Lineaarvõrrandid. Täielik juhend (2019)

Lineaarvõrrandite lahendamisel püüame leida juurt ehk muutuja väärtust, mis võrrandi õigeks võrrandiks muudab.

Vajaliku võrrandi juure leidmiseks ekvivalentteisendused toovad meile antud võrrandi vormile

\(x=[arv]\)

Sellest numbrist saab juur.

See tähendab, et me teisendame võrrandit, muutes selle iga sammuga lihtsamaks, kuni taandame selle täiesti primitiivseks võrrandiks “x = arv”, kus juur on ilmne. Lineaarvõrrandite lahendamisel kõige sagedamini kasutatavad teisendused on järgmised:

Näiteks: lisage võrrandi \(6x-5=1\) mõlemale poolele \(5\)

\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)

Pange tähele, et sama tulemuse saaksime kiiremini, kui lihtsalt kirjutada võrrandi teisele küljele viis ja muuta selle märki. Tegelikult just nii käibki kool “üleminek võrdsete kaudu koos märgivahetusega vastupidiseks”.

2. Võrrandi mõlema poole korrutamine või jagamine sama arvu või avaldisega.

Näiteks: jagage võrrand \(-2x=8\) miinus kahega

\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)

Tavaliselt tehakse see samm päris lõpus, kui võrrand on juba taandatud kujule \(ax=b\), ja jagame selle vasakult eemaldamiseks \(a\).

3. Matemaatika omaduste ja seaduste kasutamine: sulgude avamine, sarnaste terminite toomine, murdude vähendamine jne.

Lisage \(2x\) vasakule ja paremale

Lahutage võrrandi mõlemast küljest \(24\).

Esitame sarnased terminid uuesti

Nüüd jagame võrrandi \(-3\), eemaldades sellega vasakpoolsest servast eesmise X.

Vastus : \(7\)

Vastus on leitud. Vaatame siiski üle. Kui seitse on tõesti juur, siis asendades selle algses võrrandis X asemel, tuleks saada õige võrdsus - samad arvud vasakul ja paremal. Proovime.

Eksam:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

See läks korda. See tähendab, et seitse on tõepoolest algse lineaarvõrrandi juur.

Ärge olge laisk asendamise teel leitud vastuseid kontrollima, eriti kui lahendate võrrandit testi või eksami käigus.

Jääb küsimus – kuidas teha kindlaks, mida võrrandiga järgmises etapis teha? Kuidas seda täpselt teisendada? Millegiga jagada? Või lahutada? Ja mida ma täpselt peaksin lahutama? Millega jagada?

Vastus on lihtne:

Teie eesmärk on viia võrrand kujule \(x=[arv]\), see tähendab, et vasakul on x ilma koefitsientide ja arvudeta ning paremal on ainult arv ilma muutujateta. Seetõttu vaadake, mis teid takistab ja teha vastupidiselt sellele, mida segav komponent teeb.

Selle paremaks mõistmiseks vaatame samm-sammult lineaarvõrrandi \(x+3=13-4x\) lahendust.

Mõelgem: kuidas see võrrand erineb \(x=[arv]\)-st? Mis meid takistab? Mis viga?

Noh, esiteks, kolm segavad, kuna vasakul peaks olema ainult üksik X, ilma numbriteta. Mida kolmik "teeb"? Lisatud X-le. Nii et selle eemaldamiseks - lahutada samad kolm. Aga kui me lahutame vasakult kolm, siis peame selle lahutama paremalt, et võrdsust ei rikutaks.

\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)

Hästi. Mis sind nüüd takistab? \(4x\) paremal, sest seal peaksid olema ainult numbrid. \(4x\) maha arvata- eemaldame lisades.

\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)

Nüüd esitame sarnased terminid vasakul ja paremal.

See on peaaegu valmis. Jääb vaid eemaldada viis vasakult. Mida ta teeb"? Korrutab kohta x. Nii et eemaldame selle jaotus.

\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac(5x)(5)\) \(=\)\(\frac(10)(5)\)
\(x=2\)

Lahendus on valmis, võrrandi juur on kaks. Saate kontrollida asendamise teel.

