaarsel teisendusel kolmemõõtmelises ruumis omavektorid.

Näide. Leidke lineaarteisendusele A iseloomulikud arvud ja omavektorid, lineaarteisnduse maatriks A = .

Näide. Leidke lineaarteisendusele A iseloomulikud arvud ja omavektorid, lineaarteisnduse maatriks A =
.

Teeme iseloomuliku võrrandi:

-(3 + )((1 -)(2 -) – 2) + 2(4 - 2- 2) - 4(2 - 1 +) = 0

-(3 + )(2 -- 2+ 2 - 2) + 2(2 - 2) - 4(1 +) = 0

-(3 + )( 2 - 3) + 4 - 4- 4 - 4= 0

3 2 + 9- 3 + 3 2 - 8= 0

 1 = 0; 2 = 1; 3 = -1;

Kui  1 = 0:

Kui võtame x 3 \u003d 1, saame x 1 \u003d 0, x 2 \u003d -2

Omavektorid
t, kus t on parameeter.

Samamoodi võib leida ja  2 ja  3 jaoks.

Vektorit X ≠ 0 nimetatakse oma vektor lineaaroperaator maatriksiga A, kui on selline arv , et AX = X.

Sel juhul kutsutakse numbrit  omaväärtus vektorile x vastav operaator (maatriks A).

Teisisõnu, omavektor on vektor, mis lineaaroperaatori toimel muundub kollineaarseks vektoriks, s.t. lihtsalt korrutage mõne arvuga. Seevastu ebaõigeid vektoreid on raskem teisendada.

Kirjutame omavektori definitsiooni võrrandisüsteemina:

Liigume kõik terminid vasakule poole:

Viimase süsteemi saab kirjutada maatriks kujul järgmiselt:

(A - E) X = O

Saadud süsteemis on alati nulllahendus X = O. Selliseid süsteeme, milles kõik vabaliikmed on võrdsed nulliga, nimetatakse homogeenne. Kui sellise süsteemi maatriks on ruut ja selle determinant ei ole võrdne nulliga, siis Crameri valemite järgi saame alati unikaalse lahendi – nulli. Seda, et süsteemil on nullist erinevaid lahendeid, saab tõestada siis ja ainult siis, kui selle maatriksi determinant on võrdne nulliga, s.t.

|A - E| = = 0

Seda võrrandit tundmatu ga nimetatakse iseloomulik võrrand(iseloomulik polünoom) maatriks A (lineaarne operaator).

Saab tõestada, et lineaaroperaatori karakteristlik polünoom ei sõltu aluse valikust.

Näiteks leiame maatriksiga A = antud lineaaroperaatori omaväärtused ja omavektorid.

Selleks koostame tunnusvõrrandi |А - Е| = \u003d (1 -) 2 - 36 \u003d 1 - 2 +  2 - 36 \u003d 2 - 2- 35; D \u003d 4 + 140 = 144; omaväärtused 1 = (2 - 12)/2 = -5; 2 = (2 + 12)/2 = 7.

Omavektorite leidmiseks lahendame kaks võrrandisüsteemi

(A + 5E) X = O

(A - 7E) X = O

Neist esimese puhul võtab laiendatud maatriks kuju

,

kust x 2 \u003d c, x 1 + (2/3) c \u003d 0; x 1 \u003d - (2/3) s, s.o. X (1) \u003d (- (2/3) s; s).

Neist teise jaoks võtab laiendatud maatriks kuju

,

kust x 2 = c 1, x 1 - (2/3) c 1 \u003d 0; x 1 \u003d (2/3) s 1, s.o. X (2) \u003d ((2/3) s 1; s 1).

Seega on selle lineaaroperaatori omavektoriteks kõik vektorid kujul (-(2/3)c; c) omaväärtusega (-5) ja kõik vektorid kujul ((2/3)c 1 ; c 1) omaväärtus 7 .

Võib tõestada, et operaatori A maatriks selle omavektoritest koosnevas baasis on diagonaalne ja selle kujuga:

,

kus  i on selle maatriksi omaväärtused.

Tõsi on ka vastupidine: kui maatriks A mõnes aluses on diagonaal, siis on kõik selle aluse vektorid selle maatriksi omavektorid.

