Trigonomeetrilise võrrandi lihtsustamine. Trigonomeetriliste avaldiste identsed teisendused

IN identiteedi transformatsioonid trigonomeetrilised avaldised võib kasutada järgmisi algebralisi võtteid: identsete terminite liitmine ja lahutamine; ühisteguri sulgudest välja panemine; sama kogusega korrutamine ja jagamine; lühendatud korrutusvalemite rakendamine; terve ruudu valimine; ruuttrinoomi faktooring; uute muutujate kasutuselevõtt teisenduste lihtsustamiseks.

Murde sisaldavate trigonomeetriliste avaldiste teisendamisel saate kasutada proportsiooni, murdude vähendamise või murdude taandamise omadusi ühiseks nimetajaks. Lisaks saab kasutada kogu murdosa valikut, korrutades murdu lugeja ja nimetaja sama summaga ning võimalusel arvestada ka lugeja või nimetaja homogeensust. Vajadusel saab murdosa esitada mitme lihtsama murru summa või erinevusena.

Lisaks on kõigi trigonomeetriliste avaldiste teisendamiseks vajalike meetodite rakendamisel vaja pidevalt arvestada teisendatavate avaldiste lubatud väärtuste vahemikuga.

Vaatame mõnda näidet.

Näide 1.

Arvutage A = (sin (2x – π) cos (3π – x) + sin (2x – 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x – π/2) cos ( 2x – 7π /2) +
+ sin (3π/2 – x) sin (2x –5π/2)) 2

Lahendus.

Redutseerimisvalemitest järeldub:

sin (2x – π) = -sin 2x; cos (3π – x) = -cos x;

sin (2x – 9π/2) = -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;

cos (x – π/2) = sin x; cos (2x – 7π/2) = -sin 2x;

sin (3π/2 – x) = -cos x; sin (2x – 5π/2) = -cos 2x.

Sealt saame argumentide lisamise valemite ja peamise trigonomeetrilise identiteedi abil

A = (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 = sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) =
= sin 2 3x + cos 2 3x = 1

Vastus: 1.

Näide 2.

Teisenda avaldis M = cos α + cos (α + β) · cos γ + cos β – sin (α + β) · sin γ + cos γ korrutiseks.

Lahendus.

Argumentide lisamise valemitest ja trigonomeetriliste funktsioonide summa korrutiseks teisendamiseks pärast sobivat rühmitamist on meil

M = (cos (α + β) cos γ – sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β – γ)/2) – (α + ( β + γ)/2)/2) =

4cos ((β + γ)/2) cos ((α + β)/2) cos ((α + γ)/2).

Vastus: M = 4cos ((α + β)/2) · cos ((α + γ)/2) · cos ((β + γ)/2).

Näide 3.

Näidake, et avaldis A = cos 2 (x + π/6) – cos (x + π/6) cos (x – π/6) + cos 2 (x – π/6) võtab ühe kõigi x-ide jaoks väärtusest R ja sama tähendus. Leidke see väärtus.

Lahendus.

Siin on kaks võimalust selle probleemi lahendamiseks. Rakendades esimest meetodit, eraldades täisruudu ja kasutades vastavaid põhilisi trigonomeetrilisi valemeid, saame

A = (cos (x + π/6) – cos (x – π/6)) 2 + cos (x – π/6) cos (x – π/6) =

4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2 (cos 2x + cos π/3) =

Sin 2 x + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 1/2 · (1 – cos 2x) + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 3/4.

Ülesande teisel viisil lahendamisel vaatleme A-d funktsioonina x-st R-st ja arvutame selle tuletise. Pärast transformatsioone saame

А´ = -2cos (x + π/6) sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) cos (x – π/6) + cos (x + π/6) sin (x) + π/6)) – 2cos (x – π/6) sin (x – π/6) =

Sin 2(x + π/6) + sin ((x + π/6) + (x – π/6)) – sin 2(x – π/6) =

Sin 2x – (sin (2x + π/3) + sin (2x – π/3)) =

Sin 2x – 2sin 2x · cos π/3 = sin 2x – sin 2x ≡ 0.

Seega järeldame intervallil diferentseeruva funktsiooni püsivuse kriteeriumi tõttu, et

A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 – cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x € R.

Vastus: A = 3/4 x € R puhul.

