Résolution d'équations linéaires simples. Résoudre des exemples réels d'équations linéaires simples

52. Plus exemples complexeséquations.
Exemple 1.

5/(x – 1) – 3/(x + 1) = 15/(x 2 – 1)

Le dénominateur commun est x 2 – 1, puisque x 2 – 1 = (x + 1)(x – 1). Multiplions les deux côtés de cette équation par x 2 – 1. Nous obtenons :

ou, après réduction,

5(x + 1) – 3(x – 1) = 15

5x + 5 – 3x + 3 = 15

2x = 7 et x = 3½

Considérons une autre équation :

5/(x-1) – 3/(x+1) = 4(x2 – 1)

En résolvant comme ci-dessus, on obtient :

5(x + 1) – 3(x – 1) = 4
5x + 5 – 3x – 3 = 4 ou 2x = 2 et x = 1.

Voyons si nos égalités sont justifiées si nous remplaçons x dans chacune des équations considérées par le nombre trouvé.

Pour le premier exemple, nous obtenons :

On voit qu'il n'y a aucun doute : nous avons trouvé pour x un nombre tel que l'égalité recherchée est justifiée.

Pour le deuxième exemple, nous obtenons :

5/(1-1) – 3/2 = 15/(1-1) ou 5/0 – 3/2 = 15/0

Ici, des doutes surgissent : nous sommes confrontés à une division par zéro, ce qui est impossible. Si à l’avenir nous parvenons à donner un certain sens, quoique indirect, à cette division, alors nous pouvons convenir que la solution trouvée x – 1 satisfait notre équation. D’ici là, nous devons admettre que notre équation n’a pas de solution ayant un sens direct.

De tels cas peuvent se produire lorsque l'inconnue est d'une manière ou d'une autre incluse dans les dénominateurs des fractions présentes dans l'équation, et certains de ces dénominateurs, lorsque la solution est trouvée, se tournent vers zéro.

Exemple 2.

On voit tout de suite que cette équation a la forme d'une proportion : le rapport du nombre x + 3 au nombre x – 1 est égal au rapport du nombre 2x + 3 au nombre 2x – 2. Que quelqu'un, dans Compte tenu de cette circonstance, décidons d'appliquer ici pour libérer l'équation des fractions, la propriété principale de la proportion (le produit des termes extrêmes est égal au produit des termes moyens). Il obtiendra alors :

(x + 3) (2x – 2) = (2x + 3) (x – 1)

2x 2 + 6x – 2x – 6 = 2x 2 + 3x – 2x – 3.

Ici, la crainte que nous ne puissions pas résoudre cette équation peut être soulevée par le fait que l'équation inclut des termes avec x 2. Cependant, nous pouvons soustraire 2x 2 des deux côtés de l’équation – cela ne brisera pas l’équation ; alors les termes avec x 2 sont détruits et on obtient :

6x – 2x – 6 = 3x – 2x – 3

Déplaçons les termes inconnus vers la gauche et les termes connus vers la droite - nous obtenons :

3x = 3 ou x = 1

Se souvenir de cette équation

(x + 3)/(x – 1) = (2x + 3)/(2x – 2)

On remarquera immédiatement que la valeur trouvée pour x (x = 1) fait disparaître les dénominateurs de chaque fraction ; Il faudra abandonner une telle solution jusqu'à ce que l'on ait examiné la question de la division par zéro.

Si l’on note aussi que l’application de la propriété de proportion a compliqué les choses et qu’une équation plus simple pourrait être obtenue en multipliant les deux côtés de ce qui est donné par un dénominateur commun, à savoir 2(x – 1) – après tout, 2x – 2 = 2 (x – 1) , alors on obtient :

2(x + 3) = 2x – 3 ou 2x + 6 = 2x – 3 ou 6 = –3,

ce qui est impossible.

Cette circonstance indique que cette équation n'a pas de solutions ayant une signification directe qui ne ramènerait pas les dénominateurs de cette équation à zéro.
Résolvons maintenant l'équation :

(3x + 5)/(x – 1) = (2x + 18)/(2x – 2)

Multiplions les deux côtés de l'équation 2(x – 1), c'est-à-dire par un dénominateur commun, nous obtenons :

6x + 10 = 2x + 18

La solution trouvée ne fait pas disparaître le dénominateur et a une signification directe :

ou 11 = 11

Si quelqu’un, au lieu de multiplier les deux parties par 2(x – 1), utilisait la propriété de proportion, il obtiendrait :

(3x + 5)(2x – 2) = (2x + 18)(x – 1) ou
6x 2 + 4x – 10 = 2x 2 + 16x – 18.

Ici les termes avec x 2 ne seraient pas détruits. En déplaçant tous les termes inconnus vers la gauche et les termes connus vers la droite, nous obtiendrions

4x 2 – 12x = –8

x2 – 3x = –2

Nous ne pourrons plus résoudre cette équation. À l’avenir, nous apprendrons comment résoudre de telles équations et trouver deux solutions : 1) vous pouvez prendre x = 2 et 2) vous pouvez prendre x = 1. Il est facile de vérifier les deux solutions :

1) 2 2 – 3 2 = –2 et 2) 1 2 – 3 1 = –2

Si l'on se souvient de l'équation initiale

(3x + 5) / (x – 1) = (2x + 18) / (2x – 2),

alors nous verrons que maintenant nous obtenons ses deux solutions : 1) x = 2 est la solution qui a une signification directe et ne met pas le dénominateur à zéro, 2) x = 1 est la solution qui met le dénominateur à zéro et n'a pas de signification directe.

