Vienkāršu lineāru vienādojumu risinājums. Vienkāršu lineāro vienādojumu reālu piemēru risināšana

52. Vairāk sarežģīti piemēri vienādojumi.
1. piemērs.

5 / (x - 1) - 3 / (x + 1) \u003d 15 / (x 2 - 1)

Kopsaucējs ir x 2 - 1, jo x 2 - 1 \u003d (x + 1) (x - 1). Reiziniet abas šī vienādojuma puses ar x 2 - 1. Iegūstam:

vai pēc samazināšanas,

5 (x + 1) - 3 (x - 1) = 15

5x + 5 – 3x + 3 = 15

2x=7 un x=3½

Apsveriet citu vienādojumu:

5 / (x-1) - 3 / (x + 1) \u003d 4 (x 2 - 1)

Atrisinot, kā norādīts iepriekš, mēs iegūstam:

5 (x + 1) - 3 (x - 1) = 4
5x + 5 - 3x - 3 = 4 vai 2x = 2 un x = 1.

Redzēsim, vai mūsu vienādības ir pamatotas, ja katrā no aplūkotajiem vienādojumiem x aizstājam ar atrasto skaitli.

Pirmajā piemērā mēs iegūstam:

Mēs redzam, ka šeit nav vietas šaubām: esam atraduši tādu skaitli x, ka nepieciešamā vienādība ir pamatota.

Otrajā piemērā mēs iegūstam:

5/(1-1) - 3/2 = 15/(1-1) vai 5/0 - 3/2 = 15/0

Šeit rodas šaubas: mēs šeit sastopamies ar dalīšanu ar nulli, kas nav iespējams. Ja nākotnē izdosies šim dalījumam piešķirt noteiktu, kaut arī netiešu nozīmi, tad varam piekrist, ka atrastais risinājums x - 1 apmierina mūsu vienādojumu. Līdz tam mums jāatzīst, ka mūsu vienādojumam vispār nav atrisinājuma, kam būtu tieša nozīme.

Šādi gadījumi var rasties, ja nezināmais kaut kādā veidā tiek iekļauts vienādojuma daļu saucējos, un daži no šiem saucējiem, kad tiek atrasts risinājums, pazūd.

2. piemērs.

Uzreiz var redzēt, ka šim vienādojumam ir proporcijas forma: skaitļa x + 3 attiecība pret skaitli x - 1 ir vienāda ar skaitļa 2x + 3 attiecību pret skaitli 2x - 2. Ļaujiet kādam Ņemot vērā šo apstākli, izlemiet piemērot šeit, lai atbrīvotu vienādojumu no daļskaitļiem, kas ir galvenā proporcijas īpašība (ārkārtējo skaitļu reizinājums ir vienāds ar vidējo reizinājumu). Tad viņš saņems:

(x + 3) (2x - 2) = (2x + 3) (x - 1)

2x 2 + 6x - 2x - 6 = 2x 2 + 3x - 2x - 3.

Šeit tas var radīt bažas, ka mēs netiksim galā ar šo vienādojumu, tas, ka vienādojumā ir iekļauti termini ar x 2 . Tomēr mēs varam atņemt 2x 2 no abām vienādojuma pusēm - tas neizjauks vienādojumu; tad dalībnieki ar x 2 tiks iznīcināti, un mēs iegūstam:

6x - 2x - 6 = 3x - 2x - 3

Pārvietosim nezināmos terminus pa kreisi, zināmos pa labi - mēs iegūstam:

3x=3 vai x=1

Atceroties šo vienādojumu

(x + 3)/(x - 1) = (2x + 3)/(2x - 2)

uzreiz pamanīsim, ka atrastā vērtība x (x = 1) pazūd katras daļdaļas saucējus; mums ir jāatsakās no šāda risinājuma, kamēr neesam izskatījuši jautājumu par dalīšanu ar nulli.

Ja ņem vērā arī to, ka proporcijas īpašības piemērošanai ir sarežģīti jautājumi un vienkāršāku vienādojumu var iegūt, reizinot abas dotā daļas ar kopsaucēju, proti, ar 2(x - 1) - galu galā 2x - 2 = 2 (x - 1), tad mēs iegūstam:

2(x + 3) = 2x - 3 vai 2x + 6 = 2x - 3 vai 6 = -3,

kas ir neiespējami.

Šis apstāklis ​​norāda, ka šim vienādojumam nav tādu atrisinājumu, kuriem būtu tieša nozīme, kas šī vienādojuma saucējus nepārvērsu par nulli.
Tagad atrisināsim vienādojumu:

(3x + 5)/(x - 1) = (2x + 18)/(2x - 2)

Reizinām abas vienādojuma daļas 2(x - 1), t.i., ar kopsaucēju, iegūstam:

6x + 10 = 2x + 18

Atrastais risinājums neatceļ saucēju un tam ir tieša nozīme:

vai 11 = 11

Ja kāds, tā vietā, lai abas daļas reizinātu ar 2(x - 1), izmantotu proporcijas īpašību, viņš iegūtu:

(3x + 5) (2x - 2) = (2x + 18) (x - 1) vai
6x 2 + 4x - 10 = 2x 2 + 16x - 18.

Šeit jau termini ar x 2 netiktu iznīcināti. Pārnesot visus nezināmos terminus uz kreiso pusi un zināmos uz labo pusi, mēs iegūtu

4x 2 - 12x = -8

x 2 - 3x = -2

Mēs tagad nevaram atrisināt šo vienādojumu. Nākotnē mēs iemācīsimies atrisināt šādus vienādojumus un atradīsim divus risinājumus: 1) varam ņemt x = 2 un 2) varam ņemt x = 1. Ir viegli pārbaudīt abus risinājumus:

1) 2 2 - 3 2 = -2 un 2) 1 2 - 3 1 = -2

Ja atceramies sākotnējo vienādojumu

(3x + 5) / (x - 1) = (2x + 18) / (2x - 2),

mēs redzēsim, ka tagad mēs iegūstam abus tā risinājumus: 1) x = 2 ir risinājums, kuram ir tieša nozīme un kas nepārvērš saucēju par nulli, 2) x = 1 ir risinājums, kas pārvērš saucēju uz nulli un dara. nav tiešas nozīmes.

