Tuletiste leidmine funktsiooni parameetrilisel määramisel. Parameetriliselt määratletud funktsiooni tuletis

Ärgem rõhutagem, kõik selles lõigus on samuti üsna lihtne. Võid üles kirjutada üldine valem parameetriliselt antud funktsioon, aga et see oleks selge, panen selle kohe kirja konkreetne näide. Parameetrilisel kujul on funktsioon antud kahe võrrandiga: . Sageli ei kirjutata võrrandid kirja sulgudes, vaid järjestikku: , .

Muutujat nimetatakse parameetriks ja see võib võtta väärtusi vahemikus "miinus lõpmatus" kuni "pluss lõpmatus". Mõelge näiteks väärtusele ja asendage see mõlema võrrandiga: . Või inimlikult: "kui x on võrdne neljaga, siis y on võrdne ühega." Saate märkida punkti koordinaattasandil ja see punkt vastab parameetri väärtusele. Samamoodi võite leida punkti parameetri "te" mis tahes väärtuse jaoks. Mis puutub “tavalisse” funktsiooni, siis parameetriliselt määratletud funktsiooni Ameerika indiaanlaste jaoks austatakse ka kõiki õigusi: saate koostada graafiku, leida tuletisi jne. Muide, kui teil on vaja joonistada parameetriliselt määratud funktsiooni graafik, laadige lehelt alla minu geomeetriline programm Matemaatilised valemid ja lauad.

Lihtsamatel juhtudel on võimalik funktsiooni eksplitsiitselt esitada. Avaldame parameetri esimesest võrrandist: - ja asendage see teise võrrandiga: . Tulemuseks on tavaline kuupfunktsioon.

"Raskematel" juhtudel see trikk ei tööta. Kuid see pole oluline, sest tuletise leidmiseks parameetriline funktsioon seal on valem:

Leiame "mängu muutuja te suhtes" tuletise:

Kõik diferentseerimisreeglid ja tuletiste tabel kehtivad loomulikult tähe jaoks, seega tuletiste leidmise protsessis pole uudsust. Lihtsalt asenda vaimselt kõik tabelis olevad "X" tähega "Te".

Leiame "x" tuletise muutuja te suhtes:

Nüüd jääb üle vaid asendada leitud tuletised meie valemiga:

Valmis. Tuletis, nagu funktsioon ise, sõltub samuti parameetrist.

Mis puutub tähistesse, siis selle valemis kirjutamise asemel võiks selle lihtsalt kirjutada ilma alaindeksita, kuna see on "tavaline" tuletis "X suhtes". Kuid kirjanduses on alati võimalus, nii et ma ei kaldu standardist kõrvale.

Näide 6

Me kasutame valemit

Sel juhul:

Seega:

Parameetrilise funktsiooni tuletise leidmise eripäraks on asjaolu, et igal etapil on kasulik tulemust nii palju kui võimalik lihtsustada. Seega avasin vaadeldavas näites selle leidmisel juure all olevad sulud (kuigi ma poleks seda võib-olla teinud). On suur võimalus, et valemisse asendamisel väheneb palju asju hästi. Kuigi muidugi on kohmakate vastustega näiteid.

Näide 7

Leia parameetriliselt määratud funktsiooni tuletis

See on näide sõltumatu otsus.

Artiklis Algloomad tüüpilised ülesanded tuletisega vaatasime näiteid, milles oli vaja leida funktsiooni teine ​​tuletis. Parameetriliselt määratletud funktsiooni jaoks võite leida ka teise tuletise ja see leitakse järgmise valemi abil: . On üsna ilmne, et teise tuletise leidmiseks tuleb esmalt leida esimene tuletis.

Näide 8

Leia parameetriliselt antud funktsiooni esimene ja teine ​​tuletis

Kõigepealt leiame esimese tuletise.
Me kasutame valemit

Sel juhul:

Asendab leitud tuletised valemis. Lihtsustamise eesmärgil kasutame trigonomeetrilist valemit:

Märkasin, et parameetrilise funktsiooni tuletise leidmise ülesandes tuleb üsna sageli lihtsustamise eesmärgil kasutada trigonomeetrilised valemid . Pidage need meeles või hoidke käepärast ning ärge jätke kasutamata võimalust iga vahetulemust ja vastust lihtsustada. Milleks? Nüüd peame võtma tuletise ja see on selgelt parem kui tuletise leidmine.

