Vektoritel i j k on koordinaadid. Vektorite ristkorrutis

Definitsioon Nimetatakse reaalarvude järjestatud kogum (x 1 , x 2 , ... , x n) n n-mõõtmeline vektor, ja arvud x i (i = ) - komponendid või koordinaadid,

Näide. Kui näiteks mõned autotehas peaks vahetuses tootma 50 sõiduautot, 100 veoautot, 10 bussi, 50 komplekti autode varuosi ning 150 komplekti veoautodele ja bussidele, siis tootmisprogramm selle taime saab kirjutada viie komponendiga vektorina (50, 100, 10, 50, 150).

Märge. Vektorid on tähistatud paksude väiketähtedega või tähtedega, mille ülaosas on riba või nool, näiteks a või. Neid kahte vektorit nimetatakse võrdne kui neil on sama arv komponente ja nende vastavad komponendid on võrdsed.

Vektori komponente ei saa omavahel vahetada, nt (3, 2, 5, 0, 1) ja (2, 3, 5, 0, 1) erinevad vektorid.
Tehted vektoritega. tööd x= (x 1 , x 2 , ... ,x n) reaalarvuksλ nimetatakse vektoriksλ x= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).

summax= (x 1 , x 2 , ... ,x n) ja y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) nimetatakse vektoriks x+y= (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... , x n + + y n).

Vektorite ruum. N -dimensiooniline vektorruum R n on defineeritud kui kõigi n-mõõtmeliste vektorite hulk, mille jaoks on määratletud reaalarvudega korrutamise ja liitmise toimingud.

Majanduslik illustratsioon. N-mõõtmelise vektorruumi majanduslik näide: kaupade ruum (kaubad). Under kaup me mõistame mõnda kaupa või teenust, mis tuli müüki teatud ajal kindlas kohas. Oletame, et saadaval on lõplik arv kaupu n; iga tarbija poolt ostetud koguseid iseloomustab kaubakomplekt

x= (x 1 , x 2 , ..., x n),

kus x i tähistab tarbija poolt ostetud i-nda kauba kogust. Eeldame, et kõigil kaupadel on suvalise jagavuse omadus, nii et neist saab osta iga mittenegatiivse koguse. Siis on kõik võimalikud kaubahulgad kaupade ruumi vektorid C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = ).

Lineaarne iseseisvus. Süsteem e 1 , e 2 , ... , e m n-mõõtmelist vektorit nimetatakse lineaarselt sõltuv kui selliseid numbreid onλ 1 , λ 2 , ... , λ m , millest vähemalt üks on nullist erinev, mis rahuldab võrdsustλ1 e 1 + λ2 e 2+...+λm e m = 0; muidu see süsteem vektoreid nimetatakse lineaarselt sõltumatu, see tähendab, et see võrdsus on võimalik ainult juhul, kui kõik . Vektorite lineaarse sõltuvuse geomeetriline tähendus in R 3, mida tõlgendatakse suunatud segmentidena, selgitage järgmisi teoreeme.

1. teoreem. Ühest vektorist koosnev süsteem on lineaarselt sõltuv siis ja ainult siis, kui see vektor on null.

2. teoreem. Selleks, et kaks vektorit oleks lineaarselt sõltuvad, on vajalik ja piisav, et nad oleksid kollineaarsed (paralleelsed).

3. teoreem . Selleks, et kolm vektorit oleksid lineaarselt sõltuvad, on vajalik ja piisav, et need oleksid tasapinnalised (asuksid samas tasapinnas).

Vektorite vasak ja parem kolmik. Mitte-tasapinnaliste vektorite kolmik a, b, c helistas õige, kui nende ühise päritolu vaatleja möödub vektorite otstest a, b, c selles järjekorras näib käivat päripäeva. Muidu a, b, c -vasak kolmik. Kutsutakse kõiki parempoolseid (või vasakpoolseid) vektorite kolmikuid võrdselt orienteeritud.

Alus ja koordinaadid. Troika e 1, e 2 , e 3 mittetasatasandilist vektorit sisse R 3 helistas alus ja vektorid ise e 1, e 2 , e 3 - põhilised. Mis tahes vektor a saab unikaalsel viisil laiendada alusvektorite osas, st seda saab esitada kujul

a= x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

laienduses (1.1) olevaid arve x 1 , x 2 , x 3 nimetatakse koordinaadida alusel e 1, e 2 , e 3 ja on tähistatud a(x 1, x 2, x 3).