Exemple 3.

Trouvons le dénominateur commun des fractions incluses dans cette équation en factorisant chacun des dénominateurs :

1) x 2 – 5x + 6 = x 2 – 3x – 2x + 6 = x(x – 3) – 2(x – 3) = (x – 3)(x – 2),

2) x 2 – x – 2 = x 2 – 2x + x – 2 = x (x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1),

3) x 2 – 2x – 3 = x 2 – 3x + x – 3 = x (x – 3) + (x – 3) = (x – 3) (x + 1).

Le dénominateur commun est (x – 3)(x – 2)(x + 1).

Multiplions les deux côtés de cette équation (et nous pouvons maintenant la réécrire comme suit :

par un dénominateur commun (x – 3) (x – 2) (x + 1). Ensuite, après avoir réduit chaque fraction, nous obtenons :

3(x + 1) – 2(x – 3) = 2(x – 2) ou
3x + 3 – 2x + 6 = 2x – 4.

De là, nous obtenons :

–x = –13 et x = 13.

Cette solution a un sens direct : elle ne fait disparaître aucun des dénominateurs.

Si on prenait l'équation :

alors, en faisant exactement la même chose que ci-dessus, nous obtiendrions

3(x + 1) – 2(x – 3) = x – 2

3x + 3 – 2x + 6 = x – 2

3x – 2x – x = –3 – 6 – 2,

d'où tu le trouverais ?

ce qui est impossible. Cette circonstance montre qu'il est impossible de trouver une solution à la dernière équation qui a une signification directe.

Comment apprendre à résoudre des équations simples et complexes

Chers parents!

Sans formation mathématique de base, l’éducation est impossible l'homme moderne. À l’école, les mathématiques servent de matière complémentaire à de nombreuses disciplines connexes. Dans la vie post-scolaire, cela devient une vraie nécessité formation continue, qui nécessite une formation scolaire générale de base, notamment en mathématiques.

DANS école primaire non seulement des connaissances sur les sujets principaux sont acquises, mais elles se développent également pensée logique, l'imagination et les représentations spatiales, ainsi que la formation de l'intérêt pour ce sujet.

En observant le principe de continuité, nous nous concentrerons sur le sujet le plus important, à savoir « La relation entre les composants des actions dans la résolution d'équations composées ».

En utilisant Cette leçon vous pouvez facilement apprendre à résoudre des équations complexes. Dans cette leçon, vous apprendrez en détail instructions étape par étape résoudre des équations compliquées.

De nombreux parents sont perplexes quant à la question de savoir comment amener leurs enfants à apprendre à résoudre des équations simples et complexes. Si les équations sont simples, cela représente la moitié du problème, mais il en existe aussi des complexes, par exemple des équations intégrales. D’ailleurs, pour information, il y a aussi des équations que les gens ont du mal à résoudre les meilleurs esprits notre planète et pour la solution duquel des prix en espèces très importants sont attribués. Par exemple, si vous vous souvenezPerelmanet un bonus en espèces non réclamé de plusieurs millions.

Cependant, revenons d’abord aux équations mathématiques simples et répétons les types d’équations et les noms des composants. Un petit échauffement :

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RÉCHAUFFER

Trouvez le numéro supplémentaire dans chaque colonne :

2) Quel mot manque dans chaque colonne ?

3) Reliez les mots de la première colonne avec les mots de la 2ème colonne.

"Équation" "Égalité"

4) Comment expliquez-vous ce qu’est « l’égalité » ?

5) Qu’en est-il de « l’équation » ? Est-ce une égalité ? Quelle est sa particularité ?

terme de somme

différence de fin de semaine

produit soustractif

facteurégalité

dividende

l'équation

Conclusion : Une équation est une égalité avec une variable dont il faut trouver la valeur.

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J'invite chaque groupe à écrire des équations sur une feuille de papier avec un feutre : (au tableau)

L'un des membres du groupe doit lire son équation en langage mathématique et commenter sa solution, c'est-à-dire exprimer l'opération en cours avec les composants connus des actions (algorithme).

Conclusion : Nous pouvons résoudre des équations simples de tous types à l'aide d'un algorithme, lire et écrire des expressions littérales.

Je propose de résoudre un problème dans lequel un nouveau type d'équation apparaît.

Conclusion : Nous nous sommes familiarisés avec la solution d'équations dont l'une des parties contient une expression numérique dont il faut trouver la valeur et obtenir une équation simple.

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Considérons une autre version de l'équation, dont la solution se réduit à résoudre une chaîne d'équations simples. Voici une introduction aux équations composées.

Je suggère à chacun d'écrire une phrase en langage mathématique :

Le produit de la différence entre les nombres x et 4 et le nombre 3 est 15.

CONCLUSION : l'émergence situation problématique motive la fixation de l'objectif de la leçon : apprendre à résoudre des équations dans lesquelles la composante inconnue est une expression. De telles équations sont des équations composées.

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Ou peut-être que les types d’équations que nous avons déjà étudiés nous aideront ? (algorithmes)

À laquelle des célèbres équations notre équation est-elle similaire ? X * a = b

QUESTION TRÈS IMPORTANTE: Quelle est l'expression du côté gauche - somme, différence, produit ou quotient ?

