Uurige homogeenset süsteemi mittetriviaalse lahenduse olemasolu suhtes. Mis on homogeenne lineaarvõrrandisüsteem

Lineaarsüsteemide lahendus algebralised võrrandid(SLAE) on kahtlemata lineaaralgebra kursuse kõige olulisem teema. Suurepärane summa kõigi matemaatikaharude ülesannete lahendamine taandub süsteemide lahendamisele lineaarvõrrandid. Need tegurid selgitavad selle artikli loomise põhjust. Artikli materjal on valitud ja struktureeritud nii, et selle abiga saate

• valida oma lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendamiseks optimaalne meetod,
• uurida valitud meetodi teooriat,
• lahendage oma lineaarvõrrandisüsteem, olles üksikasjalikult kaalunud tüüpiliste näidete ja ülesannete lahendusi.

Artikli materjali lühikirjeldus.

Esiteks anname kõik vajalikud definitsioonid, mõisted ja tutvustame mõningaid tähistusi.

Järgmisena käsitleme meetodeid lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamiseks, milles võrrandite arv on võrdne tundmatute muutujate arvuga ja millel on kordumatu lahendus. Esiteks keskendume Crameri meetodile, teiseks näitame maatriksmeetodit selliste võrrandisüsteemide lahendamiseks, kolmandaks analüüsime Gaussi meetodit (meetod järjestikune välistamine tundmatud muutujad). Teooria kinnistamiseks lahendame kindlasti mitu SLAE-d erineval viisil.

Seejärel asume lahendama üldkuju lineaarsete algebraliste võrrandite süsteeme, milles võrrandite arv ei lange kokku tundmatute muutujate arvuga või süsteemi põhimaatriks on degenereerunud. Sõnastame Kroneckeri-Capelli teoreemi, mis võimaldab kindlaks teha SLAE-de ühilduvuse. Analüüsime süsteemide lahendust (nende ühilduvuse korral) kontseptsiooni abil põhimoll maatriksid. Vaatleme ka Gaussi meetodit ja kirjeldame üksikasjalikult näidete lahendusi.

Keskenduge kindlasti struktuurile ühine lahendus lineaarsete algebraliste võrrandite homogeensed ja mittehomogeensed süsteemid. Toome välja fundamentaallahenduste süsteemi kontseptsiooni ja näitame, kuidas SLAE üldlahendus kirjutatakse, kasutades põhilahenduste süsteemi vektoreid. Parema mõistmise huvides vaatame mõnda näidet.

Kokkuvõtteks vaatleme nii võrrandisüsteeme, mis taanduvad lineaarseteks, kui ka erinevaid ülesandeid, mille lahendamisel tekivad SLAE-d.

Leheküljel navigeerimine.

Definitsioonid, mõisted, tähistused.

Vaatleme p lineaarsete algebraliste võrrandite süsteeme n tundmatu muutujaga (p võib olla võrdne n ) kujul

Tundmatud muutujad, - koefitsiendid (mõned reaal- või kompleksarvud), - vabaliikmed (ka reaal- või kompleksarvud).

Seda SLAE vormi nimetatakse koordineerida.

AT maatriksvorm sellel võrrandisüsteemil on vorm,
kus - süsteemi põhimaatriks, - tundmatute muutujate maatriks-veerg, - vabaliikmete maatriks-veerg.

Kui liita maatriksile A (n + 1)-ndaks veeruks vabade liikmete maatriks-veerg, siis saame nn. laiendatud maatriks lineaarvõrrandisüsteemid. Tavaliselt tähistatakse suurendatud maatriksit tähega T ja vabade liikmete veerg eraldatakse ülejäänud veergudest vertikaalse joonega, st

Lahendades lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi Seda nimetatakse tundmatute muutujate väärtuste kogumiks, mis muudab kõik süsteemi võrrandid identiteetideks. Tundmatute muutujate antud väärtuste maatriksvõrrand muutub samuti identiteediks.

Kui võrrandisüsteemil on vähemalt üks lahend, siis seda nimetatakse liigend.

Kui võrrandisüsteemil pole lahendeid, siis nimetatakse seda Sobimatu.

Kui SLAE-l on ainulaadne lahendus, nimetatakse seda teatud; kui lahendusi on rohkem kui üks, siis - ebakindel.

Kui süsteemi kõigi võrrandite vabaliikmed on võrdsed nulliga , siis kutsutakse süsteem välja homogeenne, muidu - heterogeenne.

Lineaaralgebralise võrrandi elementaarsüsteemide lahendus.

Kui süsteemivõrrandite arv on võrdne tundmatute muutujate arvuga ja selle põhimaatriksi determinant ei ole võrdne nulliga, siis kutsume selliseid SLAE-sid elementaarne. Sellistel võrrandisüsteemidel on ainulaadne lahendus ja homogeense süsteemi korral on kõik tundmatud muutujad võrdsed nulliga.

Hakkasime selliseid SLAEsid uurima aastal Keskkool. Nende lahendamisel võtsime ühe võrrandi, väljendasime ühe tundmatu muutuja teistega ja asendasime selle ülejäänud võrranditega, seejärel võtsime järgmise võrrandi, väljendasime järgmise tundmatu muutuja ja asendasime selle teiste võrranditega jne. Või kasutasid nad liitmismeetodit, st lisasid kaks või enam võrrandit, et kõrvaldada mõned tundmatud muutujad. Me ei peatu nendel meetoditel üksikasjalikult, kuna need on sisuliselt Gaussi meetodi modifikatsioonid.

Lineaarvõrrandi elementaarsüsteemide lahendamise peamised meetodid on Crameri meetod, maatriksmeetod ja Gaussi meetod. Sorteerime need ära.

Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine Crameri meetodil.

Peame lahendama lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi

milles võrrandite arv võrdub tundmatute muutujate arvuga ja süsteemi põhimaatriksi determinant erineb nullist ehk .

Laskma olema süsteemi põhimaatriksi determinant ja on maatriksite determinandid, mis saadakse A-st asendamise teel 1., 2., …, n veerus vastavalt vabade liikmete veergu:

Sellise tähistusega arvutatakse tundmatud muutujad Crameri meetodi valemitega as . Nii leitakse Crameri meetodil lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendus.

Näide.

Crameri meetod .

Lahendus.

Süsteemi põhimaatriksil on vorm . Arvutage selle determinant (vajadusel vaadake artiklit):

Kuna süsteemi põhimaatriksi determinant on nullist erinev, on süsteemil ainulaadne lahendus, mille saab leida Crameri meetodil.

Koostage ja arvutage vajalikud determinandid (determinant saadakse maatriksi A esimese veeru asendamisel vabaliikmete veeruga, determinant - teise veeru asendamisega vabade liikmete veeruga, - maatriksi A kolmanda veeru asendamisega vabade liikmete veeruga ):

Tundmatute muutujate leidmine valemite abil :

Vastus:

Crameri meetodi peamiseks puuduseks (kui seda võib nimetada puuduseks) on determinantide arvutamise keerukus, kui süsteemivõrrandite arv on suurem kui kolm.

Lineaaralgebralise võrrandi süsteemide lahendamine maatriksmeetodil (pöördmaatriksi abil).

Olgu lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem antud maatriksi kujul , kus maatriksi A mõõtmed on n korda n ja selle determinant on nullist erinev.

Kuna , siis on maatriks A inverteeritav, st on olemas pöördmaatriks . Kui korrutada mõlemad võrdsuse osad vasakul olevaga, siis saame valemi tundmatute muutujate veerumaatriksi leidmiseks. Seega saime lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahenduse maatriksmeetodil.

Näide.

Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine maatriks meetod.

Lahendus.

Kirjutame võrrandisüsteemi ümber maatriksi kujul:

Sest

siis saab SLAE-d lahendada maatriksmeetodil. Kasutades pöördmaatriks selle süsteemi lahenduse võib leida järgmiselt .

Koostame pöördmaatriksi maatriksi A elementide algebraliste täiendite maatriksi abil (vajadusel vaata artiklit):

Jääb üle arvutada - tundmatute muutujate maatriks pöördmaatriksi korrutamisega vabaliikmete maatriks-veerul (vajadusel vaata artiklit):

Vastus:

või mõnes teises tähises x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Peamine probleem lineaaralgebraliste võrrandite süsteemidele maatriksmeetodi abil lahenduse leidmisel on pöördmaatriksi leidmise keerukus, eriti ruutmaatriksid järjekord kõrgem kui kolmas.

Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine Gaussi meetodil.

Oletame, et peame leidma lahenduse n lineaarse võrrandi süsteemile, millel on n tundmatu muutuja
mille põhimaatriksi determinant erineb nullist.

Gaussi meetodi olemus seisneb tundmatute muutujate järjestikuses välistamises: esiteks jäetakse süsteemi kõigist võrranditest välja x 1, alates teisest, seejärel jäetakse x 2 kõigist võrranditest välja, alustades kolmandast ja nii edasi, kuni ainult tundmatu muutujani. x n jääb viimasesse võrrandisse. Sellist süsteemi võrrandite teisendamise protsessi tundmatute muutujate järjestikuseks elimineerimiseks nimetatakse otsene Gaussi meetod. Pärast Gaussi meetodi edasikäigu lõpetamist leitakse x n viimasest võrrandist, x n-1 arvutatakse seda väärtust kasutades eelviimasest võrrandist ja nii edasi, x 1 leitakse esimesest võrrandist. Tundmatute muutujate arvutamise protsessi süsteemi viimaselt võrrandilt esimesele liikumisel nimetatakse vastupidine Gaussi meetod.

Kirjeldame lühidalt tundmatute muutujate kõrvaldamise algoritmi.

Eeldame, et , kuna me saame selle alati saavutada süsteemi võrrandite ümberkorraldamisega. Tundmatu muutuja x 1 jätame süsteemi kõikidest võrranditest välja, alates teisest. Selleks liida esimene võrrand korrutatuna süsteemi teisele võrrandile, liida esimene korrutatud võrrand kolmandale võrrandile ja nii edasi, liida esimene korrutatuna n-ndale võrrandile. Võrrandisüsteem pärast selliseid teisendusi võtab kuju

kus , a .

Sama tulemuseni jõuaksime, kui väljendaksime x 1 süsteemi esimeses võrrandis teiste tundmatute muutujate kaudu ja asendaksime saadud avaldise kõigi teiste võrranditega. Seega jäetakse muutuja x 1 kõigist võrranditest välja, alates teisest.

Järgmisena toimime sarnaselt, kuid ainult saadud süsteemi osaga, mis on joonisel märgitud

Selleks liida süsteemi kolmandale võrrandile teine ​​korrutatud, neljandale võrrandile liidetakse teine ​​korrutatuna ja nii edasi, liidetakse teine ​​korrutatuna n-ndale võrrandile. Võrrandisüsteem pärast selliseid teisendusi võtab kuju

kus , a . Seega jäetakse muutuja x 2 kõigist võrranditest välja, alates kolmandast.

