Kuinka laskea monimutkaisten funktioiden derivaatat. Monimutkaisen funktion johdannainen

Tämä oppitunti omistettu aiheelle "Monimutkaisten toimintojen erottaminen. Ongelma matematiikan yhtenäiseen valtionkokeeseen valmistautumisesta." Tämä oppitunti tutkii monimutkaisten toimintojen erottamista toisistaan. Johdannaisista laaditaan taulukko monimutkainen toiminto. Lisäksi tarkastellaan esimerkkiä ongelman ratkaisemisesta matematiikan yhtenäiseen valtionkokeeseen valmistautumisesta.

Aihe: Johdannainen

Oppitunti: Monimutkaisen funktion erottaminen. Harjoitustehtävä matematiikan yhtenäiseen valtionkokeeseen valmistautumiseen

Monimutkainentoiminto olemme jo eronneet, mutta väite oli lineaarinen funktio, nimittäin osaamme erottaa funktion . Esimerkiksi, . Nyt, samalla tavalla, löydämme derivaatat kompleksisesta funktiosta, jossa lineaarisen funktion sijasta voi olla toinen funktio.

Aloitetaan funktiosta

Joten löysimme sinin derivaatan kompleksisesta funktiosta, jossa sinin argumentti oli neliöfunktio.

Jos sinun on löydettävä derivaatan arvo tietystä pisteestä, tämä piste on korvattava löydetyllä derivaatalla.

Näin ollen kahdessa esimerkissä näimme, kuinka sääntö toimii erilaistuminen monimutkainen toimintoja.

2.

3. . Muistutetaan tästä.

7.

8. .

Joten viimeistelemme tässä vaiheessa monimutkaisten funktioiden erottelutaulukon. Lisäksi se tietysti yleistetään vielä enemmän, mutta siirrytään nyt johdannaisen erityisiin ongelmiin.

Yhtenäiseen valtionkokeeseen valmistautumiskäytännössä ehdotetaan seuraavia tehtäviä.

Etsi funktion minimi .

ODZ: .

Etsitään johdannainen. Muistakaamme, .

Yhdistätään derivaatta nollaan. Piste sisältyy ODZ:hen.

Etsitään derivaatan vakiomerkkivälit (funktion monotonisuuden intervallit) (ks. kuva 1).

Riisi. 1. Funktion monotonisuusvälit .

Katsotaan pistettä ja selvitetään, onko se ääripiste. Riittävä merkki ääripäästä on, että derivaatta muuttaa etumerkkiä kulkiessaan pisteen läpi. Tässä tapauksessa derivaatta muuttaa etumerkkiä, mikä tarkoittaa, että se on ääripiste. Koska derivaatta muuttaa etumerkin "-":sta "+", tämä on minimipiste. Etsitään funktion arvo minimipisteestä: . Piirretään kaavio (katso kuva 2).

Kuva 2. Toiminnon ääriarvo .

Aikavälillä - funktio pienenee, päällä - funktio kasvaa, ääripiste on ainutlaatuinen. Pienin arvo funktio hyväksyy vain kohdassa .

Oppitunnilla tarkastelimme monimutkaisten funktioiden eriyttämistä, laatimme taulukon ja tarkastelimme monimutkaisen funktion erottamisen sääntöjä ja annoimme esimerkin johdannaisen käyttämisestä Unified State Exe -valmistelukäytännöstä.

1. Algebra ja analyysin alku, arvosana 10 (kaksiosainen). Oppikirja yleissivistävälle oppilaitokselle ( profiilin taso) toim. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra ja analyysin alku, arvosana 10 (kaksiosainen). Ongelmakirja oppilaitoksille (profiilitaso), toim. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra ja matemaattinen analyysi 10 luokalle ( opetusohjelma koulujen ja luokkien opiskelijoille, jotka opiskelevat syvällisesti matematiikkaa).-M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Algebran ja matemaattisen analyysin syvällinen tutkimus.-M.: Education, 1997.

5. Matemaattisten tehtävien kokoelma korkeakouluihin hakijoille (toimittanut M.I. Skanavi) - M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebrallinen simulaattori.-K.: A.S.K., 1997.

7. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina Algebra ja analyysin alku. 8-11 luokka: Käsikirja kouluille ja luokille, joissa on syvällinen matematiikan opiskelu (didaktiset materiaalit) - M.: Bustard, 2002.

8. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Algebran ja analyysin periaatteiden tehtäviä (käsikirja yleissivistävän oppilaitoksen luokkien 10-11 opiskelijoille) - M.: Prosveshchenie, 2003.

9. Karp A.P. Algebran ja analyysin periaatteiden tehtäväkokoelma: oppikirja. palkka 10-11 luokalle. syvyyden kanssa opiskellut Matematiikka.-M.: Koulutus, 2006.