Peamised trigonomeetriliste identiteetide tõestamise meetodid on järgmised:

A) identiteedi vasaku poole vähendamine paremale sobivate teisenduste kaudu;
b) identiteedi parema poole vähendamine vasakule;
V) identiteedi parema ja vasaku poole vähendamine samale kujule;
G) vähendades tõestatava identiteedi vasaku ja parema külje erinevust nullini.

Näide 4.

Kontrollige, kas cos 3x = -4cos x · cos (x + π/3) · cos (x + 2π/3).

Lahendus.

Teisendades selle identiteedi parema külje vastavate trigonomeetriliste valemite abil, saame

4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =

2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x · cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) – cos x = cos 3x.

Identiteedi parem pool on taandatud vasakule.

Näide 5.

Tõesta, et sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ = 2, kui α, β, γ on mõne kolmnurga sisenurgad.

Lahendus.

Arvestades, et α, β, γ on mõne kolmnurga sisenurgad, saame, et

α + β + γ = π ja seetõttu γ = π – α – β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π – α – β) – 2cos α · cos β · cos (π – α – β) =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α – β) · (cos (α + β) =

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α – β) (cos (α + β) =

1/2 · (1 – cos 2α) + ½ · (1 – cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) = 2.

Algne võrdsus on tõestatud.

Näide 6.

Tõesta, et selleks, et kolmnurga üks nurkadest α, β, γ oleks võrdne 60°, on vajalik ja piisav, et sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Lahendus.

Selle probleemi tingimuseks on nii vajalikkuse kui ka piisavuse tõestamine.

Kõigepealt tõestame vajadus.

Seda saab näidata

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).

Seega, võttes arvesse, et cos (3/2 60°) = cos 90° = 0, saame, et kui üks nurkadest α, β või γ on võrdne 60°, siis

cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 ja seetõttu sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Tõestame nüüd piisavus määratud tingimus.

Kui sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, siis cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 ja seetõttu

kas cos (3α/2) = 0 või cos (3β/2) = 0 või cos (3γ/2) = 0.

Seega

või 3α/2 = π/2 + πk, st. α = π/3 + 2πk/3,

või 3β/2 = π/2 + πk, st. β = π/3 + 2πk/3,

või 3γ/2 = π/2 + πk,

need. γ = π/3 + 2πk/3, kus k ϵ Z.

Sellest, et α, β, γ on kolmnurga nurgad, saame

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Seega, kui α = π/3 + 2πk/3 või β = π/3 + 2πk/3 või

γ = π/3 + 2πk/3 kõigist kϵZ-st sobib ainult k = 0.

Sellest järeldub, et kas α = π/3 = 60° või β = π/3 = 60° või γ = π/3 = 60°.

Väide on tõestatud.

Kas teil on endiselt küsimusi? Kas pole kindel, kuidas trigonomeetrilisi avaldisi lihtsustada?
Juhendajalt abi saamiseks registreeruge.
Esimene tund on tasuta!

veebisaidil, materjali täielikul või osalisel kopeerimisel on vajalik link allikale.

Sektsioonid: Matemaatika

Klass: 11

1. tund

Teema: 11. klass (ettevalmistus ühtseks riigieksamiks)

Trigonomeetriliste avaldiste lihtsustamine.

Lihtsate trigonomeetriliste võrrandite lahendamine. (2 tundi)

Eesmärgid:

• Süstematiseerida, üldistada, laiendada õpilaste teadmisi ja oskusi, mis on seotud trigonomeetria valemite kasutamise ja lihtsate trigonomeetriliste võrrandite lahendamisega.

Tunni varustus:

Tunni struktuur:

1. Organisatsiooniline moment
2. Testimine sülearvutites. Tulemuste arutelu.
3. Trigonomeetriliste avaldiste lihtsustamine
4. Lihtsate trigonomeetriliste võrrandite lahendamine
5. Iseseisev töö.
6. Tunni kokkuvõte. Kodutöö seletus.

1. Organisatsioonimoment. (2 minutit.)

Õpetaja tervitab kuulajaid, teatab tunni teema, tuletab meelde, et varem anti ülesandeks korrata trigonomeetria valemeid ja valmistab õpilasi ette testimiseks.

2. Testimine. (15 min + 3 min arutelu)

Eesmärk on testida teadmisi trigonomeetrilistest valemitest ja nende rakendamise oskust. Igal õpilasel on laual sülearvuti koos testi versiooniga.