Märka seda enamasti on lineaarvõrrandites ainult üks juur. Siiski võib esineda kaks erijuhtu.

Erijuhtum 1 – lineaarvõrrandis pole juuri.

Näide . Lahendage võrrand \(3x-1=2(x+3)+x\)

Lahendus :

Vastus : pole juuri.

Tegelikult oli see, et me sellise tulemuseni jõuame, juba varem näha, isegi kui saime \(3x-1=3x+6\). Mõelge sellele: kuidas saab \(3x\), millest lahutasime \(1\) ja \(3x\), millele lisasime \(6\), olla võrdsed? Ilmselgelt mitte mingil juhul, sest nad tegid sama asjaga erinevaid asju! On selge, et tulemused on erinevad.

2. erijuhtum – lineaarvõrrandil on lõpmatu arv juuri.

Lahendus :

Vastus : mis tahes number.

Seda, muide, oli märgata ka varem, etapil: \(8x+12=8x+12\). Tõepoolest, vasak ja parem on samad väljendid. Ükskõik, millise X-i asendate, on see nii seal kui ka seal sama number.

Keerulisemad lineaarvõrrandid.

Algne võrrand ei näe alati välja nagu lineaarne, mõnikord on see "maskeeritud" muuks, enamaks keerulised võrrandid. Transformatsiooni käigus maskeering aga kaob.

Näide . Leidke võrrandi \(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\) juur

Lahendus :

Vastus : \(x=5\)

Näide . Lahendage lineaarvõrrand \(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6 )\)

Lahendus :

Vastus : \(x=-1,25\)

Lineaarvõrrand on algebraline võrrand, täielik kraad mille polünoomid on võrdsed ühega. Lineaarvõrrandite lahendamine - osa kooli õppekava, ja mitte kõige raskem. Mõnel on siiski selle teema lõpetamisega raskusi. Loodame, et pärast selle materjali lugemist jäävad kõik teie jaoks raskused minevikku. Niisiis, mõtleme selle välja. kuidas lahendada lineaarvõrrandeid.

Üldine vorm

Lineaarvõrrand on esitatud järgmiselt:

• ax + b = 0, kus a ja b on suvalised arvud.

Kuigi a ja b võivad olla mis tahes arvud, mõjutavad nende väärtused võrrandi lahenduste arvu. Lahendusel on mitu erijuhtu:

• Kui a=b=0, on võrrandil lõpmatu arv lahendeid;
• Kui a=0, b≠0, pole võrrandil lahendust;
• Kui a≠0, b=0, on võrrandil lahendus: x = 0.

Juhul, kui mõlemal arvul on nullist erinevad väärtused, tuleb muutuja lõpliku avaldise tuletamiseks võrrand lahendada.

Kuidas otsustada?

Lineaarvõrrandi lahendamine tähendab leidmist, millega muutuja võrdub. Kuidas seda teha? Jah, see on väga lihtne – kasutades lihtsaid algebralisi toiminguid ja järgides ülekandereegleid. Kui võrrand kuvatakse teie ees üldkujul, on teil õnne;

1. Liigutage b võrrandist paremale poole, unustamata muuta märki (ülekandereegel!), seega tuleks avaldisest kujul ax + b = 0 saada avaldis kujul: ax = -b.
2. Rakendage reeglit: ühe teguri (x - meie puhul) leidmiseks peate jagama toote (meie puhul -b) teise teguriga (meie puhul a - meie puhul). Seega peaksite saama avaldise kujul: x = -b/a.

See on kõik – lahendus on leitud!

Nüüd vaatame konkreetne näide:

1. 2x + 4 = 0 – liigutage b, mis on antud juhul võrdne 4-ga, paremale poole
2. 2x = -4 - jagage b a-ga (ärge unustage miinusmärki)
3. x = -4/2 = -2

See on kõik! Meie lahendus: x = -2.

