Ratkaisu funktion rajan matemaattiseen analyysiin. Funktion raja äärettömässä

Rajateoria on yksi matemaattisen analyysin haaroista. Kysymys rajojen ratkaisemisesta on varsin laaja, koska rajojen ratkaisemiseen on olemassa kymmeniä menetelmiä erilaisia tyyppejä. On olemassa kymmeniä vivahteita ja temppuja, joiden avulla voit ratkaista tämän tai toisen rajan. Siitä huolimatta yritämme edelleen ymmärtää tärkeimmät käytännössä kohdattavat rajatyypit.

Aloitetaan rajan käsitteestä. Mutta ensin lyhyt historiallinen viittaus. 1800-luvulla asui ranskalainen Augustin Louis Cauchy, joka määritteli tiukat monet matan-käsitteet ja loi sen perustan. Minun on sanottava, että tästä arvostetusta matemaatikosta on haaveiltu, hänestä haaveillaan ja haaveillaan jatkossakin painajaisia kaikille fysiikan ja matematiikan tiedekuntien opiskelijoille, kuten hän todisti suuri määrä matemaattisen analyysin lauseita, ja yksi lause on tappavampi kuin toinen. Tältä osin emme vielä harkitse Cauchyn rajan määrittäminen, mutta yritetään tehdä kaksi asiaa:

1. Ymmärrä, mikä raja on.
2. Opi ratkaisemaan tärkeimmät rajatyypit.

Pahoittelen joitakin epätieteellisiä selityksiä, on tärkeää, että materiaali on ymmärrettävää teekannullekin, mikä itse asiassa on projektin tehtävä.

Joten mikä on raja?

Ja vain esimerkki miksi takkuiselle mummolle...

Mikä tahansa raja koostuu kolmesta osasta:

1) Tunnettu raja-kuvake.
2) merkinnät raja-kuvakkeen alla, tässä tapauksessa . Merkintä kuuluu "X pyrkii yhteen". Useimmiten - täsmälleen, vaikka "X":n sijasta käytännössä on muita muuttujia. SISÄÄN käytännön tehtäviä yhden sijasta voi olla mikä tahansa luku sekä ääretön ().
3) Toiminnot rajamerkin alla, tässä tapauksessa .

Itse äänitys kuuluu näin: "funktion raja kuten x pyrkii yksikköön."

Katsotaanpa seuraavaa tärkeää kysymystä - mitä ilmaus "x" tarkoittaa? pyrkii yhdelle"? Ja mitä "pyrkiminen" edes tarkoittaa?
Rajan käsite on niin sanotusti käsite, dynaaminen. Rakennetaan sekvenssi: ensin , sitten , , …, , ….
Eli ilmaisu "x pyrkii yhteen" tulee ymmärtää seuraavasti: "x" ottaa johdonmukaisesti arvot jotka lähestyvät yhtenäisyyttä äärettömän lähellä ja käytännöllisesti katsoen yhtenevät sen kanssa.

Miten yllä oleva esimerkki ratkaistaan? Yllä olevan perusteella sinun tarvitsee vain korvata yksi rajamerkin alla olevaan funktioon:

Eli ensimmäinen sääntö: Kun annetaan jokin raja, yritämme ensin yksinkertaisesti kytkeä numeron funktioon.

Olemme pohtineet yksinkertaisinta rajaa, mutta niitäkin tapahtuu käytännössä, eikä niin harvoin!

Esimerkki äärettömyydestä:

Selvitetään mikä se on? Näin on silloin, kun se kasvaa rajattomasti, eli ensin, sitten, sitten, sitten ja niin edelleen loputtomiin.

Mitä toiminnolle tapahtuu tällä hetkellä?
, , , …

Joten: jos , niin funktiolla on taipumus miinus äärettömään:

Karkeasti sanottuna ensimmäisen sääntömme mukaan "X":n sijaan korvaamme funktioon äärettömän ja saamme vastauksen.

Toinen esimerkki äärettömyydestä:

Alamme jälleen kasvaa äärettömyyteen ja tarkastella funktion käyttäytymistä:

Johtopäätös: kun funktio kasvaa ilman rajoituksia:

Ja toinen esimerkkisarja:

Yritä itse analysoida mielessäsi seuraavat asiat ja muistaa yksinkertaisimmat rajatyypit:

, , , , , , , , ,
Jos sinulla on epäilyksiä missä tahansa, voit ottaa laskimen ja harjoitella vähän.
Siinä tapauksessa , yritä muodostaa sekvenssi , , . Jos sitten , , .

! Huomautus: Tarkkaan ottaen tämä lähestymistapa useiden lukujen sekvenssien muodostamiseen on virheellinen, mutta yksinkertaisimpien esimerkkien ymmärtämiseen se on varsin sopiva.

Kiinnitä huomiota myös seuraavaan asiaan. Vaikka sille annetaan raja suuri numero huipulla, jopa miljoonalla: se on sama , koska ennemmin tai myöhemmin "X" alkaa saada sellaisia jättimäisiä arvoja, että miljoonasta verrattuna on todellinen mikrobi.

Mitä sinun tulee muistaa ja ymmärtää yllä olevasta?

1) Kun jokin raja on annettu, yritämme ensin yksinkertaisesti korvata numeron funktioon.

2) Sinun on ymmärrettävä ja ratkaistava välittömästi yksinkertaisimmat rajat, kuten , , jne.

Lisäksi rajalla on erittäin hyvä geometrinen merkitys. Aiheen ymmärtämiseksi suosittelen lukemista metodologinen materiaali Alkeisfunktioiden kuvaajat ja ominaisuudet. Kun olet lukenut tämän artikkelin, et vain ymmärrä vihdoin, mikä raja on, vaan myös tutustut siihen mielenkiintoisia tapauksia, kun funktion raja on yleensä ei ole olemassa!

Käytännössä lahjoja on valitettavasti vähän. Ja siksi siirrymme tarkastelemaan monimutkaisempia rajoja. Muuten, tästä aiheesta on intensiivinen kurssi pdf-muodossa, mikä on erityisen hyödyllistä, jos sinulla on TODELLA vähän aikaa valmistautua. Mutta sivuston materiaalit eivät tietenkään ole huonompia:

Nyt tarkastellaan rajojen ryhmää, kun , ja funktio on murtoluku jonka osoittaja ja nimittäjä sisältävät polynomeja

Esimerkki:

Laske raja

Sääntömme mukaan yritämme korvata funktion äärettömyyden. Mitä saamme huipulla? ääretön. Ja mitä alla tapahtuu? Myös äärettömyys. Näin ollen meillä on niin kutsuttu lajiepävarmuus. Voisi luulla, että , ja vastaus on valmis, mutta yleisessä tapauksessa näin ei ole ollenkaan, ja on tarpeen soveltaa jotain ratkaisutekniikkaa, jota nyt tarkastelemme.