Ortonormaalne alus. Kui vektorid e 1, e 2 , e 3 on paarikaupa risti ja igaühe pikkus on võrdne ühega, siis nimetatakse alust ortonormaalne ja koordinaadid x 1 , x 2 , x 3 - ristkülikukujuline. Märgitakse ortonormaalse aluse baasvektorid i, j, k.

Eeldame seda kosmoses R 3 õige ristkülikukujuliste koordinaatide süsteem (0, i, j, k}.

vektorprodukt. vektorkunst a vektori kohta b nimetatakse vektoriks c, mille määravad järgmised kolm tingimust:

1. Vektori pikkus c arvuliselt võrdne vektoritele ehitatud rööpküliku pindalaga a ja b, st.
c= |a||b| patt ( a^b).

2. Vektor c risti iga vektoriga a ja b.

3. Vektorid a, b ja c, selles järjekorras, moodustavad parempoolse kolmiku.

Vektorprodukti jaoks c tähistus võetakse kasutusele c=[ab] või
c = a × b.

Kui vektorid a ja b on kollineaarsed, siis sin( a^b) = 0 ja [ ab] = 0, eelkõige [ aa] = 0. Ortide vektorkorrutised: [ ij]=k, [jk] = i, [ki]=j.

Kui vektorid a ja b alusel antud i, j, k koordinaadid a(a 1, a 2, a 3), b(b 1, b 2, b 3), siis

segatud toode. Kui kahe vektori ristkorrutis a ja b skalaar korrutatud kolmanda vektoriga c, siis nimetatakse sellist kolme vektori korrutist segatud toode ja seda tähistatakse sümboliga a eKr.

Kui vektorid a, b ja c alusel i, j, k määratud nende koordinaatidega
a(a 1, a 2, a 3), b(b 1, b 2, b 3), c(c 1, c 2, c 3), siis

.

Segaproduktil on lihtne geomeetriline tõlgendus - see on skalaar, absoluutväärtuses võrdne kolmele antud vektorile ehitatud rööptahuka ruumalaga.

Kui vektorid moodustavad parempoolse kolmiku, siis on nende segakorrutis positiivne arv, mis võrdub näidatud mahuga; kui kolm a, b, c - lahkus siis a b c<0 и V = - a b c, seega V =|a b c|.

Eeldatakse, et esimese peatüki ülesannetes esinevate vektorite koordinaadid on antud õige ortonormaalbaasi suhtes. Ühikvektor vektoriga kaassuunas a, tähistatud sümboliga a umbes. Sümbol r=OM tähistatakse punkti M raadiusvektoriga, sümbolitega a, AB või|a|, | AB |tähistatakse vektorite mooduleid a ja AB.

Näide 1.2. Leidke vektorite vaheline nurk a= 2m+4n ja b= m-n, kus m ja n-ühikvektorid ja nendevaheline nurk m ja n võrdne 120 o.

Lahendus. Meil on: cos φ = ab/ab, ab=(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4 + 2cos120 o = - 2 + 2 (-0,5) = -3; a = ; a 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0,5)+16=12, seega a = . b= ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2mn+n 2 = 1-2(-0,5)+1 = 3, seega b = . Lõpuks on meil: cosφ \u003d -1/2, φ \u003d 120 o.

Näide 1.3.Vektorite tundmine AB(-3,-2,6) ja eKr(-2,4,4), arvuta kolmnurga ABC kõrgus AD.

Lahendus. Tähistades kolmnurga ABC pindala tähega S, saame:
S = 1/2 eKr. Siis AD=2S/BC, BC== = 6,
S = 1/2| AB ×AC |. AC=AB+BC, seega vektor AC on koordinaadid
. .

Näide 1.4 . Antud kaks vektorit a(11,10,2) ja b(4,0,3). Leia ühikvektor c, vektoritega ortogonaalne a ja b ja suunatud nii, et vektorite järjestatud kolmik a, b, c oli õige.

Lahendus.Tähistame vektori koordinaate c antud õige ortonormaalse aluse suhtes x, y, z kaudu.

Kuna c ⊥ a, c ⊥b, siis ca= 0, cb= 0. Ülesande tingimuse järgi on nõutav, et c = 1 ja a b c >0.