10. Glazer G.I. Matematiikan historia koulussa. Luokat 9-10 (käsikirja opettajille).-M.: Koulutus, 1983

Muita verkkoresursseja

2. Portaali Luonnontieteet ().

Tee se kotona

Nro 42.2, 42.3 (Algebra ja analyysin alku, arvosana 10 (kaksiosainen). Ongelmakirja yleiskouluille (profiilitaso) toimittanut A. G. Mordkovich. - M.: Mnemosyne, 2007.)

Erittäin helppo muistaa.

No, älkäämme menkö pitkälle, katsotaanpa heti käänteisfunktiota. Mikä funktio on eksponentiaalisen funktion käänteisfunktio? Logaritmi:

Meidän tapauksessamme perusta on numero:

Tällaista logaritmia (eli logaritmia, jossa on kanta) kutsutaan "luonnolliseksi", ja käytämme sille erityistä merkintää: kirjoitamme sen sijaan.

Mihin se vastaa? Tietysti, .

Luonnollisen logaritmin derivaatta on myös hyvin yksinkertainen:

Esimerkkejä:

1. Etsi funktion derivaatta.
2. Mikä on funktion derivaatta?

Vastaukset: Eksponentiaalinen ja luonnollinen logaritmi ovat ainutlaatuisen yksinkertaisia ​​funktioita derivaatan näkökulmasta. Eksponentiaalisilla ja logaritmisilla funktioilla, joilla on jokin muu kanta, on eri derivaatta, jota analysoimme myöhemmin, kun olemme käyneet läpi differentiaatiosäännöt.

Erottamisen säännöt

Mitä säännöt? Taas uusi termi, taas?!...

Erilaistuminen on prosessi johdannaisen löytämiseksi.

Siinä kaikki. Mitä muuta tätä prosessia voi kutsua yhdellä sanalla? Ei derivaatta... Matemaatikot kutsuvat differentiaalia funktion samaksi inkrementiksi at. Tämä termi tulee latinan sanasta differentia - differentia. Tässä.

Kaikkia näitä sääntöjä johdettaessa käytämme kahta funktiota, esimerkiksi ja. Tarvitsemme myös kaavoja niiden lisäyksille:

Sääntöjä on yhteensä 5.

Vakio otetaan pois derivaattamerkistä.

Jos - jotkut vakio numero(jatkuva) siis.

Ilmeisesti tämä sääntö toimii myös eron suhteen: .

Todistetaan se. Olkoon se yksinkertaisempaa.

Esimerkkejä.

Etsi funktioiden derivaatat:

1. jossain kohdassa;
2. jossain kohdassa;
3. jossain kohdassa;
4. pisteessä.

Ratkaisut:

1. (derivaata on sama kaikissa pisteissä, koska se on lineaarinen funktio, muistatko?);

Tuotteen johdannainen

Kaikki on samanlaista täällä: otetaan käyttöön uusi toiminto ja etsitään sen lisäys:

Johdannainen:

Esimerkkejä:

1. Etsi funktioiden ja derivaatat;
2. Etsi funktion derivaatta pisteessä.

Ratkaisut:

Eksponentiaalisen funktion johdannainen

Nyt tietosi riittää oppiaksesi löytämään minkä tahansa eksponentiaalisen funktion derivaatan, ei vain eksponentteja (oletko unohtanut mitä se on?).

Joten missä on joku numero.

Tiedämme jo funktion derivaatan, joten yritetään pelkistää funktiomme uuteen kantaan:

Tätä varten käytämme yksinkertainen sääntö: . Sitten:

No, se toimi. Yritä nyt löytää johdannainen, äläkä unohda, että tämä funktio on monimutkainen.

Tapahtui?

Tässä, tarkista itse:

Kaava osoittautui hyvin samankaltaiseksi kuin eksponentin derivaatta: sellaisenaan se pysyy samana, vain tekijä ilmestyi, joka on vain numero, mutta ei muuttuja.

Esimerkkejä:
Etsi funktioiden derivaatat:

Vastaukset:

Tämä on vain luku, jota ei voida laskea ilman laskinta, eli sitä ei voi kirjoittaa yksinkertaisemmassa muodossa. Siksi jätämme sen tässä muodossa vastaukseen.

Huomaa, että tässä on kahden funktion osamäärä, joten käytämme vastaavaa differentiointisääntöä:

Tässä esimerkissä kahden funktion tulo:

Logaritmisen funktion derivaatta

Se on samanlainen täällä: tiedät jo luonnollisen logaritmin derivaatan:

Siksi, jos haluat löytää mielivaltaisen logaritmin, jolla on eri kanta, esimerkiksi:

Meidän on vähennettävä tämä logaritmi kantaan. Kuinka muutat logaritmin kantaa? Toivottavasti muistat tämän kaavan:

Vasta nyt kirjoitamme sen sijaan:

Nimittäjä on yksinkertaisesti vakio (vakioluku, ilman muuttujaa). Johdannainen saadaan hyvin yksinkertaisesti:

Eksponentiaalisten ja logaritmien funktioiden johdannaisia ​​ei juuri koskaan löydy Unified State Exaista, mutta niiden tunteminen ei ole tarpeetonta.