3. piemērs.

Atradīsim šajā vienādojumā iekļauto daļskaitļu kopsaucēju, kuram mēs faktorizēsim katru no saucējiem:

1) x 2 - 5x + 6 \u003d x 2 - 3x - 2x + 6 \u003d x (x - 3) - 2 (x - 3) \u003d (x - 3) (x - 2),

2) x 2 - x - 2 \u003d x 2 - 2x + x - 2 \u003d x (x - 2) + (x - 2) \u003d (x - 2) (x + 1),

3) x 2 - 2x - 3 \u003d x 2 - 3x + x - 3 \u003d x (x - 3) + (x - 3) \u003d (x - 3) (x + 1).

Kopsaucējs ir (x - 3) (x - 2) (x + 1).

Reiziniet abas šī vienādojuma puses (un tagad mēs varam to pārrakstīt kā:

uz kopsaucēju (x - 3) (x - 2) (x + 1). Pēc tam, samazinot katru daļu, mēs iegūstam:

3 (x + 1) - 2 (x - 3) = 2 (x - 2) vai
3x + 3 - 2x + 6 = 2x - 4.

No šejienes mēs iegūstam:

–x = –13 un x = 13.

Šim risinājumam ir tieša nozīme: tas nevienu no saucējiem neuzliek uz nulli.

Ja pieņemtu vienādojumu:

tad, rīkojoties tieši tāpat kā iepriekš, mēs iegūtu

3 (x + 1) - 2 (x - 3) = x - 2

3x + 3 - 2x + 6 = x - 2

3x - 2x - x = -3 - 6 - 2,

kur tu dabūtu

kas ir neiespējami. Šis apstāklis ​​liecina, ka nav iespējams atrast risinājumu pēdējam vienādojumam, kam ir tieša nozīme.

Kā iemācīties atrisināt vienkāršus un sarežģītus vienādojumus

Dārgie vecāki!

Bez pamata matemātikas apmācības izglītība nav iespējama mūsdienu cilvēks. Skolā matemātika kalpo kā atbalsta priekšmets daudzām saistītām disciplīnām. Pēcskolas dzīvē tā kļūst par īstu nepieciešamību tālākizglītība, kas prasa pamata apmācību visā skolā, tostarp matemātikā.

AT pamatskola ne tikai tiek liktas zināšanas par galvenajām tēmām, bet arī attīstās loģiskā domāšana, iztēle un telpiskie attēlojumi, kā arī interese par šo tēmu.

Ievērojot nepārtrauktības principu, pievērsīsimies vissvarīgākajai tēmai, proti, "Darbības komponentu attiecības salikto vienādojumu risināšanā".

Izmantojot šī nodarbība jūs varat viegli iemācīties atrisināt sarežģītus vienādojumus. Šajā nodarbībā jūs uzzināsit soli pa solim instrukcijas sarežģītu vienādojumu risinājumi.

Daudzus vecākus neizpratnē jautājums – kā panākt, lai bērni iemācās atrisināt vienkāršus un sarežģītus vienādojumus. Ja vienādojumi ir vienkārši - tā joprojām ir puse no problēmām, taču ir arī sarežģīti, piemēram, integrālie. Starp citu, informācijai ir arī tādi vienādojumi, par kuru atrisināšanu viņi cīnās labākie prāti mūsu planētas un par kuras risinājumu tiek izsniegtas ļoti nozīmīgas naudas balvas. Piemēram, ja atceratiesPerelmansun nepieprasīta naudas prēmija vairāku miljonu apmērā.

Tomēr atgriezīsimies sākumā pie vienkāršiem matemātiskiem vienādojumiem un atkārtosim vienādojumu veidus un komponentu nosaukumus. Neliela iesildīšanās:

_________________________________________________________________________

IESILDĪŠANĀS

Katrā kolonnā atrodiet papildu numuru:

2) Kura vārda trūkst katrā kolonnā?

3) Saskaņojiet vārdus no pirmās kolonnas ar vārdiem no 2. kolonnas.

"vienādojums" "vienlīdzība"

4) Kā jūs izskaidrojat, kas ir “vienlīdzība”?

5) Un "vienādojums"? Vai tā ir vienlīdzība? Kas tajā ir īpašs?

termiņa summa

samazināta atšķirība

subtrahenda produkts

faktorsvienlīdzība

dalāmais

vienādojums

Secinājums: vienādojums ir vienādība ar mainīgo, kura vērtība ir jāatrod.

_______________________________________________________________________

Iesaku katrai grupai uz papīra lapas ar flomāsteru uzrakstīt vienādojumu: (uz tāfeles)

Vienai no grupām ir jāizlasa savs vienādojums matemātiskā valodā un jākomentē savs risinājums, t.i., jāizrunā veicamā darbība ar zināmiem darbības komponentiem (algoritms).

Secinājums: Mēs spējam atrisināt visu veidu vienkāršus vienādojumus pēc algoritma, lasīt un rakstīt burtiskas izteiksmes.

Es ierosinu atrisināt problēmu, kurā parādās jauna veida vienādojumi.

Secinājums: Iepazināmies ar vienādojumu atrisinājumu, kura vienā no daļām ir skaitliska izteiksme, kuras vērtība jāatrod un jāiegūst vienkāršs vienādojums.

________________________________________________________________________

Apsveriet citu vienādojuma versiju, kuras risinājums ir reducēts līdz vienkāršu vienādojumu ķēdes atrisināšanai. Šeit ir viens no salikto vienādojumu ievadiem.

Es iesaku ikvienam pierakstīt teikumu matemātiskā valodā:

Skaitļu x un 4 un skaitļa 3 starpības reizinājums ir 15.

SECINĀJUMS: problēmsituācija motivē nodarbības mērķi: iemācīties atrisināt vienādojumus, kuros nezināmā sastāvdaļa ir izteiksme. Šādi vienādojumi ir salikti vienādojumi.

