Virheellisten integraalien laskenta jäännösten avulla. Integraalien ratkaiseminen verkossa

Rationaalisen funktion integraali.

Tarkastellaan rationaalisen funktion väärää integraalia – kahden polynomin P(x) ja Q(x) suhdetta (kompleksikertoimilla):

Se konvergoi, jos nimittäjällä ei ole todellisia juuria ja osoittajan aste on vähintään kaksi yksikköä pienempi kuin nimittäjän aste.

Kuinka laskea tämän integraalin arvo?

Voit tietysti ottaa rationaalisen funktion epämääräisen integraalin ja korvata rajat. Mutta käy ilmi, että joskus on nopeampaa käyttää funktion analyyttiseen luonteeseen liittyviä menetelmiä.

Kompleksisen muuttujan z funktio, yhtä suuri, on analyyttinen kaikkialla muuttujan z tasolla, lukuun ottamatta äärellistä määrää pisteitä – nimittäjän juuria. Tarkastellaan ylemmässä puolitasossa suljettua paloittain sileää ääriviivaa L, jonka muodostaa reaaliakselin jana [-R, R] ja puoliympyrä

jossa R on niin suuri, että tuloksena olevan puoliympyrän ulkopuolella ei ole enää yhtäkään nimittäjän juuria ylemmässä puolitasossa.

Tämän puoliympyrän sisällä on yleisesti ottaen esimerkiksi tietty määrä nimittäjän juuria (kuva 1.3.1).

Kaavan perusteella

saamme ilmaisun

Ohjataan nyt R sisään. Puoliympyrällä meillä on polynomien P(z) ja Q(z) asteiden ehtojen perusteella, missä A on jokin vakio; Siksi

Tästä seuraa, että integraali

on raja arvossa (1.3.1.2). Mutta koska integraali (1.3.1.1) suppenee, sen on oltava yhdenmukainen integraalin (1.3.1.3) rajan kanssa. Niin,

A. Jos juuret ovat yksinkertaisia, niin kaavan mukaan

ja siksi

b. Kommentti. Toimme niiden integraalin ylemmän puolitason funktion jäännösten summaan (kertomalla) ottaen huomioon ääriviivan L, joka koostuu segmentistä [-R, R] ja puoliympyrästä.

Mutta samalla tavalla voidaan järkeillä ääriviivalla, joka koostuu segmentistä (joka kulkee oikealta vasemmalle) ja puoliympyrästä alemmassa puolitasossa; me tulemme saamaan

missä ovat polynomin Q(z) juuret, jotka sijaitsevat alemmalla puolitasolla.

Ylitämme rajan klo, löydämme

Saatu tulos eroaa muodoltaan tuloksesta (1.3.1.4). Todellisuudessa ne tietysti ovat samat, joten näiden tulosten ero, eli kerrottuna funktion jäännösten summalla Q(z:n kaikissa juurissa) sekä ylä- että alapuolitasolla, on yhtä suuri kuin 0.

Tämä voidaan näyttää myös suoraan. Kuten tiedämme, tämä jäännösten summa on sama kuin integraali

pitkin täydellistä ympyrää, jonka säde on riittävän suuri sisältämään kaikki Q(z):n juuret. Tämä integraali ei riipu R:stä ja samalla hyväksyy arvion

Siten integraali (8) on yhtä suuri kuin 0. Näin ollen

A. Fourier-integraalit. Usein kohdataan muodon integraaleja

Jos ehto täyttyy

silloin kaikki kolme Fourier-integraalia konvergoivat absoluuttisesti. Jos kohdassa , funktio f(x) on todellinen ja pyrkii monotonisesti nollaan, integraalit (1.3.2.2) ja (1.3.2.3) konvergoivat kohdassa, mutta yleisesti ottaen ei absoluuttisesti. Jos f(- x)f(x) (eli funktio f(x) on parillinen), niin integraali (1.3.2.3) on nolla, mutta jos f(- x) = -f(x) (funktio f(x) on pariton), integraali (1.3.2.2) on yhtä suuri kuin nolla. Lisäksi on ilmeinen yhteys

joten todellisen f(x) tapauksessa integraalit (1.3.2.2) ja (1.3.2.3) edustavat integraalin (1.3.2.1) reaali- ja imaginaariosia.

b. Ääriviivojen integrointimenetelmät ovat usein hyödyllisiä. Anna olla. On rationaalinen toiminto ja polynomin Q(x) aste on vähintään yhden korkeampi kuin polynomin P(x) aste, eikä se katoa todelliselle x:lle. Tässä tapauksessa integraalit (1.3.2.1) - (1.3.2.3) konvergoivat

Olkoon ylemmässä puolitasossa olevan polynomin Q(x) juuret. Muodostamme suljetun ääriviivan, joka koostuu todellisen akselin segmentistä [-R, R] ja puoliympyrästä.

Näytämme, milloin

Jos, niin ||=||=. Siksi, jos polynomin Q(z) aste on vähintään kaksi yksikköä suurempi kuin polynomin P(z) aste, voidaan relaatiotodistus (1.3.2.5) suorittaa täsmälleen samalla tavalla kuin kohdassa 1.3. .1.

V. Jos polynomin Q(z) aste on vain yhden suurempi kuin polynomin P(z), niin päättely 1.3.1 ei toimi. Tässä tapauksessa määritämme seuraavan lemman.

Lemma. Kun eriarvoisuus on totta

(c - vakio).

Todiste. Koska integraalin huomioiminen riittää

on tasan puolet edellisestä. Meillä on klo

koska u>0:n funktio on rajoitettu. Lemma on todistettu.

Transkriptio

1 VENÄJÄN FEDERATION OPETUS- JA TIETEMINISTERIÖ LIITTOVALTION KOULUTUSVIRASTO Osavaltio oppilaitos korkeampi ammatillinen koulutus"Orenburgsky valtion yliopisto» Osasto soveltava matematiikka IP VASILEGO INTEGRAALIEN LASKENTA HUOMAUTUKSIA MENETELMÄOHJEET Suosittelee julkaistavaksi valtion ammatillisen korkeakoulun "Orenburg State University" Orenburgin toimitus- ja julkaisuneuvosto

2 BBK 6 ya7 V 9 UDC 7 (7 arvostelija Fysikaalisten ja matemaattisten tieteiden kandidaatti, apulaisprofessori, matemaattisen analyysin laitoksen johtaja Nevostruev LM Vasilego IP Integraalien laskenta jäännösten avulla: Metodologiset B9-ohjeet Orenburg: Valtion Oppilaitos O.S. ohjeet on tarkoitettu opiskelijoille talouden erikoisuuksia ja insinööri- ja tekniset erikoisalat Perustuu jäännösteorian päälauseeseen, algoritmit trigonometristen funktioiden määrällisten integraalien ja kahden tyypin virheellisten integraalien laskemiseen BBK 6 ya7 IP Vasilego, GOU OSU,

3 Johdanto Monien fysiikan, mekaniikan ja joidenkin matematiikan alojen ongelmien ratkaisu liittyy määrällisten tai epäsopivien integraalien laskemiseen.Työssä käsitellään tällaisten integraalien laskentamenetelmiä jäännösteorian avulla. Osassa on esimerkkejä menetelmistä määrällisten ja epäasianmukaisten integraalien laskentaan sekä esimerkkejä vaihtoehdoista itsenäinen työ

