Kuidas leida vektori projektsioon vektori suunale. Vektori projektsioon teljele

Sissejuhatus……………………………………………………………………………………3

1. Vektori ja skalaari väärtus………………………………………….4

2. Punkti projektsiooni, telje ja koordinaadi määratlus……………………5

3. Vektori projektsioon teljele………………………………………………………………6

4. Vektoralgebra põhivalem………………………………..8

5. Vektori projektsioonide mooduli arvutamine………………………9

Järeldus……………………………………………………………………………………11

Kirjandus……………………………………………………………………………………12

Sissejuhatus:

Füüsika on matemaatikaga lahutamatult seotud. Matemaatika annab füüsikale vahendid ja tehnikad omavaheliste seoste üldiseks ja täpseks väljendamiseks füüsikalised kogused, mis avastatakse eksperimendi või teoreetilise uurimistöö tulemusena.Füüsika põhiline uurimismeetod on ju eksperimentaalne. See tähendab, et teadlane avaldab arvutused mõõtmiste abil. Tähistab seost erinevate füüsikaliste suuruste vahel. Seejärel tõlgitakse kõik matemaatika keelde. Moodustatud matemaatiline mudel. Füüsika on teadus, mis uurib lihtsamaid ja samas ka üldisemaid seaduspärasusi. Füüsika ülesanne on selline pilt meie mõtetes luua füüsiline maailm, mis peegeldab kõige täielikumalt selle omadusi ja pakub selliseid seoseid mudeli elementide vahel, mis eksisteerivad elementide vahel.

Niisiis, füüsika loob meid ümbritseva maailma mudeli ja uurib selle omadusi. Kuid kõik mudelid on piiratud. Konkreetse nähtuse mudelite loomisel võetakse arvesse ainult neid omadusi ja seoseid, mis on antud nähtuste ringi jaoks hädavajalikud. See on teadlase kunst – valida kogu mitmekesisuse hulgast peamine.

Füüsilised mudelid on matemaatilised, kuid matemaatika ei ole nende aluseks. Füüsikaliste suuruste vahelised kvantitatiivsed seosed määratakse mõõtmiste, vaatluste ja eksperimentaalsete uuringute tulemusena ning neid väljendatakse ainult matemaatika keeles. Füüsikaliste teooriate konstrueerimiseks pole aga teist keelt.

1. Vektori ja skalaari tähendus.

Füüsikas ja matemaatikas on vektor suurus, mida iseloomustab selle arvväärtus ja suund. Füüsikas on palju olulisi suurusi, mis on vektorid, näiteks jõud, asend, kiirus, kiirendus, pöördemoment, impulss, elektri- ja magnetvälja tugevus. Neid saab võrrelda muude suurustega, nagu mass, maht, rõhk, temperatuur ja tihedus, mida saab kirjeldada tavaline number ja neid nimetatakse " skalaarid" .

Need kirjutatakse kas tavaliste tähtedega või numbritega (a, b, t, G, 5, −7....). Skalaarsuurused võivad olla positiivsed või negatiivsed. Samas võivad mõnel uurimisobjektil olla sellised omadused, mis täielik kirjeldus Mille jaoks ainult numbrilise mõõdu tundmine osutub ebapiisavaks, on vaja ka neid omadusi iseloomustada suuna järgi ruumis. Selliseid omadusi iseloomustavad vektorkogused (vektorid). Erinevalt skalaaridest on vektorid tähistatud paksude tähtedega: a, b, g, F, C....
Sageli tähistatakse vektorit tavalises (mittepaksus) kirjas oleva tähega, kuid selle kohal on nool:

Vektori moodulit ehk suunatud sirgjoonelõigu pikkust tähistatakse samade tähtedega nagu vektorit ennast, kuid tavalises (mitte paksus kirjas) ja ilma nooleta nende kohal või täpselt samamoodi vektorina (st paksus kirjas või tavalises kirjas, kuid noolega), kuid siis on vektori tähistus ümbritsetud vertikaalsete kriipsudega.
Vektor on keeruline objekt, mida iseloomustavad samaaegselt nii suurus kui ka suund.