Kuinka ratkaista tämän tyyppiset rajat?

Ensin katsomme osoittajaa ja löydämme suurimman tehon:

Osoittimen johtava teho on kaksi.

Nyt katsomme nimittäjä ja löydämme sen myös korkeimpaan potenssiin:

Nimittäjän suurin aste on kaksi.

Sitten valitsemme osoittajan ja nimittäjän suurimman tehon: tässä esimerkissä ne ovat samat ja yhtä kuin kaksi.

Ratkaisumenetelmä on siis seuraava: epävarmuuden paljastamiseksi on välttämätöntä jakaa osoittaja ja nimittäjä suurimmalla potenssilla.

Tässä se on, vastaus, eikä ollenkaan äärettömyys.

Mikä on olennaisen tärkeää päätöksen suunnittelussa?

Ensin osoitamme epävarmuuden, jos sellaista on.

Toiseksi on suositeltavaa keskeyttää ratkaisu väliselityksiä varten. Käytän yleensä merkkiä, sillä ei ole matemaattista merkitystä, vaan se tarkoittaa, että ratkaisu keskeytetään väliselvitystä varten.

Kolmanneksi rajaan on suositeltavaa merkitä mitä on menossa minne. Kun työ piirretään käsin, on helpompi tehdä se näin:

Muistiinpanoihin on parempi käyttää yksinkertaista kynää.

Sinun ei tietenkään ole pakko tehdä tätä, mutta sitten ehkä opettaja huomauttaa ratkaisun puutteet tai alkaa kysyä lisäkysymyksiä toimeksiannossa. Tarvitsetko sitä?

Esimerkki 2

Löydä raja
Taas osoittajasta ja nimittäjästä löydämme korkeimmassa asteessa:

Enimmäisaste osoittajassa: 3
Maksimiaste nimittäjässä: 4
Valita suurin arvo, tässä tapauksessa neljä.
Epävarmuuden paljastamiseksi jaamme osoittajan ja nimittäjän luvulla .
Täydellinen tehtävä saattaa näyttää tältä:

Jaa osoittaja ja nimittäjä luvulla

Esimerkki 3

Löydä raja
"X":n enimmäisaste osoittajassa: 2
"X":n enimmäisaste nimittäjässä: 1 (voidaan kirjoittaa muodossa)
Epävarmuuden paljastamiseksi on välttämätöntä jakaa osoittaja ja nimittäjä luvulla. Lopullinen ratkaisu voi näyttää tältä:

Jaa osoittaja ja nimittäjä luvulla

Merkintä ei tarkoita jakamista nollalla (ei voi jakaa nollalla), vaan jakamista äärettömällä pienellä luvulla.

Siten, paljastamalla lajien epävarmuuden, voimme ehkä onnistua lopullinen numero, nolla tai ääretön.

Rajat, joiden tyyppi ja menetelmä niiden ratkaisemiseksi ovat epävarmoja

Seuraava rajojen ryhmä on jossain määrin samanlainen kuin juuri tarkastelut: osoittaja ja nimittäjä sisältävät polynomeja, mutta "x" ei enää pyri äärettömyyteen, vaan äärellinen luku.

Esimerkki 4

Ratkaise raja
Ensin yritetään korvata -1 murtoluvulla:

Tässä tapauksessa saadaan ns. epävarmuus.

Yleissääntö : jos osoittaja ja nimittäjä sisältävät polynomeja ja muodossa on epävarmuus, paljasta se sinun on otettava huomioon osoittaja ja nimittäjä.

Tätä varten sinun on useimmiten ratkaistava toisen asteen yhtälö ja/tai käytettävä lyhennettyjä kertolaskukaavoja. Jos nämä asiat ovat unohtuneet, vieraile sivulla Matemaattiset kaavat ja taulukot ja lue opetusmateriaali Kuumat kaavat koulun kurssi matemaatikot. Se on muuten parasta tulostaa, sitä vaaditaan hyvin usein ja tieto imeytyy paremmin paperista.

Ratkaisemme siis rajamme

Kerroin osoittaja ja nimittäjä

Jotta voit kertoa osoittajan, sinun on ratkaistava toisen asteen yhtälö:

Ensin löydämme diskriminantin:

Ja sen neliöjuuri: .

Jos diskriminantti on suuri, esimerkiksi 361, käytämme laskinta, erotusfunktiota neliöjuuri saatavilla yksinkertaisimmalla laskimella.

! Jos juuria ei uuteta kokonaan (osallistuu murtoluku pilkulla), on erittäin todennäköistä, että erottaja on laskettu väärin tai tehtävässä oli kirjoitusvirhe.

Seuraavaksi löydämme juuret:

Täten:

Kaikki. Osoittaja on kertoimella.

Nimittäjä. Nimittäjä on jo yksinkertaisin tekijä, eikä sitä voi mitenkään yksinkertaistaa.

Ilmeisesti se voidaan lyhentää seuraavasti:

Nyt korvataan -1 lausekkeessa, joka jää rajamerkin alle:

Ratkaisua ei luonnollisesti koskaan kuvata niin yksityiskohtaisesti testissä, testissä tai kokeessa. Lopullisessa versiossa suunnittelun pitäisi näyttää suunnilleen tältä:

Lasketaan osoittaja kertoimella.

Esimerkki 5

Laske raja

Ensinnäkin ratkaisun "valmis"-versio

Lasketaan osoittaja ja nimittäjä.

Osoittaja:
Nimittäjä:

,

Mikä tässä esimerkissä on tärkeää?
Ensinnäkin sinulla on oltava hyvä käsitys siitä, kuinka osoittaja paljastetaan, ensin otimme 2 suluista ja käytimme sitten neliöiden erotuksen kaavaa. Tämä on kaava, joka sinun täytyy tietää ja nähdä.

Suositus: Jos rajassa (melkein missä tahansa) on mahdollista ottaa luku pois suluista, niin teemme sen aina.
Lisäksi on suositeltavaa siirtää tällaiset numerot rajakuvakkeen ulkopuolelle. Minkä vuoksi? Kyllä, vain siksi, etteivät ne häiritse. Tärkeintä on, ettet menetä näitä numeroita myöhemmin ratkaisun aikana.

