Paraboolivõrrandi tuletamine. Parabool - ruutfunktsiooni omadused ja graafik

Kogu selles peatükis eeldatakse, et tasapinnas on valitud teatud skaala (milles asuvad kõik allpool vaadeldavad arvud); Arvesse võetakse ainult selle mõõtkavaga ristkülikukujulisi koordinaatsüsteeme.

§ 1. Parabool

Parabool on lugejale teada alates koolikursus matemaatika kui kõver, mis on funktsiooni graafik

(joonis 76). (1)

Mis tahes ruuttrinoomi graafik

on ka parabool; on võimalik lihtsalt koordinaatsüsteemi nihutades (mingi vektori OO võrra), st teisendades

veenduge, et funktsiooni graafik (teises koordinaatsüsteemis) langeb kokku graafikuga (2) (esimeses koordinaatsüsteemis).

Tegelikult asendame (3) võrdsusega (2). Saame

Soovime valida nii, et selle võrdsuse paremal küljel oleva polünoomi koefitsient ja vaba liige (suhtes ) on võrdsed nulliga. Selleks määrame võrrandist

mis annab

Nüüd määrame tingimuse järgi

millesse asendame juba leitud väärtuse. Saame

Niisiis, nihke (3) abil, milles

liikusime üle uuele koordinaatsüsteemile, milles parabooli (2) võrrand sai kuju

(joonis 77).

Tuleme tagasi võrrandi (1) juurde. See võib olla parabooli määratlus. Tuletagem meelde selle lihtsamaid omadusi. Kõveral on sümmeetriatelg: kui punkt rahuldab võrrandit (1), siis punktiga M ordinaattelje suhtes sümmeetriline punkt rahuldab ka võrrandit (1) - kõver on ordinaattelje suhtes sümmeetriline (joonis 76). .

Kui , siis parabool (1) asub ülemises pooltasandis, millel on abstsissteljega üks ühine punkt O.

Abstsissi absoluutväärtuse piiramatu suurenemisega suureneb ka ordinaat piiramatult. Üldine vorm anna kõver joonisel fig. 76, a.

Kui (joon. 76, b), siis kõver paikneb alumisel pooltasandil sümmeetriliselt abstsisstelje suhtes kõvera suhtes.

Kui minna üle uuele koordinaatsüsteemile, mis on saadud vanast, asendades ordinaattelje positiivse suuna vastupidise suunaga, siis parabool, mille vanas süsteemis on võrrand y, saab uues võrrandi y. koordinaatsüsteem. Seetõttu võime paraboolide uurimisel piirduda võrranditega (1), milles .

Muutkem lõpuks telgede nimed ära, st läheme üle uuele koordinaatsüsteemile, milles ordinaatteljeks saab vana abstsisstelge ja abstsissteljeks vana ordinaattelg. Selles uues süsteemis kirjutatakse võrrand (1) kujul

Või kui number on tähistatud , siis kujul

Võrrandit (4) nimetatakse analüütilises geomeetrias parabooli kanooniliseks võrrandiks; ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi, milles antud paraboolil on võrrand (4), nimetatakse kanooniliseks koordinaatsüsteemiks (selle parabooli jaoks).

Nüüd paigaldame geomeetriline tähendus koefitsient Selleks võtame punkti

nimetatakse parabooli fookuseks (4) ja sirgjooneks d, mis on määratletud võrrandiga

Seda joont nimetatakse parabooli (4) otsejooneks (vt joonis 78).

Laskma olema suvaline punkt parabool (4). Võrrandist (4) järeldub, et seetõttu on punkti M kaugus suunast d arv

Punkti M kaugus fookusest F on

Aga järelikult

Seega on kõik parabooli punktid M selle fookusest ja suunast võrdsel kaugusel:

Ja vastupidi, iga punkt M, mis vastab tingimusele (8), asub paraboolil (4).

Tõepoolest,

Seega

ja pärast sulgude avamist ja sarnaste terminite toomist,

Oleme tõestanud, et iga parabool (4) on fookusest F ja selle parabooli suunast d võrdsel kaugusel asuvate punktide asukoht.

Samal ajal oleme tuvastanud võrrandis (4) oleva koefitsiendi geomeetrilise tähenduse: arv võrdub fookuse ja parabooli suuna vahelise kaugusega.

Oletame nüüd, et punkt F ja sirge d, mis seda punkti ei läbi, on antud tasapinnal suvaliselt. Tõestame, et on olemas parabool fookusega F ja suunaga d.

Selleks tõmmake joon g läbi punkti F (joonis 79), mis on risti sirgega d; tähistame mõlema sirge lõikepunkti tähega D; kaugust (st punkti F ja sirge d vaheline kaugus) tähistatakse .