Samuti puuduvad positiivsed ja negatiivsed vektorid. Kuid vektorid võivad olla üksteisega võrdsed. See on siis, kui näiteks a-l ja b-l on samad moodulid ja need on suunatud samas suunas. Sel juhul on märge tõene a= b. Samuti tuleb meeles pidada, et vektori sümbolile võib eelneda miinusmärk, näiteks - c, kuid see märk näitab sümboolselt, et vektoril -c on sama moodul kui vektoril c, kuid see on suunatud vastupidises suunas. suunas.

Vektorit -c nimetatakse vektori c vastandiks (või pöördvõrdeliseks).
Füüsikas täidetakse iga vektor konkreetse sisuga ja sama tüüpi vektorite (näiteks jõudude) võrdlemisel võivad ka nende rakenduspunktid olla olulised.

2. Punkti projektsiooni, telje ja koordinaadi määramine.

Telg- See on sirgjoon, millele on antud mingi suund.
Telge tähistatakse mõne tähega: X, Y, Z, s, t... Tavaliselt valitakse teljel (suvaliselt) punkt, mida nimetatakse alguspunktiks ja reeglina tähistatakse tähega O. Sellest punktist mõõdetakse vahemaad teiste meile huvipakkuvate punktideni.

Punkti projektsioon teljel on sellest punktist antud teljele tõmmatud risti alus. See tähendab, et punkti projektsioon teljele on punkt.

Punkti koordinaat antud teljel on arv, mille absoluutväärtus on võrdne telje lõigu pikkusega (valitud skaalal), mis asub telje alguspunkti ja punkti projektsiooni vahel sellele teljele. See arv võetakse plussmärgiga, kui punkti projektsioon asub telje suunas selle lähtepunktist ja miinusmärgiga, kui punkti projektsioon on vastupidises suunas.

3. Vektori projektsioon teljele.

Vektori projektsioon teljele on vektor, mis saadakse vektori skalaarprojektsiooni sellele teljele ja selle telje ühikvektori korrutamisel. Näiteks kui x on vektori a skalaarprojektsioon X-teljele, siis a x ·i on selle vektorprojektsioon sellele teljele.

Tähistame vektori projektsiooni samamoodi nagu vektorit ennast, kuid selle telje indeksiga, millele vektor projitseeritakse. Seega tähistame vektori a vektorprojektsiooni X-teljele kui x (paks täht, mis tähistab vektorit ja telje nime alamindeksit) või

Skalaarne projektsioon nimetatakse vektorit telje kohta number, mille absoluutväärtus on võrdne vektori alguspunkti ja lõpp-punkti projektsioonide vahele jääva teljelõigu pikkusega (valitud skaalal). Tavaliselt väljendi asemel skalaarprojektsioon nad lihtsalt ütlevad - projektsioon. Projektsioon on tähistatud sama tähega kui projitseeritud vektor (tavalises, mittepaksus kirjas), madalama indeksiga (reeglina) selle telje nimele, millele see vektor projitseeritakse. Näiteks kui vektor projitseeritakse X-teljele A, siis selle projektsioon on tähistatud x-ga. Sama vektori projekteerimisel teisele teljele, kui telg on Y, tähistatakse selle projektsiooni y-ga.

Projektsiooni arvutamiseks vektor teljel (näiteks X-teljel) on vaja lahutada alguspunkti koordinaat selle lõpp-punkti koordinaadist, st.

a x = x k − x n.

Vektori projektsioon teljele on arv. Lisaks võib projektsioon olla positiivne, kui väärtus x k on suurem kui väärtus x n,

negatiivne, kui väärtus x k on väiksem kui väärtus x n

ja võrdne nulliga, kui x k võrdub x n.

Vektori projektsiooni teljele saab leida ka teades vektori moodulit ja nurka, mille see selle teljega moodustab.

Jooniselt on selge, et a x = a Cos α

See tähendab, et vektori projektsioon teljele on võrdne vektori mooduli ja telje suuna ja vahelise nurga koosinuse korrutisega. vektori suund. Kui nurk on terav, siis
Cos α > 0 ja a x > 0 ning kui nürinurkne, siis nürinurga koosinus on negatiivne ning vektori projektsioon teljele on samuti negatiivne.

