Tõenäosuse klassikalised, statistilised ja geomeetrilised definitsioonid. Kokkuvõte: tõenäosuse statistiline määramine

Sest praktiline tegevus sündmusi tuleb osata võrrelda nende toimumise võimalikkuse astme järgi. Vaatleme klassikalist juhtumit. Urnis on 10 palli, neist 8 valge, 2 musta. Ilmselgelt on sündmusel "urnist tõmmatakse valge pall" ja sündmusel "urnist tõmmatakse must pall" erineva toimumisastmega. Seetõttu on sündmuste võrdlemiseks vaja teatud kvantitatiivset mõõdikut.

Sündmuse toimumise võimalikkuse kvantitatiivne mõõt on tõenäosus . Sündmuse tõenäosuse enim kasutatud definitsioonid on klassikalised ja statistilised.

Klassikaline määratlus tõenäosus on seotud soodsa tulemuse mõistega. Vaatame seda üksikasjalikumalt.

Olgu mõne testi tulemused tervikliku sündmuste rühma ja on võrdselt võimalikud, s.t. kordumatult võimalik, kokkusobimatu ja võrdselt võimalik. Selliseid tulemusi nimetatakse elementaarsed tulemused, või juhtudel. Öeldakse, et test taandub sellele juhtumi skeem või " urni skeem", sest Sellise testi mis tahes tõenäosusprobleemi saab asendada samaväärse probleemiga erinevat värvi urnide ja kuulidega.

Tulemust nimetatakse soodne sündmus A, kui selle juhtumi esinemine toob kaasa sündmuse toimumise A.

Klassikalise määratluse järgi sündmuse tõenäosus A võrdub sellele sündmusele soodsate tulemuste arvu ja tulemuste koguarvu suhtega, st.

Kus P(A)- sündmuse tõenäosus A; m– sündmusele soodsate juhtumite arv A; n– juhtumite koguarv.

Näide 1.1. Täringu viskamisel on kuus võimalikku tulemust: 1, 2, 3, 4, 5, 6 punkti. Kui suur on tõenäosus saada paarisarv punkte?

Lahendus. Kõik n= 6 tulemust moodustavad tervikliku sündmuste rühma ja on võrdselt võimalikud, s.t. kordumatult võimalik, kokkusobimatu ja võrdselt võimalik. Sündmust A – “paarisarvu punktide ilmumine” – soosib 3 tulemust (juhtumit) – 2, 4 või 6 punkti kaotus. Kasutades sündmuse tõenäosuse klassikalist valemit, saame

P(A) = = . ◄

Sündmuse tõenäosuse klassikalise määratluse põhjal märgime selle omadused:

1. Iga sündmuse tõenäosus jääb nulli ja ühe vahele, s.o.

0 ≤ R(A) ≤ 1.

2. Usaldusväärse sündmuse tõenäosus on võrdne ühega.

3. Võimatu sündmuse tõenäosus on null.

Nagu varem öeldud, on tõenäosuse klassikaline definitsioon rakendatav ainult nende sündmuste puhul, mis võivad tekkida testide tulemusena, millel on võimalike tulemuste sümmeetria, st. taandatav juhtumite mustrile. Siiski on suur hulk sündmusi, mille tõenäosust ei saa klassikalise definitsiooni abil välja arvutada.

Näiteks kui eeldada, et münt on lapik, siis on ilmne, et sündmusi “vapi ilmumine” ja “peade ilmumine” ei saa pidada võrdselt võimalikuks. Seetõttu ei ole klassikalise skeemi järgi tõenäosuse määramise valem antud juhul rakendatav.

Sündmuste tõenäosuse hindamiseks on aga veel üks lähenemisviis, mis põhineb sellel, kui sageli antud sündmus läbiviidud katsetes aset leiab. Sel juhul kasutatakse tõenäosuse statistilist määratlust.

Statistiline tõenäosussündmus A on selle sündmuse esinemise suhteline sagedus (sagedus) n läbiviidud katses, s.o.

,

(1.2)

Kus P*(A)– sündmuse statistiline tõenäosus A; w(A)– sündmuse suhteline sagedus A; m– katsete arv, mille käigus sündmus aset leidis A; n– testide koguarv.

Erinevalt matemaatiline tõenäosus P(A), mida peetakse klassikalises määratluses, statistiline tõenäosus P*(A) on omadus kogenud, eksperimentaalne. Teisisõnu sündmuse statistiline tõenäosus A on arv, mille ümber suhteline sagedus stabiliseerub (määratakse) w(A) samadel tingimustel tehtavate katsete arvu piiramatu suurenemisega.