4 Jäännösteorian perustietoa Pakollinen kirjoista (ja (lukijan tulee tutustua kompleksisen muuttujan funktioteorian peruskäsitteisiin: analyyttinen funktio, kompleksisen muuttujan funktion integraali käyrän yli ja sen ominaisuudet , Taylorin ja Laurentin sarjat jne. Määritelmä Analyyttisen funktion f nolla on piste, jolle f (Jos f ei ole identtinen nolla missään pisteen ympäristössä, niin on mahdollista kuvata riittävän pienisäteinen ympyrä keskipiste pisteessä, jonka sisällä ei ole muita nollia kuin keskusta. If (k f f f (, ja (k f (, silloin pistettä kutsutaan nollaksi kertaluvun k funktiolle f) Jos k, niin nollaa kutsutaan yksinkertaiseksi, kun k > k - useita määritelmiä Pisteitä, joissa funktio f lakkaa olemasta analyyttinen, kutsutaan funktion f singulaaripisteiksi. Määritelmä Pistettä kutsutaan funktion f eristetyksi singulaariseksi pisteeksi, jos funktio f on analyyttinen jossain puhkaisualueella (rengas (C< < r}, а в самой точке или не определена, или определена, но не дифференцируема Определение Ряд вида a (a a где { a } - последовательность комплексных чисел, называется рядом Лорана с центром в точке a Ряд (частью ряда Лорана Ряд a, сходящемся в круге < r, называется правильной, сходящийся в области >, kutsutaan Laurent-sarjan pääosiksi. Määritelmän mukaan Laurent-sarja konvergoi, jos sen säännöllinen ja pääosa suppenevat samanaikaisesti. Siksi Laurent-sarja suppenee renkaaksi:< < r Изолированные особые точки бывают трех типов: устранимая особая точка, полюс, существенно особая точка Определение Изолированная особая точка функции f lm f f называется устранимой, если существует конечный предел

5 Sitten f jos ja vain jos sen Laurent-sarjan pääosa, jonka keskipiste on pisteessä, puuttuu Määritelmä 6 Funktion f lm f eristetty singulaaripiste on napaksi kutsutun funktion irrotettava singulaaripiste jos Sitten f jos ja vain jos Laurent-sarjan pääosa, jonka keskipiste on pisteessä, koostuu m:stä (äärellinen määrä termejä: f on funktion a a m m a a m m m napa (((, a, m) Lukua m kutsutaan navan järjestykseksi jos m , niin napaa kutsutaan yksinkertaiseksi Jos funktiolle f piste on m kertaluokkaa oleva napa, niin funktion piste on nolla luokkaa m f Määritelmä 7 Funktion f lm f eristettyä singulaaripistettä ei ole olemassa Piste kutsutaan oleellisesti singulaariseksi pisteeksi, jos f jos ja vain jos pisteessä keskitetty Laurent-sarjan pääosa sisältää äärettömän määrän termejä, on funktion oleellisesti singulaaripiste. Esimerkiksi piste - olennaisesti funktion singulaaripiste Todellakin, e!Huomaa, että funktion f eristetty singulaaripiste on kertaluvun k napa, jos ja vain jos jossain pisteen pisteytetyssä ympäristössä:< < r, f причем аналитична (k в круге < r и (Вычет функции и правила вычисления его Определение 8 Вычетом однозначной аналитической функции f в изолированной особой точке (в том числе называется значение интеграла f γ d Re s f e

6, jossa integrointi suoritetaan γ -suljetun paloittain sileän Jordan-käyrän yli, joka sisältää pisteen sisällään ja joka ei sisällä muita funktion f singulaaripisteitä. Tässä tapauksessa integrointi suoritetaan positiivisessa suunnassa suhteessa pisteen sisältävään alueeseen Jos Re s f a on kerroin (Laurent-sarjassa If, sitten, niin Re s f a funktion Laurent-laajennuksessa Jäännös f pisteessä, jossa a on kerroin kohdassa f pisteen läheisyydessä, löytyy periaatteessa, suoraan määritelmän mukaan ja ympyrä R, jolla on riittävän suuri säde, otetaan ääriviivaksi γ Säännöt jäännösten laskemiseen pisteessä Jos piste on irrotettava singulaaripiste funktiolle f, niin Re s f Olkoon piste ensimmäisen napa järjestys (yksinkertainen napa arvolle Re s f lm f f then (Erityisesti jos f, jossa funktiot ja ψ, (, ψ(, ψ (, niin pisteen lähialue Re s f ψ ((Jos piste on napa järjestys > m funktiota f ψ ovat analyyttisiä sisään, niin Re s f! (m lm m (m f) Integraalien laskemiseen käytetään jäännösteorian päälausetta: Jos funktio f on analyyttinen suljetussa G-alueella, jota rajoittaa suljettu tasasuoraus. Jordanin käyrä C, lukuun ottamatta äärellistä määrää yksittäisiä yksittäisiä pisteitä a, a, a, jotka sijaitsevat C:n sisällä, niin kaava f d Re s f ak c k 6 pätee

7 Trigonometristen funktioiden integraalien laskenta Integraalit muotoa R(cos,s d, missä (u v R, on rationaalinen funktio, ja funktio g (R(cos, s) on jatkuva janalla [,]), pelkistyy integraali kompleksisen muuttujan funktioiden yksikköympyrän yli Olkoon e Sitten käyttämällä Eulerin kaavoja: e cos s saadaan e e e e s, cos tai s, cos (siis d e d tai Vaihdettaessa arvosta d d d muuttuja kulkee ympyrän ympäri, ~ ~ siksi R d (jossa R R, koska ympyrän rationaalinen funktio R ~ on r > sellainen, että ympyrässä< r функция R ~ определена и аналитична всюду за исключением быть может конечного числа изолированных особых точек, находящихся в круге < Взяв в качестве контура С окружность и применяя теорему, получим ~ Re s R, (k a k где таков:, k - полюсы функции a a, a R ~, лежащие в круге < Таким образом, алгоритм вычисления интеграла R(cos,s d надо доказать, что функция R(cos, s s и непрерывна на [ ;]; делаем замену e при которой отрезок [ ;] cos или рациональна относительно переводится в d M C ; s, cos t, d и t множество { } 7

8~Rd; Tarkistamme lauseen ehdot Tätä varten etsimme eristettyjä singulaaripisteitä, k funktioita R ~ jotka kuuluvat joukkoon C< R ~ аналитична на замкнутом множестве { } { C } G Теперь функция ограниченном окружностью за исключением точек, k ; вычисляем ориентируясь на следующие возможные случаи: ~ а R P многочлен относительно Так как изолированных особых точек нет, то; ~ a б R P (P - многочлен Тогда точка простой R ~ ~ и Re s R a (по определению вычета, поэтому полюс функции a a ; ~ в R причем ψ(, (, ψ (Тогда по правилу ψ ~ ((Re s R и по формуле (; ψ (ψ (~ P г R, где P и Q - многочлены Q Особые точки, k ищутся среди корней (нулей многочлена Q Точки, k могут быть только полюсами (простыми или порядка m Вычет функции R ~ точек, k находят по правилу или по правилу Тогда k ~ Re sr Рассмотрим примеры: dt (cos t Решение Функция cost и непрерывной на [ ;] Полагая f (t является рациональной функцией (cos t t e имеем d cos t, dt 8

9 9 Nyt d d d d Integrandi (g:ssä on yksikköpisteitä jotka ovat toisen kertaluvun napoja Funktio g((integrandi on analyyttinen ympyrässä ja ympyrässä< за исключением точки Следовательно, по теореме имеем: (Re 8 (Re g s g s d Пользуясь формулой правила вычисления вычета имеем: lm lm lm lm lm! ((Re g s Таким образом 8 Вычислить s cos d Решение Используя формулы понижения степени: cos s, cos cos получим, что cos cos d Сделаем замену t, тогда cos cos dt t t Функция t t cos cos является рациональной функцией относительно cost и непрерывной на ; Теперь после замены t e имеем 6 8 d

