Viiendad juhuslikud funktsioonid. Juhuslikud funktsioonid

Sissejuhatavad märkused. Leiame Fourier' kujutise d-funktsioonid.

Ilmselt kehtib ka Fourier' pöördteisendus:

Ja:

1. Olgu protsess konstantne väärtus x(t)=Ao. Nagu varem selgus, on sellise protsessi korrelatsioonifunktsioon võrdne Leiame protsessi spektraaltiheduse funktsiooni otsese Fourier' teisendusega R(t):

Protsessi spekter koosneb ühest impulsifunktsiooni tüüpi tipust, mis asub algpunktis. Seega, kui protsessis on ainult üks sagedus w=0, see tähendab, et kogu protsessi võimsus on koondunud sellele sagedusele, mis kinnitab funktsiooni vormi S(w). Kui juhuslik funktsioon sisaldab konstantset komponenti, s.t. keskmine väärtus siis S(w) esineb katkestus lähtekohas ja seda iseloomustab olemasolu d- toimib teatud punktis w=0.

2. Harmoonilise funktsiooni jaoks X = A o sin(w 0 t+j) korrelatsioonifunktsioon:

Spektri tihedus on

Ajakava S(w) on kaks impulssfunktsiooni tüüpi tippu, mis paiknevad sümmeetriliselt koordinaatide alguspunkti suhtes w=+w 0 ja w=-w 0 . See viitab sellele, et protsessi võimsus on koondunud kahele sagedusele + w 0 ja - w 0 .

Kui juhuslikul funktsioonil on harmoonilised komponendid, siis spektraalne tihedus on punktides katkestusi w= ± w 0 ja seda iseloomustab nendes punktides paikneva kahe deltafunktsiooni olemasolu.

valge müra . Valge müra all mõistetakse juhuslikku protsessi, millel on samad spektraaltiheduse väärtused kõigil sagedustel vahemikus -¥ kuni +¥: S( w) = Konst.

Teatud eelduste korral on sellise protsessi näiteks soojusmüra, kosmiline kiirgus jne. Sellise protsessi korrelatsioonifunktsioon on võrdne

Seega R(t) tähistab impulsi funktsiooni, mis asub lähtepunktis.

See protsess on puhtalt juhuslik protsess, kuna igal juhul t¹0 järgnevate ja eelmiste väärtuste vahel puudub korrelatsioon juhuslik funktsioon. Sellise spektraaltihedusega protsess on füüsiliselt ebareaalne, sest see vastab juhusliku suuruse lõpmatult suurele dispersioonile ja keskmisele ruudule:

Selline protsess vastab lõpmatult suurele võimsusele ja lõpmatult suure energiaga allikale.

2. Ribapiiranguga valge müra. Seda protsessi iseloomustab vormi spektraalne tihedus

S(w)=C juures ½ w½<w n,

S(w)=0 at ½w½>w n.

Kus (- w n, w n) spektraaltiheduse sagedusala.

Tegemist on juhusliku protsessiga, mille spektraaltihedus jääb vaadeldavat juhtimissüsteemi mõjutada võivas sagedusvahemikus peaaegu konstantseks, s.t. süsteemi poolt edastatavas sagedusalas. Kõvera tüüp S(w) väljaspool seda vahemikku ei oma tähtsust, sest kõrgematele sagedustele vastav kõvera osa ei mõjuta süsteemi tööd. See protsess vastab korrelatsioonifunktsioonile

Protsessi dispersioon on võrdne

5. Tüüpiline jälgimissüsteemi sisendsignaal. Signaali, mille graafik on näidatud joonisel 63, võetakse tüüpiliseks signaaliks. Servosüsteemi veovõlli pöörlemiskiirus hoiab teatud ajavahemike jooksul konstantset väärtust t 1, t 2,...

Üleminek ühelt väärtuselt teisele toimub koheselt. Ajavahemikud järgivad Poissoni jaotuse seadust. Oodatud väärtus

Joonis 63. Tüüpiline signaal

Seda tüüpi graafik saadakse jälgimisel esimese lähendusena Radar liikuva sihtmärgi taga. Püsikiiruse väärtused vastavad sihtmärgile, mis liigub sirgjooneliselt. Kiiruse märgi või suuruse muutus vastab sihtmanöövrile.