Monimutkaisen funktion johdannainen.

Mikä on "monimutkainen funktio"? Ei, tämä ei ole logaritmi eikä arctangentti. Näitä funktioita voi olla vaikea ymmärtää (vaikka jos logaritmi tuntuu vaikealta, lue aihe "Logaritmit" niin selviät), mutta matemaattisesta näkökulmasta sana "monimutkainen" ei tarkoita "vaikeaa".

Kuvittele pieni kuljetinhihna: kaksi ihmistä istuu ja tekevät joitain toimintoja joidenkin esineiden kanssa. Esimerkiksi ensimmäinen kääri suklaapatukan kääreeseen ja toinen sitoo sen nauhalla. Tuloksena on yhdistelmäesine: suklaapatukka, joka on kääritty ja sidottu nauhalla. Jos haluat syödä suklaapatukan, sinun on suoritettava päinvastaiset vaiheet käänteisessä järjestyksessä.

Luodaan samanlainen matemaattinen liukuhihna: etsitään ensin luvun kosini ja sitten neliötetään tuloksena oleva luku. Joten meille annetaan numero (suklaa), löydän sen kosinin (kääre), ja sitten neliöit sen minkä sain (sido se nauhalla). Mitä tapahtui? Toiminto. Tämä on esimerkki monimutkaisesta funktiosta: kun sen arvon löytämiseksi suoritamme ensimmäisen toiminnon suoraan muuttujalla ja sitten toisen toiminnon ensimmäisestä tuloksella.

Toisin sanoen, monimutkainen funktio on funktio, jonka argumentti on toinen funktio: .

Esimerkkimme .

Voimme helposti tehdä samat vaiheet käänteisessä järjestyksessä: ensin neliöit sen, ja sitten etsin tuloksena olevan luvun kosinin: . On helppo arvata, että lopputulos on lähes aina erilainen. Tärkeä ominaisuus monimutkaiset funktiot: kun toimintojen järjestys muuttuu, funktio muuttuu.

Toinen esimerkki: (sama asia). .

Viimeksi tekemämme toiminta on nimeltään "ulkoinen" toiminto, ja ensin suoritettu toiminto - vastaavasti "sisäinen" toiminto(nämä ovat epävirallisia nimiä, käytän niitä vain selventämään materiaalia yksinkertaisella kielellä).

Yritä määrittää itse, mikä toiminto on ulkoinen ja mikä sisäinen:

Vastaukset: Sisäisten ja ulkoisten funktioiden erottaminen on hyvin samanlaista kuin muuttujien muuttaminen: esimerkiksi funktiossa

1. Mitä toimenpiteitä teemme ensin? Lasketaan ensin sini ja vasta sitten kuutioitetaan. Tämä tarkoittaa, että se on sisäinen, mutta ulkoinen toiminto.
   Ja alkuperäinen tehtävä on niiden koostumus: .
2. Sisäinen: ; ulkoinen: .
   Tutkimus: .
3. Sisäinen: ; ulkoinen: .
   Tutkimus: .
4. Sisäinen: ; ulkoinen: .
   Tutkimus: .
5. Sisäinen: ; ulkoinen: .
   Tutkimus: .

Muutamme muuttujia ja saamme funktion.

No, nyt puramme suklaapatukkamme ja etsimme johdannaista. Menettely on aina päinvastainen: ensin etsitään derivaatta ulkoinen toiminto, kerro sitten tulos sisäisen funktion derivaatalla. Alkuperäiseen esimerkkiin verrattuna se näyttää tältä:

Toinen esimerkki:

Joten muotoillaan lopuksi virallinen sääntö:

Algoritmi kompleksisen funktion derivaatan löytämiseksi:

Näyttää yksinkertaiselta, eikö?

Tarkastellaanpa esimerkeillä:

Ratkaisut:

1) Sisäinen: ;

Ulkoinen: ;

2) Sisäinen: ;

(Älä vain yritä leikata sitä nyt! Kosinuksen alta ei tule mitään, muistatko?)

3) Sisäinen: ;

Ulkoinen: ;

On heti selvää, että tämä on kolmitasoinen monimutkainen toiminto: tämä on loppujen lopuksi jo itsessään monimutkainen toiminto, ja poistamme siitä myös juuren, eli suoritamme kolmannen toiminnon (laita suklaa kääreeseen ja salkussa on nauha). Mutta ei ole syytä pelätä: "purkamme" tämän toiminnon edelleen samassa järjestyksessä kuin tavallisesti: lopusta.

Eli ensin erotetaan juuri, sitten kosini ja vasta sitten lauseke suluissa. Ja sitten kerromme kaiken.