10 Funktiolla (~ R:llä on yksikköpisteet 8 (6, pisteet ovat ympyrän sisällä Ja - toisen kertaluvun napa, löydämme sen jäännöksen käyttämällä sääntöä ~ (6 (6 Re lm s R lm 8(6 8(6) 8 Piste - yksinkertainen napa Jäännös Re s R ~ löydämme säännöllä ~ Re s R(lm 8 (((Kaavan (8(cos Laske d a cos a R, > 8 (8(8 8)) edellyttäen että< a < и s Решение Рассмотрим интеграл d a cos a поскольку подынтегральная функция нечетна, а пределы интегрирования симметричны Тогда cos s e d d a cos a a cos a После замены e d, cos, d будем иметь d d a a a(a a a ~ Подынтегральная функция R (аналитична на множестве кроме ~ нуля знаменателя а, который является простым полюсом функции R (Особая точка не принадлежит множеству По формуле (и a ~ a a правилу имеем, что Re s R(lm a a a a a a a a

11 (d Laske (s α s e Ratkaisu Tehdään korvaus (s α d (s α e Sitten d d s, d ja s α (Integrandi on analyyttinen joukossa lukuun ottamatta nimittäjän nollaa, joka on yksinkertainen napa) integrandin. Kaavan (ja säännön mukaan saamme, että (s α (Re lm (s s α (((Esimerkkejä itsenäinen päätös Laske integraalit: d dt ; ; cos s t s d d ;, ; cos a > a cos cos d,< a < ; as 7 (cos cos d,; cos cos d 9, a < ; a cos a s d 6, < a < ; a s a, s 8, a >; a cos a d (a b cos, a > b > d

12 Virheellisten integraalien laskenta Kun lasketaan tietyntyyppisiä vääriä integraaleja, käytetään seuraavia kahta Jordan-lemmaa Lemma Olkoon funktio f( jatkuva alueella D C R, m joillekin R > ja lm R M (R, missä ( ) max f , C ( C R, m ) M (R C R R R Sitten lm f d R C R Lemma Olkoon m> ja funktiolle f(ehdot täyttyvät: f(on jatkuva alueella D joillekin R >; lm M (R R Sitten lm f e d R C R) m Ensimmäisen tyypin integraalit muotoa R(x, missä P (x R (x on rationaalinen funktio, Q(x ja polynomi Q(x ei katoa reaaliakselilla ja sen aste on vähintään kaksi yksikköä) suurempi kuin polynomin P(x) aste, kutsumme sitä ensimmäisen tyypin integraaliksi Yllä R(x, c:lle asetettujen ehtojen vuoksi epäyhtälö R(x jollain vakiolla C> täyttyy ja siksi x-integraali Johdetaan kaava tämän integraalin laskemiseksi jäännösten avulla. Tarkastellaan tätä varten suljettua ääriviivaa K τ, joka koostuu puoliympyrästä C τ ( C τ, m ) ja reaaliakselin segmentistä [ τ, τ] (katso kuva y C τ -τ τ x Kuva Ääriviivan K τ kulkusuunta on esitetty kuvassa Tarkastellaan kompleksimuuttujan R funktiota (ja olkoon - tämän navat

13 funktiota ylemmällä puolitasolla Otetaan luku τ niin suureksi, että kaikki pisteet ovat K τ:n sisällä. Koska Q (x on reaaliakselilla, niin siellä on alue G, joka sisältää suljetun ylemmän puolitason ( C m ) ja siten, että funktio R( on analyyttinen G:ssä lukuun ottamatta vain pisteitä, aluetta G, ääriviivaa K τ ja funktiota R(täyttää lauseen ehdot, joten joko τ τ K τ R(d Re sr(k R(x R)) (d Re sr(C R k k siirrytään rajaan kohdassa τ Huomaa, että tässä tapauksessa sen oikea puoli ei muutu, ja vasemmalla puolella R d ensimmäisellä τ Jordanin lemmalla ja integraalilla R (x R(x Siten , saadaan kaava τ k k R(x Re s R( , (Siksi algoritmi ensimmäisen tyypin virheellisten integraalien ratkaisemiseksi on seuraava: näytämme, että nimittäjä Q(x ei katoa reaaliakselilta ja sen aste on vähintään kaksi yksikköä suurempi kuin polynomin aste P(x; P(siirry kompleksifunktiomuuttujaan R ; Q(löydämme polynomin Q() kompleksijuuret, jotka ovat funktion R(; funktion R löydetyistä navoista (valitsemme vain ne, jotka ovat ylemmässä puolitasossa, esim. ; sääntöjen mukaan (tai (laskemme jäännökset Re s R(, k, ; 6) kaavan mukaan (lasketaan integraali Joskus pisteet ja 6 suoritetaan samanaikaisesti. Tarkastellaan esimerkkejä Laske ( x k k C R

14 Ratkaisu Koska integrandi (x on parillinen, niin (x Koska (x ei katoa reaaliakselilla ja polynomin asteella (x on neljä enemmän kuin osoittajan (x) aste),), niin integraali (x on ensimmäisen tyypin integraali. Tarkastellaan funktiota R Roots polynomi ((ovat, - Pisteet ja - funktion R(napa putosi ylempään puolitasoon) Säännön mukaan jäännös lasketaan suhteessa: Re s R(lm (! lm 8 ((lm (!!) Kaavalla (lasketaan integraali) Laske integraali x (x (x 9 lm ((Ratkaisu On selvää, että ensimmäisen tyypin integraali Funktio R on analyyttinen kaikkialla tasossa, ((9 pistettä lukuun ottamatta, Nämä pisteet ovat funktion R yksinkertaisia napoja(kaksi niistä (ja sijaitsevat ylemmässä puolitasossa)) Kaavan (meillä on Mukaan sääntö Re s R(lm Re s R(lm (R(x Re s R(Re s R(lm ((9 (9 (9 (lm ((((9,

15 Tästä syystä 6 6 Laske integraali x, a > (x a Ratkaisu Koska integrandi on parillinen, niin x (x a Ilmeisesti integraali on ensimmäistä tyyppiä. Tarkastellaan funktiota R(Se on analyyttinen kaikkialla tasossa paitsi pisteitä (a a ja a Nämä pisteet ovat funktion R(yksi niistä (a putosi ylempään puolitasoon) (a a Re s R(lm lm a a! a a a) (a lm a (a a (a 6a) Laske integraali, a >, (a x Ratkaisu - ensimmäisen tyypin integraali Funktio R(on napa a n (a kertalukua ylempänä (a (puolitaso)) Sääntöä käyttäen ja kaava (, saamme Re lm a lm s R a (! a (! a a a a!