Lase m-kiiruse muutuste keskmine arv 1 s kohta. Siis T = 1/m on nende ajavahemike keskmine väärtus, mille jooksul nurkkiirus säilitab oma konstantse väärtuse. Rakendatud Radar see väärtus on keskmine aeg, mil sihtmärk liigub sirgjooneliselt. Korrelatsioonifunktsiooni määramiseks on vaja leida toote keskmine väärtus

Selle väärtuse leidmisel võib olla kaks juhtumit.

1. Hetked ajas t Ja t+t kuuluvad samasse intervalli. Siis on nurkkiiruste korrutise keskmine võrdne keskmise ruuduga nurkkiirus või dispersioon:

2. Hetked ajas t Ja t+t kuuluvad erinevatesse intervallidesse. Siis on kiiruste korrutise keskmine võrdne nulliga, kuna kogused W(t) Ja W(t+t) erinevate intervallide jaoks võib pidada sõltumatuteks suurusteks:

Korrelatsioonifunktsioon on võrdne:

kus P 1 on ajahetkede t ja t+t leidmise tõenäosus samas intervallis ning P 2 =1- P 1 nende leidmise tõenäosus erinevates intervallides.

Hindame P 1 väärtust. Lühikese ajaintervalli Dt jooksul toimuva kiiruse muutumise tõenäosus on võrdeline selle intervalliga ja võrdub mDt või Dt/T. Tõenäosus, et sama intervalli kiirus ei muutu, on 1-Dt/T. Ajavahemiku t puhul on tõenäosus, et kiirus ei muutu s.o. tõenäosus leida aegu t ja t+t samas konstantse kiiruse intervallis on võrdne kiiruse mittemuutuse tõenäosuse korrutisega igal elementaarintervallil Dt, sest need sündmused on sõltumatud. Lõpliku intervalli puhul leiame, et intervallide arv on võrdne t/Dt ja

Ületades piiri, saame

Laske üle juhuslik funktsioon X(t) läbi viidud P sõltumatud katsed (vaatlused) ja selle tulemusena saadud P juhusliku funktsiooni teostused (joonis 15.4.1).

Riis. 15.4.1

On vaja leida hinnangud juhusliku funktsiooni omadustele: selle matemaatilisele ootusele mx(t), dispersioonid Dx(t) ja korrelatsioonifunktsioon K x (t,t).

Selleks kaaluge juhusliku funktsiooni sektsioone ajahetkede jaoks

ja registreerige funktsiooni poolt aktsepteeritud väärtused X(t) nendel ajahetkedel. Iga hetk /, t2, ..., t m vastavad P juhuslikud funktsiooni väärtused.

Väärtused /, Mina, t m tavaliselt määratletakse võrdsel kaugusel; külgnevate väärtuste vahelise intervalli suurus valitakse sõltuvalt katsekõverate tüübist, et valitud punktidest saaks rekonstrueerida kõverate põhikursuse. Sageli juhtub, et intervall külgnevate väärtuste vahel t määratakse töötlemisülesannetest sõltumatult salvestusseadme töösageduse (näiteks filmikaamera kiiruse) järgi.

Registreeritud väärtused X(t) sisestatakse tabelisse, mille iga rida vastab konkreetsele teostusele ja veergude arv võrdub argumendi võrdlusväärtuste arvuga (tabel 15.4.1).

Tabel 15.4.1

Tabelis 15.4.1 sisaldab /-ndas real /-ndas teostuses (/-ndas katses) täheldatud juhusliku funktsiooni väärtusi argumendi väärtustega / 2, ..., tm. Sümbol Xj( 4) näidatakse hetkel i-ndale realisatsioonile vastav väärtus tk.

Saadud materjal pole midagi muud kui tulemused P katsed süsteemiga T juhuslikud muutujad

ja seda töödeldakse täpselt samal viisil (vt alajaotis 14.3). Esiteks leitakse valemi abil hinnangud matemaatiliste ootuste kohta

siis - dispersioonide jaoks

ja lõpuks korrelatsioonihetkede jaoks

Paljudel juhtudel on dispersioonide ja korrelatsioonimomentide hinnangute arvutamisel mugav kasutada alg- ja keskmomentide vahelist seost ning arvutada need valemite abil:

Valemite uusimate versioonide kasutamisel on lähiarvude erinevuste vältimiseks soovitatav nihutada alguspunkt mööda ordinaattelge eelnevalt matemaatilisele ootusele lähemale.