(x - 4) * 3 = 15 (Produit)

Pourquoi? (puisque la dernière action est la multiplication)

Conclusion:De telles équations n'ont pas encore été considérées. Mais nous pouvons le résoudre si l'expressionx-4mettez une carte (y - igrek) et vous obtenez une équation qui peut être facilement résolue à l'aide d'un algorithme simple pour trouver le composant inconnu.

Lors de la résolution d'équations composées, il est nécessaire à chaque étape de sélectionner une action à un niveau automatisé, en commentant et en nommant les composants de l'action.

(o - 5) * 4 = 28
y - 5 = 28: 4
oui - 5 = 7
y = 5 +7
y = 12
(12 - 5) * 4 = 28
28 = 28 (je)

Conclusion:Dans des classes aux parcours différents, ce travail peut être organisé différemment. Dans des classes plus préparées, même pour la consolidation primaire, des expressions peuvent être utilisées dans lesquelles non pas deux, mais trois actions ou plus, mais leur solution nécessite plusétapes, chaque étape simplifiant l’équation jusqu’à ce que vous obteniez une équation simple. Et à chaque fois, vous pouvez observer comment la composante inconnue des actions change.

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CONCLUSION:

Quand nous parlons de quelque chose de très simple et compréhensible, nous disons souvent : « C’est aussi clair que deux et deux font quatre ! »

Mais avant de comprendre que deux et deux font quatre, les gens ont dû étudier pendant des milliers d’années.

De nombreuses règles tirées des manuels scolaires d'arithmétique et de géométrie étaient connues des Grecs de l'Antiquité il y a plus de deux mille ans.

Partout où vous avez besoin de compter, de mesurer, de comparer quelque chose, vous ne pouvez pas vous passer des mathématiques.

Il est difficile d’imaginer comment les gens vivraient s’ils ne savaient pas compter, mesurer et comparer. Les mathématiques enseignent cela.

Aujourd'hui, vous vous êtes plongés dans la vie scolaire, avez joué le rôle d'élèves, et je vous invite, chers parents, à évaluer vos compétences sur une échelle.

Il y a des moments dans la vie où une situation apparemment désespérée apparaît devant vous, ou un problème dont toute résolution promet de ne pas être en votre faveur. Ne vous précipitez pas pour renoncer à la réalisation de vos rêves, à la réalisation de vos objectifs ou à la panique. Un ancien sage a dit : « Choisissez le temps pour réfléchir – c’est une source de force. » Eh bien, il est difficile d'être en désaccord avec lui, car l'esprit est arme puissante. Même le problème le plus complexe a des dizaines de solutions, et il n’est invisible que parce que les gens sont habitués à penser dans certains cadres. Pour résoudre un problème complexe, vous devez coordonner le travail du conscient et du subconscient - cela élargira vos horizons et vous permettra de voir de nouvelles possibilités.

Technique des « 100 idées »

Pour maîtriser la technique des « 100 idées », vous n'aurez besoin que d'1 à 2 heures de temps libre, d'un coin personnel confortable où personne ne vous dérangera, ainsi que de papier et de crayons. Demandez à l'avance à vos proches et connaissances de ne pas vous distraire pendant la « méditation », éteignez votre téléphone et détendez-vous. En haut d’une feuille de papier, formulez et notez votre question ou votre dilemme. Numérotez la liste de un à 100 et commencez à générer des idées.

Au début, les idées se succèdent, même si elles ne sont hélas pas nouvelles - vous décrirez tous vos « atouts », y compris les compétences, les connaissances, les relations, les ressources financières, le temps que vous pouvez consacrer à la résolution du problème. Il vous semblera alors encore impossible de trouver une centaine de réponses, et si vous butez sur le 20-30ème point, vous vous sentirez vide. Un léger accroc vous attend, qui se produit naturellement lorsque la conscience, marchant dans un cercle vicieux, a épuisé les options qui s'offrent à elle et a parcouru tout ce qu'elle a déjà rencontré dans son expérience personnelle.

La deuxième phase de votre voyage vers votre subconscient comprend 40 autres points où vous utilisez toujours votre esprit conscient, mais votre forces cachées ils commencent à se réveiller et à retrouver un second souffle. A ce stade, votre façon de penser émerge. Vous remarquerez que vos idées commencent à se répéter et contiennent toutes sortes de clichés et d'attitudes. Votre objectif n’est pas de les écarter, mais de les écrire soigneusement sur papier, et voici pourquoi : ces tampons sont les cadres au-delà desquels vous ne pouvez pas aller regarder autour de vous. Il pourrait être opinion publique, l'insatisfaction à l'égard de vos supérieurs, le manque de confiance en soi et toute autre « bavure » dans votre psychisme. En même temps, vous pourrez découvrir votre problèmes cachés ou des peurs qui vous empêchent d’avancer. Cette étape vous demandera la plus grande endurance - après tout, il n'est pas du tout facile d'écarter les trente premiers points, qui sont clairement dans votre zone de confort, et d'aborder des idées nouvelles, inconnues et donc parfois effrayantes - c'est normal , l'essentiel est de ne pas abandonner. De plus, cette lutte interne ne fait que contribuer à passer à la troisième phase du voyage.