16; 7 x ; x x 6 x (bx a, a, b > ; (x a (x b, a, b > ; 7 9 x ; x x ; x 8 8 x 6 (x a, a > ; (x x a, a > 6 toisen tyypin integraalia) Integraaleja, joiden muoto on R(x s αx, R(x cos αx), kutsutaan toista tyyppiä oleviksi integraaleiksi P(x, jos R (x on rationaalinen funktio, ja Q(x:llä ei ole Q(x reaalijuurta ja Q(x on vähintään yksi suurempi kuin P (x) aste. Osoitetaan, että näissä olosuhteissa molemmat integraalit konvergoivat. Osittain integroimalla ja ottaen huomioon, että lm R(x, saadaan R(xsαx R(xcosαx α x α R (xcosαx α R (x cosαx) Integraali R (x cos αx) konvergoi absoluuttisesti, koska funktiolla R (x on osoittajan aste vähintään kaksi yksikköä pienempi kuin nimittäjän aste. Tämä tarkoittaa integraalin konvergenssia R(x s αx. Todistamme samalla tavalla integraalin apufunktion konvergenssin lauseen voimalla, saamme τ τ αx Cτ α R(x cos αx Integroimalla f R(e) ääriviivaa K τ pitkin (katso kuva α R( x e R(e d Re s f, jossa τ on niin suuri, että k k kaikki R(n:n navat ovat K τ:n sisällä). Ylitämme rajan kohdassa τ ja huomioimme, että α toisen Jordan-lemman R e d avulla saavutetaan yhtälö C τ

17 R e α d Re s f k k Reaali- ja imaginaariosat yhtälöllä saamme α R(x cos αx Re Re s(R(e k k α R(x s αx m Re s(R e k ((/ missä, k ovat navat) funktion R(, joka sijaitsee ylemmässä puolitasossa. Tarkastellaan esimerkkejä (x s x x x Laske integraali Ratkaisu On selvää, että toisen tyypin integraali D 8< x x x R, и степень знаменателя на меньше степени числителя (s (s Рассмотрим функцию R(((((Функция R(имеет в верхней полуплоскости один простой полюс в точке По формуле (/ имеем m Re s(R(e Используя правило, получаем (e (((e Re s e R(Re s lm ((((lm (e ((e (e e e (cos s Таким образом m e (cos s cos e cos x Вычислить интеграл, a >x a Ratkaisu Koska integraalimerkin alla on tasainen toiminto, sitten cos x ja R (x, α x a x a Koska osoittajan aste (on pienempi kuin nimittäjän aste (x a kahdella yksiköllä ja x a millä tahansa todellisella x:llä, niin integraali 7

18 toisen tyypin Tarkastellaan funktiota R(Funktion a (a(a R(meillä on yksinkertainen napa a ylemmissä puolitasossa) Kaavan (ja säännön mukaan meillä on a a e e e e Re Re s Re Re a a a a a jäännös tässä käytimme kaavaa ((a Re s, koska (a, ψ(a ja ψ (a Samalla tavalla a ψ(ψ (a oli mahdollista laskea jäännös esimerkissä) Esimerkkejä itsenäiselle ratkaisulle) Laske integraalit (x s x x s x ; ; x x (x 9 x s x ; x x x s x, a > ; x x x x x s x 6 7 ; x x s x 9 ; x x 9 6 cosx (x a (x b cos x (x b a x a > ; cos ax 8, a cos x) > ; a b; 8

19 Luettelo käytetyistä lähteistä Aleksandrov IA, Sobolev VV Kompleksisen muuttujan M analyyttiset funktiot: valmistua koulusta, 98 9 Bitsadze AV:n kanssa Kompleksisen muuttujan M analyyttisten toimintojen teorian perusteet: Nauka, 969 Evgrafov MA:n, Sidorov YuV:n, Fedoryuk MV:n, Shabunin MI:n, Bezhanov KA:n kanssa. Kokoelma ongelmia analyyttisten toimintojen teoriasta M: Nauka, Ershova VV:llä Impulssifunktiot Kompleksisen muuttujan funktiot Operaatiolaskenta Minsk: Korkeakoulu, Krasnov ML, Kiselev AI, Makarenko GI Kompleksisen muuttujan funktiot Operaatiolaskenta Vakausteoria M: Nauka, 987 ja 6 Markushevich AI Lyhyt kurssi analyyttisten funktioiden teoria M: Nauka, s. 7 Privalov II Johdatus kompleksisen muuttujan funktioteoriaan M: Nauka, 977 s. 8 Radygin VM, Golubeva OV Kompleksisen muuttujan funktioiden soveltaminen fysiikan ja fysiikan ongelmiin tekniikka - M: Higher scale, 98 6 s. 9 Sveshnikov AG , Tikhonov AN Kompleksisen muuttujan M funktioiden teoria: Nauka, Sidorov YuV, Fedoryuk MV, Shabunin MI Luennot kompleksisen muuttujan M funktioiden teoriasta : Nauka, Solomentsev ED:llä Kompleksisen muuttujan funktiot ja niiden sovellus M: Higher school with Shabat BV Johdatus kompleksiseen analyysiin M: Nauka, s. 9

Käytännön oppitunti 8 Jäännökset 8 Jäännöksen määritelmä 8 Jäännösten laskeminen 8 Logaritminen jäännös 8 Jäännöksen määritelmä Olkoon funktion eristetty yksikköpiste eristetyssä singulaarissa Jäännösanalyysi

Valko-Venäjän tasavallan opetusministeriö Valko-Venäjän valtionyliopisto NI Iljinkova, OAKononova, NKFilippova Jäännösteorian soveltaminen integraalien laskemiseen Minsk UDC 575/55(75) Ratkaisu

Monimutkaisen funktion integraali muuttuva integraali Riemannin integraalisumman FKP-rajasta σ = = f (t Δ funktiolle f (AB-käyrää pitkin, jos se ei riipu menetelmästä, jolla AB-käyrä jaetaan alkeiskäyrään

Starkov V.N. Opetusluennon materiaalit Kysymys 9. Analyyttisten funktioiden laajentaminen potenssisarjoiksi Määritelmä. Funktionaaliset sarjat muodossa ((... (..., missä kompleksivakiot (sarjan kertoimet

Metodologinen kehitys Tehtävien ratkaiseminen TFKP:n avulla Kompleksiluvut Operaatiot kompleksiluvuilla Kompleksitaso Kompleksiluku voidaan esittää algebrallisella ja trigonometrisellä eksponentiaalisella

Luku 1 Operaatiolaskenta. 1. Laplace-muunnoksen määritelmä. Laplace-muunnos yhdistää funktion f(t) reaalimuuttujaan t kompleksisen muuttujan = x + iy funktion F() kanssa

LUENTO N38. Analyyttisen funktion käyttäytyminen äärettömässä. Erikoispisteet. Funktion jäännökset..pisteen lähialue äärettömyydessä.....Laurentin laajennus äärettömyyden pisteen ympäristössä.... 3.Käyttäytyminen

I Tiivistelmä Tieteen (moduuli) tarkoitus ja tavoitteet Tieteen hallinnan tarkoitus: antaa opiskelijoille systemaattista tietoa monimutkaisen analyysin menetelmistä ja opettaa soveltamaan tätä tietoa matemaattisten ongelmien ratkaisemiseen

Bagachuk A.V. Bushueva N.A. Polyakova I.A. Trutnev V.M. MOMPLEKSIMUUTTAJAN TOIMINNAN TEORIA Ohjeita itsenäisen työn suorittamiseen Krasnojarsk 2007 Sisältö. Yleistä tietoa 3 2. Tehtävät

8 Kompleksilukusarja Tarkastellaan lukusarjaa, jonka kompleksiluvut ovat muotoa k a, (46) missä (a k) on annettu lukujono, jossa on kompleksitermejä k Sarjaa (46) kutsutaan konvergentiksi, jos

Valko-Venäjän tasavallan opetusministeriö Oppilaitos "Valko-Venäjän valtio Pedagoginen yliopisto nimetty Maxim Tankin mukaan" N T Stelmashuk, V A Shilinets TFKP-KURSSIN TESTIT Kasvatus- ja metodologiset

VENÄJÄN FEDERAATION OPETUS- JA TIETEMINISTERIÖN Kansallinen tutkimus Nižni Novgorodin osavaltioyliopisto nimetty NI Lobatševski NP Semerikova AA Dubkov AA Kharcheva ANALYYSITOIMINTOJEN RISTO