Nagu näete, on ühe muutujaga lineaarvõrrandi lahendus üsna lihtne leida, kuid kõik on nii lihtne, kui meil on õnn kohata võrrandit selle üldkujul. Enamasti tuleb enne võrrandi lahendamist kahes ülalkirjeldatud etapis ka olemasoleva avaldise taandada üldine välimus. Samas pole see ka üliraske ülesanne. Vaatame näidete abil mõningaid erijuhtumeid.

Erijuhtude lahendamine

Kõigepealt vaatame artikli alguses kirjeldatud juhtumeid ja selgitame, mida tähendab lõpmatu arv lahendusi ja lahenduste puudumine.

• Kui a=b=0, näeb võrrand välja selline: 0x + 0 = 0. Esimese sammu sooritades saame: 0x = 0. Mida see jama tähendab, hüüate sa! Lõppude lõpuks, ükskõik millise arvu nulliga korrutate, saate alati nulli! Õige! Sellepärast öeldakse, et võrrandil on lõpmatu arv lahendeid – olenemata sellest, millise arvu te võtate, on võrdsus tõene, 0x = 0 või 0 = 0.
• Kui a=0, b≠0, näeb võrrand välja selline: 0x + 3 = 0. Sooritage esimene samm, saame 0x = -3. Jälle jama! On ilmne, et see võrdsus ei saa kunagi tõeks! Sellepärast öeldakse, et võrrandil pole lahendusi.
• Kui a≠0, b=0, näeb võrrand välja selline: 3x + 0 = 0. Esimese sammu sooritades saame: 3x = 0. Mis on lahendus? See on lihtne, x = 0.

Tõlkes kaduma läinud

Kirjeldatud erijuhud pole kõik, millega lineaarvõrrandid meid üllatada võivad. Mõnikord on võrrandit esmapilgul raske tuvastada. Vaatame näidet:

• 12x - 14 = 2x + 6

Kas see on lineaarne võrrand? Aga nullist paremal küljel? Me ei kiirusta järeldustega, vaid tegutseme - nihutame kõik võrrandi komponendid vasakule. Saame:

• 12x - 2x - 14 - 6 = 0

Nüüd lahutame sarnasest sarnasest, saame:

• 10x - 20 = 0

Õppinud? Kõige lineaarsem võrrand üldse! Lahendus on: x = 20/10 = 2.

Mis siis, kui meil on see näide:

• 12((x + 2)/3) + x) = 12 (1–3x/4)

Jah, see on ka lineaarne võrrand, ainult tuleb teha rohkem teisendusi. Kõigepealt avame sulgud:

1. (12 (x+2)/3) + 12x = 12 - 36x/4
2. 4 (x+2) + 12x = 12 - 36x/4
3. 4x + 8 + 12x = 12 - 9x - nüüd teostame ülekande:
4. 25x - 4 = 0 - jääb üle leida lahendus juba teadaoleva skeemi abil:
5. 25x = 4,
6. x = 4/25 = 0,16

Nagu näete, on kõik lahendatav, peamine on mitte muretseda, vaid tegutseda. Pidage meeles, et kui teie võrrand sisaldab ainult esimese astme muutujaid ja numbreid, on teil lineaarne võrrand, mille saab taandada üldisele kujule ja lahendada, hoolimata sellest, kuidas see alguses välja näeb. Loodame, et kõik läheb teie jaoks korda! Edu!

Võrrandite lahendamise õppimine on üks peamisi ülesandeid, mida algebra õpilastele esitab. Alustades kõige lihtsamast, kui see koosneb ühest tundmatust, ja liikudes järjest keerulisemate juurde. Kui te pole esimese rühma võrranditega sooritatavaid toiminguid omandanud, on teistest raske aru saada.

Vestluse jätkamiseks peate kokku leppima noodikirjas.

Tundmatuga lineaarvõrrandi üldvorm ja selle lahendamise põhimõte

Mis tahes võrrand, mille saab kirjutada järgmiselt:

a * x = b,

helistas lineaarne. See üldine valem. Kuid sageli on ülesannetes lineaarvõrrandid kirjutatud kaudsel kujul. Seejärel on üldtunnustatud tähistuse saamiseks vaja teha identseid teisendusi. Need toimingud hõlmavad järgmist:

• avasulud;
• liigutades kõiki tingimusi muutuv võrrandi vasakule küljele ja ülejäänud paremale;
• sarnaste terminite vähendamine.