Järgmisena jätkame tundmatu x 3 kõrvaldamist, toimides samamoodi joonisel märgitud süsteemiosaga

Seega jätkame Gaussi meetodi otsest kulgu, kuni süsteem võtab kuju

Sellest hetkest alustame Gaussi meetodi vastupidist kulgu: arvutame x n viimasest võrrandist kui , kasutades saadud väärtust x n leiame eelviimasest võrrandist x n-1 ja nii edasi, leiame esimesest võrrandist x 1 võrrand.

Näide.

Lineaarvõrrandisüsteemi lahendamine Gaussi meetod.

Lahendus.

Jätame süsteemi teisest ja kolmandast võrrandist välja tundmatu muutuja x 1. Selleks lisame teise ja kolmanda võrrandi mõlemale osale esimese võrrandi vastavad osad, korrutatuna vastavalt ja arvuga:

Nüüd jätame x 2 kolmandast võrrandist välja, lisades selle vasak- ja parempoolsele osale teise võrrandi vasak- ja parempoolsed osad, korrutatuna järgmisega:

Sellega on Gaussi meetodi edasiliikumine lõpetatud, alustame vastupidist kurssi.

Saadud võrrandisüsteemi viimasest võrrandist leiame x 3:

Teisest võrrandist saame .

Esimesest võrrandist leiame ülejäänud tundmatu muutuja ja see lõpetab Gaussi meetodi vastupidise käigu.

Vastus:

X 1 \u003d 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Üldkujuliste lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamine.

Üldjuhul ei lange süsteemi p võrrandite arv kokku tundmatute muutujate arvuga n:

Sellistel SLAE-del ei pruugi olla lahendusi, neil võib olla üks lahendus või lõpmatult palju lahendusi. See väide kehtib ka võrrandisüsteemide kohta, mille põhimaatriks on ruudukujuline ja degenereerunud.

Kroneckeri-Capelli teoreem.

Enne lineaarvõrrandisüsteemi lahenduse leidmist on vaja kindlaks teha selle ühilduvus. Vastus küsimusele, millal SLAE ühildub ja millal mitte, annab vastuse Kronecker-Capelli teoreem:
n tundmatuga võrrandite süsteemi p (p võib olla võrdne n ) järjepidevuse tagamiseks on vajalik ja piisav, et süsteemi põhimaatriksi auaste on võrdne laiendatud maatriksi astmega, st Rank( A)=Aste(T) .

Vaatleme näiteks Kroneckeri-Cappelli teoreemi rakendamist lineaarvõrrandisüsteemi ühilduvuse määramiseks.

Näide.

Uurige, kas lineaarvõrrandisüsteemil on lahendusi.

Lahendus.

. Kasutagem alaealiste piiritlemise meetodit. Teise järgu alaealine nullist erinev. Vaatame seda ümbritsevaid kolmanda järgu alaealisi:

Kuna kõik piirnevad kolmanda järgu alaealised on võrdsed nulliga, on põhimaatriksi auaste kaks.

Omakorda suurendatud maatriksi auaste on võrdne kolmega, kuna kolmanda järgu moll

nullist erinev.

Sellel viisil, Vahemik(A) , seega võime Kroneckeri-Capelli teoreemi järgi järeldada, et algne lineaarvõrrandisüsteem on vastuolus.

Vastus:

Lahendussüsteemi ei ole.

Niisiis, oleme õppinud tuvastama süsteemi ebakõla Kroneckeri-Capelli teoreemi abil.

Aga kuidas leida SLAE lahendus, kui selle ühilduvus on kindlaks tehtud?

Selleks vajame maatriksi põhimolli kontseptsiooni ja maatriksi järgu teoreemi.

Alaealine kõrgeim järjekord nimetatakse maatriksit A, mis on nullist erinev põhilised.

Põhimolli definitsioonist järeldub, et selle järjekord on võrdne maatriksi auastmega. Nullist erineva maatriksi A puhul võib olla mitu põhimolli, alati on üks põhimoll.

Mõelge näiteks maatriksile .

Kõik selle maatriksi kolmandat järku minoorsed väärtused on võrdsed nulliga, kuna selle maatriksi kolmanda rea ​​elemendid on esimese ja teise rea vastavate elementide summa.

Järgmised teist järku alaealised on põhilised, kuna need on nullist erinevad

Alaealised ei ole põhilised, kuna need on võrdsed nulliga.

Maatriksjärgu teoreem.

Kui maatriksi järku p järgi n on r, siis kõik maatriksi ridade (ja veergude) elemendid, mis ei moodusta valitud põhimolli, väljendatakse lineaarselt ridade (ja veergude) vastavate elementidena. ), mis on aluseks mollile.

Mida annab meile maatriksi auaste teoreem?

Kui oleme Kroneckeri-Capelli teoreemi abil tuvastanud süsteemi ühilduvuse, siis valime süsteemi põhimaatriksist suvalise põhimolli (selle järjekord on võrdne r-ga) ja jätame süsteemist välja kõik võrrandid, mis ei moodustada valitud põhimoll. Sel viisil saadud SLAE on samaväärne esialgsega, kuna kõrvalejäetud võrrandid on endiselt üleliigsed (maatriksi järgu teoreemi järgi on need ülejäänud võrrandite lineaarne kombinatsioon).

Selle tulemusena on pärast süsteemi liigsete võrrandite kõrvalejätmist võimalikud kaks juhtumit.

Kui saadud süsteemis on võrrandite arv r võrdne tundmatute muutujate arvuga, siis on see kindel ja ainsa lahenduse saab leida Crameri meetodil, maatriksmeetodil või Gaussi meetodil.

Näide.

.

Lahendus.