Pöörame sirge g teljeks, võttes sellel oleva suuna DF positiivseks. Teeme selle telje ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi abstsissteljeks, mille alguspunkt on lõigu keskmine O

Siis saab ka sirge d võrrandi .

Nüüd saame kirjutada parabooli kanoonilise võrrandi valitud koordinaatsüsteemi:

kus punkt F on fookus ja sirge d on parabooli (4) suund.

Eespool tegime kindlaks, et parabool on punktist F ja sirgest d võrdsel kaugusel olevate punktide M asukoht. Seega saame anda sellise parabooli geomeetrilise (st mis tahes koordinaatsüsteemist sõltumatu) määratluse.

Definitsioon. Parabool on mõnest võrdsel kaugusel asuvate punktide asukoht fikseeritud punkt(parabooli "fookus") ja mõni fikseeritud joon (parabooli "suund").

Tähistades fookuse ja parabooli suuna vahelist kaugust väärtusega , leiame alati ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi, mis on antud parabooli jaoks kanooniline, st sellise, kus parabooli võrrandil on kanooniline kuju:

Ja vastupidi, iga kõver, millel on selline võrrand mõnes ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis, on parabool (äsja loodud geomeetrilises mõttes).

Fookuse ja parabooli suuna vahelist kaugust nimetatakse fookusparameetriks või lihtsalt parabooli parameetriks.

Sirget, mis läbib fookuse risti parabooli suunaga, nimetatakse selle fookusteljeks (või lihtsalt teljeks); see on parabooli sümmeetriatelg - see tuleneb sellest, et parabooli telg on koordinaatsüsteemis abstsisstelg, mille suhtes parabooli võrrand on kujul (4).

Kui punkt rahuldab võrrandit (4), siis abstsisstelje suhtes punktiga M sümmeetriline punkt rahuldab ka seda võrrandit.

Parabooli ja tema telje lõikepunkti nimetatakse parabooli tipuks; see on antud parabooli kanoonilise koordinaatsüsteemi alguspunkt.

Anname parabooli parameetri veel ühe geomeetrilise tõlgenduse.

Tõmbame sirge läbi parabooli fookuse, mis on risti parabooli teljega; see lõikub parabooliga kahes punktis (vt joonis 79) ja määrab parabooli nn fookusakordi (st kõõlu, mis läbib fookust paralleelselt parabooli suunaga). Pool fookusnööri pikkusest on parabooli parameeter.

Tegelikult on pool fookusakordi pikkusest ükskõik millise punkti ordinaadi absoluutväärtus, millest igaühe abstsiss on võrdne fookuse abstsissiga, s.o. Seega iga punkti ordinaat, mis meil on

Q.E.D.

Ülesanne nr 1. Määrake fookuste koordinaadid ja koostage parabooli suundvõrrand

Võrreldes seda võrrandit võrrandiga
, leiame, et 2p=4, kust . Nii et point
- parabooli fookused ja sirgjoon
, st x=-1 või x+1=0 on selle suund.

Vastus: (1;0)

Ülesanne nr 2. Algpunktis oleva tipuga parabooli fookused asuvad punktis F(0;-4). Kirjutage selle parabooli võrrand.

Ülesanne nr 3. Algpunktis oleva tipuga parabooli suund on sirge 2x+5=0

Kirjutage võrrand ja leidke parabooli fookuse koordinaadid.

R
Lahendus: Kuna parabooli suund, mille tipp on alguspunktis, on sirge 2x+5=0 või
, siis on selle fookuses koordinaadid

, seega on soovitud kõver sümmeetriline Ox telje suhtes F( )
ja selle harud on suunatud paremale (fookuse abstsiss on positiivne). Seetõttu on parabooli võrrandil vorm

Sest
See
ja parabooli võrrand on järgmine:
, ja selle fookuse koordinaadid on F(2,5;0)

Vastus:
; F(2,5;0)

Ülesanne nr 4. Kirjutage Oy telje suhtes sümmeetrilise parabooli võrrand, mille keskpunkt asub koordinaatsüsteemi alguspunktis, kui see läbib punkti B(1;-2).

Kuna parabool on sümmeetriline Oy telje suhtes ja sellel on koordinaatsüsteemi alguspunktis tipp, on selle võrrandil järgmine kuju
. Kuna punkt B(1;-2) asub paraboolil, rahuldavad selle koordinaadid paraboolid, s.t.
,

Kus
, ning seetõttu
- parabooli võrrand.

Vastus:

Ülesanne nr 5. Leidke 24 m pikkuse silla kaare kõrgus, kui kaarel on parabooli kuju, mille võrrand on

Visandame parabooli
Descartes'i ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis. Tähistame h-ga silla kõrgust ja tähega =24 - sillakaare pikkus. Seejärel A(12;-h) P:
.