Võimalusi võib olla palju, toon neist ühe näite:

I variant.

Lihtsusta väljendeid:

a) põhilised trigonomeetrilised identiteedid

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) liitmisvalemid

3. sin5x - sin3x;

c) toote teisendamine summaks

6. 2sin8y cos3y;

d) topeltnurga valemid

7. 2sin5x cos5x;

e) poolnurkade valemid

e) kolmiknurkade valemid

g) universaalne asendus

h) kraadi vähendamine

16. cos 2 (3x/7);

Õpilased näevad oma vastuseid sülearvutis iga valemi kõrval.

Tööd kontrollib koheselt arvuti. Tulemused kuvatakse suur ekraan kõigile vaatamiseks.

Samuti kuvatakse pärast töö lõpetamist õiged vastused õpilaste sülearvutitele. Iga õpilane näeb, kus viga tehti ja milliseid valemeid ta peab kordama.

3. Trigonomeetriliste avaldiste lihtsustamine. (25 min.)

Eesmärk on korrata, harjutada ja kinnistada trigonomeetria põhivalemite kasutamist. Ühtse riigieksami ülesannete B7 lahendamine.

Selles etapis on soovitatav jagada klass tugevate õpilaste rühmadesse (töötavad iseseisvalt koos järgneva testimisega) ja nõrkadeks õpilasteks, kes töötavad koos õpetajaga.

Ülesanne tugevatele õpilastele (ettevalmistatud trükitud alusel). Põhirõhk on 2011. aasta ühtse riigieksami järgi vähendamise ja topeltnurga valemitel.

Lihtsustage väljendeid (tugevate õpilaste jaoks):

Samal ajal töötab õpetaja nõrkade õpilastega, arutades ja lahendades ekraanil ülesandeid õpilaste dikteerimisel.

Arvutama:

5) sin (270º – α) + cos (270º + α)

6)

Lihtsustama:

Oli aeg arutada tugeva rühma töö tulemusi.

Ekraanile ilmuvad vastused, samuti kuvatakse videokaamera abil 5 erineva õpilase tööd (igaühele üks ülesanne).

Nõrk rühm näeb lahenduse tingimust ja meetodit. Arutelu ja analüüs on käimas. Kasutades tehnilisi vahendeid see juhtub kiiresti.

4. Lihtsate trigonomeetriliste võrrandite lahendamine. (30 min.)

Eesmärk on korrata, süstematiseerida ja üldistada kõige lihtsamate trigonomeetriliste võrrandite lahendust ning kirjutada üles nende juured. Ülesande B3 lahendus.

Iga trigonomeetriline võrrand, olenemata sellest, kuidas me selle lahendame, viib kõige lihtsama.

Ülesande täitmisel peaksid õpilased tähelepanu pöörama erijuhtude võrrandite juurte üleskirjutamisele ja üldine vaade ja juurte valimise kohta viimases võrrandis.

Lahenda võrrandid:

Kirjutage vastuseks väikseim positiivne juur.

5. Iseseisev töö (10 min.)

Eesmärk on testida omandatud oskusi, tuvastada probleemid, vead ja nende kõrvaldamise võimalused.

Õpilase valikul pakutakse mitmetasandilist tööd.

Valik "3"

1) Leidke avaldise väärtus

2) Lihtsusta avaldist 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Lahenda võrrand

Valik "4" jaoks

1) Leidke avaldise väärtus

2) Lahenda võrrand Kirjutage oma vastuse väikseim positiivne juur.

Valik "5"

1) Leia tanα, kui

2) Leidke võrrandi juur Kirjutage vastuseks väikseim positiivne juur.

6. Tunni kokkuvõte (5 min)

Õpetaja teeb kokkuvõtte, et tunnis korrati ja tugevdati trigonomeetrilisi valemeid ning lahendati lihtsamaid trigonomeetrilisi võrrandeid.

Määra kodutöö(ettevalmistatud trükitud alusel) pistelise kontrolliga järgmises tunnis.

Lahenda võrrandid:

9)

10) Märkige vastuses väikseim positiivne juur.