__________________________________________________________________________

Vai varbūt mums palīdzēs jau izpētītie vienādojumu veidi? (algoritmi)

Kurš no zināmajiem vienādojumiem ir līdzīgs mūsu vienādojumam? X * a = in

ĻOTI SVARĪGS JAUTĀJUMS: Kāda ir izteiksme kreisajā pusē - summa, starpība, reizinājums vai koeficients?

(x - 4) * 3 = 15 (produkts)

Kāpēc? (jo pēdējā darbība ir reizināšana)

Secinājums:Šādi vienādojumi vēl nav izskatīti. Bet mēs varam izlemt, vai izteiksmex - 4uzklājiet karti (y - y), un jūs iegūstat vienādojumu, ko var viegli atrisināt, izmantojot vienkāršu algoritmu nezināma komponenta atrašanai.

Risinot saliktos vienādojumus, katrā solī nepieciešams automatizētā līmenī izvēlēties darbību, komentējot, nosaucot darbības sastāvdaļas.

(y - 5) * 4 = 28
y - 5 = 28: 4
y — 5 = 7
y = 5 +7
y = 12
(12 - 5) * 4 = 28
28 = 28 (un)

Secinājums:Nodarbībās ar dažādu pieredzi šo darbu var organizēt dažādi. Sagatavotākās nodarbībās pat primārajai fiksācijai var izmantot izteicienus, kuros nevis divas, bet trīs vai vairāk darbības, bet to risināšanai nepieciešamas vairāk soļi ar katru soli, vienkāršojot vienādojumu, līdz tiek iegūts vienkāršs vienādojums. Un katru reizi var novērot, kā mainās darbību nezināmā sastāvdaļa.

_____________________________________________________________________________

SECINĀJUMS:

Runājot par kaut ko ļoti vienkāršu, saprotamu, mēs bieži sakām: "Lieta ir skaidra, kā divas reiz divas - četras!".

Bet, pirms jūs domājat par to, ka divi reiz divi ir četri, cilvēkiem bija jāmācās daudzus, daudzus tūkstošus gadu.

Daudzi noteikumi no skolas aritmētikas un ģeometrijas mācību grāmatām bija zināmi senie grieķi vairāk nekā pirms diviem tūkstošiem gadu.

Visur, kur kaut kas jāskaita, jāmēra, jāsalīdzina, bez matemātikas neiztikt.

Grūti iedomāties, kā dzīvotu cilvēki, ja viņi nemācētu skaitīt, izmērīt, salīdzināt. Matemātika to māca.

Šodien jūs esat ieniris skolas dzīvē, iejutāties skolēnu lomā un iesaku jums, dārgie vecāki, novērtēt savas prasmes uz skalas.

Dzīvē ir brīži, kad tavā priekšā parādās šķietami bezcerīga situācija – vai problēma, kuras jebkurš risinājums solās nebūt tev par labu. Nesteidzieties atteikties no sapņu īstenošanas, sasniegt savu mērķi vai krist panikā. Kāds senatnes gudrs vīrs teica: "Izvēlies laiku pārdomām – tas ir spēka avots." Nu, grūti viņam nepiekrist, jo prāts - spēcīgs ierocis. Pat vissarežģītākajai problēmai ir desmitiem risinājumu, un tā ir tikai ārpus redzesloka, jo cilvēki ir pieraduši domāt noteiktos rāmjos. Sarežģītas problēmas risināšanai nepieciešams saskaņot apziņas un zemapziņas darbu – tas paplašinās tavu “apvārsni” un ļaus ieraudzīt jaunas iespējas.

Tehnika "100 idejas"

Lai apgūtu 100 Ideju tehniku, būs nepieciešamas tikai 1-2 stundas brīva laika, ērts personīgais stūrītis, kur neviens netraucēs, kā arī papīrs un zīmulis. Jau iepriekš palūdziet radiem un draugiem neiesaista jūs “meditācijas” laikā, izslēdz telefonu un vienkārši atpūties. Papīra augšpusē formulējiet un pierakstiet savu jautājumu vai dilemmu. Numurējiet sarakstu no viena līdz 100 un sāciet ģenerēt idejas.

Sākumā idejas nāk viena pēc otras, lai gan, ak vai, tās nav jaunas – aprakstīsi visus savus “trumpīšus”, tostarp prasmes, paziņas, sakarus, finanšu resursus, laiku, ko vari veltīt problēmas risināšanai. Tad joprojām šķitīs neticami atrast simts atbildes, un, apstājoties pie 20-30 punktiem, tu jutīsies tukšs. Jūs gaida neliela aizķeršanās, kas dabiski veidojas, kad apziņa, ejot pa apburto loku, ir izsmēlusi sev pieejamās iespējas un izgājusi cauri visam, ar ko tā jau ir saskārusies personīgajā pieredzē.

Jūsu ceļojuma uz jūsu zemapziņu otrais posms ir vēl 40 punkti, kuros jūs joprojām izmantojat savu apziņu, bet savu slēptās spējas sāk mosties un atver otru vēju. Šajā posmā parādās jūsu domāšanas tēls. Jūs ievērosiet, ka jūsu idejas sāk atkārtoties, un tajās ir visādas klišejas un attieksmes. Tavs mērķis nav tos atlaist, bet gan cītīgi pierakstīt uz papīra, un lūk, kāpēc: tieši šie zīmogi ir tie rāmji, kurus nevar pārkāpt un paskatīties apkārt. Tas varētu būt sabiedriskā doma, neapmierinātība ar autoritātēm, pašapziņas trūkums un jebkādas citas "buras" jūsu psihē. Tajā pašā laikā jūs varat atklāt savu slēptās problēmas vai bailes, kas neļauj jums virzīties uz priekšu. Šis posms prasīs no jums vislielāko izturību - galu galā nav viegli nomest malā pirmos trīsdesmit punktus, kas nepārprotami atrodas jūsu komforta zonā, un uzņemties jaunas, nezināmas un tāpēc dažreiz biedējošas idejas - tas ir normāli, galvenais ir nepadoties. Turklāt šī iekšējā cīņa tikai palīdz pāriet uz trešo ceļojuma fāzi.