Süsteemi põhimaatriksi aste on võrdne kahega, kuna teist järku moll nullist erinev. Laiendatud maatriksi auaste on samuti võrdne kahega, kuna ainus kolmanda järgu moll on võrdne nulliga

ja eespool vaadeldud teist järku moll erineb nullist. Kroneckeri-Capelli teoreemi põhjal võib väita algse lineaarvõrrandisüsteemi ühilduvust, kuna Rank(A)=Aste(T)=2 .

Aluseks võtame kõrvaleriala . See moodustub esimese ja teise võrrandi koefitsientidest:


Süsteemi kolmas võrrand ei osale põhimolli moodustamises, seega jätame selle maatriksjärgu teoreemi alusel süsteemist välja:


Nii oleme saanud lineaarsete algebraliste võrrandite elementaarse süsteemi. Lahendame selle Crameri meetodil:


Vastus:

x 1 \u003d 1, x 2 = 2.

Kui võrrandite arv r saadud SLAE-s vähem kui arv tundmatutest muutujatest n, siis võrrandite vasakule poolele jätame põhimolli moodustavad liikmed ning ülejäänud liikmed kanname vastasmärgiga süsteemi võrrandite paremale poolele.

Tundmatuid muutujaid (neid on r), mis jäävad võrrandite vasakule poolele, nimetatakse peamine.

Nimetatakse tundmatuid muutujaid (neid on n - r), mis sattusid paremale poole tasuta.

Nüüd eeldame, et vabad tundmatud muutujad võivad võtta suvalisi väärtusi, samas kui r peamist tundmatut muutujat väljendatakse vabade tundmatute muutujatena ainulaadsel viisil. Nende väljenduse saab leida, lahendades saadud SLAE Crameri meetodil, maatriksmeetodil või Gaussi meetodil.

Võtame näite.

Näide.

Lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendamine .

Lahendus.

Leidke süsteemi põhimaatriksi auaste piirnevate alaealiste meetodil. Võtame 1 1 = 1 kui nullist erinevat esimest järku minoori. Alustame selle molli ümber nullist erineva teist järku molli otsimist:


Seega leidsime teist järku nullist erineva molli. Hakkame otsima kolmandat järku nullist erineva piiriga molli:


Seega on põhimaatriksi auaste kolm. Laiendatud maatriksi auaste on samuti võrdne kolmega, see tähendab, et süsteem on järjekindel.

Põhiliseks võetakse kolmanda järgu leitud nullist erinev moll.

Selguse huvides näitame elemente, mis moodustavad põhialuse:


Jätame põhimollis osalevad terminid süsteemi võrrandite vasakusse serva ja ülejäänud kanname vastasmärkidega paremale poole:


Anname vabadele tundmatutele muutujatele x 2 ja x 5 suvalised väärtused, st võtame , kus on suvalised arvud. Sel juhul võtab SLAE vormi


Saadud lineaarsete algebraliste võrrandite elementaarsüsteemi lahendame Crameri meetodil:


Järelikult,.

Ärge unustage vastuses märkida tasuta tundmatuid muutujaid.

Vastus:

Kus on suvalised arvud.

Tehke kokkuvõte.

Üldkujuga lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi lahendamiseks selgitame esmalt välja selle ühilduvuse Kroneckeri-Capelli teoreemi abil. Kui põhimaatriksi auaste ei ole võrdne laiendatud maatriksi auastmega, siis järeldame, et süsteem on vastuolus.

Kui põhimaatriksi auaste on võrdne laiendatud maatriksi auastmega, siis valime põhimolli ja jätame kõrvale süsteemi võrrandid, mis ei osale valitud põhimolli moodustamisel.

Kui alusmolli järjekord on võrdne tundmatute muutujate arvuga, siis on SLAE-l unikaalne lahendus, mille saab leida mistahes meile teadaoleva meetodiga.

Kui alusminoori järjekord on väiksem kui tundmatute muutujate arv, siis jätame põhitundmatute muutujatega liikmed süsteemi võrrandite vasakusse serva, ülejäänud liikmed kanname paremale poole ja omistame suvalised väärtused ​vabadele tundmatutele muutujatele. Saadud lineaarvõrrandisüsteemist leiame peamised tundmatud muutujad Crameri meetodil, maatriksmeetodil või Gaussi meetodil.

Gaussi meetod üldkujuliste lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamiseks.

Gaussi meetodit kasutades saab lahendada mis tahes tüüpi lineaarsete algebraliste võrrandite süsteeme ilma nende ühilduvuse eeluuringuta. Tundmatute muutujate järjestikuse kõrvaldamise protsess võimaldab teha järelduse nii SLAE ühilduvuse kui ka ebakõla kohta ning kui lahendus on olemas, võimaldab see selle leida.

Arvutustöö seisukohalt eelistatakse Gaussi meetodit.

Vaata ette Täpsem kirjeldus ja analüüsis näiteid artiklis Gaussi meetod üldkujuliste lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemide lahendamiseks.

Homogeensete ja ebahomogeensete lineaaralgebrasüsteemide üldlahenduse registreerimine, kasutades põhilahenduste süsteemi vektoreid.

Selles jaotises keskendume lineaarsete algebraliste võrrandite homogeensetele ja mittehomogeensetele ühendatud süsteemidele, millel on lõpmatu arv lahendusi.

Kõigepealt käsitleme homogeenseid süsteeme.

Fundamentaalne otsustussüsteem P lineaarsete algebraliste võrrandite homogeenne süsteem n tundmatu muutujaga on selle süsteemi (n – r) lineaarselt sõltumatute lahendite hulk, kus r on süsteemi põhimaatriksi alusmolli järjekord.

Kui tähistame homogeense SLAE lineaarselt sõltumatuid lahendusi X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) on maatriksite veerud mõõtmetega n 1 ) , siis on selle homogeense süsteemi üldlahend kujutatud põhilahenduste süsteemi vektorite lineaarse kombinatsioonina suvalise konstantsed koefitsiendidС 1 , С 2 , …, С (n-r) , see tähendab .

