Примери за приемливо и неприемливо. Започнете в науката

Дробни уравнения. ОДЗ.

внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които „много...“)

Продължаваме да овладяваме уравненията. Вече знаем как да работим с линейни и квадратни уравнения. Последният оставен изглед - дробни уравнения . Или те също се наричат ​​много по-уважително - дробни рационални уравнения. Същото е.

Дробни уравнения.

Както подсказва името, тези уравнения непременно съдържат дроби. Но не само дроби, а дроби, които имат неизвестен в знаменател. Поне в едно. Например:

Нека ви напомня, че ако знаменателите са само числа, това са линейни уравнения.

Как да решим дробни уравнения? Първо, отървете се от дробите! След това уравнението най-често се превръща в линейно или квадратно. И тогава знаем какво да правим... В някои случаи може да се превърне в идентичност, като 5=5 или неправилен израз, като 7=2. Но това рядко се случва. Ще спомена това по-долу.

Но как да се отървем от дробите!? Много просто. Прилагане на същите идентични трансформации.

Трябва да умножим цялото уравнение по същия израз. Така че всички знаменатели са намалени! Всичко веднага ще стане по-лесно. Нека обясня с пример. Нека трябва да решим уравнението:

Как ви учеха в началното училище? Преместваме всичко на една страна, привеждаме го към общ знаменател и т.н. Забравете как ужасен сън! Това е, което трябва да направите, когато събирате или изваждате дроби. Или работите с неравенства. И в уравненията ние веднага умножаваме двете страни по израз, който ще ни даде възможност да намалим всички знаменатели (т.е. по същество с общ знаменател). И какъв е този израз?

От лявата страна намаляването на знаменателя изисква умножение по х+2. А отдясно се изисква умножение по 2. Това означава, че уравнението трябва да се умножи по 2(x+2). Умножете:

Това е обичайно умножение на дроби, но ще го опиша подробно:

Моля, обърнете внимание, че все още не отварям скобата (x + 2)! И така, изцяло го пиша:

От лявата страна се свива изцяло (x+2), а вдясно 2. Което се изискваше! След намаляване получаваме линеенуравнението:

И всеки може да реши това уравнение! х = 2.

Нека решим друг пример, малко по-сложен:

Ако си спомним, че 3 = 3/1 и 2x = 2x/ 1, можем да напишем:

И отново се отърваваме от това, което наистина не харесваме - дроби.

Виждаме, че за да намалим знаменателя с X, трябва да умножим дробта по (x – 2). И малко не са пречка за нас. Е, нека да умножим. всичколявата страна и всичкоправилната страна:

Отново скоби (x – 2)Не разкривам. Работя със скобата като цяло като един номер! Това трябва да се прави винаги, в противен случай нищо няма да се намали.

С чувство на дълбоко удовлетворение намаляваме (x – 2)и получаваме уравнение без никакви дроби, с линийка!

Сега нека отворим скобите:

Носим подобни, преместваме всичко от лявата страна и получаваме:

Но преди това ще се научим да решаваме други проблеми. На интерес. Това е рейк, между другото!

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и производни.

Научен ръководител:

1. Въведение 3

2. Исторически очерк 4

3. “Място” на ОДЗ при решаване на уравнения и неравенства 5-6

4. Характеристики и опасности на ОДЗ 7

5. ОДЗ – има решение 8-9

6. Намирането на ODZ е допълнителна работа. Еквивалентност на преходи 10-14

7. ОДЗ в Единния държавен изпит 15-16

8. Заключение 17

9. Литература 18

1. Въведение

проблем:уравненията и неравенствата, в които е необходимо да се намери ODZ, не са намерили място в курса по алгебра за систематично представяне, което вероятно е причината моите връстници и аз често да допускаме грешки при решаването на такива примери, прекарвайки много време в решаването им, като същевременно забравяме относно ОДЗ.

Мишена:да може да анализира ситуацията и да прави логически правилни заключения в примери, където е необходимо да се вземе предвид DL.

Задачи:

1. Изучаване на теоретичен материал;

2. Решете множество уравнения, неравенства: а) дробно-рационални; б) ирационални; в) логаритмичен; г) съдържащи обратни тригонометрични функции;

3. Приложете изучаваните материали в ситуация, различна от стандартната;

4. Създайте работа по темата „Зона на приемливите ценности: теория и практика“

Работа по проект:Започнах работа по проекта, като повторих функциите, които познавах. Обхватът на много от тях е ограничен.

ODZ възниква:

1. При решаване на дробни рационални уравнения и неравенства

2. При решаване на ирационални уравнения и неравенства

3. При решаване на логаритмични уравнения и неравенства

4. При решаване на уравнения и неравенства, съдържащи обратни тригонометрични функции

След като реших много примери от различни източници (учебници за единен държавен изпит, учебници, справочници), систематизирах решението на примери според следните принципи:

· можете да решите примера и да вземете предвид ODZ (най-често срещаният метод)

· възможно е решаването на примера без отчитане на ОДЗ

· възможно е да се стигне до правилното решение само като се вземе предвид ODZ.

Използвани методи в работата: 1) анализ; 2) статистически анализ; 3) приспадане; 4) класификация; 5) прогнозиране.

Проучи анализа Резултати от единния държавен изпитпрез изминалите години. Допуснати са много грешки в примери, в които е необходимо да се вземе предвид DL. Това още веднъж подчертава уместностмоята тема.

2. Исторически очерк

Подобно на други концепции на математиката, концепцията за функция не се разви веднага, а премина дълги разстоянияразвитие. В работата на П. Ферма „Въведение и изследване на равнина и плътни места“ (1636 г., публикувана 1679 г.) се казва: „Когато има две неизвестни количества в крайното уравнение, има място.“ По същество говорим за функционална зависимост и нейната графично представяне("място" на Ферма означава линия). Изследването на линиите според техните уравнения в "Геометрията" на Р. Декарт (1637) също показва ясно разбиране на взаимната зависимост на две променливи. В I. Barrow („Лекции по геометрия“, 1670 г.) в геометрична формаустановява се взаимният обратен характер на действията на диференциация и интеграция (разбира се, без да се използват самите тези термини). Това вече говори за напълно ясно владеене на понятието функция. В геометричните и механична формаТова понятие намираме и при I. Нютон. Въпреки това, терминът „функция“ се появява за първи път едва през 1692 г. с Г. Лайбниц и освен това не съвсем в съвременното му разбиране. Г. Лайбниц нарича различни сегменти, свързани с крива (например абсцисата на нейните точки), функция. В първия отпечатан курс, „Анализ на безкрайно малки за познаване на кривите линии“ от L'Hopital (1696), терминът „функция“ не се използва.

