Regulaarne hulknurk. Korrapärase hulknurga külgede arv

Katki

Definitsioon

katkendlik joon või lühidalt katkendlik joon, on segmentide piiratud jada, nii et esimese segmendi üks ots toimib teise, teise segmendi teine ​​ots kolmanda jne. Sel juhul ei asu külgnevad segmendid samal sirgel. Neid segmente nimetatakse katkendjoone linkideks.

Polüliini tüübid

Katkendjoont nimetatakse suletud, kui esimese lõigu algus langeb kokku viimase lõpuga.

Katkendunud joon võib ristuda, ennast puudutada või kattuda. Kui selliseid singulaarsusi pole, siis nimetatakse sellist katkendjoont lihtne.

Hulknurgad

Definitsioon

Nimetatakse lihtsat suletud katkendjoont koos sellega piiratud tasandi osaga hulknurk.

Kommenteeri

Hulknurga igas tipus määravad selle küljed hulknurga teatud nurga. See võib olla kas vähem või rohkem laiendatud.

Kinnisvara

Iga hulknurga nurk on väiksem kui $180^\circ$.

Tõestus

Olgu antud hulknurk $P$.

Tõmbame sirge, mis sellega ei ristuks. Liigutame selle hulknurgaga paralleelselt. Mingil hetkel saame esimest korda sirge $a$, millel on vähemalt üks ühine punkt hulknurgaga $P$. Hulknurk asub selle sirge ühel küljel (mõned selle punktid asuvad sirgel $a$).

Rida $a$ sisaldab vähemalt ühte hulknurga tippu. Selle kaks külge, mis asuvad ühel pool joont $a$, lähenevad selles (kaasa arvatud juhul, kui üks neist asub sellel joonel). See tähendab, et selles tipus on nurk väiksem kui voltimata.

Definitsioon

Hulknurka nimetatakse kumer, kui see asub iga selle külge sisaldava rea ​​ühel küljel. Kui hulknurk ei ole kumer, nimetatakse seda mittekumer.

Kommenteeri

Kumer hulknurk on pooltasapindade ristumiskoht, mis on piiratud hulknurga külgi sisaldavate joontega.

Kumera hulknurga omadused

Kumera hulknurga kõik nurgad on väiksemad kui $180^\circ$.

Selles hulknurgas sisaldub sirglõik, mis ühendab kumera hulknurga mis tahes kahte punkti (eriti selle diagonaali).

Tõestus

Tõestame esimest omadust

Võtame kumera hulknurga $P$ ja selle tipust $A$ tuleva külje $a$ mis tahes nurga $A$. Olgu $l$ rida, mis sisaldab külge $a$. Kuna hulknurk $P$ on kumer, asub see sirge $l$ ühel küljel. Järelikult asub ka selle nurk $A$ ühel pool seda joont. See tähendab, et nurk $A$ on väiksem kui väljatöötatud nurk, st väiksem kui $180^\circ$.

Tõestame teist omadust

Võtke kumera hulknurga $P$ mis tahes kaks punkti $A$ ja $B$. Hulknurk $P$ on mitme pooltasandi ristumiskoht. Lõik $AB$ sisaldub igal pooltasandil. Seetõttu sisaldub see ka hulknurgas $P$.

Definitsioon

Hulknurga diagonaal nimetatakse segmendiks, mis ühendab selle mittekülgnevaid tippe.

Teoreem (n-nurga diagonaalide arvu kohta)

Kumera $n$-goni diagonaalide arv arvutatakse valemiga $\dfrac(n(n-3))(2)$.

Tõestus

Igast n-nurga tipust on võimalik tõmmata $n-3$ diagonaale (diagonaali ei saa tõmmata naabertippudele ega sellele tipule endale). Kui loeme kõik sellised võimalikud segmendid kokku, siis on neid $n\cdot(n-3)$, kuna seal on $n$ tippe. Kuid iga diagonaal arvestatakse kaks korda. Seega on n-nurga diagonaalide arv võrdne $\dfrac(n(n-3))(2)$.