KOMPLEKSIN MUUTTUJAN OPERATIIVILASKUN TOIMINNON TEORIAN ALUKSET Tämän aiheen opiskelun tuloksena opiskelijan tulee oppia: löytämään kompleksiluvun trigonometriset ja eksponentiaaliset muodot

Dagestanin osavaltion yliopisto kansallinen talous MATEMATIIKAN LAITOS Mukhidinov Magomed Gosengadzhievich Ispagieva Asiyat Dalgatovna Indefinite integral OPETUSOPAS Makhachkala 2017 Mukhidinov

Luento 7 Taylor- ja Laurent-sarjat 7. Taylor-sarjat Tässä osassa nähdään, että potenssisarjan ja analyyttisen funktion käsitteet määrittelevät saman kohteen: minkä tahansa potenssisarjan, jolla on positiivinen konvergenssisäde

Sisältö Johdanto. Peruskäsitteet.... 4 1. Volterran integraaliyhtälöt... 5 Kotitehtävävaihtoehdot.... 8 2. Resolvent integraaliyhtälö Volterra. 10 kotitehtävävaihtoehtoa... 11

~ ~ PKP Johdannainen kompleksisen muuttujan funktiosta PKP Cauchy-Riemannnin ehdot säännöllisyyden käsite PKP Kompleksiluvun kuva ja muoto PKP:n tyyppi: jossa kahden muuttujan reaalifunktio on todellinen

M. V. Deikalova KATTAVA ANALYYSI Tenttikysymykset (ryhmä MX-21, 215) Ensimmäisen kollokvion kysymykset 1 1. Kompleksisen muuttujan funktion differentioituvuus pisteessä. Cauchy-Riemannin (D'Alembert-Euler) olosuhteissa.

OPERATIONAL CLCULUS KUSTANTAJAN OSAT TSTU VENÄJÄN FEDERAATIO OPETUS- JA TIETEMINISTERIÖ GOU VPO "Tambov State Teknillinen yliopisto» OPERATIIVISTEN ELEMENTIT

Monimutkaisen muuttujan funktioteorian ongelmia Osa Pietarin valtionyliopiston soveltavan matematiikan tiedekunnan päätoimiset, ilta- ja kirjeenvaihtolaitokset.

Moskovan osavaltion yliopisto on nimetty. M.V. Lomonosova FYSIKAALINEN TIEDEKUNNAN MATEMATIIKAN LAITOS V.T. Volkov, A.V. Kravtsov, D.V. Minaev, V. Yu. Popov, N.E. Shapkina. Kysymyksiä ja tehtäviä varten

Arviointityökalujen rahasto alan opiskelijoiden välisertifioinnin suorittamiseen (moduuli) Yleistä Matematiikan, fysiikan ja tietotekniikat Harjoittelun suunta 0030 Matematiikka

Kompleksimuuttujan funktioteoria Opettaja Aleksandr Sergeevich Romanov 1. Kompleksimuuttujan analyyttiset funktiot Kompleksiluvut. Kompleksilukujen trigonometriset ja eksponentiaaliset muodot.

Valko-Venäjän tasavallan opetusministeriö Oppilaitos "Fransis Skorinan mukaan nimetty Gomelin valtionyliopisto" A P STAROVOITOV GN KAZIMIROV ZHN KULBAKOVA KOMPLEKSIEN TOIMINTOTEORIA

LUENTO N37. Sarja analyyttisiä toimintoja. Analyyttisen funktion laajentaminen potenssisarjaksi. Taylor-sarja. Laurent-sarja.. Analyyttisen funktion laajentaminen potenssisarjaksi..... Taylor-sarja.... 3. Analyyttisen funktion laajentaminen

HYVÄKSYNYT vararehtori koulutustyötä Yu.A. Samara 10. kesäkuuta 2010 OHJELMA JA TEHTÄVÄT Alan funktioteoria: monimutkainen muuttuja valmistelun alalla: 010600 tiedekunnat: kaikille tiedekunnille

Luento 9 Jäännösteorian elementit 9.1 Jäännöksen määritelmä Tässä osiossa esitellään analyyttisen funktion jäännöksen käsite eristetyssä singulaaripisteessä, joka on tärkeä sovellusten kannalta. Hieman itse termistä. laskee,

Luento 5 Cauchy-tyypin integraali 5.1 Cauchy-tyypin integraali Olkoon C suunnattu paloittain sileä käyrä, f määritelty käyrällä jatkuva toiminto. Minkä tahansa pisteen z C \ kohdalla funktio t f(t) z on jatkuva muuttujassa

Metallurginen tiedekunta Korkeamman matematiikan laitos RANKS Metodologiset ohjeet Novokuznetsk 5 Liittovaltion virasto koulutuksen mukaan Valtion ammatillinen korkeakouluoppilaitos

Tyypillisiä tehtäviä ratkaisujen kanssa. Gammafunktio Esimerkki. Etsi tuote = 3. Ratkaisu. Ensinnäkin indeksoimme + uudelleen, jotta tuote alkaa yhdestä. Tuloksena saamme +. 3 Seuraavaksi hajotamme

VAIHTOEHTO ONGELMA ON LASKEMINEN FUNKTION ARVO (VASTAUS ANNETAAN ALGEBRAALISESSA MUODOSSA: a Arch; b RATKAISU A LASKEMME ARH:N KAAVAA Arch(L(TÄSSÄ ESIMERKESSÄ ZI, SIIN L(, Arch L() ± LISÄÄ KÄYTTÖÄ

Laurent Rows Lisää yleinen tyyppi teho sarja ovat sarjoja, jotka sisältävät sekä positiivisia että negatiivisia voimia z z 0. Kuten Taylor-sarjat, niillä on tärkeä rooli analyyttisten funktioiden teoriassa.

Opetus- ja tiedeministeriö Venäjän federaatio Liittovaltion talousarvion korkea ammatillinen koulutuslaitos "Siperian valtion teollisuusyliopisto"

Sivu oppitunnilta 9. Reaaliintegraalien laskenta jäännösten avulla Mat. analyysi, sovellus. matematiikka, 4. lukukausi Etsi seuraava trigonometriset integraalit jäännöksiä käyttäen: A π + cos ϕ. A π 3

Venäjän federaation opetus- ja tiedeministeriö VENÄJÄN VALTION ÖLJY- JA KAASUN YLIOPISTO, NIMI IM GUBKININ NIMEÄMINEN Melnikovissa, NO Fastovets TEORIA MONIMUTTAISEN MUUTTUJAN TOIMINTOISTA

Tyypillisten vaihtoehtojen ratkaisu koetyötä aiheesta Yhden muuttujan funktion integraalit Ohjeet UDC 517.91 Ohjeet sisältävät yksityiskohtaisia ratkaisuja tyypillisiä testivaihtoehtoja

Luku VARIATIOLASKUNTA Luento 9 Johdanto Tässä luvussa tarkastellaan funktionaalisten äärimmäisyyksien (maksimien tai minimien) löytämiseen liittyviä ongelmia.