Ce sont les 30 derniers points qui ouvriront la boîte de Pandore devant vous, car le nombre 100 n’a pas été choisi par hasard. C'est cela qui permet à votre intuition de s'ouvrir pleinement et de vous surprendre avec des « idées venues d'en haut » inattendues - des expressions impromptues de votre subconscient en éveil, d'où les idées apparaissent sans aucun traitement ni filtrage par l'esprit. Dans votre recherche, vous avez déjà abandonné la logique, remarquant à quel point elle est réellement carrée, et vous comprenez que votre façon de penser ne se situe que sur un seul plan - et il s'avère que le monde est tridimensionnel (sans compter le temps). Maintenant, lorsque l’esprit cesse de vous dicter ce qui est « possible » et ce qui n’est « pas autorisé », la porte du subconscient s’ouvre. On peut facilement inventer quelque chose qui sort de l’ordinaire et, à première vue, complètement absurde. Il peut même vous sembler que vous ne devriez pas écrire une idée qui ne vous convient manifestement pas, une idée qui vous est soudainement venue à l’esprit. Cependant, ce sont des phrases étranges, parfois stupides, qui peuvent se révéler être des diamants bruts. Rappelez-vous comment les gens considéraient la Terre comme plate et avaient peur de tomber de son bord, et comment l'idée que la planète était ronde et tournait était autrefois qualifiée d'hérésie. Les idées délirantes peuvent ne pas être claires pour vous au début, mais vous sentirez qu'il y a quelque chose en elles - cela servira de paille qui vous orientera dans la bonne direction.

Il peut également arriver qu'après avoir émis tant d'idées, vous réalisiez soudainement que ce n'était pas un problème du tout - ou que vous n'ayez vu que la pointe de l'iceberg, vous deviez donc dresser une nouvelle liste pour répondre à une question complètement différente.

Il y a quelques règles supplémentaires qui doivent être respectées lorsque vous travaillez avec cette technique. Tout d'abord, la liste doit être dressée en une seule fois, sans interruption, sinon vos idées brillantes dormantes resteront en sommeil sous le poids de la réflexion quotidienne. Pendant que vous travaillez, vous ne devez pas relire la liste et évaluer combien a déjà été fait et combien d'éléments restent - cela vous distraira et empêchera vos pensées de se répéter naturellement - et ne vous permettra donc pas de voir vos propres pierres d'achoppement. . Préparez-vous tout de suite : vous évaluerez et critiquerez vos idées après avoir compilé les cent points - et pendant que le processus se déroule, vous devrez écrire vos pensées (vous n'êtes pas obligé de montrer ce document à qui que ce soit si vous le faites). je ne veux pas). Si le travail bat son plein, raccourcissez les mots, l'essentiel est que vous puissiez alors lire ce que vous vouliez dire. Vous pouvez bien sûr utiliser un ordinateur portable au lieu d'un crayon et d'un papier, mais n'oubliez pas : source ondes électromagnétiques, du moins en théorie, empêche votre cerveau, votre aura et, si vous voulez, vos chakras de se connecter à l'esprit universel – et de fonctionner généralement sainement. Mais c'est à votre discrétion personnelle.

Les bonus « délicieux » de la technique « 100 Idées » ne résident pas seulement dans la possibilité d'une introspection approfondie et de trouver des solutions originales à des situations difficiles, mais aussi dans le fait qu'avec elle, vous pouvez vous développer de manière diversifiée et planifier votre avenir, trouver de nouvelles incitations. pour le développement personnel et grandir au-dessus de vous-même. Pour ce faire, réfléchissez à votre guise aux réponses aux sujets ci-dessous (ou à l’un des vôtres) :

• Comment s'éduquer
• Comment améliorer les relations
• Comment améliorer votre vie
• Comment faire de l'argent
• Comment améliorer votre entreprise
• Comment aider les gens
• Comment augmenter l'efficacité personnelle
• Comment devenir en meilleure santé
• Des choses que je remets à demain
• Les choses que je fais le mieux
• Des choses qui me démotivent
• Qualités que je souhaite développer en moi
• Questions auxquelles j'ai besoin de réponses
• Des valeurs auxquelles je crois
• Les choses que j'apprécie dans la vie
• Professions dans lesquelles je veux m'essayer
• Des choses (des gens) qui me ralentissent dans la réalisation de mon objectif
• Des choses qui me remontent le moral
• Conclusions que la vie m'a apprises
• Des choses dont on peut se débarrasser
• Lieux que j'aimerais visiter
• Des erreurs pour lesquelles je me pardonne (aux autres)
• Façons de penser de manière plus créative

Dans cette vidéo, nous analyserons l'ensemble équations linéaires, qui sont résolus à l'aide du même algorithme - c'est pourquoi ils sont appelés les plus simples.

Tout d'abord, définissons : qu'est-ce qu'une équation linéaire et laquelle est dite la plus simple ?

Une équation linéaire est une équation dans laquelle il n’y a qu’une seule variable, et seulement au premier degré.

L'équation la plus simple signifie la construction :

Toutes les autres équations linéaires sont réduites au plus simple à l'aide de l'algorithme :

1. Développez les parenthèses, le cas échéant ;
2. Déplacez les termes contenant une variable d’un côté du signe égal et les termes sans variable de l’autre ;
3. Donnez des termes similaires à gauche et à droite du signe égal ;
4. Divisez l'équation résultante par le coefficient de la variable $x$.