T
kuidas punkt A kuulub paraboolile
, siis vastavad selle koordinaadid parabooli võrrandile. See võimaldab asendada paraboolvõrrandis antud punkti koordinaadid praeguste koordinaatide (x;y) asemel. Siis on meil

Niisiis, sillakaare kõrgus on 3 m.

Ülesanne nr 6. Horisondi tasapinnaga nurga all olev veejuga tõuseb 2 m kõrgusele ja langeb 12 m kaugusele vooliku otsast. Leidke joa paraboolne trajektoor.

Lahendus: Seostame joa parabooltrajektoori ristkülikukujulise koordinaatsüsteemiga nii, et paraboolne trajektoor on Oy telje suhtes sümmeetriline, harud on suunatud allapoole ja selle tipp asub koordinaatide alguspunktis.

Siis on sellise paraboolse trajektoori võrrandil kuju
, punkt A(6;-2) P:
Seetõttu vastavad selle koordinaadid parabooli võrrandile. Punkti A koordinaatide asendamine parabooli praeguste x ja y koordinaatide asemel
, annab võrdsuse

. Seega
- joa paraboolse trajektoori võrrand.

Vastus:

Otsustage ise:

Ülesanne nr 7. Helkuri ristlõige helkuri telge läbiva tasapinna järgi on parabool. Kirjutage selle võrrand, kui helkuri laius on 30 cm ja sügavus 20 cm (helkuri telg langeb kokku härja teljega)

Vastus:

Ülesanne nr 8. Maa pinnal olevast august voolab vesi välja parabooli haru kujutava ojana
. Millisele kaugusele paagi servast langeb oja maapinnale, kui augu kõrgus

Vastus: 3 m.

Ülesanne nr 9. Paraboolpeegli telglõik on parabool

Määrake peegli läbimõõt, kui selle "sügavus" on 18,75 cm.

Vastus: 30 cm.

Ülesanne nr 10. Horisondi tasapinna suhtes terava nurga all visatud kivi saavutas maksimaalse kõrguse 16 m. Kirjeldades paraboolset trajektoori, kukkus kivi viskepunktist 48 m kaugusele. Leidke kivi trajektoor.

Vastus:
.

Ülesanne nr 11 Leia parabool, mille tipp on algpunktis, kui selle fookus asub punktis a) F(3;0); b) F(-2;0); c) F(0;4); d) F(0;-)

Vastus: a)
; b)
; V)
; G)

Ülesanne nr 12 Leia paraboolid, mille tipp on alguspunktis, kui on antud suunad: a)
; b)x = -5; c) y = 3; d) y = -2;

Vastus: a)
; b)
; V)
; G)
.

Ülesanne nr 13. Leidke fookuse koordinaadid ja kirjutage iga parabooli jaoks suundvõrrand.

A)
; b)
; V)
; G)
. Ehitage need paraboolid.

Vastus: a) F(2;0); x+2=0; b) F(-3;0); x-3=0; c) F(0;); 2a+5=0

d) F(0;-4); x-4=0

Ülesanne nr 14. Kontrollige, kas punktid A(2;-2) ja B(1;2) asuvad paraboolil

Vastus: A on, B ei ole.

Ülesanne nr 15. Koostage võrrand parabooli jaoks, mille tipp on lähtepunktis, sümmeetriline Ox-telje suhtes ja läbib punkti

Vastus:

Ülesanne nr 16. Kirjutage algpunktis oleva tipuga parabooli võrrand, kui:

A) parabool asub ülemisel pooltasandil ordinaattelje suhtes sümmeetriliselt ja selle fookusparameeter on 4;

B) parabool asub alumisel pooltasandil sümmeetriliselt ordinaattelje suhtes ja selle fookusparameeter on võrdne 6-ga;

B) parabool asub ordinaattelje suhtes sümmeetriliselt paremal pooltasandil ja selle fookusparameeter on võrdne 3-ga;

d) parabool asub vasakpoolsel pooltasandil sümmeetriliselt ordinaattelje suhtes ja selle fookusparameeter on võrdne 5-ga.

Vastus a)
; b)
; V)
; G)
.

Pakun, et ülejäänud lugejad laiendaksid oluliselt oma kooliteadmisi paraboolide ja hüperboolide kohta. Hüperbool ja parabool – kas need on lihtsad? ...ei jõua ära oodata =)

Hüperbool ja selle kanooniline võrrand

Materjali esituse üldine ülesehitus sarnaneb eelmisele lõigule. Alustame sellest üldine kontseptsioon hüperboolid ja selle ehitamise probleemid.

Hüperbooli kanoonilisel võrrandil on vorm , kus on positiivsed reaalarvud. Pange tähele, et erinevalt ellips, tingimust siin ei kehtestata, see tähendab, et väärtus "a" võib olla väärtusest väiksem"bae".