Leiame teise tuletise.
Kasutame valemit:.

Vaatame oma valemit. Nimetaja on juba eelmises etapis leitud. Jääb alles leida lugeja - esimese tuletise tuletis muutuja "te" suhtes:

Jääb üle kasutada valemit:

Materjali tugevdamiseks pakun teile veel paar näidet, mida saate ise lahendada.

Näide 9

Näide 10

Leia ja parameetriliselt määratud funktsiooni jaoks

Soovin teile edu!

Loodan, et see õppetund oli kasulik ja nüüd saate hõlpsasti leida kaudselt ja parameetrilistest funktsioonidest määratud funktsioonide tuletisi

Lahendused ja vastused:

Näide 3: Lahendus:






Seega:

Funktsiooni saab määrata mitmel viisil. See sõltub reeglist, mida selle täpsustamiseks kasutatakse. Funktsiooni täpsustamise selgesõnaline vorm on y = f (x). Mõnikord on selle kirjeldamine võimatu või ebamugav. Kui on palju paare (x; y), mis tuleb parameetri t jaoks intervalli (a; b) jaoks arvutada. Süsteemi x = 3 lahendamiseks cos t y = 3 sin t kui 0 ≤ t< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

Parameetrilise funktsiooni definitsioon

Siit saame, et x = φ (t), y = ψ (t) on defineeritud väärtuse t ∈ (a; b) jaoks ja neil on pöördfunktsioon t = Θ (x), kui x = φ (t), siis räägime funktsiooni parameetrilise võrrandi täpsustamisest kujul y = ψ (Θ (x)) .

On juhtumeid, kui funktsiooni uurimiseks on vaja otsida tuletist x suhtes. Vaatleme parameetriliselt määratletud funktsiooni kujul y x " = ψ " (t) φ " (t) tuletise valemit, räägime 2. ja n-ndat järku tuletisest.

Parameetriliselt määratletud funktsiooni tuletise valemi tuletamine

Meil on, et x = φ (t), y = ψ (t), defineeritud ja diferentseeruv t ∈ a jaoks; b, kus x t " = φ " (t) ≠ 0 ja x = φ (t), siis on olemas pöördfunktsioon kujul t = Θ (x).

Alustuseks peaksite liikuma parameetrilisest ülesandest selgesõnalisele ülesandele. Selleks on vaja saada kompleksfunktsioon kujul y = ψ (t) = ψ (Θ (x)), kus on argument x.

Tuletise leidmise reegli alusel keeruline funktsioon, leiame, et y " x = ψ Θ (x) = ψ " Θ x · Θ " x .

See näitab, et t = Θ (x) ja x = φ (t) on pöördfunktsioonid pöördfunktsiooni valemist Θ " (x) = 1 φ " (t), siis y " x = ψ " Θ (x) Θ " (x) = ψ " (t) φ " (t) .

Liigume edasi mitme näite lahendamise kaalumisele, kasutades tuletiste tabelit vastavalt diferentseerimisreeglile.

Näide 1

Leia funktsiooni x = t 2 + 1 y = t tuletis.

Lahendus

Tingimuse järgi saame, et φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, siit saame, et φ " (t) = t 2 + 1 ", ψ " (t) = t " = 1. Peate kasutama tuletatud valemit ja kirjutama vastuse kujul:

y " x = ψ " (t) φ " (t) = 1 2 t

Vastus: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1 .

Funktsiooni h tuletisega töötamisel määrab parameeter t argumendi x avaldise sama parameetri t kaudu, et mitte kaotada seost tuletise väärtuste ja parameetriliselt määratletud funktsiooni vahel argumendiga millele need väärtused vastavad.

Parameetriliselt antud funktsiooni teist järku tuletise määramiseks tuleb saadud funktsioonil kasutada esimest järku tuletise valemit, siis saame selle

y "" x = ψ " (t) φ " (t) " φ " (t) = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " ( t) 2 φ " (t) = ψ "" (t) · φ " (t) - ψ " (t) · φ "" (t) φ " (t) 3 .

Näide 2

Leia antud funktsiooni x = cos (2 t) y = t 2 2. ja 2. järku tuletis.