Teljest vastupäeva mõõdetud nurki loetakse positiivseks ja piki telge mõõdetud nurki negatiivseks. Kuna aga koosinus on paarisfunktsioon ehk Cos α = Cos (− α), siis projektsioonide arvutamisel saab nurki lugeda nii päri- kui vastupäeva.

Vektori projektsiooni leidmiseks teljele tuleb selle vektori moodul korrutada telje suuna ja vektori suuna vahelise nurga koosinusega.

4. Vektoralgebra põhivalem.

Projekteerime vektori a ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi X- ja Y-telgedele. Leiame vektori a vektorprojektsioonid nendel telgedel:

a x = a x ·i ja y = a y ·j.

Kuid vastavalt vektori liitmise reeglile

a = a x + a y.

a = a x i + a y j.

Seega väljendasime vektorit selle projektsioonide ja ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi vektorite (või selle vektorprojektsioonide) kaudu.

Vektorprojektsioone a x ja a y nimetatakse vektori a komponentideks või komponentideks. Meie sooritatud toimingut nimetatakse vektori lagundamiseks piki ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi telgesid.

Kui vektor on antud ruumis, siis

a = a x i + a y j + a z k.

Seda valemit nimetatakse vektoralgebra põhivalemiks. Muidugi võib seda kirjutada ka nii.

Tähistame a-ga vektori ja projektsioonitelje vahelist nurka ning edastame vektori

nii et selle algus langeb kokku mõne punktiga teljel. Kui vektori komponendi ja telje suunad on samad, on nurk a terav ja nagu on näha jooniselt fig. 24, a,

kus a on vektori a moodul. Kui vektori ja telje suunad on vastassuunalised, siis projektsiooni märki arvestades saame (vt joon. 24, b)

st eelmine avaldis (peate meeles pidama, et sel juhul on nurk a nüri ja

Seega on vektori projektsioon teljele võrdne vektori mooduli ja vektori ja telje vahelise nurga koosinuse korrutisega:

Lisaks sellele, millel on eranditult oluline valemid, vektori projektsiooniks teljele, võite anda teise väga lihtsa valemi. Määrame telje alguspunkti ja valime vektorite skaalale ühise skaala. Teatavasti on punkti koordinaat arv, mis väljendab valitud skaalal kaugust telje alguspunktist kuni antud punkti projektsioonini teljele ja see arv võetakse plussmärgiga, kui punkti projektsioon eemaldatakse lähtepunktist telje suunas ja miinusmärgiga muul juhul. Näiteks punkti A koordinaat (joonis 23, b) on märgiga arv, mis väljendab lõigu pikkust, ja punkti B koordinaat märgiga arv, mis määrab segmendi pikkuse (me teeme seda ei peatu sellel

täpsemalt, eeldades, et lugeja tunneb punkti koordinaatide mõistet algmatemaatika kursusest).

Tähistagem vektori alguse ja lõpu koordinaadiga x-teljel. Seejärel, nagu on näha jooniselt fig. 23, ah, me saame

Vektori projektsioon x-teljele on võrdne

või, võttes arvesse eelnevaid võrdsusi,

On lihtne näha, et sellel valemil on üldine iseloom ja ei sõltu vektori asukohast telje ja alguspunkti suhtes. Tõepoolest, mõelge joonisel fig. 23, sünd. Punktide koordinaatide määratlusest ja vektori projektsioonist saame järjestikku

(lugeja saab hõlpsasti kontrollida valemi kehtivust ja vektori erinevas asukohas telje ja alguspunkti suhtes).

(6.11) järeldub, et vektori projektsioon teljele on võrdne vektori lõpu ja alguse koordinaatide vahega.

Vektori projektsiooni arvutamine teljele toimub kõige sagedamini erinevaid küsimusi. Seetõttu on vaja arendada projektsioonide arvutamise oskusi. Võite märkida mõned tehnikad, mis hõlbustavad prognooside arvutamise protsessi.