Huomaa, että ratkaisun viimeisessä vaiheessa otin rajakuvakkeesta kaksi pois ja sitten miinuksen.

! Tärkeä
Ratkaisun aikana tyyppifragmentti esiintyy hyvin usein. Pienennä tätä murto-osaase on kielletty . Ensin sinun on vaihdettava osoittajan tai nimittäjän etumerkki (laita -1 suluissa).
, eli ilmestyy miinusmerkki, joka otetaan huomioon rajaa laskettaessa, eikä sitä tarvitse hävittää ollenkaan.

Yleisesti ottaen olen huomannut, että tämän tyyppisten rajojen etsimisessä joudutaan useimmiten ratkaisemaan kaksi toisen asteen yhtälöä, eli sekä osoittaja että nimittäjä sisältävät asteen kolminomia.

Menetelmä osoittajan ja nimittäjän kertomiseksi konjugaattilausekkeella

Otamme edelleen huomioon muodon epävarmuuden

Seuraava rajoitustyyppi on samanlainen kuin edellinen tyyppi. Ainoa asia, polynomien lisäksi lisäämme juuria.

Esimerkki 6

Löydä raja

Aloitetaan päättäminen.

Ensin yritämme korvata rajamerkin alla olevaan lausekkeeseen 3
Toistan vielä kerran - tämä on ensimmäinen asia, joka sinun on tehtävä KAIKKI rajalle. Tämä toiminta suoritetaan yleensä henkisesti tai luonnosmuodossa.

Muodosta on saatu epävarmuus, joka on poistettava.

Kuten luultavasti huomasit, osoittajamme sisältää juurien eron. Ja matematiikassa on tapana päästä eroon juurista, jos mahdollista. Minkä vuoksi? Ja elämä on helpompaa ilman niitä.

Selvitimme perustoiminnot.

Kun siirrytään toimintoja enemmän monimutkainen tyyppi kohtaamme varmasti ilmaisuja, joiden merkitystä ei ole määritelty. Tällaisia ilmaisuja kutsutaan epävarmuustekijöitä.

Listataan kaikki tärkeimmät epävarmuustyypit: nolla jaettuna nollalla (0 x 0), ääretön jaettuna äärettömyydellä, nolla kerrottuna äärettömyydellä, ääretön miinus ääretön, yksi äärettömän potenssiin, nolla nollan potenssiin, ääretön nollan potenssiin.

KAIKKI MUUT EPÄVARMUUSTEKIJÄN ILMOITUKSET EIVÄT OLE TÄYSIN TIETTYÄ ÄÄRELLÄ TAI ÄÄRETÖN ARVOJA.

Paljasta epävarmuus sallii:

funktion muodon yksinkertaistaminen (lausekkeen muuntaminen lyhennettyjen kertolaskujen avulla, trigonometriset kaavat, kertominen konjugaattilausekkeilla ja sen jälkeen vähentäminen jne.);
merkittävien rajojen käyttö;
L'Hopitalin säännön soveltaminen;
käyttämällä infinitesimaalilausekkeen korvaamista sen vastineella (käyttäen ekvivalenttien infinitesimaalien taulukkoa).

Ryhmitetään epävarmuustekijät epävarmuustaulukko. Jokaiselle epävarmuustyypille yhdistetään menetelmä sen paljastamiseksi (menetelmä rajan löytämiseksi).

Tämä taulukko yhdessä perusfunktioiden rajataulukon kanssa ovat päätyökalusi mahdollisten rajojen löytämisessä.

Otetaan pari esimerkkiä, kun kaikki toimii heti arvon vaihtamisen jälkeen eikä epävarmuutta synny.

Esimerkki.

Laske raja

Ratkaisu.

Korvaa arvo:

Ja saimme heti vastauksen.

Vastaus:

Esimerkki.

Laske raja

Ratkaisu.

Korvaamme arvon x=0 eksponentiaalisen potenssifunktiomme kantaan:

Eli raja voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon

Katsotaanpa nyt indikaattoria. Tämä on tehotoiminto. Katsotaanpa taulukkoa rajoituksista tehotoiminnot Kanssa negatiivinen indikaattori. Sieltä meillä on Ja siksi voimme kirjoittaa .

Tämän perusteella rajamme kirjoitetaan seuraavasti:

Siirrymme jälleen rajataulukkoon, mutta eksponentiaalisille funktioille, joiden kanta on suurempi kuin yksi, josta meillä on:

Vastaus:

Katsotaanpa esimerkkejä yksityiskohtaisista ratkaisuista Epävarmuustekijöiden paljastaminen muuntamalla lausekkeita.

Hyvin usein rajamerkin alla olevaa ilmaisua on muutettava hieman epävarmuustekijöiden poistamiseksi.

Esimerkki.

Laske raja

Ratkaisu.

Korvaa arvo:

Olemme tulleet epävarmuuteen. Katsomme epävarmuustaulukkoa valitaksemme ratkaisumenetelmän. Yritetään yksinkertaistaa ilmaisua.

Vastaus:

Esimerkki.

Laske raja

Ratkaisu.

Korvaa arvo:

Pääsimme epävarmuuteen (0-0). Katsomme epävarmuustaulukkoa valitaksemme ratkaisumenetelmän ja yritämme yksinkertaistaa lauseketta. Kerrotaan sekä osoittaja että nimittäjä lausekkeella, joka on konjugoitu nimittäjään.

Nimittäjälle konjugaattilauseke on

Kerroimme nimittäjän, jotta voimme soveltaa lyhennettyä kertolaskukaavaa - neliöiden erotus ja sitten pienentää tuloksena olevaa lauseketta.

Muutosten sarjan jälkeen epävarmuus katosi.

Vastaus:

KOMMENTTI: Tämän tyyppisille rajoituksille konjugaattilausekkeilla kertova menetelmä on tyypillinen, joten käytä sitä vapaasti.

Esimerkki.

Laske raja

Ratkaisu.

Korvaa arvo:

Olemme tulleet epävarmuuteen. Katsomme epävarmuustaulukkoa valitaksemme ratkaisumenetelmän ja yritämme yksinkertaistaa lauseketta. Koska sekä osoittaja että nimittäjä katoavat kohdassa x = 1, niin jos näitä lausekkeita voidaan pienentää (x-1) ja epävarmuus katoaa.