OSA 5 Yhden muuttujan funktioiden integraalilaskenta Laitoksen matematiikan opettajien laatimat materiaalit yleissivistävän tieteenalat sähköiseen käyttöön etäopiskelu Sisältö

Metodologiset ohjeet käytännön (seminaari) tunneille "Kompleksisen muuttujan funktion teoria" alan käytännön (seminaari)tuntien päätavoitteena on kyky soveltaa saatuja

AZERBAIDZANIN TASAVALLAN OPETUSMINISTERIÖ BAKU STATE YLIOPISTO Ohjelma on koottu Bakun osavaltion yliopiston funktioteorian ja funktionaalisen analyysin laitoksella

Matemaattinen analyysi Osa: operaatiolaskenta Aihe: Laplace-muunnos ja sen ominaisuudet Lehtori E.G. Pakhomova 2011 11. Alkuperäinen ja kuva. Inversiolause MÄÄRITELMÄ 1. Olkoon:R C. Funktio

S A Lavrenchenko wwwwrckoru Luento Fourier-muunnos Integraalimuunnoksen käsite Integraalimuunnosmenetelmä on yksi tehokkaimmista matemaattisen fysiikan menetelmistä tehokas työkalu ratkaisuja

AIHE V FOURIER-SARJA LUENTO 6 Hajoaminen jaksollinen toiminto Fourier-sarjassa Monilla luonnossa ja tekniikassa tapahtuvilla prosesseilla on ominaisuus toistaa itseään tietyin aikavälein.

RF TIEDE- JA KOULUTUSMINISTERIÖ VS. Tšernomyrdin KOLOMENSKIIN INSTITUUTIN KORKEAN MATEMATIIKAN JA FYSIIKAN LAITOS EF KALINICHENKO LUENTOJA TILINPÄÄTÖKSEN LASKEMISTA

Bagachuk A.V. Bushueva N.A. Polyakova I.A. Trutnev V.M. MOMPLEKSIMUUTTAJAN TOIMINNAN TEORIA Organisatoriset ja metodologiset ohjeet tieteenalan hallitsemiseen Krasnojarsk 2007 1. Yleistä Tieteenalaohjelma

Funktionaalisen analyysin perusteet ja funktioteoria Lehtori Sergey Andreevich Treskov 3. lukukausi. Fourier-sarja. Lausuma ongelmasta jaksollisen funktion laajentamisessa yksinkertaisimpiin harmonisiin. Fourier-kertoimet

3724 MONISARJAT JA KÄYRÄISET INTEGRAALIT 1 OSIOJEN TYÖOHJELMA ”MONISARJAT JA KÄYRÄISET INTEGRAALIT” 11 Numerosarja Lukusarjan käsite Lukusarjan ominaisuudet Tarvittava lähentymismerkki

OPERATIONAL CALCUUS Operaatiolaskenta tarkoittaa symbolista laskemista, joka perustuu matemaattisen analyysin rakentamiseen muodollisten operaatioiden järjestelmäksi keinotekoisesti käyttöönotetulle

Kompleksiluvut, funktiot ja operaatiot niillä y moduuli R reaaliosa reaaliluku, yim imaginaariosa reaaliluku iy kompleksilukujen kirjoittamisen algebrallinen muoto Argumentin pääarvo

Fourier-integraali Fourier-integraalin kirjoittamisen todelliset ja kompleksiset muodot Olkoon f () ei-jaksollinen funktio, joka on määritelty koko lukuviivalla ja joka täyttää Dirichletin ehdot millä tahansa äärellisellä välillä

Liittovaltion koulutusvirasto Arkangelin osavaltion teknillinen yliopisto Rakennustekniikan tiedekunta RANKS Ohjeet itsenäisen työn tehtävien suorittamiseen Arkangelin

Erikoisfunktioteorian perusteet Matemaattisen fysiikan erikoisfunktioiden tutkimisen tarve liittyy kahteen pääasialliseen seikkaan. Ensinnäkin kehitysvaiheessa matemaattinen malli fyysistä

Luento 11 Integraalien laskeminen potenssilla ja logaritmisilla painoilla 11.1 Integraalit potenssipainoilla Tarkastellaan integraalia muotoa x α 1 f(x) dx, (11.1) missä α on ei-kokonaisluku reaaliluku ja f(x) on rationaalinen luku

Valko-Venäjän opetusministeriö Vitebskin valtion laitos teknillinen korkeakoulu"Aihe. "Rivit" Teoreettisen ja soveltavan matematiikan laitos. kehittänyt Assoc. E.B. Dunina. Perus

Moduulin aihe Funktionaaliset sekvenssit ja sarjat Sekvenssien ja sarjojen tasaisen konvergenssin ominaisuudet Tehosarja Luento Funktionaalisten sarjojen ja sarjojen määritelmät Tasaisesti

Matemaattinen analyysi Osa: FNP:n integrointi Aihe: Toisen tyyppinen kaareva integraali Lehtori E.G. Pakhomova 2013 10 10. Kaareva kaareva integraali II II -tyyppinen koordinaattien yli

MA EVDOKIMOV LA MURATOVA LV LIMANOVA ONGELMIEN KERÄYS KORKEEMMAN MATEMATIIKAN TESTIMENETELMÄT TIEDON HALLINTAAN Osa III Opetusohjelma Samara Samaran osavaltion teknillinen yliopisto OPETUSMINISTERIÖ

VENÄJÄN FEDERAATIOIN OPETUS- JA TIETEMINISTERIÖ Liittovaltion budjettitaloudellinen korkea-asteen koulutuslaitos "Kemerovon valtionyliopisto" -osasto

Journal of Experimental and teoreettinen fysiikka. 948 t. 8 numero. A.N. Tikhonov A.A. Samara. Säteilyn periaatteella Muotoiltu yleinen käytäntö säteilyä varten aaltoyhtälö siinä mielessä, että päätökset

LUETTO N 7. Potenssisarjat ja Taylor-sarjat.. Potenssisarjat..... Taylor-sarjat.... 4. Joidenkin alkeisfunktioiden laajentaminen Taylor- ja Maclaurin-sarjoihin.... 5 4. Potenssisarjojen soveltaminen... 7 .Virta

Sivu 9. 6. oppitunti. Yksilölliset yksittäiset pisteet (IOTOH) Mat. analyysi, sovellus. Matematiikka, 4. lukukausi A Laajenna funktiota ln z + 2 z 3 Laurent-sarjassa pisteen läheisyydessä. Juuret ja moninaisuus

LIITTOVALTION KOULUTUSVIRASTO VALTION Ammattikorkeakoulun oppilaitos "SAMARA STATE TECHNICAL UNIVERSITY" Sovellettavan matematiikan laitos

Valko-Venäjän tasavallan opetusministeriö Oppilaitos "Valko-Venäjän valtiollinen informatiikan ja radioelektroniikan yliopisto" Tietokonejärjestelmien ja verkkojen tiedekunta Korkeamman matematiikan laitos

Funktiot Funktioiden differentiointi 1 Differentiointisäännöt Koska funktion derivaatta määritetään kuten reaalialueella, ts. rajan muodossa, käyttämällä tätä määritelmää ja rajojen ominaisuuksia,

Aihe KÄYRÄISET INTEGRAALIT Luento ENSIMMÄISEN LAPAN KÄYRÄISET INTEGRAALIT Ensimmäisen tyyppisen kaarevan integraalin käsitteeseen johtavat ongelmat Ensimmäisen tyyppisen kaarevan integraalin määritelmä ja ominaisuudet Laskenta

Monimutkaisen muuttujan funktioiden teoria S. G. Bugaeva Fysiikan tiedekunta Novosibirskin valtionyliopisto Nämä diat olivat luentojen mukana ja sisältävät joitain (ei kaikkia!!!) määritelmiä ja

Laskin ratkaisee integraalit toimintojen kuvauksella DETAILIN venäjäksi ja ilmaiseksi!

