Sistemi linearnih jednačina. kvalifikacije

Neka je zadan sistem linearnih jednačina

Koeficijenti za nepoznate formiraju pravougaono lice

pozvao matrica sistema. Prvi indeks koeficijenta aij znači broj jednačine, drugi je broj nepoznate na kojoj stoji ovaj koeficijent. Odds b, , b gp su pozvani slobodni termini sistemskih jednačina. Ako su slobodni termini jednaki nuli, onda se sistem poziva homogena, inače - heterogena. Matrix

pozvao prošireni matrični sistem (2.1).

Rješenje sistema (2.1) je bilo koji uređen skup (pakao, X2 , ? ??, x p) od n brojeva, kada ih zamenimo u jednačine sistema umesto odgovarajućih nepoznanica, svaka jednačina sistema se pretvara u identitet. Sistem koji nema rješenja naziva se non-joint, ili kontroverzno. Sistem koji ima barem jedno rješenje naziva se joint.

Sistemi zglobova se dijele na siguran, ima jedinstveno rješenje, i neizvjesno, posjedovanje veliki broj odluke. Homogeni sistem je uvijek konzistentan jer ima barem nulto rješenje x - X2 - ... = x n = 0.

Izrazi (formule) koji sadrže nepoznate x, x 2, ..., x n a određeni skup proizvoljnih konstanti, iz kojih se, uz odgovarajući izbor vrijednosti proizvoljnih konstanti, može dobiti bilo koje specifično rješenje sistema, naziva se general sistemsko rešenje, i svako specifično rješenje sistema je njegovo privatno rešenje. Dva sistema sa istim nepoznanicama ekvivalentno (ekvivalentno), ako je svako rješenje jednog od njih rješenje drugog ili su oba sistema nekonzistentna.

Sljedeće jednačine se obično moraju provesti na jednačinama sistema: elementarne transformacije:

• 1) množenje obe strane bilo koje jednačine brojem koji nije nula;
• 2) sabiranje (oduzimanje) jednoj jednačini druge, pomnožene određenim brojem;
• 3) preuređenje jednačina;
• 4) precrtavanje jednačina tipa 0 X + 0 X2 + + 0 x n= 0, tj. identiteti 0 = 0;
• 5) preuređivanje nepoznatih u sistemu jednačina.

Kao rezultat elementarnih transformacija, sistem se pretvara u ekvivalentan. Opća metoda Pronalaženje rješenja obično se zasniva na sekvencijalnom prijelazu koristeći elementarne transformacije iz datog sistema u ekvivalentni sistem za koji je rješenje lako pronaći. Jedan takav način je metoda sekvencijalne eliminacije nepoznatih(Gaussova metoda). Algoritam ove metode je sljedeći.

Pretpostavimo da je koeficijent ac sistema (2.1) različit od nule. To se uvijek može postići preuređivanjem, ako je potrebno, jednačina sistema ili nepoznanica u njemu i promjenom numeracije nepoznatih. Pomnožimo prvu jednačinu sa A2 /ac i oduzmite od druge jednačine, a zatim za a^/ac i oduzmite od treće jednačine, itd. Na kraju, pomnožite prvu jednačinu sa a m ja i oduzmite od posljednje jednačine. Kao rezultat, nepoznato X biće isključen iz svih jednačina osim prve, a sistem će poprimiti oblik:

U sistemu (2.2) treba izbrisati jednačine oblika 0 x + 0 X2 + ...+ +0 x n= 0, ako se takav pojavio. Ovim je završen prvi korak Gausove metode. Poziva se element DC vodeći element ovaj korak.

Sljedeći koraci napredovanja Gaussove metode izvode se na sličan način. Dakle, u drugom koraku kada a 22^ 0 drugu jednačinu sukcesivno množimo sa a" 32 /a 22 , A! A2/a! 22, ..., a" m2 fa 22 i oduzmi ga od 3., 4., ..., m-te jednačine. Kao rezultat, nepoznato X2 isključeno iz svih jednačina osim 1. i 2. Treći korak je nepoznato Ne znam isključeno iz svih jednačina osim prve tri, itd.

Moguće je da će u nekom koraku napredovanja Gaussove metode naići na jednadžbu oblika

Tada je sistem koji se razmatra nekonzistentan i njegovo dalje rješavanje prestaje. Ako se prilikom izvođenja poteza prema naprijed Gaussove metode ne naiđu jednadžbe oblika (2.3), tada se razmatrani sistem, nakon najviše m koraka naprijed hoda, transformira u ekvivalentni sistem oblika

Da bi se pojednostavila notacija u sistemu (2.4), prosti brojevi iznad koeficijenata su izostavljeni. Nema više u tome T jednačine, tj. r ^ m, budući da su neke jednadžbe možda svedene na oblik 0 = 0 i precrtane, a također je očito da je r ^ str.

At r = n sistem (2.4) ima trouglasti oblik:

i lako je obrnuti Gaussovu metodu. Da bismo to učinili, iz posljednje jednačine ovog sistema nalazimo vrijednost nepoznate x str. Zamjenjujući ga u pretposljednju jednačinu, nalazimo vrijednost.x n _i. Nastavljajući ovako, nedvosmisleno ćemo odrediti sve nepoznanice x, x2 , ..., x str. Prema tome, ako se sistem (2.1) s naprednom progresijom Gausove metode svede na sistem trokutastog oblika, onda je takav sistem određen, tj. ima jedinstveno rešenje.

At g sistem (2.4) ima oblik trapeza. U njemu ima nepoznanica X, X2 , ..., x g uzimaju se kao glavni, a nepoznati x+, x g+ 2 , ..., x n- za slobodne. Slobodne nepoznanice mogu poprimiti bilo koju fiksnu vrijednost. Believing x r+= 7 r +i, Xg+ 2 = b-+2 , , x n= 7 p, gdje je 7r+i, 7r+2? , 7p su proizvoljne konstante, a obrnutom Gaussovom metodom u sistemu dobijamo formule:

koji čine opšte rešenje sistema (2.1). Iz opšteg rešenja (2.C) za specifične vrednosti 7r +i, 7r+2, , 7n dobiće se posebna rešenja sistema (2.1). Kako svaka slobodna nepoznata može poprimiti beskonačan broj vrijednosti, sistem (2.1) s g tj. u slučaju kada se svede na trapezoidni oblik, ima beskonačan broj rješenja. Ovo je tačno za zglobni sistemi imaju manje jednačina od nepoznanica, a posebno za homogene imaju manje jednačina od nepoznanica.

U praksi se Gausova metoda obično implementira u matričnom obliku. Da biste to učinili, napišite proširenu matricu sistema, u kojoj je, radi praktičnosti, stupac slobodnih termina odvojen okomitom trakom, a transformacije se provode na ovoj matrici, zatim na rezultujućoj, itd. U ovom slučaju, matrice ekvivalentnih sistema se takođe smatraju ekvivalentnim.

Primjer 2.1. Riješite sistem jednačina Gaussovom metodom

Rješenje. Ostavljanje u proširenoj matrici sistema

prvi red bez promjene i oduzimanja trostruki prvi red od drugog, udvostručen prvi red od trećeg i četvrtog, dolazimo do ekvivalentne matrice

Oduzimajući drugi red od trećeg u ovoj matrici i ostavljajući ostale redove nepromenjene, dobijamo matricu

Precrtavajući treći red ovdje, dolazimo do matrice

što odgovara sistemu

Odavde, obrnuto Gaussovom metodom, nalazimo

Primjer 2.2. Riješite sistem jednačina Gaussovom metodom

Rješenje. Ako je u proširenoj matrici sistema

ostaviti prvi red nepromijenjen, oduzeti udvostručeni prvi red od drugog, utrostručiti prvi red od trećeg, dobićemo matricu

Prava (0 0 0 | - 5) odgovara jednačini 0 X + 0 x 2 + 0 Ne znam= -5. Prisustvo takve jednačine ukazuje na nekompatibilnost sistema koji se razmatra. ?

Primjer 2.3. Riješite sistem jednačina Gaussovom metodom

Rješenje. Elementarne naprijed transformacije Gaussove metode preko redova proširene matrice sistema daju sljedeći lanac ekvivalentnih matrica:

Posljednja matrica ovog lanca odgovara sistemu

Vjerovanje ovdje Ne znam= 73 (77 je proizvoljna konstanta) i obrnutom Gaussovom metodom dobijamo opšte rešenje:

Kako bi se povećala efikasnost i stabilnost Gaussove metode, ona je modificirana na razne načine. Na primjer, često se koristi shema u kojoj se, na svakom koraku kretanja naprijed, vodeći koeficijent bira da bude najveći u apsolutnoj vrijednosti među koeficijentima za nepoznate u odabranoj jednačini ili u podsistemu s kojim se radi. u ovoj fazi.

Prilikom “ručnog” rješavanja sistema Gaussovom metodom, kako bi se izbjegla složena izračunavanja, ponekad u intervalima između koraka napredovanja Gaussove metode ili prije nego što ona počne, preporučljivo je izvršiti dodatne elementarne transformacije na nekim jednačinama sistem. Na primjer, kada rješavate "ručno" sistem

Preporučljivo je prvo od prve jednačine sistema oduzeti dvostruku trećinu, a ostatak ostaviti nepromijenjenim. Onda dobijamo sistem

u kojoj je Gaussovu metodu već lako izvesti. Dodatne transformacije se također izvode na matricama.

U zaključku, napominjemo da Gaussova metoda i njene modifikacije pronalaze najviše široka primena u računarskoj praksi. Da biste ga implementirali na računaru, možete koristiti standardne programe koji su uključeni u gotovo svaki softverski paket za rješavanje matematičkih problema.

Gaussova metoda je laka! Zašto? Čuveni njemački matematičar Johann Carl Friedrich Gauss dobio je priznanje za života najveći matematičar svih vremena, genije, pa čak i nadimak „kralj matematike“. A sve genijalno je jednostavno! Inače, Gaussov portret je bio na novčanici od 10 njemačkih maraka (prije uvođenja eura), a Gauss se još uvijek misteriozno smiješi Nijemcima sa običnih poštanskih maraka.

Gaussova metoda je jednostavna po tome što je ZNANJE UČENIKA PETOG RAZREDA DOVOLJNO za savladavanje. Možete zaboraviti na minore i algebarske dodatke na neko vrijeme! Morate znati sabirati i množiti! Nije slučajno što nastavnici često razmatraju metodu sekvencijalnog isključivanja nepoznatih u školskim izbornim predmetima iz matematike.

To je paradoks, ali studentima je Gaussova metoda najteža. Ništa iznenađujuće - sve je u metodologiji, a mi ćemo pokušati govoriti o algoritmu metode u pristupačnom obliku.

Prvo, sistematizujmo malo znanja o sistemima linearnih jednačina. Sistem linearnih jednačina može:

1) Imati jedinstveno rješenje.

2) Imati beskonačno mnogo rješenja.

3) Nemati rješenja (biti non-joint).

Gaussova metoda je najmoćnije i univerzalno sredstvo za pronalaženje rješenja bilo koji sistemi linearnih jednačina. kao što se sjećamo, Cramerovo pravilo i matrična metoda su neprikladni u slučajevima kada sistem ima beskonačno mnogo rješenja ili je nekonzistentan. I metoda sekvencijalne eliminacije nepoznatih U svakom slučajuće nas dovesti do odgovora! On ovu lekciju ponovo ćemo razmotriti Gaussovu metodu za slučaj br. 1 (jedino rješenje sistema), članak Nekompatibilni sistemi i sistemi sa općim rješenjem posvećen je situacijama tačaka br. 2-3. Imajte na umu da algoritam same metode radi isto u sva tri slučaja.

Vratimo se na najjednostavniji sistem

I riješimo ga Gausovom metodom.

U prvoj fazi pišemo tzv proširena sistemska matrica:

Mislimo da svako može da vidi po kom principu se pišu koeficijenti.

Napomena: Proširena matrica sistema se dobija od originalne pomoću “operacije rasta reda/kolone”. U ovom slučaju, matrica je proširena zbog kolone slobodnih članova originalnog sistema jednačina.

Napomena: Pored prethodno navedenih 6 algebarskih operacija sa matricama i „operacije povećanja“, postoji i „operacija odbacivanja reda/stupca“. Koristeći, na primjer, operaciju odbacivanja reda/stupca, konstruiraju se podmatrice čije su determinante manji od elemenata matrice.

Vertikalna linija unutar matrice nema nikakvo matematičko značenje - to je samo linija isticanja radi lakšeg dizajna.

definicija: System Matrix je matrica sastavljena samo od koeficijenata za nepoznate varijable sistema linearnih jednačina.

definicija: Proširena sistemska matrica je matrica sistema, koja je proširena na desno kolonom slobodnih pojmova.

U ovom primjeru . je matrica sistema, i- ovo je proširena matrica sistema . Radi kratkoće, bilo koji od njih se jednostavno može nazvati matricom.

Nakon što je proširena matrica sistema napisana, potrebno je sa njom izvršiti neke nove algebarske operacije, koje se, uz Gaussovu ruku, još nazivaju elementarne matrične transformacije. Transformacije se nazivaju elementarno, jer je prikazano (ovo ćemo smatrati definicijom) da

definicija: Nakon svake elementarna transformacija proširene matrice, dobija se potpuno drugačija matrica, ali rješenja za ovaj novi sistem linearnih jednačina ostaju isti kao za originalnu matricu.

Postoje sljedeće elementarne transformacije:

1) Strings matrice može se preurediti na nekim mjestima. Na primjer, u matrici koja se razmatra, možete bezbolno preurediti prvi i drugi red:

2) Ako je matrica (ili se pojavila) proporcionalna (kao poseban slučaj– identične) linije, onda slijedi izbrisati Svi ovi redovi su iz matrice osim jednog.

Razmotrimo, na primjer, matricu . U ovoj matrici zadnja tri reda su proporcionalna, pa je dovoljno ostaviti samo jedan od njih:

.

3) Ako se nulti red pojavi u matrici tokom transformacije, onda bi i trebao biti izbrisati. Nećemo crtati, naravno, nulta linija je linija u kojoj sve nule.

4) Red matrice može biti pomnožiti (podijeliti) na bilo koji broj ne-nula. Razmotrimo, na primjer, matricu. Ovdje je preporučljivo prvi red podijeliti sa –3, a drugi red pomnožiti sa 2: . Ova akcija je vrlo korisna jer pojednostavljuje dalje transformacije matrice.

5) Ova transformacija izaziva najviše poteškoća, ali u stvari ni nema ništa komplikovano. Do reda matrice možete dodajte još jedan niz pomnožen brojem, različito od nule.

Pogledajmo našu matricu iz praktičnog primjera: . Prvo, hajde da detaljno opišemo transformaciju.

Pomnožite prvi red sa (-2): , dalje dodajte prvi red u drugi red, ostavljajući prvi nepromijenjen: . Sada se prvi red može podijeliti “nazad” sa (–2): .

Kao što vidite, linija koja ADD LI – nije se promijenilo. Uvijek mijenja se red KOJI JE DODAN UT.

U praksi, naravno, to ne pišu tako detaljno, već ukratko:

Još jednom: do drugog reda dodao prvi red pomnožen sa (–2). Red se obično množi usmeno ili na nacrtu, a proces mentalnog izračunavanja ide otprilike ovako:

“Prepisujem matricu i prepisujem prvi red: »

“Prva kolona. Na dnu moram dobiti nulu. Stoga, množim onaj na vrhu sa –2: , a prvi dodajem u drugi red: 2 + (–2) = 0.

Rezultat pišem u drugom redu: »

“Sada druga kolona. Na vrhu množim -1 sa -2: ( -1∙(-2) = 2 ). Prvo dodajem u drugi red: 1 + 2 = 3. Rezultat upisujem u drugi red:

»

“I treća kolona. Na vrhu množim -5 sa -2: ( -5∙(-2) = 10 ). Dodajem prvi u drugi red: ( –7 + 10 = 3 ). Rezultat pišem u drugom redu:

»

Molimo pažljivo razumite ovaj primjer i razumite algoritam sekvencijalnog izračuna, ako ovo razumijete, onda je Gaussova metoda praktički u vašem džepu. Ali, naravno, i dalje ćemo raditi na ovoj transformaciji.

Ponavljamo: "Elementarne transformacije ne mijenjaju rješenje sistema"

PAŽNJA!: smatrati manipulacijama n ne može se koristiti, ako vam se ponudi zadatak u kojem su matrice zadane „sama po sebi“. Na primjer, sa "klasičnim" operacije sa matricama Ni u kom slučaju ne smijete ništa preuređivati ​​unutar matrica!

Vratimo se našem sistemu. Gotovo je već riješeno.

Šta Gauss pita? on kaže: “Zapišite proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedite je stepenasti pogled».

U ovom slučaju, za ovo

(1) Drugom redu dodajte prvi red pomnožen sa –2. Usput, zašto prvi red množimo sa –2? Da biste dobili nulu na dnu, što znači da se riješite jedne varijable u drugom redu.

(2) Drugi red podijelite sa 3. Zašto? Tako da drugi red odmah daje vrijednost druge varijable.

Svrha elementarnih transformacija– svesti matricu na postupni oblik:

U obrascu zadatka to je jasno navedeno jednostavnom olovkom"stepenice", a zaokružite i brojeve koji se nalaze na "stepenicama". Sam termin „stepeni pogled“ nije sasvim teorijski, u naučnom i edukativna literaturačesto se zove trapezoidni pogled ili trouglasti pogled.

Kao rezultat elementarnih transformacija, dobijen je sistem jednačina, ekvivalentno originalni sistem linearnih jednadžbi, koji je imao oblik:

Sada sistem treba "odmotati" u suprotnom smjeru - odozdo prema gore, ovaj proces se zove inverzno od Gausove metode.

U donjoj jednadžbi već imamo gotov rezultat: . Hajde da razmotrimo prvu jednačinu sistema i da je već zamenimo poznata vrijednost"Y":

odgovor:

Razmotrimo najčešću situaciju kada Gaussova metoda zahtijeva rješavanje sistema od tri linearne jednadžbe sa tri nepoznate.

Primjer 1

Rešite sistem jednačina Gaussovom metodom:

Napišimo proširenu matricu sistema:

Sada ćemo odmah nacrtati rezultat do kojeg ćemo doći tokom rješenja:

.

Ponovimo da je naš cilj da dovedemo matricu u postepeni oblik koristeći elementarne transformacije. Gdje početi?

Prvo pogledajte gornji lijevi broj:

.

Trebao bi skoro uvijek biti ovdje jedinica. Uopšteno govoreći, radiće i (–1), a ponekad i drugi brojevi, ali nekako se tradicionalno dešavalo da se jedan tu stavlja. Kako organizovati jedinicu? Gledamo prvu kolonu - imamo gotovu jedinicu! Transformacija prva: zamijenite prvi i treći red:

Sada će prva linija ostati nepromijenjena do kraja rješenja. Već je lakše.

Jedinica u gornjem lijevom uglu je organizirana. Sada morate dobiti nule na ovim mjestima:

Dobijamo nule koristeći "tešku" transformaciju. Prvo se bavimo drugom linijom (2, –1, 3, 13). Šta je potrebno učiniti da bi se nula na prvoj poziciji? Treba co dodajte drugi red u prvi red pomnožen sa –2. Mentalno ili na promaji, pomnožite prvi red sa –2: (–2, –4, 2, –18).

I mi dosljedno provodimo (opet mentalno ili na nacrt) sabiranje, tj. drugom redu dodajemo prvi red, već pomnožen sa –2:

Rezultat pišemo u drugom redu:

Na isti način radimo i sa trećom linijom (3, 2, –5, –1). Da biste dobili nulu na prvoj poziciji, trebate u treći red dodajte prvi red pomnožen sa –3.

Mentalno ili na promaji, pomnožite prvi red sa –3: (–3, –6, 3, –27). I trećem redu dodajemo prvi red pomnožen sa –3:

Rezultat pišemo u trećem redu:

U praksi se ove radnje obično izvode usmeno i zapisuju u jednom koraku:

Nema potrebe da brojite sve odjednom i istovremeno. Redoslijed izračunavanja i „unošenja“ rezultata dosljedan i obično je to ovako: prvo prepišemo prvi red, i polako se nadimamo - DOSTOJNO i PAŽLJIVO:

.

I već smo gore raspravljali o mentalnom procesu samih proračuna.

U ovom primjeru, to je lako učiniti, drugi red dijelimo sa –5 (pošto su svi brojevi djeljivi sa 5 bez ostatka). Istovremeno, treći red dijelimo sa –2, jer šta manji broj, one jednostavnije rešenje:

U završnoj fazi elementarnih transformacija, ovdje morate dobiti još jednu nulu:

Za ovo trećem redu dodajemo drugi red pomnožen sa –2:

Pokušajte sami shvatiti ovu radnju - mentalno pomnožite drugi red sa (–2) i izvršite sabiranje. Posljednja izvedena radnja je frizura rezultata da biste to učinili, podijelite treću liniju sa 3.

Kao rezultat elementarnih transformacija, dobija se sistem ekvivalentan originalnom sistemu linearnih jednačina:

Sada dolazi u obzir „obrnuto kretanje“ Gausove metode. Jednačine se „odmotaju“ odozdo prema gore.

U trećoj jednačini već imamo spreman rezultat:

Pogledajmo drugu jednačinu: . Značenje "zet" je već poznato, dakle:

Primjer 3

Zapišimo proširenu matricu sistema i, koristeći elementarne transformacije, dovedemo je u postupni oblik:

Gledamo gornji levi „stupak“. Trebalo bi da imamo jednu tamo. Problem je što u prvoj koloni uopće nema jedinica, tako da preuređivanje redova neće ništa riješiti. U takvim slučajevima, jedinica mora biti organizirana pomoću elementarne transformacije. To se obično može učiniti na nekoliko načina.

Uradimo ovo:

(1) Prvom redu dodajemo drugi red, pomnožen sa (–1). Odnosno, mentalno smo pomnožili drugi red sa (–1) i dodali prvi i drugi red, dok se drugi red nije promijenio.

Sada gore lijevo (–1), što nam sasvim odgovara. Svako ko želi da dobije (+1) može izvršiti dodatni pokret: pomnožiti prvi red sa (–1), menjajući njegov predznak. Tada algoritam radi prema nazubljenoj stazi:

.

(2) Prvi red pomnožen sa 5 dodat je drugom redu.

(3) Prvi red je pomnožen sa (–1). Uglavnom, radi lepote. Promijenjen je i predznak trećeg reda i pomjeren je na drugo mjesto, tako da smo na drugom „koraku“ imali potrebnu jedinicu.

(4) Drugi red je dodat trećem redu, pomnožen sa 2.

(5) Treći red je podijeljen sa 3.

Mi naplaćujemo obrnuto, u dizajnu primjera često ne prepisuju sam sistem, već su jednačine „preuzete direktno iz date matrice“. Obrnuti hod, podsjećam, radi odozdo prema gore. Da, evo poklona:

odgovor: .

Primjer 4

Riješite sistem linearnih jednadžbi Gaussovom metodom

Ovo je primjer za nezavisna odluka, nešto je komplikovanije. U redu je ako se neko zbuni. Kompletno rješenje i dizajn uzorka na kraju lekcije. Vaše rješenje se može razlikovati od našeg rješenja.

Dato online kalkulator pronalazi rješenje za sistem linearnih jednačina (SLE) koristeći Gaussovu metodu. Dato detaljno rješenje. Da biste izračunali, odaberite broj varijabli i broj jednačina. Zatim unesite podatke u ćelije i kliknite na dugme "Izračunaj".

Brojčani prikaz:

Broj mjesta nakon decimalnog separatora

×

Upozorenje

Obrisati sve ćelije?

Zatvori Clear

Instrukcije za unos podataka. Brojevi se unose kao cijeli brojevi (primjeri: 487, 5, -7623, itd.), decimale (npr. 67., 102.54, itd.) ili razlomci. Razlomak se mora unijeti u obliku a/b, gdje su a i b (b>0) cijeli brojevi ili decimale. Primjeri 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, itd.

Gaussova metoda

Gaussova metoda je metoda tranzicije sa originalnog sistema linearnih jednačina (koristeći ekvivalentne transformacije) na sistem koji je lakše riješiti od originalnog sistema.

Ekvivalentne transformacije sistema linearnih jednačina su:

• zamena dve jednačine u sistemu,
• množenje bilo koje jednačine u sistemu realnim brojem koji nije nula,
• dodajući jednoj jednačini drugu jednačinu pomnoženu proizvoljnim brojem.

Razmotrimo sistem linearnih jednačina:

Zapišimo sistem (1) u matričnom obliku:

(3)

A- naziva se matrica koeficijenata sistema, b− desna strana ograničenja, x− vektor varijabli koje treba pronaći. Neka rangira ( A)=str.

Ekvivalentne transformacije ne mijenjaju rang matrice koeficijenata i rang proširene matrice sistema. Skup rješenja sistema se također ne mijenja pod ekvivalentnim transformacijama. Suština Gaussove metode je smanjenje matrice koeficijenata A dijagonalno ili stepenasto.

Hajde da napravimo proširenu matricu sistema:

U sledećoj fazi resetujemo sve elemente kolone 2, ispod elementa. Ako je ovaj element nula, onda se ovaj red zamjenjuje redom koji leži ispod ovog reda i ima element koji nije nula u drugom stupcu. Zatim resetirajte sve elemente kolone 2 ispod vodećeg elementa a 22. Da biste to učinili, dodajte redove 3, ... m sa nizom 2 pomnoženim sa − a 32 /a 22 , ..., −a m2/ a 22, respektivno. Nastavljajući postupak, dobijamo matricu dijagonalnog ili stepenastog oblika. Neka rezultirajuća proširena matrica ima oblik:

Jer rangA=rang(A|b), tada je skup rješenja (7) ( n−p)− raznolikost. Dakle n−p nepoznanice se mogu birati proizvoljno. Preostale nepoznanice iz sistema (7) izračunavaju se na sljedeći način. Iz posljednje jednačine koju izražavamo x p kroz preostale varijable i umetnuti u prethodne izraze. Dalje, iz pretposljednje jednačine izražavamo x p−1 kroz preostale varijable i ubaciti u prethodne izraze, itd. Pogledajmo Gaussovu metodu koristeći konkretne primjere.

Primjeri rješavanja sistema linearnih jednačina Gaussovom metodom

Primjer 1. Naći opće rješenje za sistem linearnih jednačina koristeći Gaussov metod:

Označimo sa a ij elementi i-ti red i j th column.

Isključimo elemente 1. kolone matrice ispod elementa a 1 1 . Da biste to učinili, dodajte redove 2,3 sa linijom 1, pomnožene sa -2/3,-1/2, respektivno:

Svaki red matrice dijelimo odgovarajućim vodećim elementom (ako vodeći element postoji):

Zamjenom gornjih izraza u donje, dobivamo rješenje.

Danas ćemo razumjeti Gaussovu metodu za rješavanje linearnih sistema algebarske jednačine. O tome koji su to sistemi možete pročitati u prethodnom članku posvećenom rješavanju istih SLAE-ova korištenjem Cramerove metode. Gaussova metoda ne zahtijeva neko specifično znanje, potrebna vam je samo pažnja i dosljednost. Uprkos činjenici da je sa stanovišta matematike dovoljno to primijeniti školske pripreme, učenicima je često teško savladati ovu metodu. U ovom članku pokušat ćemo ih svesti na ništa!

Gaussova metoda

M Gaussova metoda– najuniverzalniji metod za rešavanje SLAE (sa izuzetkom veoma velikih sistema). Za razliku od onoga što je ranije diskutovano, pogodan je ne samo za sisteme koji imaju jedno rješenje, već i za sisteme koji imaju beskonačan broj rješenja. Ovdje postoje tri moguće opcije.

1. Sistem ima jedinstveno rješenje (determinanta glavne matrice sistema nije jednaka nuli);
2. Sistem ima beskonačan broj rješenja;
3. Rešenja nema, sistem je nekompatibilan.

Dakle, imamo sistem (neka ima jedno rješenje) i riješit ćemo ga Gausovom metodom. Kako ovo funkcionira?

Gaussova metoda se sastoji od dvije faze - naprijed i obrnuto.

Direktan potez Gausove metode

Prvo, zapišimo proširenu matricu sistema. U tu svrhu u glavna matrica dodajte kolonu besplatnih članova.

Čitava suština Gaussove metode je da ovu matricu kroz elementarne transformacije dovede do stepenastog (ili, kako još kažu, trokutastog) oblika. U ovom obliku bi trebale biti samo nule ispod (ili iznad) glavne dijagonale matrice.

Šta možete učiniti:

1. Možete preurediti redove matrice;
2. Ako postoje jednaki (ili proporcionalni) redovi u matrici, možete ukloniti sve osim jednog;
3. Niz možete pomnožiti ili podijeliti bilo kojim brojem (osim nule);
4. Null redovi se uklanjaju;
5. Nizu možete dodati niz pomnožen brojem koji nije nula.

Reverzna Gausova metoda

Nakon što transformišemo sistem na ovaj način, jedna nepoznata Xn postaje poznato, a sve preostale nepoznanice možete pronaći obrnutim redoslijedom, zamjenjujući već poznate x u jednačine sistema, do prve.

Kada je internet uvijek pri ruci, možete riješiti sistem jednačina koristeći Gaussovu metodu online. Potrebno je samo da unesete koeficijente u online kalkulator. Ali morate priznati, mnogo je ugodnije shvatiti da primjer nije riješen kompjuterski program, ali sa sopstvenim mozgom.

Primjer rješavanja sistema jednačina primjenom Gaussove metode

A sada - primjer da sve postane jasno i razumljivo. Neka je zadan sistem linearnih jednadžbi, a vi ga morate riješiti Gaussovom metodom:

Prvo pišemo proširenu matricu:

Sada uradimo transformacije. Sjećamo se da trebamo postići trokutasti izgled matrice. Pomnožimo prvi red sa (3). Pomnožite 2. red sa (-1). Dodajte 2. red u 1. i dobijete:

Zatim pomnožite 3. red sa (-1). Dodajmo 3. red u 2.:

Pomnožimo prvi red sa (6). Pomnožimo 2. red sa (13). Dodajmo 2. red na 1.:

Voila - sistem je sveden na odgovarajućeg tipa. Ostaje pronaći nepoznanice:

Sistem u ovom primjeru ima jedinstveno rješenje. Razmotrit ćemo rješavanje sistema s beskonačnim brojem rješenja u posebnom članku. Možda u početku nećete znati gdje da počnete transformirati matricu, ali nakon odgovarajuće vježbe shvatit ćete je i razbiti SLAE koristeći Gaussovu metodu poput oraha. A ako iznenada naiđete na SLAE za koji se pokaže da je previše tvrd orah, kontaktirajte naše autore! možete ostaviti zahtjev u dopisništvu. Zajedno ćemo riješiti svaki problem!

Odjeljak 3. Numeričke metode za rješavanje jednačina

Vrste matematički modeli(jednačine) u teoriji električnih kola

1. - sistemi linearnih algebarskih jednadžbi –

linearni krugovi konstantnog i sinusoidnog naizmjeničnog ( kompleksna metoda) struja.

2 . - sistemi nelinearnih algebarskih odn

transcendentalne jednadžbe – nelinearna kola jednosmerne ili sinusoidne struje.

3. . – nelinearni diferencijalni sistemi

jednadžbe prvog reda u običnim derivatima – prolazni procesi u nelinearnim kolima.

Evo F I ψ – vektorske funkcije, tj. je ekvivalentno pisanju:

f 1 (X, b 1) = 0

f 2 (X, b 2) = 0

…………

f n (X, b n) = 0

A - unosi:

ψ 1 (dX/dt,X,b 1 ,t) = 0

ψ 2 (dX/dt,X,b 2 ,t) = 0

…………………..

ψ n (dX/dt,X,b n,t) = 0

Razmotrimo najviše efikasne metode rješenja ovih jednačina.

Numeričke metode za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednačina (LAE)

Gaussova metoda (eliminacija nepoznatih)

Metode za rješavanje LEAs imaju važno, budući da se primjenjuju (iterativno) za rješavanje složenijih jednačina.

Neka je LAU sistem dat u obliku:

,

Gdje - kvadratna matrica n– prvi red sa dijagonalnim elementima koji nisu nula; - vektor nepoznatih; - vektor desnih delova.

Algoritam Gaussove metode sastoji se od direktno I obrnuto napredak. Tokom kretanja naprijed, nepoznate se sekvencijalno eliminiraju. Sistem ima oblik:

Koeficijenti se ponovo izračunavaju pomoću formule:

, Gdje i, j = k+1, …n sa izuzetkom k- th nepoznato.

U ovom slučaju, zgodno je smatrati stupac sa desne strane kao n+1 stupac matrice koeficijenata, tj. j = k+1, …n+1.

Obrnuto je određivanje nepoznatih, počevši od posljednje jednadžbe u kojoj ostaje jedna nepoznata x n. Primljena vrijednost x n se zamjenjuje u prethodnu jednačinu i određuje x n -1 itd.

Za proizvoljno x k dobije se sljedeća formula:

Gdje k = n, n -1,…1.

Složenost Gaussove metode procjenjuje se brojem izvršenih aritmetičkih operacija:

.

Kubična ovisnost o dimenziji problema značajno ograničava složenost analiziranih kola. Međutim, ako neki od koeficijenata a ik u matrici je jednako nuli, tj. ona jeste rijetka, tada postaje moguće smanjiti intenzitet rada.

Glavna ideja metode rijetke matrice je uzeti u obzir samo elemente matrice različite od nule tokom izračunavanja i skladištenja. Stepen retkosti matrice karakteriše faktor punjenja:

Gdje n nne– broj elemenata koji nisu nula.

Postoje matrice koeficijenata poseban tip: traka, kada se elementi različiti od nule nalaze duž glavne dijagonale; i blok-dijagonala, kada se blokovi koji nisu nula nalaze duž glavne dijagonale. Postoje i blok-dijagonalni sa obrubom.

Primjer trakaste matrice Primjer blok dijagonalne matrice

Primjer blok-dijagonalne matrice sa ivicama

Za njih su razvijene posebne efikasne metode rješenja. Za dijagonalno - metoda trči. Blok jednadžba je podijeljena u zasebne grupe jednadžbi u blokovima, koje se rješavaju Gaussovom metodom. Za blok dijagonale sa ivicama postoje metode dijakoptičkog rješenja.

Diakoptika– pristup proučavanju složenih sistema, koji se sastoji u podeli sistema na delove i njegovoj analizi deo po deo, uzimajući u obzir sve veze između izabranih delova.