Mida tähendab mõiste homogeense lineaarsete algebraliste võrrandite süsteemi (oroslau) üldlahend?

Tähendus on lihtne: valem määrab kõik võimalikud lahendused algne SLAE, teisisõnu, võttes suvaliste konstantide С 1 , С 2 , …, С (n-r) väärtuste komplekti, saame valemi järgi ühe algse homogeense SLAE lahendustest.

Seega, kui leiame fundamentaalse lahenduste süsteemi, saame kõik selle homogeense SLAE lahendused seada .

Näitame homogeense SLAE põhilahenduste süsteemi konstrueerimise protsessi.

Valime algse lineaarvõrrandisüsteemi põhimolli, jätame süsteemist välja kõik teised võrrandid ja kanname vastasmärkidega süsteemi võrrandite paremale poolele kõik vabu tundmatuid muutujaid sisaldavad terminid. Anname vabadele tundmatutele muutujatele väärtused 1,0,0,…,0 ja arvutame peamised tundmatud, lahendades saadud lineaarvõrrandi elementaarsüsteemi mis tahes viisil, näiteks Crameri meetodil. Seega saadakse X (1) – põhisüsteemi esimene lahendus. Kui anname vabadele tundmatutele väärtused 0,1,0,0,…,0 ja arvutame peamised tundmatud, siis saame X (2) . Ja nii edasi. Kui anname vabadele tundmatutele muutujatele väärtused 0,0,…,0,1 ja arvutame peamised tundmatud, siis saame X (n-r) . Nii see ehitatakse põhisüsteem homogeense SLAE ja selle üldlahenduse lahendused saab kirjutada kujul .

Lineaarsete algebraliste võrrandite ebahomogeensete süsteemide korral esitatakse üldlahend järgmiselt

Vaatame näiteid.

Näide.

Leia põhilahenduste süsteem ja homogeense lineaaralgebralise võrrandisüsteemi üldlahendus .

Lahendus.

Homogeensete lineaarvõrrandisüsteemide põhimaatriksi järg on alati võrdne laiendatud maatriksi astmega. Leiame põhimaatriksi auastme alaealiste ääristamise meetodil. Esimest järku nullist erineva minoorina võtame süsteemi põhimaatriksi elemendi a 1 1 = 9. Leidke teist järku ääristav nullist erinev moll:

Leitakse teist järku moll, mis erineb nullist. Vaatame nullist erinevat otsides läbi sellega piirnevad kolmanda järgu alaealised:

Kõik külgnevad kolmanda järgu alaealised on võrdsed nulliga, seetõttu on põhi- ja laiendatud maatriksi auaste kaks. Võtame põhilise molli. Selguse huvides märgime selle moodustava süsteemi elemendid:

Algse SLAE kolmas võrrand ei osale põhimolli moodustamises, seetõttu võib selle välistada:

Peamisi tundmatuid sisaldavad terminid jätame võrrandite paremale poolele ja vabade tundmatutega terminid kanname paremale poolele:

Koostagem algse homogeense lineaarvõrrandisüsteemi lahenduste põhisüsteem. Selle SLAE põhilahenduste süsteem koosneb kahest lahendusest, kuna algne SLAE sisaldab nelja tundmatut muutujat ja selle põhimollide järjekord on kaks. X (1) leidmiseks anname vabadele tundmatutele muutujatele väärtused x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, seejärel leiame võrrandisüsteemist peamised tundmatud
.

Et mõista, mis on põhimõtteline otsustussüsteem saate vaadata sama näite videoõpetust, klõpsates . Liigume nüüd kõigi vajalike tööde kirjelduse juurde. See aitab teil selle probleemi olemust üksikasjalikumalt mõista.

Kuidas leida lineaarvõrrandi põhilahenduste süsteem?

Võtke näiteks järgmine lineaarvõrrandisüsteem:

Leiame sellele lahenduse lineaarne süsteem võrrandid. Alustuseks me kirjuta üles süsteemi koefitsientmaatriks.

Teisendame selle maatriksi kolmnurkseks. Esimese rea kirjutame ümber ilma muudatusteta. Ja kõik elemendid, mis on $a_(11)$ all, tuleb nullida. Nulli tegemiseks elemendi $a_(21)$ asemele tuleb lahutada esimene teisest realt ja kirjutada erinevus teisele reale. Nulli tegemiseks elemendi $a_(31)$ asemele tuleb lahutada esimene kolmandast reast ja kirjutada erinevus kolmandasse ritta. Nulli tegemiseks elemendi $a_(41)$ asemele tuleb neljandast realt lahutada esimene korrutatud 2-ga ja kirjutada erinevus neljandale reale. Nulli tegemiseks elemendi $a_(31)$ asemel lahutage viiendast realt esimene korrutatud 2-ga ja kirjutage erinevus viiendale reale.

Esimese ja teise rea kirjutame ümber ilma muudatusteta. Ja kõik elemendid, mis on $a_(22)$ all, tuleb nullida. Nulli tegemiseks elemendi $a_(32)$ asemele tuleb kolmandast reast lahutada teine ​​korrutatud 2-ga ja kirjutada vahe kolmandasse ritta. Nulli tegemiseks elemendi $a_(42)$ asemele tuleb neljandast realt lahutada teine ​​korrutatud 2-ga ja kirjutada erinevus neljandale reale. Nulli tegemiseks elemendi $a_(52)$ asemel lahutage viiendast realt teine ​​korrutatud 3-ga ja kirjutage erinevus viiendale reale.