Teoreem (n-nurga nurkade summa kohta)

Kumera $n$-goni nurkade summa on $180^\circ(n-2)$.

Tõestus

Mõelge $n$-gon $A_1A_2A_3\ldots A_n$.

Võtame selle hulknurga sees suvalise punkti $O$.

Kõigi kolmnurkade $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, \ldots, $A_(n-1)OA_n$ nurkade summa on võrdne $180^\circ\cdot n$.

Teisest küljest on see summa hulknurga kõigi sisenurkade ja kogunurga $\angle O=\angle 1+\angle 2+\angle 3+\ldots=30^\circ$ summa.

Siis on vaadeldava $n$-goni nurkade summa võrdne $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Tagajärg

Mittekumera $n$-goni nurkade summa on $180^\circ(n-2)$.

Tõestus

Vaatleme hulknurka $A_1A_2\ldots A_n$, mille ainus nurk $\angle A_2$ on mittekumer, st $\angle A_2>180^\circ$.

Tähistagem tema saagi summat kui $S$.

Ühendame punktid $A_1A_3$ ja vaatleme hulknurka $A_1A_3\ldots A_n$.

Selle hulknurga nurkade summa on:

180 $^\circ\cdot(n-1-2)=S-\angle A_2+\angle 1+\angle 2=S-\angle A_2+180^\circ-\angle A_1A_2A_3=S+180^\circ-( \angle A_1A_2A_3+\angle A_2)=S+180^\circ-360^\circ$.

Seetõttu $S=180^\circ\cdot(n-1-2)+180^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Kui algsel hulknurgal on rohkem kui üks mittekumer nurk, siis saab ülalkirjeldatud toimingu sooritada iga sellise nurgaga, mis viib väite tõestamiseni.

Teoreem (kumera n-nurga välisnurkade summa kohta)

Kumera $n$-goni välisnurkade summa on $360^\circ$.

Tõestus

Välisnurk tipus $A_1$ on võrdne $180^\circ-\angle A_1$.

Kõigi välisnurkade summa on võrdne:

$\sum\limits_(n)(180^\circ-\angle A_n)=n\cdot180^\circ - \sum\limits_(n)A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n) -2)=360^\circ$.

Geomeetria algkursusel on tõestatud, et kumera n-nurga nurkade summa on 180° (n-2). Selgub, et see väide kehtib ka mittekumerate hulknurkade puhul.

Teoreem 3. Suvalise n-nurga nurkade summa on 180° (n - 2).

Tõestus. Jagame hulknurga kolmnurkadeks, tõmmates diagonaale (joon. 11). Selliste kolmnurkade arv on n-2 ja iga kolmnurga nurkade summa on 180°. Kuna kolmnurkade nurgad moodustavad hulknurga nurgad, on hulknurga nurkade summa 180° (n - 2).

Vaatleme nüüd suvalisi suletud katkendjooni, mis võivad olla iselõikepunktidega A1A2…AnA1 (joonis 12, a). Selliseid iselõikuvaid katkendjooni nimetame tähehulkjoonteks (joon. 12, b-d).

Fikseerime nurkade lugemise suuna vastupäeva. Pange tähele, et suletud polüliini moodustatud nurgad sõltuvad sellest, millises suunas see läbitakse. Kui hulknurga läbimise suund on vastupidine, on hulknurga nurgad nurgad, mis täiendavad algse hulknurga nurki kuni 360°-ni.

Kui M on hulknurk, mille moodustab lihtne suletud katkendjoon, mida saab läbida päripäeva (joonis 13, a), siis on selle hulknurga nurkade summa võrdne 180° (n - 2). Kui katkendjoon jookseb vastupäeva (joonis 13, b), võrdub nurkade summa 180° (n + 2).