1. Vektori projektsiooni märgi teljele saab reeglina määrata otse jooniselt ja projektsioonimooduli saab arvutada valemiga

kus on teravnurk vektori ja projektsioonitelje vahel - kas ja kui See tehnika, ilma midagi põhimõtteliselt uut kasutusele võtmata, on mõnevõrra

hõlbustab projektsiooni arvutamist, kuna see ei nõua trigonomeetrilisi teisendusi.

2. Kui teil on vaja määrata vektori projektsioonid kahele vastastikku risti asetsevale teljele x ja y (eeldatakse, et vektor asub nende telgede tasapinnal) ja on teravnurk vektori ja x-telje vahel, siis

(projektsioonide märk määratakse jooniselt).

Näide. Leidke joonisel fig. 25. Jooniselt on näha, et mõlemad projektsioonid on negatiivsed. Seega

3. Mõnikord rakendatakse kahekordse disaini reeglit, mis on järgmine. Olgu antud vektor ja tasapinnal asetsev telg Kukkume vektori otsast ristsuunad tasapinnale ja sirgele ning seejärel ühendame ristsirgete alused sirge lõiguga (joonis 26). Tähistame vektori ja tasandi vahelist nurka nurga ja poolt vahel ning nurka vektori ja projektsioonitelje vahel a-ga. Kuna nurk on õige (konstruktsiooni järgi), siis

Telg on suund. See tähendab, et projektsioon teljele või suunatud joonele loetakse samaks. Projektsioon võib olla algebraline või geomeetriline. Geomeetrilises mõttes mõistetakse vektori projektsiooni teljele kui vektorit ja algebraliselt arvuna. See tähendab, et kasutatakse mõisteid vektori projektsioon teljele ja vektori arvprojektsioon teljele.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kui meil on L-telg ja nullist erinev vektor A B →, siis saame konstrueerida vektori A 1 B 1 ⇀, mis tähistab selle punktide A 1 ja B 1 projektsioone.

A 1 B → 1 on vektori A B → projektsioon punktile L.

Definitsioon 1

Vektori projektsioon teljele on vektor, mille algus ja lõpp on alguse ja lõpu projektsioonid antud vektor. n p L A B → → on tavaks tähistada projektsiooni A B → L-le. Projektsiooni konstrueerimiseks punktile L langetatakse perpendikulaarid punktile L.

Näide 1

Näide vektorprojektsioonist teljele.

Koordinaattasandil O x y on määratud punkt M 1 (x 1, y 1). Punkti M 1 raadiusvektori kujutamiseks on vaja konstrueerida projektsioonid punktidele O x ja O y. Saame vektorite (x 1, 0) ja (0, y 1) koordinaadid.

Kui räägime a → projektsioonist nullist erinevale b → või a → projektsioonile suunale b → , siis peame silmas a → projektsiooni teljele, millega suund b → ühtib. A → projektsioon b → defineeritud sirgele on tähistatud n p b → a → → . On teada, et kui nurka a → ja b → , võib n p b → a → → ja b → pidada kaassuunaliseks. Juhul, kui nurk on nüri, on n p b → a → → ja b → vastassuunalised. Perpendikulaarsuse olukorras a → ja b → ning a → on null, on a → projektsioon suunas b → nullvektor.

Vektori teljele projektsiooni arvkarakteristikuks on vektori arvprojektsioon antud teljele.

2. definitsioon

Vektori arvprojektsioon teljele on arv, mis on võrdne antud vektori pikkuse ja antud vektori ja telje suuna määrava vektori vahelise nurga koosinuse korrutisega.

A B → arvuline projektsioon punktile L on tähistatud n p L A B → ja a → punktile b → - n p b → a → .

Valemi põhjal saame n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , kust a → on vektori a → pikkus, a ⇀ , b → ^ on vektorite vaheline nurk a → ja b → .

Saame arvprojektsiooni arvutamise valemi: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Seda saab kasutada teadaolevate pikkuste a → ja b → ning nendevahelise nurga korral. Valem on rakendatav teadaolevate koordinaatide a → ja b → jaoks, kuid on olemas ka lihtsustatud vorm.