Bien entendu, cet algorithme n’aide pas toujours. Le fait est que parfois, après toutes ces machinations, le coefficient de la variable $x$ s'avère égal à zéro. Dans ce cas, deux options sont possibles :

1. L’équation n’a aucune solution. Par exemple, quand quelque chose comme $0\cdot x=8$ s'avère, c'est-à-dire à gauche se trouve zéro et à droite un nombre autre que zéro. Dans la vidéo ci-dessous, nous examinerons plusieurs raisons pour lesquelles cette situation est possible.
2. La solution réside dans tous les chiffres. Le seul cas, lorsque cela est possible, l'équation se réduit à la construction $0\cdot x=0$. Il est tout à fait logique que peu importe ce que $x$ nous substituons, il s'avérera toujours « zéro est égal à zéro », c'est-à-dire corriger l'égalité numérique.

Voyons maintenant comment tout cela fonctionne à l'aide d'exemples concrets.

Exemples de résolution d'équations

Aujourd'hui, nous traitons d'équations linéaires, et uniquement des plus simples. En général, une équation linéaire désigne toute égalité contenant exactement une variable, et cela ne va qu'au premier degré.

De telles constructions sont résolues à peu près de la même manière :

1. Tout d'abord, vous devez développer les parenthèses, s'il y en a (comme dans notre dernier exemple) ;
2. Puis combinez similaire
3. Enfin, isolez la variable, c'est-à-dire déplacez d'un côté tout ce qui est lié à la variable, les termes dans lesquels elle est contenue, et déplacez de l'autre tout ce qui reste sans elle.

Ensuite, en règle générale, vous devez en amener des similaires de chaque côté de l'égalité résultante, et après cela, il ne reste plus qu'à diviser par le coefficient "x", et nous obtiendrons la réponse finale.

En théorie, cela semble simple et agréable, mais en pratique, même des lycéens expérimentés peuvent commettre des erreurs offensantes dans des équations linéaires assez simples. En règle générale, des erreurs sont commises soit lors de l'ouverture des parenthèses, soit lors du calcul des « plus » et des « moins ».

De plus, il arrive qu'une équation linéaire n'ait aucune solution, ou que la solution soit la droite numérique entière, c'est-à-dire n'importe quel chiffre. Nous examinerons ces subtilités dans la leçon d'aujourd'hui. Mais nous commencerons, comme vous l'avez déjà compris, par le tâches simples.

Schéma de résolution d'équations linéaires simples

Tout d'abord, permettez-moi d'écrire à nouveau l'intégralité du schéma de résolution des équations linéaires les plus simples :

1. Développez les parenthèses, le cas échéant.
2. Nous isolons les variables, c'est-à-dire Nous déplaçons tout ce qui contient des « X » d’un côté, et tout ce qui ne contient pas de « X » de l’autre.
3. Nous présentons des termes similaires.
4. On divise le tout par le coefficient de « x ».

Bien sûr, ce schéma ne fonctionne pas toujours, il comporte certaines subtilités et astuces, et nous allons maintenant les connaître.

Résoudre des exemples réels d'équations linéaires simples

Tâche n°1

La première étape nous oblige à ouvrir les parenthèses. Mais ils ne figurent pas dans cet exemple, nous sautons donc cette étape. Dans la deuxième étape, nous devons isoler les variables. Attention : nous parlons uniquement de conditions individuelles. Écrivons-le :

Nous présentons des termes similaires à gauche et à droite, mais cela a déjà été fait ici. Passons donc à la quatrième étape : diviser par le coefficient :

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Nous avons donc eu la réponse.

Tâche n°2

Nous pouvons voir les parenthèses dans ce problème, alors développons-les :

À gauche et à droite, nous voyons à peu près le même design, mais agissons selon l'algorithme, c'est-à-dire séparer les variables :

En voici quelques similaires :

À quelles racines cela fonctionne-t-il ? Réponse : pour n'importe lequel. Par conséquent, nous pouvons écrire que $x$ est n’importe quel nombre.

Tâche n°3

La troisième équation linéaire est plus intéressante :

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Il y a ici plusieurs parenthèses, mais elles ne sont multipliées par rien, elles sont simplement précédées de signes différents. Décomposons-les :

Nous effectuons la deuxième étape déjà connue de nous :

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Faisons le calcul :

Nous effectuons la dernière étape - divisons le tout par le coefficient « x » :

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Choses à retenir lors de la résolution d'équations linéaires

Si l'on ignore les tâches trop simples, je voudrais dire ceci :

• Comme je l'ai dit plus haut, toutes les équations linéaires n'ont pas de solution - parfois il n'y a tout simplement pas de racines ;
• Même s’il y a des racines, il peut n’y en avoir aucune – il n’y a rien de mal à cela.

Zéro est le même nombre que les autres ; vous ne devez en aucun cas le discriminer ou supposer que si vous obtenez zéro, vous avez fait quelque chose de mal.

Une autre fonctionnalité est liée à l’ouverture des parenthèses. Attention : lorsqu'il y a un « moins » devant eux, nous le supprimons, mais entre parenthèses nous changeons les signes en opposé. Et puis nous pourrons l'ouvrir à l'aide d'algorithmes standards : nous obtiendrons ce que nous avons vu dans les calculs ci-dessus.

Comprendre cela simple fait vous permettra d'éviter de commettre des erreurs stupides et offensantes au lycée, alors que de telles actions sont considérées comme allant de soi.