2. õppetund

Teema: 11. klass (ettevalmistus ühtseks riigieksamiks)

Trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodid. Juure valik. (2 tundi)

Eesmärgid:

• Üldistada ja süstematiseerida teadmisi erinevat tüüpi trigonomeetriliste võrrandite lahendamisest.
• Edendada õpilaste matemaatilise mõtlemise, vaatlemis-, võrdlemis-, üldistus- ja klassifitseerimisvõime arengut.
• Julgustage õpilasi vaimse tegevuse protsessis raskustest üle saama, enesekontrollile ja oma tegevuse sisekaemusele.

Tunni varustus: KRMu, sülearvutid igale õpilasele.

Tunni struktuur:

1. Organisatsiooniline moment
2. Arutelu d/z ja mina üle. töö eelmisest tunnist
3. Trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodite ülevaade.
4. Trigonomeetriliste võrrandite lahendamine
5. Juurte valik trigonomeetrilistes võrrandites.
6. Iseseisev töö.
7. Tunni kokkuvõte. Kodutöö.

1. Organisatsioonihetk (2 min)

Õpetaja tervitab kuulajaid, teatab tunni teema ja tööplaani.

2. a) Kodutöö analüüs (5 min.)

Eesmärk on kontrollida täitmist. Üks töö kuvatakse ekraanile videokaamera abil, ülejäänud kogutakse valikuliselt õpetaja kontrollimiseks.

b) Iseseisva töö analüüs (3 min.)

Eesmärk on analüüsida vigu ja näidata võimalusi nende ületamiseks.

Vastused ja lahendused on ekraanil, õpilastele antakse oma tööd ette. Analüüs edeneb kiiresti.

3. Trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodite ülevaade (5 min)

Eesmärk on meelde tuletada trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodeid.

Küsige õpilastelt, milliseid trigonomeetriliste võrrandite lahendamise meetodeid nad teavad. Rõhutage, et on olemas niinimetatud põhilised (sageli kasutatavad) meetodid:

• muutuv asendus,
• faktoriseerimine,
• homogeensed võrrandid,

ja on rakendatud meetodeid:

• kasutades valemeid summa korrutiseks ja korrutise summaks teisendamiseks,
• astme vähendamise valemite järgi,
• universaalne trigonomeetriline asendus
• abinurga sisseviimine,
• mõnega korrutamine trigonomeetriline funktsioon.

Samuti tuleks meeles pidada, et üht võrrandit saab lahendada erineval viisil.

4. Trigonomeetriliste võrrandite lahendamine (30 min)

Eesmärk on üldistada ja kinnistada teadmisi ja oskusi sellel teemal, valmistuda ühtse riigieksami C1 lahenduseks.

Pean soovitavaks lahendada iga meetodi võrrandid koos õpilastega.

Õpilane dikteerib lahenduse, õpetaja kirjutab selle tahvelarvutisse ja kogu protsess kuvatakse ekraanile. See võimaldab teil kiiresti ja tõhusalt meelde tuletada varem käsitletud materjale.

Lahenda võrrandid:

1) muutuja 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0 asendamine

2) faktoriseerimine 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) homogeensed võrrandid sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) summa teisendamine korrutiseks cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) korrutise teisendamine summaks 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) astme vähendamine sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5

7) universaalne trigonomeetriline asendus sinx + 5cosx + 5 = 0.

Selle võrrandi lahendamisel tuleb tähele panna, et kasutades seda meetodit viib definitsioonivahemiku kitsenemiseni, kuna siinus ja koosinus asendatakse tg(x/2). Seetõttu peate enne vastuse välja kirjutamist kontrollima, kas arvud hulgast π + 2πn, n Z on selle võrrandi hobused.

8) lisanurga sisseviimine √3sinx + cosx - √2 = 0

9) korrutamine mõne trigonomeetrilise funktsiooniga cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Trigonomeetriliste võrrandite juurte valimine (20 min.)

Kuna ägeda konkurentsi tingimustes ülikoolidesse sisseastumisel ei piisa ainult eksami esimese osa lahendamisest, tuleks enamikul õpilastel tähelepanu pöörata teise osa ülesannetele (C1, C2, C3).

Seetõttu on tunni selle etapi eesmärk meeles pidada varem õpitud materjali ja valmistuda 2011. aasta ühtse riigieksami ülesande C1 lahendamiseks.

On trigonomeetrilisi võrrandeid, mille puhul peate vastuse välja kirjutamisel valima juured. Selle põhjuseks on mõned piirangud, näiteks: murru nimetaja ei ole võrdne nulliga, paarisjuure all olev avaldis on mittenegatiivne, logaritmimärgi all olev avaldis on positiivne jne.