Näiteks kui nad ütlevad laskuri kohta, et ta tabab sihtmärki tõenäosusega 0,95, tähendab see, et sadadest laskudest, mille ta lasi teatud tingimustel (sama sihtmärk samal kaugusel, sama vintpüss jne). ), on edukaid keskmiselt umbes 95. Loomulikult ei saa iga saja kohta 95 õnnestunud lööki, mõnikord on neid vähem, mõnikord rohkem, kuid keskmiselt jääb see tabamusprotsent samadel tingimustel mitu korda kordades muutumatuks. Arv 0,95, mis on laskja oskuse näitaja, on tavaliselt väga stabiilne, st. tabamuste protsent enamikul võtetel on antud laskuri puhul peaaegu sama, vaid harvadel juhtudel erineb see keskmisest väärtusest oluliselt.

Teine klassikalise tõenäosuse definitsiooni puudus ( 1.1 ) piirab selle kasutamist, et see eeldab piiratud arvu võimalikke testitulemusi. Mõnel juhul saab selle puuduse kasutamisega üle saada geomeetriline määratlus tõenäosused, s.t. punkti langemise tõenäosuse leidmine teatud piirkonda (lõigu, tasandi osa jne).

Laske lame kuju g moodustab osa lame figuur G(joonis 1.1). Sobivad G juhuslikult visatakse täpp. See tähendab, et kõik piirkonna punktid G"võrdsed õigused" seoses sellega, kas visatud juhuslik punkt tabab seda. Eeldusel, et sündmuse tõenäosus A– visatud punkt tabab kuju g- on võrdeline selle joonise pindalaga ega sõltu selle asukohast G, ega vormist g, leiame

Riis. 1.1 Joonis 1.2

Näide 1.2. Kaks õpilast leppisid kokku, et kohtuvad kindlas kohas pärastlõunal kella 10-11 vahel. Esimene saabuja ootab teist inimest 15 minutit ja lahkub siis. Leidke kohtumise toimumise tõenäosus, kui iga õpilane valib juhuslikult oma saabumise aja vahemikus 10-11.

Lahendus. Tähistame esimese ja teise õpilase teatud kohta saabumise hetked vastavalt tähisega x Ja y. Ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis Oxy Võtame lähtepunktiks 10 tundi ja mõõtühikuks 1 tund. Tingimuse järgi 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y≤ 1. Need võrratused on rahuldatud ruudu mis tahes punkti koordinaatidega OKLM mille külg on võrdne 1-ga (joonis 1.2). Sündmus A– kahe õpilase kohtumine – toimub siis, kui vahe on x ja mitte yületab 1/4 tundi (absoluutväärtuses), s.o. | y – x| ≤ 0,25.

Selle ebavõrdsuse lahendus on riba x – 0,25 ≤ y ≤ x+ 0,25, mis on ruudu sees G tähistab varjutatud ala g. Vastavalt valemile (1.3)

Klassikaline tõenäosuse määratlus.

Erinevad tõenäosuse definitsioonid.

Sündmuste algebra.

Sündmuste kvantitatiivseks võrdlemiseks nende võimalikkuse astme järgi on ilmselgelt vaja iga sündmusega seostada teatud arv, mida võimalikum on sündmus, seda suurem arv. Nimetame seda numbrit sündmuse tõenäosuseks. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, sündmuse tõenäosus on selle sündmuse objektiivse võimalikkuse määra numbriline mõõt.

Klassikaliseks tuleks pidada esimest tõenäosuse definitsiooni, mis tekkis hasartmängude analüüsist ja mida esialgu rakendati intuitiivselt.

Klassikaline tõenäosuse määramise meetod põhineb võrdselt võimalike ja kokkusobimatute sündmuste kontseptsioonil, mis on antud kogemuse tulemused ja moodustavad tervikliku kokkusobimatute sündmuste rühma.

Enamik lihtne näide võrdselt võimalikud ja kokkusobimatud sündmused, mis moodustavad tervikliku rühma, on ühe või teise palli ilmumine urnist, mis sisaldab mitut ühesuuruse, kaalu ja muude käegakatsutavate omadustega, ainult värvi poolest erinevat palli, mis on enne eemaldamist põhjalikult segatud.

Sel põhjusel taandub test, mille tulemused moodustavad kokkusobimatute ja võrdselt võimalike sündmuste täieliku rühma, urnide mustriks või juhtumi skeem, või sobib klassikalisesse skeemi.

Nimetame lihtsalt võrdselt võimalikke ja kokkusobimatuid sündmusi, mis moodustavad kogu rühma juhtudel või võimalused. Lisaks võivad igas katses koos juhtumitega ette tulla keerukamaid sündmusi.

Näide: Täringu viskamisel võime koos juhtumitega A i - ülemise külje i-punktide kaotamine arvestada selliseid sündmusi nagu B - paarisarvu punktide kaotus, C - punktide arvu kaotamine. need on kolme kordne...

Seoses iga eksperimendi ajal esineda võiva sündmusega jagatakse juhtumid soodne, mille puhul see sündmus aset leiab, ja ebasoodne, mille puhul sündmust ei toimu. Eelmises näites eelistavad sündmust B juhtumid A 2, A 4, A 6; sündmus C – juhtumid A 3, A 6.