Résolution d'équations linéaires complexes

Passons à des équations plus complexes. Maintenant, les constructions deviendront plus complexes et lors de diverses transformations, une fonction quadratique apparaîtra. Cependant, il ne faut pas avoir peur de cela, car si, selon le plan de l'auteur, nous résolvons une équation linéaire, alors pendant le processus de transformation, tous les monômes contenant une fonction quadratique s'annuleront certainement.

Exemple n°1

Évidemment, la première étape consiste à ouvrir les parenthèses. Faisons-le très soigneusement :

Jetons maintenant un coup d'œil à la confidentialité :

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

En voici quelques similaires :

Évidemment, cette équation n’a pas de solutions, nous écrirons donc ceci dans la réponse :

\[\varrien\]

ou il n'y a pas de racines.

Exemple n°2

Nous effectuons les mêmes actions. Premier pas:

Déplaçons tout avec une variable vers la gauche, et sans elle - vers la droite :

En voici quelques similaires :

Évidemment, cette équation linéaire n’a pas de solution, nous l’écrirons donc ainsi :

\[\varrien\],

ou il n'y a pas de racines.

Nuances de la solution

Les deux équations sont complètement résolues. En utilisant ces deux expressions comme exemple, nous étions une fois de plus convaincus que même dans les équations linéaires les plus simples, tout n'est peut-être pas si simple : il peut y en avoir une, ou aucune, ou une infinité de racines. Dans notre cas, nous avons considéré deux équations, toutes deux n’ayant tout simplement pas de racines.

Mais je voudrais attirer votre attention sur un autre fait : comment travailler avec les parenthèses et comment les ouvrir s'il y a un signe moins devant elles. Considérons cette expression :

Avant d'ouvrir, il faut tout multiplier par « X ». Attention : se multiplie chaque terme individuel. À l'intérieur, il y a deux termes - respectivement, deux termes et multipliés.

Et ce n'est qu'après avoir effectué ces transformations apparemment élémentaires, mais très importantes et dangereuses, que vous pourrez ouvrir le support du point de vue du fait qu'il y a un signe moins après. Oui, oui : seulement maintenant, lorsque les transformations sont terminées, on se souvient qu'il y a un signe moins devant les parenthèses, ce qui signifie que tout en dessous change simplement de signe. Dans le même temps, les parenthèses elles-mêmes disparaissent et, surtout, le « moins » avant disparaît également.

On fait de même avec la deuxième équation :

Ce n’est pas par hasard que je prête attention à ces petits faits apparemment insignifiants. Parce que la résolution d'équations est toujours une séquence de transformations élémentaires, où l'incapacité d'effectuer des actions simples de manière claire et compétente conduit au fait que des lycéens viennent me voir et réapprennent à résoudre des équations aussi simples.

Bien sûr, le jour viendra où vous perfectionnerez ces compétences jusqu’à devenir automatiques. Vous n'aurez plus à effectuer autant de transformations à chaque fois, vous écrirez tout sur une seule ligne. Mais pendant que vous apprenez, vous devez écrire chaque action séparément.

Résoudre des équations linéaires encore plus complexes

Ce que nous allons résoudre maintenant peut difficilement être qualifié de tâche la plus simple, mais le sens reste le même.

Tâche n°1

\[\left(7x+1 \right)\left(3x-1 \right)-21((x)^(2))=3\]

Multiplions tous les éléments de la première partie :

Faisons un peu d'intimité :

En voici quelques similaires :

Terminons la dernière étape :

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Voici notre réponse finale. Et, malgré le fait que lors du processus de résolution, nous avions des coefficients avec une fonction quadratique, ils s'annulaient, ce qui rend l'équation linéaire et non quadratique.

Tâche n°2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Effectuons soigneusement la première étape : multipliez chaque élément de la première parenthèse par chaque élément de la seconde. Il devrait y avoir un total de quatre nouveaux termes après les transformations :

Effectuons maintenant soigneusement la multiplication dans chaque terme :

Déplaçons les termes avec « X » vers la gauche, et ceux sans - vers la droite :

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Voici des termes similaires :

Une fois de plus, nous avons reçu la réponse définitive.

Nuances de la solution

La remarque la plus importante concernant ces deux équations est la suivante : dès que l'on commence à multiplier des parenthèses qui contiennent plus d'un terme, cela se fait selon la règle suivante : on prend le premier terme du premier et on multiplie avec chaque élément de la deuxième; puis nous prenons le deuxième élément du premier et multiplions de la même manière avec chaque élément du second. En conséquence, nous aurons quatre mandats.

À propos de la somme algébrique

Avec ce dernier exemple, je voudrais rappeler aux étudiants ce qu'est une somme algébrique. En mathématiques classiques, par $1-7$, nous entendons une construction simple : soustraire sept de un. En algèbre, on entend par là ceci : au nombre « un », on ajoute un autre nombre, à savoir « moins sept ». C'est en quoi une somme algébrique diffère d'une somme arithmétique ordinaire.

Dès que, lors de l'exécution de toutes les transformations, de chaque addition et multiplication, vous commencerez à voir des constructions similaires à celles décrites ci-dessus, vous n'aurez tout simplement aucun problème en algèbre lorsque vous travaillerez avec des polynômes et des équations.