Kui murdosa nimetajas on tundmatu suurus, peate määrama selle väärtused, mille korral avaldisel pole mõtet. Teisisõnu peate teadma võrrandi definitsiooni valdkonda.

Kõigi lineaarsete võrrandite lahendamise põhimõte taandub võrrandi paremal küljel oleva väärtuse jagamisele muutuja ees oleva koefitsiendiga. See tähendab, et "x" on võrdne b/a-ga.

Lineaarvõrrandite erijuhud ja nende lahendused

Arutlemise käigus võivad tekkida hetked, mil lineaarvõrrandid omandavad ühe erikuju. Igal neist on konkreetne lahendus.

Esimeses olukorras:

a * x = 0 ja a ≠ 0.

Sellise võrrandi lahendus on alati x = 0.

Teisel juhul võtab "a" väärtuse, mis on võrdne nulliga:

0 * x = 0.

Vastus sellisele võrrandile on suvaline arv. See tähendab, et sellel on lõpmatu arv juuri.

Kolmas olukord näeb välja selline:

0 * x = tolli, kus ≠ 0.

Sellel võrrandil pole mõtet. Sest pole juuri, mis seda rahuldaks.

Kahe muutujaga lineaarvõrrandi üldvaade

Selle nimest selgub, et selles on juba kaks tundmatut kogust. Lineaarvõrrandid kahe muutujaga näeb välja selline:

a * x + b * y = c.

Kuna kirjes on kaks tundmatut, näeb vastus välja nagu numbripaar. See tähendab, et ei piisa ainult ühe väärtuse määramisest. See on mittetäielik vastus. Suuruste paar, mille puhul võrrand muutub identiteediks, on võrrandi lahendus. Veelgi enam, vastuses kirjutatakse alati esimesena üles muutuja, mis on tähestikus esimesel kohal. Mõnikord öeldakse, et need numbrid rahuldavad teda. Pealegi võib selliseid paare olla lõpmatu arv.

Kuidas lahendada kahe tundmatuga lineaarvõrrandit?

Selleks peate lihtsalt valima mis tahes numbripaari, mis osutub õigeks. Lihtsuse huvides võite võtta ühe tundmatutest, mis on võrdne mõne algarvuga, ja seejärel leida teise.

Tihti tuleb lahendamisel sooritada samme võrrandi lihtsustamiseks. Neid nimetatakse identiteedi transformatsioonideks. Lisaks kehtivad võrrandite puhul alati järgmised omadused:

• iga liikme saab nihutada võrdsuse vastasossa, asendades selle märgi vastasmärgiga;
• Mis tahes võrrandi vasak ja parem pool on lubatud jagada sama arvuga, kui see ei ole võrdne nulliga.

Näited lineaarvõrranditega ülesannetest

Esimene ülesanne. Lahendage lineaarvõrrandid: 4x = 20, 8(x - 1) + 2x = 2(4 - 2x); (5x + 15) / (x + 4) = 4; (5x + 15) / (x + 3) = 4.

Selle loendi esimeses kohas olevas võrrandis jagage lihtsalt 20 4-ga. Tulemuseks on 5. Vastus on järgmine: x = 5.

Kolmas võrrand nõuab identiteedi teisenduse läbiviimist. See koosneb sulgude avamisest ja sarnaste terminite toomisest. Pärast esimest sammu saab võrrand järgmiselt: 8x - 8 + 2x = 8 - 4x. Seejärel peate liigutama kõik tundmatud võrrandi vasakule poole ja ülejäänud paremale. Võrrand näeb välja selline: 8x + 2x + 4x = 8 + 8. Pärast sarnaste terminite lisamist: 14x = 16. Nüüd näeb see välja samasugune kui esimene ja selle lahendust on lihtne leida. Vastus on x=8/7. Kuid matemaatikas peaksite kogu osa valest murdosast eraldama. Seejärel tulemus teisendatakse ja “x” võrdub ühe terviku ja ühe seitsmendikuga.