Näide 2

Leia a → arvuline projektsioon sirgele suunas b →, mille pikkus a → on 8 ja nendevaheline nurk on 60 kraadi. Tingimuse järgi on meil a ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 °. Niisiis, asendame arvväärtusi valemisse n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

Vastus: 4.

Tuntud cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → korral on meil a → , b → kui skalaarkorrutis a → ja b → . Järgides valemist n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , leiame piki vektorit b → suunatud arvprojektsiooni a → ja saame n p b → a → = a → , b → b → . Valem on samaväärne lõigu alguses antud määratlusega.

3. definitsioon

Vektori a → arvprojektsioon teljele, mis kattub suunaga b → on vektorite a → ja b → skalaarkorrutise suhe pikkusesse b → . Valem n p b → a → = a → , b → b → on rakendatav a → arvulise projektsiooni leidmiseks sirgele, mis ühtib suunaga b → , mille koordinaadid on teada a → ja b →.

Näide 3

Antud b → = (- 3 , 4) . Leidke arvprojektsioon a → = (1, 7) punktile L.

Lahendus

Koordinaattasandil n p b → a → = a → , b → b → on kujul n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2, kusjuures a → = (a x , a y ) ja b → = b x , b y . Vektori a → arvulise projektsiooni leidmiseks L-teljele on vaja: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · (- 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

Vastus: 5.

Näide 4

Leidke a → projektsioon punktile L, mis langeb kokku suunaga b →, kus on a → = - 2, 3, 1 ja b → = (3, - 2, 6). Kolmemõõtmeline ruum on täpsustatud.

Lahendus

Arvestades a → = a x , a y , a z ja b → = b x , b y , b z , arvutame skalaarkorrutise: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . Pikkus b → leitakse valemi b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 abil. Sellest järeldub, et arvprojektsiooni a → määramise valem on järgmine: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Asendage arvväärtused: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Vastus: - 6 7.

Vaatame seost a → L-l ja projektsiooni a → pikkuse vahel L-l. Joonistame telje L, lisades punktist L punktist a → ja b →, mille järel tõmbame risti otsast a → punktile L ja projektsiooni punktile L. Kujutisel on 5 variatsiooni:

Esiteks juhtum a → = n p b → a → → tähendab a → = n p b → a → → , seega n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → a → → .

Teiseks juhtum eeldab n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → kasutamist, mis tähendab n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Kolmandaks juhtum selgitab, et kui n p b → a → → = 0 → saame n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0, siis n p b → a → → = 0 ja n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

Neljandaks juhtum näitab n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , järgneb n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^) = - n p b → a → → .

Viiendaks juhtum näitab a → = n p b → a → → , mis tähendab a → = n p b → a → → , seega on meil n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180° = - a → = - n p b → a → .

4. definitsioon

Vektori a → arvprojektsioon L-teljele, mis on suunatud samamoodi nagu b →, on järgmise väärtusega:

• vektori a → projektsiooni pikkus punktile L, eeldusel, et nurk a → ja b → vahel on väiksem kui 90 kraadi või võrdne 0-ga: n p b → a → = n p b → a → → tingimusega 0 ≤ (a → , b →) ^< 90 ° ;
• null tingimusel, et a → ja b → on risti: n p b → a → = 0, kui (a → , b → ^) = 90 °;
• projektsiooni a → pikkus punktile L, korrutatuna -1-ga, kui vektorite a → ja b → nüri- või sirgnurk on olemas: n p b → a → = - n p b → a → → tingimusega 90 °< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Näide 5

Arvestades projektsiooni a → pikkust L-le, võrdub 2. Leidke arvprojektsioon a → eeldusel, et nurk on 5 π 6 radiaani.

Lahendus

Tingimusest on selge, et see nurk on nüri: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Vastus: - 2.

Näide 6

Antud tasapind O x y z vektori pikkusega a → on võrdne 6 3, b → (- 2, 1, 2) nurgaga 30 kraadi. Leidke projektsiooni a → koordinaadid L-teljele.

Lahendus

Esiteks arvutame vektori a →: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 arvprojektsiooni. .