Selliseid võrrandeid peetakse suurema keerukusega võrranditeks ja sisse ühtse riigieksami versioon on teises osas, nimelt C1.

Lahendage võrrand:

Murd on võrdne nulliga, kui siis ühikuringi kasutades valime juured (vt joonis 1)

Pilt 1.

saame x = π + 2πn, n Z

Vastus: π + 2πn, n Z

Ekraanil näidatakse juurte valikut värvilisel pildil ringil.

Korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga ja kaar ei kaota oma tähendust. Siis

Ühikringi abil valime juured (vt joonis 2)

Joonis 2.

5)

Läheme süsteemi juurde:

Süsteemi esimeses võrrandis teeme asenduslogi 2 (sinx) = y, siis saame võrrandi , pöördume tagasi süsteemi juurde

ühikringi abil valime juured (vt joonis 5),

Joonis 5.

6. Iseseisev töö (15 min.)

Eesmärk on koondada ja kontrollida materjali assimilatsiooni, tuvastada vead ja visandada nende parandamise viisid.

Tööd pakutakse kolmes, eelnevalt trükitud kujul koostatud versioonis, mille vahel õpilased saavad valida.

Võrrandeid saab lahendada mis tahes viisil.

Valik "3"

Lahenda võrrandid:

1) 2sin 2 x + sinx - 1 = 0

2) sin2x = √3cosx

Valik "4" jaoks

Lahenda võrrandid:

1) cos2x = 11sinx - 5

2) (2sinx + √3)log 8 (cosx) = 0

Valik "5"

Lahenda võrrandid:

1) 2sinx - 3cosx = 2

2)

7. Tunni kokkuvõte, kodutöö (5 min)

Õpetaja teeb tunni kokkuvõtte ja juhib veel kord tähelepanu asjaolule, et trigonomeetrilist võrrandit saab lahendada mitmel viisil. Enamik Parim viis kiire tulemuse saavutamiseks on see, mida konkreetne õpilane kõige paremini õpib.

Eksamiks valmistudes tuleb süstemaatiliselt korrata valemeid ja võrrandite lahendamise meetodeid.

Jagatakse kodutööd (ettevalmistatud trükitud kujul) ja kommenteeritakse mõningate võrrandite lahendamise meetodeid.

Lahenda võrrandid:

1) cosx + cos5x = cos3x + cos7x

2) 5sin(x/6) - cos(x/3) + 3 = 0

3) 4sin 2 x + sin2x = 3

4) sin 2 x + sin 2 2x - sin 2 3x - sin 2 4x = 0

5) cos3x cos6x = cos4x cos7x

6) 4sinx - 6cosx = 1

7) 3sin2x + 4 cos2x = 5

8)cosx cos2x cos4x cos8x = (1/8)cos15x

9) (2sin 2 x - sinx)log 3 (2cos 2 x + cosx) = 0

10) (2cos 2 x - √3cosx)log 7 (-tgx) = 0

11)

Videotund “Trigonomeetriliste avaldiste lihtsustamine” on mõeldud õpilaste oskuste arendamiseks trigonomeetriliste ülesannete lahendamisel põhiliste trigonomeetriliste identiteetide abil. Videotunnis käsitletakse trigonomeetriliste identiteetide tüüpe ja näiteid probleemide lahendamisest nende abil. Visuaalseid abivahendeid kasutades on õpetajal lihtsam tunni eesmärke saavutada. Materjali elav esitus soodustab meeldejätmist olulised punktid. Animatsiooniefektide ja häälkõne kasutamine võimaldab teil materjali selgitamise etapis õpetaja täielikult asendada. Seega saab õpetaja seda visuaalset abivahendit matemaatikatundides kasutades tõsta õpetamise tulemuslikkust.

Videotunni alguses tehakse teatavaks selle teema. Seejärel tuletame meelde varem uuritud trigonomeetrilisi identiteete. Ekraanil kuvatakse võrrandid sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, kus t≠π/2+πk kϵZ jaoks, ctg t=cos t/sin t, õige t≠πk jaoks, kus kϵZ, tg t· ctg t=1, kui t≠πk/2, kus kϵZ, mida nimetatakse põhilisteks trigonomeetrilisteks identiteetideks. Märgitakse, et neid identiteete kasutatakse sageli probleemide lahendamisel, kus on vaja võrdsust tõestada või väljendit lihtsustada.