Seega üldine valem lihtsa suletud katkendjoonega moodustatud hulknurga nurkade summa on kujul = 180° (n 2), kus on nurkade summa, n on hulknurga nurkade arv, “+” või “- ” võetakse sõltuvalt katkendjoone läbimise suunast.

Meie ülesanne on tuletada suletud (võimalik, et iselõikava) katkendjoonega moodustatud suvalise hulknurga nurkade summa valem. Selleks tutvustame hulknurga astme mõistet.

Hulknurga aste on pöörete arv, mida punkt teeb, kui punkt läbib selle külgi täielikult järjestikku. Veelgi enam, vastupäeva tehtud pöördeid arvestatakse "+" märgiga ja päripäeva tehtud pöördeid "-" märgiga.

On selge, et lihtsa suletud polüliini moodustatud hulknurga aste on olenevalt läbimise suunast +1 või -1. Katkendjoone aste joonisel 12a on võrdne kahega. Tähekujuliste seitsenurksete aste (joon. 12, c, d) võrdub vastavalt kahe ja kolmega.

Kraadi mõiste defineeritakse sarnaselt tasapinna suletud kõverate puhul. Näiteks joonisel 14 kujutatud kõvera aste on kaks.

Hulknurga või kõvera astme leidmiseks saate toimida järgmiselt. Oletame, et liikudes piki kõverat (joon. 15, a) tegime mingist kohast A1 alustades täispöörde ja jõudsime samasse punkti A1. Eemaldame kõveralt vastava lõigu ja jätkame liikumist mööda ülejäänud kõverat (joon. 15, b). Kui mingist kohast A2 alustades tegime taas täispöörde ja tabame sama punkti, siis kustutame vastava kõvera lõigu ja jätkame liikumist (joon. 15, c). Loendades “+” või “-” märkidega kaugemate lõikude arvu, olenevalt nende liikumissuunast, saame kõvera vajaliku astme.

Teoreem 4. Suvalise hulknurga korral kehtib valem

180° (n +2m),

kus on nurkade summa, n on nurkade arv, m on hulknurga aste.

Tõestus. Olgu hulknurga M aste m ja seda on tinglikult kujutatud joonisel 16. M1, ..., Mk on lihtsad suletud katkendjooned, mida mööda punkt teeb täispöördeid. A1, …, Ak on katkendjoone vastavad iselõikepunktid, mis ei ole selle tipud. Tähistame hulknurkadesse M1, …, Mk kuuluvate hulknurga M tippude arvu vastavalt n1, …, nk. Kuna lisaks hulknurga M tippudele liidetakse nendele hulknurkadele ka tipud A1, ..., Ak, siis on hulknurkade M1, ..., Mk tippude arv võrdne n1+1, . .., vastavalt nk+1. Siis on nende nurkade summad 180° (n1+12), ..., 180° (nk+12). Pluss või miinus võetakse sõltuvalt katkendlike joonte läbimise suunast. Hulknurgast M järelejäänud hulknurga M0 nurkade summa pärast hulknurkade M1, ..., Mk eemaldamist võrdub 180° (n-n1- ...-nk+k2). Hulknurkade M0, M1, ..., Mk nurkade summad annavad hulknurga M nurkade summa ja igas tipus A1, ..., Ak saame lisaks 360°. Seetõttu on meil võrdsus

180° (n1+12)+…+180° (nk+12)+180° (n-n1- …-nk+k2)=+360°k.

180° (n2…2) = 180° (n+2m),

kus m on hulknurga M aste.

Näiteks kaaluge viieharulise tähe nurkade summa arvutamist (joonis 17, a). Vastava suletud katkendjoone aste on -2. Seetõttu on nõutav nurkade summa 180.

Kolmnurk, ruut, kuusnurk - need kujundid on peaaegu kõigile teada. Kuid mitte kõik ei tea, mis on tavaline hulknurk. Kuid need on kõik ühesugused. Tavaline hulknurk on selline, millel on võrdsed nurgad ja küljed. Selliseid kujundeid on palju, kuid neil kõigil on samad omadused ja neile kehtivad samad valemid.