Ülejäänud näidetes on muutujad nimetajas. See tähendab, et kõigepealt peate välja selgitama, millistel väärtustel võrrandid on määratletud. Selleks peate välistama numbrid, mille puhul nimetajad lähevad nulli. Esimeses näites on see “-4”, teises “-3”. See tähendab, et need väärtused tuleb vastusest välja jätta. Pärast seda peate korrutama võrdsuse mõlemad pooled nimetaja avaldistega.

Avades sulgud ja tuues sarnased terminid, saame neist võrranditest esimeses: 5x + 15 = 4x + 16 ja teises 5x + 15 = 4x + 12. Pärast teisendusi on esimese võrrandi lahendus x = -1. Teine osutub võrdseks "-3", mis tähendab, et viimasel pole lahendusi.

Teine ülesanne. Lahendage võrrand: -7x + 2y = 5.

Oletame, et esimene tundmatu x = 1, siis on võrrand kujul -7 * 1 + 2y = 5. Liigutades teguri “-7” võrratuse paremale poole ja muutes selle märgi plussiks, selgub, et 2y = 12. See tähendab, et y =6. Vastus: üks võrrandi x = 1, y = 6 lahendustest.

Ühe muutujaga ebavõrdsuse üldvorm

Siin on ära toodud kõik võimalikud ebavõrdsuse olukorrad:

• a * x > b;
• a * x< в;
• a * x ≥b;
• a * x ≤в.

Üldiselt näeb see välja lihtsa lineaarvõrrandina, ainult võrdusmärk on asendatud ebavõrdsusega.

Ebavõrdsuse identiteedi teisenduste reeglid

Nii nagu lineaarvõrrandeid, saab ka ebavõrdsust teatud seaduste järgi muuta. Need taanduvad järgmisele:

1. Võrratuse vasakule ja paremale poolele võib lisada mis tahes tähe- või numbriavaldise ning ebavõrdsuse märk jääb samaks;
2. võite ka korrutada või jagada sama positiivse arvuga, see jällegi märki ei muuda;
3. Sama negatiivse arvuga korrutamisel või jagamisel jääb võrdsus tõeseks eeldusel, et ebavõrdsusmärk on vastupidine.

Üldvaade topelt ebavõrdsusest

Ülesannetes võib esitada järgmised ebavõrdsused:

• V< а * х < с;
• c ≤ a * x< с;
• V< а * х ≤ с;
• c ≤ a * x ≤ c.

Seda nimetatakse kahekordseks, kuna seda piiravad mõlemal küljel olevad ebavõrdsusmärgid. See lahendatakse samu reegleid kasutades, mis tavalised ebavõrdsused. Ja vastuse leidmine taandub seeriale identiteedi transformatsioonid. Kuni saadakse kõige lihtsam.

Topeltvõrratuste lahendamise tunnused

Esimene neist on selle kujutis koordinaatteljel. Lihtsa ebavõrdsuse korral pole seda meetodit vaja kasutada. Kuid rasketel juhtudel võib see lihtsalt vajalik olla.

Ebavõrdsuse kujutamiseks peate teljele märkima kõik punktid, mis arutluse käigus saadi. Need on kehtetud väärtused, mis on tähistatud punktidega, ja väärtused, mis on saadud pärast teisendusi saadud ebavõrdsustest. Ka siin on oluline täpid õigesti joonistada. Kui ebavõrdsus on range, siis see on< или >, siis need väärtused lüüakse välja. Mitteranges ebavõrdsuses peavad punktid olema varjutatud.

Siis on vaja näidata ebavõrdsuse tähendus. Seda saab teha varjutuse või kaare abil. Nende ristumiskoht näitab vastust.