Tällaisissa tapauksissa on kätevää numeroida toimet. Eli kuvitellaan mitä tiedämme. Missä järjestyksessä suoritamme toiminnot laskeaksemme tämän lausekkeen arvon? Katsotaanpa esimerkkiä:

Mitä myöhemmin toiminto suoritetaan, sitä "ulkoisempi" vastaava toiminto on. Toimintojen järjestys on sama kuin ennen:

Täällä pesimä on yleensä 4-tasoinen. Päätetään toimintatapa.

1. Radikaali ilmaisu. .

2. Juuri. .

3. Sini. .

4. Neliö. .

5. Laita kaikki yhteen:

JOHDANNAIS. LYHYESTI PÄÄASIJOISTA

Johdannainen funktiosta- funktion lisäyksen suhde argumentin lisäykseen, kun argumentti on äärettömän pieni:

Perusjohdannaiset:

Erottamisen säännöt:

Vakio otetaan pois derivaattamerkistä:

Summan johdannainen:

Tuotteen johdannainen:

Osamäärän johdannainen:

Monimutkaisen funktion johdannainen:

Algoritmi kompleksisen funktion derivaatan löytämiseksi:

1. Määrittelemme "sisäisen" funktion ja löydämme sen johdannaisen.
2. Määrittelemme "ulkoisen" funktion ja löydämme sen johdannaisen.
3. Kerromme ensimmäisen ja toisen pisteen tulokset.

Jos noudatat määritelmää, niin funktion derivaatta pisteessä on funktion Δ lisäyksen suhteen raja. y argumentin lisäykseen Δ x:

Kaikki näyttää olevan selvää. Mutta yritä käyttää tätä kaavaa laskeaksesi esimerkiksi funktion derivaatan f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x synti x. Jos teet kaiken määritelmän mukaan, nukahdat vain muutaman sivun laskelmien jälkeen. Siksi on olemassa yksinkertaisempia ja tehokkaampia tapoja.

Aluksi huomaamme, että koko funktioiden valikoimasta voimme erottaa niin sanotut perusfunktiot. Nämä ovat suhteellisen yksinkertaisia ​​lausekkeita, joiden johdannaisia ​​on laskettu ja taulukoitu pitkään. Tällaiset funktiot ovat melko helppoja muistaa - sekä niiden johdannaiset.

Alkeisfunktioiden johdannaiset

Perustoiminnot ovat kaikki alla luetellut. Näiden funktioiden johdannaiset on tiedettävä ulkoa. Lisäksi niiden muistaminen ei ole ollenkaan vaikeaa - siksi ne ovat alkeellisia.

Eli alkeisfunktioiden johdannaiset:

Jos perusfunktio kerrotaan mielivaltaisella vakiolla, niin uuden funktion derivaatta on myös helppo laskea:

(C · f)’ = C · f ’.

Yleensä vakiot voidaan ottaa pois derivaatan etumerkistä. Esimerkiksi:

(2x 3)' = 2 · ( x 3) = 2 3 x 2 = 6x 2 .

On selvää, että perusfunktioita voidaan lisätä toisiinsa, kertoa, jakaa - ja paljon muuta. Näin ilmaantuu uusia toimintoja, ei enää erityisen alkeellisia, mutta myös suhteessa erottuvia tietyt säännöt. Näitä sääntöjä käsitellään alla.

Summan ja erotuksen johdannainen

Olkoon funktiot annettu f(x) Ja g(x), jonka johdannaiset tunnemme. Voit esimerkiksi ottaa edellä käsitellyt perusfunktiot. Sitten voit löytää näiden funktioiden summan ja erotuksen derivaatan:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Joten kahden funktion summan (eron) derivaatta on yhtä suuri kuin derivaattojen summa (ero). Termejä voi olla enemmän. Esimerkiksi, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Tarkkaan ottaen algebrassa ei ole käsitettä "vähennys". On olemassa käsite "negatiivinen elementti". Siksi ero f − g voidaan kirjoittaa uudelleen summaksi f+ (-1) g, ja sitten jäljellä on vain yksi kaava - summan derivaatta.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Toiminto f(x) on kahden perusfunktion summa, joten:

f ’(x) = (x 2 + synti x)’ = (x 2)' + (synti x)’ = 2x+ cos x;

Perustelemme samalla tavalla toiminnon suhteen g(x). Vain kolme termiä on jo olemassa (algebran näkökulmasta):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Vastaus:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Tuotteen johdannainen

Matematiikka on loogista tiedettä, joten monet ihmiset uskovat, että jos summan derivaatta on yhtä suuri kuin johdannaisten summa, niin tuotteen derivaatta lakko">yhtä kuin johdannaisten tuloa. Mutta perse! Tuotteen johdannainen lasketaan täysin eri kaavalla. Nimittäin:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Kaava on yksinkertainen, mutta se unohtuu usein. Eikä vain koululaisia, vaan myös opiskelijoita. Tuloksena on virheellisesti ratkaistuja ongelmia.

Tehtävä. Etsi funktioiden johdannaiset: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x– 7) · e x .