Regulaarsete hulknurkade omadused

Iga korrapärase hulknurga, olgu see ruut või kaheksanurk, saab kirjutada ringi. Seda põhiomadust kasutatakse sageli figuuri koostamisel. Lisaks saab hulknurga sisse kirjutada ringi. Sel juhul on puutepunktide arv võrdne selle külgede arvuga. On oluline, et korrapärasesse hulknurka kantud ringil oleks sellega ühine keskpunkt. Need geomeetrilised kujundid alluvad samadele teoreemidele. Korrapärase n-nurga mis tahes külg on seotud seda ümbritseva ringi R raadiusega, mistõttu saab selle arvutada järgmise valemi abil: a = 2R ∙ sin180°. Läbi leiate mitte ainult hulknurga küljed, vaid ka perimeetri.

Kuidas leida tavalise hulknurga külgede arvu

Igaüks neist koosneb teatud arvust üksteisega võrdsetest segmentidest, mis ühendamisel moodustavad suletud joone. Sel juhul on saadud joonise kõik nurgad sama väärtusega. Hulknurgad jagunevad lihtsateks ja keerukateks. Esimesse rühma kuuluvad kolmnurk ja ruut. Komplekssetel hulknurkadel on suurem arv küljed Nende hulka kuuluvad ka tähekujulised kujundid. Keeruliste korrapäraste hulknurkade puhul leitakse küljed, kirjutades need ringikujuliseks. Anname tõestuse. Joonistage korrapärane hulknurk suvalise arvu külgedega n. Joonista selle ümber ring. Määra raadius R. Kujutage nüüd ette, et teile on antud mingi n-nurk. Kui selle nurkade punktid asuvad ringil ja on üksteisega võrdsed, saab küljed leida valemiga: a = 2R ∙ sinα: 2.

Sissekirjutatud korrapärase kolmnurga külgede arvu leidmine

Võrdkülgne kolmnurk on korrapärane hulknurk. Selle kohta kehtivad samad valemid, mis ruudu ja n-nurga puhul. Kolmnurka peetakse korrapäraseks, kui selle küljed on võrdse pikkusega. Sel juhul on nurgad 60⁰. Ehitame kolmnurga etteantud küljepikkusega a. Teades selle mediaani ja kõrgust, saate leida selle külgede väärtuse. Selleks kasutame leidmise meetodit valemiga a = x: cosα, kus x on mediaan või kõrgus. Kuna kolmnurga kõik küljed on võrdsed, saame a = b = c. Siis on tõene järgmine väide: a = b = c = x: cosα. Samamoodi leiate võrdhaarse kolmnurga külgede väärtused, kuid x on antud kõrgus. Sel juhul tuleks see projitseerida rangelt figuuri alusele. Seega, teades kõrgust x, leiame külje a võrdhaarne kolmnurk valemi a = b = x järgi: cosα. Pärast a väärtuse leidmist saate arvutada aluse c pikkuse. Rakendame Pythagorase teoreemi. Otsime poole aluse c väärtust: 2=√(x: cosα)^2 - (x^2) = √x^2 (1 - cos^2α) : cos^2α = x ∙ tanα. Siis c = 2xtanα. Sel lihtsal viisil saate leida iga sisse kirjutatud hulknurga külgede arvu.