Tingimuse järgi on nurk terav, siis arvprojektsioon a → = vektori a → projektsiooni pikkus: n p L a → = n p L a → → = 9. See juhtum näitab, et vektorid n p L a → → ja b → on ühiselt suunatud, mis tähendab, et on olemas arv t, mille võrdsus on tõene: n p L a → → = t · b → . Siit näeme, et n p L a → → = t · b → , mis tähendab, et leiame parameetri t väärtuse: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Siis n p L a → → = 3 · b → vektori a → projektsiooni koordinaatidega L-teljele, mis on võrdne b → = (- 2 , 1 , 2) , kus on vaja väärtused korrutada 3. Meil ​​on n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . Vastus: (- 6, 3, 6).

On vaja korrata varem õpitud teavet vektorite kollineaarsuse tingimuse kohta.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter

Pr a b = |b|cos(a,b) või

Kus a b on vektorite skalaarkorrutis, |a| - vektori a moodul.

Juhised. Vektori Pr a b projektsiooni leidmiseks võrgus tuleb määrata vektorite a ja b koordinaadid. Sel juhul saab vektori määrata tasapinnal (kaks koordinaati) ja ruumis (kolm koordinaati). Saadud lahust hoitakse Wordi fail. Kui vektorid on määratud punktide koordinaatide kaudu, peate kasutama seda kalkulaatorit.

Vektorprojektsioonide klassifikatsioon

Projektsioonide tüübid definitsioonivektori projektsiooni järgi

Projektsioonide tüübid koordinaatsüsteemi järgi

Vektorprojektsiooni omadused

1. Vektori geomeetriline projektsioon on vektor (omab suunda).
2. Vektori algebraline projektsioon on arv.

Vektorprojektsiooni teoreemid

Pr a b = |b|cos(a,b)

Vektorprojektsioonide tüübid

1. projektsioon OX-teljele.
2. projektsioon OY teljele.
3. projektsioon vektorile.

Projektsioon OX-teljel	Projektsioon OY teljel	Projektsioon vektorisse
Kui vektori A’B’ suund langeb kokku OX-telje suunaga, siis on vektori A’B’ projektsioon positiivse märgiga.	Kui vektori A’B’ suund langeb kokku OY telje suunaga, siis on vektori A’B’ projektsioon positiivse märgiga.	Kui vektori A’B’ suund langeb kokku vektori NM suunaga, siis on vektori A’B’ projektsioon positiivse märgiga.
Kui vektori suund on vastupidine OX-telje suunale, siis on vektori A’B projektsioon negatiivne märk.	Kui vektori A’B’ suund on vastupidine OY telje suunale, siis vektori A’B’ projektsioon on negatiivse märgiga.	Kui vektori A’B’ suund on vastupidine vektori NM suunale, siis on vektori A’B’ projektsioon negatiivse märgiga.
Kui vektor AB on paralleelne OX-teljega, siis vektori A’B’ projektsioon on võrdne vektori AB absoluutväärtusega.	Kui vektor AB on paralleelne OY-teljega, siis on vektori A’B’ projektsioon võrdne vektori AB absoluutväärtusega.	Kui vektor AB on paralleelne vektoriga NM, siis on vektori A’B’ projektsioon võrdne vektori AB absoluutväärtusega.
Kui vektor AB on risti teljega OX, siis projektsioon A’B’ võrdub nulliga (nullvektor).	Kui vektor AB on risti OY-teljega, siis projektsioon A’B’ on võrdne nulliga (nullvektor).	Kui vektor AB on risti vektoriga NM, siis projektsioon A’B’ on võrdne nulliga (nullvektor).

1. Küsimus: Kas vektori projektsioonil võib olla negatiivne märk? Vastus: Jah, projektsioonivektor võib olla negatiivne. Sel juhul on vektoril vastupidine suund (vaadake, kuidas OX-telg ja AB vektor on suunatud)
2. Küsimus: kas vektori projektsioon võib ühtida vektori absoluutväärtusega? Vastus: Jah, saab. Sel juhul on vektorid paralleelsed (või asuvad samal sirgel).
3. Küsimus: kas vektori projektsioon võib olla võrdne nulliga (nullvektor). Vastus: Jah, saab. Sel juhul on vektor vastava teljega (vektoriga) risti.