Pean ütlema, et üsna ootamatult... "kooli" hüperbooli võrrand ei sarnane isegi kanoonilise tähistusega. Kuid see mõistatus peab meid veel ootama, kuid nüüd kratsigem kukalt ja meenutagem, mis iseloomulikud tunnused kas kõnealusel kõveral on? Laotame selle oma kujutlusvõime ekraanile funktsiooni graafik ….

Hüperboolil on kaks sümmeetrilist haru.

Pole paha edu! Igal hüperboolil on need omadused ja nüüd vaatame tõelise imetlusega selle joone kaelust:

Näide 4

Koostage võrrandiga antud hüperbool

Lahendus: esimeses etapis viime selle võrrandi kanoonilisele kujule. Pidage meeles standardprotseduuri. Paremal peate saama "ühe", nii et jagame algse võrrandi mõlemad pooled 20-ga:

Siin saate mõlemat fraktsiooni vähendada, kuid optimaalsem on teha igaüks neist kolmekorruseline:

Ja alles pärast seda tehke vähendamine:

Valige nimetajates ruudud:

Miks on niimoodi transformatsioone parem läbi viia? Vasakul pool olevaid fraktsioone saab ju kohe vähendada ja saada. Fakt on see, et vaadeldavas näites meil veidi vedas: arv 20 jagub nii 4 kui 5-ga. Üldjuhul selline arv ei tööta. Mõelge näiteks võrrandile . Siin on jagatavusega kõik kurvem ja ilma kolmekorruselised murded pole enam võimalik:

Niisiis, kasutame oma töö vilja – kanoonilist võrrandit:

Kuidas konstrueerida hüperbooli?

Hüperbooli konstrueerimiseks on kaks lähenemisviisi – geomeetriline ja algebraline.
Praktilise poole pealt kompassiga joonistamine... ütleks isegi, et utoopiline, nii et palju tulusam on taaskord appi võtta lihtsad arvutused.

Soovitatav on järgida järgmist algoritmi, kõigepealt valmis joonis, seejärel kommentaarid:

Praktikas esineb sageli suvalise nurga võrra pööramise ja hüperbooli paralleelse translatsiooni kombinatsiooni. See olukord klassis arutatud 2. järku joone võrrandi taandamine kanoonilisele kujule.

Parabool ja selle kanooniline võrrand

See on lõpetatud! Ta on see. Valmis paljastama palju saladusi. Parabooli kanoonilisel võrrandil on vorm , kus on reaalarv. Lihtne on märgata, et standardasendis parabool “lebab külili” ja selle tipp on algpunktis. Sel juhul määrab funktsioon selle rea ülemise haru ja funktsioon alumise haru. On ilmne, et parabool on telje suhtes sümmeetriline. Tegelikult, milleks vaeva näha:

Näide 6

Ehitage parabool

Lahendus: tipp on teada, leiame lisapunkte. Võrrand määrab parabooli ülemise kaare, võrrand määrab alumise kaare.

Arvutuste salvestamise lühendamiseks teostame arvutused “ühe harjaga”:

Kompaktse salvestamise jaoks võiks tulemused kokku võtta tabelis.

Enne elementaarse punkt-punkti joonise sooritamist sõnastagem range

parabooli määratlus:

Parabool on kõigi tasandi punktide hulk, mis on võrdsel kaugusel antud punktist ja antud sirgest, mis punkti ei läbi.

Punkti nimetatakse keskenduda paraboolid, sirgjoon - koolijuhataja (kirjutatud ühe "es"-ga) paraboolid. Kanoonilise võrrandi konstantset "pe" nimetatakse fookusparameeter, mis on võrdne kaugusega fookusest otsesuunani. Sel juhul . Sel juhul on fookuses koordinaadid ja suund on antud võrrandiga .
Meie näites:

Parabooli määratlust on veelgi lihtsam mõista kui ellipsi ja hüperbooli määratlusi. Parabooli mis tahes punkti puhul on lõigu pikkus (kaugus fookusest punktini) võrdne risti pikkusega (kaugus punktist suunani):

Palju õnne! Paljud teist on täna teinud tõelise avastuse. Selgub, et hüperbool ja parabool pole üldse “tavaliste” funktsioonide graafikud, vaid neil on selgelt väljendunud geomeetriline päritolu.

Ilmselgelt tõusevad graafiku oksad fookusparameetri suurenedes üles ja alla, lähenedes teljele lõpmatult lähedale. Kui “pe” väärtus väheneb, hakkavad need piki telge kokku suruma ja venima

Mis tahes parabooli ekstsentrilisus võrdub ühtsusega:

Parabooli pöörlemine ja paralleeltõlge

Parabool on matemaatikas üks levinumaid jooni ja peate seda sageli ehitama. Seetõttu pöörake erilist tähelepanu õppetunni viimasele lõigule, kus käsitlen selle kõvera asukoha tüüpilisi võimalusi.