Me näeme seda kolm viimast rida on samad, nii et kui lahutate neljandast ja viiendast kolmanda, muutuvad need nulliks.

Selle maatriksi jaoks kirjutage üles uus võrrandisüsteem.

Näeme, et meil on ainult kolm lineaarselt sõltumatut võrrandit ja viis tundmatut, seega koosneb põhilahenduste süsteem kahest vektorist. Nii et meie liigutage kaks viimast tundmatut paremale.

Nüüd hakkame väljendama neid tundmatuid, mis on vasakul küljel, nende kaudu, mis on paremal pool. Alustame viimasest võrrandist, kõigepealt väljendame $x_3$, seejärel asendame saadud tulemuse teise võrrandiga ja väljendame $x_2$ ning seejärel esimese võrrandiga ja siin väljendame $x_1$. Seega väljendasime kõiki vasakul pool olevaid tundmatuid paremal pool asuvate tundmatute kaudu.

Pärast seda saate $x_4$ ja $x_5$ asemel asendada mis tahes numbrid ja leida $x_1$, $x_2$ ja $x_3$. Iga selline viis numbrit on meie algse võrrandisüsteemi juured. Sellesse kaasatud vektorite leidmiseks FSR peame asendama $x_4$ asemel 1 ja $x_5$ asemel 0, leidma $x_1$, $x_2$ ja $x_3$ ning siis vastupidi $x_4=0$ ja $x_5=1$.

Lineaarsete algebraliste võrrandite homogeensed süsteemid

Õppetundide sees Gaussi meetod ja Ühise lahendusega ühildumatud süsteemid/süsteemid kaalusime ebahomogeensed lineaarvõrrandisüsteemid, kus vaba liige(mis on tavaliselt paremal) vähemalt üks võrrandite osa oli nullist erinev.
Ja nüüd, pärast head soojendust maatriksi auaste, jätkame tehnika lihvimist elementaarsed teisendused peal homogeenne lineaarvõrrandisüsteem.
Esimeste lõikude järgi võib materjal tunduda igav ja tavaline, kuid see mulje on petlik. Lisaks tehnikate edasiarendamisele on palju uut teavet, nii et ärge unustage käesolevas artiklis toodud näiteid.

Mis on homogeenne lineaarvõrrandisüsteem?

Vastus viitab iseenesest. Lineaarvõrrandisüsteem on homogeenne, kui vaba liige kõik süsteemi võrrand on null. Näiteks:

See on täiesti selge homogeenne süsteem on alati ühtlane st sellel on alati lahendus. Ja ennekõike nn triviaalne lahendus . Triviaalne, nende jaoks, kes omadussõna tähendust üldse ei mõista, tähendab bespontovoe. Muidugi mitte akadeemiliselt, aga arusaadavalt =) ... Milleks peksa, uurime, kas sellel süsteemil on muid lahendusi:

Näide 1

Lahendus: homogeense süsteemi lahendamiseks on vaja kirjutada süsteemi maatriks ja elementaarteisenduste abil viia see astmelisele kujule. Pange tähele, et siin ei ole vaja vabaliikmete vertikaalset riba ja nullveergu üles kirjutada - lõppude lõpuks, mida iganes nullidega teete, need jäävad nulliks:

(1) Esimene rida lisati teisele reale, korrutatuna -2-ga. Esimene rida lisati kolmandale reale, korrutatuna -3-ga.

(2) Teine rida lisati kolmandale reale, korrutatuna -1-ga.

Kolmanda rea ​​3-ga jagamisel pole erilist mõtet.

Elementaarteisenduste tulemusena saadakse ekvivalentne homogeenne süsteem , ja Gaussi meetodi vastupidist liikumist kasutades on lihtne kontrollida, kas lahendus on unikaalne.

Vastus:

Sõnastame ühe ilmse kriteeriumi: homogeensel lineaarvõrrandisüsteemil on ainult triviaalne lahendus, kui süsteemimaatriksi auaste(antud juhul 3) on võrdne muutujate arvuga (antud juhul 3 tk.).

Soojendame ja häälestame oma raadio elementaarsete muutuste lainele:

Näide 2

Lahendage homogeenne lineaarvõrrandisüsteem

Artiklist Kuidas leida maatriksi auastet? tuletame meelde ratsionaalset meetodit maatriksi arvude juhuslikuks vähendamiseks. Vastasel juhul peate liha lõikama suuri ja sageli hammustavaid kalu. Näide ülesandest tunni lõpus.

Nullid on head ja mugavad, kuid praktikas on juhtum palju tavalisem, kui süsteemi maatriksi read lineaarselt sõltuv. Ja siis on üldise lahenduse ilmumine vältimatu:

Näide 3

Lahendage homogeenne lineaarvõrrandisüsteem

Lahendus: kirjutame süsteemi maatriksi ja elementaarteisenduste abil viime selle astmelisele kujule. Esimese toimingu eesmärk on mitte ainult ühe väärtuse saamine, vaid ka esimeses veerus olevate numbrite vähendamine:

(1) Kolmas rida lisati esimesele reale, korrutatuna -1-ga. Kolmas rida lisati teisele reale, korrutatuna -2-ga. Üleval vasakus servas sain "miinusega" ühiku, mis on tihtipeale palju mugavam edasisteks teisendusteks.

(2) Esimesed kaks rida on samad, üks neist on eemaldatud. Ausalt, ma ei muutnud otsust - see juhtus. Kui teete mallis teisendusi, siis lineaarne sõltuvus read ilmuvad veidi hiljem.

(3) Lisage kolmandale reale teine ​​rida, korrutatuna 3-ga.