Enfin, examinons quelques autres exemples qui seront encore plus complexes que ceux que nous venons d'examiner, et pour les résoudre, nous devrons légèrement étendre notre algorithme standard.

Résoudre des équations avec des fractions

Pour résoudre de telles tâches, nous devrons ajouter une étape supplémentaire à notre algorithme. Mais d’abord, permettez-moi de vous rappeler notre algorithme :

1. Ouvrez les supports.
2. Variables séparées.
3. Apportez-en des similaires.
4. Divisez par le rapport.

Hélas, ce merveilleux algorithme, malgré toute son efficacité, s'avère pas tout à fait approprié lorsque nous avons des fractions devant nous. Et dans ce que nous verrons ci-dessous, nous avons une fraction à gauche et à droite dans les deux équations.

Comment travailler dans ce cas ? Oui, c'est très simple ! Pour ce faire, vous devez ajouter une étape supplémentaire à l'algorithme, qui peut être effectuée avant et après la première action, à savoir se débarrasser des fractions. L'algorithme sera donc le suivant :

1. Débarrassez-vous des fractions.
2. Ouvrez les supports.
3. Variables séparées.
4. Apportez-en des similaires.
5. Divisez par le rapport.

Que signifie « se débarrasser des fractions » ? Et pourquoi cela peut-il être fait à la fois après et avant la première étape standard ? En fait, dans notre cas, toutes les fractions sont numériques dans leur dénominateur, c'est-à-dire Partout, le dénominateur n’est qu’un nombre. Par conséquent, si nous multiplions les deux côtés de l’équation par ce nombre, nous nous débarrasserons des fractions.

Exemple n°1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Débarrassons-nous des fractions de cette équation :

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Attention : tout est multiplié par « quatre » une fois, c'est-à-dire ce n’est pas parce que vous avez deux parenthèses que vous devez multiplier chacune par « quatre ». Écrivons :

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Développons maintenant :

On isole la variable :

Nous effectuons la réduction de termes similaires :

\[-4x=-1\gauche| :\gauche(-4 \droite) \droite.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Nous avons reçu la solution finale, passons à la deuxième équation.

Exemple n°2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Ici, nous effectuons toutes les mêmes actions :

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Le problème est résolu.

C’est en fait tout ce que je voulais vous dire aujourd’hui.

Points clés

Les principales conclusions sont les suivantes :

• Connaître l'algorithme de résolution d'équations linéaires.
• Possibilité d'ouvrir les parenthèses.
• Ne vous inquiétez pas si vous voyez fonctions quadratiques, très probablement, au cours de transformations ultérieures, ils diminueront.
• Il existe trois types de racines dans les équations linéaires, même les plus simples : une seule racine, la droite numérique entière est une racine et aucune racine du tout.

J'espère que cette leçon vous aidera à maîtriser un sujet simple mais très important pour une meilleure compréhension de toutes les mathématiques. Si quelque chose n'est pas clair, allez sur le site et résolvez les exemples qui y sont présentés. Restez à l'écoute, bien d'autres choses intéressantes vous attendent !

Les scientifiques ont étudié les rythmes de l’activité cérébrale et identifié celui qui convient le mieux à la perspicacité et à la recherche créatives. idées utiles

Les scientifiques ont étudié les rythmes de l'activité cérébrale et identifié celui qui convient le mieux à la créativité et à la recherche d'idées utiles.

Manger. Dormir. Résoudre des problèmes. Répéter. Très probablement, sans compter une nuit de sommeil, vous passez la plupart de votre temps pour résoudre divers problèmes - notamment au travail.

Non pas que ce soit une mauvaise chose. Un grand nombre de meilleurs entrepreneurs de Sarah Blakely à Richard Branson, doivent leur succès à leur capacité à identifier les problèmes (en l'occurrence, les besoins non satisfaits des consommateurs) et à apporter des solutions.

Mais peu importe partie importante nos vies n’ont pas été axées sur la résolution de problèmes, c’est du stress après tout, et certaines personnes semblent mieux y faire face que d’autres.

Par conséquent, pour ceux qui veulent avoir plus de succès dans ce jeu, vous pouvez essayer quelque chose de nouveau : chercher des solutions dans un rêve. Littéralement. On l'appelle "attrapez votre rythme thêta". Non, nous ne parlons pas d’autohypnose ou de méditation : c’est de la science pure et ça marche.

Mais commençons par comprendre :

Quels sont les rythmes cérébraux ?

Comme l'explique le professeur Ned Herrmann, cela rythmes régissant l'activité électrique du cerveau. En fonction de votre niveau d'activité Quatre rythmes différents peuvent être distingués. Nous les classons par ordre décroissant de fréquence d’onde.

• Pendant les périodes d'activité maximale (par exemple lors d'un entretien important), votre cerveau fonctionne de manière rythme bêta.
• Lorsque vous êtes détendu, par exemple lorsque vous venez de terminer grand projet et tu peux enfin expirer, - le cerveau passe à rythme alpha.
• Passons maintenant à l'action : le quatrième rythme est indiqué par la lettre "delta" et est enregistré lorsque vous dormez profondément.