Ringi sisse kirjutatud ruudu külgede arvutamine

Nagu igal teisel tavalisel hulknurgal, on ka ruudul võrdsed küljed ja nurgad. Selle kohta kehtivad samad valemid, mis kolmnurga puhul. Diagonaali väärtuse abil saate arvutada ruudu küljed. Vaatleme seda meetodit üksikasjalikumalt. On teada, et diagonaal jagab nurga pooleks. Algselt oli selle väärtus 90 kraadi. Seega pärast jagamist moodustuvad kaks, mille nurgad aluses on 45 kraadi. Sellest lähtuvalt on ruudu mõlemad küljed võrdsed, see tähendab: a = b = c = d = e ∙ cosα = e√2: 2, kus e on ruudu diagonaal või täisnurkse kolmnurga alus, mis on moodustatud pärast jaotus. Ei ole ainus viis ruudu külgede leidmine. Kirjutame selle kujundi ringi. Teades selle ringi R raadiust, leiame ruudu külje. Arvutame selle järgmiselt: a4 = R√2. Korrapäraste hulknurkade raadiused arvutatakse valemiga R = a: 2tg (360 o: 2n), kus a on külje pikkus.

Kuidas arvutada n-nurga ümbermõõt

N-nurga ümbermõõt on selle kõigi külgede summa. Seda on lihtne arvutada. Selleks peate teadma kõigi külgede tähendusi. Teatud tüüpi hulknurkade jaoks on olemas spetsiaalsed valemid. Need võimaldavad teil perimeetrit palju kiiremini leida. On teada, et igal korrapärasel hulknurgal on võrdsed küljed. Seetõttu piisab selle perimeetri arvutamiseks vähemalt ühe neist teadmisest. Valem sõltub joonise külgede arvust. Üldiselt näeb see välja järgmine: P = an, kus a on külgväärtus ja n on nurkade arv. Näiteks tavalise kaheksanurga ümbermõõdu leidmiseks, mille külg on 3 cm, peate selle korrutama 8-ga, see tähendab, et P = 3 ∙ 8 = 24 cm. Kuusnurga puhul, mille külg on 5 cm, arvutame järgmiselt: P = 5 ∙ 6 = 30 cm Ja nii iga hulknurga puhul.

Rööpküliku, ruudu ja rombi ümbermõõdu leidmine

Sõltuvalt sellest, mitu külge on tavalisel hulknurgal, arvutatakse selle ümbermõõt. See muudab ülesande palju lihtsamaks. Tõepoolest, erinevalt teistest kujunditest ei pea sel juhul otsima kõiki selle külgi, piisab ühest. Samal põhimõttel leiame nelinurkade ümbermõõdu ehk ruudu ja rombi. Hoolimata asjaolust, et need on erinevad arvud, on nende valem sama: P = 4a, kus a on külg. Toome näite. Kui rombi või ruudu külg on 6 cm, siis leiame perimeetri järgmiselt: P = 4 ∙ 6 = 24 cm Rööpküliku puhul on võrdsed ainult vastasküljed. Seetõttu leitakse selle ümbermõõt erineva meetodi abil. Seega peame teadma joonise pikkust a ja laiust b. Seejärel rakendame valemit P = (a + b) ∙ 2. Rööpkülikut, mille kõik küljed ja nendevahelised nurgad on võrdsed, nimetatakse rombiks.

Võrdkülgse ja täisnurkse kolmnurga ümbermõõdu leidmine

Õige ümbermõõt saab leida valemiga P = 3a, kus a on külje pikkus. Kui see pole teada, saab selle leida mediaani kaudu. IN täisnurkne kolmnurk ainult kaks poolt on võrdse tähtsusega. Aluse saab leida Pythagorase teoreemi kaudu. Kui kõigi kolme külje väärtused on teada, arvutame perimeetri. Selle saab leida valemiga P = a + b + c, kus a ja b on võrdsed küljed ja c on alus. Tuletame meelde, et võrdhaarses kolmnurgas a = b = a, mis tähendab a + b = 2a, siis P = 2a + c. Näiteks võrdhaarse kolmnurga külg on 4 cm, leiame selle aluse ja ümbermõõdu. Hüpotenuusi väärtuse arvutame Pythagorase teoreemi abil = √a 2 + b 2 = √16+16 = √32 = 5,65 cm Nüüd arvutame ümbermõõt P = 2 ∙ 4 + 5,65 = 13,65 cm.