Lasketaan osoittaja kertoimella:

Otetaan nimittäjä kertoimella:

Rajamme on muotoa:

Muutoksen jälkeen epävarmuus paljastui.

Vastaus:

Tarkastellaan rajoja äärettömyydessä teholausekkeista. Jos potenssilausekkeen eksponentit ovat positiivisia, niin raja äärettömässä on ääretön. Lisäksi suurin aste on ensisijaisen tärkeä; loput voidaan hylätä.

Esimerkki.

Jos rajamerkin alla oleva lauseke on murto-osa ja sekä osoittaja että nimittäjä ovat potenssilausekkeita (m on osoittajan potenssi ja n on nimittäjän potenssi), niin kun muodon epävarmuus äärettömästä äärettömään syntyy, tässä tapauksessa epävarmuus paljastuu jakamalla sekä osoittajan että nimittäjän

Esimerkki.

Laske raja

Sovellus

Rajoitukset verkossa sivustolla opiskelijoille ja koululaisille, jotta he voivat koota kattavan materiaalin kokonaan. Kuinka löytää raja verkossa resurssimme avulla? Tämä on erittäin helppoa; sinun tarvitsee vain kirjoittaa alkuperäinen funktio muuttujalla x oikein, valita haluttu ääretön valitsimesta ja napsauttaa "Ratkaise" -painiketta. Siinä tapauksessa, että funktion raja on laskettava jossain kohdassa x, sinun on ilmoitettava tämän pisteen numeerinen arvo. Saat vastauksen rajan ratkaisuun muutamassa sekunnissa, toisin sanoen - välittömästi. Jos annat kuitenkin virheellisiä tietoja, palvelu ilmoittaa sinulle automaattisesti virheestä. Korjaa aiemmin esitelty funktio ja hanki oikea ratkaisu rajaan. Rajojen ratkaisemiseen käytetään kaikkia mahdollisia tekniikoita, erityisen usein käytetään L'Hopitalin menetelmää, koska se on universaali ja johtaa vastaukseen nopeammin kuin muut funktion rajan laskentamenetelmät. On mielenkiintoista tarkastella esimerkkejä, joissa moduuli on läsnä. Muuten, resurssimme sääntöjen mukaan moduulia merkitään klassisella pystypalkilla matematiikan "|" tai Abs(f(x)) latinan absoluuttisesta sanasta. Usein lukujonon summan laskeminen edellyttää rajan ratkaisemista. Kuten kaikki tietävät, sinun on vain ilmaistava oikein tutkittavan sekvenssin osasumma, ja sitten kaikki on paljon yksinkertaisempaa ilmaisen verkkosivustopalvelumme ansiosta, koska osasumman rajan laskeminen on numeerisen sekvenssin lopullinen summa. Yleisesti ottaen teoria rajan ylittämisestä on kaiken matemaattisen analyysin peruskäsite. Kaikki perustuu juuri rajojen läpikäymiseen, eli rajojen ratkaiseminen on matemaattisen analyysin tieteen perusta. Integroinnissa käytetään myös rajaan siirtymistä, kun integraali esitetään teorian mukaan rajattoman määrän alueita summana. Siellä missä jotain on rajoittamaton määrä, eli objektien määrän taipumus äärettömyyteen, silloin rajasiirtymien teoria astuu aina voimaan, ja se on yleisesti hyväksytyssä muodossaan ratkaisu kaikille tuttuihin rajoihin. Rajojen ratkaiseminen verkossa sivustolla on ainutlaatuinen palvelu tarkan ja välittömän vastauksen saamiseen reaaliajassa. Toiminnan raja (toimintoraja-arvo) tuumaa annettu piste, joka rajoittaa funktion määrittelyaluetta, on arvo, johon tarkasteltavan funktion arvo pyrkii, kun sen argumentti pyrkii tiettyyn pisteeseen. Ei ole harvinaista, ja sanoisimme jopa hyvin usein, että opiskelijoilla on kysymys rajojen ratkaisemisesta verkossa matemaattista analyysiä opiskellessaan. Mietitkö rajan ratkaisemista verkossa yksityiskohtainen ratkaisu yksinomaan sisällä erikoistapaukset, käy selväksi, että monimutkaisen ongelman ratkaiseminen on mahdotonta ilman laskennallista rajalaskuria. Rajojen ratkaiseminen palvelullamme on tae tarkkuudesta ja yksinkertaisuudesta Funktion raja on yleistys sekvenssin rajan käsitteestä: alun perin funktion rajana pisteessä ymmärrettiin sekvenssin rajana. funktion arvoalueen elementit, jotka koostuvat funktion määritelmäalueen elementtien sarjan pisteistä, jotka konvergoivat tiettyyn pisteeseen (raja, jota tarkastellaan); jos tällainen raja on olemassa, funktion sanotaan konvergoivan määritettyyn arvoon; jos tällaista rajaa ei ole olemassa, funktion sanotaan poikkeavan. Rajojen ratkaiseminen verkossa on helppo ratkaisu käyttäjille, jos he osaavat ratkaista rajat verkossa verkkosivuston avulla. Pysytään keskittyneinä emmekä anna virheiden aiheuttaa meille ongelmia epätyydyttävien arvosanojen muodossa. Kuten mikä tahansa ratkaisu rajoituksiin verkossa, ongelmasi esitetään kätevässä ja ymmärrettävässä muodossa, yksityiskohtaisella ratkaisulla, noudattaen kaikkia ratkaisun saamista koskevia sääntöjä ja määräyksiä. Useimmiten funktion rajan määritelmä muotoillaan naapurustojen kielellä. Tässä funktion rajoja tarkastellaan vain pisteissä, jotka rajoittavat funktion määritelmäaluetta, mikä tarkoittaa, että tietyn pisteen jokaisessa ympäristössä on pisteitä juuri tämän funktion määritelmäalueelta. Tämä antaa meille mahdollisuuden puhua funktion argumentin taipumuksesta tiettyyn pisteeseen. Mutta määritelmäalueen rajapisteen ei tarvitse kuulua itse määritelmäalueeseen, ja tämä todistetaan ratkaisemalla raja: esimerkiksi voidaan tarkastella funktion rajaa avoimen välin päissä, jolla funktio on määritelty. Tässä tapauksessa itse intervallin rajat eivät sisälly määritelmäalueeseen. Tässä mielessä tietyn pisteen lävistettyjen alueiden järjestelmä on erikoistapaus sellainen sarjojen perusta. Rajojen ratkaiseminen verkossa yksityiskohtaisella ratkaisulla tapahtuu reaaliajassa ja kaavoja käyttäen nimenomaisessa muodossa.Voit säästää aikaa ja ennen kaikkea rahaa, koska emme pyydä tästä korvausta. Jos jossain vaiheessa funktion määritelmäalueella on raja ja tämän rajan ratkaisu on yhtä suuri kuin funktion arvo tässä pisteessä, niin funktio osoittautuu sellaisessa pisteessä jatkuvaksi. Nettisivuillamme ratkaisu rajoihin on saatavilla verkossa 24 tuntia vuorokaudessa, joka päivä ja joka minuutti.Rajalaskurin käyttö on erittäin tärkeää ja pääasia on, että käytät sitä aina, kun haluat testata tietosi. Opiskelijat hyötyvät selvästi kaikista näistä toiminnoista. Rajan laskeminen pelkkää teoriaa käyttäen ja soveltamalla ei aina ole niin yksinkertaista, kuten maan yliopistojen matematiikan laitosten kokeneet opiskelijat sanovat. Fakta pysyy tosiasiana, jos on tavoite. Tyypillisesti löydetty ratkaisu rajoihin ei sovellu paikallisesti ongelman muotoiluun. Opiskelija