Lahendus

Tingimuse järgi saame, et φ (t) = cos (2 t) , ψ (t) = t 2 .

Siis pärast ümberkujundamist

φ " (t) = cos (2 t) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ψ (t) = t 2 " = 2 t

Sellest järeldub, et y x " = ψ " (t) φ " (t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .

Saame, et 1. järku tuletise kuju on x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) .

Lahendamiseks peate rakendama teist järku tuletisvalemit. Saame vormi avaldise

y x "" = - t sin (2 t) φ " t = - t " · sin (2 t) - t · (sin (2 t)) " sin 2 (2 t) - 2 sin (2 t) = = 1 sin (2 t) - t cos (2 t) (2 t) " 2 sin 3 (2 t) = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Seejärel määratakse parameetrilise funktsiooni abil teist järku tuletis

x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Sarnase lahenduse saab lahendada mõne muu meetodi abil. Siis

φ " t = (cos (2 t)) " = - sin (2 t) 2 t " = - 2 sin (2 t) ⇒ φ "" t = - 2 sin (2 t) " = - 2 sin (2 t) t) " = - 2 cos (2 t) · (2 ​​t) " = - 4 cos (2 t) ψ " (t) = (t 2) " = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 t) " = 2

Siit saame selle

y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 sin (2 t) - 2 t (- 4 cos (2 t)) - 2 sin 2 t 3 = = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Vastus: y "" x = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 s i n 3 (2 t)

Sarnaselt leitakse ka kõrgemat järku tuletisi parameetriliselt määratletud funktsioonidega.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Kaaluge sirge määratlemist tasapinnal, kus muutujad x, y on kolmanda muutuja t funktsioonid (nimetatakse parameetriks):

Iga väärtuse jaoks t alates teatud intervallist vastavad teatud väärtused x Ja y, a, seega tasandi teatud punkt M (x, y). Millal t läbib kõik väärtused antud intervallist, seejärel punktist M (x, y) kirjeldab mõnda rida L. Võrrandeid (2.2) nimetatakse parameetrilisteks joonvõrranditeks L.

Kui funktsioonil x = φ(t) on pöördväärtus t = Ф(x), siis asendades selle avaldise võrrandiga y = g(t), saame y = g(Ф(x)), mis määrab y funktsioonina x. Sel juhul ütleme, et võrrandid (2.2) defineerivad funktsiooni y parameetriliselt.

Näide 1. Lase M(x,y)– suvaline punkt raadiusega ringil R ja tsentreeritud lähtepunktile. Lase t– telgedevaheline nurk Ox ja raadius OM(vt joonis 2.3). Siis x, y väljendatakse läbi t:

Võrrandid (2.3) on ringi parameetrilised võrrandid. Jätame parameetri t võrranditest (2.3) välja. Selleks paneme iga võrrandi ruutuks ja liidame selle, saame: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) või x 2 + y 2 = R 2 – ringi võrrand Descartes'i süsteem koordinaadid See määratleb kaks funktsiooni: Kõik need funktsioonid on antud parameetriliste võrranditega (2.3), kuid esimese funktsiooni jaoks ja teise jaoks.

Näide 2. Parameetrilised võrrandid

defineerida pooltelgedega ellips a, b(joonis 2.4). Parameetri väljajätmine võrranditest t, saame ellipsi kanoonilise võrrandi:

Näide 3. Tsükloid on joon, mida kirjeldab ringjoonel asuv punkt, kui see ring veereb libisemata sirgjooneliselt (joonis 2.5). Tutvustame tsükloidi parameetrilisi võrrandeid. Olgu veereringi raadius a, punkt M, mis kirjeldab tsükloidi, langes liikumise alguses kokku koordinaatide alguspunktiga.

Määrame koordinaadid x, y punkti M pärast seda, kui ring on nurga all pööratud t
(joonis 2.5), t = ÐMCB. Kaare pikkus M.B. võrdne segmendi pikkusega O.B. kuna ring veereb libisemata, seega

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB – CD = a – acost = a(1 – maksumus).

Seega saadakse tsükloidi parameetrilised võrrandid:

Parameetri muutmisel t 0 kuni 2π ring pöörleb ühe pöörde ja punkt M kirjeldab ühte tsükloidi kaaret. Võrrandid (2.5) annavad y funktsioonina x. Kuigi funktsioon x = a(t – sint) omab pöördfunktsiooni, kuid seda ei väljendata elementaarfunktsioonide kaudu, seega funktsioon y = f(x) ei väljendu elementaarfunktsioonide kaudu.