Toiminto f(x) on kahden perusfunktion tulos, joten kaikki on yksinkertaista:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' cos x + x 3 (cos x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (− sin x) = x 2 (3cos x − x synti x)

Toiminto g(x) ensimmäinen kerroin on hieman monimutkaisempi, mutta yleinen kaavio ei muutu. Ilmeisesti funktion ensimmäinen tekijä g(x) on polynomi ja sen derivaatta on summan derivaatta. Meillä on:

g ’(x) = ((x 2 + 7x– 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)' · e x + (x 2 + 7x− 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x– 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Vastaus:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x synti x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Huomaa, että viimeisessä vaiheessa johdannainen faktoroidaan. Muodollisesti tätä ei tarvitse tehdä, mutta useimpia johdannaisia ​​ei lasketa itsestään, vaan funktion tutkimiseksi. Tämä tarkoittaa, että edelleen derivaatta rinnastetaan nollaan, sen etumerkit määritetään ja niin edelleen. Tällaista tapausta varten on parempi, että lauseke on kerrostettu.

Jos toimintoja on kaksi f(x) Ja g(x), ja g(x) ≠ 0 meitä kiinnostavassa joukossa, voimme määritellä uuden funktion h(x) = f(x)/g(x). Tällaista funktiota varten löydät myös derivaatan:

Ei heikko, vai mitä? Mistä miinus tuli? Miksi g 2? Ja näin! Tämä on yksi monimutkaisimmista kaavoista - et voi selvittää sitä ilman pulloa. Siksi on parempi tutkia sitä konkreettisia esimerkkejä.

Tehtävä. Etsi funktioiden johdannaiset:

Kunkin murtoluvun osoittaja ja nimittäjä sisältävät alkeisfunktioita, joten tarvitsemme vain kaavan osamäärän derivaatalle:

Perinteen mukaan kerrotaan osoittaja - tämä yksinkertaistaa vastausta huomattavasti:

Monimutkainen funktio ei välttämättä ole puolen kilometrin pituinen kaava. Esimerkiksi funktion ottaminen riittää f(x) = synti x ja vaihda muuttuja x, sano, päälle x 2 + ln x. Se selviää f(x) = synti ( x 2 + ln x) - tämä on monimutkainen funktio. Sillä on myös johdannainen, mutta sitä ei voi löytää yllä käsiteltyjen sääntöjen avulla.

Mitä minun pitäisi tehdä? Tällaisissa tapauksissa monimutkaisen funktion derivaatan muuttujan ja kaavan korvaaminen auttaa:

f ’(x) = f ’(t) · t', jos x korvataan t(x).

Pääsääntöisesti tilanne tämän kaavan ymmärtämisessä on vielä surullisempi kuin osamäärän derivaatan kanssa. Siksi on myös parempi selittää se konkreettisilla esimerkeillä, joilla Yksityiskohtainen kuvaus jokainen askel.

Tehtävä. Etsi funktioiden johdannaiset: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = synti ( x 2 + ln x)

Huomaa, että jos funktiossa f(x) lausekkeen 2 sijaan x+3 tulee olemaan helppoa x, niin saadaan alkeisfunktio f(x) = e x. Siksi teemme korvaavan: anna 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Etsimme kompleksisen funktion johdannaista kaavalla:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Ja nyt - huomio! Suoritamme käänteisen vaihdon: t = 2x+ 3. Saamme:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Katsotaan nyt toimintoa g(x). Ilmeisesti se on vaihdettava x 2 + ln x = t. Meillä on:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (synti t)’ · t' = cos t · t ’

Käänteinen vaihto: t = x 2 + ln x. Sitten:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Siinä kaikki! Kuten viimeisestä lausekkeesta voidaan nähdä, koko ongelma on rajoittunut johdannaissumman laskemiseen.

Vastaus:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2 + ln x).

Hyvin usein tunneillani käytän termin "johdannainen" sijaan sanaa "alkuarvo". Esimerkiksi summan veto on yhtä suuri kuin vetojen summa. Onko se selkeämpi? No se on hyvä.

Siten johdannaisen laskeminen tarkoittaa, että päästään eroon näistä samoista vedoista edellä käsiteltyjen sääntöjen mukaisesti. Viimeisenä esimerkkinä palataan derivatiiviseen potenssiin rationaalisen eksponentin kanssa:

(x n)’ = n · x n − 1

Harva tietää sen roolissa n voi hyvin toimia murtoluku. Esimerkiksi juuri on x 0.5. Entä jos juuren alla on jotain hienoa? Jälleen tuloksena on monimutkainen toiminto - he haluavat antaa tällaisille rakenteille testejä ja kokeet.

Tehtävä. Etsi funktion derivaatta:

Ensin kirjoitetaan juuri uudelleen potenssiksi rationaalisen eksponentin kanssa:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Nyt teemme korvaavan: anna x 2 + 8x − 7 = t. Löydämme johdannaisen kaavalla:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)" · t' = 0,5 · t−0,5 · t ’.