Tieši pēdējie 30 punkti atvērs tavā priekšā Pandoras lādi, jo skaitlis 100 nav izvēlēts nejauši. Tieši tā ļauj jūsu intuīcijai pilnībā atvērties un pārsteigt sevi ar negaidītiem “atskatiem no augšas” - jūsu mostas zemapziņas ekspromtu, no kurienes idejas parādās bez prāta apstrādes un filtrēšanas. Savos meklējumos tu jau esi atmetis loģiku, pamanot, cik tā patiesībā ir kvadrātveida, un saproti, ka tavs domāšanas veids ir tikai vienā plaknē – un pasaule, izrādās, ir trīsdimensionāla (laiku neskaitot). Tagad, kad prāts pārstāj jums diktēt, kas ir “iespējams” un kas nav, durvis uz zemapziņu tiek atvērtas. Jūs varat viegli izdomāt kaut ko neparastu un no pirmā acu uzmetiena pilnīgi absurdu. Jums pat var šķist, ka nevajadzētu pierakstīt ideju, kas jums ir klaji nepiemērota, nav skaidrs, kādi attēli jums radās galvā. Taču tieši dīvainas, reizēm muļķīgas frāzes var izrādīties neattīrīti dimanti. Atcerieties, kā cilvēki domāja, ka Zeme ir plakana un baidījās nokrist no tās malas, un kā ideja, ka planēta ir apaļa un griežas, savulaik tika saukta par ķecerību. Trakas idejas tev sākumā var nebūt skaidras, taču sajutīsi, ka tajās kaut kas ir – tas kalpos kā salmiņš, kas pateiks pareizo virzienu.

Var arī gadīties, ka pēc tik daudzu ideju izklāsta jūs pēkšņi saprotat, ka tā nemaz nebija problēma - vai arī redzējāt tikai aisberga virsotni, tāpēc jums ir jāizveido jauns saraksts, lai atbildētu uz pavisam citu jautājumu.

Ir vēl daži noteikumi, kas jāievēro, strādājot ar šo tehniku. Pirmkārt, saraksts ir jāsastāda vienā piegājienā, bez pārtraukumiem - pretējā gadījumā jūsu snaudošās spožās idejas paliks snaudušas zem ikdienas domāšanas smaguma. Strādājot, nepārlasiet sarakstu un novērtējiet, cik daudz jau ir izdarīts un cik punktu ir palicis - tas novērsīs jūsu uzmanību un neļaus jūsu domām dabiski atkārtot - un tāpēc neļaus jums redzēt savus klupšanas akmeņus. Noskaņojieties uzreiz: pēc visu simtu punktu sastādīšanas jūs novērtēsit un kritizēsit savas idejas - un, kamēr process norisinās, jums ir jāpieraksta visas domas (galu galā jums nav pienākuma nevienam parādīt šo papīru, ja jūs nevēlaties). Ja darbs rit pilnā sparā, saīsini vārdus, galvenais, lai pēc tam vari izlasīt, ko domāji. Protams, zīmuļa un papīra vietā varat izmantot klēpjdatoru, taču atcerieties: avotu elektromagnētiskie viļņi, vismaz teorētiski, neļauj jūsu smadzenēm, aurai un, ja vēlaties, čakrām savienoties ar universālo prātu - un vispār tas lieliski funkcionē. Bet tas ir pēc personīgiem ieskatiem.

“100 Ideju” tehnikas “garšīgie” bonusi ir ne tikai iespēja dziļi ieskatīties sevī un rast oriģinālus risinājumus sarežģītām situācijām, bet arī tas, ka ar to vari attīstīties daudzveidīgi un plānot savu nākotni, rast jaunus stimulus. pašattīstībai un augšanai pāri sev. Lai to izdarītu, brīvajā laikā pārdomājiet atbildes uz šādām (un jebkuru no savām) tēmām:

• Kā sevi izglītot
• Kā uzlabot attiecības
• Kā uzlabot savu dzīvi
• Kā pelnīt naudu
• Kā uzlabot biznesu
• Kā palīdzēt cilvēkiem
• Kā palielināt personīgo efektivitāti
• Kā kļūt veselīgākam
• Lietas, ko es turpinu atlikt uz rītdienu
• Lietas, kuras es daru vislabāk
• Lietas, kas mani demotivē
• Īpašības, kuras vēlos sevī attīstīt
• Jautājumi, uz kuriem man jāatrod atbildes
• Vērtības, kurām ticu
• Lietas, ko es novērtēju dzīvē
• Profesijas, kurās vēlos sevi izmēģināt
• Lietas (cilvēki), kas mani bremzē mērķa sasniegšanā
• Lietas, kas mani uzmundrina
• Secinājumi, ko dzīve man ir iemācījusi
• Lietas, no kurām jāatbrīvojas
• Vietas, kuras vēlētos apmeklēt
• Kļūdas, par kurām es piedodu sev (citiem)
• Veidi, kā domāt radošāk

Šajā videoklipā mēs apskatīsim visu komplektu. lineārie vienādojumi, kas tiek atrisināti pēc viena un tā paša algoritma - tāpēc tos sauc par vienkāršākajiem.

Sākumā definēsim: kas ir lineārais vienādojums un kuru no tiem vajadzētu saukt par vienkāršāko?

Lineārais vienādojums ir tāds, kurā ir tikai viens mainīgais un tikai pirmajā pakāpē.

Vienkāršākais vienādojums nozīmē konstrukciju:

Visi pārējie lineārie vienādojumi tiek reducēti uz vienkāršākajiem, izmantojot algoritmu:

1. Atvērtas iekavas, ja tādas ir;
2. Pārvietot terminus, kas satur mainīgo uz vienu vienādības zīmes pusi, un terminus bez mainīgā uz otru;
3. Novietojiet līdzīgus terminus pa kreisi un pa labi no vienādības zīmes;
4. Sadaliet iegūto vienādojumu ar mainīgā $x$ koeficientu.