Kui need omadused on arvutatud, on see võimalik väärtuste seeria abil m x (t (), m x (t 2), m x (t m), sõltuvust tekitada mx(t)(joonis 15.4.1). Sõltuvus on üles ehitatud sarnaselt KOHTA X (/). Kahe argumendi funktsioon K x (t,t") reprodutseeritakse selle väärtuste alusel ristkülikukujulises punktide ruudustikus. Vajadusel on kõik need funktsioonid ligikaudsed mõne analüütilise avaldise abil.

15.5. Meetodid teisendatud juhuslike funktsioonide karakteristikute määramiseks algsete juhuslike funktsioonide tunnuste põhjal

Eelmises alapeatükis tutvustati meile juhusliku funktsiooni omaduste otsese kogemuse põhjal määramise meetodit. Seda meetodit ei kasutata alati. Esiteks võib meid huvitavate juhuslike funktsioonide uurimiseks mõeldud spetsiaalsete katsete seadistamine osutuda väga keeruliseks ja kulukaks.

Teiseks peame sageli uurima juhuslikke funktsioone, mis iseloomustavad instrumendi vigu, vaatlusseadmed, juhtimissüsteemid jne, mis ei ole veel olemas, kuid mida alles projekteeritakse või arendatakse. Pealegi uuritakse neid vigu tavaliselt just selleks, et valida ratsionaalselt süsteemi projekteerimisparameetrid nii, et need tooksid kaasa minimaalsed vead.

On selge, et sellisel juhul on süsteemi toimimist iseloomustavate juhuslike funktsioonide otsene uurimine ebapraktiline ja mõnel juhul täiesti võimatu. Sellistel juhtudel kasutatakse peamiste töömeetoditena mitte otseseid, vaid kaudseid juhuslike funktsioonide uurimise meetodeid. Sarnaseid kaudseid meetodeid oleme juhuslike suuruste uurimisel juba kasutanud: meie kursuse hulk peatükke -10,11,12 - oli pühendatud juhuslike suuruste jaotusseaduste ja arvuliste tunnuste leidmisele kaudselt, kasutades jaotuse seadusi ja nendega seotud muude juhuslike suuruste arvulised omadused. Täiesti sarnaseid meetodeid kasutades on võimalik määrata juhuslike funktsioonide tunnuseid kaudselt, teiste nendega seotud juhuslike funktsioonide tunnuste järgi. Selliste kaudsete meetodite väljatöötamine on juhuslike funktsioonide rakendusliku teooria põhisisu.

Juhuslike funktsioonide kaudse uurimise probleem praktikas tekib tavaliselt järgmisel kujul.

Riis. 15.5.1

Seal on mingi dünaamiline süsteem A;"Dünaamilise süsteemi" all peame silmas mis tahes seadet, sihikut, arvutusmehhanismi, automaatset juhtimissüsteemi jne. See süsteem võib olla mehaaniline, elektriline või sisaldada muid elemente. Kujutame süsteemi toimimist ette järgmiselt: süsteemi sisendis võetakse pidevalt vastu mõningaid sisendandmeid; süsteem töötleb neid ja annab pidevalt mingeid tulemusi. Leppigem kokku, et nimetame süsteemi sisendisse saabuvaid andmeid “mõjuks” ja väljundtulemust süsteemi “reaktsiooniks” sellele mõjule. Mõjutused võivad hõlmata muutuvaid pingeid, mis tahes objektide nurk- ja lineaarkoordinaate, juhtimissüsteemi saadetud signaale või käske jne. Samuti võib süsteemi reaktsioon tekkida ühel või teisel kujul: pingete, nurknihetena jne. Näiteks õhust tuletõrjesihiku puhul on löök liikuva sihtmärgi nurgakoordinaat, mida mõõdetakse pidevalt jälgimisprotsessi ajal, ja reaktsioon on juhtnurk. Vaatleme kõige lihtsamat juhtumit: kui süsteemi sisend A rakendatakse ainult ühte mõju, mis on aja funktsioon x(/); süsteemi reaktsioon sellele mõjule on aja teine ​​funktsioon juures(/). Süsteemi tööskeem A tavapäraselt näidatud joonisel fig. 15.5.1. Me ütleme, et süsteem A teostab sisendefektil teatud transformatsiooni, mille tulemusena funktsioon x(f) teisendatakse mõneks muuks funktsiooniks juures(/). Kirjutame selle teisenduse sümboolselt kujul:

Teisendamine A võib olla mis tahes tüüpi ja mis tahes keerukusega. Lihtsamatel juhtudel on selleks näiteks antud teguriga korrutamine (võimendid, korrutamismehhanismid), diferentseerimine või integreerimine (diferentseerivad või integreerivad seadmed). Kuid praktikas süsteemid, mis rakendavad puhtal kujul selliseid lihtsaid teisendusi peaaegu kunagi ei toimu; reeglina kirjeldavad süsteemi tööd diferentsiaalvõrrandid ja teisendus A taandub otsusele diferentsiaalvõrrand, mis ühendab efekti x (/) reaktsiooniga y (I).

Dünaamilise süsteemi uurimisel lahendatakse esmalt põhiprobleem: antud mõju puhul x(t) määrake süsteemi reaktsioon y(t). Kuid selleks täielik uuring süsteemi ja selle tehnilisi omadusi hinnates on selline elementaarne lähenemine ebapiisav. Tegelikkuses ei sisene mõju x(/) kunagi puhtal kujul süsteemi sisendisse; see on alati mõne poolt moonutatud juhuslikud vead(häiringud), mille tulemusena süsteem tegelikult ei mõjuta antud funktsioon x(t), ja juhuslik funktsioon X(t) Sellest lähtuvalt tekitab süsteem reaktsioonina juhusliku funktsiooni Y(t), samuti erinev teoreetilisest reaktsioonist y (/) (joon. 15.5.2).

Riis. 15.5.2

Loomulikult tekib küsimus: kui suured on juhuslikud moonutused süsteemi vastuses juhuslike häirete olemasolul selle sisendis? Ja edasi: kuidas tuleks valida süsteemi parameetreid, et need moonutused oleksid minimaalsed?

Sellistele probleemidele ei saa meetoditega lahendust leida klassikaline teooria tõenäosused; ainuke selleks sobiv matemaatiline aparaat on juhuslike funktsioonide teooria aparaat.

Kahest ülaltoodud ülesandest on loomulikult lihtsam esimene – otsene – ülesanne. Sõnastame selle järgmiselt.

Dünaamilise süsteemi sisendisse A juhuslik funktsioon saabub X(1 ); süsteem allutab selle teadaolevale teisendusele, mille tulemusena ilmub süsteemi väljundisse juhuslik funktsioon:

Juhusliku funktsiooni omadused on teada X(t): matemaatiline ootus ja korrelatsioonifunktsioon. Peame leidma juhusliku funktsiooni sarnased omadused Y(t). Lühidalt, võttes arvesse juhusliku funktsiooni omadusi dünaamilise süsteemi sisendis, leidke väljundis juhusliku funktsiooni omadused.

Esitatud probleemi saab absoluutselt täpselt lahendada ühel konkreetsel, kuid praktika jaoks väga olulisel juhul: kui transformatsioon A kuulub klassi nn lineaarsed teisendused ja vastavalt ka süsteem A kuulub klassi lineaarsed süsteemid.

o Juhuslik funktsioon on funktsioon X(t), mille väärtus argumendi t mis tahes väärtuse korral on juhuslik muutuja.

Teisisõnu on juhuslik funktsioon funktsioon, mis katse tulemusena võib võtta ühe või teise konkreetse kuju, kuigi pole ette teada, milline.

o nimetatakse konkreetset kuju, mille juhuslik suurus katse tulemusena võtab juhusliku funktsiooni rakendamine.

Sest praktikas on argument t enamasti ajutine, siis nimetatakse juhuslikku funktsiooni teisiti juhuslik protsess.

Joonisel on kujutatud juhusliku protsessi mitut teostust.

Kui fikseerime argumendi t väärtuse, siis muutub juhuslik funktsioon X(t) juhuslikuks muutujaks, mida nimetatakse juhusliku funktsiooni ristlõige, mis vastab ajale t. Eeldame, et ristlõike jaotus on pidev. Siis määratakse X(t) antud t korral jaotustihedusega p(x; t).