Първата дефиниция на функция в смисъл, близък до съвременния, се намира в И. Бернули (1718): „Функцията е количество, съставено от променлива и константа.“ Тази не съвсем ясна дефиниция се основава на идеята за определяне на функция чрез аналитична формула. Същата идея се появява в определението на Л. Ойлер, дадено от него в „Въведение в анализа на безкрайностите“ (1748): „Функцията на променлива величина е аналитичен израз, съставен по някакъв начин от тази променлива величина и числа или постоянни количества.” Но Л. Ойлер вече не е чужд на съвременното разбиране на функцията, което не свързва понятието функция с нито един от нейните аналитични изрази. Неговото „Диференциално смятане“ (1755) казва: „Когато определени количества зависят от други по такъв начин, че когато последните се променят, самите те са обект на промяна, тогава първите се наричат ​​функции на последните.“

СЪС началото на XIXвекове, все по-често те дефинират понятието функция, без да споменават нейното аналитично представяне. В „Трактат за диференциално и интегрално смятане“ (1797-1802) С. Лакроа казва: „Всяко количество, чиято стойност зависи от една или много други величини, се нарича функция на последните.“ В „Аналитичната теория на топлината” от Ж. Фурие (1822) има фраза: „Функция f(x)обозначава напълно произволна функция, тоест последователност от дадени стойности, независимо дали са подчинени или не на общ закон и отговарящи на всички стойности хсъдържа между 0 и някаква стойност х" Определението на Н. И. Лобачевски е близко до съвременното: „... Обща концепцияфункцията изисква функцията от хназовете номера, който е даден за всеки хи заедно с хпостепенно се променя. Стойността на функция може да бъде дадена или чрез аналитичен израз, или чрез условие, което осигурява средство за тестване на всички числа и избор на едно от тях, или накрая зависимостта може да съществува и да остане неизвестна. Там също се казва малко по-надолу: „Общият възглед на теорията позволява съществуването на зависимост само в смисъл, че числата едно с друго във връзка се разбират като дадени заедно.“ По този начин, модерна дефиницияфункция, свободна от препратки към аналитичната задача, обикновено приписвана на P. Dirichlet (1837), многократно е предлагана пред него.

Домейнът на дефиниция (допустими стойности) на функция y е набор от стойности на независимата променлива x, за която е дефинирана тази функция, т.е. домейнът на промяна на независимата променлива (аргумент).

3. „Място“ на диапазона от приемливи стойности при решаване на уравнения и неравенства

1. При решаване на дробни рационални уравнения и неравенствазнаменателят не трябва да е нула.

2. Решаване на ирационални уравнения и неравенства.

2.1..gif" width="212" height="51"> .

В този случай не е необходимо да се намира ODZ: от първото уравнение следва, че получените стойности на x отговарят на следното неравенство: https://pandia.ru/text/78/083/images/image004_33. gif" width="107" height="27 src="> е системата:

Тъй като те влизат в уравнението еднакво, тогава вместо неравенство можете да включите неравенство https://pandia.ru/text/78/083/images/image009_18.gif" width="220" height="49">

https://pandia.ru/text/78/083/images/image014_11.gif" width="239" height="51">

3. Решаване на логаритмични уравнения и неравенства.

3.1. Схема за решаване на логаритмично уравнение

Но е достатъчно да проверите само едно условие на ODZ.

3.2..gif" width="115" height="48 src=">.gif" width="115" height="48 src=">

4. Тригонометрични уравнениямилса еквивалентни на системата (вместо неравенство, можете да включите неравенството в системата https://pandia.ru/text/78/083/images/image024_5.gif" width="377" height="23"> са еквивалентни към уравнението

4. Характеристики и опасности от диапазона на допустимите стойности

В уроците по математика от нас се изисква да намерим DL във всеки пример. В същото време, според математическата същност на въпроса, намирането на ODZ изобщо не е задължително, често не е необходимо, а понякога и невъзможно - и всичко това без никакво увреждане на решението на примера. От друга страна, често се случва след решаване на пример учениците да забравят да вземат предвид DL, да го запишат като окончателен отговор и да вземат предвид само някои условия. Това обстоятелство е добре известно, но „войната“ продължава всяка година и, изглежда, ще продължи още дълго време.

Помислете например за следното неравенство:

Тук се търси ОДЗ и се решава неравенството. Въпреки това, когато решават това неравенство, учениците понякога вярват, че е напълно възможно да се мине без търсене на ODZ, или по-точно, възможно е да се мине без условието

Всъщност, за да се получи правилният отговор, е необходимо да се вземат предвид както неравенството , така и .

Но, например, решението на уравнението: https://pandia.ru/text/78/083/images/image032_4.gif" width="79 height=75" height="75">

което е еквивалентно на работа с ОДЗ. В този пример обаче подобна работа не е необходима - достатъчно е да се провери изпълнението само на две от тези неравенства и на произволни две.

Нека ви напомня, че всяко уравнение (неравенство) може да бъде сведено до формата . ODZ е просто областта на дефиниране на функцията от лявата страна. Фактът, че тази област трябва да се наблюдава, следва от дефиницията на корена като число от областта на дефиниране на дадена функция, следователно от ODZ. Ето забавен пример по тази тема..gif" width="20" height="21 src="> има домейн на дефиниция на набор от положителни числа (това, разбира се, е съгласие да се разглежда функция с , но разумно), и тогава -1 не е коренът.

5. Диапазон от допустими стойности – има решение

И накрая, в много примери намирането на ODZ ви позволява да получите отговора без обемисти оформления,или дори устно.

1. OD3 е празно множество, което означава, че оригиналният пример няма решения.

1) 2) 3)

2. БОДЗ едно или повече числа са намерени и простото заместване бързо определя корените.

1) , х=3

2)Тук в ОДЗ има само цифрата 1, като след замяна се вижда, че не е корен.

3) В ОДЗ има два номера: 2 и 3, като и двата са подходящи.

4) > В ОДЗ има два номера 0 и 1, като само 1 е подходящо.

ODZ може да се използва ефективно в комбинация с анализ на самия израз.

5) < ОДЗ: Но в правой части неравенства могут быть только положительные числа, поэтому оставляем х=2. Тогда в неравенство подставим 2.

6) От ODZ следва, че където имаме ..gif" width="143" height="24"> От ODZ имаме: . Но тогава и . Тъй като няма решения.

От ODZ имаме: https://pandia.ru/text/78/083/images/image060_0.gif" width="48" height="24">>, което означава Решавайки последното неравенство, получаваме x<- 4, что не входит в ОДЗ. По­этому решения нет.

3) ODZ: . От тогава

От друга страна, https://pandia.ru/text/78/083/images/image068_0.gif" width="160" height="24">

ODZ:. Разгледайте уравнението на интервала [-1; 0).

Той изпълнява следните неравенства https://pandia.ru/text/78/083/images/image071_0.gif" width="68" height="24 src=">.gif" width="123" height="24 src="> и няма решения. С функцията и https://pandia.ru/text/78/083/images/image076_0.gif" width="179" height="25">. ODZ: x>2..gif" width="233" height ="45 src="> Да намерим ODZ:

Целочислено решение е възможно само за x=3 и x=5. Чрез проверка откриваме, че коренът x=3 не пасва, което означава, че отговорът е x=5.

6. Намирането на диапазона от приемливи стойности е допълнителна работа. Еквивалентност на преходите.

Можете да дадете примери, когато ситуацията е ясна и без да намерите DZ.

1.

Равенството е невъзможно, защото при изваждане от по-малък израз трябва да се получи по-голям отрицателно число.

2. .

Сборът от две неотрицателни функции не може да бъде отрицателен.

Ще дам и примери, при които намирането на ODZ е трудно, а понякога просто невъзможно.

И накрая, търсенията на ODZ много често са просто допълнителна работа, без която можете да се справите, като по този начин доказвате разбирането си за случващото се. Има огромен брой примери, които могат да бъдат дадени тук, така че ще избера само най-типичните. Основният метод за решение в този случай е еквивалентните трансформации при преминаване от едно уравнение (неравенство, система) към друго.

1.. ODZ не е необходим, тъй като след като намерим тези стойности на x, за които x2 = 1, не можем да получим x = 0.

2. . ODZ не е необходим, защото намираме кога радикалният израз е равен на положително число.

3. . ODZ не е необходим поради същите причини, както в предишния пример.

4.

ODZ не е необходим, тъй като радикалният израз е равен на квадрата на някаква функция и следователно не може да бъде отрицателен.

5.

6. ..gif" width="271" height="51"> За решаване е достатъчно само едно ограничение за радикалния израз. Всъщност от написаното смесена системаследва, че другият радикален израз е неотрицателен.

8. DZ не е необходим поради същите причини, както в предишния пример.

9. ODZ не е необходим, тъй като е достатъчно два от трите израза под логаритъм да са положителни, за да се гарантира положителността на третия.

10. .gif" width="357" height="51"> ODZ не е необходим поради същите причини, както в предишния пример.

Заслужава да се отбележи обаче, че при решаване с помощта на метода на еквивалентните трансформации, познаването на ODZ (и свойствата на функциите) помага.

Ето няколко примера.

1. . OD3, което означава, че изразът от дясната страна е положителен и е възможно да се напише уравнение, еквивалентно на това, в тази форма https://pandia.ru/text/78/083/images/image101_0.gif" ширина ="112" height="27 "> ODZ: Но тогава и при решаването на това неравенство не е необходимо да се разглежда случаят, когато дясната страна е по-малка от 0.

3. . От ODZ следва, че и следователно случаят, когато https://pandia.ru/text/78/083/images/image106_0.gif" width="303" height="48"> Преходът като цяло изглежда така :

https://pandia.ru/text/78/083/images/image108_0.gif" width="303" height="24">

Има два възможни случая: 0 >1.

Това означава, че първоначалното неравенство е еквивалентно на следния набор от системи от неравенства:

Първата система няма решения, но от втората получаваме: x<-1 – решение неравенства.

Разбирането на условията на еквивалентност изисква познаване на някои тънкости. Например, защо следните уравнения са еквивалентни:

Или

И накрая, може би най-важното. Факт е, че еквивалентността гарантира правилността на отговора, ако се направят някои трансформации на самото уравнение, но не се използва за трансформации само в една от частите. Съкращенията и използването на различни формули в една от частите не се покриват от теоремите за еквивалентност. Вече дадох някои примери от този тип. Нека да разгледаме още няколко примера.

1. Това решение е естествено. От лявата страна, според свойството на логаритмичната функция, преминаваме към израза ..gif" width="111" height="48">

След като решихме тази система, получаваме резултата (-2 и 2), който обаче не е отговор, тъй като числото -2 не е включено в ODZ. И така, трябва ли да инсталираме ODS? Разбира се, че не. Но тъй като ние използвахме определено свойство на логаритмичната функция в решението, тогава ние сме длъжни да предоставим условията, при които то е изпълнено. Такова условие е положителността на изразите под знака логаритъм..gif" width="65" height="48">.

2. ..gif" width="143" height="27 src="> числата подлежат на замяна по този начин . Кой иска да прави такива досадни изчисления?.gif" width="12" height="23 src="> добавете условие и веднага можете да видите, че само числото https://pandia.ru/text/78/083 / отговаря на това условие images/image128_0.gif" width="117" height="27 src=">) е доказано от 52% от участниците в теста. Една от причините за толкова ниските показатели е фактът, че много от завършилите не са избрали корените, получени от уравнението след повдигането му на квадрат.

3) Помислете например за решението на един от проблемите C1: „Намерете всички стойности на x, за които точките на графиката на функцията лежат над съответните точки от графиката на функцията ". Задачата се свежда до решаване на дробно неравенство, съдържащо логаритмичен израз. Познаваме методите за решаване на такива неравенства. Най-често срещаният от тях е методът на интервалите. Въпреки това, когато използвайки го, участниците в теста правят различни грешки. Нека разгледаме най-често срещаните грешки, като използваме примера за неравенство:

х< 10. Они отмечают, что в первом случае решений нет, а во втором – корнями являются числа –1 и . При этом выпускники не учитывают условие х < 10.

8. Заключение

Обобщавайки, можем да кажем, че няма универсален метод за решаване на уравнения и неравенства. Всеки път, ако искате да разберете какво правите и да не действате механично, възниква дилема: какво решение да изберете, по-специално, трябва да търсите ODZ или не? Мисля, че натрупаният опит ще ми помогне да реша тази дилема. Ще спра да правя грешки, като се науча как да използвам ODZ правилно. Дали мога да направя това, времето или по-скоро Единният държавен изпит ще покаже.

9. Литература

И др.“Алгебра и началото на анализа 10-11” проблемна книга и учебник, М.: “Просвещение”, 2002 г. “Наръчник по елементарна математика.” М.: „Наука“, 1966 г. Вестник „Математика“ № 46, Вестник „Математика“ № Вестник „Математика“ № „История на математиката в училище VII-VIII клас“. М.: „Просвещение”, 1982 г. и др. „Най-пълното издание на версиите на реални задачи за единен държавен изпит: 2009/FIPI” - М.: „Астрел”, 2009 г. и др. „Единен държавен изпит. Математика. Универсални материали за подготовка на студенти / FIPI" - М.: "Intelligence Center", 2009. и др. "Алгебра и началото на анализа 10-11." М.: „Просвещение“, 2007. , „Работилница за решаване на проблеми училищна математика(работилница по алгебра).” М.: Образование, 1976. „25 000 урока по математика.“ М.: „Просвещение”, 1993 г. „Подготовка за олимпиади по математика.” М.: „Изпит”, 2006. „Енциклопедия за деца „МАТЕМАТИКА”” том 11, М.: Аванта +; 2002. Материали от сайтовете www. *****, www. *****.

ОДЗ в логаритмични уравнения.

внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които „много...“)

В кой момент попаднахме в капана на елементарен пример? Точно в момента на елиминиране на логаритми. Логаритмите изчезнаха напълно, а заедно с тях изчезнаха и съответните ограничения върху отговора. Без следа. В математиката това се нарича разширяване на ОДЗ.

И какво сега, изоставете премахването на логаритмите!? Тогава няма да можем да решим нищо... Не, няма да откажем. Ще тръгнем по другия път! В математиката този проблем се решава по този начин.

Преди да решим всяко логаритмично уравнение, записваме ODZ. След това можете да правите каквото искате с уравнението. Искам да кажа, зависи от вас да решите...) След като получите отговора, просто трябва да разберете дали корените са включени в ODZ. Включените са пълни, правилни решения. Тези, които не са включени, се изхвърлят безмилостно. Тези корени са се образували по време на процеса на разтваряне независимо, те са излишни. Понякога се наричат ​​така: външни корени.

Как да запиша ODZ?

Много просто. Нека разгледаме внимателно оригиналния пример. Ние не решаваме, ние не трансформираме точно инспектирам, и точно оригинален!Важно е! Освен това е лесно. Търсим в примера опасни места. Това разделениекъм израза с X, дори извличане на корениот израза с x и логаритмис X-ове.

Не знаем какво е x, нали? Все още не сме решили примера. Но ние сме твърдо убедени, че онези X, които ще дадат деление на нула, извличане на квадратен корен от отрицателно число и нарушаване на ограниченията за логаритмите очевидно не са подходящи като отговор.Тези X превръщат оригиналния пример в глупост. Следователно такива стойности на x са неприемливи. Всички други стойности на x ще представляват ODZ. Диапазон от приемливи стойности. Това е всичко.

На практика всичко това е много по-лесно да се направи. Четем и разбираме. Да вземем същия пример:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Нека да разгледаме примера и да разберем, че няма деления, няма корени, но уравнението съдържа изрази с X вътре в логаритъма. Припомняме, че сублогаритмичният израз трябва да бъде винаги по-голямо от нула.Ето как го пишем директно:

Забележка! Ние Нищоне реши! Просто записахме задължително условие на всичкосублогаритмичен израз. За всекилогаритъм в примера. Системният знак (къдрава скоба) показва, че тези условия трябва да бъдат изпълнени едновременно.

Това е всичко. ОДЗ записано. Не е толкова трудно, нали?

Какво да правим с ODZ?

И така, ODZ беше записано. Половината работа е свършена). Какво да правя след това с този запис? Това е мястото, където имаме опции.

Вариант първи, универсален:

Решаваме системата от неравенства, която записахме за ОДЗ.

Решаваме само ОДЗ! Нека засега не засягаме самия пример!Получаваме стойностите на x, които са приемливи за това уравнение. Всеки, който знае как да решава системи от неравенства, ще получи следния отговор за нашето DL:

Тези. Като отговор можем да използваме само X, които са по-големи от корен от три!

Това е, подредени са сламки. Сега можете да вземете самия пример. Чувствайте се свободни да премахнете логаритмите и да правите всякакви други трансформации - ние записахме първоначалните ограничения и ги запазихме.

След решаване на самото уравнение и получаване на отговорите x 1 = 3; x 2 = -1, лесно се вижда, че като отговор е подходящ само x 1 = 3. Коренът x 2 = -1 е по-малък от корен от три, той е страничен. Ние просто го изхвърляме. Това е всичко.

Добре е за тези, които знаят как да решават системи от неравенства, нали?)

И ако с решаването на системи от неравенства, тогава... не толкова? Как да бъде?! Как да бъдеш, как да бъдеш... Учи! Но ако наистина те притеснява... Добре, само за теб! Метод-светлина.)

Вариант две, само за прости уравнения.

И така, записахме ODZ под формата на система от неравенства. Тази система може да не бъде разрешена. Оставете го както е, така:

И сега, един по един Ние заместваме тези стойности в системата от ODZ неравенства.

За x 1 = 3:

Просто броим и получаваме:

Всичко е наред. И двете неравенства са верни. Това означава, че тройката минава през ОДЗ и се връща право обратно.

Заместете втория корен x 2 = -1:

Преброяваме и получаваме:

Това е категорично невярно! Минус две не е повече от нула! Това означава, че този корен не е включен в ODZ. Просто се изхвърля и не води до никакъв отговор. Всичко. Имайте предвид, че коренът се изхвърля, ако поне не се побира единсистемно неравенство.

Ето лекия метод. Нека подчертая, че този метод е прост и очевиден. Решаването на неравенства се заменя с просто изчисление. Много добър в прости уравнения. И не е подходящ за логаритмични неравенства. Можете ли да познаете защо?

Да, защото отговорът на неравенството обикновено има не един или два корена, а интервал.Тези. безкраеннабор от числа. И при лекия метод трябва да замените в ODZ всичкозначения... Безкрайност. Което изглежда малко трудно, да...

Тук разгледахме само един прост пример. Но същността на такава работа с DZ остава непроменена за всякаквилогаритмични уравнения.

Е, ние се справихме с ODZ - основният капан в логаритмичните уравнения. Най-внимателните може да попитат защо в предишния урок се справихме без ODZ? Да, просто ODZ не повлия на отговора по никакъв начин! Можете да проверите сами. Случва се. Решихме, че не помним за ODZ (или изобщо не знаехме...), но все пак получихме верния отговор. Голям късметлия. Казвам, че е лотария, ако решите без ODZ...)

А сега - внимание!

Влез в него. И запомнете една проста мисъл. Тази мисъл ще ви спаси от объркване в решението ви и объркване в главата ви:

Решението на всяко логаритмично уравнение се състои от две равни части. Една част е решаването на самото уравнение. Второто е решаване на условията на DL. Тези части са решени независимо от товаедин от друг. Резултатите се комбинират на последния етап от решението.

Ключовата дума тук е "независимо". Когато решавате ODZ, не е нужно да помните за уравнението. И обратно. Основното нещо е да не забравите да сравните резултатите в самия край, да изхвърлите излишъка и да запишете правилния отговор.)

Нека го обобщим в практически съвети.

Практически съвети:

1. Първо, записваме условията на DL според оригинала пример.

2. Избираме откъде да започнем решението. Можете да започнете с уравнение или можете да започнете с условията на ODZ. Ние избираме това, което е по-лесно за решаване.

3. След като решим уравнението и ОДЗ, обобщаваме резултатите в общ отговор.

4. Ако примерът позволява, DL не е необходимо да се решава. Достатъчно е да замените резултатите от уравнението в писмените условия на ОДЗ и да проверите кои решения са издържани. Вземете ги за отговори.

Е, както обикновено, ще го разберем. Тук има само няколко примера, но те обхващат най-популярните чипове с ODZ. Някои трикове (ако ги видите) ви позволяват да съкратите решението десетократно!Не се шегувам.

Намерете корена или сумата от корените (ако има няколко) на уравненията:

log 2 (x 2 +5x-6) = log 2 (4x)

ln(x 3 -7x+2sinx+3) = ln(x 3 -7x+2sinx-4)

Отговори (в безпорядък): 2; няма решения; 1; -5.

Е, как е? Отбелязвам, че е страшно външен виднякои примери са измамни. Те могат да бъдат решени лесно.) Ако сте направили всичко бързо и правилно, можете да поемете по-трудни задачи.

Ако не се получи или решаването отне много време, посетете раздел 555. Там тези примери са анализирани подробно. Техниките за правилно и бързрешения. Понякога в логаритмичните уравнения половината или дори повече изобщо не трябва да се решават. Отговорът пак ще е верен. Да да! Раздел 555 поставя специален акцент върху това.

Сега можете да решавате прости логаритмични уравнения доста надеждно. Не е лотария, да...)

И как да намалим сложните уравнения до най-простите, как да използваме свойствата на логаритмите и заместването на променливи в най-голяма степен, как да не попаднем в засада, наречена „Стесняване на ODZ“ - всичко това ще бъде в следващите уроци.

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Да учим - с интерес!)

Можете да се запознаете с функции и производни.

Как?
Примери за решения

Ако нещо липсва някъде, значи има нещо някъде

Продължаваме да изучаваме раздела „Функции и графики“, а следващата станция от нашето пътуване е. Активно обсъждане на тази концепция започна в статията за множествата и продължи в първия урок на функционални графики, където разгледах елементарни функции и по-специално техните области на дефиниция. Затова препоръчвам на манекените да започнат с основите на темата, тъй като няма да се спирам отново на някои основни точки.

Предполага се, че читателят познава областта на дефиниране на следните функции: линейни, квадратни, кубични функции, полиноми, експоненциални, синусови, косинусови. Те са определени на (наборът от всички реални числа). За тангенси, арксинуси, така да бъде, прощавам ти =) - по-редките графики не се запомнят веднага.

Домейнът на дефиницията изглежда просто нещо и то възниква логичен въпрос, за какво ще е статията? На този урокЩе разгледам общи проблеми за намиране на домейна на дефиниция на функция. Освен това ще повторим неравенства с една променлива, чиито умения за решаване ще се изискват и при други проблеми на висшата математика. Материалът, между другото, е изцяло учебен материал, така че ще бъде полезен не само за ученици, но и за ученици. Информацията, разбира се, не претендира за енциклопедичност, но тук не са пресилени „мъртви“ примери, а печени кестени, които са взети от реални практически работи.

Нека започнем с едно бързо гмуркане в темата. Накратко за основното: говорим за функция на една променлива. Неговата област на дефиниране е много значения на "x", за което съществуватзначения на "играчи". Нека помислим условен пример:

Областта на дефиниране на тази функция е обединение на интервали:
(за тези, които са забравили: - икона за асоцииране). С други думи, ако вземете произволна стойност на “x” от интервала, или от, или от, тогава за всяко такова “x” ще има стойност “y”.

Грубо казано, където е областта на дефиницията, има графика на функцията. Но полуинтервалът и точката "tse" не са включени в областта на дефиницията и там няма графика.

Как да намеря домейна на функция? Много хора помнят детската рима: „камък, хартия, ножици“ и в този случай тя може безопасно да бъде перифразирана: „корен, дроб и логаритъм“. По този начин, ако вие житейски пътсрещне дроб, корен или логаритъм, веднага трябва да сте много, много внимателни! Тангенс, котангенс, арксинус, аркосинус са много по-рядко срещани и ние също ще говорим за тях. Но първо, скици от живота на мравките:

Домейн на функция, която съдържа дроб

Да предположим, че ни е дадена функция, съдържаща някаква дроб. Както знаете, не можете да разделите на нула: , така че тези Стойностите „X“, които превръщат знаменателя в нула, не са включени в обхвата на тази функция.

Няма да се спирам на най-много прости функциикато и т.н., тъй като всеки вижда перфектно точки, които не са включени в неговата област на дефиниране. Нека да разгледаме по-смислени дроби:

Пример 1

Намерете домейна на функция

Решение: В числителя няма нищо специално, но знаменателят трябва да е различен от нула. Нека го зададем равно на нула и се опитаме да намерим „лошите“ точки:

Полученото уравнение има два корена: . Стойности на данните не са в обхвата на функцията. Наистина, заместете или във функцията и ще видите, че знаменателят отива на нула.

Отговор: домейн:

Записът гласи така: „домейнът на дефиницията е всички реални числа с изключение на набора, състоящ се от стойности " Нека ви напомня, че символът обратна наклонена черта в математиката означава логическо изваждане, а фигурните скоби означават множество. Отговорът може да бъде еквивалентно написан като обединение на три интервала:

На който му харесва.

По точки функция толерира безкрайни почивки, и правите линии, дадени от уравненията са вертикални асимптотиза графиката на тази функция. Това обаче е малко по-различна тема и по-нататък няма да наблягам много на това.

Пример 2

Намерете домейна на функция

Задачата е по същество устна и много от вас почти веднага ще намерят областта на дефиниция. Отговорът е в края на урока.

Дробта винаги ли ще бъде „лоша“? Не. Например функция е дефинирана на цялата числова ос. Без значение каква стойност на „x“ вземем, знаменателят няма да стигне до нула, освен това винаги ще бъде положителен: . По този начин обхватът на тази функция е: .

Всички функции като определени и непрекъснатоНа .

Ситуацията е малко по-сложна, когато знаменателят е зает от квадратен трином:

Пример 3

Намерете домейна на функция

Решение: Нека се опитаме да намерим точките, в които знаменателят отива на нула. За това ние ще решим квадратно уравнение:

Дискриминантът се оказа отрицателен, което означава, че няма реални корени и нашата функция е дефинирана върху цялата числова ос.

Отговор: домейн:

Пример 4

Намерете домейна на функция

Това е пример за независимо решение. Решението и отговорът са в края на урока. Съветвам ви да не бъдете мързеливи с прости проблеми, тъй като ще се натрупат недоразумения с по-нататъшни примери.

Домейн на функция с корен

Функция с корен квадратенопределени само за тези стойности на "x", когато радикалният израз е неотрицателен: . Ако коренът се намира в знаменателя , тогава условието очевидно е затегнато: . Подобни изчисления са валидни за всеки корен с положителна четна степен: , обаче коренът е вече от 4-та степен в функционални изследванияне си спомням

Пример 5

Намерете домейна на функция

Решение: радикалният израз трябва да е неотрицателен:

Преди да продължа с решението, нека ви припомня основните правила за работа с неравенства, познати от училище.

Обръщам специално внимание!Сега разглеждаме неравенствата с една променлива- тоест за нас има само едно измерение по оста. Моля, не бъркайте с неравенства на две променливи, където геометрично участва цялата координатна равнина. Има обаче и приятни съвпадения! И така, за неравенството следните трансформации са еквивалентни:

1) Условията могат да се прехвърлят от част на част чрез промяна на техните (условията) знаци.

2) И двете страни на неравенството могат да се умножат по положително число.

3) Ако двете страни на неравенството се умножат по отрицателенномер, тогава трябва да промените знак за самото неравенство. Например, ако е имало „повече“, тогава ще стане „по-малко“; ако е било „по-малко или равно“, тогава ще стане „по-голямо или равно“.

В неравенството преместваме „тройката“ в дясната страна с промяна на знака (правило № 1):

Нека умножим двете страни на неравенството по –1 (правило № 3):

Нека умножим двете страни на неравенството по (правило № 2):

Отговор: домейн:

Отговорът може да бъде написан и в еквивалентна фраза: „функцията е дефинирана в .“
Геометрично зоната на дефиниране се изобразява чрез засенчване на съответните интервали по абсцисната ос. В такъв случай:

Напомням ви още веднъж геометричен смисълобласт на дефиниция – графика на функция съществува само в защрихованата област и отсъства при .

В повечето случаи е подходящо чисто аналитично определяне на областта на дефиниране, но когато функцията е много сложна, трябва да начертаете ос и да направите бележки.

Пример 6

Намерете домейна на функция

Това е пример, който можете да решите сами.

Когато под квадратния корен има квадратен бином или трином, ситуацията става малко по-сложна и сега ще анализираме подробно техниката на решение:

Пример 7

Намерете домейна на функция

Решение: радикалният израз трябва да е строго положителен, тоест трябва да решим неравенството. На първата стъпка се опитваме да разложим на множители квадратния трином:

Дискриминантът е положителен, търсим корени:

И така, параболата пресича абсцисната ос в две точки, което означава, че част от параболата е разположена под оста (неравенство), а част от параболата е разположена над оста (неравенството, от което се нуждаем).

Тъй като коефициентът е , клоновете на параболата сочат нагоре. От горното следва, че неравенството е изпълнено на интервалите (клоновете на параболата вървят нагоре до безкрайност), а върхът на параболата се намира на интервала под оста x, което съответства на неравенството:

! Забележка: Ако не разбирате напълно обясненията, моля начертайте втората ос и цялата парабола! Препоръчително е да се върнете към статията и ръководството Горещи формули за училищен курс по математика.

Моля, обърнете внимание, че самите точки са премахнати (не са включени в решението), тъй като нашето неравенство е строго.

Отговор: домейн:

Като цяло много неравенства (включително разглежданото) се решават от универсалното интервален метод, познат отново от училищна програма. Но в случаите на квадратни биноми и триноми, според мен, е много по-удобно и по-бързо да се анализира местоположението на параболата спрямо оста. И ние ще анализираме подробно основния метод - интервалния метод - в статията. Функционални нули. Интервали на постоянство.

Пример 8

Намерете домейна на функция

Това е пример, който можете да решите сами. Примерът коментира подробно логиката на разсъждението + втория метод на решение и още едно важно преобразуване на неравенство, без да знае за което ученикът ще куца с единия крак..., ...хм... май се развълнувах около крака, по-вероятно на един пръст. Палец.

Може ли функция за квадратен корен да бъде дефинирана върху цялата числова ос? Със сигурност. Всички познати лица: . Или подобна сума с показател: . Наистина, за всякакви стойности на "x" и "ka": , следователно също и .

Ето един по-малко очевиден пример: . Тук дискриминантът е отрицателен (параболата не пресича оста х), докато клоновете на параболата са насочени нагоре, следователно областта на дефиниция: .

Обратният въпрос: може ли областта на дефиниция на функция да бъде празен? Да, и един примитивен пример веднага се предлага , където радикалният израз е отрицателен за всяка стойност на „x“, и домейнът на дефиниция: (икона за празен набор). Такава функция изобщо не е дефинирана (разбира се, графиката също е илюзорна).

С нечетни корени и т.н. всичко е много по-добре - тук радикалното изразяване може да бъде отрицателно. Например функция е дефинирана на цялата числова ос. Функцията обаче има една точка, която все още не е включена в областта на дефиниция, тъй като знаменателят е зададен на нула. По същата причина за функцията точките са изключени.

Област на функция с логаритъм

Третата обща функция е логаритъмът. Като пример ще нарисувам натурален логаритъм, който се среща в приблизително 99 примера от 100. Ако определена функция съдържа логаритъм, тогава нейната област на дефиниране трябва да включва само тези стойности на „x“, които удовлетворяват неравенството. Ако логаритъма е в знаменателя: , тогава допълнителноналожено е условие (от ).

Пример 9

Намерете домейна на функция

Решение: в съответствие с горното ще съставим и решим системата:

Графично решение за манекени:

Отговор: домейн:

Ще се спра на още един технически момент - нямам посочен мащаб и деленията по оста не са маркирани. Възниква въпросът: как да направите такива рисунки в тетрадка на карирана хартия? Трябва ли разстоянието между точките да се измерва с клетки стриктно в съответствие с мащаба? Тя е по-канонична и по-строга, разбира се, в мащаб, но схематичен чертеж, който фундаментално отразява ситуацията, също е напълно приемлив.

Пример 10

Намерете домейна на функция

За да разрешите проблема, можете да използвате метода от предишния параграф - анализирайте как е разположена параболата спрямо оста x. Отговорът е в края на урока.

Както можете да видите, в царството на логаритмите всичко е много подобно на ситуацията с квадратни корени: функцията (квадратен тричлен от пример № 7) е определен върху интервалите, а функцията (квадратен бином от пример № 6) на интервала . Неудобно е дори да се каже, че типовите функции са дефинирани на цялата числова линия.

Полезна информация : типичната функция е интересна, тя е дефинирана на цялата числова ос с изключение на точката. Според свойството на логаритъма „двойката” може да се умножи извън логаритъма, но за да не се промени функцията, „x” трябва да бъде оградено под знака за модул: . Ето още един за теб" практическа употреба» модул =). Това е, което трябва да направите в повечето случаи, когато рушите дористепен, например: . Ако основата на степента е очевидно положителна, например, тогава няма нужда от знак за модул и е достатъчно да използвате скоби: .

За да избегнем повторение, нека усложним задачата:

Пример 11

Намерете домейна на функция

Решение: в тази функция имаме корен и логаритъм.

Коренният израз трябва да е неотрицателен: , а изразът под знака за логаритъм трябва да е строго положителен: . Следователно е необходимо да се реши системата:

Много от вас знаят много добре или интуитивно се досещат, че системното решение трябва да удовлетворява за всекисъстояние.

Изследвайки местоположението на параболата спрямо оста, стигаме до заключението, че неравенството е изпълнено от интервала (синьо засенчване):

Неравенството очевидно съответства на „червения“ полуинтервал.

Тъй като и двете условия трябва да бъдат изпълнени едновременно, тогава решението на системата е пресечната точка на тези интервали. "Общите интереси" се срещат на полувремето.

Отговор: домейн:

Типичното неравенство, както е демонстрирано в пример № 8, не е трудно за разрешаване аналитично.

Намереният домейн няма да се промени за „подобни функции“, напр. или . Можете също така да добавите някои непрекъснати функции, например: или така: , или дори така: . Както се казва, коренът и логаритъма са упорити неща. Единственото нещо е, че ако една от функциите бъде „нулирана“ до знаменателя, тогава домейнът на дефиницията ще се промени (въпреки че в общия случай това не винаги е вярно). Е, в теорията на матан за този словесен... о... има теореми.

Пример 12

Намерете домейна на функция

Това е пример, който можете да решите сами. Използването на чертеж е доста подходящо, тъй като функцията не е най-простата.

Още няколко примера за затвърждаване на материала:

Пример 13

Намерете домейна на функция

Решение: нека съставим и решим системата:

Всички действия вече са обсъдени в цялата статия. Нека изобразим интервала, съответстващ на неравенството на числовата линия и според второто условие елиминираме две точки:

Смисълът се оказа напълно без значение.

Отговор: домейн

Малка математическа игра на думи за вариант на 13-ия пример:

Пример 14

Намерете домейна на функция

Това е пример, който можете да решите сами. Тези, които са го пропуснали, нямат късмет ;-)

Последният раздел на урока е посветен на по-редки, но и „работещи“ функции:

Области за дефиниране на функции
с тангенси, котангенси, арксинуси, аркосинуси

Ако някоя функция включва , тогава от нейната област на дефиниция изключениточки , Където З– набор от цели числа. По-специално, както е отбелязано в статията Графики и свойства на елементарни функции, функцията има следните стойности:

Тоест домейнът на дефиниция на допирателната: .

Нека не убиваме много:

Пример 15

Намерете домейна на функция

Решение: в този случай следните точки няма да бъдат включени в областта на дефиницията:

Нека хвърлим "двойката" от лявата страна в знаменателя на дясната страна:

Като резултат :

Отговор: домейн: .

По принцип отговорът може да бъде написан като обединение на безкраен брой интервали, но конструкцията ще бъде много тромава:

Аналитичното решение е напълно съвместимо с геометрична трансформация на графиката: ако аргументът на функция се умножи по 2, тогава нейната графика ще се свие до оста два пъти. Забележете как периодът на функцията е намален наполовина и точки на прекъсванеудвоена честота. тахикардия.

Подобна история с котангенса. Ако някоя функция включва , тогава точките се изключват от нейната област на дефиниция. По-конкретно, за функцията за автоматичен пакет заснемаме следните стойности:

С други думи:

Шакирова Г. Г. (МАОУ Лицей № 9)

1. http://www.school.ioffe.ru/library/online/geometry/ryzhik/35000/35000_part3.pdf.:

2. Вестник “Математика” бр.46.15. 1998 г.

3. Вестник “Математика” бр.15.2002г.

4. Вестник “Математика” бр.17.2002г.

5. Ф. П. Яремчук, П. А. Рудченко Справочник “Алгебра и елементарни функции” Киев: “Наукова думка”; 1976 г.;

7. Колекция от подготовка за OGE. Типични тестови задачи, 9 клас, издателство "EXAMEN", Москва 2016 г.

8. Учебник по алгебра за 9 клас, А. Г. Мордкович, Н. П. Николаев, издателство МНЕМОЗИНА, Москва 2010 г.

Тази статия е абстрактно представяне на основната работа. Пълен текст научна работа, приложения, илюстрации и други Допълнителни материалидостъпен на уебсайт III Международно състезаниеизследвания и творчески произведенияученици "Старт в науката" на връзката: https://www.school-science.ru/0317/7/29329

Вярвам, че математиката е една от най-важните науки в света. Той придобива особено значение за хората във връзка с развитието на науката и техническия прогрес. Всички хора в живота си е трябвало да извършват доста сложни изчисления, да използват компютърни технологии, да намират и прилагат необходимите формули, да овладяват техниките на геометричните измервания, но човек не винаги взема предвид всички условия, които влияят на резултата. Именно поради това се появява състоянието на ОДЗ.

Тази тема ме заинтересува, защото не разбирах напълно смисъла и важността на намирането на ODZ, поради което не обърнах нужното внимание на важността на ODZ в някои задачи и между мен и ODZ възникна „война“.

В същото време, от математическа гледна точка, намирането на ODZ изобщо не е задължително, често ненужно, а понякога дори невъзможно - и всичко това без никакви щети върху решението. И поради тази ситуация с ОДЗ възниква „война“.

Когато решавах задачи на определени видове уравнения и неравенства, се сблъсках с факта, че някои условия или не отговарят, или им се налагат определени стойности, а по-късно разбрах, че наистина има определена област, в която допустимото стойности, които отговарят на условията на задачите и уравненията, разширяват някои типове.

Ако дадем грубо сравнение на топка за тенис и функция (неравенство, уравнение или задача), тогава обвивката на топката и външните условия са нашата ODZ, а начинът, по който топката отскача от пода, е решението на функцията ( неравенство, уравнение или проблем). Тогава можем да кажем, че ако счупим обвивката на тази топка (или по-просто казано, разкъсаме я), тогава топката вече няма да отскача толкова добре, както преди, тоест ако счупим ODZ, тогава няма да има решение.

Уместността на моята тема се крие във факта, че човек, когато решава проблем, не обръща внимание на незначителни условия. Може да се даде и аналогия с решаването на определени задачи по математика, където не се отчита условието на ОДЗ и това се отразява на резултата от решението. Във втората част на OGE има много такива задачи, които могат да доведат до провал на изпита.

Докажете важността на DL.

1. Обяснете свойствата и значенията на ODZ в нашия живот.

2. Анализирайте различни методирешаване на примери, включващи DL.

Изследователски методи:

• теоретични изследвания (анализ на литературата, търсене на източници);
• анализ на основните задачи и концепции на DL;
• ODZ индукционен метод (извод от факти към моята хипотеза)
• реално изследване (решаване на проблеми с група хора).

Практическа част:

Провеждане на изследвания за решаване на прости задачи и уравнения, описващи изследването.

Хипотеза:

ОДЗ е следствие от възникването на различни условия във функции, задачи, неравенства и уравнения.

История на формирането

Е, нека се разровим в историята на формирането на ODZ.

Подобно на други понятия на математиката, понятието функция, разбира се, не се появи веднага, а премина през дълъг път на развитие. Въведение и изследване на равнинни и твърди места на Пиер Ферма (публикуван през 1679 г.) гласи: „Винаги, когато има две неизвестни величини в окончателно уравнение, има място.“ Както можете да се досетите, говорим за функционална зависимост и нейното графично представяне („място“ във Ферма означава линия). Изследването на линиите според техните уравнения в "Геометрия" на Р. Декарт (1637) също показва ясно разбиране на взаимната зависимост между двете променливи количества. Това вече говори за напълно ясно владеене на понятието функция. Ние също намираме това понятие в геометрична и механична форма при I. Нютон. Самият термин „функция“ обаче се появява за първи път едва през 1692 г. от Г. Лайбниц и освен това не съвсем в съвременното му разбиране. Г. Лайбниц нарича различни сегменти, свързани с крива (например абсцисата на нейните точки), функция. В първия отпечатан курс, „Анализ на безкрайно малки за познаване на кривите линии“ от L'Hopital (1696), терминът „функция“ не се използва. Първата дефиниция на функция, близка до съвременната, се намира в И. Бернули (през 1718 г.): „Функцията е количество, съставено от променлива и константа.“ Тази не съвсем ясна дефиниция се основава на идеята за определяне на функция чрез аналитична формула.

В резултат на това стигнах до дефиницията на ODZ за функция. Областта на дефиниране (допустими стойности) на функция Y е набор от стойности на независимата променлива X, за която е дефинирана тази функция, т.е. област на промяна на независимата променлива (аргумент).

Математиците са били в състояние да решават уравнения и системи от уравнения от много дълго време. В "Аритметиката" на гръцкия математик от Александрия Диофант (3 в.) все още няма систематично изложение на алгебрата, но съдържа редица задачи, решавани чрез съставяне на уравнения. Той съдържа следната задача: „Намерете две числа въз основа на техния сбор 20 и произведение 96.“

За да се предпазите от решаването на квадратно уравнение общ изглед, до което води обозначението на едно от числата с буква и което те все още не знаеха как да решат, Диофант обозначи неизвестните числа 10 + x и 10 - x (в съвременната нотация) и получи непълно квадратно уравнение 100 - x2 = 96, за което само положителният е подходящ корен 2.

Задачи върху квадратни уравнения се срещат в трудовете на индийските математици от 5 век сл. н. е.

Квадратните уравнения са класифицирани в трактата " Кратка книгавърху смятането на алгебрата и алмукабала“ от Мохамед ал-Хорезми (787-850). Той разглежда и решава (в геометрична форма) 6 вида квадратни уравнения, съдържащи само членове с положителни коефициенти и в двете страни. В този случай бяха взети предвид само положителните корени на уравненията.

В най-известния руски учебник „Аритметика“ на Леонтий Филипович Магнитски (1669-1739) имаше много задачи върху квадратни уравнения. Ето един от тях:

„Някой генерал иска да започне битка с 5000 души и така, че да са два пъти повече отпред, отколкото отстрани. Колко голяма ще бъде тази битка отпред и отстрани?“, т.е. колко войници трябва да бъдат поставени отпред и колко отзад на главите им, така че броят на войниците отпред да е 2 пъти повече бройвойници, разположени „в задната част на главата им“?

В древните вавилонски текстове (3000-2000 г. пр.н.е.) също има задачи, които сега се решават с помощта на системи от уравнения, съдържащи уравнения от втора степен. Ето един от тях:

„Сложих площите на моите два квадрата: . Страната на втория квадрат е равна на страната на първия плюс още 5.”

Съответната система в съвременната нотация изглежда така:

И едва през 17 век, след работата на Декарт, Нютон и други математици, решението на квадратните уравнения придобива съвременната си форма.

Струва ми се, че се интересувате от отговора на въпроса: „Защо написах историята на произхода на функциите и неравенствата?“ Отговорът е много прост. ОДЗ е само следствие от възникването на различни условия във функции, задачи, неравенства и уравнения.

ОДЗ в неравенства и уравнения

При решаване на дробни рационални уравнения и неравенства:

Знанията от 1 до 9 клас не ми позволяват да разделя на 0. „Не можете да разделите на 0, тъй като е невъзможно да разделите нещо на празнота“, ми казаха учители в началното училище.

Решаване на ирационални уравнения и неравенства:

Проучване

Проведох проучване, за да разбера колко често учениците вземат предвид DL при решаване на задачи, уравнения, неравенства и др. За целта избрах 4 задачи и ги реших сам, след което ги предложих на 35 деветокласници, в първите три от които не е било необходимо да се вземе предвид ОДЗ, а в четвъртото - задължително. Целта на изследователската работа беше да се докаже, че хората не обръщат достатъчно внимание на DL.

Предлагани задачи за деветокласниците:

1) Автобус е тръгнал от точка А към точка Б със скорост 60 км/ч. Един час по-късно кола го последва до точка Б, а 4 часа по-късно той настигна автобуса в точка Б (Пристигнахме по едно и също време). Каква е скоростта на колата?

2) (x+3)2+10=(x-2)2

3) 1/(x-2) = x-4

При проверката на тези задачи открих, че решенията могат да бъдат разделени по определени критерии.

Критерии за избор на решения и брой хора, включени в тях:

Изпълнени всички задачи – 5 души; написал ОДЗ в 4 задания, но сгрешил в 1 задание - 2 души, в 2 примера - 8 души, в 3 примера - 3 души; 17 души не са написали ODZ в пример 4. Основни грешки:

1. Забравят за увреждането си (записаха го, но забравиха да го вземат предвид);
2. ДЗ е съставен неправилно;
3. Уравненията са умножени неправилно;
4. Не използвайте подходящи формули за съкратено умножение;
5. Объркани знаци (*, +, -,:);
6. Не всички примери го правят.
7. Те забравят за смяната на знаците при прехвърляне чрез равни;

И стигнах до извода, че около половината ученици от 9-ти клас, за съжаление, не са взели под внимание или неправилно са записали ДЛ в изпратените задачи, в резултат на което са допуснали грешки.

Къде се намира ODD в Истински живот

Всъщност срещаме DL условия толкова често, че просто не ги забелязваме. Например, когато купувате нещо; с определяне на действията при различни външни температури.

Пример №1 от проучването (проблем) може да е модел на реална ситуация, но твърде общ (нито един автобус или кола не може да се движи с постоянна скорост през цялото време поради различни фактори като качеството на асфалта на пътя, ъглите и брой обороти, количество бензин и т.н.). Ето по-добър пример:

Дадоха ни 200 рубли за котешка храна, която струва 18 рубли на торба, и хляб бяла храна, която струва 24 рубли. Трябва да изчислим колко рубли ще похарчим за храна. Нека вземем X за броя на торбите с храна.

ODZ: x ≥ 0,

x = (200-24)/18,

x = 9 (остатък 14).

Това означава, че ще купим 9 торби с храна с баланс от 14 рубли, което съответства на общата ни надбавка.

DL по избор

Както видях от собствения си опит, често не е необходимо да се посочва DL в примери, въпреки че посочването на DL се изисква от задачите в OGE и Единния държавен изпит, в противен случай ще получите по-малко точки. Това се вижда в примера на задачи 1 и 2 от изследването. И наистина, когато решаваме тези числа, забелязваме, че диапазонът от приемливи стойности може да бъде пропуснат, тъй като липсата му няма да повлияе на отговора по никакъв начин. Но много често в такива случаи добре свършената работа се оценяваше с C.

Търсенето на ODZ често е просто допълнителна работа, без която можете лесно да се справите. Има много други примери, които могат да бъдат дадени тук. Те са добре познати, затова ги пропускам. Основното решение е еквивалентни трансформации при преминаване от едно уравнение към друго, тоест към по-просто.

Примери за капани

Сред задачите, които използват уравнения или неравенства, има задачи с капани (задачи, в които DL може да ви изиграе жестока шега). Известно е, че в резултат на някои трансформации, които променят първоначалния ODZ, можем да стигнем до неправилни решения. Можете да дадете пример за задачи 3 и 4 от научна работа, но ето още един пример за такива уравнения:

От ODZ имаме x ≥ 5 (тъй като радикалът на израза не може да бъде отрицателен). Тъй като вдясно има положителен израз, това означава x - 5 > 2x - 1. Решавайки последното неравенство, получаваме x< -4, что не входит в ОДЗ. Поэтому решения нет.

Заключение

За да обобщим всичко изследователска работа, мога да кажа с увереност, че някои условия на ODZ за уравнения и неравенства са сходни. ODD, както съм доказал, се среща в реалния живот и то много често; Показах също, че няма универсален отговор на въпроса „необходимо ли е да се посочи DL във всички примери?“ V училищен курсНе.

Доказах и моята хипотеза, която звучеше по следния начин: „ЧАСТОТА всъщност е следствие от появата на различни условия във функции, задачи, неравенства и уравнения.“

Всеки път, ако искате да разберете какво правите, а не да действате механично, възниква въпросът: какво решение е най-добре да изберете, по-специално, да търсите ODZ или не? Смятам, че в хода на работата си отговорих частично на този въпрос.

Причината за записването на ODZ изглежда очевидна, но хората все още няма да са склонни да записват ODZ отново. И без значение колко различни презентации, обяснения в учебници и обяснения от учители, войната, независимо какво, все още не е приключила и дори няма да свърши, което потвърждава уместността и важността на тази тема.

Но бих искал да посъветвам всички винаги да вземат предвид DL, тъй като не винаги е възможно веднага да се каже, че няма уловка в определена задача.

Докладът, който представих, може да се използва не само от ученици, но и от учители, за да обяснят важността на DLC.

Библиографска връзка