Protams, šis algoritms ne vienmēr palīdz. Fakts ir tāds, ka dažreiz pēc visām šīm mahinācijām mainīgā $x$ koeficients izrādās vienāds ar nulli. Šajā gadījumā ir iespējamas divas iespējas:

1. Vienādojumam vispār nav atrisinājumu. Piemēram, kad iegūstat kaut ko līdzīgu $0\cdot x=8$, t.i. kreisajā pusē ir nulle, bet labajā pusē ir skaitlis, kas nav nulle. Tālāk esošajā videoklipā apskatīsim vairākus iemeslus, kāpēc šāda situācija ir iespējama.
2. Risinājums ir visi skaitļi. Vienīgais gadījums, kad tas ir iespējams, vienādojums tiek reducēts līdz konstrukcijai $0\cdot x=0$. Diezgan loģiski, ka neatkarīgi no tā, kādu $x$ mēs aizstātu, tomēr izrādīsies “nulle ir vienāda ar nulli”, t.i. pareiza skaitliskā vienādība.

Un tagad redzēsim, kā tas viss darbojas uz reālu problēmu piemēra.

Vienādojumu risināšanas piemēri

Šodien mēs nodarbojamies ar lineārajiem vienādojumiem un tikai visvienkāršākajiem. Kopumā lineārais vienādojums nozīmē jebkuru vienādību, kas satur tieši vienu mainīgo, un tas attiecas tikai uz pirmo pakāpi.

Šādas konstrukcijas tiek atrisinātas aptuveni tādā pašā veidā:

1. Pirmkārt, jums ir jāatver iekavas, ja tādas ir (kā mūsu pēdējā piemērā);
2. Tad atnes līdzīgu
3. Visbeidzot, izolējiet mainīgo, t.i. viss, kas ir saistīts ar mainīgo - termini, kuros tas ir ietverts - tiek pārnests uz vienu pusi, un viss, kas paliek bez tā, tiek pārnests uz otru pusi.

Pēc tam, kā likums, katrā iegūtās vienādības pusē ir jāienes līdzīgs, un pēc tam atliek tikai dalīt ar koeficientu pie "x", un mēs saņemsim galīgo atbildi.

Teorētiski tas izskatās jauki un vienkārši, taču praksē pat pieredzējuši vidusskolēni var pieļaut aizvainojošas kļūdas diezgan vienkāršos lineārajos vienādojumos. Parasti kļūdas tiek pieļautas vai nu atverot iekavas, vai arī saskaitot "plusus" un "mīnusus".

Turklāt gadās, ka lineāram vienādojumam nav atrisinājumu vispār vai tā, ka atrisinājums ir visa skaitļa līnija, t.i. jebkurš skaitlis. Šīs smalkumus mēs analizēsim šodienas nodarbībā. Bet mēs sāksim, kā jūs jau sapratāt, ar lielāko daļu vienkāršus uzdevumus.

Vienkāršu lineāru vienādojumu risināšanas shēma

Vispirms ļaujiet man vēlreiz uzrakstīt visu shēmu vienkāršāko lineāro vienādojumu risināšanai:

1. Izvērsiet iekavas, ja tādas ir.
2. Nošķirt mainīgos, t.i. viss, kas satur "x", tiek pārnests uz vienu pusi, bet bez "x" - uz otru.
3. Mēs piedāvājam līdzīgus terminus.
4. Mēs visu sadalām ar koeficientu pie "x".

Protams, šī shēma ne vienmēr darbojas, tai ir zināmi smalkumi un viltības, un tagad mēs tos iepazīsim.

Vienkāršu lineāro vienādojumu reālu piemēru risināšana

Uzdevums #1

Pirmajā solī mums ir jāatver kronšteini. Bet tie nav šajā piemērā, tāpēc mēs izlaižam šo soli. Otrajā solī mums ir jāizolē mainīgie. Lūdzu, ņemiet vērā: mēs runājam tikai par atsevišķiem noteikumiem. Rakstīsim:

Mēs sniedzam līdzīgus terminus kreisajā un labajā pusē, bet tas jau ir izdarīts šeit. Tāpēc mēs pārejam uz ceturto soli: dala ar koeficientu:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Šeit mēs saņēmām atbildi.

Uzdevums #2

Šajā uzdevumā mēs varam novērot iekavas, tāpēc paplašināsim tās:

Gan pa kreisi, gan pa labi redzam aptuveni vienādu konstrukciju, bet rīkosimies pēc algoritma, t.i. sekvesteru mainīgie:

Šeit ir daži, piemēram:

Pie kādām saknēm tas darbojas? Atbilde: jebkuram. Tāpēc mēs varam rakstīt, ka $x$ ir jebkurš skaitlis.

Uzdevums #3

Trešais lineārais vienādojums jau ir interesantāks:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Šeit ir vairākas iekavas, bet tās nav reizinātas ar neko, tikai tām ir dažādas zīmes priekšā. Sadalīsim tos:

Mēs veicam otro mums jau zināmo soli:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

Aprēķināsim:

Mēs veicam pēdējo darbību - mēs visu sadalām ar koeficientu pie "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Lietas, kas jāatceras, risinot lineāros vienādojumus

Ja mēs ignorējam pārāk vienkāršus uzdevumus, es gribētu teikt sekojošo:

• Kā jau teicu iepriekš, ne katram lineārajam vienādojumam ir risinājums - dažreiz vienkārši nav sakņu;
• Pat ja ir saknes, starp tām var iekļūt nulle - tur nav nekā slikta.

Nulle ir tāds pats skaitlis kā pārējais, jums nevajadzētu to kaut kā diskriminēt vai pieņemt, ka, ja jums ir nulle, tad jūs kaut ko izdarījāt nepareizi.

Vēl viena iezīme ir saistīta ar iekavu paplašināšanu. Lūdzu, ņemiet vērā: ja priekšā ir “mīnuss”, mēs to noņemam, bet iekavās mainām zīmes uz pretī. Un tad mēs varam to atvērt saskaņā ar standarta algoritmiem: mēs iegūsim to, ko redzējām iepriekš minētajos aprēķinos.