Näide 1. Vektor (joonis 1) moodustab OX-teljega 60° nurga (seda määrab vektor a). Kui OE on skaalaühik, siis |b|=4, seega .

Tõepoolest, vektori pikkus (geomeetriline projektsioon b) on võrdne 2-ga ja suund langeb kokku OX-telje suunaga.

Näide 2. Vektor (joonis 2) moodustab OX-teljega (vektoriga a) nurga (a,b) = 120 o. Pikkus |b| vektor b on võrdne 4-ga, seega pr a b=4·cos120 o = -2.

Tõepoolest, vektori pikkus on 2 ja suund on vastupidine telje suunale.

ja teljel või mõnel muul vektoril on selle geomeetrilise projektsiooni ja arvulise (või algebralise) projektsiooni mõisted. Geomeetrilise projektsiooni tulemuseks on vektor ja algebralise projektsiooni tulemuseks mittenegatiivne reaalarv. Kuid enne nende mõistete juurde asumist meenutagem vajalikku teavet.

Eelinfo

Põhimõiste on vektori enda mõiste. Määratluse tutvustamiseks geomeetriline vektor Tuletagem meelde, mis on segment. Tutvustame järgmist määratlust.

Definitsioon 1

Lõik on sirge osa, millel on punktide kujul kaks piiri.

Segmendil võib olla 2 suunda. Suuna tähistamiseks nimetame lõigu ühte piiri selle alguseks ja teist piiri selle lõpuks. Suund näidatakse segmendi algusest lõpuni.

2. definitsioon

Vektor või suunatud segment on lõik, mille puhul on teada, millist lõigu piiridest peetakse alguseks ja millist selle lõpuks.

Nimetus: kahe tähega: $\overline(AB)$ – (kus $A$ on selle algus ja $B$ on selle lõpp).

Ühe väikese tähega: $\overline(a)$ (joon. 1).

Tutvustame veel mõnda vektori mõistega seotud mõistet.

3. definitsioon

Kaks nullist erinevad vektorid nimetame neid kollineaarseteks, kui nad asuvad samal sirgel või üksteisega paralleelsetel joontel (joonis 2).

4. definitsioon

Nimetame kahte nullist erinevat vektorit kaassuunalisteks, kui need vastavad kahele tingimusele:

1. Need vektorid on kollineaarsed.
2. Kui need on suunatud ühes suunas (joon. 3).

Märkus: $\overline(a)\overline(b)$

Definitsioon 5

Me nimetame kahte nullist erinevat vektorit vastassuunas, kui need vastavad kahele tingimusele:

1. Need vektorid on kollineaarsed.
2. Kui need on suunatud eri suundades (joon. 4).

Tähistus: $\overline(a)↓\overline(d)$

Definitsioon 6

Vektori $\overline(a)$ pikkus on lõigu $a$ pikkus.

Märkus: $|\overline(a)|$

Liigume edasi kahe vektori võrdsuse määramise juurde

Definitsioon 7

Me nimetame kahte vektorit võrdseks, kui need vastavad kahele tingimusele:

1. Need on samasuunalised;
2. Nende pikkused on võrdsed (joon. 5).

Geomeetriline projektsioon

Nagu me varem ütlesime, on geomeetrilise projektsiooni tulemuseks vektor.

Definitsioon 8

Vektori $\overline(AB)$ geomeetriline projektsioon teljele on vektor, mis saadakse järgmiselt: Sellele teljele projitseeritakse vektori $A$ alguspunkt. Saame punkti $A"$ – soovitud vektori algus. Vektori $B$ lõpp-punkt projitseeritakse sellele teljele. Saame punkti $B"$ – soovitud vektori lõpp. Vektor $\overline(A"B")$ on soovitud vektor.

Mõelgem probleemile:

Näide 1

Ehitada geomeetriline projektsioon$\overline(AB)$ teljele $l$, nagu on näidatud joonisel 6.

Joonestame punktist $A$ teljega $l$ risti, millele saame punkti $A"$ Järgmiseks joonestame punktist $B$ telje $l$ risti, saame punkti $B "$ peal (joonis 7).