Samuti saab tõestada, et kui lineaaroperaatoril on n paarikaupa erinevat omaväärtust, siis vastavad omavektorid on lineaarselt sõltumatud ja selle operaatori maatriks vastavas baasis on diagonaalse kujuga.

Omaväärtused (arvud) ja omavektorid.
Lahendusnäited

Ole sina ise

Mõlemast võrrandist järeldub, et .

Paneme siis: .

Tulemusena: on teine ​​omavektor.

Kordame olulised punktid lahendused:

– saadud süsteemil on kindlasti üldlahend (võrrandid on lineaarselt sõltuvad);

- "Y" valitakse nii, et see on täisarv ja esimene "x" koordinaat on täisarv, positiivne ja võimalikult väike.

– kontrollime, et konkreetne lahendus rahuldaks süsteemi iga võrrandit.

Vastus .

Vahepealsetest "kontrollpunktidest" piisas täiesti, nii et võrduste kontroll on põhimõtteliselt üleliigne.

Erinevates teabeallikates kirjutatakse omavektorite koordinaadid sageli mitte veergudesse, vaid ridadesse, näiteks: (ja kui aus olla, siis ma ise kirjutasin neid ridadena). See valik on vastuvõetav, kuid seda teemat silmas pidades lineaarsed teisendused tehniliselt mugavam kasutada veeruvektorid.

Võib-olla tundus lahendus teile väga pikk, kuid seda ainult seetõttu, et kommenteerisin esimest näidet väga üksikasjalikult.

Näide 2

maatriksid

Treenime iseseisvalt! Ülesande lõpliku kavandi ligikaudne näidis õppetunni lõpus.

Mõnikord peate täitma täiendava ülesande, nimelt:

kirjutage maatriksi kanooniline lagunemine

Mis see on?

Kui maatriksi omavektorid moodustuvad alus, siis saab seda esitada järgmiselt:

Kus on maatriks, mis koosneb omavektorite koordinaatidest, - diagonaal maatriks vastavate omaväärtustega.

Seda maatriksi lagunemist nimetatakse kanooniline või diagonaal.

Mõelge esimese näite maatriksile. Tema enda vektorid lineaarselt sõltumatu(mittekollineaarne) ja moodustavad aluse. Teeme nende koordinaatidest maatriksi:

Peal põhidiagonaal maatriksid õiges järjekorras omaväärtused asuvad ja ülejäänud elemendid on võrdsed nulliga:
- rõhutan veel kord järjekorra tähtsust: "kaks" vastab 1. vektorile ja asub seetõttu 1. veerus, "kolm" - 2. vektoris.

Vastavalt tavapärasele leidmise algoritmile pöördmaatriks või Gaussi-Jordaania meetod leida . Ei, see pole kirjaviga! - teie ees on haruldane, nagu päikesevarjutus sündmus, kui pöördväärtus ühtis algse maatriksiga.

Jääb üle kirjutada maatriksi kanooniline lagunemine:

Süsteemi saab lahendada elementaarsete teisenduste abil ja järgmistes näidetes me kasutame seda seda meetodit. Kuid siin töötab "kooli" meetod palju kiiremini. 3. võrrandist väljendame: - asendame teise võrrandiga:

Kuna esimene koordinaat on null, saame süsteemi , mille igast võrrandist järeldub, et .

Ja jälle pöörake tähelepanu lineaarse seose kohustuslikule olemasolule. Kui saadakse vaid triviaalne lahendus , siis leiti kas omaväärtus valesti või kompileeriti/lahendati süsteem veaga.

Kompaktsed koordinaadid annavad väärtuse

Omavektor:

Ja veel kord kontrollime, kas lahendus on leitud rahuldab süsteemi iga võrrandi. Järgmistes lõikudes ja järgnevates ülesannetes soovitan selle sooviga nõustuda kohustusliku reeglina.

2) Omaväärtuse jaoks saame sama põhimõtte järgi järgmise süsteemi:

Süsteemi 2. võrrandist väljendame: - asendame kolmanda võrrandiga:

Kuna "Z" koordinaat on võrdne nulliga, saame süsteemi , mille igast võrrandist tuleneb lineaarne sõltuvus.

Lase

Kontrollime lahendust rahuldab süsteemi iga võrrandi.

Seega omavektor: .