! Märge : nagu eelmiste kõverate puhul, on õigem rääkida rotatsioonist ja koordinaatide telgede paralleeltõlkest, kuid autor piirdub esitluse lihtsustatud versiooniga, et lugejal oleks nendest teisendustest elementaarne arusaam.

Tõenäoliselt teavad kõik, mis on parabool. Kuid me vaatame allpool, kuidas seda õigesti ja asjatundlikult kasutada erinevate praktiliste probleemide lahendamisel.

Kõigepealt kirjeldame põhimõisteid, mille algebra ja geomeetria sellele terminile annavad. Vaatleme selle graafiku kõiki võimalikke tüüpe.

Uurime välja kõik selle funktsiooni peamised omadused. Saame aru kõvera ehitamise (geomeetria) põhitõdedest. Õppime, kuidas leida seda tüüpi graafiku tippväärtusi ja muid põhiväärtusi.

Uurime välja: kuidas soovitud kõverat võrrandi abil õigesti konstrueerida, millele peate tähelepanu pöörama. Vaatame põhitõdesid praktiline kasutamine see ainulaadne väärtus inimelus.

Mis on parabool ja kuidas see välja näeb?

Algebra: see termin viitab graafikule ruutfunktsioon.

Geomeetria: see on teist järku kõver, millel on mitmeid spetsiifilisi omadusi:

Kanooniline parabooli võrrand

Joonisel on ristkülikukujuline koordinaatsüsteem (XOY), ekstreemum, funktsiooni harude suund, mis on joonistatud piki abstsisstelge.

Kanooniline võrrand on järgmine:

y 2 = 2 * p * x,

kus koefitsient p on parabooli (AF) fookusparameeter.

Algebras kirjutatakse see erinevalt:

y = a x 2 + b x + c (äratuntav muster: y = x 2).

Ruutfunktsiooni omadused ja graafik

Funktsioonil on sümmeetriatelg ja keskpunkt (äärmus). Määratluspiirkond on kõik abstsisstelje väärtused.

Funktsiooni väärtuste vahemik – (-∞, M) või (M, +∞) sõltub kõvera harude suunast. Parameeter M tähendab siin rea ülaosas oleva funktsiooni väärtust.

Kuidas teha kindlaks, kuhu on suunatud parabooli harud

Seda tüüpi kõvera suuna leidmiseks avaldisest peate määrama algebralise avaldise esimese parameetri ees oleva märgi. Kui a ˃ 0, siis on need suunatud ülespoole. Kui see on vastupidi, siis alla.

Kuidas leida valemi abil parabooli tipp

Ekstreemumi leidmine on paljude praktiliste probleemide lahendamise peamine samm. Muidugi saate avada spetsiaalse Interneti-kalkulaatorid, kuid parem on seda ise teha.

Kuidas seda kindlaks teha? On olemas spetsiaalne valem. Kui b ei ole võrdne 0-ga, peame otsima selle punkti koordinaate.

Valemid tipu leidmiseks:

x0 = -b/(2*a);
y 0 = y (x 0).

Näide.

On olemas funktsioon y = 4 * x 2 + 16 * x – 25. Leiame selle funktsiooni tipud.

Sellise rea jaoks:

x = -16 / (2 * 4) = -2;
y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Saame tipu koordinaadid (-2, -41).

Parabooli nihe

Klassikaline juhtum on see, kui ruutfunktsioonis y = a x 2 + b x + c on teine ja kolmas parameeter võrdsed 0-ga ja = 1 - tipp asub punktis (0; 0).

Liikumine mööda abstsissi või ordinaattelge on tingitud vastavalt parameetrite b ja c muutustest. Tasapinnal olevat joont nihutatakse täpselt parameetri väärtusega võrdse ühikute arvu võrra.

Näide.

Meil on: b = 2, c = 3.

See tähendab, et kõvera klassikaline vorm nihkub piki abstsisstellge 2 ühiku võrra ja ordinaattelge 3 ühiku võrra.

Kuidas ehitada ruutvõrrandi abil parabooli

Koolilastel on oluline õppida etteantud parameetrite abil parabooli õigesti joonistama.

Avaldiste ja võrrandite analüüsimisel näete järgmist.

Soovitud sirge ja ordinaatvektori lõikepunktil on väärtus võrdne väärtusega Koos.
Kõik graafiku punktid (piki x-telge) on funktsiooni peamise ekstreemumi suhtes sümmeetrilised.

Lisaks saab OX-iga ristumispunkte leida, teades sellise funktsiooni diskriminanti (D):

D = (b 2 - 4 * a * c).

Selleks peate avaldise võrdsustama nulliga.

Parabooli juurte olemasolu sõltub tulemusest:

D ˃ 0, siis x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
D = 0, siis x 1, 2 = -b / (2 * a);
D ˂ 0, siis puuduvad lõikepunktid vektoriga OX.