(4) Esimese rea märk on muudetud.

Elementaarteisenduste tulemusena saadakse ekvivalentne süsteem:

Algoritm töötab täpselt samamoodi nagu heterogeensed süsteemid. Muutujad "istub astmetel" on peamised, muutuja, mis ei saanud "samme", on vaba.

Põhimuutujaid väljendame vaba muutuja kaudu:

Vastus: ühine otsus:

Triviaalne lahendus sisaldub üldvalemis ja seda pole vaja eraldi kirjutada.

Kontrollimine toimub samuti tavapärase skeemi järgi: saadud üldlahend tuleb asendada süsteemi iga võrrandi vasakpoolsesse serva ja kõigi asenduste jaoks saadakse seaduslik null.

Selle võiks vaikselt lõpetada, kuid homogeense võrrandisüsteemi lahendus vajab sageli kujutamist vektori kujul kasutades põhimõtteline otsustussüsteem. Palun unustage ajutiselt analüütiline geomeetria, kuna nüüd räägime vektoritest üldises algebralises tähenduses, mida ma veidi avasin artiklis maatriksi auaste. Terminoloogiat pole vaja varjutada, kõik on üsna lihtne.

Jätkame tehnika lihvimist elementaarsed teisendused peal homogeenne lineaarvõrrandisüsteem.
Esimeste lõikude järgi võib materjal tunduda igav ja tavaline, kuid see mulje on petlik. Lisaks tehnikate edasiarendamisele on palju uut teavet, nii et ärge unustage käesolevas artiklis toodud näiteid.

Mis on homogeenne lineaarvõrrandisüsteem?

Vastus viitab iseenesest. Lineaarvõrrandisüsteem on homogeenne, kui vaba liige kõik süsteemi võrrand on null. Näiteks:

See on täiesti selge homogeenne süsteem on alati ühtlane st sellel on alati lahendus. Ja ennekõike nn triviaalne lahendus . Triviaalne, nende jaoks, kes omadussõna tähendust üldse ei mõista, tähendab bespontovoe. Muidugi mitte akadeemiliselt, aga arusaadavalt =) ... Milleks peksa, uurime, kas sellel süsteemil on muid lahendusi:

Näide 1

Lahendus: homogeense süsteemi lahendamiseks on vaja kirjutada süsteemi maatriks ja elementaarteisenduste abil viia see astmelisele kujule. Pange tähele, et siin ei ole vaja vabaliikmete vertikaalset riba ja nullveergu üles kirjutada - lõppude lõpuks, mida iganes nullidega teete, need jäävad nulliks:

(1) Esimene rida lisati teisele reale, korrutatuna -2-ga. Esimene rida lisati kolmandale reale, korrutatuna -3-ga.

(2) Teine rida lisati kolmandale reale, korrutatuna -1-ga.

Kolmanda rea ​​3-ga jagamisel pole erilist mõtet.

Elementaarteisenduste tulemusena saadakse ekvivalentne homogeenne süsteem , ja Gaussi meetodi vastupidist liikumist kasutades on lihtne kontrollida, kas lahendus on unikaalne.

Vastus:

Sõnastame ühe ilmse kriteeriumi: homogeensel lineaarvõrrandisüsteemil on ainult triviaalne lahendus, kui süsteemimaatriksi auaste(antud juhul 3) on võrdne muutujate arvuga (antud juhul 3 tk.).

Soojendame ja häälestame oma raadio elementaarsete muutuste lainele:

Näide 2

Lahendage homogeenne lineaarvõrrandisüsteem

Algoritmi lõplikuks parandamiseks analüüsime viimast ülesannet:

Näide 7

Lahendage homogeenne süsteem, kirjutage vastus vektorkujul.

Lahendus: kirjutame süsteemi maatriksi ja elementaarteisenduste abil viime selle astmelisele kujule:

(1) Esimese rea märk on muudetud. Veelkord juhin tähelepanu korduvalt kohatud tehnikale, mis võimaldab järgnevat tegevust oluliselt lihtsustada.

(1) 2. ja 3. reale lisati esimene rida. Esimene rida, mis on korrutatud 2-ga, lisati 4. reale.

(3) Kolm viimast rida on proportsionaalsed, kaks neist on eemaldatud.

Selle tulemusena saadakse standardne astmemaatriks ja lahendus jätkub piki rihveldatud rada:

– põhimuutujad;
on vabad muutujad.

Põhimuutujaid väljendame vabade muutujatena. 2. võrrandist:

- asendage 1. võrrandis:

Seega on üldine lahendus:

Kuna vaadeldavas näites on kolm vaba muutujat, sisaldab põhisüsteem kolme vektorit.

Asendame kolmikväärtusi üldlahendisse ja saada vektor, mille koordinaadid rahuldavad homogeense süsteemi iga võrrandi. Ja veel kord kordan, et iga vastuvõetud vektorit on väga soovitav kontrollida - see ei võta nii palju aega, kuid säästab vigade eest sada protsenti.

Väärtuste kolmiku eest leida vektor

Ja lõpuks kolmik saame kolmanda vektori:

Vastus: , kus

Need, kes soovivad vältida murdosa väärtusi, võivad kaaluda kolmikuid ja saate vastuse samaväärsel kujul:

Rääkides murdosadest. Vaatame ülesandes saadud maatriksit ja esitage küsimus - kas edasist lahendust on võimalik lihtsustada? Siin väljendasime ju esmalt põhimuutujat murdudena, seejärel põhimuutujat murdudena ja pean ütlema, et see protsess ei olnud just kõige lihtsam ega ka kõige meeldivam.