Vaatleme parameetriliselt võrranditega (2.2) määratletud funktsiooni diferentseerumist. Funktsioonil x = φ(t) teatud muutuste intervallil t on pöördfunktsioon t = Ф(x), Siis y = g(Ф(x)). Lase x = φ(t), y = g(t) neil on tuletised ja x"t≠0. Vastavalt keeruliste funktsioonide diferentseerimise reeglile y"x=y"t × t"x. Lähtudes pöördfunktsiooni eristamise reeglist, siis:

Saadud valem (2.6) võimaldab leida parameetriliselt määratud funktsiooni tuletise.

Näide 4. Olgu funktsioon y, oleneb x, määratakse parameetriliselt:

Lahendus. .
Näide 5. Leidke kalle k tsükloidi puutuja punktis M 0, mis vastab parameetri väärtusele.
Lahendus. Tsükloidvõrranditest: y" t = asint, x" t = a(1 – maksumus), Sellepärast

Punkti puutuja kalle M0 võrdne väärtusega at t 0 = π/4:

DIFERENTSIAALFUNKTSIOON

Olgu funktsioon punktis x 0 on tuletis. A-prioor:
seega vastavalt piirmäära omadustele (punkt 1.8), kus a– lõpmatult väike juures Δx → 0. Siit

Δy = f "(x0)Δx + α × Δx. (2.7)

Kuna Δx → 0, on võrdsuse (2.7) teine ​​liige lõpmatult väike kõrgem järjekord, Võrreldes , seega on Δy ja f " (x 0) × Δx samaväärsed, lõpmata väikesed (f "(x 0) ≠ 0 korral).

Seega koosneb funktsiooni Δy juurdekasv kahest liikmest, millest esimene f "(x 0) × Δx on põhiosa juurdekasv Δy, lineaarne Δx suhtes (f "(x 0)≠ 0 korral).

Diferentsiaal Funktsiooni f(x) punktis x 0 nimetatakse funktsiooni juurdekasvu põhiosaks ja tähistatakse: dy või df(x0). Seega

df (x0) =f "(x0) × Δx. (2,8)

Näide 1. Leia funktsiooni diferentsiaal dy ja funktsiooni Δy juurdekasvu funktsiooni y = x 2 korral:
1) meelevaldne x ja Δ x; 2) x 0 = 20, Δx = 0,1.

Lahendus

1) Δy = (x + Δx) 2 – x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 – x 2 = 2xΔx + (Δx) 2, dy = 2xΔx.

2) Kui x 0 = 20, Δx = 0,1, siis Δy = 40 × 0,1 + (0,1) 2 = 4,01; dy = 40 × 0,1 = 4.

Kirjutame võrdsuse (2.7) kujul:

Δy = dy + a × Δx. (2.9)

Kasv Δy erineb diferentsiaalist dyΔx-ga võrreldes kõrgemat järku lõpmatuseni, seetõttu kasutatakse ligikaudsetes arvutustes ligikaudset võrdsust Δy ≈ dy, kui Δx on piisavalt väike.

Arvestades, et Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0), saame ligikaudse valemi:

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)

Näide 2. Arvutage ligikaudu.

Lahendus. Kaaluge:

Kasutades valemit (2.10) saame:

Niisiis, ≈ 2,025.

Mõelgem geomeetriline tähendus diferentsiaal df(x 0)(joonis 2.6).

Joonistame funktsiooni y = f(x) graafikule puutuja punktis M 0 (x0, f(x 0)), olgu φ puutuja KM0 ja Ox-telje vaheline nurk, siis f"( x 0) = tanφ alates ΔM0NP:
PN = tgφ×Δx = f "(x 0) × Δx = df(x 0). Kuid PN on puutuja ordinaadi juurdekasv, kui x muutub x 0-lt x 0 + Δx.

Järelikult on funktsiooni f(x) diferentsiaal punktis x 0 võrdne puutuja ordinaadi juurdekasvuga.