Saame parabooli koostamise algoritmi:

määrata okste suund;
leida tipu koordinaadid;
leida ristumiskoht ordinaatteljega;
leida ristumiskoht x-teljega.

Näide 1.

Antud funktsioon y = x 2 - 5 * x + 4. Vaja on konstrueerida parabool. Järgime algoritmi:

a = 1, seega on oksad suunatud ülespoole;
äärmuslikud koordinaadid: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2-5 * (5/2) + 4 = -15/4;
lõikub ordinaatteljega väärtusel y = 4;
leiame diskriminandi: D = 25 - 16 = 9;
otsin juuri:

X 1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
X2 = (5-3) / 2 = 1; (10).

Näide 2.

Funktsiooni y = 3 * x 2 - 2 * x - 1 jaoks peate konstrueerima parabooli. Tegutseme antud algoritmi järgi:

a = 3, seega on oksad suunatud ülespoole;
äärmuslikud koordinaadid: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
lõikub y-teljega väärtusel y = -1;
leiame diskriminandi: D = 4 + 12 = 16. Nii et juured on:

X 1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
X2 = (2-4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

Saadud punktide abil saate konstrueerida parabooli.

Parabooli suund, ekstsentrilisus, fookus

Kanoonilise võrrandi põhjal on F-i fookusel koordinaadid (p/2, 0).

Sirge AB on suund (teatud pikkusega parabooli akord). Selle võrrand on x = -p/2.

Ekstsentrilisus (konstant) = 1.

Järeldus

Vaatasime teemat, mida koolilapsed õpivad Keskkool. Nüüd teate parabooli ruutfunktsiooni vaadates, kuidas leida selle tipp, millises suunas oksad suunatakse, kas piki telge on nihkunud ja konstrueerimisalgoritmi olemasolul saate joonistada selle graafiku.

Loengud algebrast ja geomeetriast. 1. semester.

Loeng 17. Parabool.

Peatükk 17. Parabool.

punkt 1. Põhimääratlused.

Definitsioon. Parabool on tasapinna GMT, mis on võrdsel kaugusel tasapinna ühest fikseeritud punktist, mida nimetatakse fookuseks, ja ühest fikseeritud joonest, mida nimetatakse otsejooneks.

Definitsioon. Kaugust tasapinna suvalisest punktist M parabooli fookuseni nimetatakse punkti M fookusraadiuseks.

Tähised: F – parabooli fookus, r – fookusraadius punktid M,d– kaugus punktist M kuni suund D.

Parabooli definitsiooni järgi on punkt M parabooli punkt siis ja ainult siis
.

Parabooli definitsiooni järgi on selle fookus ja suund fikseeritud objektid, seetõttu on kaugus fookusest suunani antud parabooli jaoks konstantne väärtus.

Definitsioon. Kaugust parabooli fookusest selle suunani nimetatakse parabooli fookusparameetriks.

Määramine:
.

Tutvustame sellel tasapinnal koordinaatide süsteemi, mida nimetame parabooli jaoks kanooniliseks.

Definitsioon. Telge, mis on tõmmatud läbi parabooli fookuse suunaga risti, nimetatakse parabooli fookusteljeks.

Koostame parabooli jaoks kanoonilise PDSC, vt joonis 2.

Abstsissteljeks valime fookustelje, mille suuna valime suundumusest fookusesse.

Ordinaattelg tõmmatakse läbi segmendi FN keskosa, mis on fookusteljega risti. Siis on fookuses koordinaadid
.

punkt 2. Parabooli kanooniline võrrand.

Teoreem. Parabooli kanoonilises koordinaatsüsteemis on parabooli võrrand järgmine:

. (1)

Tõestus. Tõestust teostame kahes etapis. Esimeses etapis tõestame, et mis tahes paraboolil asuva punkti koordinaadid vastavad võrrandile (1). Teises etapis tõestame, et iga võrrandi (1) lahend annab paraboolil asuva punkti koordinaadid. Sellest järeldub, et võrrand (1) on täidetud nende ja ainult nende koordinaattasandi punktide koordinaatidega, mis asuvad paraboolil.

Sellest ja kõvera võrrandi definitsioonist järeldub, et võrrand (1) on parabooli võrrand.

1) Olgu punkt M(x, y) parabooli punkt, s.o.

Kasutame koordinaattasandil kahe punkti vahelise kauguse valemit ja selle valemi abil antud punkti M fookusraadiuse leidmiseks:

Jooniselt 2 näeme, et paraboolpunktil ei saa olla negatiivne abstsiss, sest sel juhul
. Sellepärast
Ja
. Siit saame võrdsuse

Tõstame võrrandi mõlemad pooled ruutu:

ja pärast vähendamist saame:

2) Olgu nüüd, et arvupaar (x, y) täidab võrrandi (1) ja M(x, y) on vastav punkt koordinaattasandil Oxy.