Meil on võrrandisüsteem x,y,z leidmine: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z = 0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

Süsteemi esimesest ja teisest võrrandist saame z = -4/3 x, y = -5/6 x. Asendades y ja z kolmandas võrrandis, saame: x 2 = 36/125, kust
x=± . Kasutamise tingimus a b c > 0, saame ebavõrdsuse

Võttes arvesse z ja y avaldisi, kirjutame saadud võrratuse ümber kujul: 625/6 x > 0, millest järeldub, et x>0. Seega x =, y = -, z = -.

Definitsioon. Vektori a (kordaja) vektorkorrutis vektoriga (kordistiga), mis ei ole tema suhtes kollineaarne, on kolmas vektor c (korrutis), mis konstrueeritakse järgmiselt:

1) selle moodul on numbriline võrdne pindalaga rööpkülik joonisel fig. 155), mis on ehitatud vektoritele, st see on võrdne nimetatud rööpküliku tasandiga risti oleva suunaga;

3) sel juhul valitakse vektori c suund (kahest võimalikust) nii, et vektorid c moodustavad parempoolse süsteemi (§ 110).

Nimetus: või

Lisa definitsioonile. Kui vektorid on kollineaarsed, siis vaadeldes joonist (tinglikult) rööpkülikuna, on loomulik määrata nullpindala. Seetõttu loetakse kollineaarsete vektorite vektorkorrutis võrdseks nullvektoriga.

Kuna nullvektorile saab määrata mis tahes suuna, ei ole see konventsioon vastuolus definitsiooni punktidega 2 ja 3.

Märkus 1. Mõistes "vektorkorrutis" näitab esimene sõna, et tegevuse tulemuseks on vektor (erinevalt skalaarkorrutisest; vrd § 104, märkus 1).

Näide 1. Leia vektorkorrutis, kus on õige koordinaatsüsteemi põhivektorid (joonis 156).

1. Kuna põhivektorite pikkused on võrdsed skaalaühikuga, on rööpküliku pindala (ruut) arvuliselt võrdne ühega. Seega on vektorkorrutise moodul võrdne ühega.

2. Kuna tasandiga risti on telg, on soovitud vektorkorrutis vektoriga k kollineaarne vektor; ja kuna mõlemal on moodul 1, on nõutav ristkorrutis kas k või -k.

3. Nendest kahest võimalikust vektorist tuleb valida esimene, kuna vektorid k moodustavad parempoolse süsteemi (ja vektorid moodustavad vasakpoolse).

Näide 2. Leidke ristkorrutis

Lahendus. Nagu näites 1, järeldame, et vektor on kas k või -k. Kuid nüüd peame valima -k, kuna vektorid moodustavad õige süsteemi (ja vektorid moodustavad vasaku). Niisiis,

Näide 3 Vektorite pikkus on vastavalt 80 ja 50 cm ning need moodustavad 30° nurga. Võttes pikkusühikuks meetri, leidke vektorkorrutise a pikkus

Lahendus. Vektoritele ehitatud rööpküliku pindala on võrdne Soovitud vektorkorrutise pikkus on võrdne

Näide 4. Leia samade vektorite ristkorrutise pikkus, võttes pikkuseühikuks sentimeetri.

Lahendus. Kuna vektoritele ehitatud rööpküliku pindala on võrdne vektori korrutise pikkusega, on 2000 cm, s.o.

Näidete 3 ja 4 võrdlus näitab, et vektori pikkus ei sõltu ainult tegurite pikkustest, vaid ka pikkuseühiku valikust.

Vektorkorrutise füüsikaline tähendus. Paljudest füüsikalised kogused, mida esindab vektorkorrutis, võta arvesse ainult jõumomenti.

Olgu jõu rakenduspunkt A. Jõumomenti punkti O suhtes nimetatakse vektorkorrutiseks. Kuna selle vektorkorrutise moodul on arvuliselt võrdne rööpküliku pindalaga (joonis 157), momendi moodul võrdub aluse korrutisega kõrgusega, st jõu korrutisega kaugusega punktist O kuni sirgjooneni, mida mööda jõud mõjub.