Izprotot šo vienkāršs fakts neļaus jums pieļaut stulbas un sāpinošas kļūdas vidusskolā, kad šādas lietas tiek uzskatītas par pašsaprotamām.

Sarežģītu lineāro vienādojumu risināšana

Pāriesim pie sarežģītākiem vienādojumiem. Tagad konstrukcijas kļūs sarežģītākas un, veicot dažādas transformācijas, parādīsies kvadrātfunkcija. Tomēr no tā nevajadzētu baidīties, jo, ja saskaņā ar autora nodomu mēs atrisināsim lineāru vienādojumu, tad transformācijas procesā noteikti tiks samazināti visi monomi, kas satur kvadrātfunkciju.

1. piemērs

Acīmredzot pirmais solis ir kronšteinu atvēršana. Darīsim to ļoti uzmanīgi:

Tagad ņemsim vērā privātumu:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Šeit ir daži, piemēram:

Acīmredzot šim vienādojumam nav atrisinājumu, tāpēc atbildē mēs rakstām šādi:

\[\variety \]

vai bez saknēm.

2. piemērs

Mēs veicam tās pašas darbības. Pirmais solis:

Pārvietosim visu ar mainīgo pa kreisi un bez tā - pa labi:

Šeit ir daži, piemēram:

Acīmredzot šim lineārajam vienādojumam nav risinājuma, tāpēc mēs to rakstām šādi:

\[\varnothing\],

vai bez saknēm.

Risinājuma nianses

Abi vienādojumi ir pilnībā atrisināti. Šo divu izteiksmju piemērā mēs vēlreiz pārliecinājāmies, ka pat visvienkāršākajos lineārajos vienādojumos viss var nebūt tik vienkārši: var būt vai nu viens, vai neviena, vai bezgalīgi daudz. Mūsu gadījumā mēs izskatījām divus vienādojumus, abos vienkārši nav sakņu.

Bet es vēlos vērst jūsu uzmanību uz vēl vienu faktu: kā strādāt ar iekavām un kā tās paplašināt, ja priekšā ir mīnusa zīme. Apsveriet šo izteiksmi:

Pirms atvēršanas viss jāreizina ar "x". Lūdzu, ņemiet vērā: reiziniet katru atsevišķu terminu. Iekšpusē ir divi termini - attiecīgi divi termini un ir reizināts.

Un tikai pēc tam, kad ir pabeigtas šīs it kā elementārās, bet ļoti svarīgās un bīstamās pārvērtības, var atvērt kronšteinu no tā viedokļa, ka aiz tā ir mīnusa zīme. Jā, jā: tikai tagad, kad ir veiktas pārvērtības, atceramies, ka iekavās priekšā ir mīnusa zīme, kas nozīmē, ka viss uz leju tikai maina zīmes. Tajā pašā laikā pazūd paši kronšteini un, pats galvenais, pazūd arī priekšējais "mīnuss".

Mēs darām to pašu ar otro vienādojumu:

Nav nejaušība, ka es pievēršu uzmanību šiem mazajiem, šķietami nenozīmīgajiem faktiem. Jo vienādojumu risināšana vienmēr ir elementāru pārveidojumu secība, kur nespēja skaidri un prasmīgi veikt vienkāršas darbības noved pie tā, ka pie manis nāk vidusskolēni un atkal mācās risināt tik vienkāršus vienādojumus.

Protams, pienāks diena, kad šīs prasmes noslīpēsiet līdz automātismam. Jums vairs nav katru reizi jāveic tik daudz pārvērtību, jūs visu rakstīsit vienā rindā. Bet, kamēr jūs tikai mācāties, jums ir jāraksta katra darbība atsevišķi.

Vēl sarežģītāku lineāro vienādojumu risināšana

To, ko mēs tagad risināsim, diez vai var saukt par vienkāršāko uzdevumu, bet nozīme paliek nemainīga.

Uzdevums #1

\[\kreisais(7x+1\labais)\kreisais(3x-1\labais)-21((x)^(2))=3\]

Sareizināsim visus elementus pirmajā daļā:

Taisīsim atkāpšanos:

Šeit ir daži, piemēram:

Veiksim pēdējo darbību:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Šeit ir mūsu galīgā atbilde. Un, neskatoties uz to, ka risināšanas procesā mums bija koeficienti ar kvadrātfunkciju, tomēr tie savstarpēji iznīcinājās, kas padara vienādojumu tieši lineāru, nevis kvadrātu.

Uzdevums #2

\[\left(1-4x \right)\left(1-3x \right)=6x\left(2x-1 \right)\]

Pirmo darbību veiksim uzmanīgi: reiziniet katru elementu pirmajā iekavā ar katru elementu otrajā. Kopumā pēc transformācijām jāiegūst četri jauni termini:

Un tagad rūpīgi veiciet reizināšanu katrā terminā:

Pārvietosim terminus ar "x" pa kreisi un bez - pa labi:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Šeit ir līdzīgi termini:

Esam saņēmuši galīgu atbildi.

Risinājuma nianses

Vissvarīgākā piezīme par šiem diviem vienādojumiem ir šāda: tiklīdz mēs sākam reizināt iekavas, kurās ir vairāk nekā vārds, tad tas tiek darīts saskaņā ar šādu noteikumu: mēs ņemam pirmo vārdu no pirmā un reizinām ar katru elementu. no otrā; tad ņemam otro elementu no pirmā un līdzīgi reizinām ar katru elementu no otrā. Rezultātā mēs iegūstam četrus terminus.

Par algebrisko summu

Ar pēdējo piemēru es vēlētos studentiem atgādināt, kas ir algebriskā summa. Klasiskajā matemātikā ar $1-7$ mēs domājam vienkāršu konstrukciju: no viena atņemam septiņus. Algebrā mēs ar to domājam sekojošo: skaitlim "viens" pievienojam citu skaitli, proti, "mīnus septiņi". Šī algebriskā summa atšķiras no parastās aritmētiskās summas.