Teine funktsioon on seotud selle salvestamisega. Siin pakutakse kahte võimalust. Esimene on ülim ebavõrdsus. Teine on intervallide kujul. Temaga juhtub, et tekivad raskused. Tühikutes olev vastus näeb alati välja nagu muutuja, millel on liikmemärk ja numbritega sulgud. Mõnikord on mitu tühikut, siis peate sulgude vahele kirjutama sümboli "ja". Need märgid näevad välja järgmised: ∈ ja ∩. Oma rolli mängivad ka vaheklambrid. Ümmargune asetatakse siis, kui punkt on vastusest välja jäetud, ja ristkülikukujuline sisaldab seda väärtust. Lõpmatuse märk on alati sulgudes.

Näited ebavõrdsuse lahendamisest

1. Lahendage võrratus 7 - 5x ≥ 37.

Pärast lihtsaid teisendusi saame: -5x ≥ 30. Jagades “-5”-ga saame järgmise avaldise: x ≤ -6. See on juba vastus, kuid seda saab kirjutada ka teistmoodi: x ∈ (-∞; -6].

2. Lahenda topeltvõrratus -4< 2x + 6 ≤ 8.

Kõigepealt peate lahutama 6 kõikjal. Saad: -10< 2x ≤ 2. Теперь нужно разделить на 2. Неравенство примет вид: -5 < x ≤ 1. Изобразив ответ на числовой оси, сразу можно понять, что результатом будет промежуток от -5 до 1. Причем первая точка исключена, а вторая включена. То есть ответ у неравенства такой: х ∈ (-5; 1].

Matemaatika võrrandid on sama olulised kui tegusõnad vene keeles. Ilma võrrandi juure leidmise oskuseta on raske öelda, et õpilane on algebra kursuse omandanud. Lisaks on igal tüübil oma erilahendused.

Mis see on?

Võrrand on kaks muutujaid sisaldavat suvalist avaldist, mille vahele asetatakse võrdusmärk. Lisaks võib tundmatute koguste arv olla meelevaldne. Minimaalne kogus on üks.

Selle lahendamine tähendab välja selgitamist, kas võrrandil on juur. See tähendab, et arv, mis muudab selle tõeliseks võrdsuseks. Kui seda pole, on vastuseks väide, et "juuri pole". Kuid võib olla ka vastupidine, kui vastuseks on arvude hulk.

Mis tüüpi võrrandeid on olemas?

Lineaarne. See sisaldab muutujat, mille aste on võrdne ühega.

• Ruut. Muutuja võimsus on 2 või teisenduste tulemuseks on selline võimsus.
• Kõrgeima astme võrrand.
• Murd-ratsionaalne. Kui muutuja esineb murdosa nimetajas.
• Koos mooduliga.
• Irratsionaalne. See tähendab, et see sisaldab algebralist juurt.

Kuidas lahendada lineaarvõrrandit?

See on elementaarne. See on välimus, mida kõik teised püüavad saavutada. Kuna võrrandi juure on üsna lihtne leida.

• Kõigepealt peate tegema võimalikud teisendused, st avama sulud ja tooma sarnased terminid.
• Liigutage kõik muutuva väärtusega monomiaalid võrdsuse vasakule poole, jättes vabad liikmed paremale.
• Esitage sarnased terminid igas lahendatava võrrandi osas.
• Saadud võrdsuses sisaldab vasak pool koefitsiendi ja muutuja korrutist ning parem pool arvu.
• Jääb üle leida võrrandi juur, jagades parempoolse arvu tundmatu ees oleva koefitsiendiga.

Kuidas leida ruutvõrrandi juuri?

Esiteks tuleb see viia standardvormi, st avada kõik sulud, tuua sarnased terminid ja liigutada kõik monomialid vasakule. Võrdsuse paremal küljel peaks olema ainult null.

• Kasutage diskrimineerivat valemit. Tundmatu koefitsient ruuduga astmega “1”. Korrutage vaba monoom ja muutuja ees olev arv ruudus arvuga 4. Lahutage saadud ruudust korrutis.
• Hinnake diskrimineerija väärtust. See on negatiivne - lahendus on täielik, kuna sellel pole juuri. Võrdne nulliga – vastuseks on üks arv. Positiivne – muutujal on kaks väärtust.