iloitsee heti, kun hän löytää rajalaskurin verkosta Internetistä ja vapaasti saatavilla, eikä vain itselleen, vaan kaikille. Tarkoituksena tulisi katsoa matematiikkaa sen yleisessä ymmärryksessä. Jos kysyt Internetissä kuinka löytää raja verkossa yksityiskohtaisesti, pyynnön seurauksena ilmestyvien sivustojen massa ei auta tapaamme. Osapuolten välinen ero kerrotaan tapahtuman vastaavuudella. Funktion alkuperäinen oikeutettu raja on määritettävä itse matemaattisen ongelman muotoilulla. Hamilton oli oikeassa, mutta kannattaa ottaa huomioon hänen aikalaistensa lausunnot. Rajojen laskeminen verkossa ei ole missään nimessä niin vaikea tehtävä kuin miltä ensi silmäyksellä saattaa tuntua... Jotta ei riko horjumattomien teorioiden totuutta. Palatakseni alkutilanteeseen, on tarpeen laskea raja nopeasti, tehokkaasti ja siististi muotoillussa muodossa. Olisiko mahdollista toimia toisin? Tämä lähestymistapa on ilmeinen ja perusteltu. Rajalaskin on suunniteltu lisäämään tietoa, parantamaan kirjoittamisen laatua kotitehtävät ja nostaa yleistä mielialaa opiskelijoiden keskuudessa, tämä on heille oikein. Sinun tarvitsee vain ajatella mahdollisimman nopeasti ja mieli voittaa. Online-interpolointitermien rajoista puhuminen on erittäin hienostunutta toimintaa alansa ammattilaisille. Ennustamme suunnittelemattomien erojen järjestelmän suhteen avaruuden pisteissä. Ja jälleen, ongelma on pelkistetty epävarmuuteen, joka perustuu siihen tosiasiaan, että funktion raja on olemassa äärettömyydessä ja tietyllä paikallisen pisteen alueella tietyllä x-akselilla alkuperäisen lausekkeen affiinin muunnoksen jälkeen. On helpompi analysoida pisteiden nousua tasossa ja avaruuden huipulla. SISÄÄN yleinen tilanne Matemaattisen kaavan johtamisesta ei puhuta niin todellisuudessa kuin teoriassa, joten online-rajalaskuria käytetään tässä mielessä aiottuun tarkoitukseen. Ilman rajaa verkossa minun on vaikea suorittaa lisälaskelmia käyräavaruuden tutkimisen alalla. Oikean oikean vastauksen löytäminen ei olisi helpompaa. Onko mahdotonta laskea rajaa, jos tietty piste avaruudessa on etukäteen epävarma? Kumotaanpa tutkimusalueen ulkopuolisten vastausten olemassaolo. Raja-arvojen ratkaisemista voidaan käsitellä matemaattisen analyysin näkökulmasta akselin pistejärjestyksen tutkimuksen alkuna. Pelkästään laskennan tosiasia voi olla sopimatonta. Numerot ovat esitettävissä äärettömänä sekvenssinä ja ne tunnistetaan alkumerkinnällä, kun olemme ratkaisseet rajan verkossa yksityiskohtaisesti teorian mukaisesti. Perusteltu parhaan hinta-laatusuhteen puolesta. Toimintorajan tulos, ilmeisenä virheenä väärin muotoillussa ongelmassa, voi vääristää käsitystä epävakaan järjestelmän todellisesta mekaanisesta prosessista. Kyky ilmaista merkitys suoraan katselualueelle. Yhdistämällä online-raja samanlaiseen yksipuolisen raja-arvon merkintään on parempi välttää sen selkeää ilmaisemista vähennyskaavojen avulla. Sen lisäksi, että aloitetaan tehtävän suhteellinen suorittaminen. Laajennamme polynomia, kun voimme laskea yksipuolisen rajan ja kirjoittaa sen äärettömyyteen. Yksinkertaiset ajatukset johtavat todelliseen tulokseen matemaattisessa analyysissä. Yksinkertainen rajojen ratkaisu johtuu usein toteutettujen vastakkaisten matemaattisten kuvitusten erilaisesta tasa-arvosta. Viivat ja Fibonacci-luvut selvittivät rajalaskimen netissä, tästä riippuen voit tilata rajattoman laskennan ja ehkä monimutkaisuus vetäytyy taustalle. Graafin avaaminen tasossa kolmiulotteisen avaruuden siivussa on käynnissä. Tämä synnytti tarpeen esittää erilaisia näkemyksiä monimutkaisista asioista matemaattinen ongelma. Tulos ei kuitenkaan kestä kauan. Meneillään oleva nousevan tuotteen toteuttamisprosessi kuitenkin vääristää riviavaruutta ja kirjoittaa rajan online-tilaan perehtyäkseen ongelman muotoiluun. Tehtävien kertymisprosessin luonnollisuus määrittää tiedon tarpeen kaikilla osa-alueilla matemaattiset tieteet. Erinomaisesta rajalaskimesta tulee välttämätön työkalu taitavien opiskelijoiden käsissä, ja he arvostavat sen kaikkia etuja digitaalisen edistyksen analogeihin verrattuna. Kouluissa verkkorajoja kutsutaan jostain syystä eri tavalla kuin oppilaitoksissa. Funktion arvo kasvaa, kun argumentti muuttuu. L'Hopital sanoi myös, että funktion rajan löytäminen on vain puolet taistelusta; sinun on saatettava ongelma loogiseen päätökseensä ja esitettävä vastaus laajennetussa muodossa. Todellisuus on riittävä tapauksen tosiasioiden olemassaololle. Liittynyt historiallisesti online-rajaan tärkeitä näkökohtia matemaattisia tieteitä ja muodostavat perustan lukuteorian opiskelulle. Sivun koodaus matemaattisilla kaavoilla on saatavilla selaimessa asiakkaan kielellä. Kuinka laskea raja käyttämällä hyväksyttävää laillista menetelmää pakottamatta funktiota muuttumaan x-akselin suuntaan. Yleensä avaruuden todellisuus ei riipu vain funktion kuperuudesta tai sen koveruudesta. Poista ongelmasta kaikki tuntemattomat ja rajojen ratkaiseminen johtaa käytettävissä olevien matemaattisten resurssien pienimpään kulutukseen. Ilmoitetun ongelman ratkaiseminen korjaa toimivuuden sataprosenttisesti. Tuloksena oleva matemaattinen odotus paljastaa verkossa yksityiskohtaisesti rajan pienimmän merkittävän erikoissuhteen poikkeaman suhteen. Päätöksen jälkeen kului kolme päivää matemaattinen ratkaisu tieteen hyväksi. Tämä on todella hyödyllistä toimintaa. Ilman syytä online-rajan puuttuminen merkitsee eroa yleisessä lähestymistavassa tilanneongelmien ratkaisemiseen. Paras otsikko jatkossa tarvitaan yksipuolinen raja epävarmuus 0/0. Resurssi ei voi olla vain kaunis ja hyvä, vaan myös hyödyllinen, kun se voi laskea rajan puolestasi. Suuri tiedemies tutki opiskelijana kirjoittamisen toimintoja tieteellistä työtä. Kymmenen vuotta on kulunut. Ennen erilaisia vivahteita kannattaa yksiselitteisesti kommentoida matemaattista odotusta sen puolesta, että funktion raja lainaa päämiesten eroa. Tilatuille testata vastasi. Matematiikassa poikkeuksellinen asema opetuksessa on, kummallista kyllä, verkkorajojen tutkiminen toisensa poissulkevien kolmansien osapuolten suhteiden kanssa. Kuten tavallisissa tapauksissa tapahtuu. Sinun ei tarvitse kopioida mitään. Analysoituaan lähestymistapoja opiskelijoiden opiskeluun matemaattisia teorioita, jätämme rajojen päätöksen perusteellisesti viimeiseen vaiheeseen. Tämä on seuraavan merkitys, tutki tekstiä. Taittuminen määrittää yksiselitteisesti matemaattisen lausekkeen vastaanotetun tiedon olemuksena. online-raja on monisuuntaisten vektorien matemaattisen suhteellisuusjärjestelmän todellisen sijainnin määrittämisen ydin. Tässä mielessä tarkoitan ilmaista oma mielipide. Kuten edellisessä tehtävässä. Erottuva online-raja laajentaa vaikutuksensa yksityiskohtaisesti matemaattiseen näkemykseen opiskelualan ohjelma-analyysin peräkkäistutkimuksesta. Teorian kontekstissa matematiikka on jotain korkeampaa kuin pelkkä tiede. Uskollisuus näkyy teoilla. On edelleen mahdotonta katkaista peräkkäisten lukujen ketjua, jotka alkavat liikkua ylöspäin, jos raja on laskettu väärin. Kaksipuolinen pinta ilmaistaan luonnollisessa muodossaan täysikokoisena. Mahdollisuudesta tutkia matemaattinen analyysi funktion raja sulkee sisäänsä funktionaalisen sarjan sekvenssin epsilonialueena tietyssä pisteessä. Toisin kuin funktioteoriassa, laskelmien virheet eivät ole poissuljettuja, mutta tämä on tilanteen mukaan. Jako rajalla online-tehtävä voidaan kirjoittaa muuttuvalla divergenssifunktiolla epälineaarisen järjestelmän nopealle tulolle kolmiulotteisessa avaruudessa. Triviaali tapaus on toiminnan perusta. Sinun ei tarvitse olla opiskelija analysoidaksesi tätä tapausta. Käynnissä olevan laskennan momenttien kokonaisuus, aluksi rajojen ratkaisu määrää, kuinka koko integraalijärjestelmän toiminta etenee ordinaatta-akselilla useita merkityksiä numeroita. Otetaan perusarvoksi pienin mahdollinen matemaattinen arvo. Päätelmä on ilmeinen. Tasojen välinen etäisyys auttaa laajenemaan teoriassa online-rajoituksia, koska subpolaarisen merkittävyyden aspektin divergentin laskentamenetelmän käytöllä ei ole mitään luontaista merkitystä. Erinomainen valinta, jos rajalaskin sijaitsee palvelimella, tämä voidaan ottaa sellaisenaan vääristämättä pinta-alan muutoksen merkitystä, muuten lineaarisuusongelma kasvaa. Täydellinen matemaattinen analyysi paljasti järjestelmän epävakauden ja sen kuvauksen pisteen pienimmän ympäristön alueella. Kuten mikä tahansa funktion raja ordinaattien ja abskissojen leikkausakselilla, voidaan päätellä numeerisia arvoja objektit tiettyyn minimaaliseen ympäristöön tutkimusprosessin toiminnallisuuden jakautumisen mukaan. Kirjoitetaan tehtävä kohta kohdalta. Kirjoittamisessa on jako eri vaiheisiin. Akateemisia väitteitä siitä, että rajan laskeminen on todella vaikeaa tai ei ollenkaan helppoa, tukee analyysi poikkeuksetta kaikkien perustutkinto- ja jatko-opiskelijoiden matemaattisista näkemyksistä. Mahdolliset välitulokset eivät kestä kauan pitkään aikaan. Yllä olevaa rajaa tutkitaan yksityiskohtaisesti verkossa ehdoton minimi objektien systeeminen ero, jonka takana matematiikan avaruuden lineaarisuus on vääristynyt. Opiskelijat eivät käytä suurempaa alueen segmentointia moninkertaisten erimielisyyksien laskemiseen sen jälkeen, kun ne ovat tallentaneet vähennyslaskujen rajalaskuria. Alkamisen jälkeen kielletään opiskelijoilta matematiikan tilaympäristön opiskelun tehtäviä. Koska olemme jo löytäneet funktion rajan, rakennetaan sen tutkimuksesta kuvaaja tasolle. Korostetaan ordinaatta-akselit erityisellä värillä ja näytetään viivojen suunta. Siellä on vakautta. Epävarmuus on läsnä pitkään vastauksen kirjoittamisen aikana. Laske funktion raja pisteessä yksinkertaisesti analysoimalla rajojen välistä eroa äärettömyydessä alkuolosuhteissa. Tämä menetelmä ei ole kaikkien käyttäjien tiedossa. Tarvitsemme matemaattista analyysiä. Rajojen ratkaiseminen kerää kokemusta sukupolvien mieleen moniksi vuosiksi eteenpäin. On mahdotonta olla mutkistamatta prosessia. Kaikkien sukupolvien opiskelijat ovat vastuussa sen tekemisestä. Kaikki yllä oleva voi alkaa muuttua, jos funktioiden sijainnille ei ole kiinteää argumenttia tietyn pisteen ympärillä, joka on laskentatehoeron suhteen rajalaskimista jäljessä. Tarkastellaan funktiota saadaksesi tuloksena oleva vastaus. Päätelmä ei ole ilmeinen. Pois lukien kokonaismäärä implisiittisesti annetut funktiot matemaattisten lausekkeiden muuntamisen jälkeen, viimeinen vaihe on löytää rajat verkossa oikein ja suurella tarkkuudella. Annetun päätöksen hyväksyttävyys on tarkistettava. Prosessi jatkuu. Sekvenssin paikantaminen erillään funktioista ja valtavan kokemuksensa avulla matemaatikot joutuvat laskemaan rajan perustellakseen oikean suunnan tutkimuksessa. Tällainen tulos ei vaadi teoreettista tehostusta. Muuta x-akselin nollasta poikkeavan pisteen tietyllä alueella olevien lukujen osuutta kohti online-rajalaskimen muuttuvaa avaruudellista kaltevuuskulmaa matematiikan kirjoitetun tehtävän alla. Yhdistäkäämme kaksi avaruuden aluetta. Ratkaisijoiden erimielisyyttä siitä, miten funktion raja saa avaruudessa yksipuolisten arvojen ominaisuudet, ei voi jäädä huomaamatta opiskelijoiden tehostetuista ohjatuista suorituksista. Matematiikan online-rajan suunta on ottanut yhden vähiten kiistanalaisimmista asennoista juuri näiden rajojen laskennan epävarmuudesta. Online-rajalaskin tasakylkisten kolmioiden ja kuutioiden korkeudelle, joiden sivu on kolme ympyrän sädettä, auttaa opiskelijaa oppimaan ulkoa tieteen alkuvaiheessa. Jättäkäämme opiskelijoiden omantunnon ratkaistavaksi rajat toimivan matemaattisen heikentyneen järjestelmän tutkimisessa tutkimustason puolelta. Opiskelijan näkemys lukuteoriasta on epäselvä. Jokaisella on oma mielipiteensä. Oikea suunta matematiikan opiskelussa auttaa laskemaan rajan varsinaisessa merkityksessä, kuten edistyneiden maiden yliopistoissa. Matematiikassa kotangentti lasketaan rajalaskimeksi ja se on kahden muun perusasteen suhde trigonometriset funktiot, eli argumentin kosini ja sini. Tämä on ratkaisu segmenttien puolittamiseen. Erilainen lähestymistapa ei todennäköisesti ratkaise tilannetta menneen hetken hyväksi. Voimme puhua pitkään siitä, kuinka online-rajaa on erittäin vaikeaa ja turhaa ratkaista yksityiskohtaisesti ilman ymmärrystä, mutta tämä lähestymistapa pyrkii lisäämään opiskelijoiden sisäistä kurinalaisuutta.

Tyyppi- ja lajiepävarmuus ovat yleisimpiä epävarmuustekijöitä, jotka tulee paljastaa rajoja ratkaistaessa.

Suurin osa Opiskelijoiden kohtaamat rajaongelmat sisältävät juuri tällaisia epävarmuustekijöitä. Niiden paljastamiseksi tai tarkemmin sanoen epävarmuuksien välttämiseksi on olemassa useita keinotekoisia tekniikoita rajamerkin alla olevan ilmaisutyypin muuntamiseksi. Nämä tekniikat ovat seuraavat: osoittajan ja nimittäjän termikohtainen jako muuttujan suurimmalla potenssilla, kertominen konjugaattilausekkeella ja tekijöiden jakaminen myöhempää pelkistystä varten ratkaisuja käyttämällä toisen asteen yhtälöt ja lyhennetyt kertolaskukaavat.

Lajien epävarmuus

Esimerkki 1.

n on yhtä suuri kuin 2. Siksi jaamme osoittajan ja nimittäjän termillä termillä:

Kommentoi lausekkeen oikealle puolelle. Nuolet ja numerot osoittavat, mitkä murtoluvut pyrkivät vaihtamisen jälkeen n tarkoittaa ääretöntä. Tässä, kuten esimerkissä 2, tutkinto n Nimittäjässä on enemmän kuin osoittajassa, minkä seurauksena koko murto-osa on taipumus olla äärettömän pieni tai "superpieni".

Saamme vastauksen: tämän funktion raja, jonka muuttuja pyrkii äärettömyyteen, on yhtä suuri kuin .

Esimerkki 2. .

Ratkaisu. Tässä muuttujan suurin teho x on yhtä suuri kuin 1. Siksi jaamme osoittajan ja nimittäjän termin termillä x:

Kommentti päätöksen etenemisestä. Osoittimessa ajetaan "x" kolmannen asteen juuren alle ja jotta sen alkuperäinen aste (1) pysyy ennallaan, annamme sille saman asteen juuren kanssa, eli 3. Ei ole nuolia tai lisälukuja tässä merkinnässä, joten kokeile sitä mielessään, mutta määritä analogisesti edellisen esimerkin kanssa, mitä osoittajan ja nimittäjän lausekkeet pyrkivät korvaamaan äärettömän "x":n sijaan.

Saimme vastauksen: tämän funktion raja äärettömyyteen pyrkivällä muuttujalla on yhtä suuri kuin nolla.

Lajien epävarmuus

Esimerkki 3. Selvitä epävarmuus ja löydä raja.

Ratkaisu. Osoittaja on kuutioiden erotus. Otetaan se kertoimella käyttämällä lyhennettyä kertolaskua koulun matematiikan kurssista:

Nimittäjä sisältää toisen asteen trinomin, jonka kerromme ratkaisemalla toisen asteen yhtälön (jälleen kerran linkki toisen asteen yhtälöiden ratkaisemiseen):

Kirjataan muistiin muunnosten tuloksena saatu lauseke ja selvitetään funktion raja:

Esimerkki 4. Vapauta epävarmuus ja löydä raja

Ratkaisu. Osamäärärajalause ei sovellu tähän, koska

Siksi muunnamme murto-osan identtisesti: kertomalla osoittaja ja nimittäjä binomikonjugaatilla nimittäjään ja vähentämällä x+1. Lauseen 1 seurauksen mukaan saamme lausekkeen, jonka ratkaisemalla löydämme halutun rajan:

Esimerkki 5. Vapauta epävarmuus ja löydä raja

Ratkaisu. Suora arvonkorvaus x= 0 V annettu toiminto johtaa epävarmuuteen muotoon 0/0. Tehdään se avataksesi identiteetin muunnoksia ja lopulta saamme halutun rajan:

Esimerkki 6. Laskea

Ratkaisu: Käytetään rajojen lauseita

Vastaus: 11

Esimerkki 7. Laskea

Ratkaisu: tässä esimerkissä osoittajan ja nimittäjän rajat ovat yhtä kuin 0:

; . Olemme saaneet, joten osamäärän rajaa koskevaa lausetta ei voida soveltaa.

Kerrotaan osoittaja ja nimittäjä murtoluvun pienentämiseksi yhteisellä kertoimella, joka pyrkii nollaan, ja tehdään siksi mahdollista käyttöä Lause 3.

Laajennataan osoittajan neliötrinomia kaavalla , jossa x 1 ja x 2 ovat trinomin juuria. Kun olet kertonut ja nimittäjä, vähennä murtolukua (x-2) ja käytä sitten Lause 3.

Vastaus:

Esimerkki 8. Laskea

Ratkaisu: Kun osoittaja ja nimittäjä pyrkivät äärettömyyteen, niin lausetta 3 suoraan sovellettaessa saadaan lauseke , joka edustaa epävarmuutta. Päästäksesi eroon tämän tyyppisestä epävarmuudesta, sinun tulee jakaa osoittaja ja nimittäjä argumentin suurimmalla teholla. Tässä esimerkissä sinun on jaettava X:

Vastaus:

Esimerkki 9. Laskea

Ratkaisu: x 3:

Vastaus: 2

Esimerkki 10. Laskea

Ratkaisu: Kun osoittaja ja nimittäjä pyrkivät äärettömään. Jaetaan osoittaja ja nimittäjä argumentin suurimmalla potenssilla, ts. x 5:

Murtoluvun osoittaja pyrkii 1:een, nimittäjä 0:aan, joten murto-osa pyrkii äärettömyyteen.

Vastaus:

Esimerkki 11. Laskea

Ratkaisu: Kun osoittaja ja nimittäjä pyrkivät äärettömään. Jaetaan osoittaja ja nimittäjä argumentin suurimmalla potenssilla, ts. x 7:

Vastaus: 0

Johdannainen.

Funktion y = f(x) derivaatta argumentin x suhteen kutsutaan sen inkrementin y ja argumentin x lisäyksen x suhteen rajaksi, kun argumentin inkrementti pyrkii nollaan: . Jos tämä raja on äärellinen, niin funktio y = f(x) sanotaan olevan differentioituva pisteessä x. Jos tämä raja on olemassa, he sanovat, että toiminto y = f(x) on ääretön derivaatta pisteessä x.

Alkeisfunktioiden johdannaiset:

1. (const)=0 9.

3. 11.

4. 12.

5. 13.

6. 14.

Erottamisen säännöt:

Esimerkki 1. Etsi funktion derivaatta

Ratkaisu: Jos toisen termin derivaatta löydetään käyttämällä murtolukujen differentiaatiosääntöä, niin ensimmäinen termi on kompleksifunktio, jonka derivaatta löytyy kaavasta:

Missä sitten

Ratkaisussa käytettiin seuraavia kaavoja: 1,2,10,a,c,d.

Vastaus:

Esimerkki 21. Etsi funktion derivaatta

Ratkaisu: molemmat termit - monimutkaiset toiminnot, missä ensimmäinen , , ja toinen , , sitten

Vastaus:

Johdannaiset sovellukset.

1. Nopeus ja kiihtyvyys

Olkoon funktio s(t) kuvaava asema objekti jossain koordinaattijärjestelmässä hetkellä t. Tällöin funktion s(t) ensimmäinen derivaatta on hetkellinen nopeus esine:
v=s′=f′(t)
Funktion s(t) toinen derivaatta edustaa hetkellistä kiihtyvyys esine:
w=v′=s′′=f′′(t)

2. Tangenttiyhtälö
y-y0=f'(x0)(x-x0),
missä (x0,y0) ovat tangenttipisteen koordinaatit, f′(x0) on funktion f(x) derivaatan arvo tangenttipisteessä.

3. Normaali yhtälö
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),

missä (x0,y0) ovat sen pisteen koordinaatit, jossa normaali piirretään, f′(x0) on funktion f(x) derivaatan arvo tässä pisteessä.

4. Lisätään ja vähennetään toimintoja
Jos f′(x0)>0, niin funktio kasvaa pisteessä x0. Alla olevassa kuvassa funktio kasvaa muodossa x x2.
Jos f'(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1Jos f′(x0)=0 tai derivaatta ei ole olemassa, niin tämä kriteeri ei salli funktion monotonisuuden luonnetta pisteessä x0.

5. Toiminnon paikallinen ääripää
Funktiolla f(x) on paikallinen maksimi pisteessä x1, jos pisteen x1 naapurusto on sellainen, että kaikille x:lle tästä naapurustosta pätee epäyhtälö f(x1)≥f(x).
Vastaavasti funktiolla f(x) on paikallinen minimi pisteessä x2, jos pisteen x2 naapurusto on sellainen, että kaikille tämän naapuruston x:ille epäyhtälö f(x2)≤f(x) pätee.

6. Kriittiset kohdat
Piste x0 on Kriittinen piste funktio f(x), jos derivaatta f′(x0) siinä on nolla tai sitä ei ole olemassa.

7. Ensimmäinen riittävä merkki ääripään olemassaolosta
Jos funktio f(x) kasvaa (f′(x)>0) kaikilla x:illä jollain välillä (a,x1] ja pienenee (f′(x))<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) kaikille x:lle väliltä )