Tehdään käänteinen korvaus: t = x 2 + 8x− 7. Meillä on:

f ’(x) = 0,5 · ( x 2 + 8x− 7) −0,5 · ( x 2 + 8x− 7)' = 0,5 · (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Lopuksi takaisin juurille:

Jolla tutkimme yksinkertaisimpia johdannaisia ​​ja tutustuimme myös differentiaatiosääntöihin ja joihinkin teknisiin tekniikoihin johdannaisten löytämiseksi. Joten jos et ole kovin hyvä funktioiden johdannaisten kanssa tai jotkin tämän artikkelin kohdat eivät ole täysin selviä, lue ensin yllä oleva oppitunti. Ole hyvä ja ota vakava mieli - materiaali ei ole yksinkertaista, mutta yritän silti esittää sen yksinkertaisesti ja selkeästi.

Käytännössä monimutkaisen funktion derivaatan kanssa joutuu käsittelemään hyvin usein, sanoisin jopa lähes aina, kun annetaan tehtäviä derivaattojen etsimiseen.

Katsomme taulukkoa säännöstä (nro 5) monimutkaisen funktion erottamiseksi:

Selvitetään se. Ensinnäkin kiinnitetään huomiota sisääntuloon. Tässä on kaksi funktiota - ja, ja funktio kuvaannollisesti sanottuna on sisäkkäinen funktion sisällä. Tämän tyyppistä funktiota (kun yksi funktio on sisäkkäinen toisen sisällä) kutsutaan kompleksifunktioksi.

Kutsun toiminnon ulkoinen toiminto, ja toiminto – sisäinen (tai sisäkkäinen) toiminto.

! Nämä määritelmät eivät ole teoreettisia, eivätkä ne saa esiintyä tehtävien lopullisessa suunnittelussa. Käytän epävirallisia ilmaisuja "ulkoinen toiminto", "sisäinen" toiminto vain helpottaakseni materiaalin ymmärtämistä.

Selvittääksesi tilannetta, harkitse:

Esimerkki 1

Etsi funktion derivaatta

Sinin alla ei ole vain kirjain “X”, vaan koko lauseke, joten derivaatan löytäminen heti taulukosta ei onnistu. Huomaamme myös, että tässä on mahdotonta soveltaa neljää ensimmäistä sääntöä, ero näyttää olevan, mutta tosiasia on, että siniä ei voi "revitä palasiksi":

Tässä esimerkissä selityksistäni on jo intuitiivisesti selvää, että funktio on monimutkainen funktio ja polynomi on sisäinen toiminto(sijoitus) ja – ulkoinen toiminto.

Ensimmäinen askel mitä sinun tulee tehdä, kun etsit monimutkaisen funktion derivaatta, on ymmärtää, mikä toiminto on sisäinen ja mikä ulkoinen.

Kun yksinkertaisia ​​esimerkkejä Näyttää selvältä, että polynomi on upotettu sinin alle. Mutta entä jos kaikki ei ole itsestään selvää? Kuinka määrittää tarkasti, mikä toiminto on ulkoinen ja mikä sisäinen? Tätä varten ehdotan seuraavan tekniikan käyttöä, joka voidaan tehdä henkisesti tai luonnoksessa.

Kuvitellaan, että meidän on laskettava lausekkeen arvo laskimella (yksien sijasta voi olla mikä tahansa luku).

Mitä laskemme ensin? Ensinnäkin tulee tehdä seuraava toimenpide: , siksi polynomi on sisäinen funktio:

toiseksi täytyy löytää, joten sini – on ulkoinen funktio:

Meidän jälkeen LOPPUUNMYYTY sisäisten ja ulkoisten toimintojen kanssa on aika soveltaa monimutkaisten toimintojen eriyttämissääntöä .

Aloitetaan päättäminen. Oppitunnilta Kuinka löytää johdannainen? muistamme, että minkä tahansa johdannaisen ratkaisun suunnittelu alkaa aina näin - kirjoitamme lausekkeen sulkuihin ja laitamme viivan oikeaan yläkulmaan:

Ensiksi löydämme ulkoisen funktion derivaatan (sini), katsomme alkeisfunktioiden derivaattataulukkoa ja huomaamme, että . Kaikkia taulukkokaavoja voidaan käyttää myös, jos "x" korvataan monimutkaisella lausekkeella, tässä tapauksessa:

Huomaa, että sisäinen toiminto ei ole muuttunut, emme koske siihen.

No, se on aivan selvää

Kaavan soveltamisen tulos lopullisessa muodossaan se näyttää tältä:

Vakiotekijä sijoitetaan yleensä lausekkeen alkuun:

Jos sinulla on väärinkäsityksiä, kirjoita ratkaisu paperille ja lue selitykset uudelleen.