Seejärel asendame punkti M fookusraadiuse avaldises võrdsuse (1):

, millest parabooli definitsiooni järgi järeldub, et punkt M(x, y) asub paraboolil.

Siin kasutasime ära asjaolu, et võrdsusest (1) järeldub, et
ning seetõttu
.

Teoreem on tõestatud.

Definitsioon. Võrrandit (1) nimetatakse kanooniliseks paraboolvõrrandiks.

Definitsioon. Parabooli kanoonilise koordinaatsüsteemi alguspunkti nimetatakse parabooli tipuks.

punkt 3. Parabooli omadused.

Teoreem. (Parabooli omadused.)

1. Koordinaadisüsteemis kanooniline parabooli jaoks, ribas

paraboolpunkte pole.

2. Parabooli kanoonilises koordinaatsüsteemis asub parabooli O(0; 0) tipp paraboolil.

3. Parabool on fookustelje suhtes sümmeetriline kõver.

Tõestus. 1, 2) Tuleneb kohe kanoonilisest parabooli võrrandist.

3) Olgu M(x, y) parabooli suvaline punkt. Siis vastavad selle koordinaadid võrrandile (1). Aga siis punkti koordinaadid
rahuldavad ka võrrandit (1) ja seetõttu on see punkt ka parabooli punkt, millest tuleneb teoreemi väide.

Teoreem on tõestatud.

punkt 4. Parabooli ehitamine.

Sümmeetria tõttu piisab, kui konstrueerida esimesel veerandil parabool, kus see on funktsiooni graafik

ja seejärel kuvage saadud graafik sümmeetriliselt x-telje suhtes.

Koostame selle funktsiooni graafiku, võttes arvesse, et see funktsioon intervalliga suureneb
.

punkt 5. Hüperbooli fookusparameeter.

Teoreem. Parabooli fookusparameeter võrdub selle sümmeetriateljega risti oleva joone pikkusega, mis on taastatud parabooli fookuses enne parabooliga ristumist.

Tõestus. Alates punktist
on parabooli lõikepunkt
ristiga
(vt joonis 3), siis vastavad selle koordinaadid parabooli võrrandile:

Siit leiame
, millest tuleneb teoreemi väide.

Teoreem on tõestatud.

punkt 6. Ellipsi, hüperbooli ja parabooli ühtne määratlus.

Kasutades ellipsi ja hüperbooli tõestatud omadusi ning parabooli määratlust, saame anda kõigi kolme kõvera jaoks ühe definitsiooni.

Definitsioon. HMT tasapindu, mille kauguse ja tasandi ühe fikseeritud punkti, mida nimetatakse fookuseks, ja kauguse kaugusest ühe fikseeritud sirgjooneni, mida nimetatakse otsejooneks, suhe on konstantne väärtus, nimetatakse:

a) ellips, kui see konstant on väiksem kui 1;

b) hüperbool, kui see konstant on suurem kui 1;

c) parabool, kui see konstant on võrdne 1-ga.

Seda definitsioonis viidatud konstantset väärtust nimetatakse ekstsentrilisuseks ja see tähistatakse , kaugus antud punktist fookuseni on selle fookusraadius r, kaugus antud punktist suunani on tähistatud tähega d.

Definitsioonist järeldub, et need tasandi punktid, mille jaoks seos on konstantne suurus, mis moodustab ellipsi, hüperbooli või parabooli, olenevalt selle suhte suurusest.

Kui
, siis saame ellipsi kui
, siis saame hüperbooli kui
, siis saame parabooli.

punkt 7. Parabooli puutuja.

Teoreem. Lase
– parabooli suvaline punkt

Siis on selle parabooli puutuja võrrand

punktis
on kujul:

. (2)

Tõestus. Piisab, kui arvestada juhtumiga, kui kokkupuutepunkt asub esimeses kvartalis. Siis näeb parabooli võrrand välja järgmine:

ja seda võib pidada funktsiooni graafikuks
.

Kasutame funktsiooni graafiku puutujavõrrandit
punktis
:

Kus
– antud funktsiooni tuletise väärtus punktis
.

Leiame funktsiooni tuletise
ja selle väärtus kokkupuutepunktis:

,
.

Siin kasutasime ära asjaolu, et puutujapunkt
on parabooli punkt ja seetõttu rahuldavad selle koordinaadid parabooli võrrandit, s.t.

Asendame leitud tuletisväärtuse puutuja võrrandiga:

kust me saame:

Alates punktist
kuulub paraboolile, siis tema koordinaadid rahuldavad tema võrrandit, s.t.
, kust me jõuame

või
.

see tähendab

Teoreem on tõestatud.

punkt 8. Parabooli peegelomadus.

Teoreem. Parabooli puutuja moodustab oma sümmeetriatelje ja puutepunkti fookusraadiusega võrdsed nurgad.