Kuidas leida tavalise hulknurga nurki

Korrapärane hulknurk esineb meie elus iga päev, näiteks tavaline ruut, kolmnurk, kaheksanurk. Näib, et pole midagi lihtsamat kui selle kuju ise üles ehitada. Kuid see on lihtne ainult esmapilgul. Mis tahes n-nurga konstrueerimiseks peate teadma selle nurkade väärtust. Aga kuidas neid leida? Isegi iidsed teadlased püüdsid konstrueerida korrapäraseid hulknurki. Nad mõtlesid välja, kuidas need ringidesse sobitada. Ja siis märgiti sellele vajalikud punktid ja ühendati need sirgjoontega. Lihtsate kujundite puhul sai konstruktsiooniprobleem lahendatud. Saadi valemid ja teoreemid. Näiteks Euclid käsitles oma kuulsas teoses "Inception" 3-, 4-, 5-, 6- ja 15-goni ülesannete lahendamist. Ta leidis viise nende konstrueerimiseks ja nurkade leidmiseks. Vaatame, kuidas seda 15-gonilise jaoks teha. Kõigepealt peate arvutama selle sisenurkade summa. On vaja kasutada valemit S = 180⁰(n-2). Seega antakse meile 15-nurkne, mis tähendab, et arv n on 15. Asendame meile teadaolevad andmed valemiga ja saame S = 180⁰(15 - 2) = 180⁰ x 13 = 2340⁰. Leidsime 15-goonilise kõigi sisenurkade summa. Nüüd peate saama neist igaühe väärtuse. Nurki on kokku 15. Teeme arvutuse 2340⁰: 15 = 156⁰. See tähendab, et iga sisenurk on võrdne 156⁰, nüüd saate joonlaua ja kompassi abil konstrueerida tavalise 15-nurga. Aga kuidas on lood keerukamate n-nurkadega? Paljud sajandid on teadlased selle probleemi lahendamise nimel vaeva näinud. Carl Friedrich Gauss leidis selle alles 18. sajandil. Ta suutis konstrueerida 65537-goni. Sellest ajast alates on probleem ametlikult peetud täielikult lahendatuks.

N-nurga nurkade arvutamine radiaanides

Loomulikult on hulknurkade nurkade leidmiseks mitu võimalust. Enamasti arvutatakse need kraadides. Kuid neid saab väljendada ka radiaanides. Kuidas seda teha? Peate toimima järgmiselt. Esiteks selgitame välja tavalise hulknurga külgede arvu, seejärel lahutame sellest 2. See tähendab, et saame väärtuse: n - 2. Korrutage leitud erinevus arvuga n ("pi" = 3,14). Nüüd jääb üle vaid jagada saadud korrutis n-nurga nurkade arvuga. Vaatleme neid arvutusi, kasutades näitena sama kümnenurka. Seega on arv n 15. Rakendame valemit S = n(n - 2) : n = 3,14(15 - 2) : 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. See pole muidugi ainus viis nurga arvutamiseks radiaanides. Võite lihtsalt nurga kraadides jagada 57,3-ga. Lõppude lõpuks on see, kui mitu kraadi võrdub ühe radiaaniga.

Nurkade arvutamine kraadides

Lisaks kraadidele ja radiaanidele võite proovida leida tavalise hulknurga nurgad kraadides. Seda tehakse järgmiselt. Alates koguarv nurgad, lahutage 2, jagage saadud erinevus tavalise hulknurga külgede arvuga. Leitud tulemuse korrutame 200-ga. Muide, sellist nurkade mõõtühikut kraadidena praktiliselt ei kasutata.

N-nurkade välisnurkade arvutamine

Iga tavalise hulknurga jaoks saate lisaks sisemisele arvutada ka välisnurga. Selle väärtus leitakse samamoodi nagu teiste arvude puhul. Nii et tavalise hulknurga välisnurga leidmiseks peate teadma sisemise nurga väärtust. Lisaks teame, et nende kahe nurga summa on alati 180 kraadi. Seetõttu teeme arvutused järgmiselt: 180⁰ miinus sisenurga väärtus. Leiame erinevuse. See võrdub sellega külgneva nurga väärtusega. Näiteks ruudu sisenurk on 90 kraadi, mis tähendab, et välisnurk on 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Nagu näeme, pole seda raske leida. Välisnurga väärtus võib olla vastavalt +180⁰ kuni -180⁰.