Leiame funktsiooni diferentsiaali
y = x. Kuna (x)" = 1, siis dx = 1×Δx = Δx. Eeldame, et sõltumatu muutuja x diferentsiaal on võrdne selle juurdekasvuga, st dx = Δx.

Kui x on suvaline arv, siis võrrandist (2.8) saame df(x) = f "(x)dx, kust .
Seega on funktsiooni y = f(x) tuletis võrdne selle diferentsiaali ja argumendi diferentsiaali suhtega.

Vaatleme funktsiooni diferentsiaali omadusi.

Kui u(x), v(x) on diferentseeruvad funktsioonid, kehtivad järgmised valemid:

Nende valemite tõestamiseks kasutatakse funktsiooni summa, korrutise ja jagatise tuletisvalemeid. Tõestame näiteks valemit (2.12):

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

Vaatleme kompleksfunktsiooni diferentsiaali: y = f(x), x = φ(t), s.o. y = f(φ(t)).

Siis dy = y"t dt, aga y"t = y"x ×x"t, seega dy =y"xx"t dt. Arvestades,

et x" t = dx, saame dy = y" x dx =f "(x)dx.

Seega on kompleksfunktsiooni diferentsiaal y = f(x), kus x =φ(t), kujul dy = f "(x)dx, sama mis juhul, kui x on sõltumatu muutuja. See omadus kutsutakse diferentsiaali kuju muutumatus A.

Kaudselt määratud funktsiooni tuletis.
Parameetriliselt määratletud funktsiooni tuletis

Selles artiklis vaatleme kahte tüüpilisemat ülesannet, mida sageli leidub testid kõrgemas matemaatikas. Materjali edukaks valdamiseks peab suutma leida tuletisi vähemalt kesktasemel. Tuletiste leidmist saab õppida praktiliselt nullist kahes põhitunnis ja Kompleksfunktsiooni tuletis . Kui teie eristamisoskused on korras, siis lähme.

Kaudselt määratud funktsiooni tuletis

Või lühidalt kaudse funktsiooni tuletis. Mis on kaudne funktsioon? Meenutagem kõigepealt ühe muutuja funktsiooni määratlemine :

Ühe muutujaga funktsioon on reegel, mille kohaselt iga sõltumatu muutuja väärtus vastab funktsiooni ühele ja ainult ühele väärtusele.

Muutujat nimetatakse sõltumatu muutuja või argument.
Muutujat nimetatakse sõltuv muutuja või funktsiooni .

Siiani oleme vaadanud jaotises määratletud funktsioone selgesõnaline vormi. Mida see tähendab? Teeme arutelu konkreetsete näidete abil.

Mõelge funktsioonile

Näeme, et vasakul on meil üksik "mängija" ja paremal - ainult "X". See tähendab, funktsioon selgesõnaliselt väljendatakse sõltumatu muutuja kaudu.

Vaatame veel ühte funktsiooni:

Siin on muutujad segamini. enamgi veel mis tahes viisil võimatu väljendage "Y" ainult "X" kaudu. Mis need meetodid on? Märgivahetusega osalt osale terminite ülekandmine, sulgudest väljaviimine, tegurite viskamine proportsioonireegli järgi jne. Kirjuta võrdsus ümber ja proovi y-d selgesõnaliselt väljendada: . Saate võrrandit tunde väänata, kuid see ei õnnestu.

Lubage mul teile tutvustada: – näide kaudne funktsioon.

Matemaatilise analüüsi käigus tõestati, et kaudne funktsioon on olemas(aga mitte alati) on sellel graafik (täpselt nagu "tavalisel" funktsioonil). Kaudne funktsioon on täpselt sama on olemas esimene tuletis, teine ​​tuletis jne. Nagu öeldakse, austatakse kõiki seksuaalvähemuste õigusi.

Ja selles õppetükis õpime, kuidas leida kaudselt määratud funktsiooni tuletist. See polegi nii raske! Kõik diferentseerimisreeglid ja elementaarfunktsioonide tuletiste tabel jäävad kehtima. Erinevus on ühes omapärases hetkes, mida me praegu vaatame.

Jah, ma annan teile teada head uudised– allpool käsitletavad ülesanded sooritatakse üsna range ja selge algoritmi järgi ilma kivita kolme raja ees.