Esimerkki 2

Etsi funktion derivaatta

Esimerkki 3

Etsi funktion derivaatta

Kuten aina, kirjoitamme:

Selvitetään, missä meillä on ulkoinen toiminto ja missä sisäinen. Tätä varten yritämme (mielisesti tai luonnoksessa) laskea lausekkeen arvon . Mitä sinun pitäisi tehdä ensin? Ensinnäkin sinun on laskettava, mikä kanta on yhtä suuri: siksi polynomi on sisäinen funktio:

Ja vasta sitten suoritetaan eksponentio, joten tehofunktio on ulkoinen funktio:

Kaavan mukaan , sinun on ensin löydettävä ulkoisen funktion derivaatta, tässä tapauksessa aste. Etsimme tarvittavan kaavan taulukosta: . Toistamme vielä: mikä tahansa taulukkokaava ei kelpaa vain "X:lle", vaan myös monimutkaiselle lausekkeelle. Siten tulos monimutkaisen funktion erottamista koskevan säännön soveltamisesta Seuraava:

Korostan jälleen, että kun otamme ulkoisen funktion derivaatan, sisäinen toimintamme ei muutu:

Nyt ei ole enää jäljellä kuin löytää hyvin yksinkertainen johdannainen sisäisestä funktiosta ja muokata tulosta hieman:

Esimerkki 4

Etsi funktion derivaatta

Tämä on esimerkki itsenäinen päätös(vastaus oppitunnin lopussa).

Vahvistaakseni ymmärrystäsi monimutkaisen funktion derivaatta, annan esimerkin ilman kommentteja, yritä selvittää se itse, perustele missä ulkoinen ja missä sisäinen funktio on, miksi tehtävät ratkaistaan ​​tällä tavalla?

Esimerkki 5

a) Etsi funktion derivaatta

b) Etsi funktion derivaatta

Esimerkki 6

Etsi funktion derivaatta

Tässä meillä on juuri, ja juuren erottamiseksi se on esitettävä voimana. Joten ensin tuomme funktion eriyttämistä varten sopivaan muotoon:

Funktiota analysoimalla tulemme siihen tulokseen, että kolmen termin summa on sisäinen funktio ja potenssiin nostaminen on ulkoinen funktio. Käytämme monimutkaisten funktioiden eriyttämissääntöä :

Esitämme asteen jälleen radikaalina (juurena), ja sisäisen funktion derivaatalle sovelletaan yksinkertaista sääntöä summan erottamiseksi:

Valmis. Voit myös pienentää lausekkeen yhteiseksi nimittäjäksi suluissa ja kirjoittaa kaiken muistiin yhtenä murtolukuna. Se on tietysti kaunista, mutta kun saat hankalia pitkiä johdannaisia, on parempi olla tekemättä tätä (on helppo hämmentyä, tehdä tarpeettomia virheitä, ja opettajan on hankala tarkistaa).

Esimerkki 7

Etsi funktion derivaatta

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse (vastaa oppitunnin lopussa).

On mielenkiintoista huomata, että joskus monimutkaisen funktion erottamissäännön sijaan voit käyttää osamäärän erottamissääntöä , mutta tällainen ratkaisu näyttää epätavalliselta perversiolta. Tässä on tyypillinen esimerkki:

Esimerkki 8

Etsi funktion derivaatta

Tässä voit käyttää osamäärän differentiaatiosääntöä , mutta on paljon kannattavampaa löytää derivaatta monimutkaisen funktion differentiaatiosäännön avulla:

Valmistelemme funktion differentiaatiota varten - siirrämme miinuksen pois derivaattamerkistä ja nostamme kosinin osoittajaksi:

Kosini on sisäinen funktio, eksponentio on ulkoinen funktio.
Käytetään sääntöämme :

Etsimme sisäisen funktion derivaatan ja nollaamme kosinin takaisin alaspäin:

Valmis. Tarkastetussa esimerkissä on tärkeää, ettei sekaannu merkkeihin. Muuten, yritä ratkaista se säännön avulla , vastausten on oltava samat.

Esimerkki 9

Etsi funktion derivaatta

Tämä on esimerkki, jonka voit ratkaista itse (vastaa oppitunnin lopussa).

Tähän mennessä olemme tarkastelleet tapauksia, joissa meillä oli vain yksi sisäkkäinen monimutkainen funktio. Käytännön tehtävissä voi usein löytää johdannaisia, joissa pesivien nukkejen tapaan sisäkkäin 3 tai jopa 4-5 funktiota upotetaan kerralla.

Esimerkki 10

Etsi funktion derivaatta

Ymmärretään tämän funktion liitteet. Yritetään laskea lauseke kokeellisen arvon avulla. Kuinka laskemme laskimeen?

Ensin sinun on löydettävä , mikä tarkoittaa, että arcsini on syvin upotus:

Tämä yhden arksini tulee sitten neliöidä:

Ja lopuksi nostamme seitsemän potenssiin:

Eli tässä esimerkissä meillä on kolme erilaista funktiota ja kaksi upotusta, kun taas sisin funktio on arcsini ja uloin funktio on eksponentiaalinen funktio.