Epämääräisten integraalien ratkaiseminen

Tämä verkkopalvelu V yksi askel:

Määrällisten integraalien ratkaiseminen

Tämä on verkkopalvelu yksi askel:

Syötä integrandilauseke (integraalifunktio)
Syötä integraalin alaraja
Syötä integraalin yläraja

Kaksoisintegraalien ratkaiseminen

Syötä integrandilauseke (integraalifunktio)

Virheellisten integraalien ratkaiseminen

Syötä integrandilauseke (integraalifunktio)
Anna integroinnin ylempi alue (tai + ääretön)
Anna integroinnin alempi alue (tai - ääretön)

Kolmoisintegraalien ratkaiseminen

Syötä integrandilauseke (integraalifunktio)
Syötä ala- ja ylärajat ensimmäiselle integrointialueelle
Syötä ala- ja yläraja toiselle integrointialueelle
Syötä ala- ja yläraja kolmannelle integrointialueelle

Tämän palvelun avulla voit tarkistaa omasi laskelmat oikeellisuuden vuoksi

Mahdollisuudet

Tuki kaikille mahdollisille matemaattiset funktiot: sini, kosini, eksponentti, tangentti, kotangentti, neliö- ja kuutiojuuret, potenssit, eksponentiaalit ja muut.
On esimerkkejä syötettäväksi määrittelemättömät integraalit, ja epäasianmukaiselle ja määrätylle.
Korjaa syöttämiesi lausekkeiden virheet ja tarjoaa omat syöttövaihtoehdot.
Numeerinen ratkaisu määrällisille ja väärille integraaleille (mukaan lukien kaksois- ja kolmoisintegraalit).
Tuki kompleksiluvuille sekä erilaisille parametreille (voit määrittää paitsi integraatiomuuttuja, mutta myös muita muuttuvia parametreja)

1. Integraalien laskenta suljetun silmukan yli. Anna toiminnon f(z) on vain eristetty yksittäisiä pisteitä suljetun ääriviivan Г sisällä. Sitten integraali f(z)ääriviivaa Γ pitkin voidaan löytää soveltamalla lausetta 27.1 jäännöksille: laskemalla jäännökset erikoispisteitä, joka sijaitsee ääriviivan Г sisällä, lisäämällä nämä jäännökset ja kertomalla summalla 2tgg, saadaan haluttu integraali.

G1 esimerkki 28.1. Laske integraali

Ratkaisu: Ympyrän sisällä z = 2 funktiossa on kaksi singulaaripistettä f(z) = ( 2 2+i)(^+ 3) 2' nimittäin z i = Uz 2= -C kolmas yksittäinen piste z %= - 3 on tämän ympyrän ulkopuolella. Jäännökset pisteistä ±r löydettiin esimerkistä 27.5: res*/ = 0,01(7-N), res_*/ = 0,01(7- G). Kaavaa (27.2) soveltamalla meillä on:

Jos toiminto f(z) on vain eristetty yksittäisiä pisteitä laajennetussa kompleksitasossa C, niin sen sijaan, että laskettaisiin jäännösten summa äärellisissä singulaaripisteissä, on helpompi löytää jäännös äärettömän pisteestä ja käyttää Lause 27.10 jäännösten summasta.

Esimerkki 28.2. Laske integraali

Ratkaisu. Toiminto f(z)= sisältää kahdeksan yksikköpistettä

Yhtälön ratkaisut z s 4- 1 = 0. Jokainen näistä pisteistä Zk on toisen asteen napa, koska pisteen läheisyydessä Zk toiminto f(z) näyttää f(z)=, missä h(z) analyyttinen naapurustossa

pisteitä Zk Ja h(zk) f 0. Kaikki singulaaripisteet ovat ympyrän sisällä z= 2. Jäännösten laskeminen kaikissa näissä kohdissa on erittäin työvoimavaltaista. Mutta Lause 27.10 soveltuu tälle funktiolle, joka antaa

Siksi riittää, että vähennys löytyy pisteestä zq = eo. Käytetään kaavaa (27.13). Tässä

Toiminto g(w) edustava muodossa = - 1 ^ ^. Missä h(w) = --

W(1 + W b)

Koska hei (w) analyyttinen pisteen läheisyydessä wq = 0 ja h(0) F 0, niin jäännös reso$ löytyy helposti kaavalla (27.6 /): reso# = h(0) = 1. (27.2), (28.1) ja (27.13) saamme:

2. Muodon / integraalien laskeminen R(cos ip, synti dp, Missä R-

cosin rationaalinen funktio R, synti R. Tällaisia integraaleja esiintyy useissa sovelluksissa (esimerkiksi raja-arvoongelmia ratkaistaessa). Ne pelkistetään edellisessä kappaleessa käsitellyiksi integraaleiksi käyttämällä muuttujan 2 = muutosta e g Sitten dz = e tip idp = zidp, missä

(katso kaavat (12.2)). Kun se muuttuu R 0 - 2tg piste r kuvaa ympyrää z= 1. Näin ollen muuttujaan 2 siirtymisen jälkeen saadaan funktion yksikköympyräintegraali, joka esitetään kahden polynomin suhteena; tällaisia toimintoja kutsutaan rationaaliset murtoluvut tai rationaaliset murtofunktiot.

Esimerkki 28.3. Laske integraali

Ratkaistu ja e. Suorittamalla yllä olevat substituutiot havaitsemme, että tämä integraali on yhtä suuri kuin

Otetaan nimittäjä kertoimella ja etsitään yhtälön juuret az 2 - (A 2 + )z + A= 0. Diskriminantti

Siksi integrand-funktio f(z) siinä on kaksi yksittäistä pistettä z - a ja 22 = 1/a, joista jokainen on ensimmäisen kertaluvun napa. Koska ehdon mukaan |a| Z on ympyrän sisällä z= 1, a G? sen ulkopuolella. Lauseen 27.1 mukaan

Jäännöksen laskeminen pisteessä Z = a voit käyttää mitä tahansa kaavoista (27.5), (27.6), (27.6"). Käytetään esimerkiksi kaavaa (27.6). Tässä

3. Väärien integraalien laskenta. Antaa f(x)

toiminto määritetty koko akselille VAI NIIN. Pidetään laskenta sopimatonta

integraalit f f(x) dx, määritellään seuraavasti:

Yhtälön (28.2) määrittelemää integraalia kutsutaan virheellinen integraali pääarvon merkityksessä. Jos petetään kohdassa (28.2)

on olemassa, sitten integraali J f(x) dx nimeltään lähentyvä; jos etukäteen

tapauksia ei siis ole poikkeava.

Jos jokainen integraali konvergoi

(toisin sanoen molemmat vastaavat rajat ovat olemassa), silloin virheellinen integraali kohdassa (28.2) myös konvergoi ja on yhtä suuri kuin näiden integraalien summa.

Mutta päinvastoin ei pidä paikkaansa: integraalin lähentymisestä / f(x)dx Mitä tulee

pääarvoa (eli (28.2):n rajan olemassaolosta) ei seuraa

puhaltaa integraalien konvergenssi / f(x)dx Ja / f(x)dx. Esimerkiksi inte-

-ooo

/ xdx

--^ konvergoi pääarvon merkityksessä ja on yhtä suuri kuin nolla,
1 + X*

koska

Samaan aikaan jokainen integraali eroaa.

Monien väärien integraalien laskenta

(päämerkityksen merkityksessä) perustuu seuraavaan lauseeseen.

Lause 28.4. Olkoon funktio f(x),x 6 (-oo, +os), täyttää seuraavat kaksi ehtoa:

1) funktio f(z), saatu korvaamalla x kompleksisella muuttujalla z, on kompleksitasossa KANSSA vain yksittäisiä yksittäispisteitä, eikä mikään niistä ole OX-akselilla;
2) Jos 7(I) - puoliympyrä, jonka säde on R ja jonka keskipiste on origossa, makaa ylemmässä (tai alemmassa) puolitasossa, Että

erityisesti

Sitten integraali. Jf(x)dx on yhtä suuri funktion f(z) jäännösten summa

missä tahansa tason yläosassa sijaitsevissa pisteissä kerrottuna 2/P (vastaavasti alemman puolitason singulaaripisteiden jäännösten summaa kerrottuna -2 lg).