Allpool vaatleme näiteid nende identiteetide rakendamisest probleemide lahendamisel. Esiteks tehakse ettepanek kaaluda avaldiste lihtsustamise probleemide lahendamist. Näites 1 on vaja avaldist cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t lihtsustada. Näite lahendamiseks võtke esmalt sulgudest välja ühistegur cos 2 t. Selle sulgudes oleva teisenduse tulemusena saadakse avaldis 1- cos 2 t, mille väärtus trigonomeetria põhiidentiteedist võrdub sin 2 t. Pärast avaldise teisendamist on ilmne, et sulgudest saab välja võtta veel ühe levinud teguri sin 2 t, mille järel avaldis saab kuju sin 2 t(sin 2 t+cos 2 t). Samast põhiidentiteedist tuletame sulgudes oleva avaldise väärtuse, mis on võrdne 1-ga. Lihtsustamise tulemusena saame cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

Näites 2 tuleb avaldist kulu/(1- sint)+ kulu/(1+ sint) lihtsustada. Kuna mõlema murru lugejad sisaldavad avaldise maksumust, võib selle ühise tegurina sulgudest välja võtta. Seejärel taandatakse sulgudes olevad murrud ühiseks nimetajaks, korrutades (1- sint)(1+ sint). Pärast sarnaste terminite toomist jääb lugejaks 2 ja nimetajaks 1 - sin 2 t. Ekraani paremal küljel tuletatakse meelde põhiline trigonomeetriline identiteet sin 2 t+cos 2 t=1. Seda kasutades leiame murdosa cos 2 t nimetaja. Pärast murdosa vähendamist saame avaldise kulu/(1- sint)+ kulu/(1+ sint)=2/kulu lihtsustatud kujul.

Järgmisena vaatleme näiteid identiteeditõestustest, mis kasutavad omandatud teadmisi trigonomeetria põhiidentiteetide kohta. Näites 3 on vaja tõestada identsus (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. Ekraani paremal küljel kuvatakse kolm identiteeti, mida tõestuseks vaja läheb – tg t·ctg t=1, ctg t=cos t/sin t ja tg t=sin t/cos t koos piirangutega. Identiteedi tõendamiseks avatakse esmalt sulud, misjärel moodustub korrutis, mis kajastab peamise trigonomeetrilise identiteedi väljendit tg t·ctg t=1. Seejärel teisendatakse vastavalt kotangensi definitsiooni identiteedile ctg 2 t. Teisenduste tulemusena saadakse avaldis 1-cos 2 t. Põhiidentiteeti kasutades leiame väljendi tähenduse. Seega on tõestatud, et (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

Näites 4 tuleb leida avaldise tg 2 t+ctg 2 t väärtus, kui tg t+ctg t=6. Avaldise arvutamiseks tõmmake esmalt võrduse (tg t+ctg t) 2 =6 2 parem ja vasak pool ruutu. Lühendatud korrutamisvalem tuletatakse meelde ekraani paremas servas. Pärast avaldise vasakpoolses servas olevate sulgude avamist moodustub summa tg 2 t+2· tg t·ctg t+ctg 2 t, mille teisendamiseks saab rakendada ühte trigonomeetrilistest identiteetidest tg t·ctg t=1 , mille vorm tuletatakse meelde ekraani paremal küljel. Pärast teisendust saadakse võrrand tg 2 t+ctg 2 t=34. Võrdsuse vasak pool langeb kokku ülesande tingimusega, seega on vastus 34. Ülesanne on lahendatud.

Videotund “Trigonomeetriliste avaldiste lihtsustamine” on soovitatav kasutada traditsioonilises koolitund matemaatika. Materjal on kasulik ka seda rakendavale õpetajale kaugõpe. Trigonomeetriliste ülesannete lahendamise oskuste arendamiseks.

TEKSTI DEKOODE:

"Trigonomeetriliste avaldiste lihtsustamine."

Võrdsused

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (siinus ruut te pluss koosinus ruut te võrdub ühega)

2)tgt =, kui t ≠ + πk, kϵZ (puutuja te on võrdne siinuse te ja koosinuse te suhtega, kusjuures te ei võrdu pi võrra kahe pluss pi ka, ka kuulub zet)

3)ctgt = , kui t ≠ πk, kϵZ (kotangent te võrdub koosinuse te ja siinuse te suhtega, kusjuures te ei võrdu pi kaga, ka kuulub zet-le).