Ilmselgelt ei ole p(x; t) juhusliku funktsiooni X(t) ammendav tunnus, kuna see ei väljenda X(t) lõikude vahelist sõltuvust erinevatel aegadel t. Rohkem täielik kirjeldus annab funktsiooni - juhuslike suuruste süsteemi ühine jaotustihedus , kus t 1 ja t 2 on juhusliku funktsiooni argumendi t suvalised väärtused. Juhusliku funktsiooni X(t) veelgi täielikuma iseloomustuse annab kolme juhusliku suuruse süsteemi ühilduv jaotustihedus jne.

o Nad ütlevad, et juhuslik protsess on tellimus n, kui see on täielikult määratud protsessi n suvalise lõigu ühilduva jaotuse tihedusega, s.o. n juhusliku suuruse süsteem, kus X(t i) on ajahetkele t i vastav protsessi ristlõige, kuid seda ei määrata n-st väiksema arvu osade ühisjaotuse täpsustamisega.

o Kui protsessi kahe suvalise ristlõike ühisjaotuse tihedus määrab selle täielikult, siis nimetatakse sellist protsessi nn. Markovski.

Olgu juhuslik funktsioon X(t). Ülesanne tekib selle kirjeldamiseks ühe või mitme mittejuhusliku tunnuse abil. Esimesena neist on loomulik võtta funktsioon -juhusliku protsessi matemaatiline ootus. Teine on juhusliku protsessi standardhälve .

Need omadused on mõned funktsioonid t. Esimene neist on kõigi võimalike rakenduste keskmine trajektoor. Teine iseloomustab juhusliku funktsiooni realisatsioonide võimalikku levikut ümber keskmise trajektoori. Kuid nendest omadustest ei piisa. Oluline on teada suuruste X(t 1) ja X(t 2) sõltuvust. Seda sõltuvust saab iseloomustada korrelatsioonifunktsiooni või korrelatsioonimomendi abil.

Olgu kaks juhuslikku protsessi, mille mitmed teostused on näidatud joonistel.

Need juhuslikud protsessid on ligikaudu samad matemaatilised ootused ja keskmine ruudu kõrvalekalded. Need on aga erinevad protsessid. Iga juhusliku funktsiooni X 1 (t) teostus muudab aeglaselt oma väärtusi t muutusega, mida ei saa öelda juhusliku funktsiooni X 2 (t) kohta. Esimese protsessi puhul on sõltuvus ristlõigete X 1 (t) ja vahel suurem kui ristlõigete X 2 (t) ja teise protsessi sõltuvus, st. väheneb aeglasemalt kui , suurenedes Δt. Teisel juhul “unustab” protsess oma mineviku kiiremini.

Peatugem korrelatsioonifunktsiooni omadustel, mis tulenevad juhuslike suuruste paari korrelatsioonimomendi omadustest.

Vara 1. Sümmeetria omadus.

Vara 2. Kui juhuslikule funktsioonile X(t) lisada mittejuhuslik liige, siis korrelatsioonifunktsioon ei muutu, s.t. .

Tõesti,

Vara 3., kus on mittejuhuslik funktsioon.

Peamised eesmärgid

Eristada saab kahte peamist tüüpi probleeme, mille lahendamiseks on vaja kasutada juhuslike funktsioonide teooriat.

Otsene ülesanne (analüüs): täpsustatakse teatud seadme parameetrid ja selle “sisendisse” saabuva funktsiooni (signaali, protsessi) tõenäosuslikud omadused (matemaatilised ootused, korrelatsioonifunktsioonid, jaotusseadused); on vaja kindlaks määrata seadme "väljundi" omadused (neid kasutatakse seadme töö "kvaliteedi" hindamiseks).

Pöördprobleem (süntees): täpsustatakse funktsioonide "sisend" ja "väljund" tõenäosuslikud omadused; on vaja konstrueerida optimaalne seade (leida selle parameetrid), mis teisendab antud sisendfunktsiooni väljundfunktsiooniks, millel on etteantud omadused. Selle probleemi lahendamine nõuab lisaks juhuslike külgetõmbefunktsioonide aparaadile ka teisi distsipliine ja seda selles raamatus ei käsitleta.

Juhusliku funktsiooni definitsioon

Juhuslik funktsioon nimetatakse mittejuhusliku argumendi funktsiooniks t, mis argumendi iga fikseeritud väärtuse jaoks on juhuslik suurus. Juhuslikud argumentide funktsioonid t märgitud suurtähtedega X(t), Y(t) jne.

Näiteks kui U- juhuslik muutuja, seejärel funktsioon X(!)=C U – juhuslik. Tõepoolest, iga argumendi fikseeritud väärtuse jaoks on see funktsioon juhuslik muutuja: for t ( = 2

saame juhusliku muutuja X x = AU juures t 2= 1,5 - juhuslik suurus X 2 = 2,25 U jne.

Edasise esitluse lühiduse huvides tutvustame jaotise mõistet.

jaotis Juhuslik funktsioon on juhuslik suurus, mis vastab juhusliku funktsiooni argumendi fikseeritud väärtusele. Näiteks juhusliku funktsiooni jaoks X(t) = t 2 U,ülaltoodud argumendi väärtustega 7, = 2 ja t 2= 1,5 saadi vastavalt juhuslikud muutujad X ( = AUn X 2 = 2.2577, mis on antud juhusliku funktsiooni sektsioonid.

Seega võib juhuslikku funktsiooni vaadelda kui juhuslike muutujate kogumit (X(?)), olenevalt parameetrist t. Juhusliku funktsiooni teine ​​tõlgendus on võimalik, kui tutvustame selle rakendamise kontseptsiooni.

Rakendamine (trajektoor, selektiivne funktsioon) juhuslik funktsioon X(t) kutsuda mittejuhusliku argumendi funktsiooni t, millega võrdseks võib testi tulemusena osutuda juhuslik funktsioon.

Seega, kui katses vaadeldakse juhuslikku funktsiooni, siis tegelikkuses vaadeldakse selle üht võimalikku teostust; Ilmselgelt täheldatakse katset korrates teistsugust teostust.

Funktsioonide juurutused X(t) tähistatakse väiketähtedega x t (t) t x 2 (t) jne, kus indeks näitab testi numbrit. Näiteks kui X(t)= (/sin t, Kus U- pidev juhuslik muutuja, mis sai esimeses testis võimaliku väärtuse ja (= 3 ja teises katses ja 2 = 4.6, seejärel teostused X(t) on vastavalt mittejuhuslikud funktsioonid X ( (t) = 3 patt t Ja x 2 (t) = 4.6sin t.

Seega võib juhuslikku funktsiooni pidada selle võimalike rakenduste kogumiks.

Juhuslik (stohhastiline) protsessi kutsuge välja juhusliku argumendi funktsiooni t, mida tõlgendatakse kui aega. Näiteks kui lennuk peab lendama etteantud konstantse kiirusega, siis tegelikkuses juhuslike tegurite (temperatuurikõikumised, tuule tugevuse muutused jne) mõjul, mille mõjuga ei ole võimalik ette arvestada, kiirus muutub. Selles näites on lennuki kiirus pidevalt muutuva argumendi (aja) juhuslik funktsioon, st. kiirus on juhuslik protsess.

Pange tähele, et kui juhusliku funktsiooni argument muutub diskreetselt, moodustuvad juhusliku funktsiooni vastavad väärtused (juhuslikud muutujad). juhuslik järjestus.

Juhusliku funktsiooni argumendiks ei saa olla ainult aeg. Näiteks kui kudumisniidi läbimõõtu mõõdetakse piki selle pikkust, siis juhuslike tegurite mõjul niidi läbimõõt muutub. Selles näites on läbimõõt pidevalt muutuva argumendi (keerme pikkuse) juhuslik funktsioon.

Ilmselgelt on juhuslikku funktsiooni üldiselt võimatu analüütiliselt (valemiga) defineerida. Erijuhtudel, kui juhusliku funktsiooni kuju on teada ja selle defineerivateks parameetriteks on juhuslikud muutujad, saab seda analüütiliselt täpsustada. Näiteks on juhuslikud funktsioonid:

X(t)= sin Qf, kus Q on juhuslik suurus,

X(t)= G/sin t, Kus U- juhuslik väärtus,

X(t) = G/sin Qt, kus KOHTA. ja )