Mehaanikas on tõestatud, et tasakaalu jaoks tahke keha on vajalik, et mitte ainult kehale rakendatavaid jõude esindavate vektorite summa ei oleks võrdne nulliga, vaid ka jõudude momentide summa. Juhul, kui kõik jõud on paralleelsed sama tasapinnaga, saab momente esindavate vektorite liitmise asendada nende moodulite liitmise ja lahutamisega. Kuid meelevaldsete jõudude suundade puhul on selline asendamine võimatu. Selle kohaselt määratletakse ristkorrutis täpselt vektori, mitte arvuna.

Ühiku vektor- see on vektor, mille absoluutväärtus (moodul) on võrdne ühega. Ühikvektori tähistamiseks kasutame alamindeksit e. Seega, kui vektor on antud a, siis on selle ühikvektor vektor a e. See ühikvektor osutab vektoriga samas suunas a, ja selle moodul on võrdne ühega, see tähendab a e \u003d 1.

Ilmselgelt a= a a e (a - vektori moodul a). See tuleneb reeglist, mille järgi sooritatakse skalaari vektoriga korrutamise operatsioon.

Ühikvektorid sageli seostatakse koordinaatsüsteemi koordinaattelgedega (eriti Descartes'i koordinaatsüsteemi telgedega). Nende juhised vektoridühtivad vastavate telgede suundadega ja nende alguspunkte kombineeritakse sageli koordinaatsüsteemi alguspunktiga.

Lubage mul seda teile meelde tuletada Descartes'i koordinaatsüsteem ruumis nimetatakse traditsiooniliselt vastastikku risti asetsevate telgede kolmikuks, mis lõikuvad punktis, mida nimetatakse alguspunktiks. Koordinaatide telgi tähistatakse tavaliselt tähtedega X, Y, Z ja neid nimetatakse vastavalt abstsissteljeks, ordinaatteljeks ja rakendusteljeks. Descartes ise kasutas ainult ühte telge, millele olid joonistatud abstsissid. kasutuse väärtus süsteemid kirved kuulub tema õpilastele. Seetõttu fraas Descartes'i süsteem koordinaadid ajalooliselt vale. Räägi parem ristkülikukujuline koordinaatsüsteem või ortogonaalne koordinaatsüsteem. Sellegipoolest me traditsioone ei muuda ja edaspidi eeldame, et Descartes'i ja ristkülikukujulised (ristkülikukujulised) koordinaatide süsteemid on üks ja seesama.

Ühiku vektor, mis on suunatud piki X-telge, on tähistatud i, ühikvektor, mis on suunatud piki Y-telge, on tähistatud j, a ühikvektor, mis on suunatud piki Z-telge, on tähistatud k. Vektorid i, j, k helistas orts(joon. 12, vasakul), on neil üksikud moodulid, st
i = 1, j = 1, k = 1.

teljed ja orts ristkülikukujuline koordinaatsüsteem mõnel juhul on neil muud nimed ja tähistused. Niisiis võib abstsisstellge X nimetada puutujateljeks ja selle ühikvektorit tähistatakse τ (Kreeka väike täht tau), y-telg on normaaltelg, selle ühikvektor on tähistatud n, on rakendustelg binormaali telg, selle ühikvektor on tähistatud b. Milleks muuta nimesid, kui olemus jääb samaks?

Fakt on see, et näiteks mehaanikas kasutatakse kehade liikumise uurimisel väga sageli ristkülikukujulist koordinaatsüsteemi. Seega, kui koordinaatide süsteem ise on liikumatu ja selles liikumatus süsteemis jälgitakse liikuva objekti koordinaatide muutust, siis tavaliselt tähistavad teljed X, Y, Z ja nende orts vastavalt i, j, k.

Kuid sageli, kui objekt liigub mööda mingit kõverjoonelist trajektoori (näiteks mööda ringi), on mugavam arvestada mehaanilisi protsesse koordinaatsüsteemis, mis liigub koos selle objektiga. Just sellise liikuva koordinaatsüsteemi puhul kasutatakse telgede teisi nimetusi ja nende ühikuvektoreid. See on lihtsalt aktsepteeritud. Sel juhul on X-telg suunatud tangentsiaalselt trajektoorile punktis, kus Sel hetkel see objekt asub. Ja siis ei nimetata seda telge enam X-teljeks, vaid puutujateljeks ja selle ühikvektorit enam ei tähistata i, a τ . Y-telg on suunatud piki trajektoori kõverusraadiust (ringikujulise liikumise korral - ringi keskpunkti). Ja kuna raadius on puutujaga risti, nimetatakse telge normaalteljeks (risti ja normaal on sama asi). Selle telje ort ei ole enam tähistatud j, a n. Kolmas telg (endine Z) on risti kahe eelmise teljega. See on vektoriga binormaal b(Joonis 12, paremal). Muide, antud juhul ristkülikukujuline koordinaatsüsteem sageli nimetatakse seda "looduslikuks" või looduslikuks.