Teine lahendus:

Mõte on proovida vali muud põhimuutujad. Vaatame maatriksit ja märkame kolmandas veerus kahte. Miks siis mitte saada tippu null? Teeme veel ühe elementaarse teisenduse:

Lineaarvõrrandit nimetatakse homogeenne kui selle lõikepunkt on null ja muul juhul ebahomogeenne. Homogeensetest võrranditest koosnevat süsteemi nimetatakse homogeenseks ja sellel on üldine vorm:

Ilmselgelt on iga homogeenne süsteem järjepidev ja sellel on null (triviaalne) lahendus. Seetõttu tuleb homogeensete lineaarvõrrandisüsteemide puhul sageli otsida vastust nullist erineva lahendite olemasolu küsimusele. Vastuse sellele küsimusele saab sõnastada järgmise teoreemina.

Teoreem . Homogeensel lineaarvõrrandisüsteemil on nullist erinev lahendus siis ja ainult siis, kui selle järk on väiksem kui tundmatute arv .

Tõestus: Oletame, et süsteemil, mille auaste on võrdne, on nullist erinev lahendus. Ilmselgelt ei ületa. Juhul, kui süsteemil on ainulaadne lahendus. Kuna homogeensete lineaarvõrrandite süsteemil on alati nulllahend, siis on see ainulaadne lahendus just nulllahendus. Seega on nullist erinevad lahendused võimalikud ainult .

Järeldus 1 : Homogeensel võrrandisüsteemil, milles võrrandite arv on väiksem kui tundmatute arv, on alati nullist erinev lahend.

Tõestus: Kui võrrandisüsteemil on , siis süsteemi aste ei ületa võrrandite arvu s.t. . Seega on tingimus täidetud ja seetõttu on süsteemil nullist erinev lahendus.

Tagajärg 2 : Tundmatutega homogeensel võrrandisüsteemil on nullist erinev lahend siis ja ainult siis, kui selle determinant on null.

Tõestus: Oletame lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemi, mille determinandiga maatriksi lahend on nullist erinev. Siis vastavalt tõestatud teoreemile , mis tähendab, et maatriks on degenereerunud, s.t. .

Homogeenne lineaarsete algebraliste võrrandite süsteem.

M lineaarset n muutujaga lineaarvõrrandisüsteemi nimetatakse lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemiks, kui kõik vabad liikmed on võrdsed 0-ga. Lineaarsete homogeensete võrrandite süsteem on alati ühilduv, sest sellel on alati vähemalt nulllahendus. Lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemil on nullist erinev lahend siis ja ainult siis, kui selle koefitsientide maatriksi auaste muutujate juures on väiksem kui muutujate arv, s.o. auastme jaoks A (n. Mis tahes lineaarne kombinatsioon

joonte süsteemi lahendused. homogeenne ur-ii on ka selle süsteemi lahendus.

Lineaarselt sõltumatute lahendite e1, e2,…,ek süsteemi nimetatakse fundamentaalseks, kui süsteemi iga lahendus on lahenduste lineaarne kombinatsioon. Teoreem: kui lineaarsete homogeensete võrrandite süsteemi muutujate koefitsientide maatriksi aste r on väiksem kui muutujate arv n, siis koosneb süsteemi mis tahes põhilahenduste süsteem n-r lahendusi. Seetõttu joonte süsteemi üldlahendus. vallaline ur-th on kujul: c1e1+c2e2+…+ckek, kus e1, e2,…, ek on mis tahes põhilahenduste süsteem, c1, c2,…,ck on suvalised arvud ja k=n-r. M lineaarvõrrandisüsteemi n muutujaga üldlahend on võrdne summaga

sellele vastava süsteemi üldlahend on homogeenne. lineaarvõrrandid ja selle süsteemi suvaline konkreetne lahendus.

7. Lineaarsed ruumid. Alamruumid. Alus, mõõde. Lineaarne kest. Lineaarset ruumi nimetatakse n-mõõtmeline, kui see sisaldab lineaarselt sõltumatute vektorite süsteemi ja mis tahes süsteem, milles on rohkem vektoreid, on lineaarselt sõltuv. Numbrile helistatakse mõõde (mõõtmiste arv) lineaarruum ja seda tähistatakse . Teisisõnu, ruumi mõõde on maksimaalne lineaarselt sõltumatute vektorite arv selles ruumis. Kui selline arv on olemas, siis öeldakse, et ruum on lõpliku mõõtmega. Kui mõne jaoks naturaalarv n ruumis on lineaarselt sõltumatutest vektoritest koosnev süsteem, siis nimetatakse sellist ruumi lõpmatumõõtmeliseks (kirjutada: ). Kui pole öeldud teisiti, käsitletakse järgnevas lõplikke ruume.

N-mõõtmelise lineaarruumi aluseks on lineaarselt sõltumatute vektorite järjestatud kogum ( baasvektorid).

Teoreem 8.1 vektori laienemisest baasi järgi. Kui on n-mõõtmelise lineaarruumi alus, siis saab iga vektori esitada baasvektorite lineaarse kombinatsioonina:

V=v1*e1+v2*e2+…+vn+et
ja pealegi unikaalsel moel, s.o. koefitsiendid määratakse üheselt. Teisisõnu, mis tahes ruumivektorit saab laiendada baasil ja pealegi ainulaadsel viisil.

Tõepoolest, ruumi mõõde on . Vektorite süsteem on lineaarselt sõltumatu (see on aluseks). Pärast mis tahes vektori ühendamist alusega saame lineaarselt sõltuva süsteemi (kuna see süsteem koosneb n-mõõtmelises ruumis asuvatest vektoritest). 7 lineaarselt sõltuva ja lineaarselt sõltumatu vektori omaduse järgi saame teoreemi järelduse.