Tiklīdz, veicot visas pārvērtības, katru saskaitīšanu un reizināšanu, jūs sākat redzēt konstrukcijas, kas līdzīgas iepriekš aprakstītajām, jums vienkārši nebūs problēmu algebrā, strādājot ar polinomiem un vienādojumiem.

Noslēgumā apskatīsim vēl pāris piemērus, kas būs vēl sarežģītāki par tiem, kurus tikko apskatījām, un, lai tos atrisinātu, mums būs nedaudz jāpaplašina mūsu standarta algoritms.

Vienādojumu risināšana ar daļskaitli

Lai atrisinātu šādus uzdevumus, mūsu algoritmam būs jāpievieno vēl viens solis. Bet vispirms es atgādināšu mūsu algoritmu:

1. Atveriet iekavas.
2. Atsevišķi mainīgie.
3. Atnesiet līdzīgus.
4. Sadaliet ar koeficientu.

Diemžēl šis brīnišķīgais algoritms, neskatoties uz savu efektivitāti, nav pilnībā piemērots, ja mums priekšā ir daļskaitļi. Un tajā, ko mēs redzēsim tālāk, mums abos vienādojumos ir daļa pa kreisi un pa labi.

Kā šajā gadījumā strādāt? Jā, tas ir ļoti vienkārši! Lai to izdarītu, algoritmam jāpievieno vēl viens solis, ko var veikt gan pirms pirmās darbības, gan pēc tās, proti, atbrīvoties no frakcijām. Tādējādi algoritms būs šāds:

1. Atbrīvojieties no frakcijām.
2. Atveriet iekavas.
3. Atsevišķi mainīgie.
4. Atnesiet līdzīgus.
5. Sadaliet ar koeficientu.

Ko nozīmē "atbrīvoties no frakcijām"? Un kāpēc to ir iespējams izdarīt gan pēc, gan pirms pirmā standarta soļa? Faktiski mūsu gadījumā visas daļdaļas saucēja izteiksmē ir skaitliskas, t.i. visur saucējs ir tikai skaitlis. Tāpēc, ja mēs reizinām abas vienādojuma daļas ar šo skaitli, mēs atbrīvosimies no daļām.

1. piemērs

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

Atbrīvosimies no daļām šajā vienādojumā:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot četri\]

Lūdzu, ņemiet vērā: viss tiek reizināts ar “četri”, t.i. tas, ka jums ir divas iekavas, nenozīmē, ka jums katra no tām ir jāreizina ar "četri". Rakstīsim:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Tagad atveram to:

Mēs veicam mainīgā lieluma izolāciju:

Mēs veicam līdzīgu terminu samazināšanu:

\[-4x=-1\left| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Esam saņēmuši gala risinājumu, pārejam pie otrā vienādojuma.

2. piemērs

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Šeit mēs veicam visas tās pašas darbības:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problēma atrisināta.

Tas patiesībā ir viss, ko es šodien gribēju pateikt.

Galvenie punkti

Galvenie atklājumi ir šādi:

• Zināt lineāro vienādojumu risināšanas algoritmu.
• Spēja atvērt iekavas.
• Neuztraucieties, ja jums kaut kur ir kvadrātiskās funkcijas, visticamāk, turpmāko pārvērtību procesā tie tiks samazināti.
• Lineārajos vienādojumos, pat visvienkāršākajos, saknes ir trīs veidu: viena sakne, visa skaitļu līnija ir sakne, sakņu nav vispār.

Es ceru, ka šī nodarbība palīdzēs jums apgūt vienkāršu, bet ļoti svarīgu tēmu visas matemātikas tālākai izpratnei. Ja kaut kas nav skaidrs, dodieties uz vietni, atrisiniet tur sniegtos piemērus. Sekojiet līdzi jaunumiem, jūs gaida vēl daudz interesantu lietu!

Zinātnieki ir pētījuši smadzeņu darbības ritmus un noteikuši to, kas ir vispiemērotākais radošam ieskatam un meklēšanai noderīgas idejas

Zinātnieki ir izpētījuši smadzeņu darbības ritmus un noteikuši to, kas ir vispiemērotākais radošam ieskatam un noderīgu ideju meklēšanai.

Tur ir. Gulēt. Atrisināt problēmas. Atkārtojiet. Visticamāk, ja neskaita nakts miegu, jūs pavadāt lielākā daļa laiks dažādu problēmu risināšanai – īpaši darbā.

Ne jau tas bija slikti. Daudzi no labākie uzņēmēji pasaulē, sākot ar Sāru Bleikiju un beidzot ar Ričardu Brensonu, panākumi ir saistīti ar spēju atklāt problēmas (šajā gadījumā neapmierinātās patērētāju vajadzības) un rast risinājumus.

Bet nu kurš svarīga daļa mūsu dzīve nav bijusi problēmu risināšana, tas joprojām ir stress, un šķiet, ka daži cilvēki ar to tiek galā labāk nekā citi.

Tāpēc tie, kas vēlas kļūt veiksmīgāki šajā spēlē, var izmēģināt ko jaunu: meklēt risinājumus sapnī. Burtiski. To sauc par "Catch Your Theta Rhythm". Nē, runa nav par pašhipnozi vai meditāciju: tā ir tīra zinātne, un tā darbojas.

Bet vispirms sapratīsim:

Kas ir smadzeņu ritmi?

Kā skaidro profesors Neds Hermans, tas tā ir ritmi, kas kontrolē smadzeņu elektrisko aktivitāti. Atkarībā no jūsu aktivitātes līmeņa var atšķirt četrus dažādus ritmus. Mēs tos uzskaitām viļņu frekvences samazināšanās secībā.

• Maksimālās aktivitātes periodos (piemēram, svarīgas darba intervijas laikā) jūsu smadzenes darbojas beta ritms.
• Kad esat atslābinājies – piemēram, tikko pabeidzis liels projekts un beidzot var izelpot - smadzenes pārslēdzas uz alfa ritms.
• Tagad ejam uz priekšu: ceturtais ritms tiek apzīmēts ar burtu "delta" un tiek fiksēts, kad esat dziļā miegā.