Näide 1

1) Esimeses etapis kinnitame mõlemale osale löögid:

2) Kasutame tuletise lineaarsuse reegleid (tunni kaks esimest reeglit Kuidas tuletist leida? Näited lahendustest ):

3) Otsene eristamine.
Kuidas eristada, on täiesti selge. Mida teha seal, kus löökide all on “mängud”?

- kuni häbitundeni, funktsiooni tuletis on võrdne selle tuletisega: .

Kuidas eristada
Siin meil on keeruline funktsioon. Miks? Tundub, et siinuse all on ainult üks täht “Y”. Kuid tõsiasi on see, et seal on ainult üks täht "y" - ON ISE FUNKTSIOON(vt definitsiooni tunni alguses). Seega siinus on väline funktsioon, – sisemine funktsioon. Keerulise funktsiooni eristamiseks kasutame reeglit :

Eristame toodet tavapärase reegli järgi :

Pange tähele, et see on ka keeruline funktsioon, mis tahes "mäng kellade ja viledega" on keeruline funktsioon:

Lahendus ise peaks välja nägema umbes selline:


Kui sulgudes on, laiendage neid:

4) Vasakusse serva kogume terminid, mis sisaldavad "Y" algarvuga. Liigutage kõik muu paremale poole:

5) Vasakul küljel võtame tuletise sulgudest välja:

6) Ja vastavalt proportsioonireeglile kukutame need sulud parema külje nimetajasse:

Tuletis on leitud. Valmis.

Huvitav on märkida, et mis tahes funktsiooni saab kaudselt ümber kirjutada. Näiteks funktsioon saab ümber kirjutada nii: . Ja eristage seda äsja arutatud algoritmi abil. Tegelikult erinevad fraasid "kaudne funktsioon" ja "implitsiitne funktsioon" ühe semantilise nüansi poolest. Väljend "kaudselt määratud funktsioon" on üldisem ja õigem, - see funktsioon on määratud kaudselt, kuid siin saate väljendada "mängu" ja esitada funktsiooni selgesõnaliselt. Väljend "kaudne funktsioon" viitab "klassikalisele" kaudsele funktsioonile, kui "y"-d ei saa väljendada.

Teine lahendus

Tähelepanu! Teise meetodiga saate tutvuda ainult siis, kui teate, kuidas enesekindlalt leida osatuletised . Algajad õppima matemaatiline analüüs ja teekannud palun ära loe ja jäta see punkt vahele, muidu läheb pea täitsa sassi.

Leiame teise meetodi abil kaudse funktsiooni tuletise.

Viime kõik terminid vasakule poole:

Ja kaaluge kahe muutuja funktsiooni:

Siis saab meie tuletise leida valemi abil
Leiame osatuletised:

Seega:

Teine lahendus võimaldab teil kontrollida. Kuid ülesande lõppversiooni pole neil soovitav välja kirjutada, kuna osatuletisi omandatakse hiljem ja teemat “Ühe muutuja funktsiooni tuletis” õppiv õpilane ei peaks veel osatuletisi teadma.

Vaatame veel paar näidet.

Näide 2

Leidke kaudselt antud funktsiooni tuletis

Lisage mõlemale osale kriipsud:

Kasutame lineaarsuse reegleid:

Tuletisinstrumentide leidmine:

Kõigi sulgude avamine:

Liigume kõik terminid vasakule poole, ülejäänud paremale poole:

Lõplik vastus:

Näide 3

Leidke kaudselt antud funktsiooni tuletis

Täislahendus ja näidiskujundus tunni lõpus.

Pole haruldane, et pärast eristamist tekivad murded. Sellistel juhtudel peate murdosadest lahti saama. Vaatame veel kahte näidet.

Näide 4

Leidke kaudselt antud funktsiooni tuletis

Märgistame mõlemad osad tõmmetega ja kasutame lineaarsusreeglit:

Eristage keeruka funktsiooni eristamise reegli abil ja jagatiste diferentseerimise reegel :

Sulgude laiendamine:

Nüüd peame murdosast lahti saama. Seda saab teha hiljem, kuid ratsionaalsem on seda teha kohe. Murru nimetaja sisaldab . Korrutada peal . Üksikasjalikult näeb see välja järgmine:

Mõnikord pärast diferentseerumist ilmub 2-3 fraktsiooni. Kui meil oleks näiteks teine ​​murdosa, siis oleks vaja toimingut korrata – korrutada iga osa iga termin peal

Vasakul küljel paneme selle sulgudest välja:

Lõplik vastus:

Näide 5

Leidke kaudselt antud funktsiooni tuletis

See on näide, mille saate ise lahendada. Ainus asi on see, et enne murdosast vabanemist peate kõigepealt vabanema murdosa enda kolmekorruselisest struktuurist. Täislahendus ja vastus tunni lõpus.