Nous avons sauté la troisième étape, le rythme thêta, car c'est celle qui est la mieux adaptée pour résoudre des problèmes. Hermann dit :

« Les gens qui passent beaucoup de temps à conduire ont souvent de bonnes idées pendant ces périodes où ils sont en rythme thêta... Cela peut se produire sous la douche ou dans le bain, et même en se rasant ou en se coiffant. Il s’agit d’un état dans lequel la résolution d’un problème devient si automatique que vous pouvez mentalement vous en abstraire. Avec le rythme thêta, il semble souvent que le flux des pensées n'est limité par rien - ni par une censure interne, ni par un sentiment de culpabilité.

Le cerveau entre dans cet état, y compris lors de l’endormissement ou du réveil, lorsque vous oscillez entre l’éveil et le sommeil profond. Hermann explique :

« Au réveil, le cerveau peut maintenir le rythme thêta pendant une période prolongée, disons de 5 à 15 minutes, et ce temps peut être utilisé pour réfléchir librement aux événements de la veille ou à ce qui nous attend dans la nouvelle journée. Cette période peut être très productive et apporter de nombreuses idées significatives et créatives.

Existe-t-il des preuves réelles que cela fonctionne ?

Saisissez le moment où votre cerveau est prêt à vous donner meilleures idées, - une technique qui Les gens prospères sont suivis depuis des centaines d’années.

Les artistes, les écrivains et les grands penseurs ont remarqué depuis longtemps que ces moments où l'on « s'assoupit » - c'est-à-dire précisément lorsque le rythme thêta prédomine dans le cerveau - meilleur temps pour éveiller la créativité.

Albert Einstein et Thomas Edison avaient l'habitude de résoudre des problèmes complexes à moitié endormis. Un esprit rapide et créatif est construit pour résoudre des problèmes, c'est pourquoi même une brève réflexion sur les défis de la journée tôt le matin alors que vous êtes encore dans cet état (ou même la nuit lorsque vous commencez à vous endormir) peut produire des résultats étonnants. résultats. Ce qui a fonctionné pour Einstein peut fonctionner pour vous, même si nous ne promettons pas que vous deviendrez auteur. nouvelle théorie relativité.

Comment utiliser votre rythme thêta ?

Cela prendra du temps. Mais si vous faites cette pratique régulièrement, vous aurez bonne habitude ce qui augmentera votre productivité en nouveau niveau. Voici ce dont vous avez besoin pour cela :

1. Sélectionnez une tâche

Le matin, lorsque vous avez déjà commencé à vous réveiller, mais que vos yeux sont encore fermés et que votre cerveau est encore à moitié endormi, pensez au problème ou à la tâche la plus urgente à laquelle vous serez confronté aujourd'hui. Il s’agira peut-être d’une conversation délicate, d’une négociation importante avec un client, de la rédaction d’un rapport ou du développement d’une nouvelle campagne marketing. Mais peu importe le nombre de tâches qui vous viennent à l’esprit, vous devez en choisir une – et laisser votre cerveau y travailler.

N'essayez pas de diriger ou de limiter vos pensées d'une manière ou d'une autre, assurez-vous simplement qu'elles ne s'éloignent pas trop de sujet donné. Très probablement, votre cerveau commencera inconsciemment à sélectionner une solution.

Vous obtiendrez souvent quelques idées utiles. Parfois, c’est même une idée brillante. Très probablement, au début, vous oublierez d'utiliser cette méthode tous les jours, mais avec le temps, cela deviendra une autre habitude, faisant partie de vos rituels matinaux.

2. Prenez des notes

La partie la plus frustrante de la résolution des problèmes thêta est peut-être pour vous que vous oublierez ces idées inspirées dès que votre tête quittera l’oreiller. Vous allez vous creuser la tête sous la douche, en essayant d'extraire ce brillant plan en trois points que vous venez d'esquisser mentalement. C'est pourquoi vous devez noter vos résolutions dès que vous êtes suffisamment réveillé pour ouvrir les yeux.

Prenez votre smartphone (il se recharge toujours à la tête du lit, n'est-ce pas ?) et enregistrez immédiatement vos pensées - sous forme de texte ou sur un enregistreur vocal. Ne perdez pas de temps. Limitez-vous aux mots-clés, descriptions et expressions qui vous rafraîchiront la mémoire plus tard, lorsque vous serez prêt à utiliser les informations.

Un avantage supplémentaire : la lumière bleue de l'écran de votre téléphone vous aidera à vous réveiller. Et si vous souhaitez recourir à la même méthode le soir, en vous endormant, il est préférable d'utiliser un stylo et du papier - ainsi la lumière artificielle ne perturbera pas votre sommeil.

3. Analyser l'expérience

Tenez un journal de vos « pensées thêta » – au fil du temps, cela vous aidera à trouver solutions typiques et les domaines de leur application. Vous constaterez peut-être que cette méthode est la plus efficace pour résoudre des problèmes créatifs, ou remarquerez qu'elle vous donne un avantage dans la communication avec les gens ou dans la planification. Cela vous aidera à comprendre quels problèmes devront être résolus en utilisant le rythme thêta à l'avenir.

L’inspiration peut venir de n’importe où.

Mais il en va de même pour les obstacles.

Theta Thinking utilise la capacité universelle de résolution de problèmes du cerveau afin que vous puissiez mémoriser ces solutions et les utiliser. Cela peut souvent vous aider à contourner le prochain obstacle sur votre chemin ou à combler le fossé entre une idée à moitié cuite et une solution vraiment utile, et pourquoi ne pas en profiter ? Vous n'avez même pas besoin de sortir du lit pour faire ça ! publié