Todiste. Tarkastellaan ensin tapausta, jossa puoliympyrä 7(R) on ylemmässä puolitasossa. Otetaan suljettu ääriviiva Г, joka koostuu segmentistä [-I, I] ja puoliympyrästä 7(I), joka kulkee vastapäivään (kuva 49). Lauseen 27.1 mukaan

jossa summa koskee kaikkia singulaaripisteitä Zk, joka on ääriviivan G sisällä. Siirretään rajaan kohdasta R -> oo. Käyttämällä suhteita (28.2) ja (28.3) saadaan vaadittu yhtäläisyys:

jossa summa otetaan yli kaikista ylemmän puolitason singulaaripisteistä.

Jos puoliympyrä 7(H) on alemmalla puolitasolla, niin vastaava ääriviiva Γ kulkee myötäpäivään (tämä suunta syntyy, koska jana [-H, H] on joka tapauksessa kuljettava vasemmalta oikealle, ts. nousun suunta X). Siksi miinusmerkki lisätään (28.4) oikealle puolelle. Lause 28.4 on todistettu.

Esimerkki 28.5. Laske integraali

Ratkaisu. Tässä tapauksessa f(z) = ^+ yy Tarkistetaan ehdon (28.3) oikeellisuus:

Missä h(z) = --§- että. Koska lim h(z)= 1, sitten riittävällä kivulla

korkeat arvot z tahtoa h(z)

Siten.

(Tässä f dz= tg R- puoliympyrän pituus y(R)). Siirrytään edelliseen 7(«)

tapaus käsillä R-> oo. saamme (28.3). Seuraavat arviot pätevät sekä ylempään että alempaan puoliympyrään. Siksi voit valita minkä tahansa niistä 7(L). Antaa y(R) - ylempi puoliympyrä. Koska

Että f(z) siinä on kaksi yksittäistä pistettä z- 3 g, zo= -Зг, jotka ovat toisen asteen napoja. Näistä vain z= Zg. Löydämme jäännöksen tässä pisteessä käyttämällä kaavaa (27.7), jossa m = 2:

Huomaa, että tämä integraali voidaan laskea turvautumatta monimutkaisen analyysin menetelmiin, vaan etsimällä integrandin antiderivaata. Mutta yllä oleva laskelma on paljon yksinkertaisempi.

Esimerkissä 28.5 suorittamamme päättely ehdon (28.3) tarkistamiseksi pätee ilman muutoksia mihinkään toimintoon f(z), edustaa kahden polynomin suhdelukua (ts. rationaalinen murto-osa), jos polynomin aste nimittäjässä on vähintään kaksi yksikköä suurempi kuin osoittajan polynomin aste. (Esimerkissä 28.5 polynomin aste osoittajassa on 2 ja nimittäjässä - 4.) Seuraava lause osoittaa, että toinenkin täyttää ehdon (28.3). tärkeä luokka funktiot, joiden integraalit syntyvät esimerkiksi operaatiolaskennassa (katso luku VIII).

Lause 28.6 (Jordan lemma). Olkoon funktio F(z) apoliittinen puolitasossa lm z ^-A, lukuun ottamatta rajallista määrää eristettyjä singulaaripisteitä, Ja lim F(z) = 0. Jos 7(R) - kaari

ympyrä z = 7?, puolitaso Ini 2^ - no sitten

Riisi. 50

Todiste. Tarkastellaanpa ensin tapausta a > 0. Merkitään arvolla M(7?) maksimimoduuli F(z) kaarella 7(7?). Liirasta lähtien F(z) = 0 siis

lim HERRA) = 0.

Jaetaan 7(7?) kolmeen osaan 7i (L), 72(7?) ja 7з(T?) (kuva 50): kaaret 7 i(R) ja 72(I) ovat suoran viivan välissä y = -a ja akseli OA", ja 7з(Т?) on puoliympyrä, joka sijaitsee puolitasossa Im z^ 0. Ilmeisesti integraali 7(7?) on yhtä suuri kuin näiden kolmen kaaren yli olevien integraalien summa. Arvioidaan jokainen niistä erikseen.

Kohdissa z = x + iy kaaria 71 (7?) ja 72 (7?) tulee olemaan -y Siksi

Merkitään /(7?) kaarien 7i(T?) pituudet ja y?(7?) keskikulmat. ja 72(7?) (radiaaneina). On helppo nähdä (katso kuva 50), että synkkä? =

mistä?>(7?) = arcsin -. Siksi /(7?) = R

7?arcsin -. Täältä saamme

Eli siinä tapauksessa A> 0 lause on todistettu. Jos A^ 0, sitten kaari "y(R) sijaitsee puolitasossa olen z^0 ja on osa kaaria 73 (R); osat 7i (R) ja 7r(R) puuttuvat tässä tapauksessa. 7:lle (R) edellä 73(7?):lle tehty päättely on pätevä ja Lause 28.G on täysin todistettu.

Lauseen 28.6 merkitys on tämä. mikä on toiminto F(z) voi taipua nollautumaan mielivaltaisen hitaasti (huomaa, että esimerkissä 28.5 funktion lasku f(z) klo z-? oo oli tarpeeksi nopea muodossa |z|“ 2). Mutta kertomalla e ltz varmistaa integraalin taipumuksen yli 7:n (R) nollaan.

Kommentti. Tilaisuutta varten t z = /?, joka sijaitsee puolitasossa Im z ^ -A(esitetty katkoviivalla kuvassa 50). Todistus tässä tapauksessa on samanlainen kuin yllä annettu t> 0. Siinä tapauksessa t- 0 Lause 28.6 on virheellinen.

Esimerkki 28.7. Arvioi integraalit

Siten funktion todellinen ja kuvitteellinen osa f(x) ja ovat funktioita, joiden integraalit on löydettävä. Siksi

ovat niitä funktioita, joiden integraalit on löydettävä. Siksi

/ X€*^ x

--- dx ja ota häneltä teot + 9

todellisia ja kuvitteellisia osia, saadaan tarvittavat määrät.

Toiminto F(z) = .D täyttää Lauseen 28.6 ehdot: it z"f 9

siinä on vain kaksi yksittäistä pistettä z> = ±3t ja lim -- = 0. Ec-

z->o O Z z + 9

on 7(/?) ympyrän kaari z = R, sijaitsee puolitasossa Im z> 0. sitten tcodcmc 28.6 mukaan

(otimme klo (28.5) t= 2). Tämä tarkoittaa, että voimme soveltaa Lauseen 28.4,

jonka mukaan integraali / --- dx yhtä suuri kuin funktion vähennysten summa

J x z 4- 9

toimenpiteitä f(z) = --- yksittäisissä pisteissä ylemmästä puolitasosta 1 t z > z Minä J

Voi kerrottuna 2t. Puolitasossa Im z > 0 on ainoa

Z e i2z

yksittäinen piste Z= 3g-toiminto f(z). Koska f(z) = ------,

(z - oi) (z+ Zg)

Että z= Zg - ensimmäisen kertaluvun napa. Tässä vaiheessa jäännös löytyy mistä tahansa sboomul (27.,"V. (27.6L (27.63. Ppimenim (27.63. Zles)

Tuloksena olevan luvun reaali- ja imaginaariosat ovat vaaditut osat ja I-integraalit ja:

(Huomaa, että ensimmäisen integraalin yhtäläisyys nollaan seuraa suoraan siitä tosiasiasta, että se on parittoman funktion integraali origon suhteen symmetrisellä intervallilla.)