Selles õppetükis vaatleme veel kahte vektoritega tehtavat toimingut: vektorite ristkorrutis ja vektorite segakorrutis (vahetu link neile, kes seda vajavad). Pole hullu, vahel juhtub, et täielikuks õnneks lisaks vektorite punktkorrutis, on vaja rohkem ja rohkem. Selline on vektorsõltuvus. Võib jääda mulje, et oleme sattumas analüütilise geomeetria džunglisse. See ei ole tõsi. Kõrgema matemaatika selles osas on küttepuid üldiselt vähe, välja arvatud ehk piisavalt Pinocchio jaoks. Tegelikult on materjal väga levinud ja lihtne – vaevalt raskem kui sama skalaarkorrutis, isegi tüüpilised ülesanded jääb vähemaks. Peamine asi analüütilises geomeetrias, nagu paljud näevad või on juba näinud, on MITTE VEDA ARVUTUSTES. Korrake nagu loitsu ja olete õnnelik =)

Kui vektorid sädelevad kusagil kaugel, nagu välk silmapiiril, siis pole vahet, alusta õppetunniga Mannekeenide vektorid taastada või omandada algteadmised vektorite kohta. Ettevalmistumad lugejad saavad infoga tutvuda valikuliselt, püüdsin kokku koguda võimalikult täieliku näitekogu, mida sageli leidub praktiline töö

Mis teeb sind õnnelikuks? Kui olin väike, oskasin kahe ja isegi kolme palliga žongleerida. See tuli hästi välja. Nüüd pole üldse vaja žongleerida, kuna me kaalume ainult ruumivektorid, ja kahe koordinaadiga lamevektorid jäetakse välja. Miks? Nii need tegevused sündisid – vektor ja vektorite segakorrutis on defineeritud ja toimivad kolmemõõtmelises ruumis. Juba lihtsam!

Selles toimingus, samamoodi nagu skalaarkorrutis, kaks vektorit. Olgu need kadumatud tähed.

Tegevus ise tähistatud järgmisel viisil: . On ka teisi võimalusi, aga ma olen harjunud vektorite ristkorrutist niimoodi tähistama, nurksulgudes koos ristiga.

Ja kohe küsimus: kui sisse vektorite punktkorrutis kaasatud on kaks vektorit ja siin korrutatakse ka kaks vektorit, siis mis vahe on? Selge erinevus, esiteks TULEMUSES:

Vektorite skalaarkorrutise tulemus on ARV:

Vektorite ristkorrutise tulemus on VEKTOR: , ehk siis korrutame vektorid ja saame uuesti vektori. Suletud klubi. Tegelikult sellest ka operatsiooni nimi. Erinevates õppekirjandus tähistus võib ka erineda, kasutan tähte .

Ristkorrutise määratlus

Kõigepealt tuleb pildiga definitsioon, seejärel kommentaarid.

Definitsioon: risttoode mittekollineaarne vektorid, võetud selles järjekorras, nimetatakse VECTORiks, pikkus mis on arvuliselt võrdne rööpküliku pindalaga, ehitatud nendele vektoritele; vektor vektoritega ortogonaalne, ja on suunatud nii, et alus oleks õiges suunas:

Analüüsime definitsiooni luude kaupa, seal on palju huvitavat!

Seega võime esile tõsta järgmisi olulisi punkte:

1) Lähtevektorid, definitsiooni järgi tähistatud punaste nooltega mitte kollineaarne. Kollineaarsete vektorite juhtumit on asjakohane käsitleda veidi hiljem.

2) Võetud vektorid ranges järjekorras: – "a" korrutatakse arvuga "olla", mitte "olema" asemel "a". Vektori korrutamise tulemus on VECTOR , mis on tähistatud sinisega. Kui vektoreid korrutada vastupidises järjekorras, siis saame vektori, mis on võrdne pikkusega ja vastassuunas (karmiinpunane). See tähendab võrdsust .