Tõestus. Lase
- kontaktpunkt, - selle fookusraadius. Tähistame N-ga puutuja ja abstsisstelje lõikepunkti. Punkti N ordinaat on võrdne nulliga ja punkt N asub puutujal, seetõttu vastavad selle koordinaadid puutuja võrrandile. Asendades punkti N koordinaadid puutuja võrrandisse, saame:

kust punkti N abstsiss on võrdne
.

Kaaluge kolmnurka
. Tõestame, et see on võrdhaarne.

Tõesti,
. Siin kasutasime kanoonilise parabooli võrrandi tuletamisel saadud võrdsust:

Võrdhaarses kolmnurgas on aluse nurgad võrdsed. Siit

, jne.

Teoreem on tõestatud.

Kommenteeri. Tõestatud teoreemi saab sõnastada parabooli peegelomaduse kujul.

Parabooli fookusest vabanev valguskiir läheb pärast peegeldumist parabooli peeglist paralleelselt parabooli sümmeetriateljega.

Tõepoolest, kuna kiirte langemisnurk puutujale on võrdne sellest peegeldumisnurgaga, on puutuja ja peegeldunud kiire vaheline nurk võrdne puutuja ja abstsisstelje vahelise nurgaga, mis tähendab, et peegeldunud kiir kiir on paralleelne abstsissteljega.

Kommenteeri. Seda parabooli omadust on tehnoloogias laialdaselt kasutatud. Kui parabooli pöörata ümber oma sümmeetriatelje, saame pinna, mida nimetatakse pöördeparaboloidiks. Kui teha peegelduspind pöördeparaboloidi kujul ja asetada fookusesse valgusallikas, siis peegelduvad kiired paralleelselt paraboloidi sümmeetriateljega. Nii kujundatakse prožektorid ja auto esituled. Kui fookusesse asetada elektromagnetilisi võnkumisi (laineid) vastuvõttev seade, siis need peegelduvad paraboloidi pinnalt ja sisenevad sellesse vastuvõtuseadmesse. Satelliitantennid töötavad sellel põhimõttel.

On legend, et iidsetel aegadel rivistas üks komandör oma sõdalased piki kallast, andes nende formatsioonile parabooli kuju. Päikesevalgus, mis peegeldub sõdalaste säraks poleeritud kilpidelt, koguti kiirtesse (konstrueeritud parabooli fookusesse). Nii põletati vaenlase laevu. Mõned allikad omistavad selle Archimedesele. Ühel või teisel viisil nimetasid araablased pöörlemisparaboloidi "süttivaks peegliks".

Muide, sõna “fookus” on ladina keeles ja tähendab tuld, kolle. "Põleva peegli" abil saate päikesepaistelisel päeval lõket teha ja vett keeta. Nii saab selgeks selle termini päritolu.

Sõna "trikk" tähendab ka mingit trikki või nippi. Varem nimetati tsirkust putkaks. Nii kasutasid farsikunstnikud ka ellipsi peegliomadust ja süüdates valgust ellipsi ühes fookuses, süütasid nad midagi süttivat, mis oli asetatud selle teise fookusesse. Seda vaatemängu hakati kutsuma ka võlutrikiks. (Lugege N.Ya. Vilenkini imelist raamatut “Matemaatikaõpiku lehekülgede taga”)

punkt 9. Ellipsi, hüperbooli ja parabooli polaarvõrrand.

Olgu tasapinnal antud punkt F, mida nimetame fookuseks, ja sirge D, mida nimetame suunaks. Joonistame läbi fookuse sihikuga (fokaalteljega) risti oleva joone ja tutvustame polaarkoordinaatide süsteemi. Asetame pooluse fookusesse ja polaarkiireks võtame selle osa sirgest, mis ei ristu sihiga (vt joonis 5).

Olgu punkt M ellipsil, hüperboolil või paraboolil. Järgnevalt nimetame hüperbooli või parabooli lihtsalt kõveraks.

Teoreem. Lase
– kõvera punkti polaarkoordinaadid (ellips, hüperbool või parabool). Siis

, (3)

kus p on kõvera fookusparameeter, – kõvera ekstsentrilisus (parabooli puhul eeldame
).

Tõestus. Olgu Q punkti M projektsioon kõvera fookusteljele, B – kõvera suunale. Olgu polaarnurk punkt M on nüri, nagu joonisel 5. Siis

kus ehituselt,
– kaugus punktist M sihikuni ja

. (4)

Teisest küljest, vastavalt ellipsi, hüperbooli ja parabooli ühisele määratlusele, suhe

(5)

võrdne vastava kõvera ekstsentrilisusega antud kõvera mis tahes punkti M korral. Olgu punkt
– kõvera lõikepunkt fookusteljega risti, taastatud fookuseks F ja A – selle projektsioon sihikule. Siis