Kuidas lahendada kuupvõrrandit?

Kõigepealt leidke võrrandi x juur. See määratakse arvude hulgast, mis on vaba liikme jagajad, valiku meetodiga. Seda meetodit on mugav käsitleda konkreetse näite abil. Olgu võrrand järgmine: x 3 - 3x 2 - 4x + 12 = 0.

Selle näiv liige on 12. Siis on kontrollimist vajavad jagajad positiivsed ja negatiivsed arvud: 1, 2, 3, 4, 6 ja 12. Otsingut saab lõpetada juba numbri 2 juures. See annab võrrandis õige võrdsuse. See tähendab, et selle vasak külg osutub nulliks. Seega on arv 2 kuupvõrrandi esimene juur.

Nüüd peate jagama algse võrrandi muutuja ja esimese juure erinevusega. Konkreetses näites on see (x - 2). Lihtne teisendus viib lugeja järgmise faktoriseerimiseni: (x - 2)(x + 2)(x - 3). Lugeja ja nimetaja samad tegurid tühistavad ning ülejäänud kaks sulgu avamisel annavad lihtsa ruutvõrrand: x 2 - x - 6 = 0.

Siit leiate võrrandi kaks juurt, kasutades eelmises jaotises kirjeldatud põhimõtet. Need osutuvad numbriteks: 3 ja -2.

Kokku on konkreetsel kuupvõrrandil kolm juurt: 2, -2 ja 3.

Kuidas lahendatakse lineaarvõrrandisüsteeme?

Siin pakutakse välja meetod tundmatute kõrvaldamiseks. See seisneb ühe tundmatu väljendamises teises võrrandis ja selle avaldise asendamises teisega. Veelgi enam, kahe tundmatuga võrrandisüsteemi lahendus on alati muutujate paar.

Kui muutujad neis on tähistatud tähtedega x 1 ja x 2, siis on võimalik esimesest võrratusest tuletada näiteks x 2. Seejärel asendatakse see teisega. Vajalik teisendus viiakse läbi: sulgude avamine ja sarnaste terminite toomine. Tulemuseks on lihtne lineaarvõrrand, mille juure on lihtne arvutada.

Nüüd minge tagasi esimese võrrandi juurde ja leidke saadud võrrandi abil võrrandi x 2 juur. Need kaks numbrit on vastus.

Et saadud vastuses kindel olla, on soovitatav alati kontrollida. Seda ei pea kirja panema.

Kui lahendatakse üks võrrand, tuleb selle kõik juured asendada algsega ja saada mõlemale poolele samad arvud. Kõik sai kokku – otsus oli õige.

Süsteemiga töötades tuleb juured sisestada igasse lahusesse ja kõik võimalikud toimingud. Kas võrrand on õige? Nii et otsus on õige.

Lineaarvõrrandi süsteem on n lineaarse võrrandi liit, millest igaüks sisaldab k muutujat. See on kirjutatud nii:

Paljud arvavad esimest korda kõrgema algebraga kohtudes ekslikult, et võrrandite arv peab tingimata ühtima muutujate arvuga. Koolialgebras see tavaliselt juhtub, kuid kõrgema algebra puhul see üldiselt ei kehti.

Võrrandisüsteemi lahendiks on arvude jada (k 1, k 2, ..., k n), mis on süsteemi iga võrrandi lahend, s.t. kui sellesse võrrandisse asendada muutujate x 1, x 2, ..., x n asemel, annab õige arvulise võrdsuse.

Vastavalt sellele tähendab võrrandisüsteemi lahendamine kõigi selle lahendite hulga leidmist või selle hulga tühjaks tunnistamist. Kuna võrrandite arv ja tundmatute arv ei pruugi kokku langeda, on võimalikud kolm juhtumit:

1. Süsteem on ebaühtlane, s.t. kõigi lahenduste hulk on tühi. Üsna haruldane juhtum, mis on kergesti tuvastatav, olenemata sellest, millist meetodit süsteemi lahendamiseks kasutatakse.
2. Süsteem on järjepidev ja sihikindel, s.t. on täpselt üks lahendus. Klassikaline versioon, tuntud juba kooliajast.
3. Süsteem on järjepidev ja määratlemata, s.t. on lõpmatult palju lahendusi. See on kõige raskem variant. Ei piisa märkimisest, et "süsteemil on lõpmatu hulk lahendusi" - on vaja kirjeldada, kuidas see hulk on üles ehitatud.