4) tgt ∙ ctgt = 1 t ≠ , kϵZ korral (puutuja te korrutis kotangensiga te on võrdne ühega, kui te ei võrdu tipuga ka, jagatud kahega, ka kuulub zet-le)

nimetatakse trigonomeetrilisteks põhiidentiteetideks.

Neid kasutatakse sageli trigonomeetriliste avaldiste lihtsustamiseks ja tõestamiseks.

Vaatame näiteid nende valemite kasutamisest trigonomeetriliste avaldiste lihtsustamiseks.

NÄIDE 1. Lihtsusta avaldist: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (avaldis koosinus ruudus te miinus neljanda astme koosinus te pluss neljanda astme te siinus).

Lahendus. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t = cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = sin 2 t 1= sin 2 t

(Võtame välja ühisteguri koosinus ruut te, sulgudes saame erinevuse ühtsuse ja ruudukoosinuse te vahel, mis on võrdne esimese identiteediga siinuse ruudus te. Saame summa neljanda astme siinuse te korrutis koosinus ruut te ja siinus ruut te. Võtame sulgudest välja ühisteguri siinus ruut te, sulgudes saame koosinuse ja siinuse ruutude summa, mis on põhimõtteliselt trigonomeetriline identiteet võrdub ühega. Selle tulemusena saame siinuse te) ruudu.

NÄIDE 2. Lihtsusta avaldist: + .

(avaldis be on kahe murru summa esimese koosinuse te lugejas nimetajas üks miinus siinus te, teise koosinuse te lugejas teise nimetajas pluss siinus te).

(Võtame sulgudest välja ühisteguri koosinus te ja toome selle sulgudes ühise nimetajani, mis on ühe miinus siinuse te korrutis ühe pluss siinuse te.

Lugejas saame: üks pluss siinus te pluss üks miinus siinus te, anname sarnased, lugeja võrdub kahega pärast sarnaste toomist.

Nimetajas saate rakendada lühendatud korrutamisvalemit (ruutude erinevus) ja saada siinuse te erinevuse ühtsuse ja ruudu vahel, mis vastavalt trigonomeetrilisele põhiidentiteedile

võrdne koosinuse te ruuduga. Pärast koosinus te võrra taandamist saame lõpliku vastuse: kaks jagatud koosinusega te).

Vaatame näiteid nende valemite kasutamisest trigonomeetriliste avaldiste tõestamisel.

NÄIDE 3. Tõesta identsus (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (puutuja te ja siinuse te ruutude vahe korrutis kotangensi te ruuduga on võrdne sinus te).

Tõestus.

Teisendame võrdsuse vasaku poole:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ = 1 - 2 t = sin 2 t

(Avame sulud; eelnevalt saadud seosest on teada, et puutuja te ruutude korrutis kotangensiga te on võrdne ühega. Tuletame meelde, et kootangens te võrdub koosinuse te ja siinuse te suhtega, mis tähendab, et kotangensi ruut on koosinuse te ruudu ja siinuse te ruudu suhe.

Pärast siinusruudu te võrra vähendamist saame erinevuse ühtsuse ja koosinusruudu te vahel, mis on võrdne siinusruuduga te). Q.E.D.

NÄIDE 4. Leidke avaldise tg 2 t + ctg 2 t väärtus, kui tgt + ctgt = 6.

(puutuja te ja kotangensi te ruutude summa, kui puutuja ja kotangensi summa on kuus).

Lahendus. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Teeme algse võrdsuse mõlemad küljed ruutu:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (puutuja te ja kotangensi te summa ruut võrdub kuue ruuduga). Tuletagem meelde lühendatud korrutamise valemit: Kahe suuruse summa ruut võrdub esimese ruuduga pluss esimese korrutis kahekordse teisega pluss teise ruuduga. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Saame tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 (puutuja ruudus te pluss puutuja te korrutis kotangensiga te pluss kotangens ruudus te võrdub kolmkümmend kuus) .

Kuna puutuja te ja kotangensi te korrutis on võrdne ühega, siis tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (puutuja te ja kotangensi te ja kahe ruutude summa võrdub kolmekümne kuuega),