Mēs izlaidām trešo posmu, teta ritmu, jo tas ir vispiemērotākais problēmu risināšanai. Hermans saka:

“Cilvēkiem, kuri pavada daudz laika pie stūres, šajos periodos, kad viņi ir teta ritmā, bieži rodas labas idejas... Tas var notikt dušā vai vannā un pat skūšanās vai ķemmēšanas laikā. Tas ir stāvoklis, kurā problēmu risināšana kļūst tik automātiska, ka jūs varat garīgi no tās atslēgties. Ar teta ritmu bieži šķiet, ka domu plūsmu nekas neierobežo - ne iekšējā cenzūra, ne vainas apziņa.

Smadzenes nonāk šajā stāvoklī, arī aizmigšanas vai pamošanās laikā, kad balansējat starp nomodu un dziļu miegu. Herrmann paskaidro:

"Pamošanās laikā smadzenes var uzturēt teta ritmu ilgu laiku, teiksim, 5 līdz 15 minūtes, un šo laiku var izmantot, lai brīvi pārdomātu vakardienas notikumus vai to, kas jādara jaunajā dienā. Šis periods var būt ļoti produktīvs un nest daudz jēgpilnu un radošu ideju.

Vai ir kādi reāli pierādījumi, ka tas darbojas?

Noķer brīdi, kad tavas smadzenes ir gatavas tev dot labākās idejas, - tehnika, kas veiksmīgi cilvēki notiek jau simtiem gadu.

Mākslinieki, rakstnieki un lielie domātāji jau sen ir pamanījuši, ka tajos brīžos, kad mēs "pamājam" - tas ir, tieši tad, kad smadzenēs valda teta ritms - labakais laiks lai pamodinātu radošumu.

Albertam Einšteinam un Tomasam Edisonam bija ieradums atrisināt sarežģītas problēmas pusmiegā. Ātrs, radošs prāts ir radīts problēmu risināšanai, tāpēc pat īsas pārdomas par jaunas dienas uzdevumiem agri no rīta, kamēr vēl atrodaties šādā stāvoklī (vai pat naktī, kad sākat iemigt) var dot pārsteidzoši rezultāti. Tas, kas strādāja Einšteinam, varētu noderēt arī jums, lai gan mēs nesolām, ka būsiet autors. jauna teorija relativitāte.

Kā izmantot savu teta ritmu?

Tas prasīs kādu laiku. Bet, ja jūs regulāri pievērsīsieties šai praksei, jums tas būs labs ieradums kas paaugstinās jūsu produktivitāti jauns līmenis. Lūk, kas jums ir nepieciešams:

1. Izvēlieties uzdevumu

No rīta, kad esat jau sācis mosties, bet acis vēl ir aizvērtas un smadzenes vēl pusmiegā, padomājiet par aktuālāko problēmu vai uzdevumu, ar kuru šodien nāksies saskarties. Varbūt tā būs viltīga saruna, svarīgas sarunas ar klientu, atskaites rakstīšana vai jaunas mārketinga kampaņas izstrāde. Bet neatkarīgi no tā, cik daudz uzdevumu atrodas jūsu prātā, jums ir jāizvēlas viens un jāļauj smadzenēm strādāt pie tā.

Nemēģiniet nekādā veidā virzīt vai ierobežot savas domas, tikai pārliecinieties, ka tās neaiziet pārāk tālu dotā tēma. Visticamāk, jūsu smadzenes neapzināti sāks uztvert risinājumu.

Bieži vien rezultātā jūs gūsit pāris noderīgas idejas. Dažkārt – pat spožs ieskats. Visticamāk, sākumā jūs aizmirsīsit izmantot šo metodi katru dienu, bet ar laiku tas kļūs par vēl vienu ieradumu, daļu no jūsu rīta rituāliem.

2. Veikt piezīmes

Iespējams, ka vissatraucošākā problēmu risināšanas daļa ar Theta Rhythm ir tā, ka jūs aizmirstat šīs iedvesmojošās idejas, tiklīdz jūsu galva atstāj spilvenu. Jūs mocīsit savas smadzenes dušā, mēģinot no tām izvilkt spožo trīs punktu plānu, ko tikko garīgi ieskicējāt. Tāpēc jums vajadzētu pierakstīt savus lēmumus, tiklīdz esat pietiekami nomodā, lai atvērtu acis.

Paņemiet viedtālruni (tas joprojām lādējas pie galvas, vai ne?) un nekavējoties ierakstiet savas domas - tekstā vai diktofonā. Netērējiet laiku. Ierobežojiet sevi ar atslēgvārdiem, aprakstiem un frāzēm, kas aktivizēs jūsu atmiņu vēlāk, kad būsit gatavs izmantot informāciju.

Papildu priekšrocība: zilā gaisma tālruņa ekrānā palīdzēs jums pamosties. Un, ja vēlies ķerties pie šīs pašas metodes vakarā, iemigšanas procesā, labāk izmantot pildspalvu un papīru – tā mākslīgā gaisma netraucēs miegu.

3. Analizējiet pieredzi

Saglabājiet savu "teta domu" žurnālu - laika gaitā tas palīdzēs jums atrast tipiski risinājumi un to pielietojuma jomas. Jūs varat atklāt, ka šī metode jums ir visefektīvākā radošu problēmu risināšanā, vai arī jūs varat atklāt, ka tā sniedz jums priekšrocības saskarsmē ar cilvēkiem vai plānošanā. Tas palīdzēs saprast, kādi uzdevumi turpmāk būtu jāatrisina, izmantojot teta ritmu.

Iedvesma var nākt no jebkuras vietas.

Bet tas pats attiecas uz šķēršļiem.

Teta domāšana izmanto smadzeņu universālo spēju atrisināt problēmas, lai jūs varētu atcerēties šos risinājumus un tos izmantot. Bieži vien tas palīdz apiet vēl kādu šķērsli ceļā vai pārvarēt plaisu starp pusgatavu ideju un patiešām noderīgu risinājumu, un kāpēc gan neizmantot šo iespēju? Lai to izdarītu, jums pat nav jāceļas ārā no gultas! publicēts