8. klassis koolis geomeetria tundides tutvustatakse õpilastele esmalt kumera hulknurga mõistet. Väga kiiresti saavad nad teada, et sellel näitajal on väga huvitav vara. Ükskõik kui keeruline see ka poleks, omandab kumera hulknurga kõigi sise- ja välisnurkade summa rangelt määratletud väärtuse. Selles artiklis räägib matemaatika ja füüsika juhendaja, millega võrdub kumera hulknurga nurkade summa.

Kumera hulknurga sisenurkade summa

Kuidas seda valemit tõestada?

Enne selle väite tõestuse juurde asumist meenutagem, millist hulknurka nimetatakse kumeraks. Kumer hulknurk on hulknurk, mis asetseb täielikult selle mis tahes külgi sisaldava joone ühel küljel. Näiteks sellel joonisel näidatud:

Kui hulknurk ei vasta määratud tingimusele, nimetatakse seda mittekumeraks. Näiteks nii:

Kumera hulknurga sisenurkade summa on võrdne , kus on hulknurga külgede arv.

Selle fakti tõestus põhineb teoreemil kolmnurga nurkade summa kohta, mis on kõigile koolilastele hästi teada. Olen kindel, et see teoreem on teilegi tuttav. Kolmnurga sisenurkade summa on .

Idee on jagada kumer hulknurk mitmeks kolmnurgaks. Seda saab teha erinevatel viisidel. Sõltuvalt sellest, millise meetodi me valime, on tõendid veidi erinevad.

1. Jaga kumer hulknurk kolmnurkadeks kasutades kõiki võimalikke mõnest tipust tõmmatud diagonaale. On lihtne mõista, et siis jagatakse meie n-nurk kolmnurkadeks:

Pealegi on kõigi saadud kolmnurkade kõigi nurkade summa võrdne meie n-nurga nurkade summaga. Lõppude lõpuks on iga nurk saadud kolmnurkades meie kumera hulknurga osanurk. See tähendab, et nõutav summa on võrdne .

2. Samuti saab valida punkti kumera hulknurga sees ja ühendada selle kõigi tippudega. Siis jagatakse meie n-nurk kolmnurkadeks:

Veelgi enam, meie hulknurga nurkade summa on sel juhul võrdne kõigi nende kolmnurkade kõigi nurkade summaga, millest on lahutatud kesknurk, mis on võrdne . See tähendab, et nõutav summa on jällegi võrdne .

Kumera hulknurga välisnurkade summa

Esitagem nüüd küsimus: "Mis on kumera hulknurga välisnurkade summa?" Sellele küsimusele saab vastata järgmiselt. Iga välimine nurk külgneb vastava sisemise nurgaga. Seetõttu on see võrdne:

Siis on kõigi välisnurkade summa võrdne . See tähendab, et see on võrdne.

See tähendab, et saadakse väga naljakas tulemus. Kui joonistada kõik kumera n-nurga kõik välisnurgad järjestikku üksteise järel, on tulemuseks täpselt kogu tasapind.

See huvitav fakt saab illustreerida järgmiselt. Vähendame proportsionaalselt mõne kumera hulknurga kõiki külgi, kuni see sulandub punktiks. Pärast seda asetatakse kõik välisnurgad üksteisest kõrvale ja täidavad seega kogu tasapinna.

Huvitav fakt, kas pole? Ja selliseid fakte on geomeetrias palju. Nii et õppige geomeetriat, kallid koolilapsed!

Materjali selle kohta, millega on võrdne kumera hulknurga nurkade summa, valmistas Sergei Valerievich