3) Ja lõpuks, süsteem vastab oma väärtusele:

Teine võrrand näeb välja kõige lihtsam, seega väljendame seda sellest ja asendame selle 1. ja 3. võrrandiga:

Kõik on korras - ilmnes lineaarne sõltuvus, mille asendame väljendiga:

Selle tulemusena väljendati "X" ja "Y" läbi "Z": . Praktikas pole vaja ainult selliseid suhteid saavutada, mõnel juhul on mugavam väljendada nii läbi või läbi . Või isegi "rong" - näiteks "X" kuni "Y" ja "Y" kuni "Z"

Paneme siis:

Kontrollime, kas lahendus leitud rahuldab süsteemi iga võrrandi ja kirjutab kolmanda omavektori

Vastus: omavektorid:

Geomeetriliselt määratlevad need vektorid kolm erinevat ruumisuunda ("Sinna ja tagasi"), mille järgi lineaarne teisendus teisendab nullist mittevastavad vektorid (omavektorid) neile kollineaarseteks vektoriteks.

Kui tingimuse järgi oli vaja leida kanooniline laiend, siis siin on see võimalik, sest erinevad omaväärtused vastavad erinevatele lineaarselt sõltumatutele omavektoritele. Teeme maatriksi nende koordinaatidest diagonaalmaatriksist alates asjakohane omaväärtusi ja leida pöördmaatriks .

Kui seisukorra järgi on vaja kirjutada lineaarne teisendusmaatriks omavektorite baasil, siis anname vastuse vormis . Seal on erinevus ja oluline erinevus! Selle maatriksi jaoks on maatriks "de".

Probleem lihtsamate arvutustega sõltumatu otsus:

Näide 5

Leia maatriksiga antud lineaarse teisenduse omavektorid

Enda arvude leidmisel proovige mitte viia juhtumit 3. astme polünoomini. Lisaks võivad teie süsteemilahendused minu lahendustest erineda – siin pole ühemõttelisust; ja leitud vektorid võivad näidisvektoritest erineda kuni proportsionaalsuseni nende vastavate koordinaatidega. Näiteks ja . Esteetiliselt meeldivam on vastus esitada kujul , kuid see on okei, kui peatute teise variandi juures. Siiski on kõigel mõistlikud piirid, versioon ei näe enam kuigi hea välja.

Ülesande ligikaudne lõplik näidis õppetunni lõpus.

Kuidas lahendada ülesanne mitme omaväärtuse korral?

Üldine algoritm jääb samaks, kuid sellel on oma eripärad ja mõned lahenduse lõigud on soovitatav hoida rangemas akadeemilises stiilis:

Näide 6

Leidke omaväärtused ja omavektorid

Otsus

Muidugi kasutame suurepärast esimest veergu suurtähtedega:

Ja pärast ruudu trinoomi faktooriumist:

Selle tulemusena saadakse omaväärtused, millest kaks on mitmekordsed.

Leiame omavektorid:

1) Me käsitleme üksiksõdurit "lihtsustatud" skeemi järgi:

Kahest viimasest võrrandist on selgelt näha võrdsus, mis ilmselt tuleks asendada süsteemi 1. võrrandiga:

Parim kombinatsioon ei leia:
Omavektor:

2-3) Nüüd eemaldame paar vahtkonda. Sel juhul võib see nii olla kas kaks või üks omavektor. Olenemata juurte paljususest asendame determinandi väärtuse , mis toob meieni järgmise homogeenne lineaarvõrrandisüsteem:

Omavektorid on täpselt samad vektorid
põhimõtteline otsustussüsteem

Tegelikult tegelesime kogu tunni jooksul ainult põhisüsteemi vektorite leidmisega. Lihtsalt esialgu ei nõutud seda tähtaega eriti. Muide, need osavad õpilased, kes kamuflaažis homogeensed võrrandid, on sunnitud seda nüüd suitsetama.

Ainus tegevus oli lisaliinide eemaldamine. Tulemuseks on "üks kolmele" maatriks, mille keskel on formaalne "samm".
– põhimuutuja, – vabad muutujad. Seal on kaks vaba muutujat, seega on ka kaks põhisüsteemi vektorit.

Avaldame põhimuutujat vabade muutujatena: . Nulltegur x-i ees võimaldab sellel võtta absoluutselt mis tahes väärtusi (mis on ka võrrandisüsteemist selgelt nähtav).

Selle ülesande kontekstis on mugavam kirjutada üldlahendus mitte ritta, vaid veergu:

Paar vastab omavektorile:
Paar vastab omavektorile:

Märge : kogenud lugejad saavad need vektorid suuliselt kätte saada – lihtsalt süsteemi analüüsides , kuid siin on vaja teadmisi: on kolm muutujat, süsteemimaatriksi auaste- ühik tähendab põhimõtteline otsustussüsteem koosneb 3 – 1 = 2 vektorist. Leitud vektorid on aga täiesti nähtavad ka ilma selle teadmiseta, puhtalt intuitiivsel tasandil. Sel juhul kirjutatakse kolmas vektor veelgi “kaunimini”: . Hoiatan siiski, teises näites ei pruugi olla lihtsat valikut, mistõttu on broneering mõeldud kogenud inimestele. Pealegi, miks mitte võtta kolmanda vektorina näiteks ? Lõppude lõpuks rahuldavad selle koordinaadid ka süsteemi iga võrrandit ja vektoreid on lineaarselt sõltumatud. See valik on põhimõtteliselt sobiv, kuid "kõver", kuna "muu" vektor on põhisüsteemi vektorite lineaarne kombinatsioon.

Vastus: omaväärtused: , omavektorid:

Sarnane näide tee-seda-ise lahenduse kohta:

Näide 7

Leidke omaväärtused ja omavektorid

Ligikaudne viimistlusnäidis õppetunni lõpus.

Tuleb märkida, et nii 6. kui ka 7. näites saadakse lineaarselt sõltumatute omavektorite kolmik ja seetõttu saab algset maatriksit esitada kanoonilises laienduses . Kuid selliseid vaarikaid ei juhtu kõigil juhtudel:

Näide 8

Otsus: koostage ja lahendage tunnusvõrrand:

Laiendame determinanti esimese veeru võrra:

Täiendavaid lihtsustusi teostame vastavalt vaadeldavale meetodile, vältides 3. astme polünoomi:

on omaväärtused.

Leiame omavektorid:

1) Juurega pole raskusi:

Ärge imestage, lisaks komplektile on kasutusel ka muutujad - siin pole vahet.

3. võrrandist väljendame - asendame 1. ja 2. võrrandiga:

Mõlemast võrrandist järeldub:

Lase siis:

2-3) Mitme väärtuse korral saame süsteemi .

Kirjutame üles süsteemi maatriksi ja viime elementaarteisenduste abil astmelisele kujule:

Lihtsaim lineaaroperaator on vektori korrutamine arvuga \(\lambda \). See operaator lihtsalt laiendab kõiki vektoreid \(\lambda \) korda. Selle maatriksvorm mis tahes alusel on \(diag(\lambda ,\lambda ,...,\lambda)\). Kindluse huvides fikseerime vektoriruumis \(\(e\)\) aluse \(\mathit(L)\) ja vaatleme sellel alusel diagonaalmaatriksi kujuga lineaarset operaatorit \(\alpha = diag( \lambda _1,\lambda _2,...,\lambda _n)\). See operaator, vastavalt maatriksvormi definitsioonile, laiendab \(e_k\) \(\lambda _k\) korda, s.o. \(Ae_k=\lambda _ke_k\) kõigi \(k=1,2,...,n\). Diagonaalmaatriksitega on mugav töötada, nende jaoks on lihtsalt konstrueeritud funktsionaalarvutus: mis tahes funktsiooni \(f(x)\) jaoks võib panna \(f(diag(\lambda _1,\lambda _2,...,\) lambda _n))= diag(f(\lambda _1),f(\lambda _2),...,f(\lambda _n))\). Nii tekib loomulik küsimus: olgu lineaarne operaator \(A\), kas vektorruumis saab valida baasi nii, et operaatori \(A\) maatriksvorm on selles baasis diagonaalne? See küsimus viib omaväärtuste ja omavektorite määratluseni.

Definitsioon. Olgu lineaarse operaatori \(A\) jaoks olemas nullist erinev vektor\(u\) ja arv \(\lambda \), nii et \[ Au=\lambda \cdot u. \quad \quad(59) \] Seejärel kutsutakse vektor \(u\). oma vektor operaator \(A\) ja number \(\lambda \) - vastav enda number operaator \(A\). Nimetatakse kõigi omaväärtuste komplekt lineaaroperaatori spekter \(A\).

Tekib loomulik probleem: leida antud lineaaroperaatori jaoks selle omaväärtused ja vastavad omavektorid. Seda ülesannet nimetatakse lineaaroperaatori spektri probleemiks.

Kindluse mõttes fikseerime vektorruumis aluse, s.t. eeldame, et see on lõplikult määratud. Seejärel, nagu ülalpool mainitud, võib lineaartehteid käsitleda taandada maatriksite – lineaarsete operaatorite maatriksvormide – arvestamisele. Võrrandi (59) saab ümber kirjutada kujul \[ (\alpha -\lambda E)u=0. \] Siin on \(E\) identiteedimaatriks ja \(\alpha\) on meie lineaarse operaatori \(A\) maatriksvorm. Seda seost saab tõlgendada \(n\) lineaarsete võrrandite süsteemina \(n\) tundmatute jaoks – vektori \(u\) koordinaadid. Ja see homogeenne süsteem võrrandid ja me peaksime selle leidma mittetriviaalne otsus. Varem oli sellise lahenduse olemasolu tingimus antud - selleks on vajalik ja piisav, et süsteemi auaste oleks vähem kui arv teadmata. See eeldab omaväärtuste võrrandit: \[ det(\alpha -\lambda E)=0. \quad \quad(60) \]

Definitsioon. Nimetatakse võrrandit (60). iseloomulik võrrand lineaaroperaatori \(A\) jaoks.

Kirjeldame selle võrrandi omadusi ja selle lahendusi. Kui see on sõnaselgelt kirjutatud, saame võrrandi kujul \[ (-1)^n\lambda ^n+...+det(A)=0. \quad \quad(61) \] Vasakul pool on polünoom muutujas \(\lambda \). Selliseid võrrandeid nimetatakse astme \(n\) algebralisteks võrranditeks. Toome vajalikku teavet nende võrrandite kohta.

Abi algebraliste võrrandite kohta.

Teoreem. Olgu kõik lineaarse operaatori \(A\) omaväärtused lihtsad. Seejärel moodustab nendele omaväärtustele vastav omavektorite hulk vektorruumi aluse.

Teoreemi tingimustest järeldub, et operaatori \(A\) kõik omaväärtused on erinevad. Oletame, et omavektorite hulk on lineaarselt sõltuv, nii et on olemas konstandid \(c_1,c_2,...,c_n\), millest kõik ei ole nullid, mis rahuldab tingimust: \[ \sum_(k=1)^ nc_ku_k=0. \quad \quad(62) \]

Kaaluge selliste valemite hulgast sellist, mis sisaldab minimaalset arvu termineid, ja toimige selle järgi operaatoriga \(A\). Tänu oma lineaarsusele saame: \[ A\left (\sum_(k=1)^nc_ku_k \right)=\sum_(k=1)^nc_kAu_k=\sum_(k=1)^nc_k\lambda _ku_k= 0. \quad \quad(63) \]

Olgu kindluse huvides \(c_1 \neq 0\). Korrutades (62) \(\lambda _1\) ja lahutades (63), saame seose kujul (62), kuid sisaldab ühe liikme vähem. Vastuolu tõestab teoreemi.

Nii et teoreemi tingimustes ilmneb antud lineaaroperaatoriga seotud alus - selle omavektorite alus. Mõelge sellisel alusel operaatori maatriksvormile. Nagu eespool mainitud, on selle maatriksi \(k\) veerg vektori \(Au_k\) lagunemine baasis. Definitsiooni järgi on aga \(Au_k=\lambda _ku_k\), nii et see laiendus (paremal pool kirjas) sisaldab ainult ühte liiget ja konstrueeritud maatriks osutub diagonaalseks. Selle tulemusena saame, et teoreemi tingimustel on operaatori maatriksvorm tema omavektorite alusel võrdne \(diag(\lambda _1,\lambda _2,...,\lambda _n) \). Seega, kui on vaja välja töötada lineaaroperaatori funktsionaalarvutus, on mõistlik töötada selle omavektorite baasil.

Kui lineaarse operaatori omaväärtuste hulgas on kordi, muutub olukorra kirjeldus keerulisemaks ja võib hõlmata nn Jordani lahtreid. Juhime lugejale asjakohaste olukordade uurimiseks täpsemate juhendite juurde.