Aloitetaan päättäminen

Säännön mukaan Ensin sinun on otettava ulkofunktion johdannainen. Katsomme derivaattataulukkoa ja löydämme eksponentiaalisen funktion derivaatan: Ainoa ero on, että "x":n sijaan meillä on kompleksilauseke, joka ei kumoa tämän kaavan pätevyyttä. Joten tulos monimutkaisen funktion erottamista koskevan säännön soveltamisesta Seuraava.

Johdannaiskaavan derivointi tehotoiminto(x a:n potenssiin). Johdannaiset x:n juurista otetaan huomioon. Kaava potenssifunktion derivaatalle ylempi määräys. Esimerkkejä johdannaisten laskemisesta.

Katso myös: Potenssifunktio ja juuret, kaavat ja graafi
Tehofunktiokaaviot

Peruskaavat

x:n derivaatta a:n potenssiin on yhtä suuri kuin x x a:n potenssilla miinus yksi:
(1) .

x:n n:nnen juuren derivaatta m:nteen potenssiin on:
(2) .

Potenssifunktion derivaatan kaavan derivointi

Tapaus x > 0

Tarkastellaan muuttujan x potenssifunktiota eksponenttia a:lla:
(3) .
Tässä a on mielivaltainen reaaliluku. Tarkastellaanpa ensin tapausta.

Löytääksemme funktion (3) derivaatan käytämme tehofunktion ominaisuuksia ja muunnamme sen seuraavaan muotoon:
.

Nyt löydämme johdannaisen käyttämällä:
;
.
täällä .

Kaava (1) on todistettu.

Kaavan derivaatta x:n asteen n juuren m-asteeseen

Harkitse nyt funktiota, joka on seuraavan muodon juuri:
(4) .

Derivaatan löytämiseksi muunnamme juurin potenssifunktioksi:
.
Vertaamalla kaavaan (3) näemme sen
.
Sitten
.

Kaavan (1) avulla löydämme derivaatan:
(1) ;
;
(2) .

Käytännössä kaavaa (2) ei tarvitse muistaa. On paljon kätevämpää muuntaa juuret ensin potenssifunktioiksi ja sitten etsiä niiden derivaatat kaavan (1) avulla (katso esimerkkejä sivun lopussa).

Tapaus x = 0

Jos , niin tehofunktio määritellään muuttujan x = arvolle 0 . Etsitään funktion (3) derivaatta kohdassa x = 0 . Tätä varten käytämme johdannaisen määritelmää:
.

Korvataan x = 0 :
.
Tässä tapauksessa derivaatalla tarkoitamme oikeanpuoleista rajaa, jolle .

Joten löysimme:
.
Tästä on selvää, että , .
klo , .
klo , .
Tämä tulos saadaan myös kaavasta (1):
(1) .
Siksi kaava (1) pätee myös x =:lle 0 .

Tapaus x< 0

Harkitse toimintoa (3) uudelleen:
(3) .
Tietyille vakion a arvoille se on myös määritelty negatiiviset arvot muuttuja x. Nimittäin anna olla rationaalinen luku. Sitten se voidaan esittää redusoitumattomana murto-osana:
,
missä m ja n ovat kokonaislukuja ilman yhteinen jakaja.

Jos n on pariton, niin tehofunktio määritellään myös muuttujan x negatiivisille arvoille. Esimerkiksi kun n = 3 ja m = 1 meillä on x:n kuutiojuuri:
.
Se määritellään myös muuttujan x negatiivisille arvoille.

Etsitään tehofunktion (3) derivaatta vakion a rationaalisille arvoille, joille se on määritelty. Tehdään tämä esittämällä x seuraavassa muodossa:
.
Sitten,
.
Löydämme derivaatan asettamalla vakion derivaatan etumerkin ulkopuolelle ja soveltamalla sääntöä kompleksisen funktion erottamiseksi:

.
täällä . Mutta
.
Siitä lähtien
.
Sitten
.
Eli kaava (1) pätee myös:
(1) .

Korkeamman asteen johdannaiset

Etsitään nyt tehofunktion korkeamman asteen derivaatat
(3) .
Olemme jo löytäneet ensimmäisen kertaluvun johdannaisen:
.

Ottamalla vakio a derivaatan etumerkin ulkopuolelle, löydämme toisen kertaluvun derivaatan:
.
Samoin löydämme kolmannen ja neljännen kertaluvun johdannaiset:
;

.

Tästä on selvää, että mielivaltaisen n:nnen kertaluvun johdannainen on seuraavanlainen muoto:
.

huomaa, että jos a on luonnollinen luku , niin n:s derivaatta on vakio:
.
Sitten kaikki seuraavat johdannaiset ovat yhtä suuria kuin nolla:
,
osoitteessa .

Esimerkkejä johdannaisten laskemisesta

Esimerkki

Etsi funktion derivaatta:
.

Muunnetaan juuret tehoiksi:
;
.
Sitten alkuperäinen funktio saa muotoa:
.

Tehtyjen johdannaisten löytäminen:
;
.
Vakion derivaatta on nolla:
.