Muutujat x i nimetatakse lubatuks, kui see sisaldub ainult ühes süsteemi võrrandis ja koefitsiendiga 1. Teisisõnu, teistes võrrandites peab muutuja x i koefitsient olema võrdne nulliga.

Kui valime igas võrrandis ühe lubatud muutuja, saame kogu võrrandisüsteemi jaoks lubatud muutujate komplekti. Sellisel kujul kirjutatud süsteemi nimetatakse ka lahendatuks. Üldiselt võib ühe ja sama algse süsteemi taandada erinevateks lubatud süsteemideks, kuid praegu me selle pärast ei muretse. Siin on näited lubatud süsteemidest:

Mõlemad süsteemid on lahendatud muutujate x 1 , x 3 ja x 4 suhtes . Samas võib sama eduga väita, et teine ​​süsteem on lahendatud x 1, x 3 ja x 5 suhtes. Piisab kõige viimase võrrandi ümberkirjutamisest kujul x 5 = x 4.

Vaatleme nüüd üldisemat juhtumit. Olgu meil kokku k muutujat, millest r on lubatud. Siis on võimalikud kaks juhtumit:

1. Lubatud muutujate arv r võrdub muutujate koguarvuga k: r = k. Saame k võrrandisüsteemi, milles r = k lubatud muutujad. Selline süsteem on ühine ja kindel, sest x 1 = b 1, x 2 = b 2, ..., x k = b k;
2. Lubatud muutujate arv r on väiksem koguarv muutujad k : r< k . Остальные (k − r ) переменных называются свободными - они могут принимать любые значения, из которых легко вычисляются разрешенные переменные.

Seega on ülaltoodud süsteemides muutujad x 2, x 5, x 6 (esimese süsteemi jaoks) ja x 2, x 5 (teise jaoks) vabad. Vaba muutujate olemasolul on parem sõnastada teoreem:

Pange tähele: see on väga oluline punkt! Sõltuvalt sellest, kuidas te tulemuseks oleva süsteemi kirjutate, võib sama muutuja olla kas lubatud või vaba. Enamik kõrgema matemaatika juhendajaid soovitab muutujad välja kirjutada leksikograafilises järjekorras, s.t. tõusev indeks. Kuid te ei ole kohustatud seda nõuannet järgima.

Teoreem. Kui n võrrandisüsteemis on lubatud muutujad x 1, x 2, ..., x r ja x r + 1, x r + 2, ..., x k on vabad, siis:

1. Kui määrame vabade muutujate väärtused (x r + 1 = t r + 1, x r + 2 = t r + 2, ..., x k = t k) ja seejärel leiame väärtused x 1, x 2, ..., x r, saame ühe otsustest.
2. Kui kahes lahenduses kattuvad vabade muutujate väärtused, siis kattuvad ka lubatud muutujate väärtused, s.t. lahendused on võrdsed.

Mis on selle teoreemi tähendus? Lahendatud võrrandisüsteemi kõigi lahendite saamiseks piisab vabade muutujate eraldamisest. Seejärel määrake vabadele muutujatele erinevaid tähendusi, saame valmislahendused. See on kõik – nii saad kõik süsteemi lahendused kätte. Muid lahendusi pole.

Järeldus: lahendatud võrrandisüsteem on alati järjepidev. Kui võrrandite arv lahendatud süsteemis on võrdne muutujate arvuga, on süsteem kindel, kui vähem, on see määramatu.

Ja kõik oleks hästi, kuid tekib küsimus: kuidas saada algsest võrrandisüsteemist lahendatud? Selle jaoks on olemas