Parameetriliselt määratletud funktsiooni tuletis

Ärgem rõhutagem, kõik selles lõigus on samuti üsna lihtne. Parameetriliselt defineeritud funktsiooni üldvalemi saab kirja panna, aga et see oleks selge, panen kohe kirja konkreetse näite. Parameetrilisel kujul on funktsioon antud kahe võrrandiga: . Sageli ei kirjutata võrrandid kirja sulgudes, vaid järjestikku: , .

Muutujat nimetatakse parameetriks ja võib võtta väärtusi "miinus lõpmatusest" kuni "pluss lõpmatuseni". Mõelge näiteks väärtusele ja asendage see mõlema võrrandiga: . Või inimlikult öeldes: "kui x on võrdne neljaga, siis y on võrdne ühega." Saate märkida punkti koordinaattasandil ja see punkt vastab parameetri väärtusele. Samamoodi võite leida punkti parameetri "te" mis tahes väärtuse jaoks. Mis puutub “tavalisse” funktsiooni, siis parameetriliselt määratletud funktsiooni Ameerika indiaanlaste jaoks austatakse ka kõiki õigusi: saate koostada graafiku, leida tuletisi jne. Muide, kui teil on vaja joonistada parameetriliselt määratud funktsiooni graafik, võite kasutada minu programm.

Lihtsamatel juhtudel on võimalik funktsiooni eksplitsiitselt esitada. Avaldame parameetri esimesest võrrandist: - ja asendage see teise võrrandiga: . Tulemuseks on tavaline kuupfunktsioon.

"Raskematel" juhtudel see trikk ei tööta. Kuid see pole oluline, sest parameetrilise funktsiooni tuletise leidmiseks on olemas valem:

Leiame "mängu muutuja te suhtes" tuletise:

Kõik diferentseerimisreeglid ja tuletiste tabel kehtivad loomulikult tähe jaoks, seega tuletiste leidmise protsessis pole uudsust. Lihtsalt asenda vaimselt kõik tabelis olevad "X" tähega "Te".

Leiame "x" tuletise muutuja te suhtes:

Nüüd jääb üle vaid asendada leitud tuletised meie valemiga:

Valmis. Tuletis, nagu funktsioon ise, sõltub samuti parameetrist.

Mis puutub tähistesse, siis selle valemis kirjutamise asemel võiks selle lihtsalt kirjutada ilma alaindeksita, kuna see on "tavaline" tuletis "X suhtes". Kuid kirjanduses on alati võimalus, nii et ma ei kaldu standardist kõrvale.

Näide 6

Me kasutame valemit

Sel juhul:

Seega:

Parameetrilise funktsiooni tuletise leidmise eripäraks on asjaolu, et igal etapil on kasulik tulemust nii palju kui võimalik lihtsustada. Seega avasin vaadeldavas näites selle leidmisel juure all olevad sulud (kuigi ma poleks seda võib-olla teinud). On suur võimalus, et valemisse asendamisel väheneb palju asju hästi. Kuigi muidugi on kohmakate vastustega näiteid.

Näide 7

Leia parameetriliselt määratud funktsiooni tuletis

See on näide, mille saate ise lahendada.

Artiklis Lihtsamad tüüpilised probleemid tuletistega vaatasime näiteid, milles oli vaja leida funktsiooni teine ​​tuletis. Parameetriliselt määratletud funktsiooni jaoks võite leida ka teise tuletise ja see leitakse järgmise valemi abil: . On üsna ilmne, et teise tuletise leidmiseks tuleb esmalt leida esimene tuletis.

Näide 8

Leia parameetriliselt antud funktsiooni esimene ja teine ​​tuletis

Kõigepealt leiame esimese tuletise.
Me kasutame valemit

Sel juhul:

Asendame leitud tuletised valemiga. Lihtsustamise eesmärgil kasutame trigonomeetrilist valemit: