Kuidas leida kolmnurga pindala erinevate... Kuidas leida kolmnurga pindala

Kolmnurk on üks levinumaid geomeetrilisi kujundeid, millega tutvume juba sees Põhikool. Iga õpilane seisab silmitsi küsimusega, kuidas leida geomeetriatundides kolmnurga pindala. Niisiis, milliseid tunnuseid antud figuuri pindala leidmisel saab tuvastada? Selles artiklis vaatleme sellise ülesande täitmiseks vajalikke põhivalemeid ja analüüsime ka kolmnurkade tüüpe.

Kolmnurkade tüübid

Kolmnurga pindala leiate absoluutselt erinevatel viisidel, sest geomeetrias on rohkem kui ühte tüüpi kujundeid, mis sisaldavad kolme nurka. Need tüübid hõlmavad järgmist:

• nüri.
• Võrdkülgne (õige).
• Täisnurkne kolmnurk.
• Võrdhaarsed.

Vaatame lähemalt iga olemasolevat kolmnurga tüüpi.

Sellised geomeetriline kujund peetakse geomeetriliste ülesannete lahendamisel kõige tavalisemaks. Kui tekib vajadus suvalise kolmnurga joonistamiseks, tuleb see valik appi.

Nagu nimigi ütleb, on terava kolmnurga kõik nurgad teravad ja kokku moodustavad 180°.

Seda tüüpi kolmnurgad on samuti väga levinud, kuid on mõnevõrra vähem levinud kui terav kolmnurk. Näiteks kolmnurkade lahendamisel (st selle mitmed küljed ja nurgad on teada ning ülejäänud elemendid on vaja leida) tuleb mõnikord kindlaks teha, kas nurk on nüri või mitte. Koosinus on negatiivne arv.

B, ühe nurga väärtus ületab 90°, seega võivad ülejäänud kaks nurka olla väikesed (näiteks 15° või isegi 3°).

Seda tüüpi kolmnurga pindala leidmiseks peate teadma mõningaid nüansse, millest räägime hiljem.

Korrapärased ja võrdhaarsed kolmnurgad

Regulaarne hulknurk on kujund, mis sisaldab n nurka ja mille küljed ja nurgad on kõik võrdsed. Selline on tavaline kolmnurk. Kuna kolmnurga kõigi nurkade summa on 180°, siis on kõik kolm nurka 60°.

Korrapärast kolmnurka nimetatakse selle omaduse tõttu ka võrdkülgseks kujundiks.

Samuti väärib märkimist, et korrapärasesse kolmnurka saab kirjutada ainult ühe ringi ja selle ümber saab kirjeldada ainult ühte ringi ning nende keskpunktid asuvad samas punktis.

Lisaks võrdkülgsele tüübile võib eristada ka sellest veidi erinevat võrdhaarset kolmnurka. Sellises kolmnurgas on kaks külge ja kaks nurka üksteisega võrdsed ning kolmas külg (millega külgnevad võrdsed nurgad) on alus.

Joonisel on kujutatud võrdhaarne kolmnurk DEF, mille nurgad D ja F on võrdsed ning DF on alus.

Täisnurkne kolmnurk

Täisnurkset kolmnurka nimetatakse selliseks, kuna selle üks nurk on täisnurkne, see tähendab 90°. Ülejäänud kaks nurka annavad kokku 90°.

Kõige suur pool sellise kolmnurga 90° nurga vastas asuv on hüpotenuus ja ülejäänud kaks külge on jalad. Seda tüüpi kolmnurga puhul kehtib Pythagorase teoreem:

Jalgade pikkuste ruutude summa võrdub hüpotenuusi pikkuse ruuduga.

Joonisel on kujutatud täisnurkne kolmnurk BAC hüpotenuusiga AC ning jalgadega AB ja BC.

Täisnurgaga kolmnurga pindala leidmiseks peate teadma arvväärtusi selle jalad.

Liigume edasi antud joonise pindala leidmise valemite juurde.

Põhivalemid ala leidmiseks

Geomeetrias on kaks valemit, mis sobivad enamiku kolmnurkade pindala leidmiseks, nimelt teravate, nürikujuliste, korrapäraste ja võrdhaarsete kolmnurkade jaoks. Vaatame igaüht neist.

Külje ja kõrguse järgi

See valem on universaalne vaadeldava joonise ala leidmiseks. Selleks piisab, kui on teada külje pikkus ja sellele tõmmatud kõrguse pikkus. Valem ise (pool aluse ja kõrguse korrutisest) on järgmine:

kus A on külg antud kolmnurk, ja H on kolmnurga kõrgus.

Näiteks terava kolmnurga ACB pindala leidmiseks peate korrutama selle külje AB kõrgusega CD ja jagama saadud väärtuse kahega.

Kuid sel viisil pole kolmnurga pindala alati lihtne leida. Näiteks selleks, et kasutada seda valemit nüri kolmnurga jaoks, peate selle ühte külge pikendama ja alles seejärel joonistama sellele kõrguse.

Praktikas kasutatakse seda valemit sagedamini kui teisi.

Mõlemal küljel ja nurgas

See valem, nagu ka eelmine, sobib enamiku kolmnurkade jaoks ja on oma tähenduses kolmnurga pindala ja kõrguse järgi leidmise valemi tagajärg. See tähendab, et kõnealust valemit saab eelmisest hõlpsasti tuletada. Selle koostis näeb välja selline:

S = ½*sinO*A*B,

kus A ja B on kolmnurga küljed ning O on nurk külgede A ja B vahel.

Meenutagem, et nurga siinust saab vaadelda spetsiaalses tabelis, mis on nime saanud väljapaistva nõukogude matemaatiku V. M. Bradise järgi.

Liigume nüüd edasi muude valemite juurde, mis sobivad ainult erakordset tüüpi kolmnurkade jaoks.

Täisnurkse kolmnurga pindala

Lisaks universaalsele valemile, mis hõlmab kolmnurga kõrguse leidmise vajadust, saab selle jalgadelt leida täisnurka sisaldava kolmnurga pindala.

Seega on täisnurka sisaldava kolmnurga pindala pool selle jalgade korrutisest või:

kus a ja b on jalad täisnurkne kolmnurk.

Regulaarne kolmnurk

Seda tüüpi geomeetrilised kujundid erinevad selle poolest, et selle pindala võib leida ainult selle ühe külje näidatud väärtusega (kuna tavalise kolmnurga kõik küljed on võrdsed). Niisiis, kui seisate silmitsi ülesandega "leida kolmnurga pindala, kui küljed on võrdsed", peate kasutama järgmist valemit:

S = A 2 *√3/4,

kus A on võrdkülgse kolmnurga külg.

Heroni valem

Viimane võimalus kolmnurga pindala leidmiseks on Heroni valem. Selle kasutamiseks peate teadma joonise kolme külje pikkust. Heroni valem näeb välja selline:

S = √p·(p–a)·(p–b)·(p–c),

kus a, b ja c on antud kolmnurga küljed.

Mõnikord antakse probleem: "tavalise kolmnurga pindala on leida selle külje pikkus." Sel juhul peame tavalise kolmnurga pindala leidmiseks kasutama meile juba tuttavat valemit ja tuletama sellest külje (või selle ruudu) väärtuse:

A 2 = 4S / √3.

Eksamiülesanded

Matemaatikas on GIA ülesannetes palju valemeid. Lisaks on üsna sageli vaja ruudulisel paberil leida kolmnurga pindala.

Sel juhul on kõige mugavam joonistada joonise ühele küljele kõrgus, määrata selle pikkus lahtritest ja kasutada ala leidmiseks universaalset valemit:

Nii et pärast artiklis esitatud valemite uurimist pole teil probleeme mingisuguse kolmnurga pindala leidmisega.

Kolmnurga pindala arvutamiseks leiate Internetist üle 10 valemi, millest paljusid kasutatakse kolmnurga teadaolevate külgede ja nurkadega seotud ülesannetes. Siiski on mitmeid keerulised näited kus ülesande tingimuste kohaselt on teada ainult kolmnurga üks külg ja nurgad või piiritletud või sisse kirjutatud ringi raadius ja veel üks tunnus. Sellistel juhtudel ei saa lihtsat valemit rakendada.

Allpool toodud valemid võimaldavad teil lahendada 95 protsenti probleemidest, mille puhul peate leidma kolmnurga pindala.
Jätkame ühisala valemite kaalumisega.
Kaaluge alloleval joonisel näidatud kolmnurka

Joonisel ja allpool valemites tutvustatakse kõigi selle tunnuste klassikalisi tähistusi.
a,b,c – kolmnurga küljed,
R – piiritletud ringi raadius,
r – sisse kirjutatud ringi raadius,
h[b],h[a],h[c] – külgede a,b,c järgi joonistatud kõrgused.
alfa, beeta, hamma – tippude lähedased nurgad.

Kolmnurga pindala põhivalemid

1. Pindala on võrdne poolega kolmnurga külje ja sellele küljele langetatud kõrguse korrutisest. Valemite keeles saab selle definitsiooni kirjutada järgmiselt

Seega, kui külg ja kõrgus on teada, leiab iga õpilane ala üles.
Muide, sellest valemist saab ühe tuletada kasulik sõltuvus kõrguste vahel

2. Kui võtta arvesse, et kolmnurga kõrgust läbi külgneva külje väljendatakse sõltuvusega

Siis järgnevad esimesele pindalavalemile teised sama tüüpi

Vaadake hoolikalt valemeid - neid on lihtne meeles pidada, kuna töö hõlmab kahte külge ja nende vahelist nurka. Kui määrame õigesti kolmnurga küljed ja nurgad (nagu ülaltoodud joonisel), saame kaks küljed a,b ja nurk on ühendatud kolmandaga Koos (hamma).

3. Kolmnurga nurkade puhul on seos tõene

Sõltuvus võimaldab teil arvutustes kasutada kolmnurga pindala jaoks järgmisi valemeid:

Selle sõltuvuse näited on äärmiselt haruldased, kuid peate meeles pidama, et selline valem on olemas.

4. Kui külg ja kaks külgnevat nurka on teada, siis leitakse pindala valemiga

5. Pindala valem külgnevate nurkade külg- ja kotangensina on järgmine

Indeksite ümberkorraldamisega saate teiste osapoolte jaoks sõltuvusi.

6. Allolevat pindala valemit kasutatakse ülesannetes, kui kolmnurga tipud on tasapinnal määratud koordinaatidega. Sel juhul on pindala võrdne poolega mooduli determinandist.

7. Heroni valem kasutatakse näidetes kolmnurga teadaolevate külgedega.
Kõigepealt leidke kolmnurga poolperimeeter

Ja seejärel määrake ala valemi abil

või

Seda kasutatakse üsna sageli kalkulaatoriprogrammide koodides.

8. Kui kolmnurga kõik kõrgused on teada, siis määratakse pindala valemiga

Kalkulaatoriga on keeruline arvutada, kuid MathCad, Mathematica, Maple paketis on pindala “aeg kaks”.

9. Järgmised valemid kasutavad sissekirjutatud ja piiritletud ringide teadaolevaid raadiusi.

Eelkõige, kui kolmnurga raadius ja küljed või selle ümbermõõt on teada, arvutatakse pindala valemi järgi

10. Näidetes, kus on antud piiritletud ringi küljed ja raadius või läbimõõt, leitakse pindala valemiga

11. Järgmine valem määrab kolmnurga pindala kolmnurga külje ja nurkade järgi.

Ja lõpuks - erijuhud:
Täisnurkse kolmnurga pindala mille jalad a ja b on võrdsed poolega nende korrutisest

Võrdkülgse (korrapärase) kolmnurga pindala valem=

= üks neljandik külje ruudu ja kolme juure korrutisest.

Kolmnurga pindala määramiseks võite kasutada erinevaid valemeid. Kõigist meetoditest on kõige lihtsam ja sagedamini kasutatav kõrgus aluse pikkusega korrutada ja seejärel tulemus kahega jagada. Kuid seda meetodit kaugeltki ainuke. Altpoolt saate lugeda, kuidas leida kolmnurga pindala erinevate valemite abil.

Eraldi vaatleme võimalusi, kuidas arvutada teatud tüüpi kolmnurkade pindala - ristkülikukujulised, võrdhaarsed ja võrdkülgsed. Iga valemiga on kaasas lühike selgitus, mis aitab teil mõista selle olemust.

Universaalsed meetodid kolmnurga pindala leidmiseks

Alltoodud valemid kasutavad spetsiaalset tähistust. Me dešifreerime neist igaüks:

• a, b, c – vaadeldava joonise kolme külje pikkused;
• r on ringjoone raadius, mida saab kanda meie kolmnurka;
• R on selle ümber kirjeldatava ringi raadius;
• α on külgede b ja c moodustatud nurga suurus;
• β on a ja c vahelise nurga suurus;
• γ on külgede a ja b moodustatud nurga suurus;
• h on meie kolmnurga kõrgus, langetatud nurgast α küljele a;
• p – pool külgede a, b ja c summast.

On loogiliselt selge, miks saate sel viisil kolmnurga pindala leida. Kolmnurga saab hõlpsasti täiendada rööpkülikuks, milles kolmnurga üks külg toimib diagonaalina. Rööpküliku pindala leitakse, korrutades selle ühe külje pikkust sellele tõmmatud kõrguse väärtusega. Diagonaal jagab selle tingimusliku rööpküliku kaheks identseks kolmnurgaks. Seetõttu on üsna ilmne, et meie algse kolmnurga pindala peab olema võrdne poolega selle abi rööpküliku pindalast.

S=½ a b sin γ

Selle valemi järgi leitakse kolmnurga pindala, korrutades selle kahe külje pikkused, see tähendab a ja b, nende moodustatud nurga siinusega. See valem on loogiliselt tuletatud eelmisest. Kui alandame kõrgust nurgast β küljele b, siis vastavalt täisnurkse kolmnurga omadustele, korrutades külje a pikkuse nurga γ siinusega, saame kolmnurga kõrguse, st h. .

Kõnealuse kujundi pindala leitakse, korrutades poole sellesse kantava ringi raadiusest selle ümbermõõduga. Teisisõnu leiame mainitud ringi poolperimeetri ja raadiuse korrutise.

S = a b c/4R

Selle valemi järgi saab meile vajaliku väärtuse leida, jagades joonise külgede korrutise selle ümber kirjeldatud ringi 4 raadiusega.

Need valemid on universaalsed, kuna need võimaldavad määrata mis tahes kolmnurga pindala (skaala, võrdhaarne, võrdkülgne, ristkülikukujuline). Seda saab teha keerukamate arvutuste abil, millel me üksikasjalikult ei peatu.

Konkreetsete omadustega kolmnurkade alad

Kuidas leida täisnurkse kolmnurga pindala? Selle figuuri eripära on see, et selle kaks külge on samaaegselt selle kõrgused. Kui a ja b on jalad ja c muutub hüpotenuusiks, siis leiame ala järgmiselt:

Kuidas ala leida võrdhaarne kolmnurk? Sellel on kaks külge pikkusega a ja üks külg pikkusega b. Järelikult saab selle pindala määrata, jagades külje a ruudu korrutise nurga γ siinusega 2-ga.

Kuidas leida võrdkülgse kolmnurga pindala? Selles on kõigi külgede pikkus võrdne a-ga ja kõigi nurkade suurus on α. Selle kõrgus on võrdne poolega külje a pikkuse ja ruutjuure 3 korrutisest. Tavalise kolmnurga pindala leidmiseks tuleb külje a ruut korrutada ruutjuurega 3 ja jagada 4.

Kolmnurk on geomeetriline kujund, mis koosneb kolmest sirgjoonest, mis ühenduvad punktides, mis ei asu samal sirgel. Joonte ühenduspunktid on kolmnurga tipud, mis on tähistatud ladina tähtedega (näiteks A, B, C). Kolmnurga ühendavaid sirgeid nimetatakse lõikudeks, mida tavaliselt tähistatakse ka ladina tähtedega. Eristatakse järgmist tüüpi kolmnurki:

• Ristkülikukujuline.
• nüri.
• Äge nurgeline.
• Mitmekülgne.
• Võrdkülgne.
• Võrdhaarsed.

Üldvalemid kolmnurga pindala arvutamiseks

Kolmnurga pindala valem, mis põhineb pikkusel ja kõrgusel

S = a*h/2,
kus a on kolmnurga selle külje pikkus, mille pindala tuleb leida, h on aluse kõrguse pikkus.

Heroni valem

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
kus √ on Ruutjuur, p on kolmnurga poolperimeeter, a,b,c on kolmnurga mõlema külje pikkus. Kolmnurga poolperimeetrit saab arvutada valemiga p=(a+b+c)/2.

Kolmnurga pindala valem, mis põhineb lõigu nurgal ja pikkusel

S = (a*b*sin(α))/2,
Kus b, c on kolmnurga külgede pikkus, sin(α) on kahe külje vahelise nurga siinus.

Kolmnurga pindala valem, millel on sisse kirjutatud ringi raadius ja kolm külge

S=p*r,
kus p on selle kolmnurga poolperimeeter, mille pindala tuleb leida, r on sellesse kolmnurka kantud ringi raadius.

Kolmnurga pindala valem, mis põhineb kolmel küljel ja selle ümber piiratud ringi raadiusel

S= (a*b*c)/4*R,
kus a,b,c on kolmnurga mõlema külje pikkus, R on kolmnurga ümber oleva ringi raadius.

Kolmnurga pindala valem, kasutades punktide Descartes'i koordinaate

Punktide ristkoordinaadid on koordinaadid xOy süsteemis, kus x on abstsiss, y on ordinaat. Descartes'i süsteem koordinaate xOy tasapinnal nimetatakse vastastikku risti asetsevateks arvtelgedeks Ox ja Oy, mille alguspunkt on ühine punktis O. Kui selle tasapinna punktide koordinaadid on antud kujul A(x1, y1), B(x2, y2) ja C (x3, y3), siis saate arvutada kolmnurga pindala järgmise valemi abil, mis saadakse vektorprodukt kaks vektorit.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
kus || tähistab moodulit.

Kuidas leida täisnurkse kolmnurga pindala

Täisnurkne kolmnurk on kolmnurk, mille üks nurk on 90 kraadi. Kolmnurgal võib olla ainult üks selline nurk.

Valem täisnurkse kolmnurga kahe külje pindala jaoks

S = a*b/2,
kus a,b on jalgade pikkus. Jalad on täisnurgaga külgnevad küljed.

Täisnurkse kolmnurga pindala valem, mis põhineb hüpotenuusil ja teravnurgal

S = a*b*sin(α)/2,
kus a, b on kolmnurga jalad ja sin(α) on nurga siinus, mille all sirged a, b ristuvad.

Täisnurkse kolmnurga pindala valem külje ja vastasnurga põhjal

S = a*b/2*tg(β),
kus a, b on kolmnurga jalad, tan(β) on nurga puutuja, mille all jalad a, b on ühendatud.

Kuidas arvutada võrdhaarse kolmnurga pindala

Võrdhaarne kolmnurk on selline, millel on kaks võrdset külge. Neid külgi nimetatakse külgedeks ja teine ​​külg on alus. Võrdhaarse kolmnurga pindala arvutamiseks võite kasutada ühte järgmistest valemitest.

Võrdhaarse kolmnurga pindala arvutamise põhivalem

S=h*c/2,
kus c on kolmnurga alus, h on aluse külge langetatud kolmnurga kõrgus.

Võrdhaarse kolmnurga valem külje ja aluse põhjal

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
kus c on kolmnurga alus, a on võrdhaarse kolmnurga ühe külje suurus.

Kuidas leida võrdkülgse kolmnurga pindala

Võrdkülgne kolmnurk on kolmnurk, mille kõik küljed on võrdsed. Võrdkülgse kolmnurga pindala arvutamiseks võite kasutada järgmist valemit:
S = (√3*a*a)/4,
kus a on võrdkülgse kolmnurga külje pikkus.

Ülaltoodud valemid võimaldavad teil arvutada kolmnurga vajaliku pindala. Oluline on meeles pidada, et kolmnurkade pindala arvutamiseks peate arvestama kolmnurga tüüpi ja olemasolevate andmetega, mida saab arvutamiseks kasutada.