Klassikaline tõenäosus teatud sündmuse toimumist nimetatakse tavaliselt selle sündmuse toimumiseks soodsate juhtumite arvu suhteks võrdselt võimalike, kokkusobimatute juhtumite koguarvuga, mis moodustavad antud katses kogu rühma:

Kus P(A)– sündmuse A toimumise tõenäosus; m- sündmusele A soodsate juhtumite arv; n- juhtumite koguarv.

Näited:

1) (vt ülaltoodud näidet) P(B)=, P(C)=.

2) Urnis on 9 punast ja 6 sinist palli. Leidke tõenäosus, et üks või kaks juhuslikult tõmmatud palli muutuvad punaseks.

A- juhuslikult tõmmatud punane pall:

m=9, n=9+6=15, P(A)=

B- kaks juhuslikult tõmmatud punast palli:

Klassikalisest tõenäosuse määratlusest tuleneb järgmine: omadused(Näita ennast):

1) võimatu sündmuse tõenäosus on 0;

2) Usaldusväärse sündmuse tõenäosus on 1;

3) mis tahes sündmuse tõenäosus jääb 0 ja 1 vahele;

4) sündmusele A vastupidise sündmuse tõenäosus,

Klassikaline tõenäosuse määratlus eeldab, et katse tulemuste arv on piiratud. Praktikas on väga sageli teste, mille võimalike juhtude arv on lõpmatu. Samal ajal, nõrk pool Klassikaline määratlus on see, et väga sageli on võimatu testi tulemust esitada elementaarsete sündmuste kogumi kujul. Veelgi keerulisem on välja tuua põhjuseid, miks testi elementaarseid tulemusi peetakse võrdselt võimalikuks. Tavaliselt järeldatakse elementaarsete testitulemuste võimalikkus sümmeetria kaalutlustest. Selliseid ülesandeid tuleb praktikas ette aga väga harva. Nendel põhjustel kasutatakse koos tõenäosuse klassikalise definitsiooniga ka teisi tõenäosuse määratlusi.

Statistiline tõenäosus sündmust A nimetatakse tavaliselt selle sündmuse suhteliseks esinemissageduseks tehtud katsetes:

kus on sündmuse A toimumise tõenäosus;

– sündmuse A suhteline esinemissagedus;

Katsete arv, mille käigus sündmus A ilmnes;

Katsete koguarv.

Erinevalt klassikalisest tõenäosusest on statistiline tõenäosus eksperimentaalne tunnus.

Näide: Partii toodete kvaliteedi kontrollimiseks valiti juhuslikult 100 toodet, mille hulgast 3 toodet osutus defektseks. Määrake abielu tõenäosus.

.

Statistiline tõenäosuse määramise meetod on rakendatav ainult nende sündmuste puhul, millel on järgmised omadused:

· Vaadeldavad sündmused peaksid olema ainult nende testide tulemused, mida saab samadel tingimustel korrata piiramatu arv kordi.

· Sündmustel peab olema statistiline stabiilsus (või suhteliste sageduste stabiilsus). See tähendab, et sisse erinevad sarjad testide korral muutub sündmuse suhteline sagedus veidi.

· Sündmuse A tulemuseks olevate katsete arv peab olema piisavalt suur.

Seda, et klassikalisest definitsioonist tulenevad tõenäosuse omadused säilivad ka tõenäosuse statistilises definitsioonis, on lihtne kontrollida.

Tõenäosuse statistiline määratlus. - mõiste ja liigid. Kategooria "Tõenäosuse statistiline määramine" klassifikatsioon ja tunnused. 2017, 2018.

Mõelge juhuslikule katsele, milles visatakse heterogeensest materjalist matriitsi. Selle raskuskese ei asu geomeetrilises keskpunktis. Sel juhul ei saa me pidada tulemusi (ühe, kahe jne kaotamine) võrdselt tõenäoliseks. Füüsikast on teada, et luu kukub sagedamini näole, mis on raskuskeskmele lähemal. Kuidas määrata näiteks kolme punkti saamise tõenäosust? Ainus, mida saate teha, on visata seda täringut n korda (kus n on üsna suur arv, näiteks n = 1000 või n = 5000), lugeda kolme visatud punkti arv n 3 ja kaaluda kolme viskamise tulemuse tõenäosust punktid olema n 3 /n – kolme punkti suhteline sagedus. Sarnaselt saate määrata ka teiste elementaarsete tulemuste tõenäosused - üks, kaks, neli jne. Teoreetiliselt saab seda tegevust põhjendada tõenäosuse statistilise definitsiooni sisseviimisega.

Tõenäosus P(wi) on defineeritud kui tulemuse w i suhtelise esinemissageduse piir juhuslike katsete arvu piiramatu suurenemise protsessis n, st.

kus m n (w i) on juhuslike katsete arv (alates koguarv n tehtud juhuslikku katset), milles registreeriti elementaarse tulemuse w i esinemine.

Kuna siin pole tõestust esitatud, jääb üle vaid loota, et viimases valemis olev piir on olemas, õigustades lootust elukogemus ja intuitsiooni.

Praktikas tekivad väga sageli probleemid, mille puhul on võimatu või äärmiselt raske leida muud võimalust sündmuse tõenäosuse määramiseks peale statistilise määramise.

Pidev tõenäosusruum.

Nagu varem mainitud, võib elementaarsete tulemuste kogum olla enam kui loendatav (st loendamatu). Seega on katsel, mis koosneb punkti juhuslikust lõigule viskamisest, lugematu arv tulemusi. Võib ette kujutada, et eksperiment, mis hõlmab temperatuuri mõõtmist antud hetk V antud punkt sellel on ka loendamatu arv tulemusi (tõepoolest, temperatuur võib teatud intervallilt võtta mis tahes väärtuse, kuigi tegelikult saame seda mõõta ainult teatud täpsusega ja sellise katse praktiline rakendamine annab lõpliku arvu tulemusi). Katse korral loendamatu elementaarsete tulemuste hulgaga W ei saa kogumi W alamhulka pidada sündmuseks. Tuleb märkida, et W alamhulgad, mis ei ole sündmused, on matemaatilised abstraktsioonid ja neid ei esine praktilistes ülesannetes. Seetõttu on see lõik meie jaoks vabatahtlik.

Juhusliku sündmuse definitsiooni tutvustamiseks vaatleme elementaartulemuste ruumi W alamhulkade süsteemi (lõplik või loendatav).

Kui on täidetud kaks tingimust:

1) A kuulumisest sellesse süsteemi järeldub, et A kuulub sellesse süsteemi;

2) sellesse süsteemi kuulumisest järeldub, et A i A j kuulub sellesse süsteemi

sellist alamhulkade süsteemi nimetatakse algebraks.

Olgu W mingi elementaartulemuste ruum. Veenduge, et kaks alamhulgasüsteemi on:

1) W, Æ; 2) W, A, , Æ (siin A on W alamhulk) on algebrad.

Kuuluvad A 1 ja A 2 mingisse algebrasse. Tõesta, et A 1 \ A 2 kuuluvad sellesse algebrasse.

Nimetagem s-algebraks hulga W alamhulkade süsteemi I, mis vastab tingimusele 1) ja tingimusele 2)¢:

2)¢ kui alamhulgad A 1, A 2,¼, A n, ¼ kuuluvad I-sse, siis kuulub ka nende loendatav liit (analoogiliselt liitmisega kirjutatakse see loendatav liit lühidalt valemiga) I hulka.

Elementaartulemuste hulga W alamhulk A on sündmus, kui see kuulub mõnda s-algebrasse.

Võib tõestada, et kui valime mõnesse s-algebrasse kuuluva loendatava sündmuste süsteemi ja teostame nende sündmustega mistahes hulgateoorias aktsepteeritud tehteid (liit, ristmik, erinevus ja liitmine), siis on tulemuseks hulk või sündmus. mis kuuluvad samasse s-algebra algebrasse.

Sõnastame aksioomi, mida nimetatakse A.N aksioomiks. Kolmogorov.

Iga sündmus vastab mittenegatiivsele arvule P(A), mis ei ületa ühte, mida nimetatakse sündmuse A tõenäosuseks, ja funktsioonil P(A) on järgmised omadused:

2) kui sündmused A 1 , A 2 ,..., A n , ¼ on vastuolulised, siis

Kui on antud elementaartulemuste ruum W, sündmuste algebra ja sellel defineeritud funktsioon P, mis rahuldab ülaltoodud aksioomi tingimusi, siis öeldakse, et tõenäosusruum on antud.

Seda tõenäosusruumi definitsiooni saab laiendada elementaartulemite W lõplikule ruumile. Siis saab hulga W kõigi alamhulkade süsteemi võtta algebraks.

Geomeetriline tõenäosus

Ühel erijuhul anname reegli sündmuse tõenäosuse arvutamiseks loendamatu tulemuste hulgaga juhusliku katse jaoks.

Kui juhusliku katse elementaartulemuste hulga W ja mõne tasapinnalise kujundi S (suur sigma) punktide kogumi vahel saab luua üks-ühele vastavuse, saab luua ka üks-ühele vastavuse sündmusele A soodsate elementaartulemuste kogum ja lamekuju s punktide kogum (sigma väike), mis on osa kujundist S, siis

kus s on kujundi s pindala, S on kujundi S pindala. Siin eeldatakse loomulikult, et arvudel S ja s on pindala. Eelkõige võib näiteks joonis s olla sirge segment, mille pindala on võrdne nulliga.

Pange tähele, et selles definitsioonis võime tasapinnalise kujundi S asemel arvestada intervalliga S ja selle osa s asemel intervalliga s, mis kuulub täielikult intervalli s ja tõenäosust saab esitada kui vastavate intervallide pikkuste suhe.

Näide. Kella 12-13 avatud söögisaalis lõunatavad kaks inimest. Igaüks neist tuleb juhuslikul ajal ja lõunatab 10 minuti jooksul. Kui suur on nende kohtumise tõenäosus?

Olgu x aeg, mil esimene söögituppa saabub, ja y aeg, mil teine ​​saabub.

Kõigi arvupaaride (x;y) (või tulemuste kogumi) ja ruudu punktide hulga vahel, mille külg on võrdne 1 koordinaattasandil, saab luua üks-ühele vastavuse, kus alguspunkt vastab number 12 X-teljel ja Y-teljel, nagu on näidatud joonisel 6. Siin vastab näiteks punkt A tulemusele, et esimene saabus kell 12.30 ja teine ​​kell 13.00. Sel juhul kohtumist ilmselgelt ei toimunud.

Kui esimene saabus hiljemalt teiseks (y ³ x), siis toimub kohtumine tingimusel 0 £ y - x £ 1/6 (10 minutit on 1/6 tundi).

Kui teine ​​saabus hiljemalt esimesena (x³y), siis toimub kohtumine tingimusel 0 £ x – y £ 1/6..

Kohtumise jaoks soodsate tulemuste kogumi ja joonisel 7 varjutatud kujul näidatud piirkonna punktide kogumi vahel saab luua üks-ühele vastavuse.

Nõutav tõenäosus p võrdub piirkonna s pindala ja kogu ruudu pindala suhtega. Ruudu pindala on võrdne ühtsusega ja piirkonna s pindala saab määratleda kui erinevust ühtsuse ja kahe joonisel 7 näidatud kolmnurga kogupindala vahel. See tähendab:

Probleemid lahendustega.

5 cm laiuse ruuduga malelauale visatakse 1,5 cm raadiusega münt. Leidke tõenäosus, et münt ei maandu ühelegi lahtri piirile.

II ülesanne.

Sild ulatub üle 100 m laiuse jõe. Mingil hetkel, kui sillal on kaks inimest, kukub sild kokku ja mõlemad kukuvad jõkke. Esimene oskab ujuda ja saab päästetud. Teine ei oska ujuda ja päästetakse vaid siis, kui ta kukub kaldast mitte kaugemale kui 10 meetrit või esimesest mitte kaugemale kui 10 meetrit. Kui suur on tõenäosus, et teine ​​inimene pääseb?

III ülesanne.

Tankitõrjemiinid on paigutatud sirgjoonele 15 m kaugusele, selle sirgjoonega risti sõidab 2 m laiune tank. Kui suur on tõenäosus, et miin teda õhku ei lase?

VI ülesanne.

Intervallis (0; 2) valitakse juhuslikult kaks arvu. Leia tõenäosus, et ruut rohkem väiksem kui väiksem arv

Segmendile visatakse juhuslikult kaks punkti. Nad jagavad segmendi kolmeks osaks. Kui suur on tõenäosus, et saadud lõikudest saab moodustada kolmnurga?

VI ülesanne.

Segmendile visatakse üksteise järel juhuslikult kolm punkti. Kui suur on tõenäosus, et kolmas punkt jääb kahe esimese vahele?

Ülesanne I. Mündi asukoht malelaual on täielikult määratud selle geomeetrilise keskpunkti asukohaga. Kogu tulemuste komplekti saab kujutada ruuduna S, mille külg on 5. Seejärel kujutatakse kogu soodsate tulemuste komplekti ruudu S, mis asub ruudu S sees, nagu on näidatud joonisel 1.

Soovitav tõenäosus on siis võrdne väikese ruudu pindala suhtega suure ruudu pindalaga, see tähendab 4/25

II ülesanne. Tähistame x-ga kaugust jõe vasakust kaldast esimese isiku langemispunktini ja y-ga kaugust vasakust kaldast teise isiku langemispunktini. Ilmselgelt kuuluvad nii x kui ka y intervalli (0;100). Seega võime järeldada, et kogu tulemuste komplekti saab kaardistada ruudule, mille vasak alumine nurk asub koordinaatide lähtepunktis ja ülemine parem nurk koordinaatidega punktis (100;100). Kaks rada: 0 x ehk teine ​​langes paremale kaldale lähemale kui esimene, siis tema päästmiseks peab olema täidetud tingimus y<х+10. Если уx–10. Eeltoodust järeldub, et kõik teisele inimesele soodsad tulemused kuvatakse joonisel 2 varjutatud alal. Selle ala pindala on kõige lihtsam arvutada, lahutades kahe varjutamata kolmnurga pindala kogu ruut, mis annab tulemuseks 10000–6400=3600. Nõutav tõenäosus on 0,36.

III ülesanne.

Vastavalt ülesande tingimustele määrab tanki asukoha kahe kõrvuti asetseva miini vahelises pilus täielikult tanki külgedest võrdsel kaugusel asuva sirgjoone asend. See joon on risti joonega, mida mööda miinid asetatakse, ja tank lastakse miiniga õhku, kui see joon asub pilu servast lähemal kui 1 meeter. Seega kaardistatakse kogu tulemuste kogum intervalliga pikkusega 15 ja soodsate tulemuste kogum pikkusega 13, nagu on näidatud joonisel 3. Soovitud tõenäosus on 13/15.

IV ülesanne.

Tähistame üht arvudest kui x ja teist kui y. Kogu võimalike tulemuste komplekt kaardistatakse ruudukujuliseks OBCD-ks, mille kaks külge langevad kokku koordinaattelgedega ja mille pikkus on 2, nagu on näidatud joonisel 4. Oletame, et y on väiksem arv. Seejärel kaardistatakse tulemuste hulk kolmnurgaks OCD, mille pindala on 2. Valitud arvud peavad vastama kahele ebavõrdsusele:

juures<х, у>x 2

Neid ebavõrdsusi rahuldav arvude komplekt kuvatakse joonisel 4 varjutatud alal. Selle ala pindala määratakse kolmnurga OEG pindala, mis on võrdne 1/2, ja kolmnurga pindala erinevusena. kõverjooneline kolmnurk OFEG. Selle kõverjoonelise kolmnurga pindala s on antud valemiga

ja võrdub 1/3. Sellest leiame, et varjutatud joonise OEF pindala on 1/6. Seega on soovitud tõenäosus 1/12.

Olgu lõigu pikkus l. Kui võtta x ja y kaugusteks lõigu vasakpoolsest otsast ülesandepüstituses mainitud punktideni, saab kõigi tulemuste hulga kaardistada ruuduga küljega l, mille üks külg asub x-koordinaatide teljel ja teine ​​y-koordinaatide teljel . Kui aktsepteerime tingimust y>x, siis vastendatakse tulemuste hulk joonisel 5 näidatud kolmnurgale OBC. Selle kolmnurga pindala on l 2 /2. Saadud segmentide pikkused on x, y–x ja l-y. Nüüd meenutagem geomeetriat. Kolmnurga saab moodustada kolmest lõigust siis ja ainult siis, kui iga lõigu pikkus on väiksem kui kahe ülejäänud lõigu pikkuste summa. See tingimus toob meie puhul kaasa kolme ebavõrdsuse süsteemi

Esimene võrratus teisendatakse kujule x l/2 ja kolmas võrratus võtab kuju y<х+l/2. Множество пар чисел х, у, являющееся решением системы неравенств отображается в заштрихованный треугольник на рисунке 5. Площадь этого треугольника в 4 раза меньше площади треугольника OВС. Отсюда следует, что ответ задачи составляет 1/4.

Võtame lõigu pikkuseks l. Olgu kaugus lõigu vasakust otsast esimese punktini x, teise punktini – y ja kolmanda punktini – z. Seejärel kaardistatakse kogu tulemuste hulk kuubiks, mille kolm serva asetsevad ristkülikukujulise koordinaatsüsteemi telgedel x, y ja z ning mille serv on pikkusega l. Oletame, et y>x. Seejärel kaardistatakse tulemuste hulk otseprismaga ABCA 1 B 1 C 1, mis on näidatud joonisel 6. Tingimus z>x tähendab, et kõik tulemused kaardistatakse piirkonnaga, mis asub joonisel näidatud tasandist AD 1 C 1 B kõrgemal. 7. See tasapind on nüüd kehtiv. Kõik tulemused kaardistatakse püramiidiks, mille põhjas on ruut AA 1 B 1 B ja kõrgus B 1 C 1 . Kõik tulemused, mis vastavad tingimusele z

Probleemid iseseisvaks lahendamiseks.

1. Kaks laeva peavad lähenema samale muulile. Mõlema laeva saabumisajad on sõltumatud ja võrdselt võimalikud antud päeva jooksul. Määrake tõenäosus, et üks aurulaev peab ootama kai tühjenemist, kui esimese auriku viibimisaeg on üks tund ja teise aurulaev kaks tundi. Vastus: 139/1152.

2. Ristmikule paigaldatakse automaatfoor, milles põleb üks minut roheline ja pool minutit punane tuli, seejärel üks minut uuesti roheline ja pool minutit punane jne. Juhuslikul ajahetkel läheneb ristmikule auto. Kui suur on tõenäosus, et ta ületab ristmiku peatumata? Vastus: 2/3

3. Münt raadiusega 1,5 cm visatakse lõpmatule 5 cm laiuse ruuduga malelauale. Leidke tõenäosus, et münt asub malelaua kahel ruudul. Vastus: 16/25.

4. Ringi mahub juhuslikult kolmnurk. Kui suur on tõenäosus, et see on äge? Vastus: 1/4.

5. Kolmnurk mahutatakse juhuslikult ringi. Kui suur on tõenäosus, et see on ristkülikukujuline? Vastus: 0.

6. Varras pikkusega a jagatakse juhuslikult kolmeks osaks. Leidke tõenäosus, et iga osa pikkus on suurem kui a/4. Vastus: 1/16.

Klassikaline tõenäosuse määratlus eeldab, et kõik elementaarsed tulemused võrdselt võimalik. Eksperimendi tulemuste võrdsus tehakse sümmeetria kaalutlustel (nagu mündi või täringu puhul). Probleemid, mille puhul saab kasutada sümmeetria kaalutlusi, on praktikas haruldased. Paljudel juhtudel on raske anda põhjust arvata, et kõik elementaarsed tulemused on võrdselt võimalikud. Sellega seoses tekkis vajadus võtta kasutusele teine ​​tõenäosuse definitsioon, nn statistiline. Selle määratluse andmiseks võetakse esmalt kasutusele sündmuse suhtelise sageduse mõiste.

Sündmuse suhteline sagedus, või sagedus, on selle sündmuse toimumise katsete ja kõigi tehtud katsete arvu suhe. Tähistagem sündmuse sagedust , siis definitsiooni järgi

(1.4.1)
kus on katsete arv, milles sündmus aset leidis, ja kõigi tehtud katsete arv.

Sündmuse sagedusel on järgmised omadused.

Vaatlused võimaldasid kindlaks teha, et suhtelisel sagedusel on statistilise stabiilsuse omadused: erinevates polünoomitestide seeriates (milles igaühes see sündmus võib ilmneda või mitte) võtab see väärtused, mis on üsna lähedased mõnele konstandile. Seda konstanti, mis on nähtuse objektiivne arvuline tunnus, peetakse antud sündmuse tõenäosuseks.

Tõenäosus sündmus on arv, mille ümber on antud sündmuse sageduse väärtused rühmitatud suure hulga testide erinevatesse seeriatesse.

Seda tõenäosuse määratlust nimetatakse statistiline.

Statistilise definitsiooni korral on tõenäosusel järgmised omadused:
1) usaldusväärse sündmuse tõenäosus on võrdne ühega;
2) võimatu sündmuse tõenäosus on null;
3) juhusliku sündmuse tõenäosus jääb nulli ja ühe vahele;
4) kahe kokkusobimatu sündmuse summa tõenäosus on võrdne nende sündmuste tõenäosuste summaga.

Näide 1. 500 juhuslikult võetud osast 8 olid defektsed. Leidke defektsete osade esinemissagedus.

Lahendus. Kuna antud juhul = 8, = 500, siis leiame valemi (1.4.1) järgi

Näide 2. Täringut visatakse 60 korda, samal ajal kuus ilmunud 10 korda. Milline on esinemissagedus kuued?

Lahendus.Ülesande tingimustest järeldub, et = 60, = 10, seega

Näide 3. 1000 vastsündinu hulgas oli poisse 515. Milline on poiste sündimuskordaja?
Lahendus. Kuna antud juhul , siis .

Näide 4. 20 sihtmärki sooritatud lasku tulemusel saadi 15 tabamust. Mis on tabamusmäär?

Lahendus. Kuna = 20, = 15, siis

Näide 5. Sihtmärki tulistades on tabamusmäär = 0,75. Leia tabamuste arv 40 lasuga.

Lahendus. Valemist (1.4.1) järeldub, et . Kuna = 0,75, = 40, siis . Seega laekus 30 tabamust.

Näide 6. www.. Külvatud seemnetest idanes 970. Mitu seemnet külvati?

Lahendus. Valemist (1.4.1) järeldub, et . Sellest ajast . Seega külvati 1000 seemet.

Näide 7. Leidke naturaalrea segmendis 1 kuni 20 algarvude sagedus.

Lahendus. Naturaalarvude seeria näidatud segmendil on järgmised algarvud: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19; neid on kokku 8. Kuna = 20, = 8, siis soovitud sagedus

.

Näide 8. Viidi läbi kolm sümmeetrilise mündi mitmekordset viskamise seeriat, arvutati vapi esinemiste arv: 1) = 4040, = 2048, 2) = 12000, = 6019; 3) = 24000, = 12012. Leidke igas katseseerias vapi ilmumise sagedus.

Lahendus. Vastavalt valemile (1.4.1) leiame:

Kommenteeri. Need näited näitavad, et korduvate katsete käigus erineb sündmuse sagedus selle tõenäosusest vähe. Mündi viskamisel vapi ilmumise tõenäosus on p = 1/2 = 0,5, kuna sel juhul on n = 2, m = 1.

Näide 9. Automaatsel masinal toodetud 300 detaili hulgas oli 15, mis ei vastanud standardile. Leidke mittestandardsete osade esinemissagedus.

Lahendus. Sel juhul n = 300, m = 15, seega

Näide 10. Inspektor, kontrollides 400 toote kvaliteeti, leidis, et 20 neist kuulusid teise klassi ja ülejäänud - esimesse. Leia esimese klassi toodete sagedus, teise klassi toodete sagedus.

Lahendus. Kõigepealt leiame esimese klassi toodete arvu: 400 - 20 = 380. Kuna n = 400, = 380, siis esimese klassi toodete sagedus

Samamoodi leiame teise klassi toodete sageduse:

Ülesanded

1. Tehnilise kontrolli osakond avastas 1000-tootelisest partiist 10 mittestandardset toodet. Leidke defektsete toodete valmistamise sagedus.
2. Seemnete kvaliteedi määramiseks valiti välja 100 seemet, mis külvati laboritingimustes. 95 seemet tärkas normaalselt. Milline on seemnete normaalse idanemise sagedus?
3. Leidke algarvude esinemissagedus naturaalrea järgmistes segmentides: a) 21-st 40-ni; b) 41 kuni 50; c) 51 kuni 70.
4. Leia numbri esinemissagedus sümmeetrilise mündi 100 viskamisel. (Viige katse ise läbi).
5. Leia kuue sagedus 90 täringuviske kohta.
6. Uurides kõiki oma kursuse õpilasi, määrake sünnipäevade sagedus aasta igal kuul.
7. Leidke viietäheliste sõnade sagedus mis tahes ajalehetekstist.

Vastused

1. 0,01. 2. 0,95; 0,05. 3. a) 0,2; b) 0,3; c) 0,2.

Küsimused

1. Mis on sündmuste sagedus?
2. Milline on usaldusväärse sündmuse sagedus?
3. Mis on võimatu sündmuse sagedus?
4. Millised on juhusliku sündmuse sageduse piirid?
5. Milline on kahe kokkusobimatu sündmuse summa sagedus?
6. Millist tõenäosuse määratlust nimetatakse statistiliseks?
7. Millised omadused on statistilisel tõenäosusel?

Sildid. Vaata .

Sündmuste toimumise juhuslikkus on seotud konkreetse testi tulemuse ette ennustamise võimatusega. Kui aga võtta arvesse näiteks testi: korduv mündiviskamine, ω 1, ω 2, ..., ω n, siis selgub, et ligikaudu pooltel tulemustest ( n / 2) avastatakse teatud muster, mis vastab tõenäosuse mõistele.

Under tõenäosus sündmused A mõistet mõistetakse sündmuse toimumise võimalikkuse teatud arvulise tunnusena A. Tähistame seda arvulist tunnust R(A). Tõenäosuse määramiseks on mitu lähenemisviisi. Peamised on statistiline, klassikaline ja geomeetriline.

Las toodetakse n testid ja samas mingi sündmus A see on saabunud n A korda. Number n A kutsutakse absoluutne sagedus(või lihtsalt sündmuse sagedus). A, ja seost nimetatakse sündmuse A esinemise suhteline sagedus. Mis tahes sündmuse suhteline sagedus mida iseloomustavad järgmised omadused:

Tõenäosusteooria meetodite rakendamise aluseks reaalsete protsesside uurimisel on juhuslike sündmuste objektiivne olemasolu, millel on sageduse stabiilsuse omadus. Uuritava sündmuse mitu katset A näita seda laiemalt n suhteline sagedus ( A) jääb ligikaudu konstantseks.

Tõenäosuse statistiline definitsioon on see, et sündmuse A tõenäosuseks peetakse konstantset väärtust p(A), mille ümber suhteliste sageduste väärtused kõiguvad. (A) katsete arvu piiramatu suurenemisegan.

Märkus 1. Pange tähele, et juhusliku sündmuse tõenäosuse muutumise piirid nullist üheni valis B. Pascal selle arvutamise ja rakendamise mugavuse huvides. Kirjavahetuses P. Fermat'ga osutas Pascal, et näidatud intervalliks võib valida mis tahes intervalli, näiteks nullist sajani ja muud intervallid. Selle juhendi allolevates ülesannetes on tõenäosused mõnikord väljendatud protsentides, st. nullist sajani. Sel juhul tuleb ülesannetes toodud protsendid ümber arvestada aktsiateks, s.o. jaga 100-ga.

Näide 1. Mündiviskeid viidi läbi 10 seeriat, igaühes 1000 viset. Suurus ( A) igas reas on 0,501; 0,485; 0,509; 0,536; 0,485; 0,488; 0,500; 0,497; 0,494; 0,484. Need sagedused on rühmitatud R(A) = 0,5.

See näide kinnitab, et suhteline sagedus ( A) on ligikaudu võrdne R(A), st.