3) Nüüd tutvume vektorkorrutise geomeetrilise tähendusega. See on väga oluline punkt! Sinise vektori (ja seega ka karmiinpunase vektori ) PIKKUS on arvuliselt võrdne vektoritele ehitatud rööpküliku PIIRKONNAga. Joonisel on see rööpkülik mustaks varjutatud.

Märge : joonis on skemaatiline ja loomulikult ei võrdu ristkorrutise nimipikkus rööpküliku pindalaga.

Tuletame meelde ühte geomeetrilistest valemitest: rööpküliku pindala on võrdne külgnevate külgede ja nendevahelise nurga siinuse korrutisega. Seetõttu kehtib eelneva põhjal vektorkorrutise PIKKUSE arvutamise valem:

Rõhutan, et valemis räägime vektori PIKKUSEST, mitte vektorist endast. Mis on praktiline tähendus? Ja tähendus on selline, et analüütilise geomeetria probleemide korral leitakse rööpküliku pindala sageli vektorkorrutise kontseptsiooni kaudu:

Saame teise olulise valemi. Rööpküliku diagonaal (punane punktiirjoon) jagab selle kaheks võrdne kolmnurk. Seetõttu saab vektoritele ehitatud kolmnurga pindala (punane varjutus) leida valemiga:

4) Mitte vähem kui oluline fakt on see, et vektor on vektoritega ortogonaalne, see tähendab, . Muidugi on ka vastupidise suunaga vektor (karmiinpunane nool) ortogonaalne algsete vektoritega .

5) Vektor on suunatud nii alus Sellel on õige orientatsiooni. Õppetunnis umbes üleminek uuele alusele Olen sellest üksikasjalikult rääkinud tasapinnaline orientatsioon, ja nüüd selgitame välja, mis on ruumi orientatsioon. Ma selgitan teile sõrmedel parem käsi . Vaimselt kombineerida nimetissõrm vektoriga ja keskmine sõrm vektoriga. Sõrmuse sõrm ja väike sõrm suruge peopessa. Tulemusena pöial - vektorkorrutis otsib üles. See on paremale suunatud alus (see on joonisel). Nüüd vaheta vektorid ( nimetis- ja keskmised sõrmed) mõnes kohas pöördub selle tulemusena pöial ümber ja vektorkorrutis vaatab juba alla. See on ka paremale suunatud alus. Võib-olla on teil küsimus: mis alusel on vasakpoolne orientatsioon? "Määrake" samad sõrmed vasak käsi vektorid ja saate vasakpoolse baasi ja vasakpoolse ruumi orientatsiooni (sel juhul asub pöial alumise vektori suunas). Piltlikult öeldes “väänavad” või orienteerivad need alused ruumi eri suundades. Ja seda kontseptsiooni ei tohiks pidada millekski kaugeks või abstraktseks - näiteks muudab kõige tavalisem peegel ruumi orientatsiooni ja kui "tõmbate peegeldunud objekti peeglist välja", siis üldiselt pole see võimalik ühendage see "originaaliga". Muide, tooge kolm sõrme peegli juurde ja analüüsige peegeldust ;-)

... kui hea on see, et sa sellest nüüd tead paremale ja vasakule orienteeritud alused, sest osade õppejõudude väited orientatsiooni muutumise kohta on kohutavad =)

Kollineaarsete vektorite vektorkorrutis

Definitsioon on üksikasjalikult välja töötatud, jääb üle välja selgitada, mis juhtub, kui vektorid on kollineaarsed. Kui vektorid on kollineaarsed, siis saab need asetada ühele sirgele ja ka meie rööpkülik “voldib” üheks sirgeks. Selliste ala, nagu matemaatikud ütlevad, degenereerunud rööpkülik on null. Sama tuleneb valemist - nulli ehk 180 kraadi siinus võrdub nulliga, mis tähendab, et pindala on null

Seega, kui , siis . Rangelt võttes on ristkorrutis ise võrdne nullvektoriga, kuid praktikas jäetakse see sageli tähelepanuta ja kirjutatakse, et see on lihtsalt võrdne nulliga.

erijuhtum on vektori ja iseenda ristkorrutis:

Ristkorrutist kasutades saab kontrollida kolmemõõtmeliste vektorite kollineaarsust ning analüüsime muuhulgas ka seda probleemi.

Praktiliste näidete lahendamiseks võib see osutuda vajalikuks trigonomeetriline tabel siit siinuste väärtuste leidmiseks.

Noh, teeme tuld:

Näide 1

a) Leia vektorite vektorkorrutise pikkus, kui

b) Leidke vektoritele ehitatud rööpküliku pindala, kui

Lahendus: Ei, see pole kirjaviga, muutsin tingimuse üksuste lähteandmed tahtlikult samaks. Sest lahenduste kujundus on erinev!

a) Vastavalt tingimusele on vaja leida pikkus vektor (vektori korrutis). Vastavalt vastavale valemile:

Vastus:

Kuna küsiti pikkuse kohta, siis vastuses märgime mõõtme - ühikud.

b) Vastavalt tingimusele on vaja leida ruut vektoritele ehitatud rööpkülik . Selle rööpküliku pindala on arvuliselt võrdne ristkorrutise pikkusega:

Vastus:

Pange tähele, et vektorkorrutise vastuses pole üldse juttu, meilt küsiti selle kohta figuuri piirkond, mõõde on vastavalt ruutühikud.

Vaatame alati, MIDA tingimus peab leidma, ja selle põhjal sõnastame selge vastama. See võib tunduda sõnasõnalisusena, kuid õpetajate hulgas on piisavalt literaliste ja suure tõenäosusega ülesanne tagastatakse ülevaatamiseks. Kuigi tegemist ei ole eriti pingutatud näpunäidetega – kui vastus on vale, siis jääb mulje, et inimene ei saa lihtsatest asjadest aru ja/või pole ülesande olemusest aru saanud. Seda hetke tuleks alati kontrolli all hoida, lahendades mis tahes ülesandeid kõrgemas matemaatikas ja ka teistes ainetes.

Kuhu kadus suur "en" täht? Põhimõtteliselt võiks selle täiendavalt lahenduse külge kinni jääda, aga rekordi lühendamiseks ma seda ei teinud. Loodan, et kõik saavad sellest aru ja tähistavad sama asja.

Populaarne näide sõltumatu lahendus:

Näide 2

Leidke vektoritele ehitatud kolmnurga pindala, kui

Vektorkorrutise kaudu kolmnurga pindala leidmise valem on toodud definitsiooni kommentaarides. Lahendus ja vastus tunni lõpus.

Praktikas on ülesanne tõesti väga levinud, kolmnurki saab üldiselt piinata.

Muude probleemide lahendamiseks vajame:

Vektorite ristkorrutise omadused

Oleme juba vaaginud mõnda vektorprodukti omadust, kuid lisan need sellesse loendisse.

Suvaliste vektorite ja suvalise arvu korral kehtivad järgmised omadused:

1) Teistes teabeallikates ei ole seda elementi atribuutides tavaliselt esile tõstetud, kuid see on väga oluline praktilises mõttes. Nii et las olla.

2) - vara on ka ülalpool juttu, vahel nimetatakse antikommutatiivsus. Teisisõnu, vektorite järjekord on oluline.

3) - kombinatsioon või assotsiatiivne vektorkorrutise seadused. Konstandid on kergesti eemaldatavad vektorkorrutise piiridest. Tõesti, mida nad seal teevad?

4) - levitamine või levitamine vektorkorrutise seadused. Ka sulgude avamisega pole probleeme.

Näitena kaaluge lühikest näidet:

Näide 3

Leia, kui

Lahendus: Tingimuse järgi on jällegi vaja leida vektorkorrutise pikkus. Maalime oma miniatuuri:

(1) Vastavalt assotsiatiivsetele seadustele võtame konstandid välja vektorkorrutise piiridest.

(2) Me võtame moodulist välja konstandi, samal ajal kui moodul “sööb” miinusmärgi. Pikkus ei saa olla negatiivne.

(3) Järgnev on selge.

Vastus:

On aeg puid tulle visata:

Näide 4

Arvutage vektoritele ehitatud kolmnurga pindala, kui

Lahendus: leidke valemi abil kolmnurga pindala . Probleem seisneb selles, et vektorid "ce" ja "te" on ise esitatud vektorite summadena. Siinne algoritm on standardne ja meenutab mõneti tunni näiteid nr 3 ja 4. Vektorite punktkorrutis. Selguse huvides jagame selle kolmeks etapiks:

1) Esimeses etapis väljendame vektorprodukti vektorkorrutise kaudu, tegelikult väljendada vektorit vektori kaudu. Pikkuse kohta pole veel sõnagi!

(1) Asendame vektorite avaldised.

(2) Kasutades distributsiooniseadusi, ava sulud polünoomide korrutamise reegli järgi.

(3) Kasutades assotsiatiivseid seadusi, võtame välja kõik konstandid väljaspool vektorkorrutisi. Vähese kogemuse korral saab toiminguid 2 ja 3 teha samaaegselt.

(4) Esimene ja viimane liige on meeldiva omaduse tõttu võrdsed nulliga (nullvektor). Teises terminis kasutame vektori korrutise antikommutatiivsuse omadust:

(5) Esitame sarnased terminid.

Selle tulemusel selgus, et vektor oli väljendatud vektori kaudu, mis oli see, mida oli vaja saavutada:

2) Teises etapis leiame meile vajaliku vektorkorrutise pikkuse. See toiming sarnaneb näitega 3:

3) Leidke vajaliku kolmnurga pindala:

Lahenduse etapid 2-3 võiks olla paigutatud ühele reale.

Vastus:

Vaadeldav probleem on üsna levinud kontrolltööd, siin on näide isetegemise lahendusest:

Näide 5

Leia, kui

Lühilahendus ja vastus tunni lõpus. Vaatame, kui tähelepanelik sa eelmisi näiteid uurides olid ;-)

Vektorite ristkorrutis koordinaatides

Valem on tõesti lihtne: determinandi ülemisele reale kirjutame koordinaatvektorid, teisele ja kolmandale reale “pakime” vektorite koordinaadid ja paneme ranges järjekorras- esiteks vektori "ve" koordinaadid, seejärel vektori "double-ve" koordinaadid. Kui vektoreid on vaja korrutada teises järjekorras, tuleb ka read vahetada:

Näide 10

Kontrollige, kas järgmised ruumivektorid on kollineaarsed:
a)
b)

Lahendus: Ühel väitel põhinev kinnitamine see õppetund: kui vektorid on kollineaarsed, siis on nende vektorkorrutis null (nullvektor): .

a) Leidke vektorkorrutis:

Seega ei ole vektorid kollineaarsed.

b) Leidke vektorkorrutis:

Vastus a) mitte kollineaarne, b)

Siin on võib-olla kogu põhiteave vektorite vektorkorrutise kohta.

See jaotis ei ole väga suur, kuna vektorite segakorrutise kasutamisel on vähe probleeme. Tegelikult sõltub kõik määratlusest, geomeetriline tähendus ja paar töövalemit.

Vektorite segakorrutis on kolme vektori korrutis:

Nii rivistusid nad nagu rong ja ootavad, nad ei jõua ära oodata, kuni välja arvutatakse.

Kõigepealt jälle definitsioon ja pilt:

Definitsioon: Segatoode mitte-tasapinnaline vektorid, võetud selles järjekorras, kutsutakse rööptahuka maht, mis on ehitatud nendele vektoritele, varustatud märgiga "+", kui alus on õige, ja märgiga "-", kui alus on vasakpoolne.

Teeme joonistamise. Meile nähtamatud jooned on joonistatud punktiirjoonega:

Sukeldume määratlusse:

2) Võetud vektorid kindlas järjekorras, see tähendab, et vektorite permutatsioon korrutises, nagu võite arvata, ei jää tagajärgedeta.

3) Enne geomeetrilise tähenduse kommenteerimist märgin ilmne fakt: vektorite segakorrutis on ARV: . Õppekirjanduses võib kujundus olla mõnevõrra erinev, varem tähistasin segatoodet läbi ja arvutuste tulemust tähega "pe".

Definitsiooni järgi segaprodukt on rööptahuka ruumala, ehitatud vektoritele (joonis on joonistatud punaste vektorite ja mustade joontega). See tähendab, et arv on võrdne antud rööptahuka helitugevusega.

Märge : Joonis on skemaatiline.

4) Ärme hakka jälle vaeva nägema aluse ja ruumi orientatsiooni mõistega. Lõpuosa tähendus on see, et helitugevusele saab lisada miinusmärgi. Lihtsate sõnadega, võib segatoode olla negatiivne: .

Definitsioonist tuleneb otseselt vektoritele ehitatud